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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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235711 3 131719 232931

235711 3 131719 232931 235711 CONGRUENCIAS 3.1 Congruencias módulo m Definición 3.1 Sea m ∈ Z, m ≥ 1. Decimos que a es congruente con b módulo m si m|(b − a). Escribimos a ≡ b (mod m) EJEMPLO 3.1 10 ≡ 1 (mod 9) pues 9|(10 − 1) 10 ≡ 1 (mod 3) 10 ≡ −1 (mod 11) Observe que si m = 1, a ≡ b (mod 1) para todo a,b ∈ Z, i.e. este módulo “no tiene gracia”. Teorema 3.1 a ≡ b (mod m) ⇐⇒ ⎧ ⎨ ⎩ (i) b − a ≡ 0 (mod m) (ii) a = mk + b, para algún k ∈ Z (iii) a mod m = b mod m Prueba: Probemos (iii) usando el algoritmo de la división. “⇒”: Si a = mk + r1,0 ≤ r1 < m y b = mk ′ + r2,0 ≤ r2 < m, supongamos que r2 ≥ r1, entonces b − a = m(k ′ − k) + r2 − r1 con 0 ≤ r2 − r1 < m. Pero b − a = mk ′′ , como el resto es único, r2 = r1. El caso r1 ≥ r2 es idéntico. “⇐”: Ejercicio. EJEMPLO 3.2 Si x ≡ 1 (mod 8), entonces x mod8 = 1 y x = 8 · k + 1. El símbolo “≡” se puede manipular como “=” excepto para la cancelación:

Teorema 3.2 Sean a ≡ b (mod m) a ′ ≡ b ′ (mod m) y c,k ∈ Z. (1) ka ≡ kb (mod m), en particular a k ≡ b k (mod m). (2) aa ′ ≡ bb ′ (mod m) (3) a ± a ′ ≡ b ± b ′ (mod m) (4) a ≡ a (mod m) para toda a ∈ Z (5) a ≡ b (mod m) =⇒ b ≡ a (mod m) (6) a ≡ b (mod m) ∧ b ≡ c (mod m) =⇒ a ≡ c (mod m) (7) Sea a �= 0, ab ≡ ac (mod m) ∧ mcd(a,m) = d =⇒ b ≡ c (mod m d ) (8) Sea a �= 0, ab ≡ ac (mod m) ∧ mcd(a,m) = 1 =⇒ b ≡ c (mod m) (9) Si a ≡ b (mod m) y d|m, entonces a ≡ b (mod d) Prueba: Sólo vamos a probar algunos items, el resto queda como ejercicio. (2) aa ′ ≡ bb ′ (mod m) : En efecto, sean k,k ′ ∈ Z tal que b = mk + a y b ′ = mk ′ + a ′ , multiplicando obtenemos bb ′ = m(mkk ′ + ka ′ + k ′ a) + aa ′ =⇒ m|(bb ′ − aa ′ ). (7) ab ≡ ac (mod m) ∧ mcd(a,m) = d =⇒ b ≡ c (mod m d ): En efecto, recordemos primero que � a m � si d = mcd(a,m) =⇒ mcd , = 1. d d Entonces, como hay un k ∈ Z tal que ac − ab = mk =⇒ a(c − b) = mk =⇒ a d Así, m � � � d a � a m � (c − b) ∧ mcd , = 1 =⇒ d d d m |(c − b) d (8) Es un caso especial de 7. EJEMPLO 3.3 Manipulación algebraica módulo m, 1. Muestre que si a ≡ b (mod m) y si c ≡ a + d (mod m) entonces c ≡ b + d (mod m). (c − b) = m d k. Solución: Como 0 ≡ b − a (mod m) y c ≡ a + d (mod m), sumamos miembro a miembro y c ≡ b + d (mod m) 2. Muestre que si a ≡ b (mod m) y si c ≡ ad (mod m) entonces c ≡ bd (mod m) 39 Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)

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