Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

40 CONGRUENCIAS
Solución: Existe k,k ′ ∈ Z tal que a = mk + b y c − ad = mk ′ , entonces c − ad = c − (mk +
b)d = mk ′ =⇒ c − bd = m(k ′ + kd) =⇒ c ≡ bd (mod m).
≡ 10 0
≡ 10 0
≡ 10 7
� �� � � �� � � �� �
3. d ≡ 8 + 2+ 3 + 2 + 5+ 5 + 2 (mod 10) =⇒ d ≡ 7 (mod 10)
4. Calcular 9 5 mod 5
Solución: 9 5 ≡ 4 5 (mod 5) pues 9 ≡ 4 (mod 5); ahora hacemos una reducción a potencias
más pequeñas: 4 5 ≡ 4 4+1 ≡ (4 2 ) 2 · 4 ≡ 1 2 · 4 ≡ 4 (mod 5). Por tanto, 9 5 mod 5 = 4.
EJEMPLO 3.4
Calcular el resto de dividir 15 196 por 13.
Solución: La idea es descomponer 15 196 en potencias más pequeñas. Si r es el resto buscado,
15 196 ≡ r (mod 13).
15 196 ≡ 2 196 mod 13, pues 15 ≡ 2 (mod 13),
≡ � 22·2�7·7 mod 13, pues 196 = 2 · 2 · 7 · 7,
≡ � 37�7 mod 13, pues 24 = 16 ≡ 3 (mod 13),
�7 mod 13, pues � 33�2 · 3 = 37 ,
≡
� �3 3 � 2 · 3
≡ � 1 2 · 3 � 7 mod 13, pues 3 3 = 27 ≡ 1 (mod 13),
≡ 3 7 mod 13
≡ 3 mod 13 pues 3 7 ≡ 3 (mod 13).
Así, el resto de dividir 15 196 por 13 es 3.
EJEMPLO 3.5
Resolver 4x ≡ 8 (mod 12) con x ∈ {0,1,2,...,11}.
Solución: Podríamos resolver esta congruencia por ensayo y error, pero la vamos a resolver
usando la propiedad 7 del teorema ( 3.2).
4x ≡ 8 mod 12,
x ≡ 2 mod 3 por el teorema 3.2, 7;
Luego, los x ∈ {0,1,2,...,12} que dejan resto 2 al dividir por 3 son x = 2,5,8,11.
EJEMPLO 3.6