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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

42 CONGRUENCIAS EJEMPLO

42 CONGRUENCIAS EJEMPLO 3.8 El 9 de mayo de 1973 fue miércoles=3; pues f = 9, m = 3, A = 1973 = 100s + n con s = 19 y n = 73. Usando la fórmula obtenemos, d ≡ 9 + 7 − 38 + 73 + 4 + 18 ≡ 3 (mod 7) Implementación en Excel. 1 Option Explicit 2 Sub Main 3 End Sub 4 Sub QueDiaNacio() 5 Dim dia As String 6 Dim f, m, s, n, d 7 ’Lectura de datos en celdas 8 f = Celda("A4").Value 9 m = Celda("B4").Value 10 s = Celda("C4").Value 11 n = Celda("D4").Value 12 If m=11 or m=12 then 13 n=n-1 14 end if 15 d =(f+Int((13*m-1)/5)-2*s+n+Int(s/4)+Int(n/4)) Mod 7 16 if d < 0 then 17 d=d+7 18 end if 19 Select Case d 20 Case Is = 0 21 dia="Dom" 22 Case Is = 1 23 dia="Lun" 24 Case Is = 2 25 dia="Mar" 26 Case Is = 3 27 dia="Mier" 28 Case Is = 4 29 dia="Jue" 30 Case Is = 5 31 dia="Vier" 32 Case Is = 6 33 dia="Saba" 34 End Select 35 dia = "El dia es "& str(dia) 36 Celda("D5").setString(dia) 37 End Sub

3.3 Trucos de divisibilidad. Si a = an10 n + an−110 n−1 + ... + a110 + a0, la suma de sus dígitos es congruente con a módulo 9, en efecto, como 10 ≡ 1 (mod 9) entonces 10 i ≡ 1 (mod 9),i = 0,1,2,... Luego, multiplicando por a i y sumando n ∑ ai10 i=0 i n ≡ ∑ i=0 n ∑ ai10 i=0 i n ≡ ∑ i=0 a i (mod 9) =⇒ a ≡ a i (mod 3) =⇒ a ≡ n ∑ i=0 n ∑ i=0 a i (mod 9) a i (mod 3) pues 3|9 1. Divisibilidad por 9 : 9 divide a a si y sólo si 9 divide la suma de sus dígitos, es decir, 9|a ⇐⇒ 9|∑ n i=0 a i En efecto, como a ≡ n ∑ i=0 a i (mod 9) entonces 9|(∑ n i=0 a i − a) . Si 9|a entonces divide la suma de sus dígitos y si 9 divide la suma de los dígitos de a entonces divide a a. 2. Divisibilidad por 3 : 3 divide a a si y sólo si 3 divide la suma de sus dígitos. La demostración es igual a la anterior, cambiando 9 poe 3. 3. Divisibilidad por 2 y por 5 : tanto 2 como 5 dividen a a si y sólo si dividen a0. En efecto: Observemos que a = dividen a la suma n ∑ i=1 n ∑ i=1 a i10 i + a0. Tanto 2 como 5 dividen a a i10 i , por tanto, a i10 i + a0 si y solo si tanto 2 y 5 dividen a a0 4. Divisibilidad por 11 : 11 divide a a si y sólo si 11 divide la suma alternada de sus dígitos, es decir, 11 � � ∑ n i=0 (−1) i a i En efecto, esto es consecuencia de que 10 ≡ −1 (mod 11). 3.4 Cuadrados Mágicos Un cuadrado mágico es un arreglo de n × n números en el que la suma de las entradas de cada fila o columna siempre es la misma. Por ejemplo, consideremos el cuadrado mágico 3 × 3 ⎡ 4 2 6 ⎤ ⎣ 0 7 5 ⎦, tanto las filas como las columnas suman 12 8 3 1 Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/) 43

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