Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital
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46 CONGRUENCIAS<br />
EJEMPLO 3.11<br />
La re<strong>la</strong>ción “≡5 ” particiona Z en 5 c<strong>la</strong>ses pues al dividir por 5 solo hay posibilidad <strong>de</strong><br />
cinco residuos:0,1,2,3 o 4.<br />
El conjunto cociente es Z/ ≡5= {0, 1, 2, 3, 4}.<br />
0 = {5k : k ∈ Z} = {0,±5,±10,...}<br />
1 = {5k + 1 : k ∈ Z} = {...,−9,−4,1,6,11,...}<br />
2 = {5k + 2 : k ∈ Z} = {...,−8,−3,2,7,12,...}<br />
3 = {5k + 3 : k ∈ Z} = {...,−7,−2,3,8,13,...}<br />
4 = {5k + 4 : k ∈ Z} = {...,−6,−1,4,9,14,...}<br />
Figura 3.1<br />
=<br />
11<br />
6<br />
-4<br />
10 . . .<br />
-5 -10<br />
5<br />
1 0<br />
-9<br />
1<br />
. . .<br />
0<br />
2<br />
-3<br />
7. . . 2 4<br />
-6<br />
-8 3 9 -11<br />
-12 -2<br />
-1...<br />
8. . .<br />
-7 4<br />
En este contexto, a <strong>la</strong>s c<strong>la</strong>ses <strong>de</strong> equivalencia se les <strong>de</strong>nomina c<strong>la</strong>ses residuales módulo m y el<br />
conjunto cociente se <strong>de</strong>nota con Zm (o también Z/mZ) en vez <strong>de</strong> Z/ ≡m . Por ejemplo<br />
Por abuso <strong>de</strong>l lenguaje, es usual poner<br />
EJEMPLO 3.12<br />
Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}<br />
Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}<br />
Muestre que si p > 3 es primo, p es <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma 6k ± 1.<br />
Solución: p <strong>de</strong>be estar en alguna <strong>de</strong> <strong>la</strong>s c<strong>la</strong>ses <strong>de</strong> Z6. No está en 0,2 ni 4 pues estas c<strong>la</strong>ses<br />
solo contienen pares.No está en 3 pues esta c<strong>la</strong>se solo contiene múltiplos <strong>de</strong> 3. Así que<br />
p ∈ 1 o p ∈ 5 = −1. Es <strong>de</strong>cir, p es <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma 6k ± 1. Observe que 2 ∈ 2 y 3 ∈ 3.<br />
Conjunto <strong>de</strong> representantes <strong>de</strong> Zm.<br />
En <strong>la</strong>s aplicaciones a veces se usan otros conjuntos <strong>de</strong> representantes para <strong>la</strong>s c<strong>la</strong>ses.<br />
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