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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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46 CONGRUENCIAS<br />

EJEMPLO 3.11<br />

La re<strong>la</strong>ción “≡5 ” particiona Z en 5 c<strong>la</strong>ses pues al dividir por 5 solo hay posibilidad <strong>de</strong><br />

cinco residuos:0,1,2,3 o 4.<br />

El conjunto cociente es Z/ ≡5= {0, 1, 2, 3, 4}.<br />

0 = {5k : k ∈ Z} = {0,±5,±10,...}<br />

1 = {5k + 1 : k ∈ Z} = {...,−9,−4,1,6,11,...}<br />

2 = {5k + 2 : k ∈ Z} = {...,−8,−3,2,7,12,...}<br />

3 = {5k + 3 : k ∈ Z} = {...,−7,−2,3,8,13,...}<br />

4 = {5k + 4 : k ∈ Z} = {...,−6,−1,4,9,14,...}<br />

Figura 3.1<br />

=<br />

11<br />

6<br />

-4<br />

10 . . .<br />

-5 -10<br />

5<br />

1 0<br />

-9<br />

1<br />

. . .<br />

0<br />

2<br />

-3<br />

7. . . 2 4<br />

-6<br />

-8 3 9 -11<br />

-12 -2<br />

-1...<br />

8. . .<br />

-7 4<br />

En este contexto, a <strong>la</strong>s c<strong>la</strong>ses <strong>de</strong> equivalencia se les <strong>de</strong>nomina c<strong>la</strong>ses residuales módulo m y el<br />

conjunto cociente se <strong>de</strong>nota con Zm (o también Z/mZ) en vez <strong>de</strong> Z/ ≡m . Por ejemplo<br />

Por abuso <strong>de</strong>l lenguaje, es usual poner<br />

EJEMPLO 3.12<br />

Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}<br />

Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}<br />

Muestre que si p > 3 es primo, p es <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma 6k ± 1.<br />

Solución: p <strong>de</strong>be estar en alguna <strong>de</strong> <strong>la</strong>s c<strong>la</strong>ses <strong>de</strong> Z6. No está en 0,2 ni 4 pues estas c<strong>la</strong>ses<br />

solo contienen pares.No está en 3 pues esta c<strong>la</strong>se solo contiene múltiplos <strong>de</strong> 3. Así que<br />

p ∈ 1 o p ∈ 5 = −1. Es <strong>de</strong>cir, p es <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma 6k ± 1. Observe que 2 ∈ 2 y 3 ∈ 3.<br />

Conjunto <strong>de</strong> representantes <strong>de</strong> Zm.<br />

En <strong>la</strong>s aplicaciones a veces se usan otros conjuntos <strong>de</strong> representantes para <strong>la</strong>s c<strong>la</strong>ses.<br />

3

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