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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

46 CONGRUENCIAS EJEMPLO

46 CONGRUENCIAS EJEMPLO 3.11 La relación “≡5 ” particiona Z en 5 clases pues al dividir por 5 solo hay posibilidad de cinco residuos:0,1,2,3 o 4. El conjunto cociente es Z/ ≡5= {0, 1, 2, 3, 4}. 0 = {5k : k ∈ Z} = {0,±5,±10,...} 1 = {5k + 1 : k ∈ Z} = {...,−9,−4,1,6,11,...} 2 = {5k + 2 : k ∈ Z} = {...,−8,−3,2,7,12,...} 3 = {5k + 3 : k ∈ Z} = {...,−7,−2,3,8,13,...} 4 = {5k + 4 : k ∈ Z} = {...,−6,−1,4,9,14,...} Figura 3.1 = 11 6 -4 10 . . . -5 -10 5 1 0 -9 1 . . . 0 2 -3 7. . . 2 4 -6 -8 3 9 -11 -12 -2 -1... 8. . . -7 4 En este contexto, a las clases de equivalencia se les denomina clases residuales módulo m y el conjunto cociente se denota con Zm (o también Z/mZ) en vez de Z/ ≡m . Por ejemplo Por abuso del lenguaje, es usual poner EJEMPLO 3.12 Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} Muestre que si p > 3 es primo, p es de la forma 6k ± 1. Solución: p debe estar en alguna de las clases de Z6. No está en 0,2 ni 4 pues estas clases solo contienen pares.No está en 3 pues esta clase solo contiene múltiplos de 3. Así que p ∈ 1 o p ∈ 5 = −1. Es decir, p es de la forma 6k ± 1. Observe que 2 ∈ 2 y 3 ∈ 3. Conjunto de representantes de Zm. En las aplicaciones a veces se usan otros conjuntos de representantes para las clases. 3

Si m es impar, la representación simétrica de Zm es {− m − 1 ,...,−1, 0, 1,. . . 2 m − 1 } 2 Si p es primo, existe b ∈ Z tal que Zm = {0,b,b 2 ,...,b p−1 } EJEMPLO 3.13 Z5 = {0,1,2,3,4} Suma y producto en Zm . = {−2,−1,0,1,2} pues − 2 ≡ 3 (mod 5) y − 1 ≡ 4 (mod 5), = {0,3,3 2 ,3 3 ,3 4 } pues 3 2 ≡ 4 (mod 5), 3 3 ≡ 2 (mod 5), 3 4 ≡ 1 (mod 5) Ahora nos interesa ver Zm desde el punto de vista de su estructura algebraica. Esto no solo nos permite usar un lenguaje común, sino que también nos permite usar resultados generales de la teoría de grupos, por ejemplo. Podemos definir operaciones de suma y producto en Zm de la siguiente manera: a + b = (a + b) mod m i.e. a + b es el resto de dividir a + b por m a · b = (a · b) mod m i.e. a · b es el resto de dividir a · b por m EJEMPLO 3.14 En Z7, 5 + 6 = 11 mod 7 = 4 5 · 30 = 150 mod 7 = 3 Propiedades de la suma y producto en Zm . Con estas operaciones, si m ≥ 2, Zm es anillo conmutativo con identidad. Si a,b,c ∈ Zm, (1) a + b ∈ Z, (2) a + b = b + a, (3) a + (b + c) = (a + b) + c, (4) a + 0 = 0 + a = a, (5) el inverso aditivo de a es −a (1’) a · b ∈ Z, (2’) a · (b + c) = a · b + a · c y (b + c) · a = b · a + c · a, (3’) a · 1 = a. 47

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