Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital
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48 CONGRUENCIAS<br />
Inversos módulo m (unida<strong>de</strong>s) y divisores <strong>de</strong> cero.<br />
Sea a ∈ Zm, a es una unidad si tiene inverso, es <strong>de</strong>cir, si existe b ∈ Zm tal que ba ≡ ab ≡<br />
1 (mod m). En este caso ponemos a −1 = b. Por ejemplo, 2 · 3 ≡ 1 (mod 5), entonces el inverso<br />
<strong>de</strong> 2, módulo 5, es 3 y viceversa.<br />
Por otra parte, a �= 0, es divisor <strong>de</strong> cero en Zm si existe b ∈ Zm, b �= 0, tal que ab = 0. Por<br />
ejemplo, 2 · 3 ≡ 0 (mod 6), entonces 2 y 3 son divisores <strong>de</strong> cero en Z6.<br />
Teorema 3.4 En Zm,<br />
(i) a es una unidad si y solo si mcd(a,m) = 1;<br />
(ii) a es divisor <strong>de</strong> cero si y solo si 1 < mcd(a,m) < m;<br />
Prueba: (i) ab ≡ 1 (mod m) si y solo si existe k ∈ Z tal que ab + mk = 1, es <strong>de</strong>cir, si y solo si<br />
mcd(a,m) = 1.<br />
(ii) Sea a > 1 y d = mcd(a,m).<br />
“⇒”: Como a es divisor <strong>de</strong> cero, sea b �= 0, tal que ab = 0. Supongamos, por contradicción,<br />
que d = 1 o d = m. Si d = 1 ∧ m|ab =⇒ m|b, pero esto no pue<strong>de</strong> ser pues b �≡ 0 mod (m). Si<br />
d = m =⇒ m|a pero esto no pue<strong>de</strong> ser pues a �≡ 0 mod (m).<br />
“⇐”: Como 1 < d < m y d|m, existe k tal que dk = m y 1 < k < m. Entonces k �= 0 y dk = 0.<br />
Por tanto, si a = dk ′ , ak = dkk ′ = 0, es <strong>de</strong>cir, a es divisor <strong>de</strong> cero.<br />
EJEMPLO 3.15<br />
Sea m = 9. Si construimos una tab<strong>la</strong> <strong>de</strong> multiplicar para Z9 po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>tectar <strong>la</strong>s unida<strong>de</strong>s<br />
y los divisores <strong>de</strong> cero (si hubiera). La otra manera es usar el teorema (3.4)<br />
(Z9,·) 1 2 3 4 5 6 7 8<br />
1 1 2 3 4 5 6 7 8<br />
2 2 4 6 8 1 3 5 7<br />
3 3 6 0 3 6 0 3 6<br />
4 4 8 3 7 2 6 1 5<br />
5 5 1 6 2 7 3 8 4<br />
6 6 3 0 6 3 0 6 3<br />
7 7 5 3 1 8 6 4 2<br />
8 8 7 6 5 4 3 2 1<br />
Figura 3.2 Tab<strong>la</strong> <strong>de</strong> multiplicar para Z9<br />
a 1 2 3 4 5 6 7 8<br />
mcd(a,9) 1 1 3 1 1 3 1 1<br />
Figura 3.3 Aplicando el teorema (3.4)