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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

48 CONGRUENCIAS Inversos

48 CONGRUENCIAS Inversos módulo m (unidades) y divisores de cero. Sea a ∈ Zm, a es una unidad si tiene inverso, es decir, si existe b ∈ Zm tal que ba ≡ ab ≡ 1 (mod m). En este caso ponemos a −1 = b. Por ejemplo, 2 · 3 ≡ 1 (mod 5), entonces el inverso de 2, módulo 5, es 3 y viceversa. Por otra parte, a �= 0, es divisor de cero en Zm si existe b ∈ Zm, b �= 0, tal que ab = 0. Por ejemplo, 2 · 3 ≡ 0 (mod 6), entonces 2 y 3 son divisores de cero en Z6. Teorema 3.4 En Zm, (i) a es una unidad si y solo si mcd(a,m) = 1; (ii) a es divisor de cero si y solo si 1 < mcd(a,m) < m; Prueba: (i) ab ≡ 1 (mod m) si y solo si existe k ∈ Z tal que ab + mk = 1, es decir, si y solo si mcd(a,m) = 1. (ii) Sea a > 1 y d = mcd(a,m). “⇒”: Como a es divisor de cero, sea b �= 0, tal que ab = 0. Supongamos, por contradicción, que d = 1 o d = m. Si d = 1 ∧ m|ab =⇒ m|b, pero esto no puede ser pues b �≡ 0 mod (m). Si d = m =⇒ m|a pero esto no puede ser pues a �≡ 0 mod (m). “⇐”: Como 1 < d < m y d|m, existe k tal que dk = m y 1 < k < m. Entonces k �= 0 y dk = 0. Por tanto, si a = dk ′ , ak = dkk ′ = 0, es decir, a es divisor de cero. EJEMPLO 3.15 Sea m = 9. Si construimos una tabla de multiplicar para Z9 podemos detectar las unidades y los divisores de cero (si hubiera). La otra manera es usar el teorema (3.4) (Z9,·) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2 4 6 8 1 3 5 7 3 3 6 0 3 6 0 3 6 4 4 8 3 7 2 6 1 5 5 5 1 6 2 7 3 8 4 6 6 3 0 6 3 0 6 3 7 7 5 3 1 8 6 4 2 8 8 7 6 5 4 3 2 1 Figura 3.2 Tabla de multiplicar para Z9 a 1 2 3 4 5 6 7 8 mcd(a,9) 1 1 3 1 1 3 1 1 Figura 3.3 Aplicando el teorema (3.4)

Así, las unidades de Z8 son 1,2,4,5,7,8 y los divisores de cero son 3,6. Si p es primo, entonces mcd(i, p) = 1 para todo i = 1,2,..., p − 1. Así, en Zp todo elemento tiene inverso y no hay divisores de cero. Zm es un campo si y solo si m es primo. En el mundillo del álgebra, si p es primo, se usa a Zp como el “representante” de los campos finitos con p elementos y se le denota Fp. Sistemas de residuos. Como ya dijimos, hay distintos conjuntos de representantes de Zm. Vamos a establecer un par de lemas que serán de mucha utilidad al hora de establecer los teoremas clásicos en teoría de números. ¿Cómo determinar si dado {a1, a2,..., am}, se tiene Zm = {a1, a2,..., am}?. Sea |A| la cardinalidad del conjunto A. Si A y B son conjuntos finitos, A ⊆ B y |A| = |B|, entonces A = B. Este hecho lo podemos aplicar de la siguiente manera: Como A = {a1, a2, . . ., am} = {a1 mod m, a2 mod m,..., am mod m} ⊆ {0,1,...,m − 1}, entonces Zm = A si |A| = m. Para probar que |A| = m, necesitamos probar que A tiene m elementos distintos módulo m, es decir, a i �≡ a j (mod m) si i �= j, 1 ≤ i, j ≤ m. Lema 3.1 Sea mcd(a,m) = 1, entonces Zm = {0, a, a · 2,..., a · (m − 1)} Prueba: Es claro que A = {0, a, a · 2, . . ., a · (m − 1)} ⊆ {0,1,...,m − 1}. Solo hay que probar que A tiene m elementos, es decir, los elementos de A no se repiten módulo m. Para ver esto, supongamos por contradicción que existe i, j ∈ {1,2,...,m − 1}, i �= j, tal que a · i ≡ a · j (mod m). Entonces, como mcd(a,m) = 1, cancelando obtenemos i ≡ j (mod m), contradicción. La aplicación práctica que vamos a encontrar frecuentemente es la que se establece en el siguiente corolario, Corolario 3.1 Si mcd(a,m) = 1, entonces Prueba: Ejercicio. a · 1 · a · 2 · · · a · (m − 1) ≡ 1 · 2 · · · (m − 1) (mod m) 49

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