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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

50 CONGRUENCIAS 3.6

50 CONGRUENCIAS 3.6 Congruencias lineales Es fácil e inmediato resolver la ecuación x + a ≡ b (mod m) : x ≡ b − a (mod m.) Consideremos la ecuación ax ≡ b (mod m) : hay un k ∈ Z tal que b − ax = mk o b = mk + ax. Como ya vimos en la sección sobre ecuaciones diofánticas lineales, b = mk + ax tiene solución si y sólo si mcd(a,m)|b. Si esta es la situación, hay un k ′ ∈ Z tal que b = k ′ · mcd(a,m) y entonces, utilizando el algoritmo extendido de Euclides, determinamos s,t ∈ Z tal que mcd(a,b) = sa + tm =⇒ b = k ′ sa + k ′ tm y una solución sería x = k ′ s. EJEMPLO 3.16 Determinar una solución de 2x ≡ 5 (mod 7). Solución: Como mcd(2,7) = 1 y 1|5, la ecuación tiene solución. Como el módulo es pequeño, podemos encontrar una solución por ensayo y error: Sustituimos los valores x = 0,1,2,...,6 y buscamos los valores de x que satisfacen la congruencia. En este caso obtenemos la solución x = 6. Esta solución es única módulo 7. Si el módulo es muy grande, podemos encontrar una solución usando algoritmo extendido de Euclides: 1 = −3 · 2 + 1 · 7 =⇒ 5 = −15 · 2 + 5 · 7. Así, x = −15 es una solución. La reducción módulo 7 nos da x = 6. Inversos módulo m Teorema 3.5 Si mcd(a,m) = 1 entonces ax ≡ 1 (mod m) tiene solución única x = a −1 módulo m. Prueba: Resolver la congruencia ax ≡ 1 (mod m) es equivalente a resolver la ecuación ax + my = 1. Como mcd(a,m) = 1, existen s,t ∈ Z tal que sa + tm = 1, con lo que tenemos la solución x = s para la ecuación ax ≡ 1 (mod m). La unicidad módulo m significa que si as ≡ 1 (mod m) y as ′ ≡ 1 (mod m), entonces s ≡ s ′ (mod m). Para verificar que la solución es única módulo m, supongamos que as ′ ≡ 1 (mod m), luego, restando tenemos a(s − s ′ ) ≡ 0 (mod m) =⇒ m|a(s − s ′ ) pero como mcd(a,m) = 1 entonces m|(s − s ′ ) =⇒ s ≡ s ′ (mod m). Si sa + tm = 1, en la práctica tomamos a −1 = s mod m. EJEMPLO 3.17

Como mcd(27,31) = 1 entonces 27 tiene inverso módulo 31. Aplicando el algoritmo extendido de Euclides obtenemos −8 · 27 + 7 · 31 = 1. Así a −1 = −8. En la práctica nos interesa la solución a −1 = −8 mod 31 = 23 (pues −8 = −1 · 31 + 23). Solución general. Podemos aplicar la teoría de ecuaciones diofánticas lineales para obtener el siguiente resultado, Teorema 3.6 ax ≡ b (mod m) tiene solución si y sólo si d = mcd(a,m)|b. Si x0 es una solución particular, la solución general es x ≡ x0 (mod m/d), es decir, obtenemos las ‘d’ soluciones módulo m, x = x0 + m t con 0 ≤ t < d d Prueba: Para la prueba vamos a usar los teoremas (2.10) y (2.12) de la sección de ecuaciones diofánticas. Si ax ≡ b (mod m), entonces hay un k ∈ Z tal que ax − mk = b. Esta ecuación diofántica tiene solución si y solo si d = mcd(a,m)|b. Si una solución particular es x = x0, entonces la solución general es x = x0 + m t, con t ∈ Z (aquí solo interesa x ). Solo falta probar d que solo hay d soluciones distintas módulo m. Si x0 + m d t1 ≡ x0 + m d t2 (mod m), usando el hecho de que (m/d)|m, obtenemos que t1 ≡ t2 (mod d), es decir, x0 + m d t1 y x0 + m d t2 son soluciones distintas módulo m si y solo si t1 y t2 están en clases distintas de Zd. Esto nos deja solo las d posibilidades t = 0,1,...,d − 1. Corolario 3.2 Si p es primo y mcd(a, p) = 1, la ecuación lineal ax ≡ b (mod m) tiene solución única x ≡ a −1 b (mod p). Prueba: Ejercicio. EJEMPLO 3.18 Resolver 2x ≡ 5 (mod 7). Solución: como mcd(2,7) = 1, la ecuación tiene solución única módulo 7. La solución es x ≡ 2 −1 · 5 (mod 7); como 4 · 2 ≡ 1 (mod 7), x ≡ 4 · 5 ≡ 6 (mod 7). Así, la solución es x = 6. EJEMPLO 3.19 Resolver 42x ≡ 50 (mod 76). Solución: Usando el algoritmo extendido de Euclides obtenemos la solución particular x = −225 ≡ 3 (mod 76). Ahora, como mcd(42,76) = 2, la solución general es x ≡ 3 (mod 38), es decir, x = 3 + 38t. La ecuación tiene dos soluciones módulo 76, a saber x = 3 y x = 41. 51

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