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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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54 CONGRUENCIAS Para

54 CONGRUENCIAS Para probar la unicidad módulo M supongamos que x1 y x2 son soluciones del sistema, vamos a demostrar que x1 ≡ x2 (mod M). Puesto que x1 ≡ a j (mod m j) y x2 ≡ a j (mod m j) para 1 ≤ j ≤ k, restando x1 − x2 ≡ 0 (mod m j), luego m j|(x1 − x2) para cada j. Entonces mcm(m1 · m2 · · · m k)|(x1 − x2), es decir, M|(x1 − x2) pues también M = mcm(m1 · m2 · · · m k). Por tanto, x1 − x2 ≡ 0 (mod M), es decir x1 ≡ x2 (mod M). EJEMPLO 3.23 Resolver el sistema que sigue, usando el método del teorema anterior. x ≡ 1 (mod 3), x ≡ 2 (mod 5), x ≡ 3 (mod 7). Solución: M = 3 · 5 · 7 = 105, M1 = 35, M2 = 21, M3 = 15. Luego, y1 ≡ M −1 1 (mod 3) =⇒ y1 ≡ 2 (mod 3) y2 ≡ M −1 2 (mod 5) =⇒ y2 ≡ 1 (mod 5) y3 ≡ M −1 3 (mod 7) =⇒ y3 ≡ 1 (mod 7) Así, x = a1M1y1 + a2M2y2 + a3M3y3 = 1 · 35 · 2 + 2 · 21 · 1 + 3 · 15 · 1 = 157 ≡ 52 (mod M) Podemos decir, la solución única es x ≡ 52 (mod M). Sistemas con módulos no coprimos dos a dos Si los módulo no son coprimos dos a dos, el sistema podría tener solución en las condiciones del siguiente teorema, Teorema 3.8 El sistema x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) . . . x ≡ a k (mod m k) tiene solución si y solo si mcd(m i,m j)|(a i − a j), 1 ≤ i, j ≤ k. Cuando hay solución, es única módulo mcm(m1 · m2 · · · m k).

Si hay solución, se puede obtener despejando y sustituyendo como en el ejemplo (3.22). 3.8 Congruencias de Orden Superior Consideremos de manera general el problema de resolver la congruencia P(x) ≡ 0 (mod m) con P(x) un polinomio con coeficientes enteros. La manera directa (y no muy eficiente) de resolver este problema es probar con x = 0,1,...,m − 1. EJEMPLO 3.24 Resolver x 2 + x − 2 ≡ 0 (mod 10). Solución: Probamos sustituyendo x = 0,1,...,9 y encontramos las soluciones x = 1,3,6,8. Si m no es la potencia de un primo, el problema se puede reducir a resolver un sistema con módulos menores que m, usando el teorema chino del resto. Teorema 3.9 Sea m = m1 · m2 · · · m k con m1,m2,··· ,m k primos relativos dos a dos. x = a es una solución de P(x) ≡ 0 (mod m) si y solo si a es solución del sistema P(x) ≡ 0 (mod m1) P(x) ≡ 0 (mod m2) . . . P(x) ≡ 0 (mod m k) Prueba: Si P(a) ≡ 0 (mod M), entonces P(a) ≡ 0 (mod m i), i = 1,2,...,k. Ahora supongamos que x = a es solución del sistema, es decir, P(a) ≡ 0 (mod m1) P(a) ≡ 0 (mod m2) . . . P(a) ≡ 0 (mod m k) El teorema chino del resto nos dice que P(a) ≡ 0 (mod m1 · m2 · · · m k), es decir, x = a es solución de P(x) ≡ 0 (mod m). EJEMPLO 3.25 Resolver x 2 + x − 2 ≡ 0 (mod 10). Solución: Como 10 = 2 · 5, podemos resolver el sistema 55

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