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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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56 CONGRUENCIAS P(x) ≡

56 CONGRUENCIAS P(x) ≡ 0 (mod 2) P(x) ≡ 0 (mod 5) La ganancia sería resolver congruencias con un módulo más pequeño. Por ensayo y error, P(x) ≡ 0 (mod 2) tiene soluciones x = 0,1 P(x) ≡ 0 (mod 5) tiene soluciones x = 1,3 La solución del problema requiere resolver los cuatro sistemas � x ≡ 0 (mod 2) x ≡ 1 (mod 5) , � x ≡ 0 (mod 2) x ≡ 3 (mod 5) , � x ≡ 1 (mod 2) x ≡ 1 (mod 5) , � x ≡ 1 (mod 2) x ≡ 3 (mod 5) . Las solución de cada uno de los cuatro sistemas son x = 6,8,1,3, respectivamente. Por tanto, la solución de la congruencia x 2 + x − 2 ≡ 0 (mod 10) es x = 1,3,6,8. EJERCICIOS 3.1 Hacer las pruebas que se dejaron como ejercicio. 3.2 Calcule el inverso de a = 7 módulo m = 211. 3.3 Si llamamos a los días de la semana por un número 0 ≤ d < 7 (0 = domingo, 6 = sábado), describa un algoritmo (usando congruencias) que, sabiendo que hoy es el día d, nos diga qué día será en n días? Por ejemplo, si hoy es domingo (0), en 7 días es domingo. Por ejemplo, si hoy es lunes(d = 1), ¿qué día es en 374 días?. 3.4 Probar que todo entero es congruente con exactamente uno de los residuos {0,1,2,...,m − 1} módulo m. 3.5 Muestre que todo primo p > 3 es congruente con 1 o con 5 módulo 6. Ayuda: Use el ejercicio anterior. 3.6 Sea S = {2,3,5,7,11,13,17,...} = {2,3} ∪ {6k ± 1 : k = 1,2,...}. Muestre que S contiene a todos los primos. Ayuda: 2,3 ∈ S. Solo falta verificar que si p es primo > 3, entonces p ∈ S. 3.7 Muestre que si p es primo y p ∤ a, la ecuación ax ≡ b (mod p) tiene solución única, módulo p, x ≡ a p−2 b (mod p). 3.8 ¿Z7 = {0,1,−2,4,−8,16,−32}? 3.9 Mostrar que si a ∈ Z, Zm = {a, a + 1, ... , a + m − 1}. 3.10 Mostrar que si m es impar, Zm = {− m − 1 ,...,−1, 0, 1,. . . 2 m − 1 } 2 3.11 Muestre que si mcd(b,m) > 1, entonces Zm �= {0,b · 1,b · 2,...,b · (m − 1)} 3.12 Sea p primo, muestre que si mcd(a, p) = 1, entonces mcd(a −1 , p) = 1. 3.13 Muestre que si k ≥ 5 entonces k! ≡ 0 (mod 15) 3.14 Muestre que 3! + 4! + 5! + · · · + 100! es divisible por 15.

EJERCICIOS 57 3.15 Muestre que N = 11 · 14 n + 1 es compuesto. Ayuda: Si n es par, iniciar con 14 ≡ −1 (mod 3) y recalcular N módulo 3. Si n es impar, iniciar con 14 ≡ −1 (mod 5) y recalcular N módulo 5. 3.16 Muestre que si P(x) es un polinomio con coeficientes enteros y si a ≡ b (mod m) entonces P(a) ≡ P(b) (mod m). 3.17 Dé un ejemplo que muestre que (a ≡ b (mod p) y si p|m) �=⇒ a ≡ b mod (m) 3.18 Sea p un divisor no trivial de m. Muestre que si x i ≡ x j (mod p) ∧ x i �≡ x j mod (m), entonces mcd(x i − x j, m) es un divisor no trivial de m. 3.19 Muestre que si p ≡ 1 (mod 4) y p ≡ 1 (mod 3), entonces p ≡ 1 (mod 12). Ayuda: Corolario (2.7). 3.20 Muestre que si p ≡ 3 (mod 4) y p ≡ 2 (mod 3), entonces p ≡ 7 (mod 12). Ayuda: Corolario (2.7). 3.21 Muestre que 4 3q ≡ 1 (mod 9), q ∈ N. 3.22 Muestre que para cada n ∈ N, 4 n ≡ 1 (mod 9) o 4 n ≡ 4 (mod 9) o 4 n ≡ 7 (mod 9) Ayuda: Calcule primero 4 t mod9 para t = 0,1,2,3. Luego use el algoritmo de la división: 4 n = 4 3q+r . 3.23 Muestre que 6 · 4 n ≡ 6 (mod 9) pata todo n ≥ 0. 3.24 Muestre que (a1 + a2) 2 ≡ (a2 1 + a2 2 ) (mod 2) 3.25 Muestre que (a1 + a2 + ... + an) 2 ≡ (a 2 1 + a2 2 + ... + a2 n) (mod 2) 3.26 Muestre que si 0 ≤ r < m y a ≡ r (mod m), entonces amodm = r 3.27 Muestre que m1,m2,...,m k ∈ Z + y si a ≡ b (mod m i), i = 1,2,...,k; entonces a ≡ b (mod mcm(m1m2 · · · m k)) 3.28 Verifique que 11 2 ≡ 1 (mod 5) y 11 ≡ 1 (mod 5) pero 11 �≡ −1 mod 5 3.29 Muestre que si p es primo y si mcd(a, p) = 1, entonces si a 2 ≡ 1 (mod p) =⇒ a ≡ 1 (mod p) o a ≡ −1 (mod p). Indique además, ¿porqué se requiere la hipótesis mcd(a, p) = 1,? 3.30 Muestre que a 2 ≡ a (mod 2) para todo a ∈ Z 3.31 Muestre que si ra ≡ rb (mod rm) entonces a ≡ b (mod m). 3.32 Sean a,b enteros positivos < m. Muestre que a �≡ b mod m 3.33 Dé un ejemplo en el que mcd(a,m) = 1 y mcd(b,m) = 1 y que a ≡ b (mod m). 3.34 Calcule el más pequeño entero positivo n que deja residuo 3 al dividir por 7, residuo 4 al dividir por 9 y residuo 8 cuando se divide por 11. 3.35 Resuelva el sistema x ≡ 21 (mod 3), x ≡ 32 (mod 5), x ≡ 3 (mod 7), x ≡ 9 (mod 11), x ≡ 2 (mod 2), x ≡ 1 (mod 97).

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