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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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58 CONGRUENCIAS 3.36 Un

58 CONGRUENCIAS 3.36 Un niño tiene una bolsa con bolinchas. Si las agrupa en puños de 7, le sobran 5, Si las agrupa en puños de 11, le sobran 6, Si las agrupa en puños de 13, le sobran 8. Determine el mínimo número de bolinchas que podría tener el niño. 3.37 � x ≡ 2 (mod 4) Muestre que el sistema x ≡ 3 (mod 6) no tiene solución. Ayuda: Use el método de sustitución y Bezout. 3.38 Calcule el más pequeño entero positivo n tal que 2|n, 3|n + 1, 5|n + 2, 7|n + 3, y 11|n + 4. 3.39 Resuelva el sistema x ≡ 4 (mod 6), x ≡ 2 (mod 8), x ≡ 1 (mod 9). 3.40 Resolver x 5 − 3x 4 + x − 2 ≡ 0 (mod 165).

235711 4 131719 232931 235711 POTENCIAS mod m 4.1 Orden de un elemento módulo m. Sea mcd(a, p) = 1, entonces p ∤ a s si s ≥ 1. Como a, a 2 , a 3 ,..., a p son p elementos no nulos del conjunto de p − 1 residuos {1,2,..., p − 1}, entonces al menos dos se tienen que repetir: Existen s �= t tal que a s ≡ a t (mod p). La parte importante aquí es ver que si s = t + r, entonces, como mcd(a t , p) = 1, a t tiene inverso, así a s ≡ a t (mod p) =⇒ a t+r ≡ a t (mod p) =⇒ a r ≡ 1 (mod p). EJEMPLO 4.1 En Z7, {2,2 2 ,2 3 ,2 4 ,2 5 ,2 6 ,2 7 } = {2,4,1,2,4,1,2}. En particular, 2 2 ≡ 2 5 (mod 7), entonces 2 3 ≡ 1 (mod 7) Teorema 4.1 Si mcd(a,m) = 1 entonces a t ≡ 1 (mod m) para algún 1 ≤ t < m. Prueba: Se trata de refinar un poco el argumento que se dio más arriba, así que se deja como ejercicio. Definición 4.1 Sea m ≥ 2. Si mcd(a,m) = 1, el orden de “a” módulo m es el más pequeño entero positivo t tal que a t ≡ 1 (mod m) Si denotamos t = Ordm(a), a t ≡ 1 (mod m) pero a s �≡ 1(modm) si 0 < s < t EJEMPLO 4.2 El orden de 2 módulo 7 es t = 3 pues 2 3 ≡ 1 (mod 7) pero 2 2 �≡ 1(mod7) y 2 1 �≡ 1(mod7). Observemos que 2 6 ≡ 1 (mod 7) y 3|6. 59 Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)

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