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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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60 POTENCIAS mod m

60 POTENCIAS mod m Teorema 4.2 Si Ordm(a) = t y a s ≡ 1 (mod m), entonces t|s. Prueba: Si s = kt + r con 0 ≤ r < t, se tiene que a s ≡ a kt+r (mod m) =⇒ a r ≡ 1 (mod m). Pero como 0 ≤ r < t y t es el orden de a, a r ≡ 1 (mod m) solo si r = 0. Si conocemos el orden de un número módulo m, podríamos ganar algo en el cálculo del orden de otros elementos de Zm : Si a tiene orden t módulo m y queremos calcular el orden de a d , ya se sabe que a dt ≡ 1 (mod m) pero el orden de a d es ≤ dt, en realidad tenemos, Teorema 4.3 Si Ordm(a) = t, entonces el orden de a d es q = Prueba: a mcm(d,t) ≡ 1 (mod m) pues t|mcm(d,t). Tenemos, Como mcm(d,t) = dt mcd(d,t) (a d ) mcm(d,t) d ≡ 1 (mod m) =⇒ mcm(d,t) d t = t mcd(d,t) t , entonces mcd(d,t) (a d ) mcd(d,t) ≡ 1 (mod m) si d > 0 Falta probar que el orden de ad t es mcd(d,t) : Si (ad ) s = ads ≡ 1 (mod m) entonces t|ds. Así, ds es múltiplo de t y es múltiplo de d, por tanto, ds ≥ mcm(d,t) =⇒ s ≥ mcm(d,t) d EJEMPLO 4.3 = t mcd(d,t) . El orden de 2 módulo 7 es t = 3, entonces el orden de 4 = 2 2 es 4 3 ≡ 1 (mod 7.) El orden de 3 módulo 163 es 162, entonces el orden de 3 26 es 4.2 El Teorema “pequeño” de Fermat. 3 = 3, i.e. mcd(2,3) 162 = 81. mcd(26,162) Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)

Para establecer el teorema “pequeño” de Fermat 3 , observemos que (a · 1) (a · 2) · · · (a · (p − 1)) = a p−1 (1 · 2···(p − 1)) Pero podemos probar que a · 1, a · 2,··· , a · (p − 1) es una permutación del conjunto {1,2,..., p − 1}. Luego, si mcd(a, p) = 1, cancelando tendríamos a p−1 ≡ 1 (mod p.) EJEMPLO 4.4 Sea a = 270 y p = 7. 270 · 1 ≡ 4 (mod 7) 270 · 2 ≡ 1 (mod 7) 270 · 3 ≡ 5 (mod 7) 270 · 4 ≡ 2 (mod 7) 270 · 5 ≡ 6 (mod 7) 270 · 6 ≡ 3 (mod 7) Así, 270 6 (1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6) ≡ (270 · 1)(270 · 2)(270 · 3)(270 · 4)(270 · 5)(270 · 6) (mod7) ≡ (4 · 5 · 6 · 1 · 2 · 3)(mod7) entonces, 270 6 (1 · 2···6) ≡ (1 · 2···6) (mod 7) =⇒ 270 6 ≡ 1 (mod 7) Antes de enunciar el teorema, establecemos el lema Lema 4.1 Sea p primo y mcd(a, p) = 1, entonces a · 1 · a · 2 · · · a · (p − 1) ≡ 1 · 2 · · · (p − 1) (mod p) Prueba: Aplicación directa del lema (3.1) y el corolario (3.1) Teorema 4.4 (Teorema “pequeño” de Fermat) Sea p primo y a ∈ Z. Si mcd(a, p) = 1 entonces, si p|a entonces, 3 a p−1 ≡ 1 (mod p) a p ≡ a (mod p.) El 18 de octubre de 1640, Fermat escribió una carta a Bernhard Frenicle de Bessy (1605- 1675), un funcionario de la Casa de la Moneda francesa, excelente alumno en teoría de los números. En su carta, Fermat comunica el resultado siguiente: Si p es primo y p ∤ a entonces p|a P. Fermat (1601-1665) p−1 − 1. Fermat no presentó una prueba de este resultado, pero una nota adjunta prometía enviar una demostración, siempre que no resultara demasiado extensa. Sin embargo, la primera prueba conocida la dio Euler un siglo después. Este resultado es conocido como el “pequeño” teorema de Fermat para diferenciarlo del “último teorema de Fermat” (1637): La ecuación xn + yn = zn no tiene soluciones enteras positivas mostrado por A.Wiles en 1995.) 61 si n > 2 (de

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