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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

64 POTENCIAS mod m Así,

64 POTENCIAS mod m Así, ϕ(9) = 6 Teorema 4.6 p es primo si y solo si ϕ(p) = p − 1 Prueba: Si p es primo, los enteros 1,2,..., p − 1 son primos relativos con p y menores que p, entonces ϕ(p) = p − 1. Hay exactamente p − 1 enteros positivos inferiores a p. Como ϕ(p) = p − 1, ninguno de estos p − 1 enteros divide a p, es decir, p es primo. Corolario 4.2 Sea m es compuesto, ϕ(m) < m − 1. Prueba: Ejercicio. Teorema 4.7 Sea p primo y α > 1. ϕ(p α ) = p α − p α−1 = p α−1 (p − 1) Prueba: Debemos contar los coprimos con p α e inferiores a p α . Los números divisibles por p α e inferiores a él son los p α−1 números p, 2p,..., p α−1 p. Entonces, en el conjunto {1,2,..., p α } hay p α − p α−1 elementos coprimos con p α . EJEMPLO 4.10 ϕ(9) = ϕ(3 2 ) = 3 · 2 = 6 y ϕ(4) = ϕ(2 2 ) = 2 · 1 = 1 Si ϕ fuera multiplicativa, es decir, si ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m) cuando mcd(m,n) = 1, entonces ϕ(36) = ϕ(2 2 · 3 2 ) = ϕ(2 2 )ϕ(3 2 ) = 2 · 6 = 12. Y efectivamente, ϕ es multiplicativa. Para tener una guía para la demostración de este hecho, necesitamos un lema previo y un ejemplo numérico. Lema 4.2 Sean (n,m) = 1 y r un entero, entonces Zm = {r, n + r, 2n + r, ..., (m − 1)n + r} Prueba: Solo necesitamos probar que los m elementos de A = {r, n + r, 2n + r, ..., (m − 1)n + r} no se repiten módulo m. En efecto, si jn + r ≡ in + r (mod m), i �= j, 0 ≤ i, j ≤ m − 1; entonces, como mcd(n,m) = 1, j ≡ i (mod m) lo cual es imposible.

EJEMPLO 4.11 Sea n = 4 y m = 9. mcd(4,9) = 1. Para establecer una guía para la prueba del teorema, hacemos un arreglo con los números 1,2,...,36, ⎡ ⎢ ⎣ 1 5 9 13 17 21 25 29 33 2 6 10 14 18 22 26 30 34 3 7 11 15 19 23 27 31 35 4 8 12 16 20 24 28 32 36 La idea es eliminar números hasta que nos quede un arreglo rectangular ϕ(n) × ϕ(m). La fila i es i n + i 2n + i ... (m − 1)n + i. Como 2 no es primo relativo con n, entonces 2 ni la fila 2 n + 2 2n + 2 ... (m − 1)n + 2 es prima relativa con n, así que podemos quitar esta fila y, con el mismo argumento, podemos quitar la fila 4. ⎡ ⎢ ⎣ 1 5 9 13 17 21 25 29 33 � � � � � � � � � 3 7 11 15 19 23 27 31 35 � � � � � � � � � Las filas que quedan son las filas que inician con primos relativos de n, es decir quedan ϕ(n) = 2 filas. Ahora quitamos, en cada fila, los números que no son primos relativos con m, ⎡ ⎢ ⎣ 1 5 � 13 17 � 25 29 � � � � � � � � � � 3 7 11 � 19 23 � 31 � � � � � � � � � � ⎤ ⎥ ⎦ −→ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ � 1 5 13 17 25 29 3 7 11 19 23 31 En cada fila quedan ϕ(m) elementos, esto es así pues si hacemos reducción módulo m, por el lema anterior, la fila {i, n + i 2n + i ... (m − 1)n + i} se convierte en {0,2,...,m − 1}, y en este conjunto solo hay ϕ(m) elementos primos relativos con m. Finalmente el arreglo queda ϕ(n)ϕ(m). Recordemos que si mcd(a,b) = 1 y mcd(a,c) = 1, entonces mcd(a,bc) = 1. Así, el arreglo tiene todos los primos relativos con mn e inferiores a mn, es decir ϕ(nm). Teorema 4.8 ϕ es multiplicativa, i.e. si mcd(m,n) = 1 =⇒ ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m) Prueba: Consideremos el arreglo ⎡ ⎢ ⎣ 1 m + 1 2m + 1 . . . (n − 1)m + 1 2 m + 2 2m + 2 . . . (n − 1)m + 2 · · · i m + i 2m + i . . . (n − 1)m + i · · · m − 1 m 2m 3m . . . mn ⎤ ⎥ ⎦ � 65

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