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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

66 POTENCIAS mod m Si

66 POTENCIAS mod m Si mcd(i,n) �= 1, entonces los elementos de la fila i no son primos relativos con n. Si quitamos estas filas, quedan ϕ(n) filas r j n + r j 2n + r + j ... (m − 1)n + r j, j = 1,..., ϕ(n) con mcd(r j,n) = 1. Ahora, como Zm = {r j, n + r j, 2n + r + j, ..., (m − 1)n + r j}, entonces en cada fila de estas solo hay ϕ(m) números primos relativos con m. Finalmente nos queda un arreglo de ϕ(n) × ϕ(m) con números ambos primos relativos con n y m y por tanto, primos relativos con nm. Como todos son inferiores a nm, ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m). El teorema (4.8) nos permite calcular ϕ(n) de manera directa, si conocemos la factorización prima de n, EJEMPLO 4.12 EJEMPLO 4.13 Calcular Ord39(4). � ϕ (n) = ϕ ∏ k i=1 pα i i � = ∏ k i=1 pα i−1 i (pi − 1). ϕ(6566304875) = ϕ(5 3 · 13 2 · 310831) = 5 2 (5 − 1) · 13(13 − 1) · (310831 − 1) = 4848948000. ϕ(15) = ϕ(3 · 5) = ϕ(3)ϕ(5) = 2 · 4 = 8, pues mcd(3,5) = 1. Solución: Como ϕ(39) = 24, Ord39(4)|24. Por tanto, debemos probar solo con los divisores di de 24 hasta que 4d i ≡ 1 (mod 39). 4 ≡ 1 mod 39 4 2 ≡ 16 mod 39 4 3 ≡ 25 mod 39 4 6 ≡ 1 mod 39

Ord39(4) = 6. Teorema 4.9 Sea n = ∏ k i=1 pα i i , pi primo. Entonces � ϕ(n) = n 1 − 1 � � 1 − p1 1 � � · · · 1 − p2 1 � pk � p1 − 1 � � = n p1 − 1 Prueba: Si n = p α 1 , ϕ(n) = ϕ(pα 1 ) = pα − p α−1 = p α 1 Si n = ∏ k i=1 pα i i , ϕ(n) = ϕ � k ∏ p i=1 αi i � = k ∏ i=1 p α i i � 1 − 1 � pi p1 = n k ∏ i=1 p1 � 1 − 1 � pi Este teorema parece algo extraño, ¿para qué usar fracciones si podemos calcular ϕ(n) con enteros?. Es cierto. Pero esta forma de expresar ϕ será de mucha utilidad más adelante cuando aparezcan los factores 1 − 1/p i en productos infinitos. Por ahora, vamos a establecer un lema análogo al lema (4.1): a ϕ(m) ≡ 1 (mod m) si mcd(a,m) = 1. Para familiarizarnos, veamos primero un ejemplo. EJEMPLO 4.14 ϕ(12) = 4 cuenta los primos relativos con 12 que son inferiores a 12, es decir 1,5,7,11. Ahora, mcd(12,35) = 1 y 35 · 1 ≡ 11 (mod 12), 35 · 5 ≡ 7 (mod 12), 35 · 7 ≡ 5 (mod 12) y 35 · 11 ≡ 1 (mod 12). Así, {35 · 1,35 · 5,35 · 7,35 · 11} es una permutación de {1, 5, 7, 11}. EJEMPLO 4.15 Muestre que ϕ(n) = n/2 ⇐⇒ n = 2α . Solución: Si n = 2α el resultado es directo. En la otra dirección, si n = ∏ k i=1 pα i i y ϕ(n) = n/2, entonces ϕ(n) = n ∏ k i=1 (1 − 1/pi) = n/2, es decir, ∏ k i=1 (1 − 1/pi) = 1/2, por tanto k = 1 y p1 = 2, sino tendríamos una contradicción pues si k > 1, entonces ∏ k i=1 (1 − 1/pi) < 1/2. Finalmente, n = 2α Lema 4.3 Sea m entero positivo y mcd(a,m) = 1. Sea r 1 ,r 2 ,...,r ϕ(m) ϕ(m) enteros positivos ≤ m y primos relativos con m. Entonces {a · r j mod m : j = 1,..., ϕ(m)} es una permutación de los enteros r 1 ,r 2 ,...,r ϕ(m) . � . 67

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