Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

70 POTENCIAS mod m
a a n−1 mod 229 a (n−1)/2 mod 229 a (n−1)/3 mod 229 a (n−1)/19 mod 229
2 1 228 1 203
3 1 1 134 161
4 1 1 1 218
5 1 1 94 61
6 1 228 134 165
4.4 Teorema de Wilson
Tabla 4.1 n = 229 es primo según el teorema (4.12).
� �
n n!
Sean n, r enteros no negativos. Recordemos que 0! = 1 y si n ≥ r, = . Se puede
� �
r r!(n − r)!
n
probar que es un entero procediendo por inducción y usando la identidad de Pascal:
� � � �
r
� �
n n − 1 n − 1
= +
r r − 1 r
El teorema del binomio establece que si x,y ∈ R y n no negativo,
(x + y) n =
n
∑
k=0
� �
n
x
k
k y n−k
Se asume como convenio que 0 0 = 1 para el caso especial x �= 0, y = 0, n = 0.
��
�
�
Teorema 4.13 Si p es primo y 0 < r < p, entonces p �
p
� r
� �
p
Prueba: es un entero así que r!(p − r)!|p!. Como p ∤ r! y p ∤ ((p − r)!), entonces p ∤ r!(p − r)!.
r
Así r!(p − r)!|p! ∧ mcd(p,r!(p − r)!) = 1 =⇒ r!(p − r)!|(p − 1)!.
∴
� �
p
= p ·
r
(p − 1)!
r!(p − r)! .
Teorema 4.14 Si p es primo, entonces (x + y) p ≡ xp + yp (mod p) si x,y ∈ Z.
��
�
�
Prueba: Como p �
p
� r
si r = 1,2,..., p − 1, entonces
(x + y) p ≡
� �
p
y
0
p � �
p
+ x
1
1 y p−1 � �
p
+ · · · + x
p − 1
p−1 y 1 � �
p
+ x
p
p (mod p)
≡ 1 · y p + 0 + · · · + 0 + 1 · x p (mod p)
Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F.
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