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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

70 POTENCIAS mod m a a

70 POTENCIAS mod m a a n−1 mod 229 a (n−1)/2 mod 229 a (n−1)/3 mod 229 a (n−1)/19 mod 229 2 1 228 1 203 3 1 1 134 161 4 1 1 1 218 5 1 1 94 61 6 1 228 134 165 4.4 Teorema de Wilson Tabla 4.1 n = 229 es primo según el teorema (4.12). � � n n! Sean n, r enteros no negativos. Recordemos que 0! = 1 y si n ≥ r, = . Se puede � � r r!(n − r)! n probar que es un entero procediendo por inducción y usando la identidad de Pascal: � � � � r � � n n − 1 n − 1 = + r r − 1 r El teorema del binomio establece que si x,y ∈ R y n no negativo, (x + y) n = n ∑ k=0 � � n x k k y n−k Se asume como convenio que 0 0 = 1 para el caso especial x �= 0, y = 0, n = 0. �� � � Teorema 4.13 Si p es primo y 0 < r < p, entonces p � p � r � � p Prueba: es un entero así que r!(p − r)!|p!. Como p ∤ r! y p ∤ ((p − r)!), entonces p ∤ r!(p − r)!. r Así r!(p − r)!|p! ∧ mcd(p,r!(p − r)!) = 1 =⇒ r!(p − r)!|(p − 1)!. ∴ � � p = p · r (p − 1)! r!(p − r)! . Teorema 4.14 Si p es primo, entonces (x + y) p ≡ xp + yp (mod p) si x,y ∈ Z. �� � � Prueba: Como p � p � r si r = 1,2,..., p − 1, entonces (x + y) p ≡ � � p y 0 p � � p + x 1 1 y p−1 � � p + · · · + x p − 1 p−1 y 1 � � p + x p p (mod p) ≡ 1 · y p + 0 + · · · + 0 + 1 · x p (mod p) Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)

En general, si p es primo, entonces (x1 + x2 + · · · + xn) p ≡ x p 1 + xp 2 + · · · + xp n (mod p) si xi ∈ Z. Teorema 4.15 Sea p primo y P(x) = anx n + · · · + a1x + a0 ∈ Z[x] con an �≡ 0 (mod p). Entonces P(x) ≡ 0 (mod p) tiene a lo sumo n soluciones (enteras) distintas módulo p. Prueba: La prueba es por inducción sobre el grado de P.. Si n = 0 no hay soluciones pues a0 �≡ 0 (mod p). Si n = 1, la congruencia a1x + a0 ≡ 0 (mod p) tiene una solo solución (módulo p) pues a1x ≡ −a0 (mod p) tiene solución única módulo p si mcd(a1, p) = 1. Supongamos que el resultado es cierto para polinomios de grado ≤ n − 1. Para el resto de la prueba vamos a razonar por contradicción: Supongamos que P(x) = anx n + · · · + a1x + a0 tiene s > n soluciones a1, a2,..., as distintas módulo p. Consideremos ahora Q(x) = P(x) − an(x − a1)(x − a2) · · · (x − an). Observe que Q es de grado ≤ n − 1 pues Q(x) = P(x) − an(x − a1)(x − a2) · · · (x − an) = anx n + ... − (anx n + ...) y tiene al menos n raíces pues Q(x) ≡ 0 (mod p) si x = a1, x = a2,..., an. Por hipótesis de inducción, como Q tiene grado n − 1, la única posibilidad es que Q sea el polinomio nulo, es decir, Q(x) ≡ 0 (mod p) para toda x ∈ Z. En particular, Q(as) ≡ 0 (mod p), Entonces Q(as) ≡ P(as) − an(as − a1)(as − a2) · · · (as − an) (mod p) ≡ −an(as − a1)(as − a2) · · · (as − an) (mod p) ≡ 0 (mod p) Luego, p|an(as − a1)(as − a2) · · · (as − an) y como p ∤ an, p divide algún factor (as − a j) con lo que a j ≡ as (mod p) en contradicción con nuestra hipótesis. Teorema 4.16 Sea p primo. Entonces, x p−1 − 1 ≡ (x − 1)(x − 2) · · · (x − p + 1) (mod p) Prueba: Como p es primo y como p es coprimo con 1,2,..., p − 1, por el teorema de Euler tenemos, x p−1 ≡ 1 (mod p) para x = 1,2,..., p − 1. Entonces, x p−1 − 1 es un polinomio con p − 1 raíces. Usando el teorema (4.15) tenemos x p−1 − 1 ≡ (x − 1)(x − 2) · · · (x − p + 1) (mod p) si x = 1,2,..., p − 1 Pero, como Q(x) = x p−1 − 1 − (x − 1)(x − 2) · · · (x − p + 1) tiene grado ≤ p − 2 y p − 1 raíces, 71

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