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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

72 POTENCIAS mod m Q(x)

72 POTENCIAS mod m Q(x) ≡ 0 (mod p), es decir, x p−1 − 1 ≡ (x − 1)(x − 2) · · · (x − p + 1) (mod p) si x ∈ Z Teorema 4.17 (Teorema de Wilson) p es primo si y solo si (p − 1)! ≡ −1 (mod p) Prueba: Si p es primo, por el teorema (4.16), x p−1 − 1 ≡ (x − 1)(x − 2) · · · (x − (p − 1)) (mod p) para cualquier x ∈ Z. Poniendo x = 0, −1 ≡ (−1) p−1 1 · 2···(p − 1) (mod p). Si p es impar, obtenemos el resultado. Si p = 2 el resultado es directo. Si (p − 1)! ≡ −1 (mod p) y p tiene un divisor d, 1 < d < p, entonces d|(p − 1)! + 1 pero d|(p − 1)! pues 1 < d < p, así que d|1, contradicción. Es claro que no es práctico usar este teorema para verificar si p es o no primo. 4.5 Teorema de Carmichael El cálculo del orden de un número a puede ser complicado. Algo que nos puede ayudar es saber que este orden es inferior a ϕ(a) y un factor de la función λ(a) de Carmichael. Definición 4.3 (Función de Carmichael) Sean p, p1, p2,..., ps primos, la función λ se define así: λ(1) λ(2) λ(4) = = = 1, 1, 2, λ(2α ) = 2α−2 λ(p si α ≥ 3, α ) = ϕ(pα ) = pα−1 ⎫ ⎪⎬ (p − 1) si pi ≥ 3 y α ≥ 1, ⎪⎭ EJEMPLO 4.19 λ(n) = mcm(λ(p α1 1 ),λ(pα2 2 ),...,λ(pα k k )) si n = ∏k i=1 pα i i λ(1) = 1, λ(2) = 1, λ(3) = 2, etc. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 101 102 103 λ(n) 1 1 2 2 4 2 6 2 6 4 20 100 16 102 Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)

Teorema 4.18 (Teorema de Carmichael) Sean a,n ∈ Z + y mcd(a,n) = 1. Entonces a λ(n) ≡ 1 (mod n) Prueba: n = ∏ k i=2 2α p α i i , p i primo y mcd(a,n) = 1. Por la definición de la función λ, se tiene (1) a λ(2α ) ≡ 1 (mod 2 α ) (2) aλ(pα 1 1 ) ≡ 1 (mod p α1 1 ) (3) aλ(pα 2 2 ) ≡ 1 (mod p α2 2 ) . . . (k) a λ(pα k k ) ≡ 1 (mod p α k k ) Ahora, en la primera congruencia, elevamos a ambos lados a la potencia entera λ(n)/λ(2α ) y en la congruencia i−ésima elevamos a ambos lados a la potencia entera λ(n)/λ(p αi i ), obtenemos a λ(n) ≡ 1 (mod 2 α ) aλ(n) ≡ 1 (mod p α1 1 ) aλ(n) ≡ 1 (mod p α2 2 ) . . . aλ(n) ≡ 1 (mod p αk k ) Para concluir, recordemos que si m1,m2,...,m k ∈ Z + y si a ≡ b (mod m i), i = 1,2,...,k; entonces a ≡ b (mod mcm(m1m2 · · · m k)). Usando este hecho, podemos concluir que a λ(n) ≡ 1 (mod n). ¿Se gana algo usando λ(n) en vez de ϕ(n)? Con un esfuerzo razonablemente pequeño, podemos obtener, en general, mejores resultados con λ. EJEMPLO 4.20 Sea n = 65520 = 2 4 · 3 2 · 5 · 7 · 13. Entonces ϕ(n) = 8 · 6 · 4 · 6 · 12 = 13824 mientras que λ(n) = mcm(4,6,4,6,12) = 12. Entonces, si mcd(a,n) = 1, a λ(n) ≡ 1 (mod 65520) =⇒ a 12 ≡ 1 (mod 65520) a ϕ(n) ≡ 1 (mod 65520) =⇒ a 13824 ≡ 1 (mod 65520) Para encontrar el orden de a, se puede probar con los divisores de 12 en vez de calcular y usar los divisores de 13824 EJEMPLO 4.21 Calcular Ord39(4). 73

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