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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

74 POTENCIAS mod m

74 POTENCIAS mod m Solución: Como λ(39) = 12, Ord39(4)|12. Por tanto, debemos probar solo con los divisores di de 12 hasta que 4d i ≡ 1 (mod 39). 4 ≡ 1 mod 39 4 2 ≡ 16 mod 39 4 3 ≡ 25 mod 39 4 6 ≡ 1 mod 39 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ =⇒ Ord39(4) = 6. Uno de los resultados importantes es: λ(n) es el más pequeño entero positivo para tal que a λ(n) ≡ 1 (mod m) para todo a tal que mcd(a,m) = 1 ([1]). λ(n) y ϕ(n) si mcd(a,n) > 1 El teorema de Euler y Carmichael requieren mcd(a,n) = 1. Sin embargo hay una versión útil para el caso en que mcd(a,n) no sea necesariamente 1. Teorema 4.19 Sea d = mcd(a,n), Si n es producto de primos distintos, Prueba: Ver ([9], pág. 274). EJEMPLO 4.22 a ϕ(n)+1 � ≡ a (mod n) ⇐⇒ mcd d, n d � = 1. a λ(n)+1 ≡ a (mod n) para cualquier a ∈ Z. Sea a = 7 y n = 210, mcd(a,n) = 7 > 1, ϕ(n) = 48, 7 49 ≡ 7 (mod 210) y mcd(7,30) = 1 (también 7 1 ≡ 7 (mod 210), 7 5 ≡ 7 (mod 210), etc.). Sea n = 2 · 3 · 5 · 7, λ(n) = 12, 2 13 ≡ 2 (mod 210), 3 13 ≡ 3 (mod 210), etc. Sea n = 2 2 · 5, en este caso λ(n) = 4 y 2 5 �≡ 2 (mod n), 3 5 ≡ 3 (mod n),..., 6 5 �≡ 6 (mod n), etc. EJERCICIOS 4.1 Verifique, usando el teorema de Fermat, que 2 340 ≡ 1 (mod 11). 4.2 Verifique que 2 340 ≡ 1 (mod 31). Ayuda: 2 5 ≡ 1 (mod 31) 4.3 Verifique que mcd(341,2) = 1 y 2 340 ≡ 1 (mod 341). ¿Es 341 primo? 4.4 Verifique que ϕ(666) = 6 · 6 · 6

EJERCICIOS 75 4.5 Consideremos los números de Fermat, Fn = 22n + 1. Vamos a probar, usando congruencias, que si n �= m, mcd(Fn, Fm) = 1. Para probar esto, vamos a suponer, por contradicción, que mcd(Fn, Fm) = d > 1. Entonces hay un primo p tal que p|Fn y p|Fm. Bajo esta suposición, a) verifique que 22n ≡ −1 (mod p), b) verifique que 22n+1 ≡ 1 (mod p). c) Sea Ordp(2) = 2s . ¿Porqué 2s ≤ n + 1? d) Verifique que s � n. Ayuda: considere 2 n = 2 s 2 t con s + t = n y obtenga una contradicción con 2 2n ≡ −1 (mod p). e) Deduzca que el orden de 2 módulo p es 2 n+1 f) Deduzca que el orden de 2 módulo p debería ser también 2 m+1 g) ¿Cuál es la contradicción? 4.6 Use el resultado anterior para dar otra prueba de que los primos son un conjunto infinito. Ayuda: para cada Fn considere uno de sus divisores primos. 4.7 Sea mcd(a,m) = 1 y Ordm(a) = t. Si i, j ∈ Z, a i ≡ a j (mod m) ⇐⇒ i ≡ j (mod t). 4.8 Muestre que si m es compuesto y mcd(a,m) = 1, entonces Ordm(b) < m − 1. Ayuda: Use el teorema de Euler. 4.9 Muestre que si p es primo y t ∤ (p − 1), entonces no pueden haber elementos de orden t en Zp. Ayuda: Use Fermat. 4.10 Sea Ordm(a) = t. Muestre que Ordm(a i ) = t si y solo si mcd(i,t) = 1. 4.11 Calcule Ord13(5) y Ord13(7) 4.12 Sea mcd(a,m) = 1. Muestre que Ordm(a) divide a φ(m). 4.13 Muestre que si p es primo y mcd(a, p) = 1, entonces Ordp(a)|p − 1. 4.14 Muestre que si Ordm(a) = t y k es cualquier entero positivo, entonces Ordm(a k ) = 1 si y solo si mcd(t,k) = 1. 4.15 Sean a = 7 y m = 310. a) Calcule ϕ(m) y λ(m). b) ¿Se puede afirmar, sin calcular, que a λ(m) ≡ 1 (mod m)? c) Obtenga Ordm(a) Ayuda: solo debe probar con los divisores de λ(m). 4.16 Sean a = 7 y m = 210. a) ¿Tiene sentido hablar de Ordm(a)? b) Calcule s tal que a s ≡ a (mod m). 4.17 Calcule Ord2337(2) 4.18 Muestre que si p es primo y Ordp(a) = t, entonces las soluciones, módulo p, de x t − 1 ≡ 0 (mod p) son {1, a, a 2 ,..., a t−1 }. ¿porqué no hay más soluciones módulo p? 4.19 Sea p primo impar. Muestre que si P(x) es un polinomio con coeficientes enteros de grado n ≥ 1 y coeficiente principal an �≡ 0 (mod p), entonces hay un polinomio Q(x) ∈ Z[x] de grado 0 < m < p tal que P(x) ≡ Q(x) (mod p).

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