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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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76 POTENCIAS mod m 4.20

76 POTENCIAS mod m 4.20 Muestre el teorema “pequeño” de Fermat usando el teorema de Euler. 4.21 Muestre el teorema de Euler usando el teorema de Carmichael. 4.22 Muestre que si n es par entonces ϕ(2n) = 2ϕ(n) y que si n es impar entonces ϕ(2n) = 2ϕ(n). Ayuda: Teorema (4.8). 4.23 Calcule ϕ(25) usando el teorema (5.2). 4.24 Factorizar n = 2337 y calcular ϕ(n) y λ(n) 4.25 Calcule las raíces (si hubiera) de P(x) = x 5 + 1 módulo 5 4.26 Calcule las raíces (si hubiera) de P(x) = x 5 − 1 módulo 5 4.27 Calcule 96 −1 módulo 97. Luego calcule el resto de dividir 95! por 97. Ayuda: Fermat y Wilson. 4.28 Sea p primo impar y mcd(a, p) = 1. Mostrar que a (p−1)/2 ≡ 1 (mod p) o a (p−1)/2 ≡ −1 (mod p). Ayuda: Usar la tercera fórmula notable y el teorema de Fermat. 4.29 Resuelva 7x ≡ 1 (mod 2 6 · 3 · 5 · 17) usando primero el teorema pequeño de Fermat y luego usando el teorema de Carmichael. 4.30 Mostrar que si p es primo, entonces (x1 + x2 + · · · + xn) p ≡ x p x i ∈ Z. 4.31 Sean mcd(a,b) = 1 y S = a ϕ(b) + b ϕ(a) . Muestre que S ≡ 1 (mod ab) 1 + xp 2 + · · · + xp n (mod p) si 4.32 Use el teorema “pequeño” de Fermat para probar que si p es primo y mcd(p,n) = 1 y p|4n 2 + 1, entonces p ≡ 1 (mod 4). Ayuda: Muestre que p �≡ 3 (mod 4) por contradicción: Si p = 4k + 1 y si y = 2n, y 2 ≡ −1 (mod p) luego, como mcd(p,y) = 1, aplique Fermat. 4.33 Muestre que si p es primo y mcd(p,n) = 1 y p|n 2 + 1, entonces p ≡ 1 (mod 4) o p = 2. 4.34 Muestre que en Z8, el polinomio P(x) = x 2 − 1 tiene 4 raíces: x = 1,3,5,7, es decir, P(1) ≡ 0 (mod 8), etc. ¿Contradice esto el teorema (4.15)? 4.35 Muestre el teorema “pequeño” de Fermat usando el teorema del binomio. Ayuda: x i = 1. 4.36 Muestre que si a ≡ 1 (mod 2), entonces a 2 ≡ 1 (mod 2 3 ). Ayuda: a = 2h + 1, eleve al cuadrado y observe que h(h + 1) es par. 4.37 Muestre que si a2 ≡ 1 (mod 23 ) entonces a22 ≡ 1 (mod 24 ). 4.38 Use inducción para demostrar que si α > 2, entonces a 2α−2 4.39 Verifique que si α > 2, entonces a 1 2 ϕ(2α ) ≡ 1 (mod 2 α ). 4.40 Muestre que si n = ∏ k i=1 pα i i , p i primo; entonces λ(p α i i )|λ(n) 4.41 Muestre que λ(n)|ϕ(n) 4.42 Muestre que λ(n) = ϕ(n) si n = 1,2,4, p α ,2p α ≡ 1 (mod 2 α ).

235711 5 131719 RAÍCES 232931 235711 5.1 Introducción PRIMITIVAS Y LOGARITMO DISCRETO Se puede demostrar que si p es primo, existe b ∈ Z tal que Zp = {Zp = {0,b,b 2 ,...,b p−1 }. A b se le llama “raíz primitiva” módulo p. Como cualquier elemento a ∈ Zp debe ser una potencia de b, tiene sentido definir un logaritmo discreto (indicador) que resulta tener propiedades similares al logaritmo usual. Es muy útil en el cálculo de residuos y para resolver algunos tipos de ecuaciones congruenciales. Las raíces primitivas módulo n son usadas a menudo en criptografía. 5.2 Raíces primitivas Definición 5.1 (Raíces primitivas) Sea m ∈ Z + y mcd(a,m) = 1. Si Ordm(a) = ϕ(m) entonces a se dice raíz primitiva módulo m Teorema 5.1 Si p es primo y b raíz primitiva módulo p, entonces Prueba: Ejercicio. EJEMPLO 5.1 Zp = {0,b,b 2 ,...,b p−1 }. Ord5(3) = 4 pues 3 2 ≡ 4 (mod 5), 3 3 ≡ 2 (mod 5) y 3 4 ≡ 1 (mod 5). Entonces, Existencia de las raíces primitivas. Z5 = {0,3,3 2 ,3 3 ,3 4 } 77 Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)

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