Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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RAÍCES 232931
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5.1 Introducción
PRIMITIVAS Y
LOGARITMO DISCRETO
Se puede demostrar que si p es primo, existe b ∈ Z tal que Zp = {Zp = {0,b,b 2 ,...,b p−1 }. A b
se le llama “raíz primitiva” módulo p. Como cualquier elemento a ∈ Zp debe ser una potencia
de b, tiene sentido definir un logaritmo discreto (indicador) que resulta tener propiedades similares
al logaritmo usual. Es muy útil en el cálculo de residuos y para resolver algunos tipos de
ecuaciones congruenciales. Las raíces primitivas módulo n son usadas a menudo en criptografía.
5.2 Raíces primitivas
Definición 5.1 (Raíces primitivas) Sea m ∈ Z + y mcd(a,m) = 1. Si Ordm(a) = ϕ(m) entonces a
se dice raíz primitiva módulo m
Teorema 5.1 Si p es primo y b raíz primitiva módulo p, entonces
Prueba: Ejercicio.
EJEMPLO 5.1
Zp = {0,b,b 2 ,...,b p−1 }.
Ord5(3) = 4 pues 3 2 ≡ 4 (mod 5), 3 3 ≡ 2 (mod 5) y 3 4 ≡ 1 (mod 5). Entonces,
Existencia de las raíces primitivas.
Z5 = {0,3,3 2 ,3 3 ,3 4 }
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Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F.
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