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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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80 RAÍCES PRIMITIVAS Y

80 RAÍCES PRIMITIVAS Y LOGARITMO DISCRETO cero, cada sumado vale cero: ϕ(t) = ψ(t) para cada t|(p − 1). Corolario 5.1 Si p es primo, en Zp hay ϕ(p − 1) elementos de orden p − 1, es decir, hay p − 1 raíces primitivas. EJEMPLO 5.4 Cuando tenemos un primo pequeño, podemos localizar las raíces primitivas por “ensayo y error”, construyendo una tabla de potencias. a a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 Ord7(a) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 1 2 4 1 3 3 3 2 6 4 5 1 6 4 4 2 1 4 2 1 3 5 5 4 6 2 3 1 6 6 6 1 6 1 6 1 2 Tabla 5.1 Potencias de los elementos de Z7 Solo hay ϕ(6) = 2 raíces primitivas módulo 7, 3 y 5 tienen orden 6, es decir, son las únicas dos raíces primitivas módulo 7. También, por ejemplo, Z7 = {0,5,5 2 ,5 3 ,5 4 ,5 5 ,5 6 }. EJEMPLO 5.5 La tabla que sigue e un listado de las raíces primitivas de los primeros seis primos. p ϕ(p − 1) Raíces primitivas 2 1 1 3 1 2 5 2 2, 3 7 2 3, 5 11 4 2, 6, 7, 8 13 4 2, 6, 7, 11 Tabla 5.2 Raíces primitivas módulo p Si b es raíz primitiva del primo p, hay ϕ(p − 1) raíces primitivas no congruentes, a saber, b α 1,b α2,...,b α ϕ(p−1) , donde α1,α2,...,α ϕ(p−1) son los ϕ(p − 1) enteros menores que p − 1 y coprimos con p − 1.

EJEMPLO 5.6 Determinar las raíces primitivas de 17 sabiendo que 3 es raíz primitiva módulo 17. Solución: Como ϕ(17) = 8, los ocho enteros menores que 16 y coprimos con 16 son 1,3,5,7,9,11,13 y 15. Así, la raíces primitivas son 3 3 ,3 5 ,3 7 ,3 9 ,3 1 1,3 1 3. Haciendo la reducción a módulo 17, no queda 3,10,5,11,14,7,12,6. Ya probamos la existencia de raíces primitivas para p primo. El siguiente teorema define la situación general. Teorema 5.4 (Gauss) Un entero n > 1 tiene raíces primitivas módulo n si y solo si n = 2, 4, p α o 2p α donde p es primo impar y α entero positivo. EJEMPLO 5.7 Los primeros n para los que hay raíces primitivas son 2,3,4,5,6,7,9,10,11,13, 14,17,18,19,22,.... En particular, no hay raíces primitivas módulo n = 2 4 = 16. En resumen, podemos determinar si hay o no hay raíces primitivas módulo n y el cálculo de estas raíces se hace usando “prueba y error” (aunque hay unas pocas técnicas generales de cálculo). 5.3 Logaritmo discreto o Indicador El problema que queremos resolver es el siguiente: Si sabemos que a ≡ b k (mod m), ¿Cómo determinar k? Recordemos que en Zn hay ϕ(n) elementos primos relativos con n. Definición 5.2 Sea n ∈ Z + . El conjunto {a1, a2,..., a ϕ(n) } es un sistema reducido de resi-duos módulo n, si contiene exactamente un elemento de cada una de las clases r i ∈ Zn para las que mcd(r i,n) = 1. EJEMPLO 5.8 Si n = p es primo, {1,2,..., p − 1} es un sistema reducido de residuos módulo p. Si n = 10, ϕ(10) = 4. En este caso, {1,3,7,9} es un sistema reducido de residuos módulo 10. Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/) 81

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