Views
5 years ago

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

82 RAÍCES PRIMITIVAS Y

82 RAÍCES PRIMITIVAS Y LOGARITMO DISCRETO Claramente, si b es una raíz primitiva módulo n, el conjunto {b,b 2 ,...,b ϕ(n) } es un sistema reducido de residuos. Entonces, si a ∈ Zn con mcd(a,n) = 1, existe 1 ≤ k ≤ ϕ(n) tal que a ≡ b k (mod n). En particular 1 ≡ b ϕ(n) (mod n), por el teorema de Euler. Definición 5.3 Sea b una raíz primitiva módulo n. Si mcd(a,n) = 1, entonces el más pequeño entero positivo k tal que a ≡ b k (mod n) se denota con Ind b(a) y se llama indicador de a respecto a la base b módulo n. Entonces tenemos, a ≡ b Ind b(a) (mod n) A veces se pone Ind b(a) = log b a y se le llama “logaritmo discreto”. Propiedades. Las propiedades de Ind b(a) son similares a las de la función logaritmo. Teorema 5.5 Sea b raíz primitiva módulo n y mcd(a,n) = mcd(c,n) = 1. Entonces, Prueba: Ejercicio. La propiedad (5.1) nos dice que, b x ≡ b y (mod n) ⇐⇒ x ≡ y (mod ϕ(n)) (5.1) Ind b(1) ≡ 0 (mod ϕ(n)) (5.2) Ind b(ac) ≡ [Ind b(a) + Ind b(c)] (mod ϕ(n)) (5.3) Ind b(a k ) ≡ k · Ind b(a) (mod ϕ(n)), si k es entero positivo. (5.4) a ≡ b k (mod n) ⇐⇒ Ind b(a) = k mod ϕ(n) (5.5) La reducción módulo ϕ(n) es necesaria para obtener el menor exponente positivo, excepto cuando 1 ≡ b ϕ(n) (mod n), es claro que, como 1 ≡ b ϕ(n) (mod n), Ind b(1) = ϕ(n). EJEMPLO 5.9 b = 5 es raíz primitiva módulo 7 y ϕ(7) = 6, 2 ≡ 5 10 (mod 7) ⇐⇒ Ind5(2) = 10 mod 6 = 4, es decir, efectivamente 2 ≡ 5 4 (mod 7). 1 ≡ 5 6 (mod 7) ⇐⇒ Ind5(1) = 6 mod 6 = 0, es decir, como efectivamente indica (5.3), 6 = Ind5(1) ≡ 0 (mod 6).

Observe que (5.1) nos dice que “Ind” se puede aplicar igual que se aplican los logaritmos para resolver ecuaciones, g(x) ≡ f (x) (mod m) =⇒ Ind b(g(x)) ≡ Ind b( f (x)) (mod ϕ(m)). Por supuesto, la aplicación de esta parte del teorema requiere tener a la mano una tabla de indicadores. En el ejemplo que sigue construimos una breve tabla para Ind2(a) módulo 13. EJEMPLO 5.10 Como es usual, para usar el teorema (5.5) necesitamos una tabla de logaritmos discretos. Por ejemplo, para construir una tabla parcial en base b = 2 módulo 13, calculamos las potencias de 2 módulo 13. 2 ≡ 2 1 (mod 13), 11 ≡ 2 7 (mod 13), 4 ≡ 2 2 (mod 13), 9 ≡ 2 8 (mod 13), 8 ≡ 2 3 (mod 13), 5 ≡ 2 9 (mod 13), 3 ≡ 2 4 (mod 13), 10 ≡ 2 10 (mod 13), 6 ≡ 2 5 (mod 13), 7 ≡ 2 11 (mod 13), 12 ≡ 2 6 (mod 13), 1 ≡ 2 12 (mod 13). Luego, ponemos la información en una tabla, EJEMPLO 5.11 Resolver 8x 5 ≡ 2 (mod 13). a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Ind2(a) 12 1 4 2 9 5 11 3 8 10 7 6 Tabla 5.3 Logaritmos discreto base b = 2 módulo 13 Solución: Como b = 2 es raíz primitiva módulo 13 y como conocemos una tabla de logaritmos discretos para esta base, podemos aplicar “Ind2(·)” a ambos lados de la ecuación 8x 5 ≡ 2 (mod 13), Ahora operamos, 8x 5 ≡ 2 (mod 13) =⇒ Ind2(8x 5 ) ≡ Ind2(2) mod ϕ(13), por (5.1) 83

Edición de textos científicos con LaTeX - TEC Digital - Tecnológico ...
El Conjunto de los números Reales - TEC-Digital
1.5 Algoritmo de Euclides con menor resto. - TEC-Digital
Números Enteros - Universidad de Buenos Aires
Números Enteros - Universidad de Buenos Aires
Replanteamiento de la Conjetura de Goldbach - TEC-Digital
Cómo hacer Transparencias con la clase Beamer de - TEC-Digital ...
Cálculo Superior. Vectores, rectas y planos. - TEC Digital ...
La génesis y el desarrollo de un hecho científico - TEC-Digital
Versión PDF - TEC-Digital - Tecnológico de Costa Rica
Teoria Numeros C Ivorra Castillo
Programación Visual Basic (VBA) para Excel y Análisis ... - TEC-Digital
Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...
Tema 4. Teoría de los Números - it/aut/UAH