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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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Observe que (5.1) nos dice que “Ind” se pue<strong>de</strong> aplicar igual que se aplican los logaritmos para<br />

resolver ecuaciones,<br />

g(x) ≡ f (x) (mod m) =⇒ Ind b(g(x)) ≡ Ind b( f (x)) (mod ϕ(m)).<br />

Por supuesto, <strong>la</strong> aplicación <strong>de</strong> esta parte <strong>de</strong>l teorema requiere tener a <strong>la</strong> mano una tab<strong>la</strong> <strong>de</strong><br />

indicadores. En el ejemplo que sigue construimos una breve tab<strong>la</strong> para Ind2(a) módulo 13.<br />

EJEMPLO 5.10<br />

Como es usual, para usar el teorema (5.5) necesitamos una tab<strong>la</strong> <strong>de</strong> logaritmos discretos.<br />

Por ejemplo, para construir una tab<strong>la</strong> parcial en base b = 2 módulo 13, calcu<strong>la</strong>mos <strong>la</strong>s<br />

potencias <strong>de</strong> 2 módulo 13.<br />

2 ≡ 2 1 (mod 13), 11 ≡ 2 7 (mod 13),<br />

4 ≡ 2 2 (mod 13), 9 ≡ 2 8 (mod 13),<br />

8 ≡ 2 3 (mod 13), 5 ≡ 2 9 (mod 13),<br />

3 ≡ 2 4 (mod 13), 10 ≡ 2 10 (mod 13),<br />

6 ≡ 2 5 (mod 13), 7 ≡ 2 11 (mod 13),<br />

12 ≡ 2 6 (mod 13), 1 ≡ 2 12 (mod 13).<br />

Luego, ponemos <strong>la</strong> información en una tab<strong>la</strong>,<br />

EJEMPLO 5.11<br />

Resolver 8x 5 ≡ 2 (mod 13).<br />

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />

Ind2(a) 12 1 4 2 9 5 11 3 8 10 7 6<br />

Tab<strong>la</strong> 5.3 Logaritmos discreto base b = 2 módulo 13<br />

Solución: Como b = 2 es raíz primitiva módulo 13 y como conocemos una tab<strong>la</strong> <strong>de</strong> logaritmos<br />

discretos para esta base, po<strong>de</strong>mos aplicar “Ind2(·)” a ambos <strong>la</strong>dos <strong>de</strong> <strong>la</strong> ecuación<br />

8x 5 ≡ 2 (mod 13),<br />

Ahora operamos,<br />

8x 5 ≡ 2 (mod 13) =⇒ Ind2(8x 5 ) ≡ Ind2(2) mod ϕ(13), por (5.1)<br />

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