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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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84 RAÍCES PRIMITIVAS Y

84 RAÍCES PRIMITIVAS Y LOGARITMO DISCRETO Ind2(8x 5 ) ≡ Ind2(2) mod ϕ(13) =⇒ Ind2(8) + 5Ind2(x) ≡ 1 mod 12, por (5.2), (5.3), y (5.4) 3 + 5Ind2(x) ≡ 1 mod 12, pues Ind2(8) = 3 5Ind2(x) ≡ −2 mod 12, Ind2(x) ≡ −10 mod 12, pues 5 · 5 ≡ 1 (mod 12) Ind2(x) ≡ 2 mod 12, pues − 10 ≡ 2 (mod 12) x ≡ 2 2 mod 13, por 5.5 Y, efectivamente, 8 · 4 5 = 8192 ≡ 2 (mod 13). EJEMPLO 5.12 Resolver 2 3x ≡ 8 (mod 13). Solución: Como b = 2 es raíz primitiva módulo 13, podemos aplicar “Ind2(·)” a ambos lados, 2 3x ≡ 8 (mod 13) =⇒ Ind2(2 3x ) ≡ Ind2(8) (mod 12) =⇒ 3x ≡ 3 (mod 12) =⇒ x ≡ 1 (mod 4) Ahora, los elementos en Z13 que son congruentes con 4 módulo 13 son x = 1, 5, 9. EJEMPLO 5.13 Calcule el residuo de dividir 12 729 · 7 97 por 17. Solución: 3 es raíz primitiva módulo 17. Así que podemos tomar logaritmo discreto en base 3. En particular, Ind3(12) = 13 y Ind3(7) = 11. Sea x ≡ 12 729 · 7 97 (mod 17), aplicando logaritmo discreto, Ind3(x) ≡ Ind3(12 729 · 7 97 ) (mod 16), entonces Ind3(x) ≡ 729 · Ind3(12) + 97 · Ind3(7) ≡ 9 · 13 + 1 · 11 ≡ 0 (mod 16), es decir, x ≡ 1 (mod 17.) EJEMPLO 5.14 Probar que la congruencia 25x 5 ≡ 17 (mod 71) no tiene solución Solución: Para aplicar logaritmo discreto a ambos lados, necesitamos una raíz primitiva módulo 71. Como Ord71(7) = 70, g = 7 es raíz primitiva módulo 71. En particular,

Ind7(17) = 49 y Ind7(25) = 15. Ahora, EJERCICIOS 85 Ind7(25x 5 ) ≡ Ind7(17) (mod 70) ⇔ 5 · Ind7(x) ≡ Ind7(17) − Ind7(25) (mod 70), es decir, 5 · Ind7(x) ≡ 34 (mod 70). Esta congruencia no tiene solución pues mcd(5,70) = 5 ∤ 34. Comparado con el logaritmo común, el logaritmo discreto tiene dos defectos: (1) las tablas se deben construir para cada módulo primo y hay ϕ(p − 1) posibles bases; (2) los datos en las tablas no están en orden ascendente. El siguiente teorema establece algunas fórmulas útiles para el cálculo de índices. Teorema 5.6 Sea b una raíz primitiva módulo m. (i) Si mcd(a,m) = 1, entonces Ind b(a −1 ) = ϕ(m) − Ind b(a) (ii) Si m ≥ 3, Ind b(m − 1) = ϕ(m)/2 (iii) Si p es primo impar, Ind b(p − 1) = ϕ(p − 1)/2 (iv) Si m ≥ 3 y mcd(a,m) = 1, entonces Ind b(m − 1) = Ind b(a) + ϕ(m)/2 (v) Si m es primo impar y mcd(a,m) = 1, entonces Ind b(m − 1) = Ind b(a) + ϕ(m − 1)/2 EJEMPLO 5.15 Podemos usar la parte (v) del teorema (5.6) para construir una tabla para logaritmo discreto en base 3 módulo 7, EJERCICIOS a 1 2 3 4 5 6 Ind3(a) 6 2 1 . . . Tabla 5.4 Logaritmos discreto base b = 3 módulo 7 5.1 Muestre que en Z7, las únicas raíces primitivas son 3 y 5. 5.2 Calcule las raíces primitivas de módulo 71. 5.3 Muestre que si b es raíz primitiva módulo p y b ≡ c (mod p), entonces c es raíz primitiva módulo p. 5.4 Sea p = 2 n + 1. Verifique que si p es primo, entonces n es par Ayuda: Solamente puede pasar p ≡ 2 (mod 3). Ahora use logaritmo discreto.

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