Views
5 years ago

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

86 RAÍCES PRIMITIVAS Y

86 RAÍCES PRIMITIVAS Y LOGARITMO DISCRETO 5.5 Verifique que no hay raíces primitivas módulo 8. 5.6 Verifique que 8 no es raíz primitiva módulo 13. 5.7 ¿Hay raíces primitivas en Z12 ? 5.8 Calcule las raíces primitivas de Z11 5.9 Si p es primo y t un entero, muestre que si en Zp hay elementos de orden t, entonces hay exactamente ϕ(t) elementos de este orden. 5.10 Sea p primo y Ordp(a) = t. Muestre que si b ∈ Zp y b t ≡ 1 (mod p), entonces b debe ser una potencia de a. 5.11 Construya una tabla para el logaritmo discreto en base 11 5.12 Resolver a) 7x ≡ 13 (mod 18) b) 2x 4 ≡ 5 (mod 13) c) 8 5x ≡ 5 (mod 13) d) 3 4x+1 ≡ 10 (mod 19) e) 8x 2 ≡ 2 (mod 13) 5.13 Sea m = m1m2 con mcd(m1,m2) = 1 y m i ≥ 3. a) Muestre que si m ≥ 3, ϕ(m) es par b) Sea n = ϕ(m1)ϕ(m2)/2 y mcd(a,m) = mcd(a,m1) = mcd(a,m2) = 1. Muestre que a ϕ(m 1)ϕ(m2)/2 ≡ 1 (mod m1) y que a ϕ(m2)ϕ(m 1)/2 ≡ 1 (mod m2) c) Muestre que a n ≡ 1 (mod m) 5.14 Usar logaritmo discreto para encontrar el residuo de dividir 23 1001 por 13.

235711 6 131719 RESIDUOS 232931 235711 CUADRÁTICOS 6.1 Congruencias cuadráticas módulo m Definición 6.1 Una congruencia cuadrática es una congruencia de la forma x 2 ≡ a (mod m) donde mcd(a,n) = 1. Si la congruencia tiene solución, a es llamado residuo cuadrático módulo m. EJEMPLO 6.1 Calcular los residuos cuadráticos módulo 7. Solución: Una manera directa es hacer una tabla de cuadrados, Tenemos, 1 2 = 6 2 ≡ 1 mod 7 2 2 = 5 2 ≡ 4 mod 7 3 2 = 4 2 ≡ 2 mod 7 a 1 2 3 4 5 6 a 2 mod 7 1 4 2 2 4 1 ←− residuos cuadráticos La congruencia Ax 2 + Bx + C ≡ 0 (mod p) Tabla 6.1 Residuos cuadráticos módulo 7 =⇒ 1,2,4 son los residuos cuadráticos mod 7. Observemos que si p es primo y p ∤ A; la congruencia Ax 2 + Bx + C ≡ 0 (mod p) es equivalente a (2Ax + B) 2 ≡ B 2 − 4AC (mod p) (ver ejercicios), o lo que es lo mismo, u 2 ≡ a (mod p) con u = 2Ax + B y a = B 2 − 4AC. Representación simétrica. 87 Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)

El Conjunto de los números Reales - TEC-Digital
Derivada de una función - TEC-Digital
1.5 Algoritmo de Euclides con menor resto. - TEC-Digital
x - TEC-Digital
Números Enteros - Universidad de Buenos Aires
Descargar el pdf - TEC-Digital
Expresiones Algebraicas - TEC-Digital
Números Enteros - Universidad de Buenos Aires
Replanteamiento de la Conjetura de Goldbach - TEC-Digital
La génesis y el desarrollo de un hecho científico - TEC-Digital
Cálculo Superior. Vectores, rectas y planos. - TEC Digital ...
Cómo hacer Transparencias con la clase Beamer de - TEC-Digital ...
Versión PDF - TEC-Digital - Tecnológico de Costa Rica
Teoria Numeros C Ivorra Castillo
Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...
Tema 4. Teoría de los Números - it/aut/UAH