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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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90 RESIDUOS CUADRÁTICOS

90 RESIDUOS CUADRÁTICOS (1) a es residuo cuadrático ⇐⇒ a (p−1)/2 ≡ 1 (mod p), (2) a no es residuo cuadrático ⇐⇒ a (p−1)/2 ≡ −1 (mod p), Prueba: Para la demostración usamos el teorema pequeño de Fermat y logaritmo discreto. Parte (1). “⇒”: Si a es un residuo cuadrático módulo p, existe x ∈ Z tal que x 2 ≡ a (mod p.) Ahora aplicamos el teorema pequeño de Fermat, 1 ≡ x p−1 mod p ≡ (x 2 ) (p−1)/2 mod p ≡ a (p−1)/2 mod p “⇐”: Si a (p−1)/2 ≡ 1 (mod p), sea b una raíz primitiva de p y sea t ∈ Z tal que a ≡ b t (mod p). Entonces, Parte (2). bt ≡ a mod p =⇒ bt(p−1)/2 ≡ a (p−1)/2 ≡ 1 mod p =⇒ Indb(bt(p−1)/2 ) ≡ Indb(1) ≡ 0 mod p =⇒ t(p − 1)/2 ≡ 0 mod (p − 1) =⇒ =⇒ t(p − 1) � b = 2k(p − 1), i.e. t es par. t/2� 2 ≡ bt ≡ a (mod p), i.e. a es residuo cuadrático módulo p. Para probar esta parte se suficiente observar que (a (p−1)/2 − 1)(a (p−1)/2 + 1) = a (p−1)/2 − 1 ≡ 0 (mod p). Así, si a no es residuo cuadrático módulo p, la única opción que queda es a (p−1)/2 ≡ −1 (mod p). La otra implicación es consecuencia de la parte (1). El criterio de Euler, en su versión cruda, es útil en el cálculo directo si p es pequeño, dado que tenemos que calcular la potencia a (p−1)/2 . EJEMPLO 6.4 ¿Es a = 72 residuo cuadrático módulo 229? Solución: Tenemos que calcular 72 114 mod 229. Para simplificar el cálculo descomponemos en potencias de 2,

72 114 = 72 2 · ((((72 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 7 ≡ 228 ≡ −1 mod 229; no es residuo cuadrático. EJEMPLO 6.5 Sea p primo impar. Muestre que si b es raíz primitiva módulo p, entonces b no es residuo cuadrático módulo p. Solución: Como Ordp(b) = p − 1, entonces b (p−1)/2 �≡ 1 (mod p) y por el criterio de Euler, la única posibilidad es que b (p−1)/2 ≡ −1 (mod p), es decir, b no es residuo cuadrático módulo p. 6.3 Símbolos de Legendre y Jacobi El símbolo de Legendre nos permite establecer si un número a es o no es residuo cuadrático módulo un primo p, mediante un cálculo automático. La ley de la reciprocidad cuadrática, una de las joyas de la teoría de números, simplifica notablemente este cálculo. El símbolo de Jacobi es una generalización del símbolo de Legendre que permite una simplificación del cálculo cuando el módulo no es primo. Los estudios en residuos cuadráticos de Euler fueron extendidos por Legendre. El símbolo de Legendre nos proporciona una serie de reglas para el cálculo automático. Estas reglas en el fondo, son aplicaciones simplificadas del criterio de Euler. Definición 6.2 Sea p un primo impar y mcd(a, p) = 1. El símbolo de Legendre ⎧ � � a ⎨ 1 si a residuo cuadrático módulo p = p ⎩ −1 si a no es residuo cuadrático módulo p En algunos textos se usa una definición alternativa: Si p es primo impar, ⎧ � � a ⎨ = p ⎩ 1 0 −1 si a residuo cuadrático módulo p si p|a si a no es residuo cuadrático módulo p EJEMPLO 6.6 Los residuos cuadráticos de Z7 son 1,2,4, es decir, � 1 7 � = � 2 7 � = � 4 7 � = 1 y � 3 7 � = � 5 7 � = � 6 7 � = −1 91 � � a es definido por, p Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)

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