Vastaus: Vastaus: Vastaus: Vastaus: Vastaus

TKK, Matematiikan laitos Pikkarainen/Tikanmäki
Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2
Harjoitus 11, (A=alku-, L=loppuviikko, T=”taulutehtävä”, P=”palautettava tehtävä”, W=”verkkotehtävä”)
14.–18.4.2008, viikko 16
Näihin harjoitustehtäviin liittyvää teoria löytyy Adamsista: Ad6: 3.7, 7.9, 17.1-17.2, 17.4, 17.6; Ad5: 3.7, 7.9, A24-A30; Ad4:
17.2, 17.4, 17.6, 17,8; Ad3: 19.2, 19.4, 19.6, 19.8
AT1. Komisario Palmu saapuu rikospaikalle ja mittaa ruumiin lämpötilaksi 28 ◦ . Tunnin kuluttua
ruumiin lämpötila on laskenut 23 asteeseen. Jos ympäristön lämpötila TY = 18 ◦ on vakio,
milloin rikos oli tapahtunut? Oletetaan, että ruumis jäähtyy Newtonin jäähtymislain mukaan eli
lämpötilalle pätee T ′ (t) = α(TY − T(t)), missä α > 0 on vakio. Rikoshetkellä t = 0 ruumiin
lämpötila oli 37 ◦ .
AT2. Osoita, että reuna-arvoprobleemalla
ei ole ratkaisua.
y ′′ (t) + y(t) = 0, y(0) = 0, y(π) = 1,
Vastaus: Noin 56 minuuttia sitten.
LT1. Tarkastellaan LC-piiriä, missä L = 1 (henry), C = 0.25 (farad), ja jännite E(t) =
30 sin t (volt). Etsi virranvoimakkuusfunktio I(t), t > 0, kun sekä alkuvirta I(0) että alkuvaraus
q(0) ovat nolla. Oletetaan, että LC-piiri toteuttaa yhtälön LI ′ (t) + RI(t) + q(t)
= E(t) ja
C
I(t) = q ′ (t).
Vihje: Ratkaise ensin q(t), minkä jälkeen I(t) löydetään derivoimalla. Huomaa, että q ′ (0) =
I(0).
Vastaus: 10(cos(t) − cos(2t)) (ampere).
LT2. Ratkaise alkuarvotehtävä y ′′ (t) − 4y(t) = 4e 2t + 8t, y(0) = 1, y ′ (0) = 5.
P-tehtävien ratkaisut on palautettava viimeistään 21.4.2008 klo 10
Muista kirjoittaa nimesi, opiskelijanumerosi ja harjoitusryhmäsi!
P1. Ratkaise alkuarvotehtävä y ′ (t) + 3y(t) = 9t + 12 cos(3t), y(0) = −2.
P2. Ratkaise alkuarvotehtävä y ′ (t) + 2y(t)
= 4t − 3, y(1) = 2.
t
P3. Ratkaise toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
Vastaus: 2e 2t − e −2t + te 2t − 2t.
Vastaus: y(t) = −3e −3t + 3t − 1 + 2 sin(3t) + 2 cos(3t).
xy ′′ (x) − y ′ (x) = x 2 .
Vastaus: t2 − t + 2
t2 .
Vihje: Huomataan, että yhtälö edustaa tapausta ”y puuttuu”. Sitä voidaan siis pitää 1. kertaluvun
differentiaaliyhtälönä y ′ :lle; y(x) saadaan lopuksi y ′ :n yleisenä integraalifunktiona.
Vastaus: y(x) = 1
3x3 + Ax2 + B.
P4. Määritä differentiaaliyhtälön y ′′ (x) + 6y ′ (x) + 18y(x) = 25 sin(x) yleinen ratkaisu.

17 cos(x) + 13 sin(x).
Vastaus: y(x) = c1e−3x cos(3x) + c2e−3x sin(3x) − 6
13
Verkkotehtäväkysymyksiin on vastattava viimeistään 21.4.2008 klo 10
W1. Säiliössä on 20 litraa suolaista vettä. Hetkellä t = 0 suolapitoisuus on 6 g suolaa litraa
kohti ja säiliöön aletaan lisätä nopeudella 4 litraa minuutissa liuosta, jossa on 2 g suolaa litraa
kohti. Säiliössä olevaa nestettä sekoitetaan ja säiliöstä poistetaan tasaiseksi sekoitettua nestettä
nopeudella 4 litraa minuutissa. Olkoon säiliössä hetkellä t olevan suolan määrää y(t). Johda
lauseke y(t):lle ja määritä limt→∞ y(t).
W2. Määritä differentiaaliyhtälön
yleinen ratkaisu.
W3. Olkoon y(t) alkuarvoprobleeman
ratkaisu. Etsi y(2π).
(a) y ′′ (t) − 7y ′ (t) + 10y(t) = 0,
(b) y ′′ (t) + 12y ′ (t) + 36y(t) = 0,
(c) y ′′ (t) + 4y ′ (t) + 8y(t) = 0
4y ′′ (t) + y(t) = 0, y(π) = 1, y ′ (π) = −1
W4. Miten käyttäytyy alkuarvotehtävän y ′′ (x) + 2y ′ (x) + 4y(x) = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 2,
ratkaisu y(x), kun x → ∞ ?