Laatoitukset - Tessellations - Aalto-yliopisto
Laatoitukset - Tessellations - Aalto-yliopisto
Laatoitukset - Tessellations - Aalto-yliopisto
Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!
Leverage SEO-optimized Flipbooks, powerful backlinks, and multimedia content to professionally showcase your products and significantly increase your reach.
<strong>Laatoitukset</strong><br />
<strong>Tessellations</strong><br />
Riikka Kangaslampi<br />
Matematiikan ja systeemianalyysin laitos<br />
<strong>Aalto</strong>-<strong>yliopisto</strong><br />
5.-7.10.2012<br />
1 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>
<strong>Laatoitukset</strong><br />
Matematiikassa laatoitus tarkoittaa äärettömän tason peittämistä<br />
aukottomasti joukolla monikulmioita, jotka eivät mene päällekkäin.<br />
Kuva: Kaksi laatoitusta<br />
2 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>
<strong>Laatoitukset</strong><br />
Matematiikassa laatoitus tarkoittaa äärettömän tason peittämistä<br />
aukottomasti joukolla monikulmioita, jotka eivät mene päällekkäin.<br />
Kuva: Kaksi laatoitusta<br />
Säännöllinen laatoitus muodostuu toistamalla yhtä säännöllistä<br />
monikulmiota.<br />
2 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>
<strong>Laatoitukset</strong><br />
Matematiikassa laatoitus tarkoittaa äärettömän tason peittämistä<br />
aukottomasti joukolla monikulmioita, jotka eivät mene päällekkäin.<br />
Kuva: Kaksi laatoitusta<br />
Säännöllinen laatoitus muodostuu toistamalla yhtä säännöllistä<br />
monikulmiota.<br />
Tehtävä: Etsi kaikki tason säännölliset laatoitukset.<br />
Find all regular tessellations of the plane.<br />
2 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>
<strong>Laatoitukset</strong><br />
Puolisäännöllinen laatoitus muodostuu kahdesta tai useammasta eri<br />
monikulmiosta siten, että kuvio on jokaisessa kärkipisteessä sama.<br />
3 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>
<strong>Laatoitukset</strong><br />
Puolisäännöllinen laatoitus muodostuu kahdesta tai useammasta eri<br />
monikulmiosta siten, että kuvio on jokaisessa kärkipisteessä sama.<br />
Tarkastellaan yhtä kärkipistettä laatoituksessa. Säännölliset ja<br />
puolisäännölliset laatoitukset voidaan nimetä luettelemalla<br />
kärkipisteessä kohtaavien monikulmioiden sivujen lukumäärät.<br />
Luettelu aloitetaan vähäsivuisimmasta monikulmiosta.<br />
Kuva: Mehiläiskenno on 6.6.6-laatoitus<br />
3 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>
<strong>Laatoitukset</strong><br />
Puolisäännöllinen laatoitus muodostuu kahdesta tai useammasta eri<br />
monikulmiosta siten, että kuvio on jokaisessa kärkipisteessä sama.<br />
Tarkastellaan yhtä kärkipistettä laatoituksessa. Säännölliset ja<br />
puolisäännölliset laatoitukset voidaan nimetä luettelemalla<br />
kärkipisteessä kohtaavien monikulmioiden sivujen lukumäärät.<br />
Luettelu aloitetaan vähäsivuisimmasta monikulmiosta.<br />
Kuva: Mehiläiskenno on 6.6.6-laatoitus<br />
Tehtävä: Etsi puolisäännöllisiä laatoituksia ja nimeä ne.<br />
Find semi-regular tessellations.<br />
3 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>
Jaksottomat laatoitukset<br />
Tähän mennessä tarkastellut laatoitukset ovat kaikki ns.<br />
siirtosymmetrisia. Niitä kutsutaan jaksollisiksi laatoituksiksi.<br />
4 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>
Jaksottomat laatoitukset<br />
Tähän mennessä tarkastellut laatoitukset ovat kaikki ns.<br />
siirtosymmetrisia. Niitä kutsutaan jaksollisiksi laatoituksiksi.<br />
Laatoitus on jaksoton, jos sillä ei ole siirtosymmetriaa.<br />
Kuva: Roger Penrosen alkuperäinen jaksoton laatoitus<br />
4 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>
Jaksottomat laatoitukset<br />
Vuonna 1961 Wang väitti, että kaikki laatoitukset voidaan<br />
uudelleenjärjestää niin, että laatoituksesta tulee jaksollinen.<br />
Tämän väitteen todisti vääräksi Berger v. 1966 (vastaesimerkissä<br />
20426 erilaista laattaa).<br />
5 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>
Jaksottomat laatoitukset<br />
Vuonna 1961 Wang väitti, että kaikki laatoitukset voidaan<br />
uudelleenjärjestää niin, että laatoituksesta tulee jaksollinen.<br />
Tämän väitteen todisti vääräksi Berger v. 1966 (vastaesimerkissä<br />
20426 erilaista laattaa).<br />
Sittemmin saatiin esimerkkejä pienemmällä laattamäärällä.<br />
Viimeisin on Roger Penrosen jaksoton laatoitus, jota ei voida<br />
uudelleenjärjestää jaksolliseksi, vain kahdella erilaisella laatalla!<br />
5 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>
Jaksottomat laatoitukset<br />
Kuva: Roger Penrosen laatoitus leija- ja nuolilaatoilla Keskuskadulla<br />
6 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>
Jaksottomat laatoitukset<br />
Kuva: Roger Penrosen laatoitus leija- ja nuolilaatoilla Keskuskadulla<br />
Tehtävä: Etsi jaksoton laatoitus.<br />
Find an aperiodic tiling.<br />
6 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>
<strong>Laatoitukset</strong> ja M.C. Escher<br />
Katsotaan Mrs. Heiserin slide-show hienoine kuvineen.<br />
7 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>
Taidelaatoitusten piirtäminen<br />
www.tessellations.org<br />
8 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>