08.08.2013 Views

Laatoitukset - Tessellations - Aalto-yliopisto

Laatoitukset - Tessellations - Aalto-yliopisto

Laatoitukset - Tessellations - Aalto-yliopisto

SHOW MORE
SHOW LESS

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

Leverage SEO-optimized Flipbooks, powerful backlinks, and multimedia content to professionally showcase your products and significantly increase your reach.

<strong>Laatoitukset</strong><br />

<strong>Tessellations</strong><br />

Riikka Kangaslampi<br />

Matematiikan ja systeemianalyysin laitos<br />

<strong>Aalto</strong>-<strong>yliopisto</strong><br />

5.-7.10.2012<br />

1 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>


<strong>Laatoitukset</strong><br />

Matematiikassa laatoitus tarkoittaa äärettömän tason peittämistä<br />

aukottomasti joukolla monikulmioita, jotka eivät mene päällekkäin.<br />

Kuva: Kaksi laatoitusta<br />

2 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>


<strong>Laatoitukset</strong><br />

Matematiikassa laatoitus tarkoittaa äärettömän tason peittämistä<br />

aukottomasti joukolla monikulmioita, jotka eivät mene päällekkäin.<br />

Kuva: Kaksi laatoitusta<br />

Säännöllinen laatoitus muodostuu toistamalla yhtä säännöllistä<br />

monikulmiota.<br />

2 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>


<strong>Laatoitukset</strong><br />

Matematiikassa laatoitus tarkoittaa äärettömän tason peittämistä<br />

aukottomasti joukolla monikulmioita, jotka eivät mene päällekkäin.<br />

Kuva: Kaksi laatoitusta<br />

Säännöllinen laatoitus muodostuu toistamalla yhtä säännöllistä<br />

monikulmiota.<br />

Tehtävä: Etsi kaikki tason säännölliset laatoitukset.<br />

Find all regular tessellations of the plane.<br />

2 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>


<strong>Laatoitukset</strong><br />

Puolisäännöllinen laatoitus muodostuu kahdesta tai useammasta eri<br />

monikulmiosta siten, että kuvio on jokaisessa kärkipisteessä sama.<br />

3 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>


<strong>Laatoitukset</strong><br />

Puolisäännöllinen laatoitus muodostuu kahdesta tai useammasta eri<br />

monikulmiosta siten, että kuvio on jokaisessa kärkipisteessä sama.<br />

Tarkastellaan yhtä kärkipistettä laatoituksessa. Säännölliset ja<br />

puolisäännölliset laatoitukset voidaan nimetä luettelemalla<br />

kärkipisteessä kohtaavien monikulmioiden sivujen lukumäärät.<br />

Luettelu aloitetaan vähäsivuisimmasta monikulmiosta.<br />

Kuva: Mehiläiskenno on 6.6.6-laatoitus<br />

3 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>


<strong>Laatoitukset</strong><br />

Puolisäännöllinen laatoitus muodostuu kahdesta tai useammasta eri<br />

monikulmiosta siten, että kuvio on jokaisessa kärkipisteessä sama.<br />

Tarkastellaan yhtä kärkipistettä laatoituksessa. Säännölliset ja<br />

puolisäännölliset laatoitukset voidaan nimetä luettelemalla<br />

kärkipisteessä kohtaavien monikulmioiden sivujen lukumäärät.<br />

Luettelu aloitetaan vähäsivuisimmasta monikulmiosta.<br />

Kuva: Mehiläiskenno on 6.6.6-laatoitus<br />

Tehtävä: Etsi puolisäännöllisiä laatoituksia ja nimeä ne.<br />

Find semi-regular tessellations.<br />

3 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>


Jaksottomat laatoitukset<br />

Tähän mennessä tarkastellut laatoitukset ovat kaikki ns.<br />

siirtosymmetrisia. Niitä kutsutaan jaksollisiksi laatoituksiksi.<br />

4 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>


Jaksottomat laatoitukset<br />

Tähän mennessä tarkastellut laatoitukset ovat kaikki ns.<br />

siirtosymmetrisia. Niitä kutsutaan jaksollisiksi laatoituksiksi.<br />

Laatoitus on jaksoton, jos sillä ei ole siirtosymmetriaa.<br />

Kuva: Roger Penrosen alkuperäinen jaksoton laatoitus<br />

4 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>


Jaksottomat laatoitukset<br />

Vuonna 1961 Wang väitti, että kaikki laatoitukset voidaan<br />

uudelleenjärjestää niin, että laatoituksesta tulee jaksollinen.<br />

Tämän väitteen todisti vääräksi Berger v. 1966 (vastaesimerkissä<br />

20426 erilaista laattaa).<br />

5 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>


Jaksottomat laatoitukset<br />

Vuonna 1961 Wang väitti, että kaikki laatoitukset voidaan<br />

uudelleenjärjestää niin, että laatoituksesta tulee jaksollinen.<br />

Tämän väitteen todisti vääräksi Berger v. 1966 (vastaesimerkissä<br />

20426 erilaista laattaa).<br />

Sittemmin saatiin esimerkkejä pienemmällä laattamäärällä.<br />

Viimeisin on Roger Penrosen jaksoton laatoitus, jota ei voida<br />

uudelleenjärjestää jaksolliseksi, vain kahdella erilaisella laatalla!<br />

5 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>


Jaksottomat laatoitukset<br />

Kuva: Roger Penrosen laatoitus leija- ja nuolilaatoilla Keskuskadulla<br />

6 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>


Jaksottomat laatoitukset<br />

Kuva: Roger Penrosen laatoitus leija- ja nuolilaatoilla Keskuskadulla<br />

Tehtävä: Etsi jaksoton laatoitus.<br />

Find an aperiodic tiling.<br />

6 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>


<strong>Laatoitukset</strong> ja M.C. Escher<br />

Katsotaan Mrs. Heiserin slide-show hienoine kuvineen.<br />

7 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>


Taidelaatoitusten piirtäminen<br />

www.tessellations.org<br />

8 / 9 R. Kangaslampi <strong>Laatoitukset</strong>

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!