Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

Luku 2
Hyvin ja huonosti asetetut
inversio-ongelmat
2.1 Hyvin asetetut inversio-ongelmat
Ryhdytään tarkastelemaan inversio-ongelmia vektoriavaruuksissa R n . Vektoriavaruus
soveltuu hyvin tuntemattomien kuvailuun käytännön inversio-ongelmissa,
sillä usein tavoitteena on muodostaa kuva tuntemattomasta kohteesta. Jos kuvassa
on m × m pikseliä, niin tuntematon voidaan kuvata vektorina, jonka dimensio
on n = m 2 .
Lineaarinen vektoriavaruus R n , n ≥ 1 varustetaan tavanomaisella topologialla,
jossa a-keskinen r-säteinen avoin pallo, missä a = (a 1 , ..., a n ) ∈ R n ja
r > 0, on muotoa
B(a, r) = {x ∈ R n : |x − a| < r}.
Vektorin x = (x 1 , .., x n ) ∈ R n pituus |x| on
∑
|x| = √ n |x i | 2 .
i=1
Olkoon D ⊂ R n . Palautetaan mieleen, että funktio F : D ⊂ R n → R m on
jatkuva pisteessä x 1 ∈ D jos jokaisella ǫ > 0 on olemassa sellainen δ > 0 että
ehdoista x 2 ∈ D ja |x 1 − x 2 | < δ seuraa |F(x 1 ) − F(x 2 )| < ǫ.
Seuraava määritelmä on inversio-ongelmien kannalta tärkeä.
Määritelmä 1 (Jacques Hadamard, 1865-1963). Ongelma on hyvin asetettu
(eng. well-posed), jos
1. Ongelmalla on ratkaisu.
2. Ratkaisu on yksikäsitteinen.
3. Ratkaisu riippuu annetusta datasta jatkuvasti.
Määritellään joukko
V = {x ∈ R n : x on mahdollinen tuntematon }
17