Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
integraali g(˜θ) saadaan raja-arvona Riemannin summista<br />
n∑<br />
S n (˜θ) = R(˜θ − θ (n)<br />
j )f(θ (n)<br />
j )h n ,<br />
j=1<br />
kun välin jakoa tihennetään (erityisesti kun n = 2 m ja m → ∞). Kirjoitetaan<br />
nyt annetut arvot muodossa<br />
(∫ π<br />
)<br />
g(θ k ) = R(θ k − θ)f(θ)dθ − S n (θ k ) + S n (θ k )<br />
−π<br />
n∑<br />
= R(θ k − θ j )f(θ j )h + e k ,<br />
missä<br />
Merkitään<br />
sekä<br />
j=1<br />
e k =<br />
∫ π<br />
−π<br />
R(θ k − θ)f(θ)dθ − S n (θ k ).<br />
M kj = R(θ k − θ j )h<br />
x k = f(θ k ) ja y k = g(θ k )<br />
kun k, j = 1, ..., n. Voimme korvata alkuperäisen ongelman matriisiyhtälöllä,<br />
y = Mx + e.<br />
jossa annettu data y on epätarkka.<br />
Ryhdytään arvioimaan matriisin M ehtolukua. Matriisi M on<br />
⎛<br />
⎞<br />
R(0) R(−h) R(−2h) · · · R(−(n − 2)h R(−(n − 1)h)<br />
R(h) R(0) R(−h) · · · R(−(n − 3)h) R(−(n − 2)h)<br />
M = h<br />
R(2h) R(h) R(0) · · · R(−(n − 4)h) R(−(n − 2)h)<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ . . . · · · .<br />
. ⎠<br />
R((n − 1)h) R((n − 2)h) R((n − 3)h) · · · R(h) R(0)<br />
Funktion R jaksollisuuden ansiosta matriisi M on ns. sirkulantti matriisi.<br />
Yleisesti matriisia M ∈ R n×n kutsutaan sirkulantiksi (eng. circulant matrix),<br />
jos se on muotoa<br />
⎛<br />
⎞<br />
m 1 m n m n−1 · · · m 3 m 2<br />
m 2 m 1 m n · · · m 4 m 3<br />
M =<br />
m 3 m 2 m 1 · · · m 5 m 4<br />
⎜<br />
⎝<br />
.<br />
.<br />
. · · ·<br />
.<br />
⎟<br />
. ⎠<br />
m n m n−1 m n−2 · · · m 2 m 1<br />
jollakin vektorilla (m 1 , ..., m n ) ∈ R n .<br />
Lemma 1. Sirkulantin matriisin M ∈ R n×n ominaisarvot ovat<br />
n∑<br />
λ k = m j exp(−2πi(j − 1)(k − 1)/n), k = 1, .., n.<br />
j=1<br />
ja sirkulantti matriisi M on unitaarisesti similaarinen diagonaalimatriisin kanssa<br />
(eli on olemassa unitaarinen matriisi U, jolle U ∗ MU on diagonaalimatriisi).<br />
25