Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Luku 3<br />
Likimääräisratkaisut ja<br />
regularisaatio<br />
Ryhdytään tarkastelemaan klassista approksimatiivista ratkaisumenetelmää huonosti<br />
asetetuille lineaarisille ongelmille.<br />
3.1 Pienimmän neliösumman menetelmä<br />
Olkoon x ∈ R n tuntematon vektori, A ∈ R m×n tunnettu matriisi ja<br />
y = Ax + ε ∈ R m (3.1)<br />
annettu data.<br />
Pienimmän neliösumman menetelmässä (eng. least squares method) valitaan<br />
yhtälön (3.3) likimääräisratkaisuksi sellainen ˆx, jolla<br />
eli<br />
‖Aˆx − y‖ 2 = min<br />
x∈R n ‖Ax − y‖2 .<br />
ˆx = argmin<br />
x∈R n ‖Ax − y‖ 2 .<br />
Merkintä argmin tarkoittaa funktionaalin x ↦→ ‖Ax −y‖ 2 sitä argumenttia jolla<br />
minimi saavutetaan.<br />
Huomautus 1. Termi likimääräisratkaisu tarkoittaa, että ˆx ei välttämättä toteuta<br />
yhtälöä y = Aˆx.<br />
( )<br />
1 0<br />
Esimerkki 9. Olkoon tuntematon x 0 = (1 0) T , A = ja y = Ax<br />
0 0<br />
0 +<br />
(0 0.1) T = (1 0.1) T . Kun x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 , niin<br />
( ) ( ‖Ax − y‖ 2 =<br />
1 0 x1<br />
∥ 0 0<br />
x 2<br />
)<br />
−<br />
( )∥<br />
1 ∥∥∥<br />
2<br />
= (x<br />
0.1 1 − 1) 2 + 0.1 2 ≥ 0.01.<br />
Näytetään, että pienimmän neliösumman ratkaisu on olemassa. Osoitetaan<br />
ensin seuraava aputulos.<br />
31