Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

ominaisarvot Dii 2 + α ovat suurempia tai yhtä suuria kuin α. Singulaariarvohajotelman
avulla saamme
ˆx α = (V (D T D + αI)V T ) −1 V D T U T y = V (D T D + αI) −1 D T U T y
eli
Tällöin
n∑ m∑
(ˆx α ) i =
j=1 k=1
V ij
D jj
D 2 jj + αU jky k .
Aˆx α = UDV T V (D T D + αI) −1 D T U T y = UD(D T D + αI) −1 D T U T y
saa muodon
(Aˆx α ) i =
Vektorin Aˆx α − y normin neliö on
n∑
m∑
j=1 k=1
f(α) := ‖Aˆx α − y‖ 2 =
U ij
D 2 jj
D 2 jj + αU jky k .
(
) 2 n∑ α
Djj 2 + y) j .
α(UT
j=1
Tutkitaan funktion f arvojoukkoa. Voimme laskea funktion f derivaatan lausekkeesta
(
) 2
f ′ (α) = d n∑ α
dα D 2 j=1 jj + y) j α(UT
(
) (
)
n∑ α
1
= 2
Djj 2 + y) j α(UT Djj 2 + α − α
(Djj 2 + (U T y j )
α)2
=
j=1
n∑ αDjj
2 2
(Djj 2 + α)3 (UT y) 2 j ≥ 0.
j=1
Erityisesti jos y ≠ 0 on f ′ (α) > 0, jolloin f on aidosti kasvava. Lisäksi
ja
lim f(α) = lim
α→∞ α→∞ ‖A(AT A + αI) −1 A T y − y‖ 2 = ‖y‖ 2 .
lim f(α) = ‖Aˆx −
α→0+ y‖2 ,
missä ˆx on pienimmän neliösumman ratkaisu. Huomautuksen 2 mukaan Aˆx =
Py, missä P on ortogonaaliprojektio aliavaruudelle R(A). Kun ‖ε‖ ≤ e, niin
Morozovin diskrepanssiperiaatetta voidaan täten käyttää jos ‖(I − P)y‖ ≤ e ≤
‖y‖.
Yleisemmin Tikhonovin regularisaatiolla tarkoitetaan minimointiongelmaa
ˆx = argmin
x∈R n ‖Ax − y‖ 2 + ‖Bx‖ 2 .
39