Opiskelumoniste - Lahti

lahti.fi

Opiskelumoniste - Lahti

KOMPLEKSILUVUT C

Luonnolliset

luvut N

Kokonaisluvut

Z

Rationaaliluvut

Q

Reaaliluvut

R

Kompleksi

luvut C

Negat. kokonaisluvut

Murtoluvut

Irrationaaliluvut

Imaginaariluvut

Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen on johtanut lukualueen laajentamiseen.Esimerkiksi:

• Yhtälön x + 7 = 2 ratkaisu ei ole luonnollinen luku, vaan se kuuluu luonnollisia lukuja

laajempaan kokonaislukujen joukkoon.

• Yhtälön 2x = 3 ratkaisu taas ei ole kokonaisluku, vaan se on murtoluku, joka kuuluu

kokonaislukuja laajempaan rationaalilukujen joukkoon.

• Edelleen yhtälön x 2 = 2 ratkaiseminen edellyttää rationaalilukujen joukon laajentamista

reaalilukujen joukoksi.

• Jotta voitaisiin ratkaista vaikkapa yhtälö x 2 = − 1, on reaalilukujen joukkoa laajennettava.

Imaginaariyksikkö i

2

i = −1 eli − 1 = i

Yhtälön x 2 = − 1 ratkaisu on x = ± − 1 = ± i .

2

Yhtälön x − 4x

+ 8 = 0 ratkaisu on

Kompleksiluvut

x = ± − 2

4 ( 4)

− 4 ⋅ 1 ⋅ 8

2 ⋅1

4 i

= ± − 16 4

= ± 4

= 2 ± 2i

2 2

Kompleksiluvut ovat muotoa z = a + bi , missä a, b ∈ R .

Kompleksiluvun z reaaliosa Re z = a ja imaginaariosa Im z = b.

Kompleksiluku z = a + bi on

• reaalinen, jos b = 0 ,

• imaginaarinen, jos b ≠ 0 ,

• puhtaasti imaginaarinen, jos a = 0 ja b ≠ 0 .

Kompleksilukujen yhtäsuuruus

Kompleksiluvut z 1 ja z 2 ovat samat eli z 1 = z 2 joss Re z 1 = Re z 2 ja Im z 1 = Im z 2

Kompleksiluvun vastaluku ja liittoluku

Olkoon z = a + bi . Silloin

• z:n vastaluku − z = −a − bi ,

• z:n liittoluku z = a − bi .

Lahden Lyseon lukio 1 HL/2005


Laskutoimitukset

Kompleksiluvuilla lasketaan vastaavasti kuin polynomeilla muistaen tietenkin, että i 2 = − 1 .

Seuraavassa joitakin esimerkkejä kompleksilukujen yhteen-, vähennys-, kerto- ja

jakolaskuista.

1. Laske kompleksilukujen 2 − 5i ja 3 + 2i summa, erotus, tulo ja osamäärä.

( 2 − 5i ) + ( 3 + 2i)

= 2 + 3 − 5i + 2i = 5 − 3i

( 2 − 5i) − ( 3 + 2i)

= 2 − 3 − 5i − 2i = −1−

7i

2

( 2 − 5i)( 3 + 2i) = 6 + 4i − 15i − 10i = 6 − 11i − 10( − 1)

= 6 − 11i + 10 = 16 − 11i

2 − 5i

lasketaan poistamalla imaginaariyksikkö i nimittäjästä laventamalla nimittäjän

3 + 2i liittoluvulla, siis

2

2 − 5i

( 2 − 5i

)( 3 − 2i)

6 4 15 10 6 19 10 4 19 4 19

=

= − i − i + i

= − i − = − − i

= − − i

2 2

3 + 2i

( 3 + 2i)( 3 − 2i) 3 − ( 2i)

9 + 4 13 13 13

2. Olkoon z = − 2 + 3 i . Mikä on z:n käänteisluku 1 1

z eli z − esitettynä muodossa a + bi ?

3. Osoita, että kompleksiluvun ja sen liittoluvun summa ja tulo ovat aina reaalisia.

2

⎛ 1−

2i⎞

4. Määritä kompleksiluvun z = ⎜ ⎟ reaali- ja imaginaariosat.

⎝ 2 + i ⎠

5. Olkoon z1 , z2

∈ C . Osoita, että z + z = z + z

1 2 1 2

6. Määritä sellainen reaaliluku a, että

a 1

+ on reaalinen.

1− i ai

Kompleksilukuyhtälöitä

Tarkastellaan yhtälöiden ratkaisua parin esimerkin avulla.

1. Ratkaise z yhtälöstä iz( 3 − i)

= z + 3 − i .

2

3iz − i z = z + 3 − i

3iz + z = z + 3 − i

3iz

= 3 − i

3 i i i i

z = − ( 3 − )( − )

= = − 1 − 3

= − 1

− i

3i

3i

( −i)

3 3

2. Ratkaise z yhtälöstä z − z = iz + 4 .

Koska yhtälössä esiintyy sekä kompleksiluku z että sen liittoluku z , on yhtälö

ratkaistava esittämällä z muodossa z = a + bi , jolloin z = a − bi .

a − bi − ( a + bi) = i( a − bi) + 4

2

a − bi − a − bi = ai − bi + 4

− 2 bi = b + 4 + ai Kompleksiluvut samat, joss reaali- ja imaginaariosat samat.

0 = b + 4 ja − 2b = a

Lahden Lyseon lukio 2 HL/2005


= − 4 ja a = 8

Täten z = 8 − 4 i

3. Ratkaise z:n suhteen yhtälö 3z − 2iz = i .

4. Ratkaise z:n suhteen yhtälö

z 1

1− z

= 3 − i

.

Kompleksitaso

Jokaista kompleksilukua z = a + bi ( a, b ∈ R ) vastaa täsmälleen yksi järjestetty reaalilukupari

( a, b)

ja kääntäen. Näin ollen jokainen kompleksiluku voidaan esittää xy-tason pisteenä ja

jokainen xy-tason piste on jokin kompleksiluku. Koordinaatistoa sanotaan tässä yhteydessä

kompleksitasoksi. Alla olevaan kompleksitasoon on merkitty kompleksiluku 2 + 4i .

1. Merkitse kompleksitasoon luvut −1−

i ja 3 1 2 i .

2. Missä kompleksitason pisteissä z + z = 2 ?

Olkoon z = x + yi ja z = x − yi .

z + z = x + yi + x − yi = 2 x

Täten 2x

= 2 ⇔ x = 1. Pisteet ovat suoralla x = 1.

3. Missä kompleksitason pisteissä zz = z + z ?

Olkoon z = x + yi ja z = x − yi .

( x + yi)( x − yi)

= x + yi + x − yi

x 2 + y 2 = 2x

x − 2x + 1 + y = 1

2 2 2 2

2 2

( x − 1) + ( y − 0)

= 1

Pisteet ovat ympyrällä, jonka keskipiste on (1,0) ja säde 1.

4. Missä kompleksitason pisteissä luku z + z

−1 on reaalinen?

Lahden Lyseon lukio 3 HL/2005


Kompleksiluvun itseisarvo eli moduli

Kompleksiluvun z itseisarvo z ilmoittaa luvun etäisyyden origosta.

Jos z = a + bi , niin itseisarvo z = a + b

2 2 .

1. 2 − 3i = 2 2 + ( − 3)

2 = 13

( )

5i = 0 2 + 5 = 5

2

2.

1+

i

1−

i

3. Missä kompleksitason pisteissä z − i ≤ 2

z = x + yi

( )

z − i = x + yi − i = x + ( y − 1)

i = x + y − 1

Täten on siis x ( y )

+ − 1 ≤ 2 .

2 2

2 2

Koska molemmat puolet positiivisia, niin neliöönkorotuksessa järjestys säilyy, joten

( y )

x + − 1 ≤ 4 .

Ympyrällä, jonka keskipiste on (0,1) ja säde 2 sekä sen sisäpuolella.

2 2

4. Esitä kompleksitasossa yhtälön z + 1 = z − 2 − i ratkaisut.

5. Missä sijaitsevat kompleksitasossa ne pisteet, jotka toteuttavat ehdon 2 z ≤ z + 6 ?

Lahden Lyseon lukio 4 HL/2005


Polynomien jaollisuus ja nollakohdat

Tarkastellaan n-asteista polynomifunktiota ( n ≥ 1)

n

n−1

p ( z)

= an

z + an−

1z

+ ... + a1z

+ a0

, an

,..., a0

∈ C , an

≠ 0.

Polynomi p (z)

on jaollinen binomilla ( z − a)

silloin ja vain silloin, kun z = a on polynomin

p (z) nollakohta.

k

Kompleksiluku z = a on polynomin p (z)

k-kertainen nollakohta, jos p( z)

= ( z − a)

q(

z)

ja

q (z) ei ole enää jaollinen binomilla ( z − a)

, ts. q ( a)

≠ 0 .

Polynomilla p (z)

on kompleksilukujen joukossa C täsmälleen n nollakohtaa, kun jokainen

nollakohta otetaan mukaan niin monta kertaa kuin sen kertaluku osoittaa. Jos nollakohdat ovat

z

1

, z2

,..., , niin p( z)

= a ( z − z )( z − z2

) L ( z − z ) .

z n

n

1 n

1. Jaa polynomi p ( z)

= z 3 − 27 ensimmäisen asteen tekijöihin.

Ratkaistaan polynomin nollakohdat. helposti huomataan, että z = 3 on yksi nollakohta,

joten binomi ( z − 3)

on yksi tekijä. Suorittamalla jakolasku jakokulmassa saadaan

3

z − 27 = z

2 + 3z

+ 9 .

z − 3

3

2

Täten z − 27 = ( z − 3)( z + 3z

+ 9)

. Muut nollakohdat saadaan ratkaisemalla yhtälö

2

− 3 3

z + 3z

+ 9 = 0 . Ratkaisut ovat z = ± 3 i . Täten

2 2

3

⎛ 3 3 ⎞⎛

3 3 ⎞

z − 27 = ( z − 3) ⎜ z + − 3 i⎟⎜

z + + 3 i⎟ .

⎝ 2 2 ⎠⎝

2 2 ⎠

Kompleksiluvun esitys polaarimuodossa

Tarkastellaan kompleksilukua z = x + yi kompleksitasossa. Olkoon z = r .

Silloin on

x = r cosθ , y = r sinθ

.

Lahden Lyseon lukio 5 HL/2005


Kompleksiluvun z = x + yi polaariesitys on

z = r(cosθ

+ i sinθ

) ,

missä θ on kompleksiluvun z argumentti, ts. θ = arg z ja r = z .

1. Muuta kompleksiluku z = 1+

i polaarimuotoon. Mikä on kompleksiluvun argumentti?

2. Muuta kompleksiluku z = 3 + 3 3 i polaarimuotoon. Mikä on kompleksiluvun argumentti?

Lahden Lyseon lukio 6 HL/2005


Joitakin ylioppilastehtäviä

YO-S98/7: Kompleksiluku z = x + yi on myös vektori xi + y j . Määritä kaikki kompleksiluvut z 1

ja z 2 , joille pätee z1 ⋅ z2 = z1z2

. Tässä z1 ⋅ z2

tarkoittaa vektoreiden z 1 ja z 2 skalaarituloa

ja z 1

z 2

kompleksilukujen z 1 ja z 2 tuloa.

YO-K97/6 Millä kompleksiluvuilla z luku ( 2 − z − )

i z on positiivinen? Piirrä kuvio.

YO-K95/9 Ajanhetkellä t ≥ 0 ovat pisteet z = z ( t) ja z = z ( t) kompleksitasolla paikoissa

1 1 2 2

t

t

z1( t) = t + ie − , z2 ( t)

= 3 + t + 2ie

− . Määritä pisteiden välinen etäisyys z − z

hetkellä t. Milloin etäisyys on suurin? Määritä lim z ( t) − z ( t)

t→∞

YO-K94/4 Määritä kompleksiluvut z = x + yi , joille z 2 = − i .

1 2

.

PR-99/9 Mikä on kompleksitason pistejoukon z − ( 1− 2i)

= 2 pienin etäisyys origosta?

1 2

Lahden Lyseon lukio 7 HL/2005

More magazines by this user
Similar magazines