Harjoitus 3

TL5361, Näytejonosysteemit (K2007)
Harjoitus 3
1.
Kausaali suodatin käyttää laskennassaan vain nykyisiä ja aiempina ajanhetkinä
(= pienemmillä indeksiarvoilla) mitattuja tai laskettuja signaaliarvoja, jotka
suodatin lukee muistista. Kausaalisuus on välttämätöntä reaaliaikajärjestelmille.
Matemaattisesti kausaalisuusehto voidaan ilmaista muodossa h ( n) = 0 , n < 0 (eli
suodatin on kausaali, jos sen impulssivaste saa nollasta poikkeavia arvoja vain,
kun indeksi on nolla tai positiivinen).
Määritä seuraavien suodattimien impulssivasteet ja tutki, ovatko ne kausaaleja:
a)
a) y(n) = x(n) + 0.5x(n-1)
b) y(n) = x(n) + 0.5x(n+1)
Sij. x ( n) = δ ( n) ⇒ y( n) = h( n)
h
⎧1,
n = 0
⎨
⎩0.5,
n = 1
( n) = δ ( n) + 0 .5⋅δ
( n −1) = = { 1, 0.5} ⇒ h( n) = 0, n = 0
Suodatin on siis kausaali. Huomaa, että lähtö y(n) riippuu vain nykyisestä [x(n)] ja
tätä edeltävästä [x(n-1)] tulosignaalin arvosta.
b)
Sij. x ( n) = δ ( n) ⇒ y( n) = h( n)
h
⎧0.5,
n = −1
⎨
⎩1,
n = 1
( n) = δ ( n) + 0.5
⋅δ
( n + 1) =
⇒ h( n) ≠ 0, n = −1
Suodatin ei siis ole kausaali. Huomaa, että lähtö y(n) riippuu nykyisestä [x(n)] ja
seuraavaksi tulevasta [x(n+1)] tulosignaalin arvosta. Reaaliaikajärjestelmässä ei ole
aikaa odotella seuraavaksi tulevia arvoja.
©Jyrki Laitinen 1

TL5361, Näytejonosysteemit (K2007)
Harjoitus 3
2.
Stabiili suodatin tuottaa äärellisestä herätteestä äärellisen vasteen.
Matemaattisesti stabiilisuusehto voidaan ilmaista muodossa
∑ ∞
−∞ k =
h ( k)
< ∞ (eli
suodatin on stabiili, jos sen impulssivasteen arvojen itseisarvojen summa on
äärellinen).
Määritä seuraavien suodattimien impulssivasteet ja tutki ovatko ne stabiileja:
a)
a) y(n) = x(n) + 1.5y(n-1)
b) y(n) = x(n) - 0.5y(n-1)
Sij. x ( n) = δ ( n) ⇒ y( n) = h( n)
h
n
n
n
n
n
M
( n) = δ ( n) + 1.5⋅
h( n −1)
= 0 : h( 0) = δ ( 0)
+ 1.5⋅
= 1: h( 1) = δ ( 1)
+ 1.5 ⋅ h
= 2 : h( 2) = δ ( 2)
+ 1.5 ⋅
= 3 : h( 3) = δ ( 3)
+ 1.5 ⋅
= 4 : h( 4) = δ ( 4)
+ 1.5 ⋅
n = n :
h
h(
−1)
= 1+
1.5 ⋅ 0 = 1
(0) = 0 + 1.5 ⋅1
= 1.5
h(1)
= 0 + 1.5 ⋅1.5
= 1.5
h(2)
= 0 + 1.5 ⋅1.5
h(3)
= 0 + 1.5 ⋅1.5
( = 2.25)
3
= 1.5 ( = 3.375)
4
= 1.5 ( = 5.0625)
n−1
n
( n) = δ ( n) + 1.5 ⋅ h(
n −1)
= 0 + 1.5 ⋅1.5
= 1.5
2
3
2
∑ ∞
k = −∞
b)
2 3 4
h ( k)
= 1+
1.5 + 1.5 + 1.5 + 1.5 + L → ∞ ⇒ Suodatin ei ole stabiili.
Sij. x ( n) = δ ( n) ⇒ y( n) = h( n)
h
n
n
n
n
n
( n) = δ ( n) + 0.5⋅
h( n −1)
= 0 : h( 0) = δ ( 0)
+ 0.5⋅
= 1: h( 1) = δ ( 1)
+ 0.5 ⋅ h
= 2 : h( 2) = δ ( 2)
+ 0.5 ⋅
= 3 : h( 3) = δ ( 3)
+ 0.5 ⋅
= 4 : h( 4) = δ ( 4)
+ 0.5 ⋅
M
n = n :
∑ ∞
k = −∞
h
h(
−1)
= 1+
0.5 ⋅ 0 = 1
(0) = 0 + 0.5 ⋅1
= 0.5
h(1)
= 0 + 0.5 ⋅ 0.5 = 0.5
h(2)
= 0 + 0.5 ⋅ 0.5
h(3)
= 0 + 0.5 ⋅ 0.5
( = 0.25)
3
= 0.5 ( = 0.125)
4
= 0.5 ( = 0.0625)
n−1
n
( n) = δ ( n) + 0.5 ⋅ h(
n −1)
= 0 + 0.5 ⋅ 0.5 = 0.5
2
3
2 3 4 1
h ( k)
= 1+
0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + L = = 2 < ∞ ⇒ Suodatin on stabiili.
1−
0.5
2
©Jyrki Laitinen 2

TL5361, Näytejonosysteemit (K2007)
Harjoitus 3
Edellä oli kyseessä geometrinen sarja, jonka ensimmäinen termi a = 1 ja peräkkäisten
termien välinen suhde q = 0.5. Jos |q|

TL5361, Näytejonosysteemit (K2007)
Harjoitus 3
3.
Lineaarisen aikainvariantin (LTI) suodattimen impulssivaste on h(n) = {-0.01,
0.02, -0.10, 0.40, -0.10, 0.02, -0.01}.
a) Esitä suodattimen differenssiyhtälö.
b) Suunnittele suodattimelle toteutus, joka minimoi kertolaskujen määrän.
c) Esitä suunnittelemasi toteutus lohkokaaviona.
d) Määritä sekunnissa tarvittavien lasku- ja muistioperaatioiden määrä, jos
suodatettavan signaalin näytetaajuus f s = 44100 Hz.
Koska impulssivaste on äärellisen pituinen (N = 7) on kyseessä FIR-suodatin.
Impulssivasteen h(n) arvot ovat FIR-suodattimen tapauksessa suoraan
suodinkertoimien a k arvoja. Tämän perusteella voidaan nyt helposti kirjoittaa
differenssiyhtälö, jota muokkaamalla kertolaskujen määrä minimoituu.
y
( n) = a x( n) + a x( n − ) + a x( n − 2) + a x( n − 3) + a x( n − 4) + a x( n − 5) + a x( n − 6)
0
= −0.01⋅
x
= −0.01⋅
1
1
2
3
4
5
6
( n) + 0.02 ⋅ x( n −1) − 0.10 ⋅ x( n − 2) + 0.40 ⋅ x( n − 3) − 0.10 ⋅ x( n − 4) + 0.02 ⋅ x( n − 5) − 0.01⋅
x( n − 6)
{ x( n) + x( n − 6)
} + 0.02 ⋅{ x( n −1) + x( n − 5)
} − 0.10 ⋅{ x( n − 2) + x( n − 4)
} + 0.40 ⋅ x( n − 4)
x[n] z -1 z -1 z -1
z -1 z -1 z -1
-0.01
0.02 -0.10
0.40
y[n]
©Jyrki Laitinen 4

TL5361, Näytejonosysteemit (K2007)
Harjoitus 3
4.
Tarkastellaan oheista IIR-suodatinta.
x(n)
0.3
y(n)
z -1
0.6
0.1
z -1
z -1
0.3
0.1
z -1
a) Määritä suodattimen differenssiyhtälö.
b) Määritä suodinkertoimet.
c) Määritä laskentakapasiteetti- ja muistivaatimus.
a)
y ( n)
= 0.3⋅
x(
n)
+ 0.6 ⋅ x(
n −1)
+ 0.3⋅
x(
n − 2)
+ 0.1⋅
y(
n −1)
+ 0.1⋅
y(
n − 2)
b)
y ( n ) = a0
⋅ x ( n ) + a1
⋅ x ( n −1
) + a2
⋅ x ( n − 2 ) − b1
⋅ y ( n −1
) − b2
⋅ y ( n − 2 )
= 0.3⋅
x( n) + 0.6 ⋅ x( n −1) + 0.3⋅
x( n − 2) + 0.1⋅
y( n −1) + 0.1⋅
y( n − 2)
⇒
a
0
2
= 0.3
a1
= 0.6
a = 0.3
b = −0.1
b
1
2
= −0.1
c)
Yhteenlaskuja 4 kpl
Kertolaskuja 5 kpl
Muistihakuja 4 kpl
©Jyrki Laitinen 5

TL5361, Näytejonosysteemit (K2007)
Harjoitus 3
5.
Huomataan, että tehtävän 4 suodatin koostuu kahdesta peräkkäisestä
suodattimesta. Tällaista esitystä kutsutaan suora muoto I:ksi.
x(n)
0.3
y(n)
z -1
0.6
0.1
z -1
z -1
0.3
0.1
z -1
Suodatin 1 Suodatin 2
Koska suodattimet ovat lineaarisia ja aikainvariantteja (LTI), niiden järjestystä
voidaan vaihtaa, jolloin rakenne muuttuu seuraavaksi
x(n)
0.1
0.1
0.3
w(n)
z -1 z -1
z -1 z -1
0.6
0.3
y(n)
Suodatin 2
Suodatin 1
Tämä rakenne esitetään useimmiten lyhyemmin alla esitetyssä muodossa, jota
kutsutaan suora muoto II:ksi.
x(n)
0.1
0.1
0.3
z -1
0.6
z -1
0.3
y(n)
a) Määritä suodatin 2:sen lähtö w(n).
b) Määritä suodatin 1:sen lähtö y(n), kun tulosignaalina on w(n).
c) Mitä etua tällä suodatusjärjestyksellä saavutetaan?
a)
w ( n)
= x(
n)
+ 0.1⋅
w( n −1)
+ 0.1⋅
w(
n − 2)
b)
y ( n)
= 0.3⋅
w( n)
+ 0.6 ⋅ w( n −1)
+ 0.3⋅
w(
n − 2)
©Jyrki Laitinen 6

TL5361, Näytejonosysteemit (K2007)
Harjoitus 3
c)
Kuten a) ja b)-kohdan kaavoista huomataan luetaan kummassakin suodattimessa
muistista arvot w(n-1) ja w(n-2). Nämä voidaan säilyttää neljän muistipaikan
(viiveen) asemesta kahdessa muistipaikassa, jolloin muistinkäyttö tehostuu.
Suora muoto II vaatii nyt
Yhteenlaskuja 4 kpl
Kertolaskuja 5 kpl
Muistihakuja 2 kpl
Seuraavassa kuvassa on esitetty tehtävän 4 ja 5 suodattimen amplitudispektri (ylempi)
ja vaihespektri (alempi).
Taajuusasteikko on välillä 0 .. π, joka vastaa taajuuksia 0 .. f s /2. Jos suodatettavan
signaalin näytetaajuus on esimerkiksi 44100 Hz, on kuvassa esitetty taajuusväli 0 ..
22050 Hz.
Amplitudiarvot on esitetty desibeliyksiköissä [dB]. 0 dB vastaa vahvistusarvoa 1, -20
dB vahvistusarvoa 0.1, -40 dB vahvistusarvoa 0.01, jne.
0
Magnitude (dB)
-20
-40
-60
-80
-100
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Normalized Frequency (×π rad/sample)
0
Phase (degrees)
-50
-100
-150
-200
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Normalized Frequency (×π rad/sample)
©Jyrki Laitinen 7

TL5361, Näytejonosysteemit (K2007)
Harjoitus 3
6. (Kotitehtävä)
Erään reaaliaikasovelluksissa käytettävän DSP-piirin yhden käskyn suoritusaika
on 11 ns (nanosekuntia). Piirin käskykannassa on käsky MACD, joka hakee
yhden tulosignaalin näytearvon ja yhden suodinkerroinarvon muistista,
suorittaa yhden suodinkertoimen ja näytearvon kertolaskun ja siirtää yhden
näytearvon muistiin seuraavalle muistipaikalle 11 ns aikana.
Suodatettaessa signaalia Q:n asteen FIR-suotimella tarvitaan yksi käsky
näytearvon x(n) lukemiseen, Q+1 MACD-käskyä konvoluutiosumman
laskemiseen ja yksi käsky suodatetun arvon y(n) tulostamiseen. Lisäksi tarvitaan
kahdeksan muuta käskyä mm. muistin initialisointiin.
Olkoon Q = 154. Kuinka monta näytepistettä voidaan edellä kuvatulla piirillä
enintään suodattaa sekunnissa?
Esitä tulos ja perustelu erillisellä paperilla, jonka palautat nimelläsi ja
ryhmätunnuksellasi varustettuna laskuharjoituksen yhteydessä opettajalle.
Yhden lähtöarvon laskemiseen tarvitaan
· 1 käsky uuden näytearvon x(n) lukemiseen
· Q + 1 käskyä konvoluutiosumman laskemiseen
· 1 käsky uuden näytearvon y(n) tulostamiseen
· 8 muistin initialisointi yms. käskyä
⇒ yhteensä tarvitaan Q + 11 käskyä/lähtöarvo
⇒ yhden näytearvon käsittelyyn kuluva aika on (Q+11)·11 ns
Nyt Q = 154 ⇒ yhden näytearvon käsittelyyn kuluu (154+11)·11 ns = 1815 ns
Sekunnissa voidaan siis suodattaa enintään 1/(1815·10 -9 ) = 550964 näytepistettä.
©Jyrki Laitinen 8