Todistustehtäviä - Lahti

lahti.fi

Todistustehtäviä - Lahti

Todistustehtäviä

Hannu Lehto

Lahden Lyseon lukio


Todistustehtävän rakenne

Lause. Tasakylkisen kolmion kannalle piirretty korkeusjana puolittaa kannan.

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5


Todistustehtävän rakenne

Lause. Tasakylkisen kolmion kannalle piirretty korkeusjana puolittaa kannan.

C

A

D

B

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5


Todistustehtävän rakenne

Lause. Tasakylkisen kolmion kannalle piirretty korkeusjana puolittaa kannan.

C

Oletus.

A

D

B

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5


Todistustehtävän rakenne

Lause. Tasakylkisen kolmion kannalle piirretty korkeusjana puolittaa kannan.

C

Oletus. ∆ABC on tasakylkinen

ja CD on korkeusjana.

A

D

B

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5


Todistustehtävän rakenne

Lause. Tasakylkisen kolmion kannalle piirretty korkeusjana puolittaa kannan.

C

Oletus. ∆ABC on tasakylkinen

ja CD on korkeusjana.

Väitös.

A

D

B

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5


Todistustehtävän rakenne

Lause. Tasakylkisen kolmion kannalle piirretty korkeusjana puolittaa kannan.

C

Oletus. ∆ABC on tasakylkinen

ja CD on korkeusjana.

Väitös. AD=BD.

A

D

B

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5


Todistustehtävän rakenne

Lause. Tasakylkisen kolmion kannalle piirretty korkeusjana puolittaa kannan.

C

Oletus. ∆ABC on tasakylkinen

ja CD on korkeusjana.

Väitös. AD=BD.

A

D

B

Todistus. Tarkastellaan kolmioita ADC ja BDC

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5


Todistustehtävän rakenne

Lause. Tasakylkisen kolmion kannalle piirretty korkeusjana puolittaa kannan.

C

Oletus. ∆ABC on tasakylkinen

ja CD on korkeusjana.

Väitös. AD=BD.

A

D

B

Todistus. Tarkastellaan kolmioita ADC ja BDC

• AC=BC, koska

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5


Todistustehtävän rakenne

Lause. Tasakylkisen kolmion kannalle piirretty korkeusjana puolittaa kannan.

C

Oletus. ∆ABC on tasakylkinen

ja CD on korkeusjana.

Väitös. AD=BD.

A

D

B

Todistus. Tarkastellaan kolmioita ADC ja BDC

• AC=BC, koska oletuksen mukaan ∆ABC on tasakylkinen.

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5


Todistustehtävän rakenne

Lause. Tasakylkisen kolmion kannalle piirretty korkeusjana puolittaa kannan.

C

Oletus. ∆ABC on tasakylkinen

ja CD on korkeusjana.

Väitös. AD=BD.

A

D

B

Todistus. Tarkastellaan kolmioita ADC ja BDC

• AC=BC, koska oletuksen mukaan ∆ABC on tasakylkinen.

• CD on yhteinen

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5


Todistustehtävän rakenne

Lause. Tasakylkisen kolmion kannalle piirretty korkeusjana puolittaa kannan.

C

Oletus. ∆ABC on tasakylkinen

ja CD on korkeusjana.

Väitös. AD=BD.

A

D

B

Todistus. Tarkastellaan kolmioita ADC ja BDC

• AC=BC, koska oletuksen mukaan ∆ABC on tasakylkinen.

• CD on yhteinen

• ∢ADC=∢BDC=90 ◦ , koska

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5


Todistustehtävän rakenne

Lause. Tasakylkisen kolmion kannalle piirretty korkeusjana puolittaa kannan.

C

Oletus. ∆ABC on tasakylkinen

ja CD on korkeusjana.

Väitös. AD=BD.

A

D

B

Todistus. Tarkastellaan kolmioita ADC ja BDC

• AC=BC, koska oletuksen mukaan ∆ABC on tasakylkinen.

• CD on yhteinen

• ∢ADC=∢BDC=90 ◦ , koska oletuksen perusteella CD on korkeusjana.

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5


Todistustehtävän rakenne

Lause. Tasakylkisen kolmion kannalle piirretty korkeusjana puolittaa kannan.

C

Oletus. ∆ABC on tasakylkinen

ja CD on korkeusjana.

Väitös. AD=BD.

A

D

B

Todistus. Tarkastellaan kolmioita ADC ja BDC

• AC=BC, koska oletuksen mukaan ∆ABC on tasakylkinen.

• CD on yhteinen

• ∢ADC=∢BDC=90 ◦ , koska oletuksen perusteella CD on korkeusjana.

Täten on ∆ADC ∼ = ∆BDC

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5


Todistustehtävän rakenne

Lause. Tasakylkisen kolmion kannalle piirretty korkeusjana puolittaa kannan.

C

Oletus. ∆ABC on tasakylkinen

ja CD on korkeusjana.

Väitös. AD=BD.

A

D

B

Todistus. Tarkastellaan kolmioita ADC ja BDC

• AC=BC, koska oletuksen mukaan ∆ABC on tasakylkinen.

• CD on yhteinen

• ∢ADC=∢BDC=90 ◦ , koska oletuksen perusteella CD on korkeusjana.

Täten on ∆ADC ∼ = ∆BDC (ssk, kulmat DAC ja DBC samanlaatuiset eli terävät).

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5


Todistustehtävän rakenne

Lause. Tasakylkisen kolmion kannalle piirretty korkeusjana puolittaa kannan.

C

Oletus. ∆ABC on tasakylkinen

ja CD on korkeusjana.

Väitös. AD=BD.

A

D

B

Todistus. Tarkastellaan kolmioita ADC ja BDC

• AC=BC, koska oletuksen mukaan ∆ABC on tasakylkinen.

• CD on yhteinen

• ∢ADC=∢BDC=90 ◦ , koska oletuksen perusteella CD on korkeusjana.

Täten on ∆ADC ∼ = ∆BDC (ssk, kulmat DAC ja DBC samanlaatuiset eli terävät).

Näin AD=BD

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5


Todistustehtävän rakenne

Lause. Tasakylkisen kolmion kannalle piirretty korkeusjana puolittaa kannan.

C

Oletus. ∆ABC on tasakylkinen

ja CD on korkeusjana.

Väitös. AD=BD.

A

D

B

Todistus. Tarkastellaan kolmioita ADC ja BDC

• AC=BC, koska oletuksen mukaan ∆ABC on tasakylkinen.

• CD on yhteinen

• ∢ADC=∢BDC=90 ◦ , koska oletuksen perusteella CD on korkeusjana.

Täten on ∆ADC ∼ = ∆BDC (ssk, kulmat DAC ja DBC samanlaatuiset eli terävät).

Näin AD=BD yhtenevien kolmioiden vastinsivuina.□

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5


Janan keskinormaali

Määritelmä. Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen

kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan.

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5


Janan keskinormaali

Määritelmä. Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen

kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan.

Lause 1. Jokainen keskinormaalin piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä.

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5


Janan keskinormaali

Määritelmä. Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen

kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan.

Lause 1. Jokainen keskinormaalin piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä.

P

n

A

M

B

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5


Janan keskinormaali

Määritelmä. Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen

kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan.

Lause 1. Jokainen keskinormaalin piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä.

P

n

Oletus.

A

M

B

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5


Janan keskinormaali

Määritelmä. Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen

kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan.

Lause 1. Jokainen keskinormaalin piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä.

P

n

A M B

Oletus. Piste P on janan AB

keskinormaalin n (mielivaltainen)

piste.

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5


Janan keskinormaali

Määritelmä. Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen

kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan.

Lause 1. Jokainen keskinormaalin piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä.

P

n

A M B

Oletus. Piste P on janan AB

keskinormaalin n (mielivaltainen)

piste.

Väitös.

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5


Janan keskinormaali

Määritelmä. Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen

kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan.

Lause 1. Jokainen keskinormaalin piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä.

P

n

A M B

Oletus. Piste P on janan AB

keskinormaalin n (mielivaltainen)

piste.

Väitös. PA=PB

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5


Janan keskinormaali

Määritelmä. Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen

kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan.

Lause 1. Jokainen keskinormaalin piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä.

P

n

A M B

Todistus.

Oletus. Piste P on janan AB

keskinormaalin n (mielivaltainen)

piste.

Väitös. PA=PB

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5


Janan keskinormaali

Määritelmä. Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen

kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan.

Lause 1. Jokainen keskinormaalin piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä.

P

n

A M B

Oletus. Piste P on janan AB

keskinormaalin n (mielivaltainen)

piste.

Väitös. PA=PB

Todistus. 1) Olkoon piste P janan janan AB ulkopuolella ja M keskinormaalin ja

janan AB leikkauspiste.

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5


Janan keskinormaali

Määritelmä. Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen

kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan.

Lause 1. Jokainen keskinormaalin piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä.

P

n

A M B

Oletus. Piste P on janan AB

keskinormaalin n (mielivaltainen)

piste.

Väitös. PA=PB

Todistus. 1) Olkoon piste P janan janan AB ulkopuolella ja M keskinormaalin ja

janan AB leikkauspiste.

Tarkastellaan kolmioita AMP ja BMP.

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5


Janan keskinormaali

Määritelmä. Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen

kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan.

Lause 1. Jokainen keskinormaalin piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä.

A

P

n

M

B

Oletus. Piste P on janan AB

keskinormaalin n (mielivaltainen)

piste.

Väitös. PA=PB

Todistus. 1) Olkoon piste P janan janan AB ulkopuolella ja M keskinormaalin ja

janan AB leikkauspiste.

Tarkastellaan kolmioita AMP ja BMP.

• AM=BM,

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5


Janan keskinormaali

Määritelmä. Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen

kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan.

Lause 1. Jokainen keskinormaalin piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä.

A

P

n

M

B

Oletus. Piste P on janan AB

keskinormaalin n (mielivaltainen)

piste.

Väitös. PA=PB

Todistus. 1) Olkoon piste P janan janan AB ulkopuolella ja M keskinormaalin ja

janan AB leikkauspiste.

Tarkastellaan kolmioita AMP ja BMP.

• AM=BM, keskinormaalin määritelmän nojalla.

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5


Janan keskinormaali

Määritelmä. Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen

kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan.

Lause 1. Jokainen keskinormaalin piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä.

A

P

n

M

B

Oletus. Piste P on janan AB

keskinormaalin n (mielivaltainen)

piste.

Väitös. PA=PB

Todistus. 1) Olkoon piste P janan janan AB ulkopuolella ja M keskinormaalin ja

janan AB leikkauspiste.

Tarkastellaan kolmioita AMP ja BMP.

• AM=BM, keskinormaalin määritelmän nojalla.

• PM on yhteinen.

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5


Janan keskinormaali

Määritelmä. Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen

kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan.

Lause 1. Jokainen keskinormaalin piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä.

A

P

n

M

B

Oletus. Piste P on janan AB

keskinormaalin n (mielivaltainen)

piste.

Väitös. PA=PB

Todistus. 1) Olkoon piste P janan janan AB ulkopuolella ja M keskinormaalin ja

janan AB leikkauspiste.

Tarkastellaan kolmioita AMP ja BMP.

• AM=BM, keskinormaalin määritelmän nojalla.

• PM on yhteinen.

• ∢AMP=∢BMP

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5


Janan keskinormaali

Määritelmä. Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen

kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan.

Lause 1. Jokainen keskinormaalin piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä.

A

P

n

M

B

Oletus. Piste P on janan AB

keskinormaalin n (mielivaltainen)

piste.

Väitös. PA=PB

Todistus. 1) Olkoon piste P janan janan AB ulkopuolella ja M keskinormaalin ja

janan AB leikkauspiste.

Tarkastellaan kolmioita AMP ja BMP.

• AM=BM, keskinormaalin määritelmän nojalla.

• PM on yhteinen.

• ∢AMP=∢BMP keskinormaalin määritelmän nojalla.

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5


Janan keskinormaali

Määritelmä. Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen

kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan.

Lause 1. Jokainen keskinormaalin piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä.

A

P

n

M

B

Oletus. Piste P on janan AB

keskinormaalin n (mielivaltainen)

piste.

Väitös. PA=PB

Todistus. 1) Olkoon piste P janan janan AB ulkopuolella ja M keskinormaalin ja

janan AB leikkauspiste.

Tarkastellaan kolmioita AMP ja BMP.

• AM=BM, keskinormaalin määritelmän nojalla.

• PM on yhteinen.

• ∢AMP=∢BMP keskinormaalin määritelmän nojalla.

Täten on ∆AMP ∼ = ∆BMP

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5


Janan keskinormaali

Määritelmä. Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen

kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan.

Lause 1. Jokainen keskinormaalin piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä.

A

P

n

M

B

Oletus. Piste P on janan AB

keskinormaalin n (mielivaltainen)

piste.

Väitös. PA=PB

Todistus. 1) Olkoon piste P janan janan AB ulkopuolella ja M keskinormaalin ja

janan AB leikkauspiste.

Tarkastellaan kolmioita AMP ja BMP.

• AM=BM, keskinormaalin määritelmän nojalla.

• PM on yhteinen.

• ∢AMP=∢BMP keskinormaalin määritelmän nojalla.

Täten on ∆AMP ∼ = ∆BMP (sks).

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5


Janan keskinormaali

Määritelmä. Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen

kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan.

Lause 1. Jokainen keskinormaalin piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä.

A

P

n

M

B

Oletus. Piste P on janan AB

keskinormaalin n (mielivaltainen)

piste.

Väitös. PA=PB

Todistus. 1) Olkoon piste P janan janan AB ulkopuolella ja M keskinormaalin ja

janan AB leikkauspiste.

Tarkastellaan kolmioita AMP ja BMP.

• AM=BM, keskinormaalin määritelmän nojalla.

• PM on yhteinen.

• ∢AMP=∢BMP keskinormaalin määritelmän nojalla.

Täten on ∆AMP ∼ = ∆BMP (sks).

Näin on PA=PB

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5


Janan keskinormaali

Määritelmä. Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen

kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan.

Lause 1. Jokainen keskinormaalin piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä.

A

P

n

M

B

Oletus. Piste P on janan AB

keskinormaalin n (mielivaltainen)

piste.

Väitös. PA=PB

Todistus. 1) Olkoon piste P janan janan AB ulkopuolella ja M keskinormaalin ja

janan AB leikkauspiste.

Tarkastellaan kolmioita AMP ja BMP.

• AM=BM, keskinormaalin määritelmän nojalla.

• PM on yhteinen.

• ∢AMP=∢BMP keskinormaalin määritelmän nojalla.

Täten on ∆AMP ∼ = ∆BMP (sks).

Näin on PA=PB yhtenevien kolmioiden vastinsivuina.

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5


Janan keskinormaali

Määritelmä. Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen

kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan.

Lause 1. Jokainen keskinormaalin piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä.

A

P

n

M

B

Oletus. Piste P on janan AB

keskinormaalin n (mielivaltainen)

piste.

Väitös. PA=PB

Todistus. 1) Olkoon piste P janan janan AB ulkopuolella ja M keskinormaalin ja

janan AB leikkauspiste.

Tarkastellaan kolmioita AMP ja BMP.

• AM=BM, keskinormaalin määritelmän nojalla.

• PM on yhteinen.

• ∢AMP=∢BMP keskinormaalin määritelmän nojalla.

Täten on ∆AMP ∼ = ∆BMP (sks).

Näin on PA=PB yhtenevien kolmioiden vastinsivuina.

2) Jos P on janalla AB, P on AB:n keskipiste.□

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5


Janan keskinormaali

Lause 2. Jokainen piste, joka on yhtä etäällä janan päätepisteistä, on janan

keskinormaalilla.

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5


Janan keskinormaali

Lause 2. Jokainen piste, joka on yhtä etäällä janan päätepisteistä, on janan

keskinormaalilla.

Lauseiden 1 ja 2 mukaan janan keskinormaali on kaikkien niiden pisteiden ura,

jotka ovat yhtä täällä janan päätepisteistä.

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5


Kulman puolittaja

Määritelmä. Kulman puolittaja on kulman kärjestä alkava puolisuora, joka

jakaa kulman kahdeksi yhtä suureksi kulmaksi.

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 5


Kulman puolittaja

Määritelmä. Kulman puolittaja on kulman kärjestä alkava puolisuora, joka

jakaa kulman kahdeksi yhtä suureksi kulmaksi.

Lause. Kulman puolittaja on niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä kulman

kyljistä tai niiden jatkeista.

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 5


Kulman puolittaja

Määritelmä. Kulman puolittaja on kulman kärjestä alkava puolisuora, joka

jakaa kulman kahdeksi yhtä suureksi kulmaksi.

Lause. Kulman puolittaja on niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä kulman

kyljistä tai niiden jatkeista.

On todistettava kaksi asiaa:

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 5


Kulman puolittaja

Määritelmä. Kulman puolittaja on kulman kärjestä alkava puolisuora, joka

jakaa kulman kahdeksi yhtä suureksi kulmaksi.

Lause. Kulman puolittaja on niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä kulman

kyljistä tai niiden jatkeista.

On todistettava kaksi asiaa:

1. Jokainen kulman puolittajan piste on yhtä etäällä kulman kyljistä tai

niiden jatkeista.

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 5


Kulman puolittaja

Määritelmä. Kulman puolittaja on kulman kärjestä alkava puolisuora, joka

jakaa kulman kahdeksi yhtä suureksi kulmaksi.

Lause. Kulman puolittaja on niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä kulman

kyljistä tai niiden jatkeista.

On todistettava kaksi asiaa:

1. Jokainen kulman puolittajan piste on yhtä etäällä kulman kyljistä tai

niiden jatkeista.

2. Jokainen piste, joka on yhtä etäällä kulman kyljistä tai niiden jatkeista, on

kulman puolittajalla.

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 5


Kulman puolittaja

Määritelmä. Kulman puolittaja on kulman kärjestä alkava puolisuora, joka

jakaa kulman kahdeksi yhtä suureksi kulmaksi.

Lause. Kulman puolittaja on niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä kulman

kyljistä tai niiden jatkeista.

On todistettava kaksi asiaa:

1. Jokainen kulman puolittajan piste on yhtä etäällä kulman kyljistä tai

niiden jatkeista.

2. Jokainen piste, joka on yhtä etäällä kulman kyljistä tai niiden jatkeista, on

kulman puolittajalla.

P

A

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 5


Kulman puolittaja

Määritelmä. Kulman puolittaja on kulman kärjestä alkava puolisuora, joka

jakaa kulman kahdeksi yhtä suureksi kulmaksi.

Lause. Kulman puolittaja on niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä kulman

kyljistä tai niiden jatkeista.

On todistettava kaksi asiaa:

1. Jokainen kulman puolittajan piste on yhtä etäällä kulman kyljistä tai

niiden jatkeista.

2. Jokainen piste, joka on yhtä etäällä kulman kyljistä tai niiden jatkeista, on

kulman puolittajalla.

P

B

C

A

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 5


Kulman puolittaja

Määritelmä. Kulman puolittaja on kulman kärjestä alkava puolisuora, joka

jakaa kulman kahdeksi yhtä suureksi kulmaksi.

Lause. Kulman puolittaja on niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä kulman

kyljistä tai niiden jatkeista.

On todistettava kaksi asiaa:

1. Jokainen kulman puolittajan piste on yhtä etäällä kulman kyljistä tai

niiden jatkeista.

2. Jokainen piste, joka on yhtä etäällä kulman kyljistä tai niiden jatkeista, on

kulman puolittajalla.

P

B

C

A

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 5


Kulman puolittaja

Määritelmä. Kulman puolittaja on kulman kärjestä alkava puolisuora, joka

jakaa kulman kahdeksi yhtä suureksi kulmaksi.

Lause. Kulman puolittaja on niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä kulman

kyljistä tai niiden jatkeista.

On todistettava kaksi asiaa:

1. Jokainen kulman puolittajan piste on yhtä etäällä kulman kyljistä tai

niiden jatkeista.

2. Jokainen piste, joka on yhtä etäällä kulman kyljistä tai niiden jatkeista, on

kulman puolittajalla.

P

B

C

A

Hannu Lehto 19. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 5

More magazines by this user
Similar magazines