iv kvanttistatistiikan perusteet .................................. 94

104 IV Kvanttistatistiikan perusteet
Merkitään
−α
E /
Z = e ZMB
, missä
i kT
ZMB
= ∑ gie − on MB-jakauman partitiofunktio.
i
Sijoittamalla tämä partitiofunktio yhtälöön 4.22
saadaan
U
−α
S = + αkN + ke ZMB
. (4.24)
T
−α
Toisaalta MB jakaumalle e = N / ZMB
(Luku III) ja vastaavasti
α Z
α kN = kN ln e = kN ln MB .
N
Sijoittamalla nämä tulokset yhtälöön 4.24 saamme MB entropian (3.44).
Vastaavasti voidaan todistaa muiden kvanttistatistiikan tilanfunktioiden
saavan rajalla e α →∞ MB-statistiikan mukaiset raja-arvot.
4.5 Maxwell-Boltzmann jakauma
Olemme johtaneet MB jakauman jo aikaisemmin, mutta johdamme sen vielä
kerran tavalla, joka havainnollistaa eroa kvanttistatistiikan ja klassisen
statistiikan välillä. Tarkastellaan jälleen aluksi energiatasoa E i , jonka
miehitysluku olkoon n i = 2 ja degeneraatio g i = 3. Koska hiukkasilla on nyt
identiteetti merkitsemme niitä kirjaimilla a ja b.
Taulukko 4. 4
Ominaistila Hiukkasten jakautuminen ominaistiloille
1 a,b a a b b 0 0 0 0
2 0 b 0 a 0 a,b a b 0
3 0 0 b 0 a 0 b a a,b
ni
Saamme yhteensä 9 = g i monihiukkastilaa. Edellisiä kvanttistatistiikan
tarkasteluja mukaillen voisi luulla, että partition todennäköisyys olisi
i
n i
P = ∏ g . (4.25)
i
Näin ei kuitenkaan ole. Hiukkaset a ja b voidaan sijoittaa myös muille
energiatasoille kuin tasolle E i ilman, että n i muuttuu, jos vastaavasti
muilta energiatasoilta tuodaan kaksi hiukkasta (esimerkiksi c ja d) tasolle
E . Näin päädytään uuteen monihiukkastilaan, joka kuitenkin liittyy sa-
i