iv kvanttistatistiikan perusteet .................................. 94

More documents

Recommendations

Info

98 IV Kvanttistatistiikan <strong>perusteet</strong> hiukkasta Selvästikin pätee rajoitus ni ≤ gi , sillä muuten samalle ominaistilalle tulee 2 hiukkasta mikä on kiellettyä. Tarkastelemme aluksi samaa esimerkkitapausta, kuin Bose-Einstein jakauman kohdalla. Sijoitamme 3 hiukkasta ( n i = 3) energiatasolle, johon kuuluu 3 ominaistilaa ( g i = 3). Koska monihiukkastila on täysin määrätty, kun tiedetään, kuinka monta hiukkasta kullakin ominaistilalla on, saadaan nyt seuraava taulukko: Taulukko 4. 2 Hiukkasten lukumäärä Ominaistila tilalla 1 1 2 1 3 1 Saamme siis vain yhden mahdollisen monihiukkastilan. Tästä voidaan päätellä, että mahdollisten monihiukkastilojen määrä sijoitettaessa n i hiukkasta g i ominaistilalle on gi ! Pi = . (4.10) ni! ( gi − ni) ! Huomaa, että 0! = 1. Koska lukija voi tässä vaiheessa käydä epäluuloiseksi yhtälön 4.10 yleispätevyydestä, osoitamme sen pätevän vielä toisessakin erityistapauksessa. Olkoon nyt g i = 4 ja n i = 2. Saamme taulukon 4.3 esittämät tilat. Saimme yhteensä 6 monihiukkastilaa, eli mikrotilaa. Sijoitta- Taulukko 4. 3 Ominaistila Hiukkasten lukumäärä tilalla 1 1 1 1 0 0 0 2 1 0 0 1 1 0 3 0 1 0 1 0 1 4 0 0 1 0 1 1 malla annetut degeneraatiot ja miehitysluvut yhtälöön 4.10 voimme todeta sen antavan yhteensä 6 mikrotilaa sopusoinnussa taulukkomme kanssa. Yleisemmin voimme perustella yhtälön 4.10 seuraavasti. Ensimmäinen hiukkanen voidaan sijoittaa mille tahansa alitiloista. Saamme g i eri mahdollisuutta. Seuraava voidaan sijoittaa jäljellä oleville gi − 1 tyhjälle alitilalle jne. Yhteensä saadaan siis
4.3 Fermi-Dirac jakauma 99 Pi = gi( gi −1)( gi −2) ⋅⋅⋅⋅( gi − ni + 1) = gi ! ( g − n ) i i ! (4.11) eri tapaa sijoittaa n i fermionia g i alitilalle. Yllä tehty tarkastelu ei ottanut huomioon sitä, että fermioneilla ei kvanttimekaanisina hiukkasina ole identiteettiä. Ainoastaan ne monihiukkastilat, joissa ominaistilojen miehitysluvut ovat erilaiset, ovat aidosti toisistaan riippumattomia. Tämä otetaan huomioon jakamalla yhtälö (4.11) hiukkasten mahdollisten permutaatioiden lukumäärällä eli tekijällä n i !. Näin saamme yhtälön 4.10. Kuten BE jakaumankin kohdalla partition kokonaistodennäköisyys on kullekin energiatasolle laskettujen eri monihiukkastilojen lukumäärien tulo: g ! i ∏Pi ∏ . (4.12) n !( g − n )! P = = i i i i i Tämäkään jakauma ei ole normitettu. Siksi partitioiden todennäköisyyksien summa ole 1. 4.3.2 Tasapainotilaa vastaava partitio Määrätään ne miehitysluvut n i , joilla todennäköisyys 4.12 saa maksimiarvon. Sovelletaan samoja menetelmiä, kuin MB-jakauman johtamisen yhteydessä. P maksimi vastaa ln P :n maksimiarvoa. Käyttämällä Stirlingin kaavaa saadaan ∑ ⎡ i i i i ( i i) ( i i) ⎤ . (4.13) ln P = ⎣g ln g −n ln n − g −n ln g −n i Differentiaaliksi (kerrottuna -1:llä) saadaan ⎦ ⎡ dn −dn − d P = dn n + n + g −n −dn g −n i ⎢⎣ ni gi − ni i i ( ln ) ∑ ⎢ i ln i i ( i i) ln ( ) ( ) i i i ∑ ( ) = ⎡⎣ln ni −ln gi − ni ⎤⎦dni = 0 i ⎤ ⎥⎦ (4.14) Side-ehtoista saadaan jälleen dN = ∑ dni = 0 ja dU = ∑ dniEi = 0 . Kerrotaan i nämä Lagrangen parametreilla α ja β ja lasketaan yhteen differentiaalin ( ln P) − d kanssa: i
Page 1 and 2: IV KVANTTISTATISTIIKAN PERUSTEET ..
Page 3 and 4: 4.2 Bose-Einstein jakauma 95 4.2 Bo
Page 5: 4.3 Fermi-Dirac jakauma 97 Esimerkk
Page 9 and 10: 4.4 Partitiofunktio, sisäenergia j
Page 11 and 12: 4.4 Partitiofunktio, sisäenergia j
Page 13 and 14: 4.5 Maxwell-Boltzmann jakauma 105 m

iv kvanttistatistiikan perusteet .................................. 94

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?