LTI-jÃ¤rjestelmÃ¤t ja signaalien suodatus.

Signaalien suodatus 

Signaalinkäsittelyjärjestelmät muokkaavat lähtösignaalista tulosignaalin. Järjestelmät 

koostuvat (tai ne voidaan mallintaa) tyypillisesti suotimista. Näin signaalien suodatus 

on keskeinen signaalinkäsittelyn operaatio. 

Voidaan helposti osoittaa, että tietyin edellytyksin tulo- ja lähtösignaalin välillä on 

riippuvuus. Kun järjestelmä (suodin) on lineaarinen ja aikainvariantti (LTI-järjestelmä) 

ja sen impulssivaste tunnetaan, voidaan lähtösignaali laskea aikatasossa tulon ja 

impulssivasteen konvoluutiona. Fourier-muunnoksen konvoluutioteoreeman 

perusteella aikatason konvoluutiota vastaa taajuustason kertolasku, joten 

taajuustasossa lähtösignaali voidaan määrittää kertomalla tulo impulssivasteen 

Fourier-muunnoksella (eli järjestelmän taajuusvasteella). 

Aikatasossa impulssivaste määrittää suotimen ominaisuudet (esim. viiveen, 

nousuajan ja suodatusominaisuudet). Useimmiten suotimen ominaisuuksia 

tarkastellaan taajuustasossa muodostamalla amplitudi- ja vaihespektri. 

Amplitudispektri saadaan taajuusvasteen itseisarvona ja vaihespektri taajuusvasteen 

argumenttina. Vaihespektristä voidaan edelleen määrittää ryhmäviive, joka kertoo 

järjestelmässä syntyvät viiveet taajuuden funktiona. 

©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2004 1

vaihespektri 

Fouriermuunnos 

Aikataso 

Taajuustaso 

tulo 

x(t) 


LTI-järjestelmä 

impulssivaste 

h(t) 

taajuusvaste 

(siirtofunktio) 

X ( f ) 

H ( f ) 

lähtö konvoluutio 

y( t) 

= h( 

t) 

∗ x( 

t) 

Y ( f ) = H ( f ) X ( f 

{ X } 

{ H } arg{ H ( f )} 

konvoluutioteoreema 

X ( f ) arg ( f ) H ( f ) arg ( f ) Y ( f ) 

amplitudi vaihespektri 

amplitudi vaihe- 

amplitudi 

-spektri 

-spektri spektri 

-spektri 

) 

G( f ) 

ryhmäviive 



Lineaarinen aikainvariantti (LTI) järjestelmä 

Järjestelmällä tarkoitetaan tässä mitä tahansa ohjelmaa tai laitetta joka tuottaa 

vasteen (lähtösignaali) herätteestä (tulosignaali). 

x(t) 

Järjestelmä 

T 

y(t) = T{x(t)} 

Järjestelmä on lineaarinen, jos sille on voimassa 

1. Additiivisuus 

T{x 1 

(t) + x 2 

(t)} = T{x 1 

(t)} + T{x 2 

(t)} = y 1 

(t) + y 2 

(t) kaikille signaaleille x 1 

(t) ja x 2 

(t) 

2. Homogeenisuus 

T{ax(t)} = aT{x(t)} = ay(t) kaikille signaaleille x(t) ja vakiokertoimelle a. 

Järjestelmät, jotka eivät toteuta kumpaakin yllä olevista ehdoista ovat epälineaarisia. 



Lineaarisuuden ohella toinen tärkeä järjestelmien yleinen ominaisuus on 

aikainvarianttius (t. siirtoinvarianttius). Järjestelmä on aikainvariantti, jos sille pätee 

T{x(t-t 0 

)} = y(t-t 0 

). Herätteen viivästäminen aiheuttaa aikainvariantin järjestelmän 

vasteeseen siis samansuuruisen viiveen. 

x(t-t 0 

) 

Järjestelmä 

T 

y(t-t 0 

)= T{x(t-t 0 

)} 

Järjestelmiä, jotka ovat sekä lineaarisia että aikainvariantteja kutsutaan LTIjärjestelmiksi. 



Konvoluutio 

Tarkastellaan lineaarista aikainvarianttia järjestelmää T, jossa mielivaltainen heräte 

x(t) tuottaa vasteen y(t): 

x(t) 

LTIjärjestelmä 

T 

y(t)= T{x(t)} 

Olkoon h(t) järjestelmän T impulssivaste (eli vaste, kun herätteenä on 

yksikköimpulssijono): 

{ δ ( t) 

} h( 

t) 

T = 

Koska järjestelmä T on aikainvariantti, pätee myös 

T 

{ δ ( t −τ 

)} = h( 

t −τ 

) 



Herätesignaali x(t) voidaan esittää impulssifunktiota käyttäen muodossa 

∞ 

∫ 

−∞ 

x ( t) 

= x( 

τ ) δ ( t −τ 

) dτ 

Tässä siis poimitaan impulssifunktiolla kaikki herätesignaalin arvot, koska muuttuja 

τ saa kaikki arvot väliltä -∞…+∞ ja impulssifunktion määritelmän mukaisesti 

esimerkiksi x(1000)δ(t-1000)=x(1000), koska δ(t-1000) on arvoltaan 1, kun t = 1000 

ja muulloin nolla. Vastaavasti x(2000)δ(t-2000) tuottaa herätteen arvon ajanhetkellä t 

= 2000, jne. Kun kaikki mahdolliset herätesignaalin arvot summataan yhteen 

(integrointi) saadaan tuloksena herätesignaali x(t). 

Laitetaan järjestelmään T herätteeksi x(t) ja hyödynnetään järjestelmän T 

lineaarisuus (homogeenisuus ja additiivisuus) ominaisuutta: 

y( 

t) 

∞ 

∞ 

∞ 

⎧ 

⎫ 

= T ⎨ ∫ 

⎬ ∫ 

∫ ) 

⎩−∞ 

⎭ −∞ 

−∞ 

{ x( 

t) 

} = T x( 

τ ) δ ( t −τ 

) dτ 

= x( 

τ ) T{ δ ( t −τ 

)} dτ 

= x( 

τ ) h( 

t −τ 

dτ 



Tulos kertoo siis, että minkä tahansa lineaarisen aikainvariantin järjestelmän vaste 

mielivaltaiseen herätesignaaliin voidaan määrittää edellä olevan kaavan mukaisesti 

herätesignaalin ja järjestelmän impulssivasteen integraalina. Integraalia kutsutaan 

konvoluutiointegraaliksi tai konvoluutioksi, ja yleisesti käytetään merkintää 

∞ 

y ( t) 

x( 

t) 

∗ h( 

t) 

= x( 

τ ) h( 

t −τ 

) dτ 

= h( 

τ ) x( 

t −τ 

) dτ 

= h( 

t)* 

x( 

t) 

= ∫ ∫ 

−∞ 

Edellä järjestelmä voi olla esimerkiksi suodin (t. suodatin), joka rajoittaa vasteen 

taajuudet jollekin tietylle välille, tai (tiedonsiirto)kanava, joka liittää lähettimen ja 

vastaanottimen toisiinsa. Yleisemmin konvoluutio voidaan laskea minkä tahansa 

kahden signaalin välillä. 

Esimerkki. Signaalien x 1 

(t)=e -αt u(t) ja x 2 

(t)=e -βt u(t) konvoluutio, kun α>0 ja β>0. 

∞ 

−∞ 


©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2004 8 


[ ] ( ) 

t 

t 

t 

t 

t 

t 

t 

t 

t 

t 

t 

e 

e 

e 

e 

e 

e 

d 

e 

e 

d 

e 

e 

t 

y 

t 

t 

u 

u 

t 

t 

u 

u 

d 

t 

u 

e 

u 

e 

d 

t 

x 

x 

t 

x 

t 

x 

t 

y 

α 

β 

β 

α 

β 

τ 

β 

α 

β 

τ 

β 

α 

β 

τ 

β 

ατ 

τ 

β 

ατ 

β 

α 

β 

α 

β 

α 

τ 

τ 

τ 

τ 

τ 

τ 

τ 

τ 

τ 

τ 

τ 

τ 

τ 

τ 

τ 

− 

− 

− 

− 

− 

− 

− 

− 

− 

− 

− 

− 

− 

− 

∞ 

−∞ 

− 

− 

− 

∞ 

−∞ 

− 

− 

= 

− 

− 

= − 

− 

− 

= 

= 

= 

⇒ 

⎩ 

⎨ 

⎧ < 

< 

= 

− 

⇒ 

⎩ 

⎨ 

⎧ < 

= 

− 

⎩ 

⎨ 

⎧ > 

= 

− 

= 

− 

= 

∗ 

= 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

1 

1 

1 

/ 

) 

( 

muulloin 

0, 

0 

1, 

) 

( 

) 

( 

muulloin 

0, 

1, 

) 

( 

muulloin 

0, 

0 

1, 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

0 

0 

) 

( 

0 

) 

( 

) 

( 

2 

1 

2 

1


Alla on piirretty signaalit x 1 

(t), x 2 

(t) ja x 1 

(t)*x 2 

(t), kun α = 0.1 ja β=1. 

1 

0.9 

x1(t) 

0.8 

0.7 

x1(t)*x2(t) 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

x2(t) 

0.1 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 



Stabiilius 

Järjestelmä on stabiili, jos vaste on äärellinen kaikilla herätteen äärellisillä arvoilla. 

Oletetaan, että herätesignaali x(t) on rajoitettu siten, että sen itseisarvo on pienempi 

tai yhtäsuuri kuin äärellinen reaaliluku M, eli 

x ( t) 

≤ M , 

− ∞ < t 

< ∞ 

Vaste y(t) voidaan määrittää konvoluutiointegraalina 

y( 

t) 

= 

∞ 

∫ 

−∞ 

h( 

τ ) x( 

t 

−τ 

) dτ 

⇒ 

y( 

t) 

≤ 

∞ 

∫ 

−∞ 

h( 

τ ) x( 

t 

−τ 

) dτ 

= 

∞ 

∫ 

−∞ 

h( 

τ ) 

x( 

t 

−τ 

) dτ 

≤ 

M 

∞ 

∫ 

−∞ 

h( 

τ ) dτ 

Vaste y(t) pysyy siis äärellisenä ja järjestelmä stabiilina, jos on voimassa ehto 



∞ 

∫ 

−∞ 

h ( t) 

dt 

< ∞ 

Kausaalius 

Järjestelmä on kausaali, jos se tuottaa vastetta vasta kun heräte on annettu. 

Kausaalille LTI-järjestelmälle pätee 

h( t) 

= 0, t < 

0 

Reaaliaikajärjestelmät ovat yleensä kausaaleja. Joissakin sovelluksissa signaaleja 

voidaan tallentaa ennen käsittelyä muistiin, jolloin signaalia muokkaava järjestelmä 

voi olla myös ei-kausaali. Esimerkiksi kuvasignaalit käsitellään myös monissa 

reaaliaikajärjestelmissä siten, että yksittäiset kuvat talletetaan kokonaisuudessaan 

muistiin ennen käsittelyoperaatioita. Tällöin yksittäiset suodatukset voivat olla eikausaaleja. 



Taajuusvaste 

Konvoluutioteoreeman mukaisesti aikatasossa tapahtuvaa konvoluutiota vastaa 

taajuustasossa kertolasku: 

y ( t) 

= x( 

t) 

∗h( 

t) 

⇔ Y ( ω) 

= X ( ω) 

H ( ω) 

Tässä X(ω) on herätteen x(t), H(ω) impulssivasteen h(t) ja Y(ω) vasteen y(t) Fouriermuunnos. 

Impulssivasteen Fourier-muunnosta H(ω) kutsutaan järjestelmän 

taajuusvasteeksi (t. siirtofunktioksi). 

H ( ω) 

= 

F 

{ h( 

t) 

} 

1 

H(ω) 

= 

= 

∞ 

∫ 

−∞ 

h( 

t) 

e 

Y ( ω) 

X ( ω) 

− jωt 

dt 

δ(t) 

x(t) 

X(ω) 

LTIjärjestelmä 

h(t) 

y(t)= x(t)*h(t) 

Y(ω)=X(ω)H(ω) 



Vasteen Fourier-muunnos saadaan siis kertomalla taajuusvaste H(ω) ja herätteen 

Fourier-muunnos X(ω) keskenään. Usein on käytännössä konvoluutiota 

tehokkaampaa laskea nopealla Fourier-muunnoksella taajuusvaste ja herätteen 

Fourier-muunnos, jotka kertomalla saadaan vasteen Fourier-muunnos. Vastesignaali 

saadaan tällöin käänteisellä Fourier-muunnoksella. 

y( 

t) 

∞ 

∫ 

−∞ 

1 

j 

= ω ω 

ω t 

X ( ) H ( ) e dω 

2π 

Esimerkiksi tietoliikennesovelluksissa tiedonsiirtokanava usein vääristää siirrettävää 

signaalia. Jos kanavan impulssi- tai taajuusvaste tunnetaan, voidaan vääristymä 

korjata jakamalla vastaanotetun signaalin Fourier-muunnos kanavan 

taajuusvasteella: 

X ( ω) 

= 

Y ( ω) 

H ( ω) 

Vääristymätön signaali x(t) saadaan nyt käänteisellä Fourier-muunnoksella 

signaalista X(ω). Tässä suoritetaan ns. dekonvoluutio taajuustasossa. 


Amplitudi- ja vaihevaste 


Taajuusvaste H(ω) on yleisessä tapauksessa kompleksiarvoinen funktio, joka 

voidaan esittää itseisarvonsa ja vaiheensa avulla: 

H ( ω) 

= 

H ( ω) 

e 

j arg 

{ H ( ω )} 

Itseisarvoa |H(ω)| sanotaan järjestelmän amplitudivasteeksi (t. 

amplitudispektriksi) ja vaihefunktiota arg{H(ω)} järjestelmän vaihevasteeksi (t. 

vaihespektriksi). 

Jos impulssivaste h(t) on reaaliarvoinen, on taajuusvaste H(ω) ns. 

konjugaattisymmetrinen, jolloin 

H ( ω) 

arg 

= H ( −ω 

) 

|H(ω)| 

{ H ( −ω 

)} = −arg{ H ( ω) 

} 

θ h 

(ω) 

H ( ω) 

= H ( −ω 

) 

θ ( −ω 

) = −θ 

( ω) 

h 

h 


Merkitään 

H ( ω) 

= 

X ( ω) 

= 

H ( ω) 

e 

X ( ω) 

e 

j arg 

arg 

{ H ( ω )} 

{ X ( ω )} 


Tällöin vastesignaalin taajuustason esitys voidaan kirjoittaa muotoon 

Y ( ω) 

= Y ( ω) 

e 

j arg 

{ Y ( ω )} j arg{ X ( ω )} j arg{ H ( ω )} 

= 

= 

X ( ω) 

e 

X ( ω) 

H ( ω) 

e 

j 

H ( ω) 

e 

[ arg{ X ( ω )} + arg{ H ( ω )}) 

] 

Vastesignaalin amplitudispektri saadaan siis kertomalla herätteen ja suotimen 

amplitudispektrit keskenään ja vastesignaalin vaihespektri puolestaan laskemalla 

yhteen herätteen ja suotimen vaihespektrit. 

Y ( ω) 

= 

arg 

X ( ω) 

H ( ω) 

{ Y ( ω) 

} = arg{ X ( ω) 

} + arg{ H ( ω) 

} 



Ryhmäviive 

Ryhmäviive määrittää suotimessa herätteeseen syntyvän viiveen taajuuden 

funktiona. Ryhmäviive G(ω) määritellään järjestelmän vaihevasteen derivaattaa 

käyttäen muodossa 

G( 

ω) 

= − 

dθ 

( ω) 

dω 

⇒ G( 

f 

1 dθ 

h 

( f 

) = − ⋅ 

2π 

df 

h 

) 

Jos suotimen vaihevaste on lineaarinen, saa ryhmäviive vakioarvon ja suodatettavat 

signaalit viivästyvät taajuudesta riippumatta vakioajan. 

arg{X(ω)}=-kω 

-d[arg{X(ω)]/dω = k 

ω 

ω 

Kulmakerroin -k 



Esimerkki. Tiedonsiirto epälineaarisen vaihevasteen omaavassa kanavassa. 

Siirretään 0.5 Hz:n taajuisella sinisignaalilla moduloitu 5 Hz:n taajuinen kantoaalto 

tiedonsiirtokanavassa, jossa ryhmäviive ei ole siirrettävän signaalin taajuusalueella 

vakio. Siirrettyyn signaaliin syntyy vääristymiä, koska moduloidun signaalin taajuudet 

viivästyvät kanavassa eripituisen ajan. 

Kanavan ominaisuudet 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

0 2 4 6 8 10 

Amplitudi 

Vaihe [rad] 

Ryhmäviive [s ] 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

0 2.5 5 

0 

-5 

-10 

0 2.5 5 

1.5 

0.5 

1 

0 

0 2.5 5 

Taajuus [Hz] 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

0 2 4 6 8 10 


Peräkkäiset järjestelmät 


Tarkastellaan yleisemmin tilannetta, jossa kaksi LTI-suodinta on asetettu peräkkäin 

eli kaskadiin. Suotimien impulssivasteet ovat h 1 

(t) ja h 2 

(t) ja taajuusvasteet 

vastaavasti H 1 

(ω) ja H 2 

(ω). 

x(t) 

h 1 

(t) 

h 2 

(t) 

y(t) 

Voidaan osoittaa, että nämä on mahdollista yhdistää konvoloimalla impulssivasteet 

keskenään 

x(t) 

h 1 

(t) * h 2 

(t) 

y(t) = [h 1 

(t) * h 2 

(t)] * x(t) 



Taajuustasossa konvoluutiota vastaa kertolasku, joten taajuusvasteet voidaan 

yhdistää kertomalla ne keskenään. 

X(ω) 

H 1 

(ω) 

H 2 

(ω) 

y(ω) 

X(ω) 

H 1 

(ω) · H 2 

(ω) 

Y(ω) = H 1 

(ω) · H 2 

(ω)· X(ω) 

Yhdistetyn järjestelmän amplitudispektri |H(ω)| saadaan nyt kertomalla 

yksittäisten järjestelmien amplitudispektrit keskenään ja vaihespektri arg{H(ω)} 

puolestaan laskemalla yksittäisten järjestelmien vaihespektrit yhteen. 



H ( ω) 

= H 

= H ( ω) 

e 

⇒ 

H ( ω) 

arg 

= 

1 

H 

( ω) 

⋅ H 

1 

( ω) 

⋅ 

2 

( ω) 

= 

H 

( ω) 

( ω) 

{ H ( ω )} j arg{ H ( ω )} 

{ H ( ω )} 

{ H ( ω) 

} = arg{ H ( ω) 

} + arg{ H ( ω) 

} 

1 

2 

= 

H 

H 

1 

1 

( ω) 

⋅ 

⋅e 

j arg 

2 

j arg 

H 

2 

1 

( ω) 

e 

j 

⋅ 

H 

2 

( ω) 

[ arg{ H ( ω )} + arg{ H ( ω )}] 

1 

⋅e 

2 

2 


Rinnakkaiset järjestelmät 


Tarkastellaan tilannetta, jossa kaksi LTI-suodinta on asetettu rinnakkain. Suotimien 

impulssivasteet ovat h 1 

(t) ja h 2 

(t) ja taajuusvasteet vastaavasti H 1 

(ω) ja H 2 

(ω). 

Rinnakkaiset järjestelmät voidaan tarvittaessa yhdistää laskemalla impulssivasteet 

tai taajuusvasteet yhteen. 

h 1 

(t) 

x(t) 

y(t) = h 1 

(t)*x(t) + h 2 

(t) *x(t) 

h 2 

(t) 

x(t) 

h 1 

(t) + h 2 

(t) 

y(t) = [h 1 

(t) + h 2 

(t)] * x(t) 

X(ω) 

H 1 

(ω) + H 2 

(ω) 

Y(ω) = [H 1 

(ω) + H 2 

(ω)] · X(ω) 



Alla on määritetty yhdistetyn suotimen amplitudi ja vaihespektri. Huomaa merkinnät 

A 1 

= |H 1 

(ω)|, A 2 

= |H 2 

(ω)|, θ 1 

= arg{H 1 

(ω)} ja θ 2 

= arg{H 2 

(ω)}. 

H ( ω) 

= H 

1 

( ω) 

+ H 

= A1 

⋅e 

= A1 

⋅ 

= A1 

⋅ 

⇒ 

H ( ω) 

= 

arg 

{ H ( ω )} j arg{ H ( ω )} 

{ cosθ1 

+ j sinθ1} + A2 

⋅{ cosθ 

2 

+ j sinθ 

2} 

cosθ 

+ A ⋅cosθ 

+ j ⋅{ A ⋅sinθ 

+ A ⋅sinθ 

} 

2 

( A ⋅cosθ 

+ A ⋅cosθ 

) + ( A ⋅sinθ 

+ A ⋅sinθ 

) 

1 

2 

( ω) 

1 

⎡ 

⎢ 

⎣ A 

⋅e 

A 

⎤ 

1 

⋅sinθ1 

+ A2 

⋅sinθ 

2 

{ H ( ω) 

} = arctan 

⎥ ⎦ 

1 

= 

2 

H 

1 

( ω) 

⋅e 

1 

jθ 

1 

2 

+ 

1 

⋅cosθ 

+ A 

2 

A 

j arg 

2 

2 

1 

1 

jθ 

⋅cosθ 

2 

2 

+ 

2 

1 

H 

2 

( ω) 

⋅e 

2 

1 

2 

2 

1 

2 

2 

2 


Vääristymätön tiedonsiirto 


Monissa sovelluksissa signaali halutaan siirtää tiedonsiirtokanavaa pitkin 

mahdollisimman muuttumattomana. Tällöin puhutaan vääristymättömästä 

tiedonsiirrosta, jossa signaali toteuttaa ehdon 

y( t) 

= kx( 

t − td 

) 

Eli vääristämättömässä tiedonsiirtokanavassa signaalin vahvistus on k ja signaali voi 

viivästyä ajan t d 

verran. Yhtälön Fourier-muunnos on 

Y ( ω) 

= 

⇒ H ( ω) 

= 

⇒ 

H ( ω) 

θ ( ω) 

h 

X ( ω) 

H ( ω) 

= 

ke 

k 

− jωt 

= −ωt 

d 

d 

. 

= kX ( ω) 

e 

− jωt 

Signaalin x(t) jokainen taajuuskomponentti siis vahvistuu tekijällä k ja viivästyy 

tekijällä t d 

. 

d 


Vääristymät tiedonsiirtokanavassa 


Vääristämättömän LTI-tiedonsiirtokanavan amplitudispektri on vakio ja vaihespektri 

lineaarinen. Jos amplitudi- tai vaihespektri ei täytä näitä ehtoja, signaali levenee 

aikatasossa kulkiessaan kanavan läpi. Tällaista vääristymistä kutsutaan dispersioksi 

ja se on erityisen ongelmallista aikajakoisessa (TDM) tiedonsiirrossa, jossa 

peräkkäisten pulssien ja siten myös naapurikanavien välille voi syntyä interferenssiä. 

Taajuusjakoisessa (FDM) tiedonsiirrossa virheet syntyvät kunkin kanavan sisällä 

eivätkä naapurikanavat häiritse toisiaan tällaisten vääristymien seurauksena. 

LTI-kanavassa syntyvää vääristymää voidaan vähentää liittämällä 

tiedonsiirtokanavaan ylimääräinen järjestelmä, joka kompensoi epäideaalisen 

kanavan vaikutusta. Tällaista tekniikkaa kutsutaan kanavan ekvalisoinniksi ja 

vastaavaa järjestelmää ekvalisaattoriksi. 

tulo 

H c (f) 

H eq (f) 

lähtö 

LTI-kanava 

ekvalisaattori 



Ekvalisaattori suunnitellaan siten, että siirtotien kokonaissiirtofunktio vastaa 

vääristämättömän kanavan siirtofunktiota, eli 

H 

c 

( 

f 

) H 

eq 

( 

f 

) 

= 

ke 

− j 2πft d 

Ekvalisaattorin siirtofunktioksi saadaan tällöin 

H 

eq 

( 

f 

) 

= 

ke 

H 

− j 2πft 

c 

d 

( f ) 

Käytännössä ekvalisointi toteutetaan siten, että sen siirtofunktio approksimoi 

mahdollisimman hyvin ideaalista siirtofunktiota. Tällainen siirtofunktio toteutetaan 

yleensä FIR-suodinrakenteella, jossa lähtöarvo muodostetaan summaamalla 

suodinkertoimilla painotettuja tulosignaalin arvoja yhteen eli tulosignaalin arvojen 

lineaarikombinaationa. 



Jos tiedonsiirtokanava on epälineaarinen, syntyy lähtösignaaliin kanavassa sellaisia 

taajuuksia, joita alkuperäisessä signaalissa ei ole, mikä on ongelma erityisesti 

taajuusjakoisessa tiedonsiirrossa. Epälineaarista kanavaa voidaan mallintaa 

sarjakehitelmänä 

2 

3 

k 

y( 

t) 

= a g( 

t) 

+ a g ( t) 

+ a g ( t) 

+ L + a g ( ) +L 

1 2 

3 

k 

t 

Esimerkiksi termin a 2 

g 2 (t) spektri saadaan Fourier-muunnoksen 

kertolaskuominaisuuden perusteella spektrin G(f) konvoluutiona itsensä kanssa. Eli, 

jos g(t):n kaistanleveys on B, niin g 2 (t):n kaistanleveys on 2B. Tällöin g k (t):n 

kaistanleveys on kB. Epälineaarisuudesta syntyvien uusien taajuuksien määrä 

riippuu siis epälineaarisuuden asteesta. 

Tiedonsiirtoon aiheutuu vääristymiä myös silloin, kun signaali saapuu 

vastaanottimeen kahta tai useampaa eri viiveen omaavaa siirtotietä pitkin. 

Esimerkiksi kaapelissa, jossa impedanssisovitus on virheellinen, vastaanottopäähän 

saapuu alkuperäinen signaali sekä sen heijastuksia erilaisten viiveiden jälkeen. 

Radiosiirrossa eri kohteista syntyy heijastuksia, jotka saapuvat vastaanottimeen eri 

aikana. 



Edellä on oletettu, että tiedonsiirtokanavan ominaisuudet säilyvät muuttumattomina 

ajan hetkestä toiseen. Esimerkiksi radiosiirrossa ilmankehän ominaisuuksien 

vaihtelun vuoksi signaalin vaimennus muuttuu ajan funktiona. Tätä voidaan 

kompensoida mm. automaattisella tason säädöllä (AGC). 



Suodattimet 

Suodin on järjestelmä, joka muokkaa herätteen amplitudia- ja vaihetta halutulla 

tavalla. Suodatuksessa herätteen taajuussisältö yleensä muuttuu. Perussuotimet 

ovat alipäästö-,ylipäästö-, kaistanpäästö- ja kaistanestosuodin, jotka muokkaavat 

amplitudeja. Tämän lisäksi tärkeitä suotimia ovat vaiheen muokkaukseen käytettävät 

kokopäästösuodin (kulkuaikakorjain) ja Hilbert-muunnin. 

Suotimet määritellään yleensä antamalla päästö-, esto- ja siirtymäkaistan 

rajataajuudet. Suotimelle voidaan taajuusvasteen perusteella määritellä myös 

kaistanleveys esimerkiksi taajuusvasteen nollakohtien tai –3 dB:n pisteen 

perusteella. 



|H(ω)| 

1.2 

1 

Siirtymäkaista 

Päästökaista 

Estokaista 

0.8 

0.6 

0.707|H(ω)| 

0.4 

Kaistanleveys ω Β 

0.2 

0 

-0.2 

0 ω 1 ω B ω 2 



1.2 

|H(w)| 

1 

0.8 

0.6 

Siirtymäkaistat 

Päästökaista 

Estokaista 

Estokaista 

0.707|H(ω)| 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

Kaistanleveys 


Ideaalinen alipäästösuodin 


Ideaalisen alipäästösuotimen taajuusvaste saa päästökaistalla arvon 1 ja 

estokaistalla arvon 0. Oletetaan, että suotimen rajataajuus on B. Taajuusvaste 

voidaan tällöin esittää muodossa 

H 

LPF 

− j 

⎧e 

( ω) 

= ⎨ 

⎩ 0, 

ω 

t d 

, 

ω ≤ B 

muulloin 

Impulssivaste voidaan määrittää käänteisellä Fourier-muunnoksella 

h 

LPF 

∞ 

1 

j t B 

( t) 

= ∫ 

ω 

H 

LPF 

( ω) 

e dω 

= sinc 

d 

2π 

π 

−∞ 

[ B( 

t − t )] 



h LPF 

(t) 

B/π 

Ideaalisen 

alipäästösuotimen 

impulssivaste 

Ideaalisen 

alipäästösuotimen 

amplitudi- ja 

vaihevaste 

|H LPF 

(ω)| 

1 

t 

-B 

0 B 

θ LPF 

(ω) 

ω 

t d 

2π/Β 

B 

-B 0 

ω 


Ideaalinen ylipäästösuodin 


Ideaalisen ylipäästösuotimen taajuusvaste saa päästökaistalla arvon 1 ja 

estokaistalla arvon 0. Oletetaan, että suotimen rajataajuus on B. Taajuusvaste 

voidaan tällöin esittää muodossa 

H 

HPF 

− jωtd 

⎧e 

, ω ≥ B − jωtd 

( ω) 

= ⎨ 

= e − H 

LPF 

( ω) 

⎩0, 

muulloin 

|H HPF 

(ω)| 

θ HPF 

(ω) 

1 

-B 

0 B 

ω 

B 

-B 0 

ω 


Ideaalinen kaistanpäästösuodin 


Ideaalisen kaistanpäästösuotimen taajuusvaste voidaan esittää muodossa 

H 

BPF 

( ω) 

= 

− 

⎧e 

⎨ 

⎩0, 

jω 

t d 

, 

B 1 

≤ ω ≤ B 2 

muulloin 

|H BPF 

(ω)| θ BPF 

(ω) 

1 

ω 

-B 2 

-B 1 

0 B 1 

B 2 

-B 2 

-B 1 

0 

B 1 

B 2 

ω 



Ideaalinen kaistanestosuodin 

Ideaalisen kaistanestosuotimen taajuusvaste voidaan esittää muodossa 

jωt 

H ( ω) 

= e 

− d − H ( ω) 

BSF 

BPF 

|H BSF 

(ω)| 

1 

θ BSF 

(ω) 

ω 

-B 2 

-B 1 

0 B 1 

B 2 

-B 2 

B 1 

B 2 

ω 

-B 1 

0 



Hilbert-muunnin 

Tarkastellaan suodinta, jonka taajuusvaste on muotoa 

⎧ 

⎪e 

H ( ω) 

= ⎨ 

⎪ 

⎩e 

π 

− j 

2 

π 

+ j 

2 

= − 

= + 

j, 

j, 

ω > 0 

ω < 0 

= − 

j sgn( ω) 

Suodin toteuttaa positiivisilla taajuuksilla -π/2:n suuruisen vaihesiirron ja 

vastaavasti negatiivisilla taajuuksilla +π/2:n suuruisen vaihesiirron. 

Amplitudivahvistus on sen sijaan kaikilla taajuuksilla 1, joten amplitudi ei 

suodatuksessa muutu. Tällaista suodinta kutsutaan Hilbert-muuntimeksi ja sillä on 

keskeinen merkitys tiedonsiirtotekniikassa kapeakaistaisten signaalien käsittelyssä. 

|H Hilbert 

(ω)| θ Hilbert 

(ω) 

1 

+π/2 

ω 

0 0 

-π/2 


ω


Hilbert-muuntimen impulssivaste voidaan määrittää taajuusvasteesta käänteisellä 

Fourier-muunnoksella. Tulokseksi saadaan 

h Hilbert 

( t) 

= 

1 

πt 

Mielivaltaisen signaalin x(t) Hilbert-muunnos voidaan määrittää Hilbert-muuntimen 

impulssivasteen ja signaalin konvoluutiona 

∞ 

1 1 

xˆ( 

t) 

= x( 

t) 

∗ hHilbert ( t) 

= ∫ x( 

τ )* dτ 

= ∫ 

π ( t −τ 

) π 

−∞ 

x( 

τ ) 

dτ 

t −τ 

Tässä on erityisesti huomattava, että Hilbert-muunnettu signaali on ajan funktio, eli 

Hilbert-muunnos ei tuota signaalista taajuustason esitystä. Hilbert-muunnoksen 

käänteismuunnos määritellään muodossa 

∞ 

1 1 

x( 

t) 

= −xˆ( 

t) 

∗ hHilbert ( t) 

= − ∫ xˆ( 

τ )* dτ 

= − ∫ 

π ( t −τ 

) π 

−∞ 


∞ 

−∞ 

∞ 

−∞ 

xˆ( 

τ ) 

dτ 

t −τ

LTI-jÃ¤rjestelmÃ¤t ja signaalien suodatus.

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

Delete template?

Save as template ?