Sekalaiset tehtävät

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 12 / 13
mikä on tosi väite kyseisellä välillä. Siis ratkaisut ovat
π
2 + n2π < x < π + n2π ja 3π
+ n2π < x < (n + 1)2π.
2
2. Tarvitsee siis ratkaista epäyhtälö
sin x + cos x = sin x + sin( π 2
− x) > 0.
Yhtälön sin x = − sin( π 2 − x) = sin(x − π 2 ) ratkaisut ovat x = x − π 2 + n2π
tai x = π + π 2 − x + n2π. Ainoat ratkaisut ovat siis x = 3π 4
+ nπ.
Nyt esimerkiksi 3π 4 < π < 7π 4 < 2π < 3π 4
+2π ja koska sin π+cos π = 0−1 <
0 ja sin 2π + cos 2π = 0 + 1 > 0, niin funktion sin x + cos x jatkuvuuden
perusteella ratkaisut ovat välit ] − π 4 + n2π, 3π 4
+ n2π[, missä n ∈ Z.
3. Edellisen kohdan perusteella epäyhtälön vasen puoli on positiivinen, kun
] − π 4 + n2π, 3π 4
+ n2π[, missä n ∈ Z. Tällöin voidaan suorittaa neliöön
korotus eli saadaan, että
sin 2 x + 2 sin x cos x + cos 2 x = 1 + sin(2x) > 1.
Ratkaistavaksi jää epäyhtälö sin(2x) > 0 väleillä x ∈] − π 4 + n2π, 3π 4 + n2π[.
Sinin kulusta saadaan suoraan, että nπ < x < π 2
+ nπ. Yhdistämällä välit
saadaan lopullinen tulos
x ∈ ] n2π ,
π
+ n2π [,
2
missä n ∈ Z.
4. Ensimmäinen tapa. Koska sin 2 x + cos 2 x = 1 kaikilla x ∈ R, niin
1 = ( sin 2 x + cos 2 x ) 2
= sin 4 x + } 2 sin 2 {{ x cos 2 x}
+ cos 4 x.
≥0
Siis 1 ≥ sin 4 x + cos 4 x kaikilla x ∈ R. Täten tutkittava epäyhtälö sin 4 x +
cos 4 x ≥ 1 on tosi täsmälleen silloin, kun yhtäsuuruus on voimassa eli
2 sin 2 x cos 2 x = 0.
12