Luku 10 Sähköiset ja magneettiset materiaalit - FMI

Luku 10Sähköiset ja magneettisetmateriaalitAiemmat 9 lukua ovat esitelleet klassisen elektrodynamiikan peruskäsitteetja teorian perusrakenteen. Alamme nyt perehtyä elektrodynamiikankäyttöön erilaisissa ongelmissa. Tarkastellaan aluksi aineen sähköisiä ja magneettisiaominaisuuksia mikroskooppisella tasolla. Erityisesti magnetisminosalla on tyydyttävä varsin kvalitatiiviseen kuvailuun, koska tarkka käsittelyvaatisi varsin pitkälle menevää kvanttimekaniikkaa. Tämän luvun aineistoon peräisin useammasta lähteestä (mm. Feynman, Jackson, RMC).Palautetaan ensin mieleen Maxwellin yhtälöt tilanteessa, jossa väliainekuvataan polarisoituman P ja magnetoituman M avulla:∇·(ɛ 0 E + P) =ρ vapaa (10.1)∇·B = 0 (10.2)∇×E = − ∂B∂t(10.3)∇×( 1 µ 0B − M) =j vapaa + ∂ ∂t (ɛ 0E + P) (10.4)Tässä ρ vapaa sisältää muut varaukset kuin polarisaatiovarauksen ja j vapaamuut virrat kuin magnetoitumisvirran. Määrittelemällä sähkövuon tiheysD ja magneettikentän voimakkuus HD = ɛ 0 E + P (10.5)H = 1 µ 0B − M (10.6)voidaan Maxwellin yhtälöt väliaineessa esittää muodossa∇·D = ρ vapaa (10.7)119

120 LUKU 10. SÄHKÖISET JA MAGNEETTISET MATERIAALIT∇·B = 0 (10.8)∇×E = − ∂B(10.9)∂t∇×H = j vapaa + ∂D(10.10)∂tSähkökenttä E ja magneettivuon tiheys B ovat suureet, jotka lopulta halutaanmäärittää. Tätä varten on tunnettava rakenneyhtälöt esimerkiksi muodossaD = D(E, B) jaH = H(E, B).10.1 Molekulaarinen polarisoituvuusTarkastellaan yksinkertaista väliainetta, jossa yksittäisen molekyylin dipolimomenttip m on verrannollinen polarisoivaan sähkökenttään E m :p m = αɛ 0 E m (10.11)Suuretta α kutsutaan polarisoituvuudeksi (yksikkö m 3 ). Oletetaan lisäksi,ettei molekyylillä ole pysyvää dipolimomenttia. Tavoitteena on lausua molekyylinpolarisoituvuus makroskooppisesti mitattavien suureiden avulla.Ensimmäinen ongelma liittyy polarisoivaan sähkökenttään: se on kenttä,jonka aiheuttavat kaikki ulkoiset lähteet ja väliaineen polarisoituneet molekyylitlukuunottamatta tarkasteltavaa molekyyliä itseään. Kuinka kenttäE m määritetään? Luonnollinen ajatus on poistaa makroskooppisesti pienimutta mikroskooppisesti suuri palanen ainetta tarkasteltavan molekyylinympäriltä ja laskea kenttä jäljelle jäävässä onkalossa. Kenttä tarkasteltavanmolekyylin kohdalla on silloinE m = E + E p + E near (10.12)Tässä E on keskimääräinen kenttä koko kappaleessa, E p onkalon pinnan polarisaatiovarauksenaiheuttama kenttäjaE near on onkalossa olevien kaikkienmuiden molekyylien aiheuttama kenttä. Aivan tarkasteltavan molekyylinkohdalla on siis otettava huomioon aineen yksityiskohtainen mikroskooppinenrakenne.Kenttä E near on nolla esimerkiksi säännöllisen kuutiohilan hilapisteissä,jos molekyylien dipolimomenttivektorit ovat identtisiä (HT). Samoin voidaanolettaa E near nollaksi nesteissä ja kaasuissa, joissa molekyylit ovat täysinsatunnaisesti jakautuneita. Useista molekyylityypeistä koostuvissa aineissatämä kenttä voi kuitenkin poiketa nollasta. Jatkossa oletetaan, että E near =0.Pulmallista on vielä se, että polarisaatiokenttä E p riippuu onkalon muodosta(kuva 10.1). Jos onkalo on kapean suorakaiteen muotoinen ja sen

10.1. MOLEKULAARINEN POLARISOITUVUUS 121bacEKuva 10.1: Molekulaarisen kentän määrittäminen erilaisissa onkaloissa.pitkä sivu on makroskooppisen kentän E suuntainen (a), niin sähkökenttäononkalossa sama kuin väliaineessa kentän tangentiaalikomponentin jatkuvuudenperusteella. Jos suorakaidetta käännetään 90 astetta (b), niin onkalossaE b = E + P/ɛ 0 sähkövuon tiheyden normaalikomponentin jatkuvuudenvuoksi (pinnoilla on polarisaatiovarausta, mutta ei vapaata varausta).Luonnolliselta tuntuva vaihtoehto on olettaa onkalo palloksi (c). Nytkenttä onkalossa saadaan vähentämällä tasaisesti polarisoituneen pallon kenttäkentästä E. Voidaan käyttää hyväksi analogiaa magnetostatiikkaan, jossatasaisesti magnetoituneen pallon sisällä on vakiokenttä H = −M/3 (ks. luku6.6). Tästä voidaan suoraan päätellä, että polarisoituneen pallon sisällä onkenttä −P/(3ɛ 0 ), ja onkalossa E m = E + P/(3ɛ 0 ). Tämä on jonkinlainenvälimuoto suorakaiteen muotoisten onkaloiden kentistä.Nyt voidaan laskea polarisoituma suoraviivaisesti. Jos molekyylien lukumäärätiheyson n, niin polarisoituma on määritelmän mukaan P = np m ,jotenP = nα(E + P/(3ɛ 0 )) (10.13)Toisaalta P =(ɛ r − 1)ɛ 0 E, joten saadaan Clausiuksen ja Mossottin yhtälöα = 3(ɛ r − 1)n(ɛ r +2)(10.14)jossa suhteellinen permittiivisyys ɛ r ja tiheys n ovat makroskooppisesti mitattaviasuureita. Voidaan esimerkiksi mitata kaasun ɛ r ja n, jolloin saadaanα laskettua. Olettamalla, että polarisoitumismekanismi on samanlainen myösnesteessä voidaan tunnettujen tiheyksien avulla ennustaa nesteen suhteellinenpermittiivisyys. Näin saadaan varsin hyviä tuloksia esimerkiksi aineilleCS 2 ,O 2 ,CCl 4 . Mainittakoon, että vedelle tulisi vastaavalla tavalla ennusteeksinegatiivinen permittiivisyys, joten pysyvästi polarisoituneelle aineelleesitetty malli ei päde.

122 LUKU 10. SÄHKÖISET JA MAGNEETTISET MATERIAALITUseimmilla eristeillä E m menee nollaan E:n mukana. Joissain tapauksissaon olemassa pysyvää polarisaatiota P 0 , jolloin E:n ollessa nollaE m = 1 3 P 0 (10.15)TällöinP 0 = nαE m = nα 3 P 0 (10.16)joten nollasta poikkeava pysyvä polarisaatio edellyttää, ettänα3 = 1 (10.17)Tämä ehto on varsin tiukka ja useimmille materiaaleille nα/3 < 1, jotenne käyttäytyvät kuten tavalliset eristeet. Jotkin kristallirakenteiset kiinteätaineet kuitenkin toteuttavat ehdon ja niitä kutsutaan ferroelektrisiksi materiaaleiksi.Esimerkiksi BaTiO 3 on ferroelektristä alle 120 ◦ C:n lämpötilassa(aiheesta enemmän Feynman Lectures, osa II, luku 11-7).Pysyvästi polarisoitunut kappale (elektretti) on kestomagneetin sähköinenvastine. Se eroaa kuitenkin magneetista ratkaisevasti, koska elektretinpinnalle kertyy vähitellen väliaineesta vapaita varauksia, jotka neutralisoivatpolarisaatiopintavarauksen.Ferroelektrisyydelle ominainen pysyvä polarisoituvuus aiheuttaa hystereesi-ilmiön.Kun aine on kerran polarisoitu tasolle P , niin polarisaatio eikatoa vietäessä sähkökenttä nollaan, vaan vasta selvästi nollan alapuolella.Kasvatettaessa negatiivista sähkökenttää polarisaatio saavuttaa uudelleenuuden tason −P , josta ei puolestaan päästä eroon kasvattamalla sähkökenttänollaan vaan kenttää on kasvatettava riittävän paljon nollan yläpuolelle.Siten polarisaation ja sähkökentän välinen relaatio ei ole yksikäsitteinen.Vastaavaan ilmiöön tutustutaan myöhemmin ferromagnetismin yhteydessä.10.2 Ionikiteen sähköstaattinen energiaTutkitaan seuraavaksi sähköstatiikan keinoin ionikiteen energiaa. Tarkastellaanesimerkkinä suolaa (NaCl, kuva 10.2). Kokeellisesti tiedetään, ettäsuolan hajottaminen Na + ja Cl − -ioneiksi vaatii energiaa 7.92 eV molekyyliäkohti. Lasketaan, onko tämä sama kuin yhden molekyylin sähköstaattinenpotentiaalienergia kaikkien muiden suolakiteen ionien kentässä.Riittää tarkastella yhtä Na + -ionia. Sen potentiaalienergia onU 1 = 1 2N∑i=1eq i4πɛ 0 r i(10.18)

10.3. SÄHKÖNJOHTAVUUS MIKROSKOOPPISESTI 123+–+ – +–++–– + –Na+ Cl– +a–+– + –+ – +–+Kuva 10.2: Poikkileikkaus NaCl-kiteestä.missä q i on ±e (e = alkeisvaraus) ja r i on kunkin ionin etäisyys origoon sijoitetustaNa + -ionista. Koska halutaan yhden molekyylin potentiaalienergiaU, niin on laskettava summa U =2U 1 :U =∞∑i=1eq i4πɛ 0 r i(10.19)N voidaan turvallisesti olettaa äärettömäksi, koska se on makroskooppisillekiteille Avogadron vakion 6.02 · 10 23 suuruusluokkaa.Röntgendiffraktiokokeiden perusteella tiedetään, että ionit ovat kuutiohilassa,jossa kuution sivun pituus a on noin 2.82·10 −10 m. Koska e 2 /(4πɛ 0 a) ≈5.1eV ), niin suuruusluokan puolesta ollaan oikeilla jäljillä. Energian lausekevoidaan kirjoittaa summanaU =e24πɛ 0 a∞∑m,n,p=−∞(−1) m+n+p√m 2 + n 2 + p 2 (10.20)missä ei pidä ottaa mukaan termiä m = n = p = 0. Numeerisesti saadaanU ≈−1.747e 2 /(4πɛ 0 a) ≈−8.91eV .Tämä on hieman liian suuri arvo, koskaedellä ei otettu huomioon hyvin lähellä toisiaan olevien ionien välillä vallitsevaapoistovoimaa. Sen vaikutus pienentää molekyylin hajottamiseen tarvittavaaenergiaa. Lisäksi pieni korjaus tulisi ottamalla huomioon kidevärähtelyistäjohtuva liike-energia.10.3 Sähkönjohtavuus mikroskooppisestiTarkastellaan johteessa nopeudella v liikkuvaa varausta q klassisen mekaniikanmukaisesti. Mikäli hiukkaseen vaikuttaa sähkökenttä E, se kiihtyy voimanmdv/dt = qE vaikutuksesta. Olkoon kyseessä lineaarinen ohminen

124 LUKU 10. SÄHKÖISET JA MAGNEETTISET MATERIAALITjohde, jossa sähkökenttä aiheuttaa tasaisen virrantiheyden J. Hiukkaseentäytyy vaikuttaa toinenkin voima, joka kumoaa sähkökentän aiheuttamankiihtyvyyden. Oletetaan, että jarruttava voima on mekaanisen kitkan kaltaineneli verrannollinen hiukkasen nopeuteen, jolloinm dvdtAlkuehdolla v(0) = 0 liikeyhtälöllä on ratkaisu= qE − Gv (10.21)v(t) = q G E (1 − e−Gt/m ) (10.22)Tämän mukaan hiukkasen nopeus lähestyy kulkeutumisnopeutta v d = qE/Geksponentiaalisesti e −t/τ aikavakion τ ollessaτ = m/G (10.23)Sijoittamalla tämä v d :n lausekkeeseen Ohmin laki voidaan kirjoittaajotenJ = nqv d = nq2 τm E (10.24)σ = nq2 τ(10.25)mmissä n on hiukkasten lukumäärätiheys. Jos virrankuljettajia on useampaalaatua, niinσ = ∑ in i q 2 i τ im i(10.26)Kohtuullisen hyvillä johteilla metalleista puolijohteisiin τ voidaan tulkitajohtavuuselektronien keskimääräiseksi törmäysajaksi. Matkaa, jonkajohtavuuselektroni kulkee keskimäärin törmäysten välillä kutsutaan keskimääräiseksivapaaksi matkaksi l mfp ja se onl mfp = v T τ (10.27)missä v T on elektronien terminen nopeus. Nyt termisen nopeuden on oltavapaljon suurempi kuin v d , sillä muutoin τ tulisi riippuvaiseksi sähkökentästäeikä väliaineella olisi enää lineaarista Ohmin lakia. Useimmilla metalleillav T ≈ 10 6 m/s ja v d yleensä alle 10 −2 m/s. Metalleilla l mfp ≈ 10 −8 mhuoneenlämmössä, joten τ ≈ 10 −14 s. Puolijohteilla relaksaatioaika voi ollakertalukua suurempi, mutta joka tapauksessa sähkövirta reagoi käytännössävälittömästi sähkökentän muutokseen. Tämä selittää, miksi ennen Maxwelliakentänmuutosvirtaa ei ollut havaittu missään koetilanteessa.

10.4. MOLEKULAARINEN MAGNEETTIKENTTÄ 12510.4 Molekulaarinen magneettikenttäTarkasteltaessa aineen magnetismia molekyylitasolla kenttien B ja H välinenero olennaisesti katoaa, sillä molekyylien ajatellaan sijaitsevan tyhjössä jamikroskooppinen magneettikenttä B m tarkasteltavan molekyylin kohdallavoidaan korvata mikroskooppisella kentällä H m kirjoittamallaB m = µ 0 H m (10.28)Molekulaarisen magneettikentän muodostavat kaikki ulkoiset sähkövirrat jakaikki molekulaariset dipolit lukuunottamatta molekyyliä, jonka kohdallakenttä lasketaan. Tehdään tarkasteltavan pisteen ympärille onkalo, jonkaulkopuolinen väliaine käsitellään jatkumona samalla tavalla kuin luvussa10.1 molekulaarista polarisoitumista määritettäessä. Molekulaarinen kenttäon siisH m = H + H s + H near (10.29)missä H on makroskooppinen kenttä, H s onkalon reunoilla olevien pintadipolienaiheuttama kenttä jaH near onkalon sisällä olevien dipolien tuottamakenttä. Samanlaisella laskulla, jolla määritettiin E m edellä, saadaan(vrt. luku 6.6, tasaisesti magnetoitunut pallo)Onkalossa olevat dipolit antavat puolestaanH near = 1[∑ 3(mi · r i )r i4πH s = 1 3 M (10.30)ir 5 i− m ]iri3(10.31)missä r i on etäisyys onkalon keskipisteestä i:nteen dipoliin. Suurelle joukolleaineita H near on merkityksettömän pieni, jolloinH m = H + 1 3 M (10.32)10.5 Para-ja diamagnetismistaTässä luvussa käsitellään hieman yksityiskohtaisemmin väliaineen vaikutustamagneettikenttään. Rajoitumme tässä kvalitatiiviseen käsittelyyn. Hyviäkuvauksia voi löytää korkeatasoisista lukion oppikirjoistakin (esim. Kurki-Suonio et al., Kvantti 2, jota tässä onkäytetty yhtenä lähdeteoksena).Aine magnetoituu ulkoisessa magneettikentässä. Väliaine ja kenttääntuodut kappaleet synnyttävät oman magneettikenttänsä. Tilanne on kuitenkinselvästi erilainen kuin sähkökentän tapauksessa, mikä lienee tuttua kaikillehankaussähkön ja kestomagneettien kanssa leikkineille. Kaikkien aineidenpolarisoituminen sähkökentässä havaitaan siitä, että varattu kappale

126 LUKU 10. SÄHKÖISET JA MAGNEETTISET MATERIAALITTaulukko 10.1: Joitain dia- (χ m < 0) ja paramagneettisia (χ m > 0) aineita.Suskeptiivisuudet on annettu huoneenlämpötilassa. Kaasujen tapauksessaoletetaan lisäksi normaali ilmanpaine.ainealumiinielohopeahappihopeakultakuparimagnesiumtimanttititaanityppivetysuskeptiivisuus2.1 · 10 −5−2.8 · 10 −5193.5 · 10 −8−2.4 · 10 −5−3.5 · 10 −5−0.98 · 10 −51.2 · 10 −5−2.2 · 10 −518 · 10 −5−0.67 · 10 −8−0.22 · 10 −8vetää puoleensa neutraalejakin kappaleita. Sen sijaan magneeteilla on selvästinäkyvä vaikutus vain harvoihin aineisiin. Lähellä olevat kappaleet ja väliaineeteivät siksi yleensä häiritse merkittävästi magneettisia tutkimuksia.Väliaineen vaikutusta magneettikenttään on yksinkertaista tutkia toroidikääminavulla, koska käämin kenttä on kokonaan toroidin sisällä (vrt. eristeidentutkimus kondensaattorin avulla). Kentän muoto ei muutu, jos toroiditäytetään väliaineella, vaan ainoastaan magneettivuon tiheys muuttuu.Väliaineen suhteellinen permeabiliteetti voidaan silloin mitata vertaamallamagneettivuon tiheyttä käämissä väliaineen kanssa ja ilman sitä.Koska suurimmalla osalla aineista suhteellinen permeabiliteetti on lähelläykköstä, käytetään useammin magneettista suskeptiivisuuttaja useille aineille pätee yksinkertainen rakenneyhtälöχ m = µ r − 1 (10.33)B = µ 0 (1 + χ m )H (10.34)Ainetta kutsutaan diamagneettiseksi, jos χ m < 0 ja paramagneettiseksi,jos χ m > 0. Näille aineille on tyypillisesti χ m < 10 −3 , joten yleensä voidaanaineen permeabiliteetti olettaa samaksi kuin tyhjön permeabiliteetti (taulukko10.1). Poikkeuksena ovat ferromagneettiset aineet, jotka eivät noudatayksinkertaista magnetoitumislakia.Aineen magneettisten ominaisuuksien mikroskooppinen selitys perustuuuseisiin eri tekijöihin. Alkeishiukkaset ovat pieniä alkeismagneetteja, joiden

10.5. PARA- JA DIAMAGNETISMISTA 127magneettimomentti liittyy hiukkasteen spiniin. Elektronin magneettimomenttion noin 700 kertaa suurempi kuin protonin ja noin 1000 kertaa suurempikuin neutronin magneettimomentti, joten elektronit määräävät aineenmagneettiset ominaisuudet. (Neutroni ei siis kuitenkaan ole magneettisessamielessä täysin neutraali.)Elektronin kiertoliike atomissa vastaa virtasilmukkaa ja siitä aiheutuvamagneettimomentti on samaa suuruusluokkaa kuin spinistä johtuva. Rataliikkeestäjohtuva magneettimomentti voidaan ymmärtää klassisella mallilla,jossa elektroni kiertää r-säteistä ympyrärataa kulmataajuudella ω =2π/T.Malli vastaa virtasilmukkaa, jonka pinta-ala on A = πr 2 ja jossa kulkeevirta I = q/T = qv/2πr. Magneettimomentti on siis m = IA = qvr/2. Elektroninliikemäärämomentti radan keskipisteen suhteen on L = m 0 vr (massa= m 0 ). Ottaen huomioon, että kyse on vektorisuureista, voidaan suuntasäännötmuistaen kirjoittaa m = −e/(2m 0 )L, joka vastaa myös havaintoja.Samaan tulokseen päädytään, jos tarkastellaan pyörivän hiukkasen magneettimomentinja liikemäärämomentin suhdetta (HT). Elektronin spinistäjohtuva magneettimomentti on kuitenkin kaksinkertainen, joten klassinenkuvaeitässä anna oikeaa ennustetta. Samalla nähdään, ettei spiniä voidaselittää arkipäiväisen mielikuvan mukaan pyörimisestä johtuvaksi, vaankyseessä on puhtaasti kvanttimekaaninen suure.Atomin magneettimomentti muodostuu elektronien spinien ja rataliikkeenmagneettimomenteista, jotka yleensä pyrkivät kumoamaan toisensapareittain. Jos atomilla tai molekyylillä on parillinen määrä elektroneja, senmagneettimomentti yleensä puuttuu. Muuten atomien magneettimomentitovat samaa suuruusluokkaa kuin elektroneilla.Ulkoinen magneettikenttä suuntaa atomien ja metallien vapaiden elektronienmagneettimomentteja siten, että niiden kenttä vahvistaa ulkoistakenttää aineessa. Tämä selittää paramagnetismin. Lämpötilan noustessalämpöliike häiritsee atomien järjestäytymistä, jolloin suskeptiivisuus pienenee.Vastaavasti lämpötilan nousu heikentää pysyvien sähködipolien suuntautumisestaaiheutuvan polarisoitumista.Ulkoinen magneettikenttä vaikuttaa myös elektronien rataliikkeeseen.Tällöin atomiin indusoituu magneettimomentti, joka suuntautuu ulkoistakenttää vastaan, mikä selittää diamagnetismin. Ilmiö tapahtuu kaikissa aineissa,mutta peittyy molekyylien magneettimomenttien alle, jos molekyyleilläon magneettimomenttia (vrt. pysyvä ja indusoituva polarisaatio sähkökentänvaikutuksesta). Diamagneettinen suskeptiivisuus ei riipu merkittävästilämpötilasta, koska atomien lämpölike ei pysty häiritsemään nopeasti ulkoiseenkenttään sopeutuvia elektroneja.

128 LUKU 10. SÄHKÖISET JA MAGNEETTISET MATERIAALITbmagneettivuon tiheys Bbaccmagnetoiva kenttä HKuva 10.3: Magneettivuon tiheys ferromagneettisessa aineessa ei ole magnetoivankentän yksikäsitteinen funktio. Kuvaan on piirretty myös magnetoitumiskäyrä(a).10.6 FerromagnetismiJoissain kiinteissä aineissa atomien välinen vuorovaikutus pyrkii suuntaamaanniiden magneettimomentit samansuuntaisiksi, jolloin muodostuu atominkokoon nähden suuria magneettisia alkeisalueita. Niissä kaikkien atomienmagneettimomentit ovat samansuuuntaisia. Ulkoinen kenttä puolestaankasvattaa alkeisalueita ja pyrkii kääntämään kaikkien alueiden magneettimomentitsamansuuntaiseksi. Tämä on ferromagnetismin perusmekanismi.Ferromagneettisia aineita ovat esimerkiksi rauta (Fe), koboltti (Co) janikkeli (Ni) sekä näiden monet yhdisteet. Riittävän korkeassa lämpötilassa(Curie-pisteessä) ferromagneettinen aine muuttuu paramagneettiseksi. RaudanCurie-piste on 770 ◦ C ja nikkelin 358 ◦ C.Myös ferromagneettisille aineille on tapana kirjoittaa rakenneyhtälö µ:navulla, mutta nyt µ = µ(H), joka ei ole välttämättä yksikäsitteinen funktio.Vastaesimerkkinä on hystereesi (kuva 10.3), jossa ja magnetoivan kentän Hja aineen magneettivuon tiheyden B välinen yhteys on erilainen riippuen siitä,ollaanko magnetoivaa kenttää kasvattamassa vaiko pienentämässä. Suskeptiivisuusχ m on siis kentän H funktio ja on yleisesti ottaen iso.Kun kentän H voimakkuutta kasvatetaan, aineen magnetoituminen voimistuu(kuva 10.3). Tätä voi jatkua kuitenkin vain tiettyyn kyllästysarvoonM s asti. Tämän jälkeenkin B-kenttä jatkaa kasvamistaan lineaarisesti terminµ 0 H myötä. Olkoon ferromagneetti nyt magnetoitu tällä tavoin ja annetaanH:n alkaa pienetä. Nyt B-kenttä ei pienene saman käyrän mukaisestivaan tapahtuu kuvassa 10.3 esitetty hystereesi-ilmiö.

10.7. EPÄLINEAARISET ENERGIAHÄVIÖT 129Ferromagnetismin vastakohtana on tilanne, jossa järjestyneen vastakkaissuuntaisistaspineistä muodostuvan rakenteen magneettinen momentti onnolla. Tällaista ainetta kutsutaan antiferromagneetiksi. Vielä yleisempijärjestynyt rakenne on sellainen, jossa on vastakkaisia spinejä, muttakuitenkin nollasta poikkeava kokonaismagneettimomentti. Tällaisia aineitakutsutaan ferriiteiksi. Niitä ovat esimerkiksi tietyt rautaoksidit (MOFe 2 O 3 ,missä M on jokin kaksivalenssinen metalli-ioni). Tunnetuin ferriitti lieneemagnetiitti (Fe 3 O 4 ). Ferriittien teknologinen merkitys on niiden korkeissamagnetoituman kyllästymisarvoissa ja huonossa sähkönjohtavuudessa. Ferriittientyypilliset resistiivisyydet ovat luokkaa 1–10 4 Ωm, kun raudan resistiivisyyson vain 10 −7 Ωm. Ferriittejä käytetään etenkin korkeataajuuslaitteissa,joissa pyörrevirtoihin liittyvä energianhäviö on ongelma.10.7 Epälineaariset energiahäviötTodellinen makroskooppinen ferromagneetti käyttäytyy huomattavasti molekyylitasoarakeisempana. Aine koostuu ferromagneettisista alueista, jotkaovat magnetoituneet eri suuntiin ja joiden välillä on suuruusluokkaa 100atomin paksuisia seiniä. Kun nämä alueet järjestyvät uudelleen ulkoisenmagneettikentän muuttuessa, syntyy kitkaa, joka kuluttaa energiaa. Tarkasteltaessaaiemmin sähkömagneettista energiaa väliaineet oletettiin lineaarisiksi.Ferromagneettinen aine on kuitenkin epälineaarista ja eteen tulee kysymys,mitä tapahtuu, kun hystereesisilmukkaa kierretään ympäri. Tämän selvittämiseksitarkastellaan virtapiiriä, jonka muodostaa ferromagneettisen aineenympärille kierretty kela (N kierrosta), johon ulkoinen energian lähde syöttäävirtaa.Jos magneettivuo kelan läpi muuttuu tekijällä δΦ, niin ulkoinen energianlähdetekee sähkömotorista voimaa vastaan työnδW b = NIδΦ (10.35)Ajatellaan ferromagneetti pätkäksi magneettista silmukkaa eli aluetta, jossamagneettikenttä poikkeaa nollasta. Tällöin kelan kohdalla Amperen kiertosäännönmukaan NI = ∮ H · dl. Merkitsemällä magneettisen silmukanpinta-alaa dl:n kohdalla A:lla saadaan∮∮∫δW b = δΦ H · dl = AδB · H dl = δB · H dV (10.36)Mikäli ferromagneetti käyttäytyy reversiibelisti, saadaan systeemin magneettinenenergia integroimalla magneettivuon tiheys arvosta B = 0 lopulliseenarvoonsa. Lineaariselle aineelle tulos on luvusta 8 tuttuU = 1 ∫H · B dV (10.37)2VV

130 LUKU 10. SÄHKÖISET JA MAGNEETTISET MATERIAALITcbmagneettivuon tiheys BdBadmagnetoiva kenttä HKuva 10.4: Yksikkötilavuutta kohti tehty työ ferromagneettisessa syklissä.Lauseke 10.36 on kuitenkin yleisempi ja antaa oikean työn myös hystereesitilanteessa.Magneettikentän muutosta vastaava työ yksikkötilavuudessa ondw b = H · dB (10.38)Tarkastellaan nyt hystereesisykliä, joka alkaa H:n arvosta 0, kasvaa arvoonH max , pienenee arvoon −H max ja palaa sen jälkeen takaisin nollaan (kuva10.4).Työ kuvan 10.4 pisteestä a pisteeseen b(w b ) ab =∫baHdB (10.39)on hystereesikäyrän ab ja B-akselin välinen pinta-ala ja se on positiivinenkoska sekä H että dB ovat positiivisia. Vastaavasti (w b ) bc on B-akselinja käyrän bc välinen pinta-ala, mutta se pitää laskea negatiivisena, koskadB < 0. Samoin lasketaan työ negatiivisilla H ja lopputulos on, että yhdenhystereesisyklin myötä tehty työ on hystereesisilmukan sisään BH-tasossajäävä pinta-ala∮w b = HdB (10.40)Täyden syklin jälkeen ferromagneetin tila on sama kuin alussa, joten senmagneettinen energia on yhtä suuri kuin aluksi. Ulkoinen energianlähde onkuitenkin tehnyt työtä, joka on kulunut magneettisten alueiden uudelleenjärjestäytymiseen. Kyseessä on palautumaton SM-energian häviö lämmöksi.Tämän ilmiön vuoksi esimerkiksi muuntaja lämpenee. Yleensäkin hystereesihäviöton tärkeää huomioida rakennettaessa vaihtovirtalaitteita. Ylläoleva

10.7. EPÄLINEAARISET ENERGIAHÄVIÖT 131lasku tehtiin yhdelle hystereesisyklille, joten mitä korkeammalla taajuudellalaite toimii, sitä nopeammin hystereesi hävittää energiaa.Käytännössä ferromagneettinen sykli on usein mielekkäämpää käsitellämagneettikentän voimakkuuden H ja magnetoituman avulla ilman viittaustamagneettivuon tiheyteen B. Tämä onnistuu seuraavasti (B = µ 0 (H +M)):dw b = H · dB = µ 0 HdH+ µ 0 H · dM (10.41)Nyt termi µ 0 HdH on tyhjössä tehty työ, joka on nolla integroituna kokonaisensyklin yli ja termi µ 0 H · dM on materiaalille ominainen työ. Kokosyklin yli työ on siis∮∮w b = µ 0 HdM = −µ 0 MdH (10.42)missäonkäytetty hyväksi lauseketta d(MH)=HdM+M dH. Kokonaisdifferentiaalind(MH) integraali on nolla riippumatta aineen ominaisuuksista.

132 LUKU 10. SÄHKÖISET JA MAGNEETTISET MATERIAALIT