Tehtävät

pori.tut.fi
  • No tags were found...

Tehtävät

Sähkömagneettiset kentät ja aallot II keväällä 20111. laskuharjoitukset keskiviikkona 2.2. klo 12.1513.45 luokassa 2161. Ilmatäytteisessä rengaskäämissä on hyvin tiheästi N tasasivuisen kolmion muotoista johdinsilmukkaa.Yksi kunkin a-sivuisen kolmion kärjistä osoittaa renkaan keskipisteeseen ja onsiitä etäisyydellä b. Oheinen kuvio on poikkileikkaus käämistä. Laske tämän rengaskääminitseinduktanssi.Ohje: Vrt. Example 5-8. Vastaus: ( 0 N 2 / ) [a / 2 (b / 3 ) ln(1 + 3 a / 2b)].2. Oppikirjan Problem 5-17 (s. 226).Ohje: Vrt. Example 5-12. Koska h 1 >> h 2 , isomman suorakulmion pitkiä sivuja voidaanpitää likimain äärettömän pitkinä, suorina virtajohtimina.3. Kaksi samanlaista käämiä kumpikin itseinduktanssiltaan 12,00 mH sijaitsee toisiinsa nähdensiten, että niiden keskinäisinduktanssi on 3,00 mH. Käämien virtajohdinten kytkentöjämuutetaan, mutta virtojen kiertosuunnat pidetään sellaisina, että käämit kaikissa tapauksissavahvistavat toisiaan. Laske systeemin magneettinen energia, kun johtimet on kytkettya) sarjaan 2,00 A virtaan, b) rinnan 2,00 A kokonaisvirtaan ja c) eri virtalähteisiin virroiltaan0,600 A ja 1,40 A.Vastaukset: a) 60,0 mJ, b) 15,0 mJ, c) 16,4 mJ.4. Oppikirjan Exercise 5.9 (s. 213).5. Pitkä suora johdin, jossa kulkee 3,0 A virta ylöspäin, ja kulmikas johdinsilmukka, jossakiertää 2,0 A virta myötäpäivään, sijaitsevat samassa tasossa alla olevan kuvion esittämällätavalla. Laske silmukkaan kohdistuvan kokonaisvoiman suuruus ja suunta.Vastaus: 1,0 N vasemmalle.6. Oppikirjan Problem 5-19 (s. 226).Ohjeita: Kun lasket magneettivuon tiheyttä, jonka liuska tuottaa suoran johtimen kohdalla,huomaa, että suora johdin sijaitsee symmetrisesti liuskan keskinormaalin tasossa. Integraali,johon päädyt ratkeaa Mathematical Handbookin kaavasta 17.6.1. Oppikirjan vastauksessaesiintyvä yksikkövektori â x osoittaa kuviossa 5-30 suoraan oikealle.


Sähkömagneettiset kentät ja aallot II keväällä 20113. laskuharjoitukset keskiviikkona 2.3. klo 12.1513.45 luokassa 2161. Oppikirjan Exercise 6.3 (s. 240).2. Oppikirjan Problem 6-7 (s. 269).Ohje: Vrt. Esimerkki 6-Y3.3. Oppikirjan Problem 6-11 (s. 270).4. Oppikirjan Exercise 6.9 (s. 258).5. Oppikirjan Problem 6-15 (s. 271).Huom. 1: Tehtävä on ratkaistava osoitinlaskennalla (mikä on myös helpoin tapa).Huom. 2: Tehtävänannossa on pieni painovirhe: viimeisen kaavan vasen puoli on tietystiH 2 (R, t) eikä H 2 (z, t).6. Oppikirjan Problem 6-17 (s. 271).Ohjeita: a) Etsi ensimmäiseksi virtaa vastaava osoitin. Muuta virrantiheyden tilavuusintegraali(6-85) virran pituusintegraaliksi samoin kuin tehtiin esim. johdettaessa Joulen laista(4-30) virtapiireille sopiva muoto (4-31). Koska nyt on kysymyksessä vain infinitesimaalisenlyhyt johtimen pätkä, kaavan (6-85) integraali surkastuu pelkäksi differentiaaliksi.Muuta näin saamasi vektoripotentiaali lopuksi kaavalla (2-47) pallokoordinaatistoon, jossavastaus halutaan esitettävän. b) Vektoripontetiaalin roottori kannattaa laskea pallokoordinaatistossa.(Roottorin esitys pallokoordinaatistossa löytyy esim. oppikirjan takakannesta.)Huom: Kirjan vastauksissa tunnus tarkoittaa aaltolukua, jota kaavoissa (6-85) ym. onmerkitty tunnuksella k, ja I tarkoittaa virran amplitudia, jota tehtävänannossa on merkittyI 0 :lla.


Sähkömagneettiset kentät ja aallot II keväällä 20114. laskuharjoitukset keskiviikkona 16.3. klo 12.1513.45 luokassa 2161. Oppikirjan Problem 6-21 (s. 271).Ohje: Koska magneettikentän voimakkuuden lausekkeessa aikariippuvuus on annettu sininavulla hyvin yksinkertaisessa muodossa, osoitinlaskentakin kannattaa suorittaa siniin eikäkosiniin verrattuna. Muista, että tällöin reaaliset suureet vastaavat kompleksisten suureidenimaginaariosia. Vaikka oppikirja on sekä tehtävänannossa että vastauksessa taas jättänytlausekkeiden sisällä yksiköt (A/m, V/m rad/s ja rad/m) merkitsemättä, olisi harjoituksensuorittajan suositeltavaa merkitä ne näkyviin.2. Oppikirjan Exercise 7.1 (s. 276).3. Ilmassa +x-akselin suuntaan etenevän, 5,00 MHz taajuisen tasoaallon magneettikentänvoimakkuuden hetkellinen lauseke on â y (2,00 A/m) cos( t k x + /4), missä onkulmataajuus ja k on aaltoluku. a) Etsi kaikki paikat, joissa magneettikentän voimakkuus onnolla hetkellä t = 3,00 ms. b) Esitä aallon sähkökentän voimakkuuta ajan ja paikan funktionakuvaava vektorilauseke.Ohje: Vrt. Example 7-1. Vastaukset: a) x = 22,5 m ± n 30,0 m, missä n = 0, 1, 2, 3, ...b) â z (754 V/m) cos[(3,14 ·10 7 rad/s) t (0,105 rad/m) x + 0,785 rad].4. Oppikirjan Problem 7-2 (s. 330).Ohje: Huomaa, että tutkaa käytettäessä Dopplerin ilmiö tapahtuu kahdesti.Vastaus: Etäisyys on 45 km, korkeus 12 km ja nopeus 1480 km/h.5. Oppikirjan Problem 7-3 (s. 330).Ohje: Vrt. kaavan (7-25) johto ja muista, että tässä kohdassa väliaine oletetaan sähköäjohtamattomaksi.6. Mikä on sähkömagneettisen aallon polarisaatiotila, kun sähkökentän voimakkuudenkomponentit aallosssa ovat:a) E x (z, t) = (2,5 V/m) cos[(5,4 ·10 6 rad/s) t + (0,018 rad/m) z] jaE y (z, t) = (2,5 V/m) sin[(5,4 ·10 6 rad/s) t + (0,018 rad/m) z],b) E x (z, t) = (2,5 V/m) cos[(5,4 ·10 6 rad/s) t + (0,018 rad/m) z] jaE y (z, t) = (2,5 V/m) sin[(5,4 ·10 6 rad/s) t + (0,018 rad/m) z],c) E x (y, t) = (2,5 V/m) cos[(5,4 ·10 6 rad/s) t (0,018 rad/m) y] jaE z (y, t) = (2,5 V/m) sin[(5,4 ·10 6 rad/s) t (0,018 rad/m) y],d) E x (y, t) = (2,5 V/m) cos[(5,4 ·10 6 rad/s) t (0,018 rad/m) y] jaE z (y, t) = (2,5 V/m) cos[(5,4 ·10 6 rad/s) t (0,018 rad/m) y],e) E x (y, t) = (2,5 V/m) cos[(5,4 ·10 6 rad/s) t (0,018 rad/m) y] jaE z (y, t) = (5,0 V/m) sin[(5,4 ·10 6 rad/s) t (0,018 rad/m) y].Vastaukset: a) vasenkätisesti ympyräpolaroitu, b) oikeakätisesti ympyräpolaroitu, c) vasenkätisestiympyräpolaroitu, d) lineaarisesti polaroitu suunnassa, joka poikkeaa 45° x-akselistavastapäivään, ja e) vasenkätisesti elliptisesti polaroitu siten, että ellipsin pääakseli onz akselilla.


Sähkömagneettiset kentät ja aallot II keväällä 20115. laskuharjoitukset keskiviikkona 30.3. klo 12.1513.45 luokassa 2161. Oppikirjan Exercise 7.5 (s. 288).Ohje: Vrt. Example 7-3.2. Oppikirjan Exercise 7.6 (s. 289).3. Harmoninen tasoaalto, jonka taajuus on 9,4 GHz etenee kvartsissa. Tällä taajuudella kvartsinsuhteellinen permittiivisyys on 3,81, suhteellinen permeabiliteetti 1,00 ja häviötangentti0,00015. Laske tällä taajuudella kvartsin a) vaimennuskerroin, b) vaihekerroin ja c) itseisimpedanssisekä d) aallon vaihenopeus ja e) matka, jossa aallon amplitudi pienentyypuoleen.Vastaukset: a) 0,0288 Np/m, b) 385 rad/m, c) 193 + j 0,0145 , d) 1,54 ·10 8 m/s, e) 24 m.4. Tiedetään, että 10 MHz taajuisen sähkömagneettisen aallon tunkeutumissyvyys grafiittiin on0,51 mm. Laske tämän perusteella a) grafiitin johtavuus ja b) matka, jossa 100 MHz aallonkenttävoimakkuus grafiitissa pienentyy 25 dB.Vastaukset: a) 97 kS/m ja b) 0,46 mm.5. Eräässä mikroaalloille ylipäästösuotimena käytetyssä aaltoputkessa vaihekerroin noudattaafunktiota [ 2 (4,50 ·10 10 rad/s ) 2 ] 1/2 / c missä on kulmataajuus ja c on valon nopeustyhjiössä. Laske mikroaaltojen ryhmänopeus taajuudella 9,00 GHz tuossa aaltoputkessa .Vastaus: 1,82 ·10 8 m/s.6. Eräässä aineessa sähkömagneettisen aallon kulmataajuus on A + B 2 , missä on vaihekerroinja A sekä B ovat positiivisia vakioita. Millä kulmataajuudella ryhmänopeus ja vaihenopeusovat tässä aineessa yhtä suuret ja kuinka suuria ne silloin ovat?Vastaukset: Kulmataajuudella 2A molemmat ovat 2(AB) 1/2 .


Sähkömagneettiset kentät ja aallot II keväällä 20116. laskuharjoitukset keskiviikkona 13.4. klo 12.1513.45 luokassa 2161. Oppikirjan Problem 7-13 (s. 332).Ohjeita: Koaksiaalikaapelin johdinten välitilassa vallitseva sähkökentän voimakkuuslaskettiin esimerkissä 3-12 ja magneettivuon tiheys esimerkissä 5-10. Muodosta niistäPoyntingin vektori ja integroi se tässä tehtävässä esitetyllä tavalla.2. a) Laske seisovan aallon suhde, kun heijastuskerroin on 0,500, ja ilmoita tulos desibeleinä.b) Laske heijastuskerroin, kun seisovan aallon suhde on 5,00 dB.Vastaukset: a) 9,54 dB, b) 0,280.3. Oppikirjan Problem 7-14 (s. 332).Ohje: b-kohta kannattaa laskea ensimmäiseksi, sillä jo a-kohdassa tarvitaan :n arvoa, jotakysytään vasta b-kohdassa.Vastaukset: a) E r (x, t) = â y (16,7 V/m) sin[(10 8 rad/s) t + (0,333 rad/m) x],H r (x, t) = â z (44,2 mA/m) sin[(10 8 rad/s) t + (0,333 rad/m) x], b) 1/3, 4/3 ja 2,c) E t (x, t) = â y (66,7 V/m) sin[(10 8 rad/s) t (1,333 rad/m) x],H t (x, t) = â z (88,4 mA/m) sin[(10 8 rad/s) t (1,333 rad/m) x].4. Laske edellisen tehtävän (Problem 7-14) aallon keskimääräinen tehotiheys kummassakinväliaineessa erikseen.Ohje: Voit käyttää Example 7-7:n a-kohdassa johdettuja tuloksia hyväksi.Vastaus: 2,95 W/m 2 .5. Osoita matemaattisesti, että heijastuminen täydellisen johteen pinnasta kääntää ympyräpolaroidunsähkömagneettisen aallon kätisyyden.Ohje: Riittää osoittaa tämä kohtisuoran heijastumisen tapauksessa.6. Oppikirjan Problem 7-27 (s. 334).Huom.: Oppikirjan vastauksessa a-kohtaan on virhe: magneettikentän voimakkuuden x-komponentista puuttuu nimittäjä 2 , ts. pelkän 2 :n sijasta pitää olla 2 / 2 .Ohjeita: Tehtävä liittyy oppikirjan kohdan 7-7.1 loppuosan teoriaan, joka siis on syytä ensinhuolellisesti kerrata. Tehtävän a-kohdassa tavoiteltuihin osoittimien lausekkeisiin pääseesijoittamalla kaavat (7-125a) ja (7-125b) kaavoihin (7-141) ja (7-142), jotka tosin esitetäänvastaan kohdassa 7-7.3, ja myös kaavaa (7-148) tarvitaan. Tehtävän b-kohdassa lasketaan a-kohdasta saaduista osoittimista keskimääräinen Poyntingin vektori kaavalla (7-79) ja todetaan,että sen rajapintaa vastaan kohtisuora komponentti on nolla.


Sähkömagneettiset kentät ja aallot II keväällä 20117. laskuharjoitukset keskiviikkona 27.4. klo 12.1513.45 luokassa 2161. Oppikirjan Problem 7-31 (s. 335).Huom: Oppikirjan vastauksesta b-kohtaan puuttuu numeerisen apertuurin arvo, jotatehtävässä myös kysytään. Se on 0,986.Ohje: Vrt. Example 7-10.2. Mitä arvoa suurempi tai pienempi pitää optisen kuidun halkaisijan olla, jotta kuitu voidaanvalon kulun huomattavasti estymättä taivuttaa 5,0 cm säteiselle kaarelle, jos kuidun sydänaineentaitekerroin on 1,580 ja päällyksen taitekerroin on 1,570?Ohje: Tarkastele akselin suuntaisesti kulkevasta sädekipusta sitä sädettä, joka kaarteessakohtaa kuidun ja päällyksen rajapinnan pienimmällä tulokulmalla (eli jyrkimmin).Vastaus: Halkaisijan on oltava pienempi kuin 0,32 mm.3. Vaikka kokonaisheijastuminen takaa, ettei optisessa kuidussa valoa menetetä heijastuksissa,valo kuitenkin kuidussakin vaimenee ja muuttuu lämmöksi kuituaineessa tapahtuvienabsorption ja sironnan vuoksi. Erään optisen kuidun pituus on 876 m ja vaimennus kokopituudella 7 dB. Jos tähän kuituun syötetään laservaloa, jonka teho kuidun alussa on 10 W,paljonko tehoa muuttuu lämmöksi a) ensimmäisen ja b) viimeisen metrin matkalla?Vastaukset: a) 18,4 mW ja b) 3,7 mW.4. Oppikirjan Problem 7-24 (s. 334).Ohjeita: Ionosfäärin permeabiliteetti on sama kuin tyhjiössä ja permittiivisyyden saatkaavasta (7-130).Vastaukset: a) 0,875 j 0,484 (= e j3,647 ) ja 0,125 j 0,484 (= 0,500e j4,965 ), b) 0,250 j 0,968 (= e j4,965 ) ja 0,559 j 0,433 (= 0,707e j5,624 ).5. Valo tulee ulkoa kohtisuorasti tuplaikkunaan, jonka lasien taitekerroin on 1,5. Montakoprosenttia valosta pääsee huoneeseen sisään?Vastaus: 85 %.6. Oppikirjan Problem 7-32 (s. 335).Tarkennus tehtävänantoon: Lisäksi on oletettava a-kohdassa, että 1 = 2 , ja b-kohdassapuolestaaan, että 1 = 2 .

More magazines by this user
Similar magazines