PDF (3.7 Mt) - Seepia

seepia.org

PDF (3.7 Mt) - Seepia

Seepia 4Tässä numerossa3. Sienisolut6. Kiertoratamekaniikkaa9. Aritmetiikkaa geometrialla12. Latina – elävä kuollut kieli14. Julian joukot – fraktaalejakompleksitasolla21. Metafysiikan ominaisuuksistaSeepia on neljä kertaa vuodessa ilmestyvä tiedelehti.Sitä jaetaan ilmaiseksi Helsingin matematiikka-ja luonnontiedelukioiden opiskelijoille.Päätoimittaja:Teemu VarisToimituskunta:Aapo AholaPetri ArvoSam HarwickEinar KarttunenJaakko KortesharjuVeli PeltolaSampo TiensuuPekka TolvanenTeemu VarisJari VarjeUlkoasu:Sampo TiensuuToimitukseen voi ottaa yhteyttä sähköpostitse:toimitus@seepia.org tai koulujen sisäisen postinkautta (Ressun lukio / Pekka Piri).Seepian kotisivut ovat Internetissä osoitteessa:http://www.seepia.org/Olemme kiitollisia palautteesta, korjauksista ja kysymyksistä.Mikäli haluaisit kirjoittaa artikkelin Seepiaan, otayhteyttä.Seepian toimituksella on ylin päätösvalta julkaistavanmateriaalin suhteen. Emme vastaa tilaamattomanmateriaalin säilyttämisestä tai palauttamisesta.Artikkelien tekijänoikeudet ovat niiden kirjoittajilla.Kuvien tekijänoikeuksien haltijat on mainittuniiden vieressä. Seepialla on kuitenkin oikeus korvauksettakäyttää uudelleen siinä julkaistua materiaalia.Seepian edellisiä numeroita voi tilata jälkitilauksenahintaan 5 mk/kpl + postitus- ja käsittelykulut 20mk niin kauan kuin painosta riittää.Perjantai 1.6.2001Vanajan hiihtäjäMies seisoo keskellä Vanajavettä. On siis talvi, jakoko valtava järvi on jäässä. Niin, tämä mies seisoo keskelläavarinta Vanajanselkää Kalvolan, Hattulan ja Valkeakoskenkuntien rajalla sijaitsevassa saaressa; jalassa hänellä onsukset ja selässä teodoliitti eli sellainen koje, jolla mitataankulmia maastossa. Ja ehkä vähän näkkileipää muonitukseen.Mies lähtee liikkeelle ja hiihtää pitkillä metsäsuksillaan100 täyttä suksenmittaa kohtisuoraan länteen päin,kunnes pysähtyy. Hän pystyttää teodoliittinsa ja määrittääedestäpäin suunnan, joka on kymmenen astetta eli 11,11...goonia1) hänen äsken kulkemastaan suunnasta vasemmalle.Tästä suunnasta hän ottaa kiintopisteen, ja kulkee sitäkohti jälleen 100 suksenmittaa. Teodoliittinsa avulla hän ottaauuden suunnan: 20 astetta edellisestä suunnasta vasemmalle.Hän siis kaksinkertaistaa edellisen suunnanmuutoksen,ja hiihtää jo tutuksi tulleen matkan, tarkasti suoraa linjaanoudattaen. Näin miehemme jatkaa, kääntyen aina vasemmallekaksi kertaa edellisen käännöksen verran ja sittenhiihtäen aina saman matkan.Käännökset, jotka mies tekee, muodostavat siis jonon:10, 20, 40, 80, 160, jne. Kysymys kuuluu: minne ihmeeseenmies päätyy? Tampereelle vai Hämeenlinnaan?Tilanne olisi toki yksinkertaisempi, mikäli ensimmäinen kulmanmuutosolisi ollut 45. Silloin matka kävisi seuraavan näköistärataa pitkin luoteeseen (Nokialle):Tehtävässämme mies kuitenkin nääntyy nälkään elleiymmärrä lopettaa. Näin retki etenee:Kuvio on rekursiivista prosessia kuvaava tasokäyrä.Kuvaajan perusteella näyttäisi neljänkymmenen asteenkäännöksen jälkeen prosessissa toistuvan eräs jakso loputtomasti.Kulmajonon jaksojen toisiaan vastaavien jäsentenarvo modulo 360 on siis sama. Myös muilla astelukemilla ilmeneereitissä tavalla tai toisella geometrisesti jaksollista kehitystä,mutta millä tavalla astelukema tarkalleen ottaen vaikuttaageometrisen kuvion laatuun sääntöä toistettaessa?Esimerkkejä:Seepia julistaakin lukijoilleen kilpailun, jossa tehtäväon seuraava: Selvitä, millä perusteilla geometrien kuvioriippuu annetun kulman kokonaislukusuhteista (esim.9/360, 10/360). Kaikki vastaukset huomioidaan, ja parasehdotus palkitaan vaelluskompassilla.Aapo Ahola1) Maanmittaajat jakavat ympyrän neljäänsataan gooniin (g).Suorassakulmassa on tällöin “looginen” määrä kulmayksikköjä,100g.2


Seepia 4 Perjantai 1.6.2001Sienikunta on laaja eliölajienryhmä: se sisältää niin kaikilletutut perinteiset sienet kuten tatit,rouskut ja haarakkaat, muttamyös useita muita kaaria 1) . Sieniinkuuluvat myös mm. homeet, hiivat2) ja limasienet. Jäkälät puolestaanovat sienen ja levän symbiooseja…Tutkijat eivät vielä tänäpäivänäkään ole yhtä mieltä sientenluokittelusta, ja sienten, protokistien,eläinten ja kasvien erottaminentoisistaan on joissakin tapauksissahyvin ongelmallista.Kaikilla sienillä katsotaankuitenkin olevan joitakin yhteisiäpiirteitä. Sienet ovat heterotrofisiaeli toisenvaraisia. Ne käyttävät ympäristönravinteita hyödykseen,mutta eivät syö saalistaan kuteneläimet, vaan erittävät ruoansulatusentsyymejäympärilleen. Sienetovat usein lahottajia, loisia tai symbiontteja.Sienet lisääntyvät itiöistäjoko suvullisesti tai suvuttomasti.Niiden perusrakenne koostuu tavallisestihyyfien eli sienirihmojenmuodostamasta rihmastosta. Sienisoluillaon soluseinä, joka onuseimmiten kitiiniä. Lisäksi solujentumat ja kromosomit ovat erittäinpieniä.Sienisoluja on monenlaisia,vaikka erilaisten solujen kirjo yhdessäyksilössä onkin suppeampi1) Kaari on kasvikunnan luokituksessakäytettävä pääryhmä. Eläinkunnassa sitävastaa pääjakso.2) On kiistanalaista ovatko hiivat alkueliömäisiäsieniä vai sienimäisiä alkueliöitä.© Sampo Tiensuukuin monimutkaisemmilla eliöillä.Sienten toiminnallisena yksikkönäon tavallisesti hyyfi. Hyyfeissä onusein monta tumaa, eikä se jakauduselkeästi soluihin. Hyyfin voidaanajatella olevan eräänlainenuseiden solujen yhteensulautuma.Toisaalta esim. hiivat ovat useinyksisoluisia ja eräät rihmamaisetsienet jakautuvat selvästi soluihin.Sienisolut ovat aitotumallisia ja sienilläon sekä haploidinen että diploidinenvaihe.Hyyfien muoto ja kokovaihtelee suuresti hyyfin sijainninja tehtävien mukaan. Lajien väliseterot ovat kuitenkin selviä. Tyypillisenhyyfin koko vaihtelee 3-12µm välillä. Hyyfejä erottaa toisistaansoluseinä. Korkeampien sienten3) hyyfit jakautuvat osastoihin.Osastojen koko vaihtelee 25-75µm välillä. Rihmaston kärjessäon usein muita 5-10 kertaa suurempikärkeä kohti suippenevahyyfi.Ascomycota- eli kotelosientenrihmoissa on usein monta tavallisesti,ja kärkihyyfi sisältääusein 5-15 kertaa enemmän tumiakuin muut hyyfit. Poikkeuksenmuodostaa lahko Saccharomycetales(hiivasienet), jotka esiintyvätyleisimmin yksittäisinä silmikoitumallalisääntyvinä soluina. Basidiomyceteidenrihmoissa on useinyksi tai kaksi tumaa, riippuen rihmojensijainnista.Sienten tumat ovat pieniä(1-2µm) verrattuna eläinten ja kasvientumiin, eikä niissä ole paljon3) nimityksellä tarkoitetaan kaaria Ascomycota(kotelosienet) ja Basidiomycota(kantasienet).Kuva 1: Taulakääpä on kouvua lahottava sieni, jonka monivuotisia itiöemiä on käytetty mm. tulentekemiseen.Keskikokoinen taulakääpä tuottaa keväällä noin 600 000 itiötä sekunnissa.3


Seepia 4Perjantai 1.6.2001kromosomeja. Tämä tekee niidentutkimisen vaikeaksi, vaikka geenienmäärä on pienehkö. SienisolujenDNA on yleensä kiertyneenäneljän histonin muodostaman ryhmänympärille. Histonienaminohappokoostumus eroaa jonkunverran kasvien ja eläinten vastaavasta.Erityisesti sienisoluille ontyypillistä nukleosomien välinen lyhytetäisyys. Eräillä sienillä on osoitettuolevan myös vähäisiä määriäkromosomeihin liittymätöntäDNA:ta.Sienten DNA:ssa on vainvähän toistuvia jaksoja - yleensävähemmän kuin 10%. Useilla nisäkkäillävastaava osamäärä on30%. Useimmat toistot lienevätgeeneissä, jotka koodaavatrRNA:ta. Introneja on sienienDNA:ssa yleensä vähemmän ja neovat lyhyempiä kuin kehittyneemmissäsoluissa.Sienisolut sisältävät mitokondrioitakuten eläinsolutkin.Nämä eivät kuitenkaan ole solunselviytymisen kannalta aina välttämättömiä,sillä useat sienisolut selviävätanaerobisissa olosuhteissa,tosin kasvaen hitaammin. Mitokondrioidenmäärä vaihtelee huomattavastikuten kasvi- ja eläinsoluillakin.Mitokondrioiden kokokinvaihtelee suuresti: solussa saattaaolla esimerkiksi viisi isoa haaroittunuttamitokondriota tai 20 pientäyksittäistä mitokondriota. Sienisolujenmitokondrioissa on runsaastimtDNA:ta 4) , usein jopa kolmekertaa enemmän kuin ihmisellä.mtDNA:n vastuulla on sientenmitokondrioissa, enemmän asioitakuin varsin yksinkertaisissa nisäkkäidenmitokondrioissa - nisäkkäillävastaavat tehtävät hoitaa tumanDNA. mtDNA voi mitokondrioidenlukumäärän vuoksi muodostaajopa 5-25% sienisolunDNA:sta.4) mtDNA eli mitokondrio DNA. Mitokondriotsisältävät perintötekijöitä, joita ne tarvitsevattoiminnassaan.4© Michael WoodKuva 2: Limakkosienen keskenkasvuisia itiöemiä5) dsRNA (double stranded RNA) kaksijuosteinenRNA.Bakteerisoluissa yleiset plasmiditovat harvinaisia sienisoluissa.Niitä on tavattu joillakin lajeilla,mutta on epäselvää osallistuvatkone isäntäsolunsa toimintaan.On esitetty, että sienten plasmiditovat vain DNA:n kappaleita, jotkavain pyrkivät monistamaan itseäänilman että ne edesauttaisivatsientä mitenkään.Sienisolut - kuten kaikkimuutkin solut - kärsivät viruksista.Sienivirukset sisältävät useindsRNA 5) :ta ja ovat muodoltaan isometrisiäeli suunnilleen pallomaisia.Virusten yleisyys vaihtelee lajeittain,joidenkin lajien melkein jokaisessayksilössä on virus, toisillaviruksia ei ole havaittu. Sienivirukseteivät tartu helposti, ja sientenvälinen tartunta vaatii usein protoplastin.Useille sieniviruksille onmyös tyypillistä, että dsRNA-molekyylitovat omissa erillisissä kapseleissaaneivätkä yhdessä vaipansuojaamassa kapselissa. Sienivirukseteivät useinkaan ole kovinvaarallisia sienille, vaikka joitakinpoikkeuksiakin on. Niinpä viruksiaonkin havaittu enimmäkseen erityisissätutkimuksissa. Sienisoluissaesiintyy myös jonkin verran vapaitadsRNA-molekyylejä, joilla eiole suojanaa minkäänlaista vaippaaja käyttäytyvät usein virusmaisesti,vaikkakin aiheuttaen vähemmänhaittaa kuin varsinaiset virukset.Solut pyrkivät varastoimaantoiminnalleen tärkeitä aineita,sillä solun ympärillä on harvoinriittävästi kaikkia mitä se tarvitsisi.Sienisolut sisältävät suuria määriähiiltä, jota ne pyrkivät varastoimaanmonin tavoin. Sienisolut säilyttäväthiiltä usein lipideissä, rasvakuplissaja glykogeeninä. Glykogeenion soluissa liukenemattominamakromolekyyleinä. Glykogeenivoi olla jopa 10% solun kuivapainosta.Hiiltä varastoidaanmyös pienimolekyylisiin yhdisteisiin.Monosakkaridit ovat sienisoluissaharvinaisia, ja selvästiyleisin yhdiste on pienimolekyylinensokeri trehaloosi. Myös mannitolija arabitoli sekä muut moniarvoisetalkoholit ovat tyypillisiä varastoaineita.Trehaloosi ja moniarvoisetalkoholit muodostavatusein solun kuivapainosta jopa15%. Pienimolekyylisiä yhdisteitä


Seepia 4 Perjantai 1.6.2001© Vicki TariqKuva 3: Hyyfin rakennevarastoidaan usein tiettyjä tehtäviävarten kun taas isomolekyylisetovat usein materiaalivarastoja.Monet sienet varastoivat useidenprotokistien tavoin fosforia polyfosfaattiinaerityisiin jyväsiin.Solujen ympärillä on puoliläpäiseväsolukalvo. Sienisolujensolukalvon rakennetta ei tunnetakovin hyvin, mutta sen päärakennusaineenaon ergosteroli, kuntaas eläimillä se on kolesteroli.Solukalvon ulkopuolella on polysakkaridejakuten galaktaania.Sienillä kuten kasveillakinon soluseinät. Hyyfin seinämä rakentuuyleensä kitiinistä, muttauseimmilla Oomycota- eli mu-© Michael Woodnasienillä se on selluloosaa. Kitiinion lineaarinen polymeeri, joka tunnetaanmyös hyönteisten tukirakenteidenrakennusmateriaalina.Hyyfien seinämien rakenne onusein monimutkainen, ja seinämätsisältävät usein muitakin polymeerejä.Seinämän vahvuus perustuukinuseimmiten komposiittirakenteeseentai molekyylikuitujen ominaisuuksiin.Hyyfien seinien rakennevaihtelee suuresti niiden sijainninja tehtävän mukaan. Monestipitkälle kehittyneiden seinien ulkopuolellaon vielä erillinen ulkoseinä.Sienisolujen seinissä on useinmyös jonkun verran lipidejä, ja joillakinsienillä melaniineja, jotkasuojaavat soluja mikrobeilta.Korkeampien sienillä onusein hyyfien seinissä aukko, jonkakautta voi joskus siirtyä hyyfistätoiseen soluliman lisäksi tumia.Aukkojen läheisyydessä on useinns. Woronin kappaleita 6) , jotkasiirtyvät tukkimaan aukon, jos viereinenhyyfi on vioittunut.Sienisolut ovat oma selvästierillinen ja mielenkiintoinen ryhmänsämuiden solutyyppien joukossa.Ne eroavat selkeästi muistaaitotumallisista soluista muodostaenvälimuodon kasvien, eläintenja protokistien välille. Sienten tutkimusja tuntemus on mullistunut viimevuosikymmeninämikrobiologiankehityksen myötä. Niiden tuntemuskäynee tulevaisuudessayhä tärkeämmäksi geenitekniikanedistyessä.Einar KarttunenKirjallisuuttaKuva 4: Kokonaiskantaisten (Holobasidiomycetidae) alaluokkaan kuuluva myrkyllinenAmanita virosa, joka kasvaa yhdysvaltojen itäosissa.[1] Härkkönen, Marja; Ukkola, Tarja;Helsingin yliopiston kasvitieteen monisteita162 – Sienten rakenteen ja systematiikanpääpiirteitä. Yliopistopaino, Helsinki 1998[2] Härkkönen, Marja; Koponen, Hilkka;Renvall, Pertti; Stenroos, Soili; Helsinginyliopiston kasvitieteen monisteita 120 –Sienitieteen perusteet. Yliopistopaino,Helsinki 1990[3] Carlile, Michael J.; Watkinson, SarahC.; The Fungi. Academic press, Iso-Britannia, Bath 19976) englanniksi Woronin body.5


Seepia 4Perjantai 1.6.2001Kiertoratamekaniikka onmekaniikan ala, joka tarkasteleekappaleiden liikkeitä gravitaatiovoimienvaikutusten alaisina. Tässäartikkelissa tarkastellaan aihettasatelliittien ja avaruusalusten näkökulmasta.Avaruudessa kappaleisiinei vaikuta muita kuin gravitaatiostajohtuvia voimia, sillä väliainettaja siten ollen vastusta ei käytännössäole. Tämän takia liike avaruudessaon hyvin lainalaista ja siksikohtuullisen helppoa tarkastella,jos kappaleita on vain kaksi.Useamman kappaleen systeemeissämatemaattinen tarkastelu onerittäin vaikeaa, jollei jopa mahdotonta.Satelliittien kohdalla tätä ongelmaaei kuitenkaan ole, koskaongelmat käsittelevät yleensä satelliittejakiertoradalla, jolloin Auringonja muiden taivaankappaleidenvaikutusta ei juuri tarvitse huomioida.Avaruusalukset liikkuvatavaruudessa siis tiettyjä ratoja pitkin,jotka Keplerin ensimmäisenlain mukaan ovat ellipsejä (ympyräon ellipsin erikoistapaus). Jottaaluksen kiertorata saataisiin määri-6tettyä, on tunnettava radasta kuusins. rataelementtiä: isoakselin puolikas,eksentrisyys, inklinaatio, nousevansolmun pituus, perigeuminargumentti sekä perigeumaika.Isoakselin puolikas on puoletrataellipsin isoakselin pituudesta.Eksentrisyys on lukuarvo, jokasaadaan, kun rataellipsin polttopisteidenvälimatka jaetaan isoakselinpituudella. Tämä luku määrääradan muodon. Ympyräradalla eksentrisyyson nolla. Inklinaatio onkiertoradan ja kierrettävän kappaleenekvaattoritason välinen kulma.Nouseva solmu on kiertoradanpiste, jossa satelliitti nousee radallaanMaan ekvaattoritason pohjoispuolelle.Vastaavasti laskevasolmu on piste, jossa siirrytään eteläpuolelle.Nousevan solmun pituuson nollapituuspiirin ja solmunvälinen kulma.Perigeum on ellipsiradanpiste, joka on lähimpänä Maata.Aurinkoa kierrettäessä vastaavapiste on nimeltään periheli. Kauimmainenpiste on nimeltään apogeum(apheli). Perigeumin argumenttion perigeumin ja nousevansolmun välinen kulma. Perigeumaikaon hetki, jolloin satelliittiohittaa perigeuminsa.Näiden rataelementtienavulla voidaan edelleen laskea radanapogeum- ja perigeumetäisyydetsekä määrittää aluksen tarkkapaikka radalla. Näitä tietoja voi-Kuva 2: Kuva, jossa Maapallo on harmaa ympyrä, onkuvattu kohtisuoraan ratatasoa vasten. Toinen kuva onkolmiulotteinen. Kumpikin kuva esittää samaa rataa.Merkkien selitykset: A = apogeum, B = perigeum,C = laskeva solmu, D = nouseva solmu,E = nollapituuspiiri, = nousevan solmun pituus, = perigeumin argumentti, = inklinaatio.


Seepia 4 Perjantai 1.6.2001NASAKuva 1:KansainvälinenISS-avaruusasemadaan käyttää siirtymäratojen, laukaisu-ja laskeutumisikkunoidensekä kohtaamisaikojen määrittämiseen.Seuraavassa johdetaan joitakinperuskaavoja lähtien liikkeelletutuista mekaniikan laeista.Kauniita kaavojaNewtonin ensimmäisenlain mukaan kappale jatkaa suoraviivaistaliikettä, mikäli siihen eivaikuta voimia. Ympyräradallakiertävään kappaleeseen vaikuttaasiis jokin voima, joka vetääkappaletta pois suoralta radalta.Kiertoratamekaniikan kohdalla kyseessäon gravitaatio, jonka suuruussaadaan Newtonin gravitaatiolaista.Tämä voima aiheuttaakappaleeseen keskeiskiihtyvyyden,joka on siis yhtä suuri kuinnormaalikiihtyvyys ympyräradalla.Näistä voidaan ratkaista nopeudeksir-säteisellä ympyräradallaM-massaisen kappaleen ympärillä:Mv = γ (1)rKaavassa ei oteta huomioonsatelliitin massaa, koska se onkierretävään taivaankappaleeseen,esim. Maahan, verrattunamerkityksetön, jolloin se ei aiheutamainittavaa muutosta Maan liiketilassa.Kulmaliikemäärän säilymisenperiaatteen perusteella ellipsiradallakappaleen kulmaliikemääräon joka hetkellä vakio eliL = mv φr = vakio [3 s.64]. Radankahdelle mielivaltaiselle pisteellevoidaan siis kirjoittaamv φ1r 1= mv φ2r 2,, mistä massat supistuvat.Jos näiksi kahdeksi pisteeksimäärätään perigeum ja apogeum,voidaan kirjoittaar pv p= r av a, missä alaindeksi p tarkoittaaperigeumia ja a apogeumia[1].Energian säilymislain mukaankappaleen liike-energian japotentiaalienergian summa on vakio.Voidaan siis kirjoittaa:12mv− = mv −2 γmM1p rp22aγmMra.Tämän yhtälön sekä yhteydenr pv p= r av aavulla saadaan ratkaistuanopeudet ja säteet ellipsiradanperigeumissa:v p=r p=2γMrar ( r + r )p a pr a2γM2−1vara(2)(3)Apogeumissa vastaavat nopeudetja säteet saadaan vastaavastivaihtamalla alaindeksit a:stap:ksi ja p:stä a:ksi, mikä voidaanosoittaa johtamalla kyseiset kaavat.Kiertoaika tasaisessa ympyräliikkeessäon T =2πr/v. Tähänsijoittamalla ratanopeuden kaava(1) saadaan kiertoajaksirT = 4 π2 3γM(4)Tämä pätee myös ellipsiradoille,jos säteen tilalla käytetäänisoakselin puolikasta 1 a [1]. Ympyräradallahanisoakseli a = 2r, jol-2loin 1a = r. 2Isoakselin puolikkaan 1a ja 2eksentrisyyden e avulla voidaanlaskea perigeumin ja apogeuminetäisyydet kaavoilla [1]arp = −e2 ( 1 ) (5)ara = +e2 ( 1 ) (6)Näistä saadaan johdettuakaava isoakselin puolikkaalle, kuntunnetaan säteet:a rp+ ra=(7)2 2Näiden avulla päästään siiskäsiksi kiertoratamekaanisiin ongelmiin,jos tiedetään vain rataelementit.AvaruuslennonmekaniikkaaKäytännössä näitä kaavojakäytetään ongelmissa, joissa onselvitettävä nopeudenmuutokset,jotka avaruusaluksen on tehtäväsiirtyäkseen kiertoradalta toiselle.Esimerkiksi matalan kiertoradansatelliitin on ajoittain korotettava ilmanvastuksentakia madaltunuttarataansa. Tällöin energian kannaltaedullisin keino on laittaa satelliittiellipsiradalle, jonka apogeum onhalutun radan korkeudella. Ensimmäinenpoltto suoritetaan tämänns. siirtymäradan perigeum-pisteessä.Toinen poltto tarvitaanapogeum-pisteessä, jotta rata saataisiinuudelleen ympyräradaksi.Tällaisen tehtävän nopeudenmuutokseteli delta-v:t on helppo laskea.Esimerkki 1:ISS-avaruusaseman rataon ilmakehän ulko-osien vastuksentakia pudonnut ympyräradaksi325 km korkeuteen. Tehtävänäon laskea tarvittavat delta-v:t polttojavarten, jotta rata saadaan palautettua400 km korkeuteen.NASARatkaisu:Ratojen säteet eli siirtymäradanperigeum- ja apogeum-pisteetovat r 1= r p= 6703140 m jar 2= r a= 6778140 m. Satelliitin nopeudetalemmalla ja ylemmälläympyräradalla saadaan kaavasta(1): v 1= 7711 m/s ja v 2= 7668m/s. Nopeudet siirtymäradan apogeumissaja perigeumissa saadaansijoittamalla kaavaan (2):v p= 7732 m/s ja v a= 7647 m/s.Näin voidaan laskea polttojenedellyttämät delta-v:t: ∆v 1= v p−v 1= 21 m/s ja ∆v 2= v 2− v a=21 m/s. Ensimmäisessä poltossaKuva 3: Hubble-avaruusteleskooppi7


Seepia 4Perjantai 1.6.2001nopeutta on siis kiihdytettävä21 m/s. Tämän jälkeen odotetaanpuoli kiertoaikaa, jonka jälkeen toisessapoltossa nopeutta kiihdytetäänvielä 21 m/s, jolloin ollaanympyräradalla 400 km korkeudessa.Vastaavasti voidaan laskeatarvittavat delta-v:t, jos halutaanpudottaa rataa. Tällöin arvot ovatluonnollisesti negatiiviset.Edellä esitelty siirtymäradanmääritys on vielä hyvin yksinkertaista,mutta tehtävä vaikeutuuhieman, jos mukana on aikarajoitus.Tällöin otetaan käyttöön ns.laukaisuikkuna, joka tarkoittaa hetkeä,jolloin poltto on suoritettava,jotta alus olisi oikeassa paikassa oikeaanaikaan. Tämä on usein tilanne,kun on laskettava siirtymäratojakahden aluksen välistä kohtaamistavarten.Esimerkki 2:Hubble-avaruusteleskooppikiertää Maata 750 km korkeudellaympyräradalla. Teleskoopinohjausjärjestelmää korjaamaanlähetetty Endeavour-avaruussukkulaon ympyräradalla350 km korkeudella. Laske tarvittavatpoltot sekä hetki, jolloin polttoon suoritettava, jotta Endeavoursaapuisi Hubblen luo. HetkelläT=0 h 0 min 0 s Endeavour sijaitseeradallaan 40°W pituuspiirinyläpuolella ja Hubble 10°E yläpuolella.Ratojen inklinaatiot ovat samat.Ratkaisu:Perigeum- ja apogeum-etäisyydet:r 1= r p= 6728140 m ja r 2= r a= 7128140 m. Nopeudet ympyräradoillakaavasta (1): v 1=7697 m/s ja v 2= 7479 m/s.Nopeudet siirtymäradan perigeumissaja apogeumissa kaavasta(2): v p= 7807 m/s ja v a= 7369m/s. Tarvittavat nopeudenmuutoksetpolttoja varten: v 1= v p– v 1=110 m/s ja v 2= v 2– v a= 110m/s. Nyt on siis saatu tarvittavatpoltot ratkaistua, enää ratkaistavanaon ajoitus. Ulomman radan8kiertoaika on kaavalla (4) laskettunaT 1= 5492 s. Siirtymäradankiertoaika saadaan samasta kaavasta:T s= 5738 s, kun ensin onlaskettu isoakselin puolikas kaavalla(7) ja sijoitettu se säteen paikalle.Merkitään t = aika, joka on odotettavaennen polttoa. Voidaan kirjoittaa:∆α 1+ ∆α s= α 0+ ∆α 2+ ∆α h,missä ∆α 1ja ∆α 2ovat sukkulan jasatelliitin kiertymät odotuksen aikana,α 0satelliitin etumatka alkutilanteessaja ∆α ssekä ∆α hsiirtymisenaikaiset kiertymät, s sukkulalleja h hubblelle. Koska kiertymä ympyräradallaα = vt/r, voidaan yhtälökirjoittaa muotoon v 1t/r 1+ =5/18 + v 2t/r 2+ 1T 2 s2/T 1, mistäsaadaan ratkaistua t = 10692 s.Poltto on siis aloitettava hetkelläT+10692 s eli T+2 h 58 min 12 s.Samalla tavoin voidaanmäärittää laskeutumisikkuna, kuntiedetään, että laskeutumispisteensäde = maan säde ja kiertoaika =24 h.Tässä esitetytesimerkit ovat kaikkihyvin yksinkertaistettujamalleja. Siirtymäradaton laskettuns. Hohmannin siirtymäratoina,mikäon kyllä energiankannalta tehokkainmenetelmä, muttasen suorittaminenkestää puoli kiertoaikaa.Tätä menetelmääkäytetäänkin lähinnähyvin korkeallalentävien satelliittienratojen korotukseen.Todellisuudessakäytetään ns. nopeaasiirtymärataa,jolloin satelliitti saaellipsiradan, jonkaapogeum on kohdekiertoradanulkopuolella.Tällöin joudutaanhalutulle korkeudellesaavuttaessasuorittamaan pidempipoltto, jottasaataisiin oikealle radalle. Tämämenetelmä siis kuluttaa paljonpolttoainetta, mutta on nopeampisuorittaa. Erityisen tärkeää tämäon esim. vakoilusatelliitteille, joidenon pystyttävä muuttamaan rataansanopeasti.Toinen yksinkertaistus onse, että tässä on tarkasteltu tasossatapahtuvia siirtymiä. Nämä muuttavatradan muotoa, mutta eivätsen sijaintia avaruudessa. Kaikkipoltot tapahtuvat samassa tasossa.Kuitenkin esim. inklinaatiotamuutettaessa on suoritettava poistasosta suuntatunut poltto jokonousevan tai laskevan solmun kohdalla.Jari VarjeKirjallisuuttaKuva 4: Avaruussukkula Atlantis[1] R. Braeunig; Rocket and SpaceTechnology.http://users.commkey.net/Braeunig/space/[2] H. Karttunen; H. Oja; P. Kröger; M.Poutanen; Tähtitieteen perusteet. Ursa,Helsinki 1984.[3] E. M. Salonen; Dynamiikka II.Yliopistokustannus/Otatieto, Helsinki 1999.NASA


Seepia 4 Perjantai 1.6.2001Kun puhutaan geometriallatapahtuvasta aritmetiikasta, tarkoitetaantällöin tietenkin klassistaharpilla ja viivaimella tapahtuvaageometriaa. Jos janojen pituudetajatellaan lukuina, niillä voidaanlaskea geometrisesti. Yhteen- ja vähennyslaskuon helppo toteuttaasiirtämällä janoja harpin avulla samallesuoralle. Kerto- ja jakolaskuseuraavat yhdenmuotoisuudesta.Niistä on hyvä huomata se, että niitäei voida laskea tietämättä yksikköjanaa,vaikka tämä onnistuikinyhteen- ja vähennyslaskussa. Näidenlisäksi voidaan kahden luvuntulon neliöjuuri laskea geometrisesti.Tämä perustuu siihen, että yhdenmuotoisuudenmukaan a h= ,h bjosta seuraa, että ab vh. Yksittäisenkinluvun neliöjuuri voidaanlaskea jos tiedetään yksikköjana.PiirrettävätreaaliluvutOletetaan, että on annettuyksikköjana. Reaalilukua x sanotaanpiirrettäväksi, mikäli tästä voidaanäärellisellä määrällä askeliamuodostaa jana, jonka pituuson x . Edellä esitetyistä laskutoimituksistahuomaa, että ainakin kaikkirationaaliluvut ovat piirrettäviä.Tutkitaan, miten piirrettäviä lukujavoisi saada lisää, jos oletetaan,että alussa on käytössä rationaalikoordinaatit.Ensimmäisessä tapauksessavoidaan piirtää kaksisuoraa, ja katsoa missä ne leikkaavat.Tällöin syntyy ensimmäisenasteen yhtälö, jonka ratkaisemiseenyhteen- vähennys, kerto- jajakolasku riittävät. Jos tutkitaanympyrän ja suoran tai kahden ympyränleikkauspistettä, saadaan toisenasteen yhtälö. Tällöin syntyytoisen asteen yhtälö, ja tarvitaan lisäksimyös neliöjuurta. Kun lopultaollaan generoitu halutut kaksipistettä, otetaan näiden etäisyysPythagoraan lauseella. Tähänkintarvitaan vain yhteen, kerto- ja jakolaskua.Tästä voidaan huomata,että itse asiassa edellä esitetytviisi laskutoimitusta riittävät kaikkienpiirrettävien lukujen kuvaamiseen.Ei ole kuitenkaan aivan helppoapäätellä lukua katsomalla voidaankositä esittää näiden operaatioidenavulla. Esimerkiksi moni-3mutkaisen näköinen luku 2+ 5,joka näyttäisi mahdottomalta piirtää,onkin itse asiassa vain toisessamuodossa esitetty kultaisen leikkauksensuhde 1 + 5 , joka on piirretävä1) . Juuri tätä kultaista leikkaus-2tahan käytettiin Seepian 3. numerossasäännöllisen viisikulmionmuodostamiseen.KuntalaajennuksetTämän kaltaisten lukujenkäsittelyyn tarvitaan tietynlaisiatyökaluja. Kunta on rakenne, jollepätevät seuraavat, reaalilukujenaksioomia muistuttavat ehdot:(1) Kunnan F kaikille alkioille a jab on määritelty a+b ja a⋅bsiten, että a+ b∈Fja ab ⋅ ∈F(2) Kommutatiivisuus: a+b = b+aja a⋅b = b⋅a(3) Assosiatiivisuus:(a+b)+c = b+(a+c) ja(a⋅b)⋅c = b⋅(a⋅c)1) Pascalin kolmion avulla voidaan laskea1+5 3( ) , josta saadaan23 2( 1 + 31 ⋅ ⋅ 5+ 315 ⋅ ⋅ + 5⋅5)/8= ( 16 + 8⋅ 5)/8= 2+ 5. Tämän takia32+ 5 =3 1+5( )23= 1 + 52abKuva 1: Kerto- ja jakolaskun suorittaminen sekä neliöjuuren laskeminen geometrisesti9


Seepia 4Perjantai 1.6.200110(4) Distributiivisuus:a⋅(b+c) = ab+a⋅c ja(a+b)a = ac+b⋅c(5) On olemassa alkio (merkitäänesimerkiksi 0) siten, että0+x = x+0 = x kaikilla x.(6) Jokaiselle alkiolle x onolemassa käänteisalkio yyhteenlaskun suhteen siten,että x+y = y+x = 0.(7) On olemassa alkio (merkitäänesimerkiksi 1) siten, että1x = x1 =xkaikilla x(8) Jokaiselle alkiolle x ≠ 0 onolemassa käänteisalkio ykertolaskun suhteen siten, ettäx⋅y = y⋅x = 1. Kuntia ovatesimerkiksi , ja .Jos kunta E sisältää kunnanF, sanotaan kuntaa E kunnan Fkuntalaajennukseksi. Otetaan esimerkiksirationaalilukujen kunta,ja lisätään siihen 2. Lopputuloson kunta, jonka alkiot ovat muotoaa+ b⋅ 2, missä a,b∈. Tämätäyttää vaadittavat ominaisuudet.Jos otetaan vastaavalla tavallamahdollisimman pieni kunta, joka3sisältää 2, saadaan kunta3 3a+ b⋅ 2 + c⋅4, missä a,b,c∈.Tähän tarvittiin kolme komponenttia.Näiden komponenttien määrääkutsutaan kuntalaajennuksenasteeksi, ts. ensimmäisen kuntalaajennuksenaste oli 2 ja toisen 3.Piirrettävät reaaliluvut ovat selvästikinkunta, sillä ne täyttävät annetutvaatimukset. Jos lähdetään jostainpiirrettävien reaalilukujen osakunnasta,kuten rationaaliluvuista,ovat plus-, miinus-, kerto-, ja jakolaskumääriteltyjä kunnan sisällä.Laajennus voi siis tapahtua ainoastaanneliöjuuren ottamisenyhteydessä. Oletetaan, että laajennustehdään siten, että halutaanpienin kunta, joka sisältää edellisenkunnan ja luvun a. Tällöinon kaksi vaihtoehtoa. Jos a kuuluujo valmiiksi kuntaan, ei laajennustatapahdu, joten tätä tapaustaei tarvitse ottaa huomioon. Jos seei kuulu, tarvitaan lisää komponentteja.Jokaista vanhan kunnankomponenttia x kohden täytyyuudessa kunnassa olla kaksikomponenttia: x ja x a. Tämän takialaajennuksen aste kaksinkertaistuuaina täsmälleen silloin, kunjoudutaan ottamaan ei-neliöllisenluvun neliöjuuri. Lopputulos onse, että jos otetaan pienin mahdollinenrationaalilukujen kuntalaajennus,johon x sisältyy, niin x onpiirrettävä jos ja vain jos kuntalaajennuksenaste on kakkosen potenssi.Yksi kuntalaajennusten teorianperustuloksista on se, että josotetaan pienin kunta, joka sisältääjonkin tietyn jaottoman kolmannenasteen polynomin minkä tahansajuuren, on tämän kunnanlaajennuksen aste rationaalilukujenyli 3. Koska 3 ei ole kakkosenpotenssi, saadaan sellainen käyttökelpoinentulos, että jos on olemassakolmannen asteen yhtälö, jollaei ole rationaaliratkaisuja, ei senmitään juurta voida piirtää harpillaja viivaimella. Lähdettäessä rationaaliluvuistalaajennus voi syntyäneliöjuuren ottamisen yhteydessä.Tämä tuplaa kuntalaajennuksenasteen. Lopputulos onse, että jos otetaan pienin mahdollinenrationaalilukujen kuntalaajennus,johon x sisältyy, niin x onpiirrettävä jos ja vain jos kuntalaajennuksenaste on kakkosen potenssi.Tästä saadaan sellainenkäyttökelpoinen tulos, että jos kolmannenasteen rationaalikertoimisellayhtälöllä ei ole rationaalijuuria,sen mikään juuri ei ole piirrettävä.Klassiset ongelmatMatematiikassa klassisiksiongelmiksi kutsutaan kolmea geometristakonstruktio-ongelmaa:kuution kahdentamista, kulman jakoakolmeen osaan ja ympyrän neliöintiä.Suhteessa ongelmienikään onkin yllättävää, että niidenmahdottomaksi todistamiseen tarvitaanniinkin uutta matematiikanhaaraa kuin abstraktia algebraa.Viimenumeron pääkirjoituksessamainitun legendan mukaanjumalat vaativat, että kuutionmuotoisen alttarin tilavuus pitäisikahdentaa. Piti siis muodostaavanhan alttarin sivua käyttäen uuden,tilavuudeltaan kaksinkertaisenalttarin sivu. Tähän kreikkalaiseteivät kuitenkaan harpilla ja viivaimellatietenkään pystyneet.Olkoon alkuperäisen alttarin sivunpituus yksikköjana. Tällöin yritetäänpiirtää luku, joka toteuttaisiyhtälön x 3 − 2= 0. Tällä yhtälölläei ole rationaalijuuria, sillä mikäänmahdollisista vaihtoehdoista (-2, -1, 1, 2) ei toteuta yhtälöä. Sen juu-3ri 2ei siis ole piirrettävä luku.Kulman jako kahteenosaan on helppoa, mutta kulmanjakaminen kolmeen osaan on tietyissätapauksissa mahdotonta.Piirretään annettu kulma 3α yksikköympyräänkäsittelyn helpottamiseksi.Kun tiedetään kulma 3α, tiedetäänmyös cos 3α. Kulma α onpiirrettävissä täsmälleen silloin,kun cos α on piirrettävissä. Nytsaadaan kolmannen asteen yhtälö:cos 3α = 4cos 3 α−3cosα34x −3x− t=0(x = cos α, t = cos 3α)Jos valitaan 3α = 90°, saadaanyhtälö 4x− 3x= 0, jolle löy-3tyy piirrettävä ratkaisu 3.Suora2Kuva 3: Kulman jakaminen kolmeen osaan.


Seepia 4 Perjantai 1.6.2001kulma voidaan siis jakaa kolmeenosaan. Sen sijaan valinta 3α = 60°3antaa yhtälön 8x−6x− 1= 0, jollaei ole rationaalisia juuria. 60° kulmaaei siis voida jakaa kolmeenyhtä suureen osaan. Tämä vastaesimerkkiriittää osoittamaan, ettäyleistä tapaa jakaa kulma kolmeenyhtä suureen osaan ei ole.Suorakulmion neliöinti tarkoittaasitä toimenpidettä, kunmuodostetaan neliö, jonka pintaalaon sama kuin annetun suorakulmion.Tämä voidaan suorittaamelko helposti, koska tällaisen neliönpinta-alahan on sivujen tulojenneliöjuuri. Ympyrän neliöinnissäon vastaavasti muodostettava neliö,jonka pinta-ala on sama kuinannetun ympyrän. Jos annetunympyrän sädettä käytetään yksikköjanana,on ympyrän pinta-alaπ, jolloin neliön sivun pituus onπ. Jos luku π on piirrettävä,myös luku π on piirrettävä. Tällöinkunta, joka sisältää luvun π on n asteenkuntalaajennus. Tällöin kuitenkinolisi olemassa rationaalikertoiminenn asteen polynomi, jonkanollakohta π olisi. Tämä on ristiriita,sillä π on transsendenttinenluku, mikä tarkoittaa sitä, että eiole olemassa mitään rationaalilukukertoimistapolynomia, jonkanollakohta π olisi. Tämä voidaan ilmaista,myös siten, että transsendenttisenluvun sisältävän kunnanlaajennuksen aste on ∞, joka ei olekakkosen potenssi.asteen yhtälöille ei ole yleistä ratkaisukaavaajuurten avulla. Monikulmionkonstruoimiseen vaaditaanhieman samaan tapaan kuinkulman jaossa kolmeen osaan luvuncos 2π konstruointia, janGalois'n-teorian avulla voidaanosoittaa, että pienimmän kunnan,joka sisältää cos 2π laajennuksennaste on φ( n), jossa φ(n) on Eulerin2φ-funktio. φ(n) merkitsee niiden lukujenmäärää, jotka ovat pienempiäkuin n, ja niillä ei ole yhteisiä tekijöitän kanssa. Otetaan esimerkiksiφ(15). Luvuilla 1, 2, 4, 7, 8,11, 13 ja 14 ei ole yhteisiä tekijöitä15 kanssa, siispä φ(15) = 8. Kutenaikaisemminkin, laajennuksen asteenon oltava kakkosen potenssi.Tässä tapauksessa siis säännöllinenn-kulmio (n ≥ 3) on piirrettävä,mikäli φ( n)on kakkosen potenssi.Tämän voi ilmaista myös toisel-2la tavalla siten, että n-kulmio onpiirrettävä, jos sen kakkosesta poikkeavattekijät ovat Fermat’n alkulukuja(kuitenkin eri alkulukuja). Fermat’nalkuluvuksi kutsutaan alkulukuamuotoa 2 n + 1. Näin ensim-2mäiset ei-piirrettävät monikulmiotovat 7-, 9-, 11-, 13- ja 14-kulmiot.Kun n kasvaa, piirrettävien n-kulmioidenosuus pienenee. Piirrettäviämonikulmioita on kuitenkin hyvinisoilla n arvoilla, kuten esimerkiksi65537-kulmio (65537 on Fermat’nalkuluku). Tällainen puhtaanalgebrallinen lähestymistapaei kuitenkaan kerro itse konstruoinnintapahtumisesta mitään. Tällaisessatapauksessa tieto, että65537-kulmio voidaan konstruoidaon varmasti hyödyllisempi kuintarkka selitys siitä miten se tapahtuisi.Veli PeltolaKirjallisuutta[1] Pogorelov, A.; Geometry. Mir Publishers1987[2] Hanneken, C. B.; Introduction to AbstractAlgebra. Dickenson Publishing Company,Inc., Belmont, California 1968Oletko tullut ajatelleeksi, että40%korkeakoulujen aloituspaikoistasijaitsee aloilla, joissa tarvitaankemian osaamista?PiirrettävätmonikulmiotSamalla tavalla kuin kulmanjaossa kolmeen osaan, säännöllistenmonikulmioiden piirtäminenon mahdollista tietyissä erikoistapauksissa,mutta yleisessä tapauksessase ei onnistu. Tässä tapauksessakäsittelyyn tarvitaan lisäksiGalois'n-teoriaa 2) , joka tunnetaanparhaiten siitä, että sillä voidaanosoittaa se, että yli neljännen2) Evariste Galois (1811 – 1832)Helsingin yliopiston kemian laitoshttp://www.chemistry.helsinki.fi11


Seepia 4Perjantai 1.6.2001Kutakuinkin keskellä Apenniiniensaappaanmuotoista niemimaatakohoavat Tiberjoen varrenseitsemällä kukkulalla modernineurooppalaisen suurkaupungin teräs-ja betonikolossien varjossa länsimaisensivistyksen kehdon sammaloituneetrauniot. Vaikka meidänpäiviemme Roomaa kansoittaakinkeisarin alamaisten sijaanMaranellon punaisen oriin nimeenvannovien tifosojen riehakas joukko,Augustuksen imperiumi onkahden vuosituhannenkin jälkeenvoimissaan - aikamme gladiaattoreitaformulakuskeja myöten. “Jomuinaisten roomalaisten” edesottamuksiinvetoaminen lienee kuluneimpiakliseitämme, jota - Juppiterinkiitos - kuulee tätä nykyälausuttavan enää lähinnä vitsinä.Fraasissa piilee kuitenkin totuutensa:niin aakkostomme kuin oikeuslaitoksemmejuuret ulottuvat Ikuisenkaupungin aamunkoittoon, jaonpa kirkkommekin monituiset perinteetomaksuttu pitkälti antiikinmystiikasta. Kenties väkevimminmuinainen Rooma elää nykypäivänäkuitenkin latinalaisessa kulttuurissa,joka värittää likipitäen miljardinihmisen arkea kolmella mantereella.Latina, aikansa lingua franca,aloitti matkansa maailmankieleksisangen vaatimattomista lähtökohdista.Latiumin piskuisen maakunnankunnianhimoinen asujaimistokamppaili kuitenkin historianalkuhämärissä ensin itsensä vapaaksipohjoisnaapuriensa etruskienikeen alta ja ryhtyi sitten itse menestyksekkäästiharjoittamaan imperialististaulkopolitiikkaa. “Divideet impera!” -doktriinin hengessäRooman valtakunta levitti lonkeronsaTiberin rannoilta koko tunnettuunmaailmaan hajottaen vastarinnanylivoimaisella sotakoneistollaanja halliten valloittamiaanprovinsseja rautaisin ottein. Palatinus-kukkulaltajohdettiin legioonienvoimin keisarikuntaa, jokaulottui laajimmillaan KarthagostaKaledoniaan ja Lusitaniasta Lähiitään.Kansalaiset rajaseutujen barbaarejamyöten pantiin puhumaanlatinaa, ja ajanlaskumme alkaessapienen Latiumin murre olisaavuttanut niin Välimeren ääretkuin kaukaisen pohjoisen. Vastaavaanei sittemmin ole kyennytkuin muuan germaanissukuinenkieli, joka ponnisti erään saarivaltakunnaneteläosista siirtomaasotientuoksinassa todelliseksijoka maailmankolkan yleiskieleksi.Latina, Euroopan äidinkieli,paiskautui keskiajan syövereihinisänmaansa menettäneenä -imperiumi oli vuosisatojen saatossahajonnut omaan rappioonsa, jaolipa itse Ikuinen kaupunkikin vandaalienvisiitin jäljiltä raunioina.Latinan kultaisin kausi oli kuopattujo Caesarin ja Ciceron mukana,mutta kansainvaellusten jälkeisessätaantumuksen feodaali-Euroopassakielenhuolto kärsi lopullisenarvonmenetyksen, ja kielen ränsistyminenryöstäytyi valloilleen. Kansansuussa muovautunutta vulgaarilatinaameidän on kiittäminen sellaisistanyttemmin kansalliskieliksiprofiloituneista provinssimurteistakuin italiasta, espanjasta, portugalista,ranskasta ja romaniasta, joidenpuristuksessa baskin kaltaisettodelliset kielireliikit ovat päätyneettaistelemaan elintilasta jopaterroristien voimin.Etelä-Euroopan viinivaltioidenohella nämä latinan perillisetsaavuttivat tukevan jalansijan eten-12


Seepia 4 Perjantai 1.6.2001kin Uudella mantereella, jossa löytöretkeilynsuurvallat Espanja jaPortugali pitivät komentoa vuosisatojenajan. Rio Grandelta Tulimaahanulottuva LatinalainenAmerikka onkin paitsi paavinmyös Rooman perinnön vankkaatukialuetta, ja kielten kirjoa täydentääitsenäisyyttäkin tavoittelevaQuébecin osavaltio Kanadan ranskankielisessäkaakkoisosassa.Nämä romaanisten kielten kolmesuurta ovat edustettuina - ainakinvirastoissa - myös ympäri Afrikanvaltavaa mannerta aivan muinaisensiirtomaajaon mukaisesti.Latinalaisesta Afrikasta ei kuitenkaanliene koskaan edes yritettypuhua - syvälle juurtuneet heimoperinteetovat uhmanneet eurooppalaistakulttuuri-imperialismiaAmerikan alkuperäisasutusta menestyksekkäämmin,eivätkä sitäpaitsi siirtolaiset ole koskaan saavuttaneetenemmistöä minkään afrikkalaisprotektoraattinsaasujaimistosta.Latinan kieli, sellaisenakuin klassillisten kielten professoritsuostuvat sen vielä isommitta mukinoittatunnistamaan, säilyi kuitenkinläpi keskiajan norsunluutorniensakätköissä katolisen kirkonpiirissä. Katedraaleissa saarnattiinjääräpäisesti latinaksi ummikkoinatoimitusta seuranneen rahvaanyrittäessä kätkeä haukotuksensa,syntisimpien kuorsatessa äänekkäästija vielä uskaliaampien syljeskellessäparvelta permannon väenniskaan - kaunis traditio, josta vastaherra Luther uskonpuhdistajakollegoineenteki lopun. Vaikkaroomalaiskatolisenkin kirkon ruohonjuuritasoon sittemmin alkanutpuhua kansalle sen omaa barbaaristakieltä, latinistit voinevat vastedeskinturvallisin mielin luottaaVatikaaniin latinan viimeisenä,vankkumattomana linnakkeena -iskettäköön Tähtilippu Kuun kamaraan,kärytköön karpaasi kotikisoissaanja jäätyköön Helvetti syvimpiähornankattiloitaan myöten,mutta joulupäivänä televisiossapaavi puhuu varmasti latinaa.Keskiajan taittuessa renessanssiksiklassisista kielistä klassisinavasi menestystarinansa viimeisensuuren luvun uuteen kultakauteensavapautuneen tieteen parissa.Vanhastaan sivistyneistön kielenälatina oli ilmeinen valinta myöstieteellisten julkaisujen kieleksi -esittipä Isaac Newtonkin aikansamaailmankuvan pirstoneen painovoimateoriansateoksessaan nimeltäPhilosophiae Naturalis PrincipiaMathematica, kavereiden keskenpelkkä Principia. Leijonanosasellaisista perusluonteisista löydöksistäkuin alkuaineet ja taivaankappaleetoli ennätetty nimetä latinalaisittain,ennen kuin englantialkoi toissa vuosisadalla vallataalaa luonnontieteiden terminologiassa.Silti esimerkiksi Amazonasinsiimeksessä havaittu uusi nuolimyrkkysammakkolajisaa yhä universaalinnimensä perinteitä kunnioittaenlatinaksi.Vaikka klassinen latina elävänäpuhekielenä haavoittuikinkuolettavasti jo barbaarien rynnäkössäRooman forumille 400-luvullaja menehtyi viimeistään keskiajankynnyksellä omaa rappeutuneisuuttaan,on tämä todellinenkielten klassikko välttynyt lopulliseltakuljetukselta krematorioonkunniakkaan elinkaarensa ja eritotenpostuumien mainetekojensaansiosta. Keskellä uutta revalvaatiotaankukoistava latina on esimerkillinenelävä kuollut kieli - täsmennettäköön,etten tarkoita ilmaisullaB-kauhuelokuvista tuttuazombieta, joka kiertää ilmeettömänätienoota kuunvalossa ihmisaivojaillallisekseen metsästämässä.Latina nimittäin elää väkevästi- uuden maailman kulttuuriperintöäGrimmin saduista Elvikseenjulkaistaan tuon tuosta ikuisellekielelle käännettynä, ja onpaedelläkävijä Suomen Yleisradio jovuosia toimittanut viikoittaista latinankielistäradiouutislähetystä,vain modernin latinismin pintaaraapaistakseni - kuolleenakin, ilmanainuttakaan äidinkielistä puhujaa;melkoinen saavutus yli2700-vuotiaalta veteraanilta!Säkenöivästä älystään tunnettu,useasti lainattu Yhdysvaltainentinen varapresidentti DanQuayle pahoitteli kerran LatinalaisestaAmerikasta palattuaan, etteiollut juurikaan päässyt selville paikallisväestönpuheesta - hän kunei ollut millään tavoin panostanutkouluaikoinaan latinan opintoihinsa.Vuosikymmenen takainen republikaani-ikoniosui tässä pelottavanliki totuutta: latinan taitaja ymmärtäneehyvinkin espanjaa taiportugalia kuin suomalainen savolaista,yksityiskohdat saattavat jäädähämärän peittoon, mutta viestitullee kyllä perille. Edesmenneenlatinan perikunta, romaaninenklaani, on maailmamme kieltenvoimasuhteissa sangen vahvoilla,eikä peruna niin kauas puusta putoa,että latinan opiskelu jäisi täysinpölyttyneille keisareille ja sivistyssanoilleuhratuksi ajaksi.Kuolleeksijulistamisen jaelävältä hautaamisen sijaan latinavoitaneenkin päästää ansaituilleeläkepäiville sellaisten maailmankieltenlegendojen kuin volapükinja esperanton seuraan - näistä jälkimmäisestätosin kuulemme vielä,mikäli maailmassa on tippaakaanoikeudenmukaisuutta. Kaikkiayhdistää aktiivinen, globaaliharrastajayhteisö, johon päästäkseenon opittava kieli. Porkkanaksilatinaan syventymiseen voi värikkäänmuinaishistorian, sivistyssanojenetymologian ymmärtämisenja elitistisen kuppikunnan jäsenyydenohella tarjota ilmeisintä:kielitaitoa. Ennen latinan opintojanien minäkään kuvitellut osaavanisanaakaan retoromaniaa - enääen menisi vannomaan.Janne L. KäkiKirjallisuutta[1] Taskutietojätti, Gummerus 1985.hakusanat: latina; Newton, Isaac[2] Former USA VP Dan Quayle quotes:http://www.xmission.com/~mwalker/DQ/[5] http://www.spiny.com/pope/13


Seepia 4 Perjantai 1.6.2001Luonnossa esiintyy jokapuolella äärimmäisen monimutkaisiaja kauniita muotoja, jotka jatkuvastitoistavat itseään eri mittakaavoissa.Niitä löytyy niin vuorista jameren aalloista, kuin elävästä luonnostakin,kuten puiden oksistoistaja sammalkasvustoista. Vielä ihmeellisempääon, että yksi puhtaastimatemaattinen lauseke saattaasisältää aivan yhtä monimutkaisiaja kauniita rakenteita.Rationaalifunktioiden muodostamiendynaamisten systeemien tarkastelullakompleksitasolla ei vaikutaolevan mitään tekemistä taiteenkanssa, mutta sen jälkeen,kun ranskalainen matemaatikkoBenoit B. Mandelbrot teki tällaisetsysteemit tunnetuiksi, on niiden kuviaesiintynyt enemmän taiteilijoidenkuin matemaatikoiden töissä.Näiden kuvien tuottamiseen käytettäväsääntö on niin yksinkertainen,että kuka tahansa pystyy tietokoneellaantuottamaan niitä. Neovat kuitenkin niin monimutkaisia,että maailmassa tuskin on ketään,joka pystyisi todella ymmärtämäänniitä. Siksi on kiehtovaatarkastella lähemmin näiden kuvientaustalla olevaa matematiikkaa.DynaaminensysteemiDynaamisella systeemillätarkoitetaan muuttuvaa matemaattistatai fysikaalista systeemiä, jossajokainen tila riippuu sitä edeltävästätilasta. Jos systeemillä on erillisiäperäkkäisiä tiloja, sitä kutsutaandiskreetiksi. Tällöin systeemiävoidaan usein kuvata kaavalla,joka kertoo, miten edellisestä tilastasaadaan seuraava. Systeemivoi olla myös jatkuva, jolloin sitäkuvataan yleensä differentiaaliyhtälöllä.Tarkastellaan esimerkiksilukujonoa, jolle pätee zn+ 1= f( zn)= z 2 n. Kun merkitään lukujonon ensimmäistäjäsentä z 0:lla, saadaan2 4 8jono z0, z1 = z0, z2 = z0, z3 = z0,....Lukujonon käyttäytyminen riippuuvalitusta alkuarvosta z 0. Josz 0< 1, jono lähestyy nollaa kun nlähestyy ääretöntä. Tätä merkitäänlim z =0. Jos taas z 0> 1,n →∞niin lim zn →∞nn=∞, ja jos z 0= 1, niinz n=1kaikille n:n arvoille. Reaaliluvuilletällainen käyttäytyminen onhelppoa ymmärtää, mutta samapätee myös kompleksiluvuille.Alkupisteet, joiden pohjalta tuotetutlukujonot eivät lähene nollaa eivätkäääretöntä muodostavat siiskompleksitasolle origokeskeisenyksikköympyrän. Tätä pistejoukkoakutsutaan funktion f Julian joukoksi.Merkitsemme sitä J(f) Nimion annettu ranskalaisen matemaatikonGaston Julian (1893–1978)mukaan, joka määritteli joukon1918 [6]. Julian joukko voidaanmuodostaa mille tahansa funktiolle,jonka määrittelyjoukko onsama kuin sen arvojoukko. Tunnetuinesimerkki ovat Julian joukotfunktioille muotoa p ()= 2cz z + c,jonka erikoistapausta c=0 äskentarkastelimme. Julian työtoverinaoli Pierre Fatou, jonka mukaan niidenpisteiden joukkoa, jotka eivätkuulu Julian joukkoon, kutsutaanFatoun joukoksi.Tässä artikkelissa käsitelläänlähinnä muotoa p ()= 2cz z + colevien funktioiden Julian joukko-Kuva 1: Julian joukot funktioille p 0 (z)=z 2 (yllä)ja p 0,5i (z)z 2 +0,5i (alla). Kummankin funktionattraktiivinen kiinteä piste on merkitty. Senattraktion altaaseen kuuluu Julian joukonsisään jäävä alue.14


Seepia 4 Perjantai 1.6.2001ja. Jatkossa käytämme tätä merkintää(p c) näille funktioille. Edellisessäesimerkissä tarkasteltiin siisfunktiota p 0.Muutetaan nyt äskeistä esimerkkiäsiten, että lisätään z:aanjoka välissä jokin pieni vakio esim.c=0,5i. Nyt pienet z:n arvot eivätenää lähenekään nollaa, vaan pistettä,jonka likiarvo on–0,136+0,393i. (Tämä piste on yhtälönz=z 2 +0,5i reaaliakselin yläpuolellaoleva ratkaisu) Julianjoukkokaan ei ole enää ympyrä,vaan monimutkainen, itseään toistavafraktaalinen käyrä. (ks. kuva1)Äskeisissä esimerkeissä käytetynkaltaista laskutoimituksentoistoa kutsutaan iteroinniksi.Funktion fn:nnelle iteraatiolle onkäytössä merkintätapaf n ( x) = f( f( f(... f( x)...))),missä f esiintyy n kertaa. Merkinnälläei siis ole mitään tekemistäpotenssiin korottamisen kanssa.f:n käänteisfunktiota merkitäänkäyttäen funktiolaskimista tuttuamerkintää f –1 . Näin voidaan laajentaaiteraation käsite kaikille kokonaisluvuille,kun määritellään, ettäf –n =(f –1 ) n ja että f 0 (x)=x kaikillefunktioille f. Iteraatioluvuilla voidaannyt laskea kuten potensseilla:f o f = f+ n m nmn m n mja ( f ) = f riippumattasiitä, ovatko m ja n negatiivisiavai positiivisia.Kompleksifunktioiden iteroinninyhteydessä puhutaanusein kiertoradoista. Kompleksitasonpisteen z positiivisella kiertoradallatarkoitetaan niiden pisteidenjoukkoa, jotka tulevat vastaanjotakin funktiota iteroitaessa. Merkitsemmepositiivista kiertorataa:+2 3O ( z) = { f( z), f ( z), f ( z),...}.Negatiiviseksi kiertoradaksi kutsutaanvastaavasti joukkoa:− −1 −2 −3O ( z) = { f ( z), f ( z), f ( z),...}.Negatiivisten kiertoratojen yhteydessäon kuitenkin muistettava,että jos funktion aste on suurempikuin yksi, on sen käänteisfunktiol-Kompleksiluvut lyhyestiPerinteisessä matematiikassa yhtälöllä x 2 =−1 ei ole ratkaisua. Voimme kuitenkinkuvitella sille ratkaisun, vaikka sitä ei todellisuudessa olisikaan olemassa. Tätä ratkaisuakutsutaan imaginääriyksiköksi, ja sitä merkitään i:llä. Yhtälön toinen ratkaisu on −i.Imäginääriyksikköä voidaan käsitellä kuten mitä tahansa lukua. Näin voidaan laskeaesim. että − 8 = 8⋅ − 1=2 2i. Lukuja, joissa i on tekijänä kutsutaan imaginääriluvuiksi.Imaginäärilukuja ja reaalilukuja voidaan myös laskea yhteen, mutta tällaiset luvut täytyykuitenkin aina esittää kahdessa osassa. Lukuja, joissa on sekä reaali- että imaginääriosakutsutaan kompleksiluvuiksi. Kompleksilukuja ovat esimerkiksi 2−7,4i ja 5,3+isekä 17 + 1+ 2π 2 i.Kompleksiluvuillakin voidaan laskea, kuten kaikilla luvuilla. Seuraavat peruslaskusäännöton helppo johtaa:(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)(a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d)(a + ib)⋅(c + id) = ac + iad + ibc + bdi 2 =ac − bd + i(ad + bc)a+ib ac + bd −= + i bc adc+id c2 + d2 c2 + d2Kerto- ja jakolaskussa käytetään hyväksi tietoa, että i 2 = −1.Nykyään on yleisesti käytössätapa esittää kompleksiluvut pisteinä ns.kompleksitasolla, jossa vaakasuuntaankulkee reaali- ja pystysuuntaan imaginääriakseli.Oikeanpuoleisessa kuvassa näkyyluku 2,5 + 3i kompleksitasolle piirrettynä.Kompleksitasolle käytetään tunnusta.Edellä kompleksiluvut on esitettykahtena komponenttina. Kompleksilukuon aina yksikäsitteisesti määritelty, kunsen reaali- ja imaginääriosat on määritelty.Tämän lisäksi käytössä on toinenkintapa määritellä kompleksiluku: itseisarvonsaja argumenttinsa avulla. Kompleksiluvunitseisarvolla tarkoitetaan samaa,kuin reaaliluvuillakin, eli etäisyyttä origosta.Kun kompleksiluku on esitetty komponenttimuodossa,sen itseisarvon laskemiseksi tarvitaan Pythagoraan lausetta:2a+ ib= a + b2 . Kuvaan merkityn kompleksiluvun itseisarvo on siis 25 , + 3i=612. Argumentillatarkoitetaan vastapäivään kiertyvää kulmaa, jonka origosta lukuun piirretty janamuodostaa positiivisen reaaliakselin kanssa. Kuvassa argumentti on merkitty θ:lla. Argumentinlaskemiseksi komponenttimuodosta tarvitaan trigonometriaa:arg( a + ib) = arctan( b a). Argumentti ilmoitetaan yleensä radiaaneina. Myös itseisarvo jaargumentti määrittelevät kompleksiluvun yksikäsitteisesti. Kompleksiluku z, jonka itseisarvoon r ja argumentti θ on:z= rcosθ+ irsinθ=re i θJälkimmäinen merkintätapa saattaa näyttää erikoiselta, mutta se pitää paikkaansa.Voidaan tosiaan osoittaa, että yhtälön z= e iθratkaisu on kompleksiluku, jonka itseisarvoon yksi ja argumentti θ. Tämä on kaikkein tavallisin tapa ilmaista kompleksiluku polaarisessamuodossa. Tästä erikoistapauksena on Leonhard Eulerin (1707–1783) esittämä”matematiikan kaunein kaava”: e πi =−1, jossa yhdistyvät hienosti kolme matematiikassaehkä kaikkein tärkeintä lukua.Reaalilukujen yhteydessä puhutaan positiivisesta ja negatiivisesta äärettömästä.Kompleksitasolla on kuitenkin vain yksi ääretön. Tätä havainnollistaa tapa esittää kompleksitasons. Riemannin pallona. Alla olevassa kuvassa on esitetty projektio tason ja pallonvälillä. Pallon ”pohjoisnavalla” sijaitsee ääretön, ja ”etelänavalla” luku 0. Muut pisteetprojisoidaan pallolle piirtämällä suora äärettömän, ja tasolla olevan pisteen kautta.Suora leikkaa pallon projektiopisteessä. Tällöin argumentti vastaa itse asiassa pituuspiiriä.”Päiväntasaajalle” kuvautuu origokeskeinen yksikköympyrä. Kompleksitasoa, jossaääretön on mukana kutsutaan laajennetuksi kompleksitasoksi, ja merkitään .15


Seepia 4 Perjantai 1.6.2001la useita arvoja. Tällöin negatiivinenkiertorata koostuu kaikistamahdollisista käänteisfunktioidenarvoista. Ts. pisteen z negatiiviseenkirtorataan kuuluvat kaikkine pisteet, joiden positiiviseen kiertorataanz kuuluu.Jaksolliset pisteetKuten edellä olevassa esimerkissähavaittiin, pisteen 0 positiivinenkiertorata funktiota p 0iteroitaessapysyy nollassa, silläp 0(0)=0. Yleisesti jos f(z 0)=z 0jollekinfunktiolle f(z), sanotaan z 0:aaf:n kiinteäksi pisteeksi. Joillakinfunktioilla on myös ns. jaksollisiapisteitä, eli pisteitä joillez 0=f n (z 0) (1)jollekin positiiviselle kokonaisluvullen. Tällöin voidaanmyös sanoa pisteen positiivisenkiertoradan olevan jaksollinen.Pienintä n:n arvoa, joilla (1) toteutuukutsutaan kiertoradan jaksoksi.Kaavasta (1) seuraa myös, ettäf k (z 0)=f kn (z 0) (2)Kaikille positiivisille kokonaisluvuillek.Esimerkiksi kun c toteuttaa2 2yhtälön ( c + c)+ c= 0, eli kunc≈ −0,122561+0,744861i, niinpiste 0 kuuluu jaksolliseen sykliin,jonka jakso on 3:p 0 c(0)= 0Kuva 3: Julian joukko funktiollep c (z)z 2 −0,122561+0,744861i. Jaksollinen kiertotaraon merkitty mustilla pisteillä. Julian joukon sisäpuolellejäävä alue muodostaa sen attraktion altaan.Kuva 2: Funktion derivaatan vaikutus kiinteän pisteen (z 0 ) luonteeseen. Ja sen lähelläsijaitsevan pisteen (z' 0 ) positiiviseen kiertorataan.a: Jos f′ ( z0)> 1, niin f(z' 0 ) sijaitsee kauempana z 0 :sta kuin z' 0 .b: Jos taas f′ ( z0)< 1, niin f(z' 0 ) sijaitsee lähempänä z 0 :aa kuin z' 0 .Huomaa, että kuvaajien molemmat akselit ovat reaaliakseleita. Vaaka-akseli kuvaafunktion argumenttia ja pystyakseli sen arvoa.p 1 c(0)≈ −0,122561+0,744861ip 2 c(0)≈ −0,662359+0,562280ip 3 c(0)= 0p 4 c(0)≈ −0,122561+0,744861ip 5 c(0)≈ −0,662359+0,562280ijne...Tämä sykli on merkitty kuvaan3.Pisteitä, jotka eivät ole jaksollisia,mutta joiden kiertoradatpäätyvät jaksolliseen silmukkaanäärellisen iteraatiomäärän jälkeenkutsutaan esijaksollisiksi. Tällainenon edellisen esimerkin funktiolleesimerkiksi piste 0,122561−0,744861i. Se on c:n arvonvastaluku, joten sen neliö on samakuin c:n. Jo ensimmäisellä iteraatiollapäästään siis edellä esitettyynsykliin. Lisää tällaisia pisteitälöydetään funktion käänteisfunktiotakäyttämällä.Attraktiiviset jarepulsiiviset pisteet1) Funktion derivaatta pisteessä z 0 tarkoittaasen kulmakerrointa tuossa pisteessä.Sitä merkitään f′(z 0 ).Jos iteroitava funktio on jatkuvaja derivoituva, on luonnollista,että sen kiinteiden pisteiden lähettyvilläsijaitsevat pisteet käyttäytyvätlähes kiinteän pisteen tavoin.Se, miten kiertorata poikkeaa kiinteänpisteen kieroradasta, riippuukyseisen kiinteän pisteen luonteesta.Joissakin tapauksissa läheltä valitunpisteen kiertorata lähenee pikkuhiljaakiinteää pistettä, eli mitäpidemmälle iteroidaan, sitä lähemmäksikiertoradan pisteet tulevatkiinteää pistettä. Toisissa tapauksissakiertorata taas etääntyy kiinteästäpisteestä. Kiinteitä pisteitä,joiden ympärillä kiertoradat käyttäytyvätensin mainitulla tavallakutsutaan attraktiivisiksi, ja jälkimmäisellätavalla käyttäytyviä repulsiivisiksi.Jos kiertorata ei etäänny,eikä lähesty kiinteää pistettä, vaanpysyy suhteellisesti ottaen samallaetäisyydellä, sanotaan pisteen olevanneutraali. Pisteen luonteentarkka määrittäminen edellyttääiteroitavan funktion derivaatan laskemistakyseisessä pisteessä.Kompleksifunktio voidaanderivoida samoin menetelminkuin reaalifunktiokin. Sen derivaattaon myös kompleksifunktio, jonkareaali- ja imaginääriosa vastaavatalkuperäisen funktion reaali- jaimaginääriosien muutosnopeuksiakussakin pisteessä.Kiinteät pisteet (z 0) luokitellaanyleensä funktion derivaatan 1)(λ=f′(z 0)) perusteella seuraavasti:λ =0superattraktiivinen0


Seepia 4 Perjantai 1.6.20012) Tämä ei ole Julian joukon alkuperäinenmääritelmä, vaikka se lieneekin yleisimminkäytetty. Alkuperäinen määritelmälöytyy esim. lähteistä [1] tai [14]. Sevoidaan osoittaa tässä esitetyn kanssa yhtäpitäväksi.Kuva 4: Julian joukko funktiolle f(z)=z−(z 3 −1)/3z 2 . Kuvaan on merkitty kolme3attraktiivista kiinteää pistettä 1 ja − 0, 5±i, sekä niiden attraktion altaat ei harmaan2sävyillä. Kaikilla attraktion altailla on yhteinen reunaviiva, joka on funktion f Julian joukko.Kuva 2 havainnollistaa derivaatanmerkitystä. Myös useamman pisteensyklille voidaan määritellävastaava ominaisuus. Tällöin tarkastellaanvastaavasti derivaattaaλ=(f k )′(z 0), missä k on syklin jakso.Esimerkiksi attraktiivisen syklinympärillä olevien pisteiden kiertoradatlähenevät sykliä siten, ettäjoka k:s piste lähenee jotakin tiettyäsyklin pistettä ts. ne kiertoradanpisteet z n, joille n mod k onsama, lähenevät samaa syklin pistettä.Attraktiivisille sykleille jakiinteille pisteille voidaan määritelläns. attraktion allas. Sillä tarkoitetaankaikkien niiden pisteidenjoukkoa, joiden kiertoradat lähenevätko. kiinteää pistettä tai sykliä,kun iteraatioluku lähestyy ääretöntä.Merkitsemme pisteen z 0attraktionallasta A f(z 0). Esimerkiksi kuvassa1 kiinteän pisteen attraktion allason Julian joukon sisään jääväalue.Alussa tarkastellussa esimerkissäJulian joukko oli siis äärettömänattraktion altaan reuna:J(f)=∂A f(∞), (2)missä ∂ tarkoittaa reunaviivaa.Tätä määritelmää voidaan kuitenkinkäyttää vain funktioille, joille ∞on kiinteä piste. Se voidaan yleistääseuraavasti:J(f)=∂A f(z 0), (3)missä z 0on jokin attraktiivinen kiinteäpiste.Kaavan (3) määrittelemäjoukko on todellakin riippumatonkiinteän pisteen z 0valinnasta. Voidaantodellakin osoittaa, että mikälifunktiolla on useita kiinteitä pisteitä,niiden kaikkien attraktion altaillaon yhteinen reuna. TällainenJulian joukko on esitetty kuvassa4.Koska attraktion altaaseenei luonnollisesti voi kuulua attraktorinlisäksi muita kiinteitä tai jaksollisiapisteitä, seuraa tästä luonnollisesti,että kaikki repulsiivisetkiinteät pisteet kuuluvat Julianjoukkoon. Julian joukko voidaanmyös määritellä repulsiivisten pisteidenavulla:Funktion f Julian joukko on f:nkaikkien repulsiivisten periodistenpisteiden muodostaman joukonsulkeuma. 2)Joukon S sulkeumalla tarkoitetaanpienintä suljettua joukkoa,joka sisältää joukon S. Sitämerkitään S. Sulkeuma voidaanmääritellä myös siten, että se onjoukon ja sen reunalla sijaitsevienpisteiden yhdiste. Siihen kuuluvatsiis kaikki pisteet, jotka joko kuuluvatalkuperäiseen joukkoon S, taijoille on mielivaltaisen läheltä löydettävissäpiste, joka kuuluu joukkoonS. Esimerkiksi reaalilukujenjoukko on rationaalilukujen joukonsulkeuma. Itse asiassa myöslaajennettu kompleksitaso onkompleksitason sulkeuma.Sulkeuman määritelmästäseuraa, että S on tiheä S:ssä ts.minkä tahansa kahden pisteen, jotkakuuluvat joukkoon S välillä onkolmas piste, joka kuuluu joukkoonS. Mikä tahansa Julian joukkoon siis ”täynnä” repulsiivisiajaksollisia pisteitä.Tämä on kaikkein yleisimminkäytetty Julian joukon määritelmä.Sen avulla voidaan määritelläJulian joukko sellaisillekinfunktioille, joilla ei ole attraktiivisiakiinteitä pisteitä. Mikäli kiinteä pistekuitenkin löytyy, on tämä määritelmäyhtäpitävä kaavan (3) kanssa.Repulsiiviset pisteet siis kuuluvatJulian joukkoon ja attraktiiviseteivät. Neutraaleille pisteille asiaei ole niin yksinkertainen. Ne kuuluvatJulian joukkoon, jos niidenKuva 5: Tyypillinen epäyhtenäinenJulian joukko (c0,80,8i)17


Seepia 4Perjantai 1.6.2001derivaatan argumentti jaettuna2π:llä on rationaaliluku, mutta eivätkuulu, jos se on irrationaaliluku.ks. tarkemmin [11].Edellä mainittujen lisäksiJulian joukoilla on seuraavia ominaisuuksia:• Julian joukko sisältää ylinumeroituvanmäärän pisteitä. Ts.Julian joukon pisteitä ei voi numeroidaluonnollisilla luvuilla.Ne voidaan sen sijaan numeroidareaaliluvuilla. [11]• Minkä tahansa Julian joukkoonkuuluvan pisteen positiivinenja negatiivinen kiertoratakuuluvat myös Julian joukkoon.• Minkä tahansa Julian joukkoonkuuluvan pisteen negatiivinenkiertorata on tiheä Julianjoukossa.• Julian joukko J(f) on invarianttifunktiossa f. Ts. Kun kaikilleJulian joukon pisteille suoritetaanfunktio f, saadaan uusijoukko, joka on sama kuin alkuperäinenJulian joukko.• Minkä tahansa jossakin attraktionaltaassa sijaitsevan pisteennegatiivinen kiertorata läheneeJulian joukkoa, kun iteraatiomäärälähenee ääretöntä.Toisen asteenpolynomejaKaikkein tutkituimpia ovatJulian joukot toisen asteen polynomeille,eli funktioille, jotkaovat muotoa:f(z) = az 2 + bz + d. (4)Tällaisia funktioita näyttäisi olevanvarsin laaja valikoima, silläkaavassa on kolme kompleksistavakiota, joille voidaan antaa eri arvoja.Ongelma on kuitenkin yksinkertaisempi,kuin miltä näyttää.Mikä tahansa muotoa (4) olevanfunktion Julian joukko voidaan nimittäinmuuttaa jonkin muotoap c=z 2 +c olevaksi Julian joukoksipelkästään muuttamalla sen kokoa,pyörittämällä ja siirtämällä sitäkompleksitasolla [1]. Tämä muunnosvoidaan esittää funktionaM(z) = uz + v.Väitämme nyt, että mikä tahansafunktion f iteraatioaskel voidaansuorittaa siten, että kuvataanlähtöpiste funktiolla M toiseenpaikkaan, sen jälkeen suoritetaanvastaava iteraatioaskel funktiolla pja kuvataan saatu piste takaisinfunktiolla M −1 . Toisin sanoen:f(z)=M −1 (p(M(z)))=M −1 (p(uz+v))=M −1 ((uz+v) 2 +c)=M −1 (u 2 z 2 +2uvz+v 2 +c)Ja koska M:n käänteisfunktio onM −1 =(z−v)/u, niinf(z)= ( u 2 z 2 uvz v 2+ 2 + + c)− vu=uz 2 +2vz+ v 2 − v + c ,umikä on selvästikin samaa muotoakuin (4). Vakiot voidaan nyt valitasiten, että a=u, b=v ja d= v 2 − v + c ⇔uc=ad−b 2 +b. Kun iteraatioita suoritetaanuseita peräkkäin, voidaanmuunnosfunktiot jättää välistäpois:f 2 (z)=M −1 (p(M(M −1 (p(M(z))))))=M −1 (p(p(M(z))))=M −1 (p 2 (M(z)))Tästä seuraa, että z kuuluufunktion f Julian joukkoon jos javain jos M(z) kuuluu vastaavanfunktion p cJulian joukkoon. Näinollen voidaan ymmärtää kaikkiatoisen asteen Julian joukkoja pelkästäänfunktiota p ctutkimalla.Paraabeleilla on vastaavaominaisuus: Muotoa y=az 2 + bz + dolevan reaalifunktion kuvaaja onparaabeli, jonka huippu voi sijaitamissä tahansa pisteessä. Siirtämälläja kokoa muuttamalla se voidaankuitenkin muuttaa paraabeliksi,jonka yhtälö on muotoay=ax 2 .Toisen asteen Julian joukoillaon mm. seuraavia ominaisuuksia:• Kaikki toisen asteen Julian joukotovat symmetrisiä pisteensuhteen. Funktion p cJulianjoukot ovat symmetrisiä origonsuhteen.• Toisen asteen Julian joukotovat joko yhtenäisiä, tai ns.Cantorin joukkoja, eli ne koostuvatäärettömästä määrästä irrallisiapisteitä.• Funktiolla p con enintään yksiäärellinen attraktori, joka voiolla joko sykli tai kiinteä piste.Voidaan nimittäin osoittaa,että, että jokaiseen attraktionaltaaseen kuuluu vähintäänyksi ns. kriittinen piste. Funktionkriittisellä pisteellä tarkoitetaanpistettä, jossa funktion derivaattaon nolla, tai sitä ei ole.Toisen asteen funktiolla onkaksi kriittistä pistettä: ääretön,sekä derivaatan nollakohta(Yhtälöllä D(az 2 +bz+d)=2az+b=0 on vain yksi ratkaisu.)[1]Fraktaalisuus jakaaottisuusFraktaalilla tarkoitetaankohdetta, jonka monimutkaisuusei riipu tarkastelumittakaavasta.Esimerkiksi alempi kuvan 1 esittämistäJulian joukoista on fraktaali,sillä mikä tahansa sen osa näyttääsuurennettuna yhtä monimutkaiseltakuin alkuperäinen joukko.Toisaalta esimerkiksi ympyrä eiole fraktaali, sillä mitä enemmänjotakin sen kohtaa suurennetaan,sitä enemmän se muistuttaa suoraaviivaa. Fraktaaleista tarkemminks. esim. [15], [7] tai [5].Jo Julia ja Fatou [6] olivattietoisia monien Julian joukkojenfraktaalisista ominaisuuksista, vaikkaheidän aikanaan ei ollut käytettävissätarpeeksi tehokkaita tietokoneita,jotta joukoista olisi voitutuottaa kuvia.18


Seepia 4 Perjantai 1.6.2001tätä Julian joukon osajoukkoaW:llä. Tällöin on olemassa jokinsellainen luonnollinen luku n, ettäf n (W)=J(f).f n on kaikkialla jatkuva ja derivoituva,mistä seuraa, että koko Julianjoukon rakenne esiintyy myös yhdessäsen palasessa. Tämä ei kuitenkaanvälttämättä tarkoita, ettäjoukko olisi fraktaalinen. Esimerkiksifunktion p cJulian joukoista tapauksetc=0 (origokeskeinen yksikköympyrä)ja c=−2 (jana −2:sta0:aan) eivät ole fraktaaleja. [14]Joukon fraktaalisuutta mitataanyleensä ns. Hausdorff-dimensiolla[15]. Se on luku, joka on sitäsuurempi, mitä fraktaalisempijoukko on. Mikäli joukko ei olelainkaan fraktaalinen sen dimensioon yhtä suuri kuin sen topologinendimensio (esim. käyrälle 1 pinnalle2 jne.). Julian joukoille Hausdorff-dimensiontarkka määrittäminenon vaikeaa, mutta sitä voidaanarvioida kokeellisesti piirtämälläkuva joukosta, ja mittaamallasitä eri tarkkuuksilla [14] [15].Funktion p cJulian joukoille, kun con tarpeeksi pieni, voidaan laskealikiarvoja kaavalla [13]:cdH= 1+4 log .2Arvot ovat sitä tarkempia, mitä pienempic on.Mandelbrotinjoukko2Kuva 6: Mandelbrotin joukko. Komponenttien sisälle merkityt luvut kertovat montakopistettä on funktion p c (z)=z2+c attraktiivisessa syklissä, kun c sijaitsee jossakin kyseisenkomponentin sisällä.Esimerkiksi jo kaavasta (3)seuraa, että jos funktiolla on vähintäänkolme attraktiivista kiinteääpistettä, sen Julian joukko on väistämättäfraktaalinen. Kaikkien Julianjoukon pisteiden täytyy nimittäinsijaita kaikkien kolmen attraktionaltaan kohtaamispisteissä. Tästäseuraa, että jos jollakin alueellanäyttäisi olevan kahdella attraktionaltaalla yhteinen reunaviiva,on tässä välissä väistämättä sijaittavapala kolmannen attraktorin allasta.Jos näin ei olisi, tuossa kohtaaolisi pala Julian joukkoa, jokaei olisi kolmannen altaan reunalla.Ks. kuva 4.Kaikille Julian joukoille päteemyös, että jos otetaan mikä tahansajonkin ympyrän rajaamaosajoukko Julian joukosta J(f), jasuoritetaan sille funktiota f tarpeeksimonta kertaa, se peittää lopultakoko Julian joukon. MerkitäänJo pitkään on tiedetty, ettäfunktion p cJulian joukot ovat joillakinc:n arvoilla yhtenäisiä ja toisillaepäyhtenäisiä. Epäyhtenäiset joukotovat ns. Cantorin joukkoja, eline koostuvat äärettömästä määrästäerillisiä pisteitä. Epäyhtenäisetjoukot syntyvät yleensä suuremmillac:n arvoilla kuin yhtenäiset.Esimerkiksi jos c > 2,onJ(p c) ainayhtenäinen. Julian ja Fatoun aikaanei kuitenkaan pystytty tarkastisanomaan, millaiselta alueelta cpiti valita, jotta saataisiin aikaiseksiyhtenäinen Julian joukko. Juliaja Fatou saivat kuitenkin selville,että Julian joukon yhtenäisyys voidaanpäätellä funktion kriittistenpisteiden avulla. Funktiolla p conkaksi kriittistä pistettä: nolla ja ääretön.Jos piste 0 kuuluu äärettömänattraktion altaaseen, niin funktiollaei voi äärettömän lisäksi ollamuita attraktoreita, sillä jokaisenattraktorin altaassahan on oltavavähintään yksi kriittinen piste. TällöinJulian joukolla ei voi olla ”sisäpuolta”.Mm. tätä tietoa hyödyntäenJulia ja Fatou osoittivat, ettäJ(p c) on yhtenäinen jos ja vain josnolla kuuluu äärettömän attraktionaltaaseen.Niiden kompleksitason pisteidenjoukkoa, joille J(p c) on yhtenäinen,kutsutaan nykyään Mandelbrotinjoukoksi Benoit B. Mandelbrotinmukaan, joka ensimmäisenätuotti tietokoneella kuvan19


Seepia 4Perjantai 1.6.2001Kuva 7: Julian joukot funktiolle p c (z)z 2 c, kun c=i, c=−0,39054−0,58679i ja c=−0,6830+0,3328i. Kuva-ala on kaikissa [−1,5−1,5i;1,5+1,5i]. Julian joukko c=i on tyypillinen dendriitti.tästä joukosta 1970-luvun lopussa[7] [9]. Merkitsemme Mandelbrotinjoukkoa M:llä. (ks. kuva 6) Mandelbrotinjoukkoa on sanottu matematiikankauneimmaksi ja monimutkaisimmaksikuvioksi. Sen reunaviivaon fraktaalinen, ja senHaussdorf-Besicovitch dimensioon 2, eli se on monimutkaisin mahdollinenkäyrä, joka voi esiintyäkaksiulotteisessa avaruudessa.Mandelbrotin joukkoa onsanottu yhden sivun kartaksi kaikistaJulian joukoista, sillä sen reunaviivanmuoto jonkin pisteen c läheisyydessämuistuttaa vastaavanJulian joukon (J(p c)) muotoja.Tämä on luonnollista, sillä koskajokainen Mandelbrotin joukon pistec vastaa Julian joukon J(p c) pistettä0, se vastaa myös sen pistettäc (p c(0)=0 2 +c=c). Tällöin liikkuminenjossakin Mandelbrotin joukonpaikassa vastaa liikkumista vastaavanJulian joukon samassa paikassa.Julian joukko kuitenkin muuttuujatkuvasti c:n arvon muuttuessa.Mandelbrotin joukko kertoomuutakin Julian joukoista. Esimerkiksikaikki ne c:n arvot, joillap c:llä on jokin attraktiivinen kiinteäpiste sijaitsevat Mandelbrotin joukonkardioidin muotoisessa osassa.Vastaavasti jokaista Mandelbrotinjoukon ”ympyrää” vastaa jokinkokonaisluku, joka kertoo, montakopistettä on funktion p cäärellisessäattraktiivisessa syklissä, kun cvalitaan kyseisen ympyrän sisältä.Kuvaan 6 on merkitty numeroillakutakin ympyrää vastaava jakso.Esimerkiksi kuvan 1 ylemmän Julianjoukon tuottamiseen käytetty con pääkardioidin yläpuolella suurenympyrän keskipiste. Ympyröidenkeskipisteet ovat aina attraktiivisiajaksollisia pisteitä.Jos p con jokin jaksollinensykli s, muodostaa tämän syklin attraktionallas Julian joukolle ”sisäpuolen”,eli J(p c)=∂A(s)=A(∞), jaJulian joukko on yhtenäinen. Mandelbrotinjoukossa on kuitenkinmyös pisteitä, joiden p c:llä ei oleyhtään äärellistä jaksollista sykliä.Tällaisia ovat mm. ns. Misiurewiczinpisteet. Ne ovat sellaisia Mandelbrotinjoukon pisteitä c, joille 0on funktion p cesijaksollinen, muttaei jaksollinen piste. Tällaistenpisteiden Julian joukkoja kutsutaandendriiteiksi. Niillä ei ole ”sisäpuolta”,mutta ne ovat kuitenkinyhtenäisiä. Tällainen on esimerkiksiJ(p −1) (ks. kuva 7).Kuvien tuottaminen Julianja Mandelbrotin joukoista on varsinyksinkertaista. Funktiolle p cvoidaanosoittaa, että jos kiertoradanjokin piste on itseisarvoltaan suurempikuin 2 ja suurempi kuin c:nitseisarvo, niin kiertorata lähestyyääretöntä. Jos itseisarvo ei ylitätuota rajaa esimerkiksi 128 ensimmäiseniteraatiokerran aikana, voidaanmelko varmasti todeta, ettäpiste c kuuluu Mandelbrotin joukkoon,tai että se on Julian joukon”sisäpuolella”. Usein käytetynefektin saa aikaan värittämällä jokainenpiste sen mukaan, kuinkamonennella iteraatiolla itseisarvoylitti valitun rajan. Kuvien tuottamiseksion myös saatavilla lukuisiavalmiita tietokoneohjelmia, joistamuutamia on lueteltu SeepianInternetsivulla.Sampo TiensuuKirjallisuutta[1] Blanchard, B.; Complex AnalyticDynamics on the Riemann Sphere. Bulletinof the American Mathematical Society 11(1984): 85–141.[2] Devaney, R. L.; Julia Sets and BifurcationDiagrams For Exponential Maps. Bulletinof the American Mathematical Society 11(1984): 167–171.[3] Devaney R. L.; Fractal Patterns Arising inChaotic Dynamical Systems. Kirjassa [12].[4] Devaney, R. L.; An Introduction toChaotic Dynamical Systems. Addison-Wesley Publishing Company, 1989.[5] Falconer, K. J.; Fractal Geometry –Mathematical Foundations andApplications. John Wiley Sons, 1999.[6] Julia, G.; Mémoire sur l'iteration desfonctions rationelles. Journal deMathématiques pures et Appliquées 83(1918): 47–245.[7] Mandelbrot, B. B.; The Fractal Geometryof Nature. W. H. Freeman and Company,New York 1983 (1977).[8] Mandelbrot, B. B.; Fractal Aspects of theIteration of z z(1z) for complex andz. Annals of the New York Academy ofSciences 357 (1980): 249–259.[9] Mandelbrot, B. B.; Fractals and theRebirth of Iteration Theory. Kirjassa [11].[10] Peitgen, H.-O.; Fantastic DeterministicFractals. Kirjassa [12].[11] Peitgen, H.-O.; Ricter, P. H. (toim.) TheBeauty of Fractals – Images of ComplexDynamical Systms. Springer-Verlag, BerlinHeidelberg 1986.[12] Peitgen, H.-O.; Saupe, D. (toim.); TheScience of Fractal Images. Springer-Verlag, New York 1988.[13] Ruelle, D.; Repellers for Real AnalyticMaps. Ergodic Theory and DynamicalSystems 2 (1982): 99–107.[14] Saupe, D.; Efficient Computation of JuliaSets and Their Fractal Dimension. Physica28D (1987): 358–370.[15] Tiensuu, S.; Luonnon geometriaa. Seepia 1(1999): 22–26.20


Seepia 4 Perjantai 1.6.2001MetafysiikkatieteenäMetafysiikka on ala, jokatutkii, sanalla sanoen, vaikeasti kuvattaviaasioita. Puuttumatta metafysiikanmenetelmien tai ongelmienkokonaisvaltaiseen selittämiseenvoidaan sanoa, että metafysiikkatutkii kaikkien (tämä sanaon enemmän tai vähemmän todenmukainenriippuen siitä, mitämetafyysisiä kirjoja on lukenut) asioidenolemusta tai “totuutta”. Yksilönkannalta se voi pyrkiä selittämääntoisten ihmisten toimia jatunteita, toivottavien ja ei-toivottavienasioiden perusluonnetta, sanallasanoen kaikkea inhimillistä(tämän artikkelin tarkoitusperienvuoksi ei kiinnitetä huomiota metafysiikanvähemmän selkeisiinosiin).Eri yksilöt tarkastelevat tämänfilosofianalan sisältämiä ongelmiahyvin erilaisin lopputuloksin,sellaisin, joiden avulla yksilötjäsentävät ja selittävät maailmaa.Aivan ilmeisesti metafyysisen ajattelunpitäisi vaikuttaa yksilön elämänkatsomukseentai oikeammin“tapaan elää”. Kuitenkaan sellaisiaasioita, joita metafysiikkaa tutkivatihmiset tulevat lopulta sanoneeksiei tavallisesti ole helppomieltää sovellettavaksi ihmistenelämään. Hyvänä esimerkkinä onsuurin osa Immanuel Kantin tuotannosta:… aistien asia on havainnoida;ymmärryksen asia on ajatella.Ajattelu puolestaan merkitseemielteiden yhdistämistä samassatajunnassa. Tämä yhdistäminen tapahtuujoko vain subjektin kannaltaja on satunnaista ja subjektiivista,tai sitten se toteutuu absoluuttisestija on välttämätöntä eli objektiivista”.[1]On täysin mahdollista vastatakysymykseen ajattelusta tällä tavalla,jopa sisäistää lauseen merkitysja pitää sitä totena. Kuitenkinon ilmeistä, ettei ole mahdollistasuhtautua ympärillään tapahtuvaanajatteluun tällaisella pragmaattisuudellamillään todellisellatasolla; metafysiikka, etenkin tietynlainen,ei aihepiiristään huolimattaselvitä tutkijoilleen, mitenmaailman voi ajatella olevan taimiten sen sisältämät asiat esiintyvät“perimmäisessä totuudessaan”.Tässä tapauksessa tutkittavaongelma voidaan ilmaista suhteellisenhelposti, mutta vaatii huomattavaaselväjärkisyyttä ymmärtäälauseen merkitys; asettelu “satunnaistaja subjektiivista vs. absoluuttistaja välttämätöntä eli objektiivista”ei ole selkein mahdollinen.Se vastaus, joka on mahdollistalöytää huomattavan epäselvyydenalta on melko yksinkertainen,toteeminen, jopa perusteeton lausahdussiitä, mitä ajattelu on.Metafysiikassa kysytäänmonenlaisia kysymyksiä, muttakaikkien vastausten perussisältötuntuu löytyvän karkeasti sanottunakahdesta eri metafyysisestä“katsomuksesta”, joiden määritelmäteivät ole erityisen selkeitä,mutta joiden muodostamat ryhmittyvättuntuvat pysyvän samanlaisinahyvinkin monimuotoisissa kysymyksissä.Paljon tutkitut kysymykset,ja sellaiset, jotka jakavat metafyysisiämaailmankatsomuksia, liittyvätnimenomaan varsin inhimillisiinominaisuuksiin ja tapahtumiineivätkä siksi tunnu ensinäkemältämitenkään kattavilta ajatuksilta.Etsitään siis vastauksia sellaisiin kysymyksiinkuin “onko (inhimillinen)hengellinen tai ei-aineellinentapahtuminen selitettävissä (vain)aineen kautta” tai hiukan yleisemmin“mikä on (inhimillisesti havaitun)aineellisen maailman suhdehengelliseen ominaisuuteen (esimerkiksiajatukseen missä tahansamuodossa, jossa se voidaan ilmaista)”.Kysymysten asettelu on siksivaikeaa ja täynnä sulkeita, ettäosa vastaajista kieltää aineellisen“todellisuuden” olemassaolon kaikenkaikkiaan ja toinen osa kieltäähengellisten asioiden itsenäisenolemassaolon. Tällaisilla perusteillajakautuvista vastauksista voidaanerottaa ainakin sellainen ryhmä,joka katsoo, että hengellinenmaailma on erillään aineellisesta,vieläpä että aineellista maailmaaei ole, vaan se on yksinomaan“mielle” tai osa jonkinlaista hengellistämaailmaa. Toisaalla on näkökanta,jonka mukaan maailma jakaikki siinä ilmenevät tapahtumatovat nimenomaan aineellisia, ja sikälikuin hengellisiä asioita, esimerkiksiajatuksia, on olemassa, ne ilmenevätaineellisesti, jollakin tavallatulkittavassa muodossa, sikälikuin kaoottisen monimutkainenkokonaisuus (esimerkiksi aivot) tulkintaatekee. Tätä selitetään mahdollisimmannykyaikaisen tieteellisennäkemyksen mukaisesti, tällähetkellä hiukan sekavilla neurologisillaja fysikaalisilla ilmaisuilla.Jälkimmäisen näkökannanedustajat ajattelevat vaihtelevastimyös, että nämä ajatukset ovat(voivat olla) sikäli hengellisiä, ettäne voidaan ilmaista aineellisessamaailmassa täysin fyysisesti erilaisellatavalla kuitenkin niin, ettäkahdessa ilmiössä on jotakin olennaisestisamaa. Tämä erilaisuuson, kuten myöhemmin huomataan,varsin kiinnostava.Näitä näkökantoja kutsutaanvaihtelevin tavoin, yleisesti ottaenedellinen on nimeltäänidealistinen näkökanta, jälkimmäinenon materialistinen. Näidenosapuolten johtopäätökset ovatkaiken kaikkiaan “valtavirran mukaisia”,nämä ovat juuri niitä ajatuksia,jotka ovat selvinneet hengissävuosisataisesta tutkiskelusta,21


Seepia 4Perjantai 1.6.2001näitä ajatuksia (jompaa kumpaa)pitävät asioita työkseen ajattelevatihmiset useimmissa tapauksissakaikkein oikeimpina, totuutta parhaitentavoittelevina. Selvästi asiaon kuitenkin niin, ettei kumpaakaanvarsinaisesti sovelleta ihmistenelämissä. Idealistit, vaikka antavatkinpalttua heidän silmiensäedessä (ilmeisesti) olevalle aineellisellemaailmalle, alistuvat sille jatoimivat siinä kuten materialistitkin.Materialistit tuntevat (ainakintämän artikkelin ajan näin voidaanajatella) yhtä voimakkaastikuin idealistitkin, kiinnittämättähuomiota siihen, että kyseessä olevailmiö on heidän mukaansa monimutkainenseos yksinkertaisiaasioita; sähköimpulsseja ja kemikaaleja.Ehkä se huomio, että ihmisetovat “pohjimmiltaan kaikki samanlaisia”ja että “ajattelu ei vaikutatoimintaan” ei ole kauhean järisyttävä.Voidaan kuitenkin pitääajattelua ja metafysiikkaa eri asioina;tarkoittaen sitä, että “käytännön”ajattelu, joka ei välttämättävaikuta elämään tai yksilön toimintaan,on eri asia kuin metafyysisetnäkemykset (jopa mielipiteet), jaettä nämä metafyysiset näkemyksetvoivat hyvinkin vaikuttaa ajatustensuuntautumiseen. Tässä tapauksessayksilön metafyysisillänäkemyksillä on samantapainenasema kuin hänen kulttuuritaustallaan(tai vastaavalla psykologisestimääritellyllä elementillä).Metafysiikka jaluonnontieteetKuten edelläolevasta käyilmi, metafysiikka on varsin kaukanaluonnontieteistä. Se on aikojenkuluessa muuttunut voimakkaasti;esimerkiksi René Descartes piti varsinsopivana antaa “Metafyysisiämietiskelyjä” -teoksellensa lyhyenkuvauksen Metafyysisiä mietiskelyjä,joissa todistetaan selvästi Jumalanolemassaolo sekä ihmisen sielunja ruumiin välinen todellineneroavuus”[2]. Tässä tapauksessametafysiikka esiintyy matematiikankaltaisena tieteenä, jossa todistetaantodeksi tai vääräksi maailmaanliittyviä lauseita. Kun tätä ristiriitaistatiedettä ilmenee jatkuvastilisää, eivätkä sen todistelut olemonessakaan tapauksessa tyydyttäviä,on käytännönläheisesti alettupitämään metafysiikkaa “pelkkänä”metafysiikkana, tieteenä,joka ei löydä vastauksia. Se, ettävarsin arvostetut filosofiset tahotovat todenneet (toisten arvostettujenfilosofisten tahojen kauhistukseksi),että metafysiikan kysymykseteivät todellisuudessa ole kysymyksiä,vaan ne vain näyttävät kysymyksiltä,ei merkitse mitään; seon vain “lisää metafysiikkaa”.Yleensä ottaen fyysikkoja eivätole suuremmin liikuttaneet vastaavanlaisethuomautukset metafyysikkojentaholta siitä, että maailmaa,jota fyysikot tutkivat, ei oleolemassa. Se, että metafysiikka eituo fysikaaliseen tutkimuskenttäänmitään uutta aineistoa, on jonkinlainentapaus metafysiikan vaikuttamattomuudestaihmisten elämientapahtumiin. Kuitenkin voisi kuvitella,että eri yhteiskunnissa jakulttuureissa vallitsevat metafyysisetajatukset vaikuttaisivat tieteenkehitykseen. Fyysikkojen tapaylenkatsoa metafysiikkaa liittyy ennenkaikkea siihen, ettei metafysiikkavaikuta siihen, mitä tiedetutkii - tämä kysymys ei ole merkittävänkiistanalainen. Mutta tieteellinentutkimus on kautta aikojentehnyt enemmän vääriä johtopäätöksiäkuin oikeita (sikäli kuin oikeitajohtopäätöksiä yleensä on; nykytieteestävoidaan sanoa lähinnäse, ettei nykyinen tieteenkäsitys ainakaanole lopullinen), ja nämäväärät johtopäätökset voivat hyvinkinjohtua metafyysisistä vakaumuksista.Tieteellinen ajattelu pyrkiiaina olemaan objektiivista, ennakko-oletuksistavapaata ja itse asiassametafysiikasta vapaata. On havaittuilmeisen vaikeaksi saada tiedemiehiäuskomaan, että heidännäkemyksensä mistä tahansa - esimerkiksisiitä, että muut taivaankappaleetkiertävät maata, johtuumetafysiikasta. Kyseisillä tiedemiehilläoli aineistoa, jonka mukaanheidän päidensä yläpuolella kiersitunnistettavia taivaankappaleita,joita näytti olevan yhtä paljon jokasuuntaan. Tästä he tekivät ainoanMetafysiikka jataideloogiselta tuntuneen johtopäätöksen.Päätös tuntui kuitenkin ainoaltaloogiselta tiedostamattoman lisäaineistontakia; he uskoivat, ettäkorkeampi taho oli luonut heidänplaneettansa ainoaksi olennaiseksiplaneetaksi, että kaikkea hallitsevaolento käytti kaiken aikansa hallitakseenja tarkkaillakseen juuriheitä.Voidaan sanoa, että heidäntieteelliset välineensä (silmät) eivätolleet yhtä kehittyneitä kuin omanaikamme välineet, ja tästä syystätutkimuksemme on objektiivisempaa.Onkin sanottava, että tiedeon nyt “parempaa” kuin silloin;sitä on tutkittu kauemmin ja paremmin.Kuitenkin luonnontieteellistenteorioiden elinikä on edelleenvarsin lyhyt, ja se lyheneekoko ajan. Tieteellä (tässä tapauksessatarkoitan länsimaista tiedettä,länsimaista katsottuna muunlaistaei juuri ole) on kuin onkinmetafyysinen akilleen kantapää;metafysiikka ei ole käyttökelpoinenväline tiedemiehille, mutta sevaikuttaa jatkuvasti tieteen tuloksiin.Kysymys siitä, voidaanko ihmisenpäättelyn avulla tässä tapauksessalöytää lopullista vastaustayleensä mihinkään fysikaaliseenkysymykseen, ei ole varsinaisestimetafyysinen eikä ainakaan kovinyksinkertainen, joten jätän sen käsittelemättä.Vastakkaisasetelma materialistienja idealistien välillä on taidettatutkittaessa erityisen mielenkiintoinen.Miten materialistinennäkemys selittää taiteen, hengellisestiluovan materiaalin, tuottamisen?Osin edellämainituin tieteellisinselityksin; aivot sekoittavat läheskaoottisella tavalla ärsykkeitä,jotka on lajiteltu niin monin tavoin,että syntyy jotakin näennäisestiuutta. Aiemmin mainittu eroavaisuuserilaisten materialistienvälillä on kuitenkin samanlainensekä taiteessa että ajattelussa. Milläperustein ihminen voi sekä ollamaterialisti että katsoa taiteen jaajattelun omaavan muutakin sisältöäkuin fysikaalisen kokoonpa-22


Seepia 4 Perjantai 1.6.2001non? Asiaa on hiukan vaikea selittää.Voisi sanoa, että asioilla katsotaanolevan merkitystä ainoastaanomassa kontekstissaan, siinämaailmassa, jossa ne esiintyvät.Fysikaalisesti, “todellisesti” asioillaei välttämättä ole lainkaan eroavaisiamerkityksiä, mutta kun ihmistentuottamaa taidetta tai ajatteluatulkitsee toinen ihminen, vastaavallatavalla kaoottinen yksilö, tutkivansysteemin puitteissa tai konteksissaasioilla on merkitystä. Vertauson ontuva, mutta samalla tavallasuhteellisuusteorian esittämätyksittäiset lauseet tuntuvat“maalaisjärjen vastaisilta” perinteisenfysikaalisen ajattelun kontekstissa,mutta kyseisen teorian kontekstissane ovat loogisia seurauksiaaikaisemmin todetusta. Vaikuttaasiis siltä, että kaikissa tapauksissamaterialistinen tapa selittää ilmiöitäpalautuu melko mitättömiltätuntuviin lauseisiin, jotka liittyvätyleensä puutteellisiin luonnontieteisiin.Kaikesta huolimatta on virhetehdä sellainen päätelmä, ettämaterialistisen ajattelun vaikutusihmisen elämään tai tapaan ymmärtääesimerkiksi taidetta on välttämättävoimakkaasti erilainenkuin idealistin. Eri tavoilla selittääilmiö ei ole välttämättä mitään tekemistäilmiön sisällön tulkinnankanssa. Kun sanotaan “taide onmerkitsevää ainoastaan sitä tulkitsevansysteemin kontekstissa”, sekuulostaa ymmärrettävästi taidetta(tai sanotaan yleisesti ei-aineellisiaominaisuuksia) vähättelevältälauseelta. Materialistinen (puhunedelleenkiin vain osasta materialisteja)tapa ajatella, että fysikaalinenolemus ja kokoonpano on kaikelleyhtäläistä ja että muu on tämän fysikaalisuudenlähinnä sattumastajohtuvaa tulkintaa ei, kuten aiemmintodettiin, omaa mitään käytännönmerkityksiä.MetafysiikanseurauksistaOikeastaan kaikki metafyysisetkannat tuntuvat tavallisestisitä hankalemmilta ylläpitää, mitäpidemmälle menevää niillä suoritettututkimus on. Materialistinendilemma on sekava; materialistisetnäkemykset ovat niin voimakkaastiinhimillisen kokemuksen vastaisia,että ajaudutaan ongelmiin,kun yritetään selittää inhimillisenajattelun ilmenemistä sellaisenakuin sitä havaitaan. Materialistinenetiikka vaikuttaa myös epäselvältä;seuraako siitä, että ei katsotaolevan olemassa minkäänlaista tietoisuutta,jolla olisi omia ominaisuuksia,joka olisi enemmän kuinosiensa summa, se, ettei voida katsoaolevan minkäänlaista moraaliaihmisten suorittamana ihmisiäkohtaan? Sillä jos aivot, joiden voidaantulkita muodostavan tietoisuuden,eivät ole muuta kuin rakenneosiensasumma, miksi niitäolisi suojeltava?Hiukan epätyydyttävästivoidaan vedota lähinnä aikaisemminmainittuun moraaliin kontekstissaan;ihmisten moraali toisiaankohtaan on perusteltua sikäli, ettäihmisten tarkoitusperiä tehdäyleensä mitään voidaan tarkastellavain inhimillisessä systeemissä.Sanomatta mitään aivojen ylläpitämäntajunnan olevaisuudesta voidaansanoa, että ihmisten väkivaltatoisiaan kohtaan ei ole moraalistasiksi, että väkivaltaa tekevälleolennolle (olennon kannalta) väkivallankohteena olevat oliot ovattiedostavia, jopa sielun omaavia(jos sellaista sanaa halutaan käyttää).Monet tällaiset ongelmat, jotkaesiintyvät materialistisessa metafysiikassa,ovat palautettavissa(tässä tapauksessa lähinnä vähemmännihilistisiksi tai armottomiksi;sikäli kuin filosofi pyrkii ylläpitämäänsekä materialistista näkemystäänettä hyveellistä ja mahdollisimmaninhimillistä moraali- jamuuta filosofiaansa) vähemmänongelmallisiin kantoihin.Idealismi kulkeutuu erilaisiinongelmiin, joissa asioiden selittäminenpohjautuu eräänlaiseenintuitioon. Parhaiten tunnettu esimerkkiidealistisen ajattelun perusteista(on mainittava, että argumentaatioon ko. ajoista muuttunutja monimuotoistunut) on RenéDescartesin lauseesta “ajattelen,siis olen” lähtevä pohdinta. Descartessanoi, että koska hän voi kuvitellaolevansa ilman aineellisiaattribuuttejaan, ja että niiden olemassaoloon yhtä todennäköistäkuin niiden olemassaolemattomuus,mutta että hän ei voi kuvitellaolevansa olematta jonkinlaisenasieluna tai henkenä, voi hän varmastisanoa, että aine ja henkiovat kaksi erillistä asiaa, ja ettämahdollisesti hänen sielunsa ontällä hetkellä siinä ruumiissa, jossase näyttää olevan - tai se voi ollaolematta. Varmuus on siis hengestä,mutta ei aineesta.Keskustelu tämän Descartesinväitteen ja materialistien välilleei ainakaan synny kovin helposti;materialismin kontekstissa väiteon irrelevantti, sillä siinä ei katsotahengen yleensä olevan muutakuin ainetta; tällöin hengen päättelytitsestään ovat jonkinlaista sattumaa,ei totuutta (tämä lause muuttuuongelmallisiksi materialisminkannalta muissa yhteyksissä).Joka tapauksessa Descartesiinpohjautuva metafysiikka sisältääluonteenomaisesti tällaisen intuitionelementin, jossa irrotetaan kaksiasiaa toisistaan tekemällä “ajatuskokeita”,ja todetaan, että koskatilanne pysyi loogisena, ei olisiainakaan epäloogista, että näin olisi.Tämä näkemys muiden näkemystenavittamana johtaa monimutkaisempiinidealistisiin ajatuksiin,jotka kuitenkin pohjautuvat -hiukan kärjistäen - mielipiteeseensiitä, mikä on mahdollista ja mikäei. Kun metafysiikkaa kuitenkinnäyttää olevan suhteellisen mielivaltainenmäärä, idealismin ei voidasanoa olevan tältä osin mitenkäänennenkuulumattoman huonollapohjalla.Sam HardwickKirjallisuutta[1] Kant, Immanuel: Prolegomena.Gaudeamus/yliopistopaino, Helsinki 1997[2] Descartes, René: Teoksia ja kirjeitä.WSOY, Helsinki 1956[3] Van Inwagen, Peter: Metaphysics. OxfordUniversity Press, Oxford 1993Suositellaan luettavaksi:Ayer, A. J. : Language, truth and logic.Gollancz, London 193623

More magazines by this user
Similar magazines