Solmu 2/2006 - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

4 SolmuOppikirjojakin voisi arvioida – ja eräänmuinaismuiston pelastaaMonenlaisia asioita arvioidaan ja vertaillaan julkisesti.Tekniikan Maailma testaa autoja ja autokorjaamoja,Tietokone tulostimia ja digikameroita, Kuluttaja pölynimureita,päivä- ja aikakauslehdet taidenäyttelyjä,konsertteja ja kirjoja. On kuitenkin tärkeitä kirjoja,joista ei juuri missään mitään kirjoiteta. Koulukirjat.Yleissivistävän koulun tarpeisiin julkaistaan jatkuvastisuurin painoksin eri aineiden oppikirjoja. Kirjojen kustantajattekevät niitä tunnetuiksi mm. opettajille tarkoitetuissaesittelytilaisuuksissa, joissa viestiä viedäänperille usein myös hyvien tarjoilujen kera. Ja opettajienyksityiset keskustelut tuntuvat aika usein liikkuvanoppimateriaalien ympärillä. Viidakkorumpu vietietoa. Mutta onko kukaan nähnyt esimerkiksi matematiikankirjanarvostelua lehdessä? Tämän kirjoittajaon, 1940-luvun Matemaattisten aineiden aikakauskirjoissa.Mutta nykyajan matematiikan ”ammattilehdistä”,Dimensiosta ja Arkhimedeksesta kirjaesittelyjähakee turhaan, samoin Opettajien ammattijärjestönvärikkäästä viikkolehdestä Opettajasta. Ei oppikirjojaHelsingin Sanomatkaan arvostele. Oppikirjoja ei enääarvostele myöskään Opetushallitus, jonka hyväksymismerkintäoli taannoin kirjan välttämätön laatutae.Miksi on näin? Ilkeämielinen tarkkailija saattaa ajatellakustantajien mainontaa. Voisivatko mahdollisestikriittiset kommentit loukata ja ehkä pysäyttää mainosrahankulun? Tuskin sentään. Kustantajat ovat ylipäänsätottuneet tuotteittensa kriittiseen tarkasteluunja pitävät varmaan lehtikirjoittelua omaakin markkinointiatukevana. Yhden kirjoitushaluttomuuden syynaistii, kun katselee oppikirjojen kansia. Kirjoilla on tekijöitähelposti puoli tusinaa tai enemmän, joten mahdollinenarvostelija saattaa joutua punnitsemaan tuttavantai ainakin tuttavantuttavan työhön puuttumista.Sellainen saattaa tuntua epämieluisalta. Ja kun oppikirjaon eräänlainen opetuksen auktoriteetti oppilaisiinpäin, saattaisi kriittinen kommentti synnyttää epämiellyttävääkeskustelua luokassa tai aina kriittisemmiksitulevien oppilaiden vanhempien parissa. Tai ehkä oppikirjojaei kukaan pidä sillä tavoin kiinnostavina, ettäajattelisi jonkun muun lukevan niiden esittelyjä.Solmu aikoo nyt joka tapauksessa avata keskusteluaoppikirjoista julkaisemalla ensimmäisen oppikirjaesittelynsä.Kohteeksi on valittu lukion pitkän matematiikankirjasarjat, joilla voi arvella olevan merkitystä aikasuurelle osalle mahdollisia lukijoitamme. Arvostelijaei ole kaikkitietävä tuomari, vaan hän esittää henkilökohtaisiamielipiteitään, joihin voi yhtyä tai olla yhtymättä.Omia mielipiteitään voi tuoda esiin vaikkapaSolmun keskustelupalstan kautta. Toivomme myös, ettäpäänavauksemme saisi muutkin tahot, ennen muutaoppikirjojen avulla työtään tekevät, siis opettajatja oppilaat, kirjoittamaan. Avoimen keskustelun luulisilopulta koituvan kaikkien oppikirjan parissa toimivien,niin tekijöiden kuin käyttäjienkin eduksi. Solmun palstatovat avoinna!Pääkirjoitus

Solmu 5∗ ∗ ∗Varttuneempien kansalaisten tavatessa nousee aina sillointällöin muisteluksen kohteeksi laskutikku. Siihensuhtaudutaan nostalgisen huvittuneesti: ajatella, kunei ollut laskimia, niin kaikilla oli laskutikku ja sillä oikeastilaskettiin kaikenlaista.Kävin talvella Helsingin messukeskuksessa Educamessuilla,opetusalan kaupallisessa suurtapahtumassa.Monet näyttelyosastot pullistelivat erilaisia värikkäitä,kekseliäitä ja kalliitakin matematiikan opetuksen konkreettisiaapuvälineitä. Ajatelkaapa, jos joku sattuisinyt keksimään laskutikun. Yksinkertaisen laitteen, jostasuoraan ja havainnollisesti voi lukea niin neliöt, kuutiot,neliöjuuret, kuutiojuuret, käänteisluvut ja trigonometristenfunktioiden arvot ja jolla sananmukaisestikäden käänteessä voi kertoa ja jakaa mielivaltaisenmonta kertaa tai ratkaista ei vain yksittäistä vaan kaikkiverrantoyhtälöt ja siis esimerkiksi kaikki sinilauseellaratkeavat kolmiot, ja jonka käyttö kehittää suuruusluokanymmärtämistä ja interpolaation tajua ja antaakonkretian logaritmikäsitteelle. Näin monipuolisen laitteenkeksijästä tulisi varmaan rikas, sillä kaikki kouluthaluaisivat varustaa oppilaansa niillä. No, laskutikkukeksitiin 1600-luvulla ja se kuoli 1960-luvun lopussa,kun taskulaskin teki sen tarpeettomaksi. Mutta laskutikunhylkäämisessä meni lapsi pesuveden mukana.Jos vanhempienne tai isovanhempienne kaapin kätköistävielä löytyy laskutikku, niin pelastakaa se hetiomaan käyttöönne. Tutkikaa, miten se toimii, leikkikääsillä ja ottakaa se hyötykäyttöön. Tehtävissä, joihinlaskutikku soveltuu, se on melkein aina nopeampikuin sähköiset korvikkeensa, ja usein paljon hauskempija opettavampi!Matti LehtinenPääkirjoitus

6 SolmuLuovat yhteisötJokainen verkkojulkaisemisen tai verkko-oppimateriaalienkanssa tekemisissä ollut on todennäköisesti jossainvaiheessa törmännyt käsitteeseen Creative Commonseli CC. Se on voittoa tuottamaton organisaatio, jonkatarkoituksena on edistää erilaisten materiaalien verkossatapahtuvaa julkaisemista ja käyttöönottoa. CreativeCommons julkaisee lisenssejä, joiden avulla jokainenverkkomateriaalin tuottaja voi helposti määrittäämateriaalinsa käyttöön liittyvät oikeudet ja rajoituksetilman tarvetta lakimiehen apuun. Oikeuksien määrittäminenon välttämätöntä, jotta materiaalia voisikäyttää, monistaa ja muokata laillisesti. Tekijänoikeuslakiantaa tekijälle yksinoikeuden esimerkiksi materiaalissaolevien kirjoitusvirheiden korjaamiseen, ja siksitarve muokkaamiseen syntyy materiaalia ylläpidettäessä.Toinen oppimateriaalin osalta tyypillinen tilannesyntyy, jos materiaalia joudutaan siirtämään teknisestivanhentuneesta formaatista tai mediasta (esimerkiksiVHS-kasetilta) uudenaikaisempaan. Oikeuksien hankkiminenjälkikäteen saattaa olla hyvin hankalaa, koskakaikkia tekijöitä ei ehkä pysytä tavoittamaan. Paljonkäyttökelpoista materiaalia menetetään, koska tällaisiinasioihin ei ole kiinnitetty tarpeeksi huomiota materiaaliatuotettaessa.Creative Commons -lisenssit, joita on tällä hetkellä 11erilaista, ovat muodostumassa standardiksi verkossa tapahtuvassaei-kaupallisessa julkaisemisessa. Kantavanafilosofiana on, että jokainen tekijän materiaaliinsa antamaoikeus on loppukäyttäjän etu, ja siksi on parempiantaa vähän oikeuksia kuin olla antamatta mitään.Tyypillisiä rajoittavia lisenssiehtoja ovat esimerkiksi:tekijän nimi mainittava, ei kaupalliseen käyttöön, eimuokkausta (käyttö ja kopioiminen sallittu), sama lisenssimuokatuille teoksille (nk. copyleft-lisenssi).Standardoitujen lisenssien käyttämisestä saadaan esimerkiksiseuraavia etuja:1. Lisenssiteksti on jo valmiiksi lakimiesten kirjoittamaaja tarkastamaa, eikä tähän tarvitse enääkäyttää aikaa.2. Materiaalien käyttäjät ja tuottajat tuntevat valmiiksilisenssien ehdot ja voivat luottaa niihintarvitsematta perehtyä jokaisen sopimuksen yksityiskohtiin.3. Ristiriitaisten lisenssien käyttämisestä johtuvatongelmat erilaisten materiaalien yhdistämisessävähenevät.4. Lisenssi on saatavissa useilla eri kielillä, ja seon havaittu yhteensopivaksi erilaisten kansallistenlainsäädäntöjen ja kansainvälisten sopimustenkanssa.Creative Commons toimii myös yhteistyössä erilaistenhakukoneiden kanssa mahdollistaakseen lisenssiehtojenmukaisten materiaalien etsimisen. Lisätietoa CreativeCommonsin tavoitteista ja julkaisemista lisensseistälöytyy verkkosivulta: http://creativecommons.fi/.Antti RasilaToimitussihteerin palsta

Solmu 7Johtosuora ja polttopiste: toisen asteenkäyrätPetteri HarjulehtoMatematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoJohdantoToisen asteen käyriksi sanotaan kaikkia niitä tason käyriä,jotka ovat muotoaax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0.Tässä a, b, c, d, e ja f ovat reaalilukuja. Tässä kirjoituksessapaneudumme paraabeliin, ellipsiin ja hyperbeliin.Ylöspäin aukeavan paraabelin, jonka huippu on origossa,yhtälö ony = ax 2 , missä a > 0.Origokeskisen ellipsin yhtälö onax 2 + by 2 = 1, missä a, b > 0,ja origokeskisen hyperbelin yhtälö onax 2 − by 2 = ±1, missä a, b > 0.Osoitamme, että paraabeli, ellipsi ja hyperbeli ovat hyvinsamankaltaisia käyriä ja niille voidaan antaa yhteinengeometrinen määritelmä. Valitsemamme määritelmäperustuu annettuun suoraan,pisteeseen ja reaaliseenvakioon. Tämä ei ole ainut geometrinen määritelmä,vaan esimerkiksi ellipsi ja hyperbeli voidaan määritellämyös kahden polttopisteensä avulla.Olkoot l annettu tason suora ja P annettu tason piste,joka ei ole suoralla l. Olkoon e positiivinen vakio. Tutkimmeniiden pisteiden uraa, joiden etäisyys pisteestäP on vakio e kertaa etäisyys suorasta l. Uraan kuuluvatsiis kaikki pisteet Q, jotka toteuttavat yhtälöndist(Q, P ) = e dist(Q, l). (1)Tässä dist tarkoittaa kahden pisteen tai pisteen ja suoranvälistä (euklidista) etäisyyttä. Suoraa l sanotaanjohtosuoraksi, pistettä P polttopisteeksi ja vakiota eeksentrisyydeksi. Jos 0 < e < 1, sanomme, että uraon ellipsi, jos e = 1, niin paraabeli, ja jos e > 1, niinhyperbeli. Lisätietoja valitsemastamme määritelmästälöytyy kirjastaD. A. Brannan, M. F. Esplen ja J. J. Gray: Geometry,Cambridge University Press, 1998.ParaabeliTutkimme aluksi tapausta e = 1. Olkoon a > 0, l asuora y = −a ja P a piste (0, a). Etsimme pisteitä, jotkaovat yhtä kaukana johtosuorasta ja polttopisteestä.

8 SolmuPisteen Q = (x, y) etäisyyteen suorasta l a ei vaikutalainkaan x-koordinaatti, joten saamme etäisyydeksi|y + a|. Pisteiden Q ja P a väliseksi etäisyydeksi saammetutulla kaavalla √ (x − 0) 2 + (y − a) 2 . Yhtälö (1)muuntuu siis muotoon√(x − 0)2 + (y − a) 2 = |y + a|.Korottamalla molemmat puolet toiseen potenssiinsaammeja edelleenja √ pisteen Q etäisyys polttopisteestä on(x + 2)2 + (y − 2) 2 . Yhtälö (1) muuntuu siis muotoon√(x + 2)2 + (y − 2) 2 |x − y + 1|= √12 + (−1) . 2Korottamalla molemmat puolet toiseen potenssiin jamuokkaamalla saatua tulostaa saammex 2 + y 2 + 2xy + 6x − 6y + 15 = 0.Tämän paraabelin kuvaaja, yhdessä johtosuoran japolttopisteen kanssa, on esitetty Kuvassa 2.54231.52110.500-5 -4 -3 -2 -1 0 1-1 0 1 2 3-0.5-1-1Kuva 2. Paraabeli.EllipsiTutkimme sitten tapausta 0 < e < 1. Olkoon a > 0.Valitsemme johtosuoraksi x = a/e 2 ja polttopisteeksi(a, 0). Tällöin yhtälö (1) muuntuu muotoon√ (x − a)2 + (y − 0) 2 ∣= e ∣x − a ∣ ∣∣ .e 2Korottamalla molemmat puolet toiseen potenssiin jamuokkaamalla saatua lauseketta saammee 2a 2 x2 +√12 + (−1) 2x 2 + y 2 − 2ay + a 2 = y 2 + 2ay + a 2 ,x 2 = 4ay eli y = x24a .Kyseessä on siis tuttu ylöspäin aukeava paraabeli, jonkahuippu on origossa. Kuvaan 1 on piirretty tapausa = 1 sekä johtosuora ja polttopiste.-3-2Kuva 1. Paraabeli.Vastaavasti saamme alaspäin aukeavan paraabelin valitsemallay = a ja (0, −a). Valinnoilla x = −a ja(a, 0) sekä x = a ja (−a, 0) saamme muotoa x = y24aja x = − y24aolevat paraabelit.Paraabelin muotoon vaikuttaa vain johtosuoran ja polttopisteenvälinen etäisyys. Näin esimerkiksi Kuvan 1paraabeli on yhtenevä kaikkien niiden paraabeli kanssajoiden johtosuora on y = −1 ja polttopiste on muotoa(r, 1), missä r on reaaliluku. Näiden kaikkien paraabelienhuipput sijaitsevat x-akselilla.Valitsemalla suoran, joka ei ole kummankaan koordinaattiakselinkanssa yhdensuuntainen, saamme ”vinossa”olevan paraabelin. Olkoon esimerkiksi y = x + 1johtosuora ja (−2, 2) polttopiste. Tällöin pisteen Q =(x, y) etäisyys johtosuorasta on|1 · x + (−1) · y + 1|e 2a 2 (1 − e 2 ) y2 = 1. (2)Kyseessä on origokeskeinen ellipsi. Valitsemalla johtosuoraksix = −a/e 2 ja polttopisteeksi (−a, 0) saammesaman ellipsin.

Solmu 9Valitsemme sitten johtosuoraksi y = a/e 2 ja polttopisteeksi(0, a). Tällöin saamme3e 2 e 22a 2 y2 +a 2 (1 − e 2 ) x2 = 1. (3)10-3 -2 -1 0-1Kuvassa 3 on esitetty ellipsien (2) kuvaajat tavallisellaviivalla ja ellipsien (3) kuvaajat katkoviivalla arvoillae = 3 5 ja e = 2 5sekä a = 1. Saman eksentrisyyden-2omaavat ellipsit ovat samanmuotoisia, mutta ne ovattoisiinsa nähden 90 asteen kulmassa.-36420-6 -4 -2 0 2 4 6-2-4-6Kuva 3. Origokeskeisiä ellipsejä.1Miten eksentrisyys vaikuttaa ellipsin muotoon? Kiinnitämmejohtosuoran ja polttopisteen, esimerkiksi x = 30-2-10ja (1, 0). Tällöin saamme ellipsit-1(1 − e 2 )x 2 + y 2 + (6e 2 − 2)x + 1 − 9e 2 = 0.-2Kuvassa 4 on esitetty johtosuora, polttopiste sekä ellipsiteksentrisyyden arvoilla 2 5 (sisimmäinen), 1 2 (keskimmäinen)ja 3 5 (ulommainen).Kuva 4. Ellipsejä eksentrisyyden eri arvoilla.Käyttämämme määritelmä ei suoraan anna mahdollisuuttamääritellä ympyrää. Ympyrä voidaan kuitenkintulkita ellipsinä, jonka johtosuora on äärettömyydessä.Kiinnitämme polttopisteeksi origon ja johtosuoraksix = a e, a > 0. Tällöin saamme ellipsit(1 − e 2 )x 2 + y 2 + 2eax = a 2 .Kun e → 0, niin johtosuora etäisyys origosta kasvaarajatta, ja saamme1x 2 + y 2 = a 2 ,joka on origokeskinen a säteinen ympyrä. Kuvassa 5on esitetty ellipsit eksentrisyyden arvoilla 1 2 , 1 3 , 1 5 , 1 8 ja1100 , kun a = 1. 2Kuva 5. Ellipsejä, kun johtosuora lähestyy ääretöntä.1232

10 SolmuHyperbeliViimeiseksi tutkimme tapausta e > 1 eli hyperbeliä.Valitsemme saman johtosuoran ja polttopisteen kuinorikokeskisen ellipsin tapauksessa eli x = a/e 2 ja (a, 0),a > 0. Tällöin yhtälö (1) muuntuu muotoon√ (x − a)2 + (y − 0) 2 ∣= e ∣x − a ∣ ∣∣ .e 2Saamme tämän muokattua muotoone 2 e 2a 2 x2 −a 2 (e 2 − 1) y2 = 1.Kyseessä on origokeskinen hyperbeli. Valitsemalla johtosuoraksix = −a/e 2 ja polttopisteeksi (−a, 0) saammesaman hyperbelin. Kuvassa 6 on ensiksi mainittuhyperbeli, johtosuora ja polttopiste, kun e = 2 ja a = 1.Piirrämme lopuksi samaan kuvaan paraabelin, ellipsinja hyperbelin. Tätä varten kiinnitämme johtosuoraksix = 3 ja polttopisteeksi origon. Tällöin yhtälö (1)muuntuu muotoonmistä saamme√x2 + y 2 = e |x − 3| ,(1 − e 2 )x 2 + y 2 + 6e 2 x − 9e 2 = 0.Kuvasta 7 on esitetty kuvaajat eksentrisyyden arvoilla, 1, 2, sekä johtosuora ja polttopiste.121.56140.52-1.5-1-0.5000.511.5-4-2002468-2-0.5-4-1-6-1.5Kuva 6. Hyperbeli.Kuva 7. Paraabeli, ellipsi ja hyperbeli.

Solmu 11Suklaa, kauneus ja matematiikkaTuomas KorppiMatematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoRatkaisun löytäminen matemaattiseen probleemaan eiole useinkaan helppoa. Tässä tekstissä kuvailen ajatusprosessin,jonka jouduin käymään läpi saadakseni ratkaistuaTommi Sottisen minulle esittämän kysymyksen.Oletetaan, että meillä on k × l = n palan suklaalevy,joka pitäisi pilkkoa yhden palan kokoisiksi osiksi. Käytämmeseuraavaa menetelmää:Katkaisemme levyn palojen välistä (suoraviivaista) jakoviivaapitkin, ja saamme kaksi osaa. Sen jälkeen valitsemmejonkun osan, ja katkaisemme sen palojen välistäjakoviivaa pitkin. Toistamme tätä osan valitsemista jasen halkaisemista, kunnes suklaa on täysin pilkottu.Ylläesitetty pilkkomissysteemi jättää kuitenkin pilkkojallevalinnanvaraa. Hän voi esimerkiksi aloittaa halkaisemallalevyn joko pitkittäis- tai poikittaissuunnassa.Hän voi myös halkaista levyn keskeltä tai katkaistapelkästään yhden rivin levyn päästä. Pilkkoja on laiska,ja niinpä hän haluaisi saada levyn yhden palan kokoisiinosiin mahdollisimman vähällä työllä. Kuinkahanhänen kannattaisi käyttää pilkkomissysteemin jättämävalinnanvara?Kysymys: Kuinka pilkkomiskohdat kannattaisivalita, että suklaalevy saataisiinyhden palan kokoisiksi osiksi mahdollisimmanvähillä pilkkomisilla? Kuinka montapilkkomista tällöin tarvitaan?Tietokoneohjelmoinnin matemaattisessa tarkastelussatörmätään usein ylläesitetyn kysymyksen kaltaisiinprobleemoihin. Tietokone pitäisi saada ratkaisemaanhaluttu ongelma mahdollisimman vähillä laskentaaskeleilla,ja usein käy niin, että ensiksi mieleen tulevatapa ei ole nopein mahdollinen.Tarkastellaan esimerkiksi listaa, jossa on n lukua suuruusjärjestyksessä,ja tietokone pitäisi ohjelmoida vastaamaankysymykseen ”onko luku k listassa?” Voimmeesimerkiksi kirjoittaa ohjelman, joka käy listan läpialusta loppuun, ja jokaisen listan alkion kohdalla tarkastaa,onko kyseinen listan alkio k. Ohjelma toimii,mutta se joutuu tekemään pahimmillaan n askelta, yhdenjokaista listan alkiota kohti.Parempi tapa ratkaista ongelma onkin seuraava: Tarkastellaanensin listan keskimmäistä alkiota 1 . Jos se onk, on ongelma ratkaistu. Jos se on suurempi kuin k, tarkastellaanjatkossa pelkästään listan alkupuolta. Jos seon pienempi kuin k, tarkastellaan jatkossa pelkästäänlistan loppupuolta. Seuraavaksi otetaan edellä valittulistan puolikas, ja sen keskimmäinen alkio. Jos se onk, on ongelma ratkaistu. Jos se on suurempi kuin k,1 Jos listassa on pariton määrä alkioita, on listassa yksikäsitteinen keskimmäinen alkio. Mikäli listassa on parillinen määrä alkioita,valitaan jompi kumpi kahdesta keskimmäisestä alkiosta. Menetelmän toimivuuden kannalta on yhdentekevää, kumpi valitaan.

12 Solmutarkastellaan jatkossa pelkästään valitun listanpuolikkaanalkupuolta. Jos se on pienempi kuin k, tarkastellaanjatkossa pelkästään valitun listanpuolikkaan loppupuolta.Toistetaan sama valitulle listan neljäsosalle,sitten kahdeksasosalle, ja niin edelleen, kunnes k on löytynyt,tai valittu listan osa on huvennut tyhjiin (jolloink ei ole listassa). Tällä menetelmällä vaaditaan enimmilläännoin log 2 n laskenta-askelta: Jos listan pituuson esimerkiksi 65536 alkiota, askeleita on enimmilläänvain 16, eli systeemi on huomattavan nopea.Suklaalevyä voidaan puolitella hiukan samaan tapaankuin taulukkoa yllä, joten matemaattisesti koulittuhenkilö muodostaa lähes alitajuisesti seuraavan konjektuurin:Hyvällä taktiikalla vaadittu pilkkomistenmäärä on jotakuinkin log 2 n.• 3×2-levy? Edelleen kaksi tapaa pilkkoa. Joko ensinkahdeksi 3×1-levyksi, jotka paloiksi, tai ensinkolmeksi 2×1-levyksi, jotka paloiksi. Molemmillatavoilla 5 pilkkomista.Kaikissa yllämainituissa tilanteissa kävi niin, että n palanlevyn paloittelu vaati n − 1 pilkkomista riippumattalevyn geometriasta tai valitusta pilkkomistaktiikasta.Tässä vaiheessa heitämmekin edelliset konjektuuritromukoppaan, ja yritämme todistaa uutta konjektuuria:Kaikilla luonnollisilla luvuilla n pätee, ettän palan levyn paloittelu vaatii n − 1 pilkkomistariippumatta levyn geometriasta taivalitusta pilkkomistaktiikasta.Havaitaan myös, että saman kokoisia, mutta eri muotoisialevyjä voidaan pilkkoa eri tavalla. 4 × 1-levystävoidaan ottaa yksi pala erilleen, mutta 2 × 2-levystätäytyy lohkaista kaksi palaa kerralla. Niinpä muodostammeseuraavan konjektuurin:Suklaalevyn muoto eli ”geometria” vaikuttaavaadittujen lohkomisten määrään.Tämä on täysin normaali menetelmä probleemoja ratkaistessa:Ensin arvataan väittämiä, ja sitten yritetääntodistaa ne. Tässä tapauksessa sankarimme ei kuitenkaankeksi, kuinka näitä konjektuureja voisi lähteä todistamaan.Kun lennokkaat ideat eivät toimi, on aika palata maantasalle. Otamme siis pieniä levyjä, ja tapaus tapaukseltakatsomme läpi, kuinka monta pilkkomista ne vaativat.Tarkoituksena on nähdä, josko levyn koon/muodonja vaaditun pilkkomisten määrän välille löytyisi jokinyhteys.• 1 × 1-levy? Se on jo valmiiksi yhden palan kokoinen.Siis 0 pilkkomista.• 2 × 1-levy? Sen voi pilkkoa vain yhdellä tavalla.Siis 1 pilkkominen.• 2 × 2-levy? Ainoa tapa on pilkkoa ensin kahdeksi2 × 1-levyksi, jotka pilkotaan sitten yhden palankokoisiksi. Siis 3 pilkkomista.• 4 × 1-levy? Nyt voidaan pilkkoa kahdella tavalla.Ensimmäinen vaihtoehto on pilkkoa ensin kahdeksi2 × 1-levyksi, jolloin tilanne on sama kuinedellisessä tapauksessa. Toinen vaihtoehto on irroittaaensin yksi pala, sitten yksi pala lisää, jalopuksi halkaista 2 × 1-levy kahtia. Siis 3 pilkkomistakummallakin tavalla.Todistettaessa väittämiä kaikille luonnollisille luvuillekannattaa käyttää induktiota:• n = 1: 1 × 1-levyn paloitteluun tarvitaan 0 pilkkomista.Siis väite pätee tässä tapauksessa.• n > 1 mielivaltainen, väite pätee kaikille luvuillem, jotka ovat pienempiä kuin n: n palan kokoinenlevy pilkotaan ensin kahteen osaan (1 pilkkominen!),kooltaan m, m ′ . Sitten m ja m ′ palankokoiset osat pilkotaan yhden palan kokoisiksi.Tämä vaatii m − 1 ja m ′ − 1 pilkkomistainduktio-oletuksen nojalla (ja on riippumatonpilkkomistaktiikasta). Yhteensä siis tehdään(m − 1) + (m ′ − 1) + 1 = m + m ′ − 1 = n − 1pilkkomista. Induktio valmis.Nyt olemme todistaneet konjektuurimme. Induktiotodistuksissaon yleensä yksi ikävä piirre. Ne kertovatmeille, että väite pätee, mutta ne eivät kerro meille,miksi se pätee. Löytyisiköhän konjektuurillemme toinentodistus, joka auttaisi meitä hahmottamaan tilanteenparemmin?n palan kokoisen levyn paloitteleminen vaatii n−1 pilkkomista.Olisikohan prosessin vaiheilla jokin sellainenominaisuus, joka kasvaa pilkkomisen myötä? Siis niin,että alussa tuo ominaisuus olisi yksi, yhden pilkkomisenjälkeen kaksi, kahden pilkkomisen jälkeen kolme janiin edelleen, ja kokonaan paloitellulla levyllä n?Tässä vaiheessa ratkaisija lyö otsaansa. Tällainen ominaisuuson tietysti olemassa, nimittäin suklaapalastenmäärä!Niinpä saamme konjektuurillemme seuraavan todistuksen:

Solmu 13Alussa suklaa on yhdessä klöntissä, ja haluttualopputilaa luonnehtii se, että suklaaon n osassa. Jokainen pilkkominen kasvattaaosien määrää yhdellä (riippumatta valitustapilkkomistaktiikasta), joten n osaanpääseminen vaatii n − 1 pilkkomista.Matematiikassa on kauneutta. Matemaattinen kauneusei kuitenkaan synny kauniista käsialasta tai sulavastipiirretyistä summamerkeistä, vaan se on ennemminsamaa lajia kuin hyvän vitsin aiheuttama esteettinenmielihyvä: Tilanne ratkeaa, kun se nähdään uudessa,yllättävässä valossa.Epilogi: Tässä tapauksessa osoittautui, että vaadittupilkkomisten määrä ei ollutkaan suklaalevyn koon logaritmi,vaikka aluksi niin yritinkin osoittaa. Pilkkomisongelmankysymyksenasettelua voidaan kuitenkinmuuttaa niin, että ”pilkkomisten määrä on jotakuinkinsuklaalevyn koon logaritmi” on oikea vastaus. Keksiikölukija, millaisia operaatioita suklaalevyn pilkkojalle pitäisisallia, että hän saisi suklaan pilkottua yhden palankokoisiin osiin ajassa, joka on jotakuinkin logaritmi levynkoosta? Millaisilla levyillä pilkkomisten määrä ontarkalleen log 2 n?

14 SolmuMoniarvoiset kompleksifunktiot jalaskentaohjelmatSimo K. KiveläMatematiikan laitos, Teknillinen korkeakouluMatti Lehtisen artikkeli Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuistasisälsi tiiviin yhteenvedon kompleksiluvuista,mutta kaikkea laskentaohjelman käyttäjälle tarpeellistaei ehkä kuitenkaan tullut sanotuksi.Jos nimittäin yrittää laskea luvun −1 kuutiojuurtamelkeinpä millä tahansa modernilla laskentaohjelmallatai kompleksiluvut tuntevalla laskimella, tulokseksitulee3√−1 =12 + i √ 32 .Eikö tämä siis olekaan −1?Olkoon z 1 = −1 + i ja z 2 = −1 + 2i, jolloin z 1 z 2 =−1 + 3i. Tällöin laskentaohjelma antaalog(z 1 ) + log(z 2 ) − log(z 1 z 2 ) = 2πi,missä log tarkoittaa luonnollista logaritmia, kutenkompleksifunktioiden yhteydessä on tapana merkitä.Eikö tavallinen logaritmien laskusääntö siis pädekäänkompleksialueella?Ilman laskentaohjelmaakin voidaan ajautua kummallisiinlaskuihin:−1 = i · i = √ −1 √ −1 = √ (−1)(−1) = √ 1 = 1.Koska 1 ja −1 tunnetusti ovat eri asioita, jonkin yhtäläisyysmerkintäytyy olla väärä, ehkä useammankin.Mutta mikä niistä on väärä?Selityksenä on, että kompleksifunktiot ovat hiemanmutkikkaampia olioita kuin vastaavat funktiot reaalialueella.Voidaan ajatella, että neliöjuurella on kaksiarvoa: esimerkiksi √ 4 = ±2; √ −3 + 4i = 1 + 2i tai= −1 − 2i. Kuutiojuurella on vastaavasti kolme arvoa,kuten Matti Lehtisen artikkelista ilmenee. Logaritmillaarvoja on äärettömän paljon: log z = log |z| + i arg z +2nπi, missä n on mikä tahansa kokonaisluku.Tällaiset kompleksifunktiot eivät oikeastaan ole funktioitalainkaan nykyään käytetyn määritelmän mielessä.Funktiolta f : C → C nimittäin vaaditaan, että seliittää jokaiseen lähtöjoukon pisteeseen yksikäsitteisenmaalijoukon pisteen. (Lähtöjoukko voi toki olla kokokompleksitasoa suppeampikin joukko, kuten logaritmintapauksessa onkin: origo ei kuulu joukkoon.)Aiemmin kompleksifunktiot on yleensä mielletty moniarvoisinafunktioina ja silloin mikään edellä mainituistaesimerkeistä ei ole ongelmallinen: On vain ajateltava,että kun monista mahdollisista arvoista valitaanyksi oikealla tavalla, niin kaavat toteutuvat.Nykyään kuitenkin yleensä pitäydytään funktion määritelmänyksikäsitteisyysvaatimukseen ja laskentaohjelmientapauksessa tämä on välttämätöntäkin.

Solmu 15Tällöin joudutaan uuden ongelman eteen: Miten useistamahdollisista arvoista kiinnitetään se, joka määritelläänfunktion arvoksi? Ongelma koskee neliöjuurta joreaalialueellakin, ja tällöin arvoksi tunnetusti kiinnitetäänkahdesta vaihtoehdosta positiivinen: √ 4 = +2 taiyleisemmin √ x 2 = |x|.Kompleksialueella yhtä yksinkertaista ratkaisua ei ole.Lähtökohtana on kompleksiluvun napakulman eli argumentinarvojen kiinnittäminen. Tämäkin on nimittäinmoniarvoinen funktio: Jos luvun z argumentti onarg z = ϕ, jokainen luku ϕ + 2nπ, missä n on kokonaisluku,kelpaa argumentiksi aivan yhtä hyvin. Argumenttikiinnitetään yleensä välille −π < arg z ≤ π. (Tämäjohtaa laskennallisesti yksinkertaisempiin lausekkeisiinkuin jossakin mielessä luontevampi ja varsinkin aikaisemminlähes yksinomaan käytetty valinta 0 ≤ arg z

16 SolmuPainopisteMarkku HalmetojaMäntän lukioSanomme tasa-aineiseksi kappaletta, jonka materiaalissaei ole sisäisiä tiheyden vaihteluja. Tällaisen kappaleenpainopisteen sijainti voidaan joskus päätellä kappaleenmuodon perusteella. Esimerkiksi tasa-aineisenpallon painopiste on selvästi pallon keskipiste. Jostasa-aineisella kappaleella on symmetria-akseli, niinpainopiste on akselilla ja jos kappaleella on useampiasymmetria-akseleita, niin painopiste on niiden leikkauspiste.Tutkimme painopisteen laskemista siinä tapauksessa,että kappaleella on yksi symmetria-akseli. Ongelmajohtaa integraalilaskentaan ja tarjoaa mainioitamahdollisuuksia soveltaa lukiossa opittua laskutekniikkaa.Tarvittavan perusfysiikan kertaamiseksi tutkimmealuksi suoralla sijaitsevaa diskreettiä massajakaumaa.Pistemäiset massat m 1 , ... , m n , joiden summa on m,sijaitkoot x-akselin pisteissä x 1 , ... , x n . Painopiste µ sijaitseejossakin väleistä [x k , x k+1 [. Jakauma on µ:n suhteentasapainossa, jos pisteisiin x i vaikuttavien voimienµ:n suhteen laskettujen momenttien summa on nolla.Koska massat ovat suoralla, voimme merkitä µ:n molemminpuolin laskettujen momenttien itseisarvot keskenäänyhtäsuuriksi.x 1 . . . x k µ x k+1 . . . x nm 1 g . . . . . . . . . . . . m n gSaamme yhtälönKuva 1.k∑(µ − x i )m i g =i=1josta edelleenµ = 1 mn∑i=k+1(x i − µ)m i g,n∑x i m i . (1)i=1Perehdymme seuraavaksi kappaleisiin, joiden massajakaumaon jatkuva. Integraalilaskennan perusidean kertaamiseksikatsomme aluksi, miten kappaleen tilavuuslasketaan.Olkoot a ja b kappaleen ääripäiden projektiot x-akselilla. Jos kappaletta leikataan x-akselia vastaankohtisuorilla tasoilla ja tunnetaan leikkauskuvionpinta-ala A(x) jokaisessa pisteessä x ∈ [a, b], niin kappaleentilavuus voidaan laskea.

Solmu 17aA(x)xKuva 2.Kohdassa x oleva tilavuusalkio on dV = A(x) dx jakappaleen tilavuus saadaan summaamalla välillä [a, b]olevat tilavuusalkiot:bpituusyksikköä kohti) vaihtelee. Tiheys on tällöin tunnettavajokaisessa kohdassa x eli on tunnettava tiheysfunktiof, jonka arvo ilmoittaa kappaleen tiheyden leikkauskohdassax. Jos y = f(x) on tällainen funktio,niin dmdx= f(x) ja siis kohdassa x oleva massa-alkioon dm = f(x) dx.Esimerkki. Määritämme tasa-aineisen r-säteisen puolipallonpainopisteen. Olkoon m kappaleen massa jollointiheys on ρ = m/V , missä V = 2πr 3 /3. Puolipallonsymmetria-akseli on halkaisijatasoa vastaan kohtisuorasäde.V =∫ badV =∫ baA(x) dx.Oletamme nyt, että kiinteällä kappaleella on yksisymmetria-akseli, jonka valitsemme x-akseliksi. Kappaleenääripäät sijaitkoot pisteissä a ja b. Määritämmekappaleen painopisteen momenttiehtoa soveltamalla.Jaetaan kappale x-akselia vastaan kohtisuorilla tasoillalevymäisiksi massa-alkioiksi kuvan osoittamallatavalla.r0 xKuva 4.hadmµKuva 3.dm ′Pisteissä x ja x ′ oleviin massa-alkioihin dm ja dm ′ vaikuttavienvoimien momenttialkiot (niiden itseisarvot)µ:n suhteen ovat (µ − x)g dm ja (x ′ − µ)g dm. Summaamallane µ:n molemmin puolin saamme yhtälön∫ µa(µ − x)g dm =josta, merkitsemällä m = ∫ baµ = 1 m∫ bµ∫ ba(x ′ − µ)g dm ′ ,dm, edelleenx dm. (2)Yhtälöt (1) ja (2) näyttävät samanlaisilta, mutta niilläon eräs selkeä eroavaisuus: yhtälö (1) on valmis laskukaava,jonka avulla voidaan laskea diskreetin massajakaumanpainopiste sijoittamalla kaavaan massat ja niidenkoordinaatit kun taas yhtälö (2) on pikemminkintoimintaohje laskun suorittamiseksi, sillä massa-alkiodm on muodostettava aina tapauskohtaisesti. Kaava(2) toimii myös silloin, kun kappaleen tiheys (massabKuvan mukaan kohdassa x oleva tilavuusalkio on dV =πh 2 dx = π(r 2 − x 2 ) dx ja sitä vastaava massa-alkio onSaammeµ = 1 mdm = ρ dV = 3m2r 3 (r 2 − x 2) dx.∫ r0x dm = 32r 3∫r(r 2 x − x 3) dx = 3 8 r.Painopiste sijaitsee siis halkaisijatasoa vastaan kohtisuorallasäteellä etäisyydellä 3r/8 halkaisijatasosta.Tutkimme vielä diskreettiä massajakaumaa yleisemmin.Sijaitkoot pistemäiset massat m 1 , . . . , m n pisteissäA 1 , . . . , A n massattoman tukirakenteen kannatteleminaja olkoon m massojen summa. Olkoon edelleen Omielivaltaisesti valittu avaruuden piste. Yhtälöiden (1)ja (2) perusteella ”arvaamme” painopisteen G sijainninseuraavasti:−→OG = 1 m0n∑i=1m k−−→ OAi . (3)Näemme G:n massajakauman painopisteeksi osoittamalla,että pisteisiin A i vaikuttavien voimien G:n suhteenlaskettujen momenttien −−→ GA i × m i ḡ summa on ¯0.Jätämme tämän harjoitustehtäväksi.

18 SolmuGA im i ḡ4. Suorita yksityiskohtaisesti yhtälöiden (1) ja (2)johtaminen tekstissä annetuista momenttiehdoistalähtien.5. Tasa-aineisesta materiaalista valmistetun pyörähdysparaboloidinpohjan säde on r ja korkeuson h. Määritä kappaleen tilavuus ja painopiste.OKuva 5.(0, h)(r, h)Pisteen G sijainti riippuu näennäisesti myös O:sta,mutta voidaan osoittaa, että jos−−→O ′ G ′ = 1 mn∑i=1m k−−→O ′ A i , (4)niin G ′ = G. Myös tämän yksityiskohtaisemman käsittelynjätämme harjoitustehtäväksi ja toteamme, ettäyhtälö (3) määrittelee pisteen G yksikäsitteisesti.PohdittavaaSeuraavassa muutamia asiaa valaisevia ajattelu- ja laskutehtäviä.1. Hahmottele muutamia kolmiulotteisia kappaleita,joilla on vähintään kaksi symmetria-akselia.2. Miksi tasa-aineisesta levystä leikatun tasokolmionpainopiste on kolmion mediaanien leikkauspiste?Ohje: Ajattele kolmio viipaloiduksi jonkinsivun suuntaisin leikkauksin. Missä sijaitsevat viipaleidenpainopisteet? Minkä janan painopisteetmuodostavat?3. Määritä tasa-aineisesta materiaalista tehdyn mielivaltaisennelitahokkaan painopiste. Ohje: Voithyödyntää edellisen tehtävän tulosta viipaloimallatahokkaan sopivasti.(0, r)6. Määritä tasa-aineisesta materiaalista valmistetunkorkeusjanansa suhteen symmetrisen kartionpainopiste. Mikä korkeusjanaa vastaan kohtisuoraleikkaus puolittaa kartion massan?7. Määritä tasa-aineisesta levystä tehdyn puoliympyränpainopiste.8. Oletetaan, että x-akselin välillä [0, ∞[ on lanka,jonka massan tiheyden (massan pituusyksikköäkohti) pisteissä x ∈ [0, ∞[ ilmoittaa tiheysfunktiof(x) = e −x . Laske langan massa sekä painopiste.9. Osoita, että jos G on yhtälön (3) määräämä piste,niinn∑ −−→GA i × m i ḡ = ¯0.i=1Osoita edelleen, että jos yhtälöt (3) ja (4) ovatvoimassa, niin G ′ = G.Kertomuksen kuvat on piirretty MetaPost-ohjelmalla,jonka alkeisiin perehdyttämisestä kiitokset Martti Nikuselle.

Solmu 19Matematiikkaa kaikilleMatti LehtinenMaanpuolustuskorkeakouluHannu Karttunen: Tiedettä kaikille. Matematiikka.Tähtitieteellinen yhdistys Ursa, 2006. 151 s. 24 euroa.Englantilainen eläin- ja perinnöllisyystieteilijä LancelotHogben kirjoitti vuonna 1936 suuren suosion saaneenteoksen Mathematics for the Million, joka suomennettiinkolme vuotta myöhemmin nimellä Matematiikkaakaikille. Hogben kirjoitti myös kirjan Luonnontieteitäkaikille. Tähtitieteilijä Hannu Karttunen ja etupäässätähtitieteeseen liittyvää kirjallisuutta aiemmin kustantanutUrsa ovat ryhtyneet vielä laajakantoisempaanyritykseen, julkaisemaan sarjaa Tiedettä kaikille. Senkolmantena niteenä, tähtitieteen ja fysiikan jälkeen, onilmestynyt teos Matematiikka.Matematiikkaa popularisoivia kirjoja on Suomessakinviime vuosina julkaistu runsaasti. Useimmat ovat kuitenkinniukasti kuvitettuja mustavalkoisia lukukirjojaja kaikki käännöksiä. Jonkinlainen edeltäja Karttusenkirjalle on WSOY:n vuonna 1997 julkaisema Carol VordermaninKiehtovaa matematiikkaa. Se on kuitenkinselkeästi enemmän lapsille suunnattu kuin Karttusenteos. Karttunen on kuvittanut kirjansa monipuolisesti,suurelta osalta omin valokuvin, mutta myös esimerkiksiJarno Kantelisen hauskoin piirroksin. – Kirjanlopussa oleva kattavalta näyttävä kuvalähteiden luettelohoukuttaa miettimään, mistä luettelossa mainitsemattomatkuvat ovat tulleet. Tällaisia ovat esimerkiksiBabbagen differenssikonetta esittävä kuva, jokanäyttää olevan jonkin muun teoksen kuvataulu VIIIja Pascalin laskukonetta tai Rhindin papyryksen osaaesittävät kauniit värivalokuvat.Karttunen pyrkii todella esittämään matematiikkaatieteenä, eikä laskentona tai askarteluna. Jonkinlaisenkehyksen esitykselle antaa koulumatematiikka, jonkaeri osille tekijä pyrkii antamaan taustaa ja syvyyttä.Samalla Karttunen käy kuitenkin läpi suuren osan koulumatematiikkaankuulumattomista matematiikan popularisointienvakioaiheista ja eräitä ei niin tavallisiakin.Esitellyiksi tulevat niin äärettömät joukot, neliväriongelma,valinta-aksiooma, fraktaalit, latinalaisetneliöt, kauppamatkustajan ongelma ja taksitopologia,mutta myös esimerkiksi inversio-ongelmat ovat saaneetoman lukunsa. Kun sivuja, tosin isokokoisia (tekstialanoin 17 × 24 cm 2 ), ei kirjassa ole enempää kuin 150 janiistäkin kuusi aivan tyhjää, ja sen kuvitus on runsas,ei useimpien aiheiden kohdalla ehditä kovin pitkään viipyä.Hiukan epäilyttää, avautuvatko kaikki Karttusenesiin ottamat asiat kirjan kohderyhmälle, jonka ajatteleemuodostuvan matematiikasta kiinnostuneista maallikoista,koululaisista ja aikuisista.Karttusen kirjoitustyyli on korostetun tuttavallista japuheenomaista, paikoin melkein kiusaksi asti lukijaakosiskelevan oloista. ”Nyt meillä alkaa jo olla lukuja jokalähtöön. Vaan kuinkapa onkaan yhtälön 2 x = 3 laita?”Passivin ja oppikirjamaisen monikon ensimmäisenpersoonan vaihtelu tuntuu sekin väliin hermostuttavalta.Karttunen asettuu usein matematiikkaa kummas-

20 Solmutelevien leiriin. Integraalimerkki on ”omituinen”, yhtälö”kenkkumainen”, 60-jakoiset kulmayksiköt ”järjettömiä”.Makuasiat ovat makuasioita, ehkä en itse olisinäin sanoja valinnut.Hyvään kirjaan on jäänyt muutama pieni epätarkkuuskin,toki. Selvinä virheinä voi pitää mainintaa siitä, ettäfunktion derivaatta olisi käännepisteessä nolla taisitä, että Fermat’n pienen lauseen mukaan jakolaskuna p /p jakojäännös olisi a. Kokeillaan vaikka funktiotaf(x) = x 3 + x käännepisteessä x = 0 tai lukuja a = 3ja p = 2. Eulerin monitahokaskaava on kirjassa esitetyssämuodossa tosi, jos kappale on yhdesti yhtenäinen.Katkelman ”Suoran yhtälössä esiintyy vain muuttujienx ja y ensimmäisiä potensseja. Siksi niiden välistäriippuvuutta sanotaan lineaariseksi, mikä tarkoittaajuuri suoraviivaista.” viesti jää vähintään epäselväksi.Yllättävää on myös, että Karttunen ottaa kolmiulotteisenvektorin käyttöön kolmen luvun kautta, muttahuomauttaa hetken kuluttua, että vektori onkin sellainenolio, johon voidaan liittää kolme lukua. Eikä lausekex 3 + ax 2 + bx + c ole itsessään vielä yhtälö. Kiireenjälkiä on varmaan epäyhtenäisyys kaavojen välistyksissäja miinusmerkin pituudessa. Sen sijaan i:n käyttöi:n sijasta imaginaariyksikön merkkinä näyttää tekijäntai layoutin suunnittelijan tietoiselta valinalta. Laajamatemaattisen kirjallisuuden selailu tuntui vakuuttavankäsitystäni siitä, että matemaatikkojen imaginaariyksikköon aina kursivoitu i, jos kursiivi ylipäänsäon käytössä. Sisällön ja ymmärtämisen kannalta nämäovat tietysti aivan merkityksettömiä seikkoja.Matematiikan populaariesityksen juoneksi valitaanusein historia. Karttusellakin on runsaasti viittauksiahistoriaan. Erityistä johdonmukaisuutta siinä, ketkähistorian henkilöt ovat saaneet taustakseen esimerkiksimaininnan elinvuosistaan, ketkä taas eivät, ei näyolevan. Erillisiin juoksevaan tekstiin kuulumattomiinlaatikkoihin on lisäksi koottu kaikkiaan 17 merkittävänmatemaatikon pienoiselämäkerrat. Tämän kirjoittajalleniissä esiintyvät nimet tuottivat hiukan päänvaivaa.Tuntemissani lähteissä ei Leibnizista ole tehty vonLeibnizia eikä Laplacesta de Laplacea. Gaussin olen oppinuttuntemaan etunimillä Carl Friedrich. Karttunenpuhuu Johann Carl Friedrichistä. Muutaman Gausselämäkerranselailu näytti osoittavan, että Gauss onkinitse asiassa ristitty nimellä Johann Friedrich Carl;missä vaiheessa Johann on pudonnut pois ja loput kaksinimeä vaihtaneet järjestystään ei ole tiedossani. –Saksankielen opettaja voisi huomauttaa, että Hilbertingeometriankirjan nimessä on Grundlagen eikä Grundlageja että Fregen Grundgesetze eivät ole peruslauseitavaan peruslakeja.Melkein kirjansa aluksi Karttunen tuo esiin matematiikanmonipuolisuuden vetoamalla ”MSA-luetteloon”,jossa hänen mukaansa on 98 pääluokkaa ja yli 5000alaluokkaa. Matematiikan julkaisujen luokitteluun eikuitenkaan käytetä MSA- vaan MSC-nimistä luetteloa(Mathematical Subject Classification), eikä siinä ole 98pääluokkaa (vaikka ensimmäisen numero on 00 ja viimeisen97) vaan vain 63 – osa numeroista on käyttämättä,reservissä. Sen sijaan alaluokkien määrä lieneeoikein.Jos kirjan varsinaisesta asiasisällöstä puhutaan, niinperusanalyysiä, differentiaali- ja integraalilaskentaaesittelevän luvun kohdalla olisin ehkä kirjoittanut hiukantoisin kuin Karttunen. Makuasia tietysti tämäkin,mutta abstraktin derivaatan sijasta konkreettinenmuuttumisnopeuden kautta tehtävä lähestyminenviehättäisi enemmän. Ja integraalin kaksijakoisuus”fluenttina”, sinä joka muuttuu tunnetulla nopeudella,ja äärettömän monen äärettömän pienen summana, eitekstistä oikein avaudu.Edelliset sangen perifeerisiin seikkoihin puuttuvat ylipedanttisethuomautukset on ymmärrettävä hengessähappamia sanoi kettu pihlajanmarjoista. Olisihan tällaisenkirjan matemaatikkokin voinut kirjoittaa. Muttahyvä kuitenkin, että Hannu Karttusen kirjoitti: kirja onjoka tapauksessa aivan hieno saavutus. Sen voi hyvinantaa vaikka lahjaksi tai laittaa olohuoneen pöydälleminkä tahansa arvokuvateoksen tapaan, kun vieraitasaapuu. Ja Karttusen teksti osoittaa, että matematiikastavoi kirjoittaa näyttävästi ja kansantajuisesti siinäkuin muistakin tiedonaloista. Muitakin tieteenalojapopularisoitaessa jotkin seikat aina jäävät asiaa tuntemattomillevaikeaymmärteisiksi. Matematiikan popularisointiaon kaihdettu, koska matematiikka on vaikeaaja abstraktia. Mutta matematiikan puolesta puhuu senloogisuus ja yleinen arvattavuus. Vaikkapa moderninfysiikan popularisoija on usein paljon haasteellisemmantehtävän edessä.Karttusen kirjaan on sinne tänne siroteltu muutamatehtäväkin. Kaikkiin esitetään myös ratkaisu. Yksi tehtäväon avoin: sen ratkaisijalle kustantaja lupaa pienenpalkkionkin. Tehtävä ei ole mahdoton ja uskonpa senratkaisseenikin. En aio kuitenkaan palkkiota vaatia, jotenkirjan toivottavasti monet ostajat voivat siitä vapaastikilpailla.

Solmu 21Matematiikkaa viisivuotiaanopastuksellaJuha HaatajaTieteen tietotekniikan keskus CSCSuomessa aletaan hiljalleen ymmärtää matematiikanosaaminen kansantaloudellisena kilpailutekijänä. Lisäksipienet tiedekustantajat ovat viime vuosina ilahduttavastijulkaisseet tiedekirjallisuutta, jossa matematiikkanähdään osana yleissivistystä ja ihmiskunnankulttuuriperintöä. Mutta mikä on olennaisinta matematiikanosaamisen kehittämisessä? Taitavat opettajat,jotka osaavat innostaa koululaisia matematiikanpariin.Esikoulusta se alkaaTyttäreni aloitti syksyllä esikoulun, missä hän perehtyyleikkimisen ohessa matemaattisiin käsitteisiin. Tyttärenioli ymmärtänyt lukujen merkityksen kommentoidessaanleikkipaikan keinujen määrää: ”Tuossa on senumero, se ...” Sana oli hukassa mutta lukumäärä tiedossa.Oivallus!Kotona rypäleitä syödessään tytär arvuutti minulta niidenlukumäärää. Hän oli laittanut lautaselleen kolmeterttua, joista kussakin oli neljä rypälettä. No kaksitoistahanniitä oli. (Eskarissa on opiskeltu laskemaan12:een asti.) Tytär söi yhden rypäleen ja kysyi, kuinkapaljon niitä nyt on jäljellä. No 11 tietenkin. Se sattuiolemaan tyttäreni lempinumero, sillä niin monta lastaon eskariryhmässä.Rypäleistä tulee mieleen kaikenlaista lukuihin liittyvää.Millaisilla eri tavoilla tietyn määrän rypäleitä voi jakaasamankokoisiin osiin? Esimerkiksi 11 rypälettä tai 12rypälettä. Mistä ero mahtaa johtua? Luvut ovat outojaolioita!Tyttäreni kuvaili eskarin opettajan näyttämää peliä,jossa lukuja laitettiin ruudukkoon niin että niiden summatvaakasuoraan ja pystysuoraan olivat samoja. Kyseessäoli ”lasten sudoku”. Opettaja sai lapset innostumaanluvuista oman innostuksensa ansiosta.Tyttären pähkäily lukujen parissa tuo mieleen unkarilaisenmatematiikan opetuksen tradition, jossa lapsiaaktivoidaan monipuolisesti. Lapset perustelevat vastauksiaankertomalla ajattelustaan. Kielellinen harjoitusja selkeä päättely tukevat toisiaan.Unkarilla lienee maailmanennätys ykköstason matemaatikkojenmäärässä suhteessa väkilukuun. Unkarilaissyntyisiänobelisteja löytyy kymmenkunta, esimerkkeinäholografian keksijä Dénes Gábor ja kvanttimekaniikansymmetrioita tutkinut Eugene Wigner, joistakummankin tutkimusalueella tarvitaan vahvaa matemaattistapohjaa.Unkarilaista matematiikan opetuksen perinteestä onkerrottu aiemmin Solmussa. Lehden www-sivuilta sol-

22 Solmumu.math.helsinki.fi löytyy suomeksi käännettyinä ongelmia,joita koululaiset ratkovat. Tässä esimerkki: Voikosadan ensimmäisen alkuluvun käänteislukujen summaolla kokonaisluku?sisällä eksakti matemaattinen koneisto, nimittäin kolmemiljardia emäsparia DNA:ta. Tämä DNA-ketju onavattuna noin kahden metrin mittainen ja koodaa lukemattomiaihmiselämän salaisuuksia.Kuka osaa vastauksen?Koulussa aina vierastin tilannetta, jossa opettaja antoiymmärtää hallitsevansa vastauksia eikä jättänyt tilaaoivaltaa. Mutta onneksi sain opettajia, jotka antoivattilaa kekseliäisyydelle ja kokeiluille.Sama oivaltamisen ilo auttaa jaksamaan myös työelämässä.Löysin Pauli Juutin kirjasta ”Toivon johtaminen”(WSOY, 2004) käsitteen ”ei-tietävä positio”. Juutinmukaan asiantuntijaorganisaatiot selviävät vain, josesimiehet luopuvat tietäväisyydestä ja kuuntelevat työtovereitaanetsien yhdessä ratkaisuja.Sama resepti pätee myös hyviin matematiikan opettajiin.Vain ”ei-tietämisen” kautta löytyy oivalluksen iloa.Toki tarvitaan myös rautaista ammattitaitoa.Matematiikkaan hurahtamisesta on ollut myöhemminelämässä paljon iloa. Informaatiotulvan keskellä matematiikkatarjoaa käsitteitä ja välineitä symmetrioiden,relaatioiden, suuruusluokkien, todennäköisyyksienja paradoksien löytämiseen. Ilman matematiikkaa edessäon vain lista faktoja. Päätöksenteossa matematiikanavulla voi etsiä olennaista faktojen sydämestä.Maailma on matematiikkaaYhteiskunta muuttuu läpikotaisin matemaattiseksi.Kaikkialla on digitaalista tekniikkaa, ja sitä myötä matematiikkasoluttautuu kaikkialle. Tietokoneet, kännykät,digikamerat ja mp3-soittimet tikittävät matemaattistenoperaatioiden ja teoreemojen tahtiin.Samalla rakennetaan yhä isompia ohjelmistoja. Koskaanennen ihmiskunta ei ole luonut näin suuria ja täsmällisiäaineettomia rakenteita. Yhteiskunta toimii –jos toimii – matematiikan varassa.Maailman todennäköisesti käytetyin tietokoneohjelmaGoogle rakentuu matematiikalle. Hakutulosten laittaminenparemmuusjärjestykseen perustuu miljardejatuntemattomia muuttujia sisältävän ominaisarvotehtävänratkaisemiseen.Toisaalta matematiikan sulautumisessa ihmisten kulttuuriinei ole mitään uutta. Kaikissa ihmisessä tikittääElämän salaisuutta jäljittämässäJos tänä päivänä lähtisin opiskelemaan, panostaisinmatemaattisiin taitoihin mutta suuntaisin biotieteisiin.Elämän salaisuus on kirjoitettu matematiikan kielellä.Luin vastikään Arja Hokkasen suomentaman JohnGribbinin teoksen ”Syvä yksinkertaisuus – Kaaos,kompleksisuus ja elämän synty” (Ursa, 2005). Selkäpiissänikulkevat väreet, kun mietin kaoottisten dynaamistensysteemien kaunista teoriaa. Tulee mieleen nuoruudeninto sukeltaa uusiin asioihin.Toinen matematiikan ihmeitä viime aikoina valottanutteos on ”SYNC - The Emerging Science of SpontaneousOrder” (Hyperion, 2003). Steven Strogatz etsii vastaustakysymykseen, miksi Malesian tulikärpäset tuikkivatöisin samaan tahtiin. Kirja osoittaa, että synkronisoituminenon väistämätöntä johtuen takaisinkytkennänepälineaarisuudesta.Leikkiä ja ymmärrystäEn halua painostaa tyttäriäni matematiikan opiskeluun.Mutta olisi ihanaa, jos heistä kasvaisi uteliaita,leikkisiä, kyseenalaistavia ja totuutta arvostavia nuorianaisia. Siis sellaisia, joilla on lämmin suhde matematiikkaanja tähän arvoitukseen, jota kutsumme maailmaksi.Kadehdin unkarilaisilta matematiikan opetuksen perinnettä,jossa kehitetään tasapainoisesti oppilaan kykyjä.Menetelmä on hyvin suunniteltu, mutta vaatii opettajiltapaljon, ehkä jopa pitkän perinteen matematiikanopettamisen kehittämisestä.Koululaisena kävelylenkeillä Kainuun kirkkaan tähtitaivaanalla juttelin isäni kanssa maailmankaikkeudenihmeistä. Hän ei koskaan esittänyt tietävänsä asioistaenemmän kuin minä, eikä tarjonnut valmiita vastauksia.Tämä ei-tietäväisyys ruokki uteliaisuuttani ja antoitilaa omille oivalluksille.Odotan kiinnostuneena, millaista matematiikkaa tyttäreniminulle opettavat.

Solmu 23Neljä lukion oppikirjaaMatti LehtinenMaanpuolustuskorkeakouluTarmo Hautajärvi, Jukka Ottelin ja Leena Wallin-Jaakkola: Laudatur 1. Funktiot ja yhtälöt. Otava 2005.216 s. 11,50 euroa.Markku Halmetoja, Kaija Häkkinen, Jorma Merikoski,Lauri Pippola, Harry Silfverberg, Timo Tossavainen,Teuvo Laurinolli ja Timo Sankilampi: MatematiikanTaito 1 – 2. Funktiot ja yhtälöt, Polynomifunktiot.WSOY 2005. 245 s. 20,80 euroa.Jukka Kangasaho, Jukka Mäkinen, Juha Oikkonen, JohannesPaasonen, Maija Salmela ja Jorma Tahvanainen:Pitkä matematiikka 1. Funktiot ja yhtälöt. WSOY2004. 198 s. 11,40 euroa.Pekka Kontkanen, Riitta Liira, Kerkko Luosto, JuhaNurmi, Riikka Nurmiainen, Anja Ronkainen ja SiskoSavolainen: Pyramidi 1. Lukion pitkä matematiikka.Funktiot ja yhtälöt. Tammi 2005. 152 s. 16,30 euroa.Opetushallituksen Määräys 33/11/2003, Lukion opetussuunnitelmanperusteet, jakaa lukion pitkän matematiikanpakollisen osuuden 10 kurssiksi, joista ensimmäinenon nimeltään Funktiot ja yhtälöt. Varsin kattavastanimestä huolimatta määräys esittää kurssille melkovaatimattomat tavoitteet. Kurssin tavoitteena on,että ”oppilas vahvistaa yhtälöiden ratkaisemisen ja prosenttilaskennantaitojaan, syventää verrannollisuuden,neliöjuuren ja potenssin käsitteiden ymmärtämistään,tottuu käyttämään neliöjuuren ja potenssin laskusääntöjä,syventää funktiokäsitteen ymmärtämistään tutkimallapotenssi- ja eksponenttifunktioita ja oppii ratkaisemaanpotenssiyhtälöitä”. Keskeisiksi sisällöiksi opetussuunnitelmalistaa neljä asiaa, potenssifunktion, potenssiyhtälöidenratkaisemisen, juuret ja murtopotenssinsekä eksponenttifunktion. Melkein kaikki tavoitteetja asiat esiintyvät myös yläasteen opetussuunnitelmassa.Koko lukion oppimäärää koskevat yleistavoitteetkuten se, että oppilaan toivotaan näkevän matemaattisentiedon loogisena rakenteena, ymmärtävän ja osaavankäyttää matematiikan kieltä ja harjaantuvan käsittelemääntietoa matematiikalle ominaisella tavalla,koskevat tietysti tätäkin kurssia. Määräys on määräys,mutta miten käsitellään mielekkäästi eksponenttifunktiotailman logaritmeja?Opetussuunnitelmasta tulee todellista opetusta pitkältioppikirjojen kautta. Tilanne, jossa oppikirjan kirjoittajaon Funktiot ja yhtälöt -kurssia realisoidessaan, eiole aivan helppo. Kurssin sisällöksi määritellyt asiatovat melkein kaikki jo peruskoulussa käsiteltyjä. Käytäntöosoittaa, että lukioon tulevat oppilaat hallitsevatne usein ällistyttävän huonosti. Kertaus olisi siistarpeen. Mutta eteenpäinkin pitäisi joutua, jopa jatkoopintokelpoisuudenja korkeakoulukypsyyden tuottavaaosaamista kohti. Aines sallisi toki ihan matemaattisestikunnollisenkin lähestymisen, mutta silloin pitäisioikeastaan alkaa alusta. Opettaako matematiikkaa vailaskentoa?Tarkastelen tässä neljää Funktiot ja yhtälöt -kurssia

24 Solmuvarten kirjoitettua oppikirjaa. Näistä Matematiikantaito sisältää myös kurssin Polynomiyhtälöt, muttakaikki, mitä kirjasta sanon, koskee vain ensimmäistäkurssia. Kurssi päättyy varsinaisesti kirjan sivulle119, mutta molempia kursseja koskevat tehtävien ratkaisuosasto,hakemisto ja kirjaan sisältyvä suomalaisenglantilainensanasto. Valikoimani ei ole aivan kattava,mutta siihen sisältyvillä kirjoilla opetetaan valtaosaalukiolaisistamme. Näkökulmani on henkilökohtainen,matematiikan ammattilaisen ja harrastajan.Tarkastellaan tuotteita ensin päällisin puolin. Kaikkiovat pehmeäkantisia, kannesta värikkäitä. Pyramidi onsentin muita korkeampi ja kapeampi, muiden mitatovat 24 × 18, 4 cm 2 . Kirjojen painot ovat verrannollisiasivumääriin: Laudatur kuormittaa lukiolaisen reppua412 grammalla, Matematiikan taito 431 grammalla(mutta siinä on kaksi kurssia), Pitkä matematiikka354 grammalla ja Pyramidi 313 grammalla. Laudatur,Matematiikan taito ja Pitkä matematiikka on painettukahdella värillä. Pyramidissa on useampia värejä,muttei kuitenkaan varsinaista värikuvitusta. Kaikkienkirjojen tekstiä on eri perustein painettu osin värillisiinlaatikkoihin. Laudaturin ja Pyramidin sekä pääosinPitkän matematiikan kirjasin näyttää 12 pisteen kokoiselta,Matematiikan taidon 11 pisteen. Pitkän matematiikanharjoitustehtävät on painettu 11 pisteen kirjasimella.Kirjojen tekijöiden lukumäärä vaihtelee kolmesta kahdeksaan.Molemmat sukupuolet ovat edustettuina. Pyramidintekijöistä enemmistö on naisia. Joka kirjan tekemiseenon osallistunut toimittaja, ulkoasun suunnittelijoitaja piirtäjä tai piirtäjiä. Yhdenkään kirjan yhteyteenei ole painettu mitään taustatietoja tekijöistä,lukuun ottamatta Laudaturin esipuheen marginaaliinpainettuja, ilmeisesti jossain määrin kirjan tekijöitäesittäviä karikatyyrejä. Matematiikan taidon, Pitkänmatematiikan ja Pyramidin tekijöistä kirjoittaja tunnistaasekä yliopistomatemaatikkoja että lukionopettajia,Google-haku paljastaa Laudaturin tekijät lukionopettajiksi. Tekijöiden taustaorganisaatioiden esille panoon julkaisuissa aika tavallista, mutta syystä tai toisestasitä ei näissä yhteyksissä ole tehty.Pyramidia lukuun ottamatta kirjojen alkuun on painettukurssin ajankäyttöehdotus. Matematiikan taitoehdottaa 30 tunnin käyttämistä, Pitkä matematiikka28:aa ja Laudatur 27:ää. Varsinaisen kurssiasian lisäksiLaudaturissa on yksityiskohtaisia opiskeluohjeita,matematiikan olemusta pohdiskeleva jakso, sekä esiintaitettavakeskeisten asioiden lista, Pitkässä matematiikassasivun mittainen lainaus yllä kuvatusta opetussuunnitelmasta,Matematiikan taidossa suomalaisenglantilainensanasto ja Pyramidissa keskeisten matemaattistenmerkintöjen luettelo. Kaikissa kirjoissa onuseampia mallikokeita, asiahakemisto ja periaatteessakaikki tehtävät kattava harjoitustehtävien vastausluettelo.Numeroituja harjoitustehtäviä on Laudaturissa420, Matematiikan taidossa 489, Pitkässä matematiikassa370 ja Pyramidissa 290. Kun harjoitustehtävätyypillisesti jakautuu useisiin alakohtiin, ei edellisiälukuja voi suoraan pitää kirjan tehtävien lukumääränä.Melkein kaikki harjoitustehtävät ovat suoraviivaisiaja mekaanisia. Laudatur ja Matematiikan taito käyttävätmuutaman kerran mahdollisuutta teettää jonkintekstissä ilmoitusasiana annetun kaavan todistus harjoitustehtävänä.Tätä mahdollisuutta olisi esimerkiksierilaisten potenssien laskusääntöjen kohdalla varmaanvoinut käyttää huomattavasti enemmänkin.Painettua tekstiä ja erityisesti matematiikan kieltäkäyttäviä julkaisuja lukemaan tottuneelle oppikirjojenyleisilme tuottaa hämmennystä. Varsin suuri osa etenkinLaudaturin, Pitkän matematiikan ja Pyramidin sivuistavaikuttaa taulutyöskentelyn kopioinnilta tai jäljittelyltä.Kaavat ovat virkeyhteydestä irrallisina, välimerkeittäja mahdollisesti viereen kirjoitettujen selittävienmerkintöjen saattelemina. Vain Matematiikantaito noudattaa matemaattisen ja suomenkielisen esityksenkäytänteitä. Jos olisin äidinkielenopettaja, olisinhuolissani. Koska olen matematiikan opettaja, olenhuolissani. En näe syytä totuttaa oppilaita vääriin kirjoitustapoihinja antaa heille oppikirjan auktoriteetinkautta käsitys, että matemaattista esitystä kirjoitettaisiineri säännöin kuin muuta kieltä. Aivan omituinenon myös Laudaturissa ja Pitkässä matematiikassapuhtaimmin viljelty, mutta myös Pyramidissa käytettytapa antaa tehtävä esimerkiksi seuraavassa muodossa:Laske. a) ( √ 2 √ (√ ) 2105) 2 b) √2Kyllä ne laskettavat ovat laske-predikaatin objekteja jakuuluvat samaan virkkeeseen, pistettä ennen ja pilkullatai yhdistävällä konjunktiolla erotettuna! Matematiikantaitoa lukuun ottamatta kirjat noudattavat myöskäytäntöä, jossa ratkaistun esimerkin jälkeen kirjoitetaanuusi, Vastaus-sanalla alkava kappale, jossa vastaustoistetaan. Miksi ihmeessä? Eihän näin mekaanisestitehdä tosielämässä. Ymmärtävä ja ajatteleva ihminen,jollaisia oppilaat ovat jo ennen opetusta ja toivottavastivielä enemmän opetuksen jälkeen, oivaltaa varmastivastauksen olemuksen muutenkin. Myös opetussuunnitelmanyleiset lauseet matematiikan kielestä edellyttäisivätmalliksi kelpaavaa oppikirjatekstiä. Taulutyylilläon paikkansa taululla, mutta silloin esitykseen liittyvättaululle kirjoittajan suulliset täydennykset.Paino- ja huolimattomuusvirheitä sattuu lukijan silmäänoikeastaan yllättävän vähän. Laskutehtäviä entoki tarkistanut kuin pistokokein, mutta suorastaanvääriä vastauksia ei tullut silmiini yhtään.Kaikki oppikirjat ottavat huomioon opetussuunnitelmanviitteet. Kaikissa on erityiset suoraan ja kääntäenverrannollisuutta käsittelevät lukunsa ja samoin prosenttilaskentaakäsitellään joka kirjassa. Näille aiheil-

Solmu 25le omistettujen sivujen osuus vaihtelee 14 % ja 20 %välillä koko sivumäärästä. Kaikki kirjat alkavat lukujoukkojenja niiden nimien esittelyllä. Pitkä matematiikkatosin esittelee vain luonnolliset luvut, kokonaisluvutja rationaaliluvut (mutta mainitsee irrationaaliluvutalaviitteessä myöhemmin). Laudatur ja Pyramidimäärittelevät reaalilukuvälit. Kumpikin käyttää avoimenja puoliavoimen välin merkintänä merkintästandardiinkinpäätynyttä bourbakistista ]a, b[:tä mainitsemattaperinteistä ja laajassa käytössä olevaa (a, b):tä.Muutama huomio yksittäisistä kirjoistaLaudaturLaudaturin matemaattinen typografia on kirjoista heikoin.Jakoviiva ei ole osoittajan ja nimittäjän keskivaiheillaja itseisarvomerkkien paikka on kummallinen.Laudaturin yksi tunnuspiirre on tuttavallinen, voisi jopasanoa lukijaa kosiskeleva tyyli. Esimerkeissä ja tehtävissäesiintyy usein nimellisiä ihmisiä ja kotieläimiä.Kirjaa koristelevat myös hauskat pikku piirrokset. ”Testaahyvä taitosi” on kertaustehtäväosion otsikko. Toisaaltailmaisun täsmällisyys jättää paljon toivomisenvaraa. Muutama lainaus sattumanvaraisista paikoista:”Kokonaisluvut koostuvat kolmesta osasta”. ”Lukujoukkoilmaistaan lukusuoralla piirtämällä joukon vastinpisteet,jolloin saadaan reaalilukuväli.” ”Kun murtoluvussasekä osoittaja että nimittäjä kerrotaan samallaluvulla, kyseessä on luvun laventaminen.” (Kerrotaanehkä nollalla, ykkösellä tai puolella?) Ihan helposti eivoi sulattaa ilmoitusta että x < a on usein sama kuinjoukko {x | x = R, x < a} (∈-merkki kyllä määritellään,joten yhtäläisyysmerkki lienee painovirhe).Toinen Laudaturin erityispiirre on matematiikan historianja sanojen etymologian esillä pitäminen. Aivanuuttakin tietoa sain. Tyhjän joukon ∅ merkki kuuluuolevan norjalainen ö ”norjalaisen matemaatikon HenrikAbelin kunniaksi”. Mahtaisiko Niels Henrik Abel ollatällaisesta kunnianosoituksesta iloissaan? – Bourbakiltaperäisin olevan merkin isäksi on muistelmissaan ilmoittautunutAndre Weil. Hän ei puhu Abelista mitään,mutta sanoo kyllä olleensa bourbakisteista ainoa,joka tunsi tanskalais-norjalaiset aakkoset. Entä intialainenmatemaatikko Bhaskarachara? Matematiikanhistoriat tuntevat hyvin vain Bhaskara I:n ja BhaskaraII:n, mutta toki: George Chevergese Josephin TheCrest of the Peacock kertoo, että Bhaskara II yhä laajaltitunnetaan Intiassa Laudaturin ilmoittamalla nimellä,joka tarkoittaa Bhaskara-opettajaa.Laudaturissa on muitakin omintakeisuuksia. Oppiaineidenkytkentöjä osoitetaan esittämällä siellä täälläharjoitustehtäviä vaihtelevilla kielillä. Suomen murteeteivät kuitenkaan esiinny. Ainakin kerran tämä ideapotkaisee takaisin. Suorakulmaisen särmiön kanssa samankokoistakuutiota ilmeisesti tavoittelevan tehtävänenglanninkielinen muoto on melko vaikeaymmärteinen,kun sanat cube ja cubic ovat sekoittuneet ja särmänpituuden sijasta on ajauduttu kysymään kuution pituutta.Ja fysikaalinen ongelma, jossa johtimen (”wire”)resistanssi on kääntäen verrannollinen siinä kulkevaanvirtaan on koko lailla omituinen.Opetussuunnitelma esittää Funktiot ja yhtälöt -kurssinyhdeksi tavoitteeksi yhtälöiden ratkaisemisen japrosenttilaskennan taitojen vahvistamista. Laudatur eivarsinaisesti käsittele yhtälönratkaisua, mutta prosenttilaskusta– jonka voisi mukavasti nähdä ensimmäisenasteen yhtälön yhtenä soveltamisalueena – kehitetäänoma teoriansa erikseen opeteltavine kaavoineen, kuten”q-kertaiseksi kasvaneen luvun suuruuden nousemisenkaava” q ·100 %−100 %. Prosenttilaskuissa usein esiintyvänlausekkeen 1 +p Laudatur nimeää prosenttikertoimeksi.100Matematiikan taitoIlmaisun kannalta Matematiikan taito erottuu selvästiLaudaturista ja muista vertailtavista teoksista. Matematiikantaito on kirjoitettu niin kuin matematiikkaakirjoitetaan. Virkkeet ovat täydellisiä, välimerkit oikein.Ilmaisu on lyhyttä, ytimekästä ja yleensä täsmällistä.Asiallisuutta korostaa värillisten laatikoiden säästäväinenkäyttö. Hammastellakin aina voi. ”Yhtälö säilyyyhtäpitävänä, kun yhtälön puolet vaihdetaan” (mihin?).Taulutyöskentelyn näköisiä esimerkkejä on vähemmänkuin muissa kirjoissa. Tosin heti ensimmäistätekstisivua koristaa sekä tavallinen painovirhe että saksankielisenilmaisun kielioppivirhe (die ganze Zahlen,Z:n selityksenä). Makuasia, mutta en osaa pitää kirjanomaksumaa keisarillista monikon ensimmäistä persoonaaneutraalia passiivia parempana. Kun kirjoitetaanesimerkiksi, että ”kutsumme luvun toista potenssia tämänluvun neliöksi”, viestitään, että kyseessä olisi esimerkiksikirjassa tai muuten meidän kesken omaksuttusopimus, eikä universaali ilmaisutapa.Matematiikan taidon tieteellisyys tuntuu menevän paikoinsnobbailun puolelle, esimerkiksi silloin, kun kirjaerottelee, ilmeisesti lineaarialgebraa ennakoiden, eronensimmäisen asteen yhtälön ax + b = 0, a ≠ 0, jollaon aina yksikäsitteinen ratkaisu, ja lineaarisen yhtälönax + b = 0, jolla voi olla ratkaisuja 0 tai äärettömänpaljon.Matematiikan taidon aines on jaettu neljään lukuunja 14 alalukuun. Jokainen alaluku alkaa pienellä kysymyksellätai kysymyssarjalla, joiden vastauksia ei olesisällytetty vastausosastoon. Mielenkiintoista olisi ollutsaada tekijöiden vastaus heidän esittämäänsä kysymykseen,mitä saadaan, kun 2 kerrotaan itsellään viisikertaa. Onko se 64 (viisi kertolaskua) vai 32 (viisikakkosta)? Neliöjuuren laskusääntöjä käsittelevän alaluvunensimmäinen silmään osuva kaava on √ 16 + 9 =

26 Solmu√16 +√9, tosin niin esitettynä, että kaavan totuuttatai epätotuutta kysytään.Matematiikan taito selviää prosenttilaskennasta – taisiis sen taitojen vahvistamisesta pienimmällä sivumäärällä.Itseäni Matematiikan taidon esitys viehätti, siinäon kaikki tarpeellinen eikä muuta. Matematiikan taidonmielestä 1 +p on kasvukerroin. Pitkä matematiikkaja Pyramidi selviävät prosenttilaskuista nimeä-100mättä tätä lauseketta.Matematiikan taito on Laudaturin ohella kirjoista ainoa,joka varsinaisesti käsittelee yhtälöparin ratkaisemisen.Matematiikan taitoon kuuluu pieni lisäosio Tutkimusjaharrastustehtäviä. Siihen sisältyy riemastuttavakommentti Paavo Lipposen esivanhempien lukumäärästä.Kirjassa on myös varsin asiallinen kolmisivuinensuomalais-englantilainen sanasto. Sitä, miksi juuri tällainenliite on katsottu tarpeelliseksi, ei kirjassa mitenkäänperustella.Pitkä matematiikkaPitkän matematiikan yleisote on mahdollisimman yksinkertainen,useimmissa kohdissa vain välttämättömäntiedon esittelevä. Tämän tiedon esittely on sinänsäkorrektia. Oletan, että tekijöillä on kirkkaasti mielessälukion aloittava nuori, vielä oikeastaan peruskoululainen.Varsinainen asia näkyy painetun vihreälle taustalle.Vihreitä juovia on harvakseltaan, koska suuri osakirjan painopinta-alasta on käytetty väljästi ladottuihinesimerkkeihin. Hiukan lisäeloa tekstiin tuovat alaviitteet,joissa aika ajoin tuodaan esiin myös vaihtoehtoisiatarkastelutapoja.Ainoana kirjoista Pitkä matematiikka ei jaottele ainestahierarkkisesti numeroituihin lukuihin. Ainesta onmyös vähemmän kuin muissa kirjoissa. Reaalilukujaja reaalilukujen joukon osajoukkoja ei esitellä eikä nimetä,funktiota yleisenä käsitteenä ei määritellä eikäongelmia, jotka liittyvät irrationaaliseen eksponenttiinmainita. Kirjassa esiintyy kyllä merkintä x r , ilman, ettär olisi spesifioitu rationaaliluvuksi. Edes merkintääf(x) ei Pitkä matematiikka esittele. Kirja ei sentääntule toimeen ”funktio x 2 ”-tyyppisittä ilmauksitta. Pitkänmatematiikan mukaan opiskeleva jää myös paitsiesimerkiksi tiedosta √ a 2 = |a|, koska itseisarvon käsitettätai merkkejä ei mainita. Pitkä matematiikka eiharrasta viittauksia historiaan. Ilmeisesti ainoina poikkeuksinaovat alaviitteissä annetut tiedot leikkimielisengoogol-sanan alkuperästä, sanan prosentti etymologiastasekä neliöjuurimerkin alkuperästä.Pitkän matematiikan vastausosasto erottuu muista kirjoista.Siinä on monien tehtävien kohdalla kerrottu numeerisenvastauksen lisäksi myös siitä, miten vastaukseenpäädytään. Kirjan tehtävät ovat muutoin melkoyksioikoisia laskuja.Pitkä matematiikka on pelkistetty esitys myös siinämielessä, että kirjaan ei ole kerätty mitään ylimääräistäliitetietoa.PyramidiPyramidi esittelee ainoana vertailtavista kirjoista verrannollisuudenja prosenttilaskun ensimmäisen asteenyhtälön sovelluksina. Tämä on linjassa matematiikanolemuksen ja siis myös matematiikan opetuksen perustavoitteenkanssa: erillisiä prosenttilaskun tai verrannollisuudenteoriota ei tietenkään tarvita. Pyramidikaanei kuitenkaan uskalla käsitellä verrannollisuudenkahta lajia funktio-käsitteen alla, jonne se loogisestikuuluisi.Pyramidi ottaa heti alkuun käyttöön lukujoukkojenmerkinnät ja ∈-merkin. Mutta kun esimerkkitehtävissätulee vastaan yhtälöitä, jotka osoittautuvat identtisiksi,kirja neuvoo merkitsemään vastaukseksi ”x ∈ R”.Tätä ei oikein voi ymmärtää: tokihan aina reaaliyhtälönratkaisulle x tuo relaatio pätee, riippumatta siitä,onko ratkaisuja muitakin.Pyramidin kirjoitustyyli on täsmällistä ja ytimekästä.Pyramidi on kirjoista esimerkiksi ainoa, joka määritteleevastaluvun korrektisti.Pyramidi menee muutamissa kohdin selvästi kilpailijoitaanpitemmälle asiasisällöissä. Se on ainoa kirja, jossaotetaan kantaa muuttujan sisältävän lausekkeen itseisarvoon.Ensimmäisen asteen yhtälöiden keralla käsitelläänmyös yhtälöparin ratkaiseminen. Kirjan lopussaolevassa liitteessä esitetään reaaliluvun aksiomaattinenmääritelmä täydellisyysaksioomaa myöten ja kerrotaantämän aksiooman tarpeellisuus kurssimateriaaliinkuuluvan tyypin x n = a yhtälöiden ratkaisujen olemassaolonkannalta. Pyramidi numeroi harjoitustehtävätkolminumeroisesti: ensimmäinen numero on samallakirjan luvun numero. Viimeisen tehtävän numerosta729 ei siis ole heti syytä säikähtää. Harjoitustehtävät,jotka sisältävät samalla muuta tietoa, ovat hyviä, muttaaiheuttavat lisähaasteen: todeksi esitettyjen tietojentulisi mielellään sitä olla. Pyramidi esittää prosenttilaskutehtävän,jonka perustietona on, että Suomessa olisivuonna 2004 ollut 27 100-vuotiasta. Totta tietysti,mutta lukija toki uskoo tarkoitettavan 100-vuotiaidenkokonaismäärää, joka on ollut ainakin kymmenkertainen.Pyramidissa on harjoitustehtävä, jossa yhtälöstä x = 1johdetaan puolittain x:llä kertomalla ja puolittain x vähentämälläensin yhtälö x(x − 1) = 0, josta x = 0. Tehtävänkysymys on, missä virhe tehdään. Vastausosastonmukaan ei olisi saanut kertoa x:llä eikä jakaa 0:lla.Tämä ei ihan päde: jos kerran on sanottu, että x = 1,niin toki x 2 = x ja edelleen x(x − 1) = 0. Mutta tästäei voi päätellä, että x = 0, kuten vastauksessa oikeinsanotaankin. – Olennaisesti sama tehtävä on Matematiikantaidon Tutkimus- ja harrastustehtäväosastossa.

Solmu 27”Toimituksen valinta”Solmun toimitus ei laita kirjoja jonoon. Kirjojen eriominaisuuksia voi painottaa hyvin eri tavoin ja hyvinperustein valita niistä minkä hyvänsä. Mutta jos valitsisinkirjaa vain omien mieltymyksieni perusteella, ottaisinMatematiikan taidon. Pyramidi olisi vahva kilpailija.Kolmannelle sijalle asettaisin Pitkän matematiikan.Laudatur tuntuu yrittävän liikaa ja liian monenlaista.Oikeasti en ole valinnan edessä. Kurssimuotoisen lukionyksi perustelu oli, että opetuksen modulaarisuushelpottaa siirtymistä. Tällöin jokaiselle 10 pitkän matematiikankurssillekin pitäisi voida valita juuri sen kohdallaparas oppikirja. Epäilen, mahtaisiko tämä onnistua.Nyt esillä olleissa kirjoissa on päällispuolisesta samanlaisuudestahuolimatta aika paljon eroja, joiden voiolettaa kertautuvan sarjojen myöhemmissä osissa. Valintapäätöksenitulisi siis perustua sarjojen muihinkinosiin. Solmu pyrkii palaamaan aiheeseen näiden osaltamyöhemmin.

28 SolmuSolmun tehtäviäPekka AlestaloMatematiikan laitos, Teknillinen korkeakouluYksinkertaisilta näyttävät käytännön tilanteet saattavatusein johtaa ongelmiin, joiden ratkaiseminen on yllättävänhankalaa.Tilanne 1: Painoaan tarkkaileva lammas haluaa rajoittaasyömistään ja kiinnittää sen vuoksi itsensä köydellä(miten ihmeessä?) ympyrän muotoisen aitauksensareunatolppaan.Ongelma 1: Jos aitauksen säde on 10 m, niin mikäolisi sopiva köyden pituus, jotta lammas pystyisi syömääntäsmälleen puolet aitauksen ruohosta? Vastaukseksiriittää likiarvo.Tilanne 2: Lieriön muotoiseen tyhjään juomalasiinasetetaan mehupilli. Pilli on kallellaan niin, että senalaosa on pohjan reunassa ja yläosa yltää juuri ja juurilasin yläreunaan (vastakkaisella puolella). Lasiin kaadetaanhitaasti limonadia, jolloin pilliin kiinnittyy kupliaja se alkaa nousta lasista. Oletetaan, että pillin alapäänousee suoraan ylöspäin lasin sivua pitkin ja että pillintukipiste lasin yläreunassa pysyy samana (eli tilanne ontietyssä mielessä kaksiulotteinen). Juoman kaatamistajatketaan niin kauan, että lasi täyttyy ja pilli on lopuksivaakasuorassa.Ongelma 2: Oletetaan, että lasin poikkileikkauksenhalkaisija on 1 ja pillin pituus 2. Kuinka korkealla (lasinyläreunasta mitattuna) pillin yläpää enimmilläänon, ja mikä on tällöin pillin kaltevuuskulma vaakatasoonnähden? Anna vastauksena korkeuden tarkka jalikiarvo sekä kulman likiarvo.Ongelmien ratkaisuihin palataan Solmun seuraavassanumerossa.

Solmu 29KilpailumatematiikkaaMatti LehtinenMaanpuolustuskorkeakouluVuoden 2006 Pohjoismainen matematiikkakilpailu pidettiin30. maaliskuuta kotirataotteluna kaikissa viidessäPohjoismaassa. Kilpailu on kutsukilpailu, ja kukinmaa saa nimetä osallistujiksi enintään 20 matematiikkaolympialaisiinvalmennettavaa koululaista. Tehtävätlaadittiin ja vastaukset arvosteltiin tänä vuonnaTanskassa. Kilpailutehtävät ja niiden ratkaisut löytyvätmm. linkistä http://www.math.helsinki.fi/˜smy/olympia/PM/nmc94_06.pdf. Kilpailun voitti NorjanJørgen Rennemo, mutta kymmenen parhaan joukossaoli neljä Suomen edustajaa: Sebastian Dumitrescu(Tampereen lyseo) jaetulla toisella, Esa Vesalainen(Helsingin matematiikkalukio) ja Janne Kokkala(Päivölän opisto) jaetulla neljännellä sekä Ville Pettersson(Someron lukio) jaetulla kahdeksannella sijalla.Toinen kevään matematiikkakilpailutapahtuma oli Päivölänopistossa 22. huhtikuuta 2006 toisen kerran järjestettyPythagoraan Polku -joukkuematematiikkakilpailu.Kilpailuun osallistui kaikkiaan 12 nelihenkistä lukiolaisjoukkuettaHelsingistä, Espoosta, Tampereelta,Nurmosta, Porista, Hämeenlinnasta ja Päivölästä. Kilpailijatratkaisivat joukkueina kolmessa tunnissa kaikkiaan20 tehtävän sarjaa. Kilpailun epävirallisen luonteenvuoksi sen tuloksia ei julkisteta. Solmu julkaiseeohessa Pythagoraan polun tehtävät. Ratkaisuihin palataanmyöhemmin.1. Neljä avaruuden pistettä, A, B, C ja O sijaitseeniin, että ∠AOB = α, ∠BOC = β ja ∠AOC = γ,∠ABC = ∠ABO = ∠OBO = 90 ◦ . Todista, ettäcos γ = cos α cos β.2. Olkoon f : [0, 1] → R + jatkuvasti derivoituva funktio,jolle f(0) = 1, f(1) = 2 ja kaikille x ∈ [0, 1] päteeTodista, että1f(x) < f ′ (x).∫ 10f(x) dx < 7 3 .3. Määritä kaikki derivoituvat funktiot f, jotka toteuttavatseuraavat ehdot: kaikilla reaaliluvuilla x jay pätee f(x + y) = f(x) + f(y) + xy(x + y). Lisäksilimx→0f(x)x = 1.4. Olkoon f : R → R kahdesti jatkuvasti derivoituva jaa ∈ R. Osoita, että kaikilla x päteef(x) = f(a) + f ′ (a)(x − a) +∫ xaf(t)(x − t) dt.5. Määritä funktion f(x) = x√ x ääriarvot välillä[ 1 2 , ∞[.

30 Solmu6. Olkoot Ax 2 + Bxy + Cy 2 ja ax 2 + bxy + cy 2 lausekkeita,jotka ovat positiivisia kaikilla x, y ∈ R ja joidensuhde ei ole vakio. Todista, että (aB − bA)x 2 + 2(aC −cA)xy + (bC − cB)y 2 saa sekä positiivisia että negatiivisiaarvoja.7. Todista, että konveksin (kuperan) monikulmion ympärivoidaan piirtää suunnikas, jonka pinta-ala on korkeintaankaksi kertaa niin suuri kuin monikulmion.8. Päivolään tullessa eräs lukiolainen tulee aina samallajunalla ja hänet haetaan juna-asemalta aina täsmälleenjunan tullessa. Kerran tämä lukiolainen tulikin asemallejunalla joka oli asemalla tasan tuntia ennen kuin junamillä hän yleensä tulisi. Lukiolainen lähti kävelemäänasemalta kohti kotia ja jonkin ajan kuluttua häntä hakemaanlähtenyt auto tuli vastaan ja vei kävelijän Päivolään10 minuuttia etuajassa. Eräänä toisena päivänätämä sama päivöliini tuli asemalle tasan puoli tuntiaetuajassa ja lähti taas kävelemään hakijaansa vastaan.Kuinka monta minuuttia etuajassa hän nyt saapui Päivolään?9. Kuutio värjätään kuudella eri värillä, yksi väri kutakintahkoa kohti. Kuinka monella eri tavalla kuutiovoidaan tällöin värjätä, jos kaksi värjäystä ovat samojasilloin, kun ne voidaan saada toisistaan kääntämälläkuutio?10. Kolme r-säteistä ympyrää sijaitsee siten, että kunkinkehä kulkee kahden muun ympyrän keskipisteenkautta. Laske ympyröiden yhteisen osan pinta-ala.11. Kolmiot ABC ja DEF ovat yhteneviä, ja pisteidenA, B, C ja D, E, F kiertosuunta on sama. SivutAB ja DE eivät ole yhdensuuntaisia. Osoita, että janojenAD, BE ja CF keskinormaalit leikkaavat toisensasamassa pisteessä.12. Kuperan nelikulmion vastakkaisten sivujen keskipisteidenyhdistysjanat jakavat nelikulmion neljäksiosanelikulmioksi. Todista, että kahden sellaisen osanelikulmion,joilla ei ole yhteisiä sivuja, alojen summa onsama kuin toisen samanlaisen osanelikulmioparin nelikulmioidenalojen summa.13. Neljä pistettä sijaitsee avaruudessa, ja ne eivät sijaitsesamassa tasossa. Kuinka monta tasoa voidaanlaittaa tähän avaruuteen niin, että kaikki neljä pistettäovat yhtä etäällä tasosta?14. Kuinka monta kertaa täytyy heittää kolikkoa, ettätodennäköisyys kolmelle peräkkäiselle klaavalle onvähintään 25 %?15. Jana katkaistaan kolmeen palaan kahdesta satunnaisestakohdasta. Mika on todennäköisyys, että saaduistakolmesta palasta voidaan muodostaa kolmio?16. 1500 km levyisen aavikon vastakkaisilla laidoillaon kaupungit. Kuorma-auto lähtee toisesta kaupungistaliikkeelle ja yrittää päästä vastakkaiseen kaupunkiin.Kuorma-auto pystyy kantamaan mukanaan polttoainetta900 km pituiseen matkaan kerrallaan. Kuormaautovoi jättää kuinka suuren tahansa osan lastistaanaavikolle varastoksi, josta se voi täydentää tankkiaankun tarvitsee. Jos oletamme, että polttoainetta ei häviälainkaan varastoinnin aikana, niin kuinka kuorma-autopääsee aavikon yli toiseen kaupunkiin mahdollisimmanvähällä polttoaineen kulutuksella? Kuinka paljon polttoainettatarvitaan?17. Määritellään jono (a n ) asettamalla a 0 = 0 jaa n+1 = 3a n + 1, kun n > 1. Osoita, että a 2010 on jaollinen121:llä.18. Positiiviset kokonaisluvut x, y ja z toteuttavat yhtälöparin{x2= 2(y + z),x 6 = y 6 + z 6 + 31(y 2 + z 2 ).Määritä x, y, z.19. Määritä kaikki positiiviset kokonaisluvut n, joille1 n + 2 n + 3 n + 4 n on jaollinen 10:llä.20. Kaksi pelaajaa pelaa peliä kirjoittamalla vuorotellentaululle positiivisia kokonaislukuja, jotka ovat korkeintaank. Jo kirjoitetun luvun tekijää ei saa kirjoittaa.Pelin häviää se, joka ei enää voi kirjoittaa lukua.Millä k:n arvoilla pelin aloittava pelaaja voi aina voittaapelin?