Kongruenssi - Lahti

lahti.fi

Kongruenssi - Lahti

KongruenssiKongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Määritelmä. Olkoon a,b,m ∈ Z ja m ≥ 1. Luku a on kongruenttiluvun b kanssa modulo m, jos m jakaa (a − b):n. Toisin sanoena ≡ b (mod m) ⇔ m | (a − b) .Määritelmän perusteella on a ≡ b (mod m) ⇔ a = b + qm.Esimerkkejä.35 ≡ 11 (mod 24), koska 24 | (35 − 11).Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 10


KongruenssiKongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Määritelmä. Olkoon a,b,m ∈ Z ja m ≥ 1. Luku a on kongruenttiluvun b kanssa modulo m, jos m jakaa (a − b):n. Toisin sanoena ≡ b (mod m) ⇔ m | (a − b) .Määritelmän perusteella on a ≡ b (mod m) ⇔ a = b + qm.Esimerkkejä.35 ≡ 11 (mod 24), koska 24 | (35 − 11).98 ≢ 4 (mod 24), koskaHannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 10


KongruenssiKongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Määritelmä. Olkoon a,b,m ∈ Z ja m ≥ 1. Luku a on kongruenttiluvun b kanssa modulo m, jos m jakaa (a − b):n. Toisin sanoena ≡ b (mod m) ⇔ m | (a − b) .Määritelmän perusteella on a ≡ b (mod m) ⇔ a = b + qm.Esimerkkejä.35 ≡ 11 (mod 24), koska 24 | (35 − 11).98 ≢ 4 (mod 24), koska 24 ∤ (98 − 4).Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 10


KongruenssiKongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Määritelmä. Olkoon a,b,m ∈ Z ja m ≥ 1. Luku a on kongruenttiluvun b kanssa modulo m, jos m jakaa (a − b):n. Toisin sanoena ≡ b (mod m) ⇔ m | (a − b) .Määritelmän perusteella on a ≡ b (mod m) ⇔ a = b + qm.Esimerkkejä.35 ≡ 11 (mod 24), koska 24 | (35 − 11).98 ≢ 4 (mod 24), koska 24 ∤ (98 − 4).6 ≡ −15 (mod 7), koskaHannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 10


KongruenssiKongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Määritelmä. Olkoon a,b,m ∈ Z ja m ≥ 1. Luku a on kongruenttiluvun b kanssa modulo m, jos m jakaa (a − b):n. Toisin sanoena ≡ b (mod m) ⇔ m | (a − b) .Määritelmän perusteella on a ≡ b (mod m) ⇔ a = b + qm.Esimerkkejä.35 ≡ 11 (mod 24), koska 24 | (35 − 11).98 ≢ 4 (mod 24), koska 24 ∤ (98 − 4).6 ≡ −15 (mod 7), koska 7 | (6 − (−15))Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 10


KongruenssiKongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Määritelmä. Olkoon a,b,m ∈ Z ja m ≥ 1. Luku a on kongruenttiluvun b kanssa modulo m, jos m jakaa (a − b):n. Toisin sanoena ≡ b (mod m) ⇔ m | (a − b) .Määritelmän perusteella on a ≡ b (mod m) ⇔ a = b + qm.Esimerkkejä.35 ≡ 11 (mod 24), koska 24 | (35 − 11).98 ≢ 4 (mod 24), koska 24 ∤ (98 − 4).6 ≡ −15 (mod 7), koska 7 | (6 − (−15))43 ≡ x (mod 7)Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 10


KongruenssiKongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Määritelmä. Olkoon a,b,m ∈ Z ja m ≥ 1. Luku a on kongruenttiluvun b kanssa modulo m, jos m jakaa (a − b):n. Toisin sanoena ≡ b (mod m) ⇔ m | (a − b) .Määritelmän perusteella on a ≡ b (mod m) ⇔ a = b + qm.Esimerkkejä.35 ≡ 11 (mod 24), koska 24 | (35 − 11).98 ≢ 4 (mod 24), koska 24 ∤ (98 − 4).6 ≡ −15 (mod 7), koska 7 | (6 − (−15))43 ≡ x (mod 7) ⇔ 7 | (43 − x)Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 10


KongruenssiKongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Määritelmä. Olkoon a,b,m ∈ Z ja m ≥ 1. Luku a on kongruenttiluvun b kanssa modulo m, jos m jakaa (a − b):n. Toisin sanoena ≡ b (mod m) ⇔ m | (a − b) .Määritelmän perusteella on a ≡ b (mod m) ⇔ a = b + qm.Esimerkkejä.35 ≡ 11 (mod 24), koska 24 | (35 − 11).98 ≢ 4 (mod 24), koska 24 ∤ (98 − 4).6 ≡ −15 (mod 7), koska 7 | (6 − (−15))43 ≡ x (mod 7) ⇔ 7 | (43 − x)⇔ 43 − x = k · 7 (k ∈ Z)Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 10


KongruenssiKongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Määritelmä. Olkoon a,b,m ∈ Z ja m ≥ 1. Luku a on kongruenttiluvun b kanssa modulo m, jos m jakaa (a − b):n. Toisin sanoena ≡ b (mod m) ⇔ m | (a − b) .Määritelmän perusteella on a ≡ b (mod m) ⇔ a = b + qm.Esimerkkejä.35 ≡ 11 (mod 24), koska 24 | (35 − 11).98 ≢ 4 (mod 24), koska 24 ∤ (98 − 4).6 ≡ −15 (mod 7), koska 7 | (6 − (−15))43 ≡ x (mod 7) ⇔ 7 | (43 − x)⇔ 43 − x = k · 7 (k ∈ Z)⇔ x = 43 − k · 7Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 10


KongruenssiKongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Määritelmä. Olkoon a,b,m ∈ Z ja m ≥ 1. Luku a on kongruenttiluvun b kanssa modulo m, jos m jakaa (a − b):n. Toisin sanoena ≡ b (mod m) ⇔ m | (a − b) .Määritelmän perusteella on a ≡ b (mod m) ⇔ a = b + qm.Esimerkkejä.35 ≡ 11 (mod 24), koska 24 | (35 − 11).98 ≢ 4 (mod 24), koska 24 ∤ (98 − 4).6 ≡ −15 (mod 7), koska 7 | (6 − (−15))43 ≡ x (mod 7) ⇔ 7 | (43 − x)⇔ 43 − x = k · 7 (k ∈ Z)⇔ x = 43 − k · 7⇔ x = ...,50,43,36,...,8,1, −6, −13,...Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 10


KongruenssiKongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Määritelmä. Olkoon a,b,m ∈ Z ja m ≥ 1. Luku a on kongruenttiluvun b kanssa modulo m, jos m jakaa (a − b):n. Toisin sanoena ≡ b (mod m) ⇔ m | (a − b) .Määritelmän perusteella on a ≡ b (mod m) ⇔ a = b + qm.Esimerkkejä.35 ≡ 11 (mod 24), koska 24 | (35 − 11).98 ≢ 4 (mod 24), koska 24 ∤ (98 − 4).6 ≡ −15 (mod 7), koska 7 | (6 − (−15))43 ≡ x (mod 7) ⇔ 7 | (43 − x)⇔ 43 − x = k · 7 (k ∈ Z)⇔ x = 43 − k · 7⇔ x = ...,50,43,36,...,8,1, −6, −13,...Siis kaikki ne luvut, joiden jakojäännös 7:llä jaettaessa on sama kuinluvun 43 jakojäännös eli 1.Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 10


Kongruenssi ja jakojäännös• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Lause. a ≡ b (mod m), jos ja vain jos jakolaskuilla a m ja b m onsama jakojäännös.Todistus.’⇒’’⇐’Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 10


Kongruenssin ominaisuuksia• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Refleksiivisyys: a ≡ a (mod m)Symmetrisyys: Jos a ≡ b (mod m), niin b ≡ a (mod m)Transitiivisuus: Jos a ≡ b (mod m) ja b ≡ c (mod m),niin a ≡ c (mod m)Transitiivisuuden todistus.Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 4 / 10


Kongruenssin ominaisuuksia• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Refleksiivisyys: a ≡ a (mod m)Symmetrisyys: Jos a ≡ b (mod m), niin b ≡ a (mod m)Transitiivisuus: Jos a ≡ b (mod m) ja b ≡ c (mod m),niin a ≡ c (mod m)Transitiivisuuden todistus.Koska m | (a − b) ja m | (b − c), niin a − b = pm ja b − c = qm.Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 4 / 10


Kongruenssin ominaisuuksia• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Refleksiivisyys: a ≡ a (mod m)Symmetrisyys: Jos a ≡ b (mod m), niin b ≡ a (mod m)Transitiivisuus: Jos a ≡ b (mod m) ja b ≡ c (mod m),niin a ≡ c (mod m)Transitiivisuuden todistus.Koska m | (a − b) ja m | (b − c), niin a − b = pm ja b − c = qm.Nyt on a − c =Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 4 / 10


Kongruenssin ominaisuuksia• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Refleksiivisyys: a ≡ a (mod m)Symmetrisyys: Jos a ≡ b (mod m), niin b ≡ a (mod m)Transitiivisuus: Jos a ≡ b (mod m) ja b ≡ c (mod m),niin a ≡ c (mod m)Transitiivisuuden todistus.Koska m | (a − b) ja m | (b − c), niin a − b = pm ja b − c = qm.Nyt on a − c =pm + b + qm − b =Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 4 / 10


Kongruenssin ominaisuuksia• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Refleksiivisyys: a ≡ a (mod m)Symmetrisyys: Jos a ≡ b (mod m), niin b ≡ a (mod m)Transitiivisuus: Jos a ≡ b (mod m) ja b ≡ c (mod m),niin a ≡ c (mod m)Transitiivisuuden todistus.Koska m | (a − b) ja m | (b − c), niin a − b = pm ja b − c = qm.Nyt on a − c =pm + b + qm − b =m(p + q), jotenHannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 4 / 10


Kongruenssin ominaisuuksia• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Refleksiivisyys: a ≡ a (mod m)Symmetrisyys: Jos a ≡ b (mod m), niin b ≡ a (mod m)Transitiivisuus: Jos a ≡ b (mod m) ja b ≡ c (mod m),niin a ≡ c (mod m)Transitiivisuuden todistus.Koska m | (a − b) ja m | (b − c), niin a − b = pm ja b − c = qm.Nyt on a − c =pm + b + qm − b =m(p + q), joten m | (a − c) janäin a ≡ c (mod m).Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 4 / 10


Kongruenssin laskusäännöt• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• KongruenssinlaskusäännötOlkoon a ≡ b (mod m) ja c ≡ d (mod m) ja k ∈ Z. Silloin1. a + c ≡ b + d (mod m)• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 10


Kongruenssin laskusäännöt• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• KongruenssinlaskusäännötOlkoon a ≡ b (mod m) ja c ≡ d (mod m) ja k ∈ Z. Silloin1. a + c ≡ b + d (mod m)2. a − c ≡ b − d (mod m)• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 10


Kongruenssin laskusäännöt• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Olkoon a ≡ b (mod m) ja c ≡ d (mod m) ja k ∈ Z. Silloin1. a + c ≡ b + d (mod m)2. a − c ≡ b − d (mod m)3. ac ≡ bd (mod m)Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 10


Kongruenssin laskusäännöt• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Olkoon a ≡ b (mod m) ja c ≡ d (mod m) ja k ∈ Z. Silloin1. a + c ≡ b + d (mod m)2. a − c ≡ b − d (mod m)3. ac ≡ bd (mod m)4. a + k ≡ b + k (mod m)Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 10


Kongruenssin laskusäännöt• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Olkoon a ≡ b (mod m) ja c ≡ d (mod m) ja k ∈ Z. Silloin1. a + c ≡ b + d (mod m)2. a − c ≡ b − d (mod m)3. ac ≡ bd (mod m)4. a + k ≡ b + k (mod m)5. ka ≡ kb (mod m)Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 10


Kongruenssin laskusäännöt• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Olkoon a ≡ b (mod m) ja c ≡ d (mod m) ja k ∈ Z. Silloin1. a + c ≡ b + d (mod m)2. a − c ≡ b − d (mod m)3. ac ≡ bd (mod m)4. a + k ≡ b + k (mod m)5. ka ≡ kb (mod m)6. a n ≡ b n (mod m), (n ∈ N)Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 10


Kongruenssin laskusäännöt• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Olkoon a ≡ b (mod m) ja c ≡ d (mod m) ja k ∈ Z. Silloin1. a + c ≡ b + d (mod m)2. a − c ≡ b − d (mod m)3. ac ≡ bd (mod m)4. a + k ≡ b + k (mod m)5. ka ≡ kb (mod m)6. a n ≡ b n (mod m), (n ∈ N)7. p(a) ≡ p(b) (mod m) kaikilla kokonaiskertoimisillapolynomeilla pHannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 10


Kongruenssin laskusäännöt• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Olkoon a ≡ b (mod m) ja c ≡ d (mod m) ja k ∈ Z. Silloin1. a + c ≡ b + d (mod m)2. a − c ≡ b − d (mod m)3. ac ≡ bd (mod m)4. a + k ≡ b + k (mod m)5. ka ≡ kb (mod m)6. a n ≡ b n (mod m), (n ∈ N)7. p(a) ≡ p(b) (mod m) kaikilla kokonaiskertoimisillapolynomeilla pKohtien 1, 2 ja 3 perusteella kongruensseja voidaan laskea yhteen,vähentää ja kertoa puolittain. Kohtien 4 ja 5 mukaan kongruenssiinvoidaan lisätä puolittain mielivaltainen luku ja kongruenssi voidaankertoa millä tahansa luvulla. Lisäksi kohdan 6 mukaan kongruenssivoidaan korottaa puolittain potenssiin.Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 10


Kongruenssin laskusäännöt• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• KongruenssinlaskusäännötJos syt(k,m) = 1, niinka ≡ kb (mod m) ⇔ a ≡ b (mod m)• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 6 / 10


Esimerkkejä• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt1. Mikä on pienin luonnollinen luku, jonka kanssa 3 21 onkongruentti modulo 4? Toisin sanoen mikä on jakolaskun3 21 : 4 jakojäännös?• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 7 / 10


Esimerkkejä• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 21. Mikä on pienin luonnollinen luku, jonka kanssa 3 21 onkongruentti modulo 4? Toisin sanoen mikä on jakolaskun3 21 : 4 jakojäännös?3 ≡ −1 (mod 4)Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 7 / 10


Esimerkkejä• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 21. Mikä on pienin luonnollinen luku, jonka kanssa 3 21 onkongruentti modulo 4? Toisin sanoen mikä on jakolaskun3 21 : 4 jakojäännös?3 ≡ −1 (mod 4)3 21 ≡ (−1) 21 (mod 4)Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 7 / 10


Esimerkkejä• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 21. Mikä on pienin luonnollinen luku, jonka kanssa 3 21 onkongruentti modulo 4? Toisin sanoen mikä on jakolaskun3 21 : 4 jakojäännös?3 ≡ −1 (mod 4)3 21 ≡ (−1) 21 (mod 4)3 21 ≡ −1 (mod 4)Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 7 / 10


Esimerkkejä• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 21. Mikä on pienin luonnollinen luku, jonka kanssa 3 21 onkongruentti modulo 4? Toisin sanoen mikä on jakolaskun3 21 : 4 jakojäännös?3 ≡ −1 (mod 4)3 21 ≡ (−1) 21 (mod 4)3 21 ≡ −1 (mod 4)3 21 ≡ 3 (mod 4)Täten jakojäännös on 3.Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 7 / 10


Esimerkkejä• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt2. Osoita, että 7 n − 4 n on jaollinen luvulla 3, kun n ∈ Z + . Toisinsanoen, osoita, että jakolaskun (7 n − 4 n ) : 3 jakojäännös onnolla.• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 8 / 10


Esimerkkejä• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 22. Osoita, että 7 n − 4 n on jaollinen luvulla 3, kun n ∈ Z + . Toisinsanoen, osoita, että jakolaskun (7 n − 4 n ) : 3 jakojäännös onnolla.7 ≡ 1 (mod 3)Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 8 / 10


Esimerkkejä• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 22. Osoita, että 7 n − 4 n on jaollinen luvulla 3, kun n ∈ Z + . Toisinsanoen, osoita, että jakolaskun (7 n − 4 n ) : 3 jakojäännös onnolla.7 ≡ 1 (mod 3)7 n ≡ 1 n (mod 3)Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 8 / 10


Esimerkkejä• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 22. Osoita, että 7 n − 4 n on jaollinen luvulla 3, kun n ∈ Z + . Toisinsanoen, osoita, että jakolaskun (7 n − 4 n ) : 3 jakojäännös onnolla.7 ≡ 1 (mod 3)7 n ≡ 1 n (mod 3)7 n ≡ 1 (mod 3)Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 8 / 10


Esimerkkejä• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 22. Osoita, että 7 n − 4 n on jaollinen luvulla 3, kun n ∈ Z + . Toisinsanoen, osoita, että jakolaskun (7 n − 4 n ) : 3 jakojäännös onnolla.7 ≡ 1 (mod 3)7 n ≡ 1 n (mod 3)7 n ≡ 1 (mod 3)4 ≡ 1 (mod 3)Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 8 / 10


Esimerkkejä• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 22. Osoita, että 7 n − 4 n on jaollinen luvulla 3, kun n ∈ Z + . Toisinsanoen, osoita, että jakolaskun (7 n − 4 n ) : 3 jakojäännös onnolla.7 ≡ 1 (mod 3)7 n ≡ 1 n (mod 3)7 n ≡ 1 (mod 3)4 ≡ 1 (mod 3)4 n ≡ 1 n (mod 3)Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 8 / 10


Esimerkkejä• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 22. Osoita, että 7 n − 4 n on jaollinen luvulla 3, kun n ∈ Z + . Toisinsanoen, osoita, että jakolaskun (7 n − 4 n ) : 3 jakojäännös onnolla.7 ≡ 1 (mod 3)7 n ≡ 1 n (mod 3)7 n ≡ 1 (mod 3)4 ≡ 1 (mod 3)4 n ≡ 1 n (mod 3)4 n ≡ 1 (mod 3)Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 8 / 10


Esimerkkejä• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 22. Osoita, että 7 n − 4 n on jaollinen luvulla 3, kun n ∈ Z + . Toisinsanoen, osoita, että jakolaskun (7 n − 4 n ) : 3 jakojäännös onnolla.7 ≡ 1 (mod 3)7 n ≡ 1 n (mod 3)7 n ≡ 1 (mod 3)4 ≡ 1 (mod 3)4 n ≡ 1 n (mod 3)4 n ≡ 1 (mod 3)Täten 7 n − 4 n ≡Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 8 / 10


Esimerkkejä• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 22. Osoita, että 7 n − 4 n on jaollinen luvulla 3, kun n ∈ Z + . Toisinsanoen, osoita, että jakolaskun (7 n − 4 n ) : 3 jakojäännös onnolla.7 ≡ 1 (mod 3)7 n ≡ 1 n (mod 3)7 n ≡ 1 (mod 3)4 ≡ 1 (mod 3)4 n ≡ 1 n (mod 3)4 n ≡ 1 (mod 3)Täten 7 n − 4 n ≡ 1 − 1 ≡ 0 (mod 3), joten 7 n − 4 n onjaollinen luvulla 3.Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 8 / 10


Lineaarinen kongruenssi — ratkaisutapa 1• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Lineaarinen kongruenssi on muotoa ax ≡ b (mod m). Senratkaisu voidaan palauttaa Diofantoksen yhtälön ratkaisemiseksi.ax ≡ b (mod m) ⇔Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 9 / 10


Lineaarinen kongruenssi — ratkaisutapa 1• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Lineaarinen kongruenssi on muotoa ax ≡ b (mod m). Senratkaisu voidaan palauttaa Diofantoksen yhtälön ratkaisemiseksi.ax ≡ b (mod m) ⇔ m | (ax − b)⇔Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 9 / 10


Lineaarinen kongruenssi — ratkaisutapa 1• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Lineaarinen kongruenssi on muotoa ax ≡ b (mod m). Senratkaisu voidaan palauttaa Diofantoksen yhtälön ratkaisemiseksi.ax ≡ b (mod m) ⇔ m | (ax − b)⇔ ax − b = my⇔Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 9 / 10


Lineaarinen kongruenssi — ratkaisutapa 1• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Lineaarinen kongruenssi on muotoa ax ≡ b (mod m). Senratkaisu voidaan palauttaa Diofantoksen yhtälön ratkaisemiseksi.ax ≡ b (mod m) ⇔ m | (ax − b)⇔ ax − b = my⇔ ax − my = b.Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 9 / 10


Lineaarinen kongruenssi — ratkaisutapa 1• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Lineaarinen kongruenssi on muotoa ax ≡ b (mod m). Senratkaisu voidaan palauttaa Diofantoksen yhtälön ratkaisemiseksi.ax ≡ b (mod m) ⇔ m | (ax − b)⇔ ax − b = my⇔ ax − my = b.Tekemällä muuttujan vaihto y = −y, saadaanax ≡ b(mod m) ⇔ ax + my = bHannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 9 / 10


Lineaarinen kongruenssi — ratkaisutapa 1• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Lineaarinen kongruenssi on muotoa ax ≡ b (mod m). Senratkaisu voidaan palauttaa Diofantoksen yhtälön ratkaisemiseksi.ax ≡ b (mod m) ⇔ m | (ax − b)⇔ ax − b = my⇔ ax − my = b.Tekemällä muuttujan vaihto y = −y, saadaanax ≡ b(mod m) ⇔ ax + my = bTäten kongruenssilla ax ≡ b (mod m) on ratkaisu, josssyt(a,m) | b.Esimerkki. Ratkaise 9x ≡ 2 (mod 7).Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 9 / 10


Lineaarinen kongruenssi — ratkaisutapa 1• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Lineaarinen kongruenssi on muotoa ax ≡ b (mod m). Senratkaisu voidaan palauttaa Diofantoksen yhtälön ratkaisemiseksi.ax ≡ b (mod m) ⇔ m | (ax − b)⇔ ax − b = my⇔ ax − my = b.Tekemällä muuttujan vaihto y = −y, saadaanax ≡ b(mod m) ⇔ ax + my = bTäten kongruenssilla ax ≡ b (mod m) on ratkaisu, josssyt(a,m) | b.Esimerkki. Ratkaise 9x ≡ 2 (mod 7).On siis ratkaistava yhtälö 9x + 7y = 2.Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 9 / 10


Lineaarinen kongruenssi — ratkaisutapa 1• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Lineaarinen kongruenssi on muotoa ax ≡ b (mod m). Senratkaisu voidaan palauttaa Diofantoksen yhtälön ratkaisemiseksi.ax ≡ b (mod m) ⇔ m | (ax − b)⇔ ax − b = my⇔ ax − my = b.Tekemällä muuttujan vaihto y = −y, saadaanax ≡ b(mod m) ⇔ ax + my = bTäten kongruenssilla ax ≡ b (mod m) on ratkaisu, josssyt(a,m) | b.Esimerkki. Ratkaise 9x ≡ 2 (mod 7).On siis ratkaistava yhtälö 9x + 7y = 2. Ratkaisut ovatx = −6 + 7t, t ∈ Z 11 Yhtälö on ratkaistu aikaisemmin.Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 9 / 10


Lineaarinen kongruenssi — ratkaisutapa 2• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Jos lineaarisessa kongruenssissa ax ≡ b (mod m) moduli m onpieni, voidaan kokeilemalla etsiä yksittäisratkaisut ja niiden avullakirjoittaa yleinen ratkaisu.Esimerkki. Ratkaise 9x ≡ 2 (mod 7).Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 10 / 10


Lineaarinen kongruenssi — ratkaisutapa 2• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Jos lineaarisessa kongruenssissa ax ≡ b (mod m) moduli m onpieni, voidaan kokeilemalla etsiä yksittäisratkaisut ja niiden avullakirjoittaa yleinen ratkaisu.Esimerkki. Ratkaise 9x ≡ 2 (mod 7).Yksittäisratkaisuehdokkaat ovat 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 10 / 10


Lineaarinen kongruenssi — ratkaisutapa 2• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Jos lineaarisessa kongruenssissa ax ≡ b (mod m) moduli m onpieni, voidaan kokeilemalla etsiä yksittäisratkaisut ja niiden avullakirjoittaa yleinen ratkaisu.Esimerkki. Ratkaise 9x ≡ 2 (mod 7).Yksittäisratkaisuehdokkaat ovat 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.Kokeilemalla todetaan, että 9 · 1 ≡ 2 (mod 7). Muut ehdokkaateivät toteuta kongruenssia.Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 10 / 10


Lineaarinen kongruenssi — ratkaisutapa 2• KongruenssiKongruenssi jajakojäännös• Kongruenssinominaisuuksia• Kongruenssinlaskusäännöt• Esimerkkejä• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 1• Lineaarinenkongruenssi —ratkaisutapa 2Jos lineaarisessa kongruenssissa ax ≡ b (mod m) moduli m onpieni, voidaan kokeilemalla etsiä yksittäisratkaisut ja niiden avullakirjoittaa yleinen ratkaisu.Esimerkki. Ratkaise 9x ≡ 2 (mod 7).Yksittäisratkaisuehdokkaat ovat 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.Kokeilemalla todetaan, että 9 · 1 ≡ 2 (mod 7). Muut ehdokkaateivät toteuta kongruenssia.Täten ratkaisu on x = 1 + 7t, t ∈ Z.Jos mikään ehdokas ei ole ratkaisu, kongruenssilla ei ole ratkaisua.Jokainen ehdokas on testattava!Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 10 / 10


EsimerkkiKongruenssin 4x ≡ 2 (mod 6) yksittäisratkaisuehdokkaat ovat 0, 1, 2, 3, 4, 5.Näistä x = 2 ja x = 5 toteuttavat kongruenssin, koska 6 | (4 · 2 − 2) ja 6 |(4 · 5 − 2). Muut ehdokkaat eivät toteuta kongruenssia.Ratkaisu on siis x = 2 + 6t tai x = 5 + 6t, eli yhdistettynä x = 2 + 3t, t ∈ Z.Hannu Lehto 25. tammikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – note 1 of slide 10

More magazines by this user
Similar magazines