paperituloste - Lahti

lahti.fi
  • No tags were found...

paperituloste - Lahti

YmpyräHannu LehtoLahden Lyseon lukioKeskipistemuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Normaalimuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Tangentti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Suoran ja ympyrän leikkauspisteet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Kahden ympyrän leikkauspisteet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101


••Keskipistemuotor•(x 0 ,y 0 )•(x,y)√(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 = r(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 = r 2KeskipistemuotoEsimerkki. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (1, −2) ja säde 3?(x − 1) 2 + (y − (−2)) 2 = 3 2(x − 1) 2 + (y + 2) 2 = 92 / 10EsimerkkiJanan päätepisteet ovat (2, −1) ja (6,2). Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka kalkaisijana jana on?2r(6,2)1(x 0 ,y 0 )•−1−11 2 3 4 5 6(2,−1)3 / 10EsimerkkiYmpyrän keskipiste on (−3,0) ja se sivuaa suoraa 2x − y + 3 = 0. Mikä on ympyrän yhtälö?321(−3,0)•−5−4−3−2−11−1−2−34 / 102


••NormaalimuotoYmpyrän keskipistemuodossa: (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 = r 2(x − 1) 2 + (y + 2) 2 = 9x 2 − 2 · x · 1 + 1 2 + y 2 + 2 · y · 2 + 2 2 = 9x 2 + y 2 − 2x + 4y − 4 = 0Ympyrän yhtälö normaalimuodossa: x 2 + y 2 + ax + by + c = 0x 2 + y 2 + 6x − 3y − 5 = 0x 2 + 6x + 3 2 + y 2 − 3y + ( )3 22= 5 + 3 2 + ( )3 22(x + 3) 2(y − 3 2) 2(x + 3) 2 + ( y − 3 2) 2 = 1614Keskipiste on (−3, 3 2 ) ja säde √16 1 4 = √654 = √652 . 5 / 10EsimerkkiMillä parametrin a arvoilla yhtälö x 2 + y 2 − 4x + 10y + a + 1 = 0 esittää ympyrää?6 / 10Tangentti1. Keskipisteen etäisyys tangentista on säde.2. Ympyrällä ja tangentilla on yksi yhteinen piste.3. Tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseenpiirrettyä sädettä vastaan.Esimerkki. Onko suora y = 3 4 x − 1 4 ympyrän x2 + y 2 − 2x − 4y + 4 = 0 tangentti?7 / 103


EsimerkkiMääritä niiden ympyrän x 2 + y 2 = 9 tangenttien yhtälöt, jotka ovat suoran y = 2x − 1 suuntaiset.3y=2x−121−3−2−1−11 2 3−2−3Tapa 1. Keskipisteen etäisyys tangentista on säde.Tapa 2. Tangentilla ja ympyrällä on täsmälleen yksi yhteinen piste.8 / 10Suoran ja ympyrän leikkauspisteetSuoralla ja ympyrällä voi olla kaksi, yksi tai ei yhtään leikkauspistettä.Esimerkki. Määritä suoran x − y = −2 ja ympyrän x 2 + y 2 = 9 leikkauspisteet.{ x − y = −2x 2 + y 2 = 9Ratkaisuperiaate: Ratkaise suoran yhtälöstä toinen muuttuja ja sijoita se ympyrän yhtälöön.9 / 10Kahden ympyrän leikkauspisteetEsimerkki. Määritä ympyröiden x 2 + y 2 + 2x − 5 = 0 ja x 2 + y 2 + x + y − 4 = 0 leikkauspisteet.{ x 2 + y 2 + 2x − 5 = 0x 2 + y 2 + x + y − 4 = 0Ratkaisuperiaate: Eliminoidaan muuttujien toisen asteen termit yhteenlaskukeinolla.10 / 104

More magazines by this user
Similar magazines