Kompleksiluvut ja raja-arvot

Insinöörimatematiikka IA
Harjoitustehtäviä
1. Osoita, että z1 + z2 = z1 + z2 ja z1 · z2 = z1 · z2 pätee kaikille kompleksiluvuille
z1 ja z2. Ohje: Kirjoita z1 = x1+y1i, z2 = x2+y2i ja käytä liittoluvun, summan
ja tulon määritelmää suoraan. Osatulos: z1z2 = (x1y1 − x2y2) − (x1y2 + x2y1)i.
2. Päättele edellisen tehtävän perusteella, että (∀n ∈ N) z n = z n .
3. Osoita, että reaalikertoimiselle polynomille p(z) = cnz n +cn−1z n−1 +. . . c1z+c0,
ci ∈ R pätee p(z) = p(z). Päättele tästä, että nollakohdan liittoluku on myös
välttämättä nollakohta, jos polynomi on reaalikertoiminen. Ohje: Sovella kahta
edellistä tehtävää ja havaintoa c = c kaikille reaaliluvuille c.
4. Osoita, että (∀z ∈ C) e z = e z . Ohje: kirjoita z = x + iy, käytä liittoluvun ja
kompleksisen eksponenttifunktion määritelmää, Eulerin kaavaa, kosinin parillisuutta
sekä sinin parittomuutta.
5. Määrää kompleksiluvun z = −1 + i √ 3 polaariesitys z = reiθ . Ohje: Piirrä
kuva ja huomaa vaihekulmaa varten, että luku sijaitsee kompleksitason
II neljänneksessä (luvut, joiden vaihekulma on välillä [ π
2 , π]). Vastaus: |z|2 =
(−1) 2 + ( √ 3) 2 = 4, joten r = |z| = 2. Vaihekulmaa varten kirjoitettava yh-
tälöstä tan θ =
√ 3
toisin sanoen θ = − π
−1 = −√ 3 on siis valittava ratkaisu, jolle pätee θ ∈ [ π
2
3
+ π = 2π
3
, π],
. Tällöin z = 2ei 2π
3 . Huomaa että tangentti
on π-jaksoinen funktio, toisin sanoen tan(x + π) = tan(x) aina kun tan(x) on
määritelty.
6. Määrää kompleksiluvun z = −1 − i √ 3 polaariesitys. Ohje: Piirrä kuva ja huomaa
vaihekulmaa varten, että luku sijaitsee kompleksitason III neljänneksessä
(vaihekulma välillä [π, 3π
π
2 ] tai yhtä hyvin väliltä [−π, − 2 ]). Itseisarvo on sama
kuin edellisessä tehtävässä, mutta vaihekulma määrättävä yhtälöstä tan θ = √ 3
ehdon θ ∈ [π, 3π
4π
π
2 ] tai θ ∈ [−π, − 2 ] vallitessa. Vastaus: z = 2ei 3 (yhtä hyvin
2π
−i z = 2e 3 ).
7. Määrää kompleksiluvun z = 1 − i √ 3 polaariesitys. Ohje: Piirrä kuva, vertaa
π
−i aiempiin kohtiin. Vastaus: z = 2e 3 .
8. Määrää kompleksiluvun z = 1 + i √ 3 polaariesitys. Ohje: Piirrä kuva, vertaa
π
i aiempiin kohtiin. Vastaus: z = 2e 3 .
9. Esitä kaikki luvun 8i kuutiojuuret muodossa x + iy. Ohje: etsi yksi polaariesityksen
avulla, muut saat kertomalla löydetyn kolmansilla ykkösenjuurilla.
π
π
i i Osavastaus: Polaariesitys on 8e 2 , yksi kuutiojuuri on siis 2e 6 . Kolmannet yk-
2π 2π
i i kösenjuuret ovat e 3 , e 3 ·2 2π
i ja e 3 ·3 . Laske tulot ja etsi esitykset x+iy Eulerin
kaavan avulla.
10. Etsi polaariesitys kompleksiluvulle eiπ + √ π
i 3e 2 . Ohje: etsi aluksi kummallekin
luvulle esitys x + iy ja vertaa aiempaan tehtävään.
11. Etsi potenssin (1 + i) 1+i kaikki arvot ja päähaaran arvo.
Vastaus: (1 + i) 1+i = e (1+i) Log(1+i) , joten ensin on selvitettävä Log(1 + i):n
kaikki arvot. Tätä varten etsitään polaariesitys 1 + i = √ π
i 2e 4 = √ π
i( 2e 4 +k·2π)
(k ∈ Z). Tästä nähdään, että Log(1 + i) = ln √ 2 + i( π
4 + k · 2π) ja edelleen
(1 + i) Log(1 + i) = ln √ 2 + i( π
4 + k · 2π) + i ln √ 2 − ( π
4 + k · 2π) = ln √ 2 −

π
4
− k · 2π + i( π
4 + k · 2π + ln √ 2), missä k ∈ Z. Täten kysytyt potenssin kaikki
arvot ovat
e ln √ 2− π
π
−k·2π+i( 4 4 +k·2π+ln √ 2)
,
missä k ∈ Z. Yllä oleva esitys voitaisiin Eulerin kaavaa käyttämällä muuntaa
muotoon x+iy, mutta tämä ei tuo lisäinformaatiota esitykseen. Päähaaran arvo
saadaan kiinnitämällä logaritmin Log(1 + i) = ln √ 2 + i( π
4 + k · 2π) vaihekulma
+ k · 2π välille (−π, π], mikä merkitsee sitä, että pitää valita k = 0.
π
4
12. Etsi potenssin (1 + i) 3 kaikki arvot a) edellisen tehtävän menetelmällä b) Newtonin
binomikaavalla. Montako eri arvoa saat edellisen tehtävän menetelmällä?
13. Kokonaislukukertoimisille polynomeille p(x) pätee seuraava tulos: Jos rationaaliluku
r = m
n on polynomin nollakohta, niin m jakaa polynomin vakiokertoimen
ja n jakaa polynomin korkeimman asteen kertoimen. Etsi tämän tiedon
perusteella polynomin p(x) = x3 − 6x2 − 4x + 5 nollakohdat. Ohje: selvitä,
mitkä ovat korkeimman asteen kertoimen jakajat n ja vakiokertoimen jakajat
m. Kokeile tämän jälkeen kaikkia mahdollisia rationaalijuuriehdokkaita m
n , ja
nollakohta löytyy, suorita jakolasku ensimmäisen asteen polynomilla. Jäljelle
jääneen toisen asteen polynomin nollakohdat saadaan tunnetulla tavalla. Vastaus:
x3 − 6x2 − 4x + 5 = (x − 5)(x2 − x − 1). Nollakohdat ovat 5, 1±√5 2 .
14. Etsi polynomin x3 + 4x2 + 4x + 3 kaikki nollakohdat. Ohje: Kuten edellisessä
kohdassa, selvitä mahdolliset rationaaliset nollakohdat. Osavastaus: x3 +4x2 +
4x + 3 = (x + 3)(x2 + x + 1). Nollakohdat ovat −3, −1±i√3 2 .
15. Etsi polynomin x 4 + 2x 2 + 1 kaikki nollakohdat. Ohje: Sijoita t = x 2 , ratkaise
yhtälö t:n suhteen ja selvitä sitten x:n arvot. Vastaus: x = ±i.
16. Etsi osamurtohajotelma lausekkeelle
1
(x + 1)(x − 2)(x − 5) .
Ratkaisu: Aluksi voidaan todeta, että nimittäjän tekijöiden syt on 1. Koska
kukin nimittäjän tekijä on astetta 1, ovat osoittajat vakioita osamurtohajotelmassa:
1
A B C
= + + . (1)
(x + 1)(x − 2)(x − 5) x + 1 x − 2 x − 5
Yllä olevan hajotelman oikea puoli voidaan kirjoittaa yhdelle jakoviivalle, jolloin
saadaan lauseke
A(x − 2)(x − 5) + B(x + 1)(x − 5) + C(x + 1)(x − 2)
(x + 1)(x − 2)(x − 5)
= (A + B + C)x2 + (−7A − 4B − C)x + (10A − 5B − 2C)
.
(x + 1)(x − 2)(x − 5)
Kertoimia vertaamalla saadaan yhtälöryhmä
⎧
⎨
⎩
A +B +C = 0
−7A −4B −C = 0
10A −5B −2C = 1
jonka ratkaisuksi Gaussin menetelmällä saadaan A = 1
1 1
18 , B = − 9 , C = 18 .
,

Toinen ratkaisutapa:
Kerro yhtälö (1) puolittain tekijällä x + 1, jolloin saadaan
1
B(x + 1)
= A +
(x − 2)(x − 5) x − 2
ja sijoita yhtälöön (2) x = −1. Näin saadaan yhtälö
1
= A + 0 + 0,
(−1 − 2)(−1 − 5)
C(x + 1)
+ , (2)
x − 5
siis A = 1
18 . Kerro samoin yhtälö (1) puolittain tekijällä x − 2 ja sijoita x = 2,
jne. Tämä tapa johtaa yleensä tulokseen nopeammin, mutta on huomattava,
että tätä tapaa voi käyttää vain, jos nimittäjän tekijät ovat 1. astetta
ja niiden syt on 1.
17. Todista raja-arvo lim(3x−1)
= 5 oikeaksi nojautuen raja-arvon määritelmään.
x→2
Vastaus: Tulee näyttää toteen, että d(3x−1, 5) saadaan miten pieneksi tahansa
(pienemmäksi kuin mielivaltaisesti valittu positiiviluku ɛ), kunhan x valitaan
riittävän läheltä lukua 2, ts., kunhan d(x, 2) > 0 on riittävän pieni. Tätä varten
kirjoitetaan d(3x − 1, 5) = |3x − 1 − 5| = 3 |x − 2| = 3d(x, 2), mistä nähdään,
että d(3x − 1, 5) < ɛ, kunhan d(x, 2) < ɛ
3 = δɛ.
18. Todista raja-arvo lim(x
x→2 2 −1) = 3 oikeaksi raja-arvon määritelmään nojautuen.
Vastaus: d(x2 − 1, 3) = x2 − 4 = (x + 2)(x − 2) = (x + 2)d(x, 2). Jos x on niin
lähellä lukua 2, että d(x, 2) < 1, on lisäksi voimassa x + 2 = x − 2 + 4 =
d(x, 2) + 4 < 5 ja siksi d(x2 − 1, 3) < 5d(x, 2). Jälkimmäinen termi saadaan
pienemmäksi kuin ɛ valitsemalla d(x, 2) < ɛ
5 . Näin ollen d(x2−1, 3) < ɛ, kunhan
d(x, 2) < 1 ja d(x, 2) < ɛ
ɛ
5 , siis kunhan d(x, 2) < min{1, 5 } = δɛ.
19. Määritä raja-arvo
lim
x→0
√ x + 1 − 1
Ohje: Lavenna lausekkeella √ x + 1 + 1, vastaus: 1
2
20. Määritä raja-arvo
2 −
lim
x→0
√ 4 − x2 x2 Ohje: Lavenna sopivalla lausekkeella, vrt. edellinen tehtävä.
x
√ x kasvaa nopeammin, kun x →
21. Kumpi funktioista, f(x) = xln x vai g(x) = √ x
∞? Huom! Vastaus täydennetty 18.10.: logaritmit ottamalla nähdään,
että ln f(x) = (ln x) 2 ja ln g(x) = 1√
2 x ln x, mistä nähdään, että g(x) vaikuttaa
kasvavan voimakkaammin (ln x vs. x 1
2 ). Tämä ei kuitenkaan riitä vastaukseksi,
vaan pitää tarkastella osamäärää
josta logaritmi on
ln f(x)
g(x)
f(x)
g(x) ,
1√
1√
= ln f(x) − ln g(x) = 2 ln x − x ln x = ln x(2 − x).
2
2
Näin saadussa lausekkeessa sulkulauseke lähenee −∞:tä ja ln x ∞:tä, joten
koko lauseke lähenee ∞:tä. Tällöin f(x)
g(x) lähenee nollaa ja siis g(x) kasvaa nopeammin.

22. Osoita kuvaajaan vetoamatta, että polynomilla x 5 −3x 3 +x−1 on ainakin yksi
nollakohta. Ohje: Käytä Bolzanon lausetta. Vastaus: f(0) = −1 ja f(2) = 9,
joten ainakin yksi nollakohta löytyy väliltä (−1, 2).
23. Osoita kuvaajaan vetoamatta, että yhtälöllä cos x = x on ainakin yksi ratkaisu.
Ohje: kirjoita f(x) = cos x−x ja käytä Bolzanon lausetta. Vastaus: f(0) = 1 ja
f( π π
π
2 ) − 2 . Jatkuvana funktiona f saavuttaaa nollan jossakin 0:n ja 2 :n välissä.
24. Osoita, että funktio f(x) = (x − a) 2 (x − b) 3 + x saa ainakin yhdessä pisteessä
arvon a+b
2 . Ohje: Sovella jatkuvien funktioiden väliarvolausetta. Vastaus: f on
jatkuva ja f(a) = a ja f(b) = b, joten mikä hyvänsä a:n ja b:n välissä oleva
luku, esim. niiden keskiarvo a+b
2 esiintyy f:n arvona.