Logique

Lancelot Pecquet 

Logique 

(A ∧ B) ⊢ (A ∧ B) 

(A ∧ B) ⊢ B re∧· 

ax 

(A ∧ B) ⊢ A ∧ B 

(A ∧ B) ⊢ A re·∧ 

ax 

ri∧ 

(A ∧ B) ⊢ (B ∧ A) 

Université Paris XII, Licence d’Informatique 

Version du 11 août 2003

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bourde) est le bienvenu et peut être envoyé à Lancelot.Pecquet@inria.fr.

Table des matières 

1 Introduction 7 

1.1 Premiers éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.1.1 Objectifs de ce document . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.1.2 Qu’est-ce que la logique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.2 Histoire de la Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.2.1 La Logique ailleurs qu’en Occident . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.2.2 L’antiquité grècque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.2.3 La scolastique médiévale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.2.4 L’époque moderne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

1.2.5 Contemporains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

2 Rappels 29 

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

2.1.1 Distinction entre langage et métalangage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

2.1.2 Structuration du métalangage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

2.2 Théorie naïve des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

2.2.1 Ensembles, relations, fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

2.2.2 Relations d’ordre et d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

2.2.3 Ensembles définis par induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

2.2.4 Infini, cardinaux, ordinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

2.2.5 Axiome du choix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

2.3 Structures algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

2.4 Langages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

2.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

2.4.2 Problèmes de décision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

2.4.3 Règles de réécriture et grammaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

2.4.4 Syntaxe inductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

2.4.5 Sémantique inductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

2.5 Fonctions booléennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

2.6 Logique des ordinateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

2.6.1 Instructions conditionnelles des langages de programmation . . . . . . . . . . 40 

2.6.2 Circuits booléens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

3

TABLE 3 Logique DESpropositionnelle MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES 41 

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

3.2 Langages des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

3.2.1 Syntaxe du langage de Kleene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

3.2.2 Sémantique booléenne du langage de Kleene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

3.2.3 Sous-langages équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

3.2.4 Formes normales conjonctives et disjonctives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

3.2.5 Expressivité booléenne du langage des propositions . . . . . . . . . . . . . . . 44 

3.3 Arbres de Beth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

3.4 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

3.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

3.4.2 Déduction naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

3.5 Complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

3.6 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

3.6.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

3.6.2 Théorème de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

4 Logique du premier ordre 51 

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

4.2 Syntaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

4.2.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

4.2.2 Sous-formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

4.2.3 Variables libres, liées, α-équivalence, renommage . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

4.2.4 Substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

4.2.5 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

4.2.6 Validité des preuves après substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

4.3 Sémantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

4.3.1 Interprétations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

4.3.2 Morphismes d’interprétations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

4.4 Formes normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

4.4.1 Mise sous forme prénexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

4.5 Théories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

4.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

4.5.2 Propriétés syntaxiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

4.6 Théorème de complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

4.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

4.6.2 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

4.6.3 Corollaires : les théorèmes de Löwenheim et Skolem . . . . . . . . . . . . . 61 

4.6.4 Corollaire : le théorème de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

4.6.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

5 Exemples de théories 63 

5.1 Théorie de l’égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

5.2 Théorie des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

5.3 Théories arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

5.3.1 Axiomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

4 Lancelot Pecquet, Université Paris XII 

Licences d’Informatique et de Mathématiques / Logique 


TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES 

5.3.2 Propriétés arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

5.4 Théorie ZF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

5.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

5.4.2 Théorie de Zermelo-Fraenkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

5.4.3 L’Axiome du choix et l’Hypothèse du continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

5.5 Théorèmes d’incomplétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

5.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

5.5.2 Théorème d’indécidabilité de Gödel de l’arithmétique élémentaire . . . . . . 70 

5.5.3 Premier Théorème d’incomplétude de Gödel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

5.5.4 Second Théorème d’incomplétude de Gödel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

5.5.5 Suites de Goodstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

6 Effectivité 73 

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

6.2 Test de satisfaisabilité de Herbrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

6.2.1 Skolemisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

6.2.2 Unification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

6.2.3 Algorithme de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 

6.2.4 Test de satisfaisabilité de Herbrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 

7 Conclusion 81 

7.1 Logiques d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

7.2 Logiques non-classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

7.2.1 Logiques modales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

7.2.2 Logiques intuitionnistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

7.2.3 Logiques multivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

7.3 Pour finir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

Lancelot Pecquet, Université Paris XII 


Version du 11 août 2003 

5

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES 




Chapitre 1 

Introduction 

1.1 Premiers éléments 

1.1.1 Objectifs de ce document 

Ce document constitue le support du cours que j’ai donné en Licence d’Informatique et de 

Mathématiques à l’Université Paris XII. Après un petit historique de la Logique au fil des âges, 

nous y présentons le calcul des propositions, puis la logique du premier ordre. 

1.1.2 Qu’est-ce que la logique ? 

La Logique est sans-doute la seule discipline que l’on retrouve dans les enseignements de Philosophie, 

de Mathématiques et d’Informatique. Donnons quelques exemples rapides de définitions 

de la Logique, selon ces différents points de vue : 

– un certain nombre de Philosophes [Lal97, vol. I, pp. 302, 572] définissent la Logique comme 

est la « science ayant pour objet le jugement d’appréciation en tant qu’il s’applique à la 

distinction du Vrai et du Faux », parallèlement à l’ Éthique, « science ayant pour objet le 

jugement d’appréciation en tant qu’il s’applique à la distinction du Bien et du Mal » et à 

l’Esthétique, « science ayant pour objet le jugement d’appréciation en tant qu’il s’applique à 

la distinction du Beau et du Laid » ; 

– la plupart des Mathématiciens considèrent la Logique comme étant l’étude formelle de structures 

et de méthodes de déduction sur lesquelles les mathématiques sont fondées et permettant 

d’établir de façon indiscutable qu’une propriété est vraie ou fausse ; 

– pour les Informaticiens, la Logique est, en général, étudiée comme une famille de langages 

dont on étudie les propriétés du point de vue effectif. L’intérêt réside par exemple dans la 

démonstration automatique qu’un théorème est vrai ou qu’un programme fonctionnera. 

Si ces trois conceptions peuvent sembler bien distinctes de prime abord, on verra que la frontière 

entre ces trois disciplines est mince, voire perméable, et ce n’est pas étonnant de retrouver, au fil de 

l’Histoire des personnages tels qu’Aristote, Euclide ou Leibniz qui étaient à la fois Philosophes 

et Scientifiques. 

L’observation de la définition philosophique de la Logique conduit à s’interroger sur la notion 

de « vérité ». Il conviendra, en effet, de de distinguer deux acceptions de ce mot : 

– la vérité formelle : c’est celle dont il est question en mathématique ou en informatique où l’on 

s’interroge plutôt sur la pertinence des raisonnements ; 

7

1.2. HISTOIRE DE LA LOGIQUE CHAPITRE 1. INTRODUCTION 

– la vérité absolue : celle de la métaphysique, de la religion, où l’on s’interroge plutôt sur ce 

qui est Vrai. 

Ces deux conceptions ont, a priori, peu en commun. En effet, en ce qui importe le plus, en 

mathématiques, ce sont les démonstrations, tandis que dans la religion ou la métaphysique, il est 

plutôt question de révélation. 

Le Mathématicien se place dans un cadre bien défini d’hypothèses (du grec ¢¡¤£¦¥¨§© 

: « ce 

qu’on met en dessous ») et constate qu’un phénomène se produit. Son travail consiste alors à savoir 

si ce phénomène est la manifestation d’une propriété générale qui résulte des hypothèses. S’il croit 

que c’est le cas, il baptise cette proposition conjecture et tente d’en trouver une démonstration, 

sous la forme d’une raisonnement prouvant la propriété à partir des hypothèses. S’il y parvient, la 

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proposition devient ( 

un théorème : ce qui peut être observé). La vérité peut s’exprimer 

dans ce contexte de trois façons distinctes : 

1. la proposition est vraie, indépendemment du fait qu’elle ait été prouvée ; 

2. le raisonnement est juste, indépendemment du fait que les hypothèses soient vraies ; 

3. les hypothèses sont vraies. 

Pour ce qui est de ce dernier cas, il convient de distinguer deux types d’hypothèses : les hypothèses 

spécifiques au problème étudié, que le mathématicien module à sa guise et qui apparaitront 

explicitement dans l’énoncé du théorème, et les hypothèses fondamentales des mathématiques. Ces 

dernières sont le résultat d’un choix consensuel d’un certain nombre de mathématiciens bien que 

tous n’en aient pas la même conception. Pour certains, il s’agit de postulats (du latin postŭlāre : 

demander) qu’on demande au lecteur d’accepter, au même titre que toute autre hypothèse, pour 

 

d’autres, il s’agit d’axiomes ¨¤ 

(du grec : ce qui s’impose à moi comme évident) qu’ils 

considèrent comme Vrais, absolument. 

Nous verrons que le choix de ces fondements n’est pas complètement arbitraire et qu’un certain 

nombre de critères (e.g. cohérence, complétude) seront à prendre en considération mais au delà, on 

reste à la limite de la métaphysique. . . 

1.2 Histoire de la Logique 

1.2.1 La Logique ailleurs qu’en Occident 

Nous donnons maintenant un bref aperçu des préoccupations logiques de ces deux mille dernières 

années. . . Malgré l’état très avancé en mathématiques des Indiens, des Chinois ou des Arabes, il 

semble que la Logique, au sens où on l’entend maintenant, fut essentiellement une préoccupation occidentale. 

Par exemple, on ne dispose que d’un seul document comportant des preuves mathématiques 

pour toute la Chine classique [Che98] : les commentaires de Liu Hui, vers 246, des Neuf Chapitres 

sur les Procédures Mathématiques, compilation de textes mathématiques dans lesquels la pensée algorithmique 

est prépondérante, réalisée vers le I er siècle et qui fit référence jusqu’au XIII ème siècle. 

Pour la civilisation Arabo-persique, on pourra mentionner également le médecin et philosophe 

d’origine iranienne (l’Iran avait été envahi par les Arabes en 712) Abū Ali al-Husain ibn Abdallah 

ibn Sinā, dit Avicenne (980–1037), auteur, entre autres, du Livre de la Guérison (Kitāb al- 

Shifā), sur la Logique, la Physique et la Métaphysique, ainsi que le philosophe, juriste, théologiste, 

mathématicien et médecin Abū Walīd Muhammad ibn Ahmad ibn Muhammad ibn Rushd (1126– 

1198) dit Averroès dont les commentaires sur les travaux d’Aristote eurent une influence très 




CHAPITRE 1. INTRODUCTION 1.2. HISTOIRE DE LA LOGIQUE 

importante dans l’Europe médiévale. Il faut noter d’ailleurs que c’est grâce à ces savants qu’on a 

pu reconstituer de nombreux textes grecs, détruits lors des invasions barbares en Occident. 

1.2.2 L’antiquité grècque 

Des ¢¡¤£¦¥¨§¨© 

présocratiques à 

C’est dans la Grèce antique que l’on trouve l’origine du mot « Logique ». Tout d’abord, sous 

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la forme du ¢ 

terme grec , donc l’acception la plus courante est « la parole ». 

Chez les présocratiques, le logos est le Verbe divin révélé à l’homme, 

chez les sophistes, l’outil de l’orateur pour manipuler l’auditoire ; le sens 

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de est alors plus proche de « raisonnement » rhétorique. Zénon 

 

d’ Élée (vers. 490–430 av. JC), disciple de Parménide et inventeur de 

la dialectique ( ¢ ¤ 

 

, sous-entendu : l’art de la discussion, 

 

de l’argumentation), formule des paradoxes dont celui d’Achille 1 et de 

la tortue 2 et celui de la flèche 3 par lesquels il conclue à l’impossibilité 

du mouvement. Ces paradoxes seront résolus mathématiquement par 

Aristote 4 

Socrate (470-399 av. JC) dénonce la pratique du sophisme, qui 

consiste à donner l’apparence d’une forme logique irréprochable à des 

raisonnements fallacieux et chez son disciple Platon (vers 428–347 av. 

JC), le logos devient le chemin qui pourra le reconduire vers la réalité 

 

intelligible et raisonnée ( : l’intelligence) du monde des Idées 

( Fig. 1.1 – Source [McT] 

Platon 

(427–347 av. J.C.) 

 

), opposée 

à la réalité sensible. La pensée mathématique abstraite 

est déjà très présente, même en géométrie : on peut lire dans 

République VII.510.d : « Par exemple, c’est du carré en soi, de la diagonale 

en soi [que les mathématiciens] raisonnent, et non de la diagonale telle qu’ils la tracent et il faut 

en dire autant de toutes les figures. Toutes ces figures qu’ils modèlent ou dessinent, qui portent des 

ombres et produisent des images dans l’eau, ils les emploient comme si c’étaient aussi des images 

pour arriver à voir ces objets supérieurs qu’on n’aperçoit que par la pensée. ». Pour Platon, toute 

question mathématique a une réponse, éventuellement inconnue, affirmative ou négative. C’est la 

pensée qui est à l’origine de la logique bivalente et du principe du tiers exclus. 

1 Il s’agit du héros de l’Iliade d’Homère. 

2 : « Achille au pied léger court derrière la tortue mais il ne pourra jamais la rattraper puisqu’à chaque fois 

qu’il arrive là où était la tortue auparavant, celle-ci a avancé, et ainsi de suite à l’infini ». L’écrivain et logicien Lewis 

Carroll (1832–1898) en a écrit une version plus compréhensible : « Achille et la tortue devaient faire la course 

sur un parcours circulaire ; et comme l’on savait qu’Achille pouvait courir dix fois plus vite que la tortue, celle-ci 

se vit accorder une avance de cent mètres. Il n’y avait pas de ligne d’arrivée, la course devant se poursuivre jusqu’à 

ce qu’Achille ait, soit rattrapé la tortue, soit abandonné la course. Or il est évident que lorsqu’il aurait effectué les 

cent premiers mètres, la tortue en aurait parcouru dix de plus ; et que lorsqu’il aurait parcouru ces dix mètres, elle 

en aurait parcouru un de plus ; et ainsi de suite indéfiniment. Par conséquent, pour rattraper la tortue, il lui faudrait 

parcourir un nombre infini de distances successives. Par conséquent, Achille ne peut jamais rattraper la tortue. » 

3 La flèche, que l’archer lance de A vers B, parcourt d’abord la moitié de la distance qui sépare A et B. Puis elle 

parcourt la moitié de la distance qui la sépare de B, c’est-à-dire le quart de la distance AB. Ensuite, elle se déplace à 

nouveau de la moitié de la distance restante, c’est-à-dire d’un huitième de la distance AB. En continuant indéfiniment 

selon ce principe, on arrive à la conclusion que la flèche n’atteindra jamais son but. 

4 Diogène Sinope, dit « le cynique » (vers. 410–323 av. JC) aurait répondu à cette preuve de l’irréalité du 

mouvement en se levant et en se mettant à marcher. 




9


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Aristote (384–322 av. JC) est l’un des personnages de l’Histoire les plus fascinants. Philosophe, 

homme de science et de lettres, précepteur d’Alexandre le Grand, il est, entre autres, le fondateur 

de la Logique et ses travaux en ce domaine feront référence des siècles durant. C’est d’ailleurs 

à lui qu’on doit l’introduction du terme (sous-entendu , l’art, la technique) qui 

signifie « Logique », comme on l’entend de nos jours. Il distingue en effet dans Rhétorique 1.1.11 la 

notion de syllogisme formel 

). 

) à celle de raisonnement rhétorique 

L’ensemble des ouvrages de Logique écrits Aristote s’appelle l’Organon : l’outil). 

Il est composé des Les Catégories ) exposant les dix manières par lesquelles un 

attribut peut être prédiqué à un sujet (en substance : quantité, qualité et en relation : lieu, temps, 

situation, avoir, action, passion), De l’Interprétation ) comportant une théorie des 

oppositions et du syllogisme modal ainsi que la question des propositions portant sur des futurs 

contingents, Les Premières Analytiques ( ) où est exposée la théorie du syllogisme 

en général, du point de vue de la validité formelle, et Les Secondes Analytiques ( 

© 

) où se trouve exposée la théorie de la démonstration, Les Topiques £ ©¤ 

( ) où se 

trouve exposée une théorie du ( 

raisonnement eristique : la controverse), une définition 

du raisonnement par l’absurde, La réfutation ( © £ ¤ 

 

des sophismes ) qui consti- 

tuait vraisemblablement le neuvième livre de l’ouvrage précédent, où il est également question de 

syllogismes éristiques et de raisonnements dont les prémisses ne sont que probables. 

Parmi les points traités par Aristote, on trouve : 

– l’utilisation de symboles pour désigner des objets mathématiques ; 

en particulier il raisonne logiquement, non plus sur des propositions, 

mais sur les formes que peuvent prendre ces propositions : 

il est le fondateur de la logique formelle ; 

– la notion d’axiome qui est une « proposition qui s’impose à l’esprit 

», comme par exemple (Seconds Analytiques I.10.76.b), la 

règle de simplification : « si de deux choses égales on soustrait des 

choses égales, les restes sont égaux » ; 

– les définitions en compréhension, du type ”{x ∈ A | P (x)}” en 

notation mathématique contemporaine : en effet, il écrit dans 

Métaphysique Z.XII.1037.b « il n’y a rien d’autre dans la définition 

que le genre ( Fig. 1.2 – Source [McT] 

Aristote 

(384–322 av. J.C.) 

¨ 

), dit premier 

[NdlA : ”x ∈ A”], et les différences 

( ¨ 

) [NdlA : ”| P (x)”] ». On retrouve de manière récurrente 

cette décomposition entre la quiddité, c’est-à-dire © la nature in- 

¤ 

( £¨§ 

trinsèque des choses ) (¤ ¤ et ses attributs ). 

– le principe de non-contradiction, dont on trouve déjà trace chez 

Parménide (515–440 av. JC), est exposé dans Métaphysique Γ.III.1005.b : 

« Il est impossible qu’un seul et même attribut soit, et tout à la 

fois ne soit pas, à un même sujet, sous un même rapport. ». Il 

¨ 

nomme une proposition contradictoire . 

£¨ ¨§¥ – la définition des propositions universelles ( ), 

 

© 

et existentielles 

(appelées particulières, ), respectivement 

de la forme ∀x . . . et ∃x . . . en notation contemporaine. 

– la définition des propositions affirmatives ( ¨ 

, e.g. « tout 





homme est blanc ») ( 

£¦¥ ¨ 

et négatives , e.g. « nul homme n’est 

blanc ») dans les Premières Analytiques I.2 et dans les Catégories 6, 

qui, dans un cas comme dans l’autre peuvent être vraies ou fausses 

selon que ce qu’elles énoncent est conforme ou non à ce qui est. 

– les règles de négation des propositions universelles et existentielles ; 

ainsi, dans De l’interprétation VII.17.b.16, il explique que la négation 

de « tout homme est blanc » (∀x P (x)) n’est pas « nul homme 

n’est blanc » (∀x¬P (x)), mais bien « il existe un homme qui n’est 

pas blanc5 » (∃x ¬P (x)), cette dernière proposition pouvant coexister 

de manière non contradictoire avec « il existe un homme 

qui est blanc » (∃x P (x)). 

– il définit le syllogisme dans les Premières Analytiques I.1.24.b 

comme « un discours dans lequel, certaines choses étant posées, 

quelquechose d’autre que ces données en résulte nécessairement 

par le fait de ces données ». Cette notion est traitée en détail par 

Aristote mais fut reprise au Moyen-Âge par les scholastiques (cf. 

infra). 

– le raisonnement par l’absurde, dans les Premieres Analytiques permet 

à Aristote de démonter (bien qu’il en attribue la paternité 

aux Pythagoriciens (Pythagore de Samos, vers. 570–500 av. JC) 

et qu’on en trouver trace chez Zénon) l’irrationalité6 de √ 2. 

– La notion de raisonnement « par induction £¦ ¤ 

» ( : « action 

d’amener vers » ou « sur »), dans les Analytiques et les Topiques 

qui consiste à remonter de l’étude de phénomènes particuliers 

au cas général7 . Aristote dit : « Quant à l’induction, elle 

procède à partir des cas individuels pour accéder aux énoncés universels, 

par exemple, s’il est vrai que le meilleur pilote est celui 

qui s’y connaît, et qu’il en va de même du meilleur cocher, alors, 

d’une façon générale, le meilleur en tout domaine est celui qui s’y 

connaît. » 

Les Mégarico-stoïciens 

L’école mégarique fondée par Euclide de Mégare 8 (450-380 av. JC), disciple de Socrate est 

a évolué pour donner l’école stoïcienne ( : le portique, sous lequel enseignait Zénon). Il 

y est question de problèmes importants de Logique dont certains de seront résolus qu’à l’époque 

contemporaine. En particulier, Eubulide de Mégare (seconde moitié du IV ème siècle av. JC) énonce 

5 Aristote semble avoir été un défenseur de l’égalité des hommes au delà de leur couleur de peau, puisqu’on peut 

lire dans Métaphysique I.IX.1058.b : « Aussi la couleur blanche ou la couleur noire de l’homme ne produit-elle pas 

une différence spécifique ; et il n’y aurait pas de différence d’espèce de l’homme blanc à l’homme noir, quand bien 

même on donnerait à chacun d’eux un nom séparé. » 

6 soit p premier, si √ p est rationnel, il existe a, b premiers entre-eux tels que a 2 = pb 2 , donc p divise a 2 , donc a. 

On peut donc écrire a = pn et en déduire a 2 = p 2 n 2 = pb 2 , d’où pn 2 = b 2 , c’est-à-dire que p divise b 2 , donc b. C’est 

absurde car a et b sont premiers entre-eux. On trouve également cette démonstration dans le livre IX des Éléments 

d’Euclide. 

7 Le mot « induction » n’a évidemment rien à voir ici avec la notion de récurrence. 

8 à ne pas confondre avec Euclide d’Alexandrie 




11


le célèbre paradoxe du menteur : « Affirmer que ce que l’on est en train de dire est faux, est-ce 

vrai ? ». Une discussion avec Philon (IVe-IIIe siècle av. JC) permet à Diodore Cronos (mort en 

296 av. J.-C.) de proposer l’équivalence entre l’implication « si A alors B » et la négation de « A 

et non-B ». Chrysippe (281-205 av. JC) posait cinq propositions axiomatiques, dont le modus 

ponens : si A implique B et qu’on a A alors on a B. 

¢¡¤£ £¦¥ § d’Alexandrie 

¡ 

Euclide d’Alexandrie (vers 325–265 av. JC) donne un exemple de mathématiques rigoureuses, 

fondées sur un système d’axiomes et de démonstrations. Dans Les Éléments, il donne la définition 

d’un point (ce dont la partie est nulle), d’un segment (longueur sans largeur dont les extrémités 

sont des points), de droite, d’angle, de cercle, etc, de droites parallèles (qui prolongées indéfiniment 

d’un côté ou de l’autre ne se rencontrent pas), et propose cinq postulats pour la géométrie : 

1. Étant donnés deux points A et B, il existe une droite passant par A et B ; 

2. Tout segment [AB] est prolongeable en une droite passant par A et B (compte tenu du premier 

postulat, elle est unique) ; 

3. Pour tout point A et tout point B distinct de A, on peut décrire un cercle de centre A passant 

par B ; 

4. Tous les angles droits sont égaux entre eux ; 

5. Par un point extérieur à une droite, on peut mener une parallèle et une seule à cette droite 

(Axiome des parallèles). 

Nombreux sont ceux qui ont prétendu avoir démontré le cinquième 

postulat à partir des quatre autres : cela n’est, en fait, pas possible car 

ces axiomes sont bien indépendants9 . 

Dans le domaine de l’algèbre, on doit également à Euclide de nombreux 

théorèmes, en particulier, la démonstration du fait que tout entier 

n > 1 admet un diviseur p premier10 ( Éléments, Livre VII, Prop. 33) 

et du fait qu’il existe une infinité de nombres premiers11 ( Éléments, 

Livre IX, Prop. 20). 

1.2.3 La scolastique médiévale 

L’Ars vetus 

Entre le IIème et le VIIème siècle, la patristique, doctrine des premiers 

auteurs chrétiens (les Pères de l’ Église), est plutôt d’influence platoni- 

9 

on peut construire des géométries dites « non euclidiennes » où les quatre premiers postulats sont vérifiés et où 

le cinquième postulat peut être remplacé par ceux-ci : 1.) « Deux droites distinctes sont toujours sécantes à l’infini. » 

C’est la géométrie projective de Desargues et Poncelet ; 2.) « Par un point extérieur à une droite, il n’y a aucune 

parallèle à cette droite. » C’est la géométrie elliptique, comme celle de la sphère, ainsi que Fig. l’ont1.3 étudiée – Source Gauss, [McT] Klein 

et Riemann ; 3.) « Par un point extérieur à une droite on peut mener une infinité de parallèles distinctes à cette 

Euclide d’Alexandrie 

droite. » C’est la géométrie hyperbolique, étudiée par Bolyaï, Lobatchevski, Poincaré et Beltrami. 

10 (vers 325–265 av. J.C.) 

Si n est premier, alors p = n convient, sinon, n admet un diviseur d1 avec 1 < d1 < n ; si d1 n’est pas premier, 

alors il admet un diviseur d2 avec 1 < d2 < d1,. . . On peut répéter ce procédé jusqu’à obtenir, après un nombre fini 

d’étapes, un diviseur p > 1 premier. 

11 

Sinon, soit n = p1p2 · · · pk + 1 où pi désigne le i-ième entier premier et pk le plus grand d’entre-eux. L’entier n 

possède au moins un diviseur premier p, i.e. n = mp. Si d = p1, on aurait 1 = p1(m − p2 · · · pk), ce qui est impossible, 

on voit de même que p = pi pour 1 ≤ i ≤ k, donc p > pk, ce qui est absurde. 





cienne et de sa variante mystique développée par Plotin (205–270) à 

Alexandrie : le néo-platonisme. 

C’est vers le XIème siècle, débute le mouvement scolastique, qui 

cherche à accorder la raison et la révélation, en s’appuyant sur l’Organon 

d’Aristote. Dans un premier temps, celui de l’Ars vetus, seules Les 

£¢ ¤ ¡ 

Catégories, 

De l’Interprétation et l’Isagoge ( ) du philosphe 

grèc d’origine syrienne Porphyre (234–305) sont utilisés. 

Le philosophe et logicien le plus important de cette époque est Abélard (1079-1142) qui, dans 

son traité Dialecta, fortement inspiré des enseignements de Boèce (480–524), fonde l’étude sérieuse 

de la logique au Moyen Âge. Il étudie la structure des propositions et introduit le terme de copule 

(du latin cōpŭla : ce qui sert à attacher, à unir) pour désigner le mot qui relie le prédicat au sujet 

(e.g. « 8 est pair »). 

L’Ars nova 

Les facultés des arts des nouvelles universités, comme la Sorbonne, fondée en 1257 par Robert 

de Sorbon (1201–1294), enseignent alors trois disciplines (le trivium) : la rhétorique, la grammaire 

et la logique. Cette dernière est présentée de manière formelle, à l’inverse de l’enseignement fait 

dans les facultés de théologie, où elle est un moyen d’argumentation et de preuve lors de discussions 

métaphysiques et religieuses. 

La Haute scolastique, grande époque de ce mouvement, se situe au XIII ème siècle sous l’influence, 

entre autres, de Thomas d’Aquin (1225-1274) qui prône l’Ars nova qui reprend la totalité de 

l’Organon pour refonder la philosophie chrétienne proposée par Augustin (354–430). Ce mélange 

entre logique et religion est aussi très présente dans l’étude combinatoire de Raymond Lulle (1232- 

1315) qu’il appelle l’ars magna et avec laquelle il veut convertir les Juifs et les Musulmans à la 

religion chrétienne. 

La Logica modernorum 

Les antiqui, disciples de l’Ars nova, s’opposent aux moderni qui exploitent également l’Organon 

au complet mais qui étudient la logique pour elle-même, sur le plan du langage, et non dans 

une perspective chrétienne ou plus généralement métaphysique. C’est ce mouvement de la Logica 

modernorum qui dominera entre la fin du XIIIème siècle et le début du XIVème siècle. 

Guillaume d’Occam (vers 1280–1348) est le premier représentant 

des moderni. Sa conception du Principe d’Omnipotence de Dieu lui fait 

dire que nous ne pouvons pas connaître l’enchaînement des choses et 

établir de relation de cause à effet dans le monde réel car seules nous 

sont accessibles les faits contingents et pas la cause de cette contingence, 

que seul Dieu connaît. Par ailleurs, pour lui, seul le singulier est réel. 

Ce qui est universel existe uniquement dans l’esprit. Il en conclue que 

la Logique doit servir à analyser la structure formelle du langage plutôt 

que de constituer une science de la réalité ou de l’esprit et expose ses 

théories dans son œuvre principale : Summa totius logicae. 

C’est à lui qu’on doit le Principe d’économie, appelé le rasoir d’Occam 

: « les entités ne devraient pas être multipliées sans nécessité 

Fig. 1.4 – Source [McT] 

Guillaume d’Occam 

(1280–1348) 

12 » : 

12 

on retrouve les traductions Pluralitas non est ponenda sine neccesitate et Frustra fit per plura quod potest fieri 

13 





en d’autres termes, tous les principes qui ne sont pas nécessaires à l’explication 

d’une chose doivent être rejetés. C’est le principe scientifique 

selon lequel, quand on a deux théories en compétition qui permettent 

de prédire exactement les mêmes choses, celle qui est la plus simple qui doit être choisie. 

La syllogistique scolastique 

L’un des enseignements essentiels de la Logique au Moyen Âge était la syllogistique d’Aristote 

pour lequel, le syllogisme est composé de trois propositions : deux prémisses13 £¨ 

 

¨ © £¦¤ 

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( ou 

) comprenant une majeure ( ), une mineure ( ) et une 

conclusion ). Ces propositions font intervenir trois termes ( ) : le « grand terme » 

` © ©¢¡¤£ 

 

et le « petit ¦¥ 

 

terme » , le « moyen terme » . 

Le plus célèbre exemple de syllogisme est dû à Guillaume d’Occam : 

prémisse majeure : « Tout homme est mortel » 

prémisse mineure : « Socrate est un homme » 

conclusion : « Socrate est mortel » 

Le grand terme est le fait d’être mortel, le moyen terme le fait d’être un homme et le petit 

terme le fait d’être Socrate, par ordre décroissant de généralité (Aristote dit d’« extension »). 

Il est classiquement trois formes de syllogismes, elle-mêmes déclinées en différents modes selon que 

les propositions sont affirmatives, négatives, universelles ou particulières. 

Afin de faciliter l’apprentissage de la syllogistique, les scolastiques inventent les vers mnémoniques 

que l’on retrouve dans Introductiones in logicam de William de Shyreswood (1190–1249) 

et dans le manuel par excellence de la logique du XIII ème au XVII ème siècle : Summulae logicales 

du médecin ophtalmologue devenu Pape (Jean XXI, en 1276) : Pierre d’Espagne. 

Bien que la langue latine était considérée par les médiévaux comme l’accomplissement d’un 

langage parvenu à son plus haut degré de rationalité, ils lui préféraient un métalangage pour parler 

de syllogistique. Les scolastiques nommaient A les universelles affirmatives, I les particulières affirmatives, 

E les universelles négatives et O les particulières négatives. Dans les Tables 1.1, 1.2 et 1.3, 

qui résument les situations concluantes, la première ligne est la prémisse majeure, la deuxième, la 

prémisse mineure, la troisième, la conclusion qu’on en déduit. La première colonne désigne le type 

des propositions selon la classification scolastique. Le nom en légende est la désignation scolastique. 

Le disciple d’Occam, William Burleigh (1275–1345) présentera la syllogistique comme un cas 

particulier du calcul des propositions dans De puritate artis logicae, dont Jean Buridan (vers 1300– 

1358) proposera une axiomatisation dans ses Consequentiae. Son disciple Albert de Saxe, distinga 

les termes catégorématiques qui peuvent être sujet ou prédicat et les termes syncatégorématiques 

qui servent à les joindre et à en déterminer les modes (e.g. quelque, tout, nul,. . .). 

Notons également l’étude de John Duns Scot (1266–1308) qui ajoute aux quatre modalités 

d’Aristote (contingent, possible, impossible et nécessaire) le vrai, le faux et des modalités dites 

subjectives (c’est-à-dire qui relient le locuteur et son énoncé) : douteux, connu, cru, apparent, voulu, 

per pauciora dans ses textes tandis que Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem semble être l’œuvre d’un 

de ses élèves. 

13 le nom féminin « prémisse » vient du latin prae : avant et missus : envoyé. Il convient de le distinguer du nom 

masculin « prémice », du latin prīmĭtĭae, qui désigne les premières manifestations d’un phénomène. 





A Tout B est A 

A Tout C est B 

A Tout C est A 

(a) Barbara 

E Nul B n’est A 

A Tout C est B 

E Nul C n’est A 

(b) Celarent 

A Tout B est A 

I Quelque C est B 

I Quelque C est A 

(c) Darii 

E Nul B n’est A 

I Quelque C est B 

O Quelque C n’est pas A 

(d) Ferio 

Tab. 1.1 – Modes concluants des syllogismes de la première figure dans lesquels le terme moyen B 

est sujet dans la majeure et attribut dans la mineure. Le grand terme est A, et le petit terme C. 

E Nul N n’est M 

A Tout X est M 

E Nul X n’est N 

(a) Cesare 

A Tout N est M 

E Nul X n’est M 

E Nul X n’est N 

(b) Camestres 

E Nul N n’est M 

I Quelque X est M 

O Quelque X n’est pas M 

(c) Festino 

A Tout N est M 

O Quelque X n’est pas N 

O Quelque X n’est pas M 

(d) Baroco 

Tab. 1.2 – Modes concluants des syllogismes de la deuxième figure dans lesquels le terme moyen M 

est attribut dans la majeure et dans la mineure. Le grand terme est N, et le petit terme X. 

A Tout S est P 

A Tout S est R 

I Quelque R est P 

(a) Darapti 

E Nul S n’est P 


O Quelque R n’est pas P 

(b) Felapton 

O Quelque S n’est pas P 



(e) Bocardo 

I Quelque S est P 



(c) Disamis 

E Nul S n’est P 

I Quelque S est R 


(f) Ferison 

A Tout S est P 

I Quelque S est R 


(d) Datisi 

Tab. 1.3 – Modes concluants des syllogismes de la deuxième figure dans lesquels le terme moyen S 

est sujet dans la majeure et dans la mineure. Le grand terme est P , et le petit terme R. 




15


 

choisi. Au ( 

delà de l’aléthique : littéralement « non caché » d’où « vrai », où l’on ne considère 

que le vrai, le faux, et éventuellement l’indéterminé), ce sont des considérations épistémiques (c’està-dire 

le degré de connaissance de la situation qu’a le locuteur et donc son degré de certitude) et 

 

 

déontiques (du grec : ce qui est nécessaire) qui anticipent la théorie moderne des modalités 

ainsi que ses élargissements. 

1.2.4 L’époque moderne 

£ ¡ ¥¨§ ¥ et la logique de Port-Royal 

La Logique évolue peu du XIII ème au XVII ème siècle où la tendance est au rejet de la Logique 

formelle au profit d’un art, une méthode de bien penser, comme le souhaite René Descartes (1596- 

1650) dans son Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les 

sciences (1627) où il défend (assez naïvement au demeurant, comme dans la plupart de ses travaux 

philosophiques et scientifiques 14 ) un raisonnement partant d’« intuitions claires et distinctes » et se 

déroulant par l’énumération pas à pas d’une chaîne ininterrompue d’évidences en « ne reconnaissant 

comme vrai que ce qui se présente si clairement et si distinctement à l’esprit qu’on ne puisse le 

mettre en doute ». 

Cette conception sera reprise dans le traité d’Antoine Arnault et Pierre Nicole qui paraît 

anonymement, en 1662, et en langue française (et pas en latin, pour se distinguer de la pédanterie 

scolastique) sous le titre de La logique ou l’art de penser, plus connu sous le nom de « Logique de 

Port-Royal ». 

§ ¥ £ 

¡ § ££¢ 

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§¦ 

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) est considéré comme le créateur de ( 

la logistique 

¥¨ 

: relatif au raisonnement et/ou au calcul) : la logique mathématique. 

Il souligne les insuffisances de la méthode cartésienne qui est de nature psychologique [BR97, 

p. 56] : « Descartes a logé la vérité à l’hostellerie de l’évidence mais il a oublié de nous indiquer 

l’adresse. » ou encore « Sa mécanique est pleine d’erreurs, sa physique va trop vite, sa géométrie 

est bornée, sa métaphysique est tout cela ensemble. ». 

Dans De Arte combinatoria, Leibniz présente la combinatoire comme la science générale des 

relations abstraites permettant, entre autres, d’exploiter les vérités déjà connues pour en tirer des 

vérités nouvelles. 

Il en déduit les règles du calcul infinitésimal — découvert simultanément par Isaac Newton 

(1642–1727) et dont la manipulation requiert une rigueur dépassant de beaucoup les « intuition 

14 Sa théorie des « esprits animaux » qui transmettraient des impulsions physiques du système nerveux à l’esprit 

à partir de la glande pinéale du cerveau ne sont que des élucubrations sans fondements. Sa « preuve ontologique de 

l’existence de Dieu » est fausse, et d’autant moins acceptable que sa soi-disant résolution du problème du « malin 

génie », nécessaire à un raisonnement sans faille, requiert l’existence de Dieu, ce qui conduit à un cercle vicieux 

comme l’a fait remarquer le mathématicien, physicien et philosophe Pierre de Gassendi (1592–1655). Blaise Pascal 

(1623–1662), scientifique et théologiste, critiquera également la notion de preuve de l’existence de Dieu : « la foi est 

différente de la preuve. L’une est humaine et l’autre est un don de Dieu ». Le lecteur rigoureux pourra relever au 

moins une erreur logique par page dans le Discours de la méthode. . . Du point de vue éthique, Descartes considérait 

les animaux comme des machines et ses disciples clouaient des chiens sur des planches pour faire des expériences ; 

Malebranche qui battait son chien régulièrement expliquait que ses hurlements n’étaient qu’un réflexe sans que 

« ça ne ressente rien ». . . 





des vérités claires et distinctes » de Descartes — et une amélioration de la machine arithmétique 

de Pascal. 

Leibniz veut réaliser concrètement l’idée de Thomas Hobbes (1588– 

1679) qui affirme dans Computatio sive Logica in De Corpore (1655) que 

toute opération de notre esprit est un calcul, 

Pour cela, il veut créer un système de symboles, la lingua characteristica 

universalis, indépendante des langues naturelles. Une fois ce 

système symbolique développé, cela permettrait de formuler un calcul 

des propositions, le calculus ratiocinator. 

Préfigurant ainsi les travaux de Boole, il s’intéresse à la 

représentation binaire 15 au sujet duquel il dit : « Omnibus ex nihil ducendis 

sufficit unum » (Un suffit à tirer tout de rien) et découvre le 

Yi Jing (Le Livre des Mutations 16 ), et envoyés depuis la Chine par le 

père Bouvet dans lequel sont présentés les combinaisons (trigrammes 

et hexagrammes) du Yang, le principe positif, représenté par un trait 

entier et du Yin, le principe négatif, représenté par un trait évidé. 

S’inspirant tout de la logique combinatoire de Lulle tout en la cri- 


Gottfried Leibniz 

(1646–1716) 

tiquant), il met en évidence le parallèle de la composition des concepts logiques et les opérations 

arithmétiques et la décomposition des concepts en éléments simples avec la décomposition des 

entiers en leurs facteurs premiers. 

D’un point de vue à la fois méthodologique et métaphysique, Leibniz distingue les « vérités 

nécessaires », qui sont indispensables à tout monde possible et qui ne pourraient pas être autres 

(A et non-A ne peuvent être vrais simultanément) des « vérités contingentes » qu’on constate 

expérimentalement mais qu’on pourrait imaginer autres dans des contextes différents (ma voiture 

est bleue). Il énonce que la vérité est « analytique », c’est-à-dire que toute propriété d’un objet 

résulte de la définition de celui-ci. Il explique que Dieu connaît analytiquement et de toute éternité 

les vérités contingentes qui ne nous sont accessibles que par l’expérience. 

Scission des pratiques Mathématiques et Philosophiques de la Logique 

Après Leibniz, le chemin des Philosophes et les Mathématiciens semblent prendre des directions 

distinctes. 

Pour ce qui est des mathématiciens, on doit à Léonard Euler (1707–1783) la popularisation de 

la représentation des syllogismes sous forme de diagrammes (les ”patates”, attribués, à tort, à John 

Venn (1834–1923) : ils avaient été découverts par Leibniz) et à Bernard Bolzano (1781–1848), 

une tentative, dans Wissenschaftlehre, de fondations de l’édifice mathématique sur la Logique. Les 

considérations philosophiques sont toutefois toujours présentes puisque ce dernier s’oppose à tout 

subjectivisme : pour lui, il y a une vérité en soi, connue ou non. 

En ce qui concerne les philosphes, l’ Éthique, de Baruch Spinoza (1632-1677), bien que rédigée 

comme un ouvrage mathématique comme les Éléments d’Euclide, n’est en fait qu’une étude, à 

15 L’une des premières trace de codage binaire en occident semble être le Bi-literarie Cipher [Bac06, vol. 6, chap. 1] 

(1606) de Francis Bacon (1561–1626). La numération positionnelle binaire remonte, elle, sans doute au De numeris 

multiplicibus ex sola characterum numericorum additione agnoscendis (Des caractères de divisibilité des nombres 

déduits de la somme de leurs chiffres) présenté en 1654 par Pascal à l’Académie des Sciences. 

16 attribués au légendaire empereur Fu Xi qui aurait vécu 3000 ans av. JC, le Yi Jing semble plus probablement 

avoir été rédigé entre le quatrième et le troisième siècle av. JC 




17


l’apparence formelle, de principes métaphysiques comme à l’époque de l’Ars nova, plus de trois 

siècles auparavant. Un exemple : Proposition. XVIII. Personne ne peut haïr Dieu. Démonstration : 

L’idée de Dieu qui est en nous est adéquate et parfaite (II. xlvi. xlvii.) ; par conséquent, quand nous 

contemplons Dieu, nous sommes actifs (III. iii.) ; donc (III. lix.) il ne peut y avoir aucune doûleur 

accompagnant l’idée de Dieu, en d’autes termes (Déf des Emotions, vii.), on ne peut pas haïr Dieu. 

Q.E.D.. . . 

On peut également s’étonner qu’un peu plus tard, les ambitions exorbitantes d’Immanuel Kant 

(1724–1804) ne l’aient pas conduit à s’interroger sur la Logique (il considérait la discipline close 

depuis l’Organon). . . En 1781, à 57 ans, il publie, au terme d’une longue élaboration, sa Critique de 

la raison pure (le terme « critique » s’entend selon son acception grècque de « jugement » : ) 

qui doit établir les droits de la raison pure, c’est-à-dire antérieure ou indépendante de l’expérience 

sensible (ce que Kant appelle l’a priori, à opposer à ce qui est a posteriori de l’expérience sensible). 

Un exemple de jugement a posteriori est l’affirmation « que cette fleur est rouge » après l’avoir vue 

mais Kant affirme qu’on peut également faire des jugements a priori de nature « analytiques » 

(c’est-à-dire dont la conclusion s’obtient en analysant logiquement l’objet dont il est question) 

et « synthétiques » (c’est-à-dire dont la conclusion relève d’une forme de création, son exemple 

célèbre [Kan87, III.36.V.1, pp. 66–67] est « 7 + 5 = 12, or 12 ne ”contient”, ni 7, ni 5.»). Bien 

que tout un chapitre de Prolégomènes à toute métaphysique future soit pompeusement baptisé 

« Première partie de la question transcendentale capitale : comment la mathématique pure estelle 

possible », Kant ne semble rien entendre, ni en Logique, ni en Mathématique mais ses idées 

prévalant dans la société de l’époque et freinent le développement scientifique puisque Gauss 

écrit [Gui, p. 421] en 1829 à Bessel : « j’apréhende la clameur des Béotiens si je voulais exprimer 

complètement mes vues [NdlA : sur les géométries non-euclidiennes] » qui allaient à l’encontre du 

postulat kantien que la géométrie euclidienne était un a priori absolu. Un naïf chassant l’autre, 

Kant critique la preuve ontologique de l’existence de Dieu de Descartes et propose, en 1763, 

et avec sa modestie habituelle L’Unique fondement possible d’une démonstration de l’existence de 

Dieu qui ne fait pas mieux que celui qu’il fustige. 

Au sujet de la distinction entre jugements analytiques et synthétiques, selon que la notion du 

prédicat est contenue ou non dans celle du sujet, on pourra plutôt s’intéresser à la pertinente 

remarque de John Stuart Mill (1806–1873) à l’égard de la syllogistique : « la conclusion du 

syllogisme ne nous apprend rien de plus que ce qui est déjà dans les prémisses : la conclusion est 

présupposée dans la majeure. ». Une réponse à cette remarque viendra de la distinction tardive 

entre syntaxe et sémantique : certes, sémantiquement, la véracité de la conclusion est conséquence 

de celle des prémisses mais le raisonnement syntaxique qui conduit des prémisses à la conclusion 

n’est, lui, pas implicitement contenu, ni dans les prémisses, ni dans la conclusion. 

Évolution de la symbolique 

Il semble évident à un scientifique contemporain que le langage usuel n’est pas adapté pour 

exprimer des résultats scientifiques précis. Par exemple, dire : « il y a un nombre entier supérieur 

à tout nombre entier » peut signifier, ou bien que pour chaque nombre entier, il existe un nombre 

entier qui lui est supérieur (ce que l’on pourrait noter ∀x ∃y (y ≥ x) et qui est vrai), ou alors 

qu’il existe un nombre entier qui est supérieur à tout nombre entier (ce que l’on pourrait noter 

∃x ∀y (y ≥ x) et qui est faux). La notation scientifique a évolué parallèlement à l’augmentation de 

la rigueur et de la précision au fil du temps. 

L’idée de représenter des objets mathématiques par des symboles est due à Aristote mais son 





utilisation dans un cadre arithmétique semble avoir été introduite par Diophante d’Alexandrie 

au milieu du III ème pour désigner l’inconnue dans une équation algébrique (e.g. 2 · x + 4 = 0). 

Ce n’est qu’en 1591 que Viète, considéré comme le fondateur de l’Algèbre moderne, a l’idée de 

généraliser cette notation symbolique aux coefficients de telles équations (e.g. a · x + b = 0) afin de 

trouver des solutions génériques. On trouve dans Newton les prémices de la notation générique des 

fonctions mais c’est Jean Bernouilli (1667–1748) qui désigne pour la première fois les fonctions 

polynomiales par un symbole en 1718. La notation des opérations par des symboles apparaît au 

début du XIX ème siècle : on peut lire dans les actes de la Séance solennelle de l’Académie Impériale 

des Sciences de Saint-Petersbourg tenue à l’occasion de sa fête séculaire le 29 décembre 1826 que 

l’Académicien E. Collins « adopte des signes généraux d’opération qu’il indique par des traits 

placés, comme les signes ordinaires de l’addition, de la soustraction, etc, entre des lettres. Ce 

calcul [. . . ] n’est pas là autre chose que la syntaxe du calcul des fonctions ». La symbolique 

utilisée en logique est principalement due à Frege (cf. infra). On peut constater dans son ouvrage 

Begriffsschrift la distinction qui est faite entre la syntaxe, illustrée par les expressions « 2 + 2 » ou 

encore « 2 2 », et leur sémantique : l’entier 4 qu’elle représentent. Les tables de vérité sont dues à 

Charles Peirce [Pei85] (1839–1914). 

1.2.5 Contemporains 

La logique algébrique § §¨¡ § de 

George Boole (1815–1864) conçoit dans The mathematical analysis of logic, being an essay 

towards a calculus of deductive reasoning (1847) et An investigation of the laws of thought on 

which are founded the mathematical theories of logic and probabilities (1854) une logique sous la 

forme d’un calcul efficace consistant en des procédures de décision, et indépendant de la philosophie. 

Il traduit les concepts logiques usuels (vrai, faux, conjonction, disjonction,. . .) sous forme binaire. 




19


Georg Cantor (1845–1918) publie en 1874 un article marquant le 

début de la Théorie des Ensembles et y distingue au moins de types 

d’infinis : celui des entiers, dont il montre qu’il est de même taille que 

celui des rationnels et même des réels algébriques, et celui de l’ensemble 

de tous les réels, ce qui constitue une preuve très élégante du résultat 

établi en 1851 par Liouville sur le fait qu’il existe une infinité de réels 

transcendants. Il définit la notion de cardinal et montre que montre 

également que les cardinaux de R n et R sont les mêmes à propos de 

quoi il dit : « je le vois mais je ne le crois pas ! ». En 1883, Cantor 

expose les propriétés des ensembles bien ordonnés, introduit la notion 

d’ordinal et établit l’arithmétique transfinie. 

En 1899, il met en évidence un paradoxe : quel serait le cardinal de 

l’ensemble de tous les ensembles ? Ce paradoxe sera discuté plus tard 

par Russel (cf. infra) en 1902. 

Hilbert décrivait le travail de Cantor comme « la plus fine pro- 

£ © ¥¨§ ¡ 


Georg Cantor 

(1845–1918) 

duction du génie mathématique et l’achèvement suprême de l’activité humaine purement intellectuelle 

». 

Le logicisme ¡ ¡ §£¢¤§ de 

Ce qu’on appelle la logistique ou encore logique mathématique commence 

avec la Begriffsschrift [vH67, p. 1–82] (Idéographie, 1879) de 

Gottlob Frege (1848-1925) qui reprend des idées, déjà latentes chez 

Leibniz, mais en les formalisant jusqu’au bout. 

L’école logiciste a une conception platonicienne de la Logique et veut 

s’attacher à trouver les « vrais » principes fondamentaux. On peut citer 

Frege : 

« De fausses prémisses on ne peut, d’une manière générale, 

rien conclure. Une pure pensée, non reconnue comme vraie, 

ne peut pas être une prémisse. C’est seulement lorsque j’ai 

reconnu comme vraie une pensée qu’elle peut être pour moi 

une prémisse ; de pures hypothèses ne peuvent être employées 

comme prémisses. » 

Frege exclut les propositions modales de son système logique, soutenant 

que les modalités n’affectent pas le contenu des propositions, mais 


Gottlob Frege 

(1848–1925) 

plutôt la capacité à en faire l’assertion. La nécessité implique que nous pouvons inférer le contenu 

de la proposition, alors que le possible implique que nous ne pouvons faire cette même assertion 

universellement et avec certitude. 

Il est clair que la Begriffsschrift constitue le point de départ de la logique contemporaine mais 

il n’a failli par voir le jour car, juste avant sa publication en 1902, Bertrand Russel découvrait son 

célèbre paradoxe (cf. infra). 

Frege ajouta finalement à la fin de son traité : 

« Un scientifique peut difficilement se trouver face à quelquechose de plus indésirable 

que de voir les fondations céder alors que le travail vient d’être terminé. Dans cette 





position je fus mis par une lettre de M. Bertrand Russel alors que ce travail était 

presque déjà sous presse. » 

£ § © § 

Giuseppe Peano (1858–1932), tout comme chez Frege, considère 

la logique comme subordonnée aux mathématiques. Il cherche également 

comme Frege à évacuer complètement la langue naturelle des 

mathématiques pour la remplacer par des termes logiques. C’est à cette 

entreprise qu’il consacre son Formulaire (1895). Peano considère que, 

puisque les mathématiques peuvent être entièrement réduites à un langage 

symbolique, elles acquièrent ainsi un caractère universel. Il en serait 

de même pour toute science qui pourrait être exprimée sous forme symbolique. 

Les efforts de Grassmann et de Peano donnent lieu à la définition 

formelle des espaces vectoriels réels [Pea88], puis à ses Arithmetices 

principia [Pea89], dont il montre [Pea91] en 1891, l’indépendance des 

axiomes 

Bien que Peano présente son calcul comme une axiomatique, il n’organise 

pas ses lois logiques en un système déductif comme le fait Frege. 


Giuseppe Peano 

(1858–1932) 

Les propositions servant de base à l’arithmétique ne sont que des postulats. 

On retient toutefois de Peano son idéographie, beaucoup moins compliquée que celle de Frege, 

et qui deviendra, après quelques ajustements de Russell et Whitehead, la langue symbolique de 

la logistique moderne. 

La théorie des types simples de 

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Fortement influencé par Peano, Bertrand Russell (1872-1970) critique 

Frege, entre autres, sur la théorie des ensembles, dans son ouvrage 

Principles of mathematics (1903). Il met en évidence des paradoxes 

dont le plus célèbre d’entre-eux est présenté dès 1902 (et trouvé 

indépendemment par Zermelo) demande si, étant donné l’ensemble 

E = {x | x /∈ x}, on a E ∈ E ou pas. On voit aisément que E ∈ E ssi 

E /∈ E, ce qui constitua un paradoxe qu’il proposa de regler en introduisant 

la théorie des types simples, parus dans un premier temps dans 

l’article Mathematical logic as based on the theory of type (1908), puis 

dans son ouvrage Principia mathematica (1910). 

£ ¢ § ¡ ¥ 

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¡ 

David Hilbert (1862–1943) propose un programme de recherche 

pour le XXème siècle, au Congrès International de Mathématiques de 


Bertrand Russel 

(1872–1970) 

Paris en 1900. Il propose en particulier de rechercher une preuve absolue de la cohérence de 

l’arithmétique, considérant que les preuves de cohérence des mathématiques n’étaient jusque là 

que relatives et fondées uniquement sur l’arithmétique, qui elle-même ne pouvait être ramenée à la 

cohérence d’une autre théorie plus fondamentale. 




21


Dans les années 1920, Hilbert met au point une méthode de démonstration, afin de déterminer 

mécaniquement si une formule est ou n’est pas un théorème. Toutefois, Church et Turing montreront 

en 1936 qu’il n’existe pas de procédure mécanique de décision pour la logique du premier 

ordre et pour l’arithmétique. 

Hilbert reconnaîtra, même avant la preuve de Church et Turing, 

que la preuve de cohérence issue de sa théorie de la démonstration ne 

saurait être absolue et qu’elle doit reposer sur un ensemble de méthodes 

élémentaires, intuitivement correctes. Il devra également admettre l’impossibilité 

de démontrer, par des procédés dits finitistes, la non contradiction 

de l’arithmétique et de toute la théorie la contenant ainsi que, 

plus généralement, la non contradiction d’un système formel à l’aide des 

seules ressources qu’il contient lui-même. 

Hilbert insiste sur le fait que le processus de déduction « n’a pas 

de sens », c’est-à-dire ne constitue qu’une suite de réécriture selon des 

règles calculatoires. Le sens, les certitudes et les fondements doivent être 

distinctes de ces processus et être fondées sur les preuves de cohérence 

et d’absence de contradiction formelle. Ces preuves doivent être données 

dans une mathématique externe aux mathématiques usuelles : les 

métamathématiques. La métathéorie est écrite dans un métalangage. 


David Hilbert 

(1862–1943) 

Hilbert conjecture, dans son programme de fondations des mathématiques, qu’on pourra 

démontrer la décidabilité et la complétude (tout énoncé ou sa négation est démontrable) des axiomatiques 

formelles. 

¥ § ¢¡ 

¡ § 

Les débuts C’est en 1928 que Kurt Gödel (1906-1978) s’intéresse 

aux problèmes de logique mathématique et de théorie des ensembles. 

Ce tournant est pris grâce aux leçons de Rudolf Carnap (1891-1970) 

sur les fondements philosophiques de l’arithmétique et à la parution 

du livre de Hilbert et Wilhelm Ackermann (1896–1962) : Grundzüge 

der theoretischen Logik ( Éléments de logique théorique). La même année 

se tient à Bologne le premier congrès international des mathématiciens 

depuis la guerre ; Hilbert y fait une conférence, dont Gödel a probablement 

connaissance, sur les problèmes posés aux mathématiciens par 

« le fondement » de leur science. 

Lors de cette conférence, les deux problèmes logiques explicitement 

formulés par le traité de Hilbert et Ackermann sont celui de la 

complétude sémantique et celui de la décidabilité du calcul des prédicats Fig. 1.11 – Source [McT] 

du premier ordre. Le problème général de la complétude est le suivant : 

Kurt Gödel, jeune 

(1906–1978) 

l’ensemble des axiomes posés pour le calcul des prédicats du premier 

ordre suffit-il à la dérivation de n’importe quel énoncé valide universellement ? Le problème général 

de la décision, considéré alors comme « le problème fondamental de la logique symbolique », 

consiste à trouver une méthode systématique qui permette de décider en un nombre fini d’étapes si 

un énoncé quelconque du calcul des prédicats du premier ordre est valide ou satisfiable (vrai pour 

une interprétation). Les quatre problèmes proposés au congrès de Bologne sont les suivants : 

1. donner une preuve finitiste, c’est-à-dire, en gros, excluant tout raisonnement sur les collec- 





tions infinies, de la consistance (ou non-contradiction) de l’analyse. Hilbert croyait, à tort, ce 

problème résolu pour l’arithmétique ; 

2. donner une preuve finitiste de la consistance de la théorie des ensembles ; 

3. démontrer la complétude syntaxique de la théorie élémentaire des nombres entiers ou réels ; 

4. démontrer la complétude sémantique du calcul des prédicats du premier ordre au sens défini 

dans les Grundzüge der theoretischen Logik. 

Le Théorème de complétude Le Théorème de complétude de Gödel établit dans la vingtaine 

de pages que constitue son Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls (1930) 

que que toute formule du premier ordre universellement valide peut être prouvée dans un certain 

système formel. 

Les Théorèmes d’incomplétude Gödel montre également dans ses 

deux Théorèmes d’incomplétude, l’impossibilité de réaliser le programme 

de Hilbert : 

1. il existe un énoncé élémentaire vrai mais qui ne peut être 

prouvé dans l’arithmétique de Peano (supposément cohérente). 

Comme ce système contient toutes les méthodes élémentaires de 

preuve, Gödel montre par le fait même qu’il existe des vérités 

arithmétiques élémentaires qui n’ont pas de preuve élémentaire. 

Cette affirmation réfute donc une partie du programme de Hilbert. 

2. Le second théorème montre que, parmi ces énoncés vrais mais 

non prouvables, on peut choisir l’énoncé de la cohérence de 

l’arithmétique comme n’ayant pas de preuve élémentaire, ce qui 

discrédite l’autre partie du programme de Hilbert, qui vise justement 

à prouver la cohérence de l’arithmétique. 


Kurt Gödel, plus âgé 

Au cours des années 1930, les logiciens précisent la notion hilbertienne de déduction formelle 

comme « procédure effective ». Plusieurs notions de fonctions calculables sont données et Kurt 

Gödel code les formules du langage logique par des entiers (gödelisation), ce qui permet de relier 

la métathéorie à la théorie qu’elle décrit et de faire des démonstrations des fonctions calculables. 

En 1931, Gödel montre son Théorème d’Incomplétude qui établit que l’arithmétique formelle 

n’est pas complète, ni décidable. 

Entre 1929 et 1931, Gödel aura résolu tous ces problèmes sauf celui de la décidabilité du calcul 

des prédicats du premier ordre (résolu négativement en 1936, par Alonzo Church (1903–1995)) et 

celui de la complétude syntaxique de la théorie élémentaire des nombres réels (résolu ultérieurement 

d’une façon positive par Tarski). 

l’Autriche en 1940 pour Princeton (NJ, USA), à l’Institute for Advanced Studies. Il continue ses 

travaux de logique mais il se consacre de plus en plus à la philosophie et à la philosophie des 

mathématiques. Il publie notamment (1944) un important article sur Bertrand Russell, où il 

expose simultanément ses vues sur la nature et l’histoire de la logique, et sur le rôle des analyses de 

concepts dans la recherche de solutions exactes à des problèmes techniques. En 1947, Gödel publie 

§ ¡ 

§ ¡¡ 

¥ ¡¤£ © £ 

£ § ¥ §¨© Sous la pression des événements politiques, Gödel quitte définitivement 




23


un commentaire au problème du continu (What is Cantor’s continuum problem ?), où il propose 

la recherche de nouveaux axiomes, en particulier d’axiomes de l’infini plus forts que l’axiome usuel 

de ZF, pour affirmer l’existence de très grands cardinaux. 

La philosophie de Gödel ressemble au platonisme : les concepts mathématiques ou logiques 

existent indépendamment des moyens que nous avons de les appréhender ou de les décrire. C’est 

pourquoi l’hypothèse du continu, par exemple, doit être vraie ou fausse en dépit de son caractère 

indécidable. Elle diffère des théories platoniciennes en ce que la compréhension de ces réalités proviennent 

d’une activité constructive (comme dans la récursivité et les ensembles constructibles), 

plutôt que d’une contemplation. Cette construction semble ne pas reposer totalement sur la réalité 

sensible, ni totalement sur la pure réflexion intellectuelle. Cette position intermédiaire rappelle 

le schématisme kantien et la conception kantienne de l’espace et du temps amène Gödel à travailler 

avec Einstein sur la théorie de la relativité, entre 1947 et 1951 et à proposer des modèles 

cosmologiques très curieux qui permettent, théoriquement, le voyage dans le passé. 

En 1953–1954, Gödel rédige un important article sur la philosophie de Carnap. Il existe 

plusieurs versions manuscrites de cet article, malheureusement jamais publié. Gödel y défend un 

point de vue totalement opposé à celui de Carnap : les mathématiques ne sont pas la syntaxe du 

langage. 

Vers 1958, Gödel s’isole progressivement et développe une paranoïa hypocondriaque. Par peur 

d’un empoisonnement, il refuse de s’alimenter et meurt le 14 janvier 1978, à 72 ans. 

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Modèles de , ¥§¦ £ 

et ¨ £ ¡ ¥©¦ £ 

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Suite au développement syntaxique de la logique, certains logiciens 

s’intéressent à son aspect sémantique, soit l’étude non plus uniquement 

de la relation des expressions entre elles, mais également de ces expressions 

avec un référent. La théorie des modèles, qui trouve ses racines chez 

Leopold Löwenheim (1878–1957) et Thoralf Skolem (1887–1963), devra 

attendre le travail d’Alfred Tarski (1902–1983) pour être popularisée. 

Elle repose principalement sur deux théorèmes fondateurs : 

1. Le théorème de compacité : un ensemble d’énoncés admet un 

modèle si et seulement si tous ses sous-ensembles finis admettent 

un modèle. 

2. Le théorème de Löwenheim-Skolem : une théorie dans un langage 

dénombrable qui admet un modèle infini admet un modèle 

dénombrable (ce dernier pouvant toutefois contenir des ensembles 

non dénombrables). 


Thoralf Skolem 

(1887–1963) 

La déduction naturelle et le calcul des § ¤ 

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séquents de 

Gerhard Gentzen (1909-1945) développe une méthode de déduction sous hypothèses, la déduction 

naturelle. Cette méthode consiste à faire une preuve en éliminant toutes les hypothèses de départ : 

« Une preuve est un cas dégénéré de déduction, dans lequel l’ensemble des hypothèses est vide ». 

Cette méthode est régie principalement par les règles d’introduction et d’élimination des divers 

opérateurs, qui décomposent chaque expression en ses termes les plus simples. C’est parce que les 

propositions sont composées de termes simples dont on fait l’hypothèse séparément les uns des autres 

que cette déduction est dite « naturelle ». Gentzen montre également le hauptsatz (Théorème 





d’élimination des coupures) qui, couplé à une variante de la déduction naturelle baptisée calcul des 

séquents, permet de trouver certaines démonstrations de manière automatique. 

L’intuitionnisme 

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En marge du courant logiciste de Frege et Russell et du courant formaliste de Hilbert, 

Luitzen Brouwer (1881–1966) développe une approche bien différente. Le mathématicien Arend 

Heyting (1898–1980) commente : 

« Le programme de Brouwer consiste à explorer les constructions mathématiques 

mentales en tant que telles, sans référence aux questions qui touchent à la nature même 

des objets construits, telle que celle de savoir si ces objets existent indépendamment de la 

connaissance que nous avons d’eux. Les mathématiques, du point de vue intuitionniste, 

sont l’étude de certaines fonctions de l’esprit humain. » 

Cette perspective considère que les énoncés ne peuvent être vrais si 

nous ne pouvons nous faire l’expérience mentale de cette vérité. Brouwer 

propose donc de justifier une assertion, non pas en faisant une preuve 

par l’absurde, mais plutôt en vérifiant si nous pouvons construire mentalement 

cet objet dont il est question. Brouwer souligne le fait que les 

principes de la logiques classiques ne sont pas fiables, dans la mesure où 

ils ne donnent que l’illusion de posséder la vérité, vérité qui ne peut être 

« expérimentée ». L’intuitionnisme est donc une philosophie au sein de 

laquelle les actes mentaux de preuve ou de justification jouent un rôle 

fondamental. 

Pour illustrer le problème qui gène Brouwer, prenons une 

démonstration non constructive, qui part du principe qu’une proposition 

est soit vraie, soit fausse (le tiers exclus) : 

Théorème 1 Il existe deux irrationnels a et b tels que a b soit rationnel. 


Luitzen Brouwer 

(1881–1966) 

Démonstration: Soit a = b = √ 2, alors on deux cas possibles : 

– soit a b est rationnel ; 

– soit a b n’est pas rationnel, auquel cas, soit a ′ = a b , on a a ′b = 2 qui est rationnel. 

On a montré qu’il existe deux irrationnels a et b tels que a b soit rationnel mais on n’est pas 

capable 17 de donner un exemple de tels a et b. 

Heyting, correspondant avec Brouwer et le fameux Andrey Kolmogorov formulera une 

axiomatisation de référence pour la logique propositionnelle intuitionniste (1930). Ce système ressemble 

sensiblement à celui de la logique classique, mais n’admet pas les principes de double 

négation et de tiers exclu. Une interprétation intéressante de cette nuovelle logique est appelée 

BHK (Brouwer, Heyting et Kolmogorov), selon laquelle on définit l’acte capable de justifier 

l’assertion d’un énoncé en fonction des actes capables de justifier l’assertion de ses constituants 

immédiats. Exemple : Un acte qui justifie (A ∧ B) est la donnée d’un acte de justification pour 

les énoncés A et B séparément. La logique intuitionniste s’intéresse donc aux actes eux-mêmes, 

plutôt qu’à leur seul résultat. Church critiquera toutefois le fait que cette logique soit énoncée à la 

fois dans le langage et le métalangage, faisant en sorte qu’elle ne puisse justement être considérée 

comme une logique au sens traditionnel. 

√ √ 

17 2 

En fait, on peut montrer, mais c’est très difficile, que 2 est irrationnel. . . 




25


Gödel s’intéressera ultérieurement à la logique intuitionniste, en énonçant la « propriété de 

disjonction » : en logique intuitionniste, si (A ∨ B) est un théorème, alors A en est un ou bien 

B en est un. Ensuite, il établit (1933) une traduction négative de la logique classique en logique 

intuitionniste : chaque théorème classique aura un théorème correspondant dans la logique intuitionniste. 

Finalement, il cherche à la traduire dans la logique classique augmentée d’un opérateur de 

prouvabilité (équivalent du système modal S4). Ainsi, il interprète l’opérateur modal de nécessité 

en termes de prouvabilité, interprétation qui intéresse toujours d’ailleurs les logiciens. 

Théorie des ensembles § ¡ £ § ¡ § de ¡ ¡ £ § © 

¦ § ¡ 

et 

Vers 1922, Ernst Zermelo (1871–1953), Adolf Fraenkel (1891–1965), en collaboration avec 

Skolem, construisent le système d’axiomes de la Théorie des Ensembles qui porte leur nom (ZF) 

et sur lequel est fondé la quasi-totalité des mathématiques contemporaines, malgré le résultat 

d’incomplétude de Gödel qui s’applique à ce système. 

L’Axiome du Choix, noté AC, est un axiome permettant de faire un nombre non-dénombrables 

de choix simultanés. Zermelo avait prouvé en 1908 l’équivalence de cet axiome avec celui du 

bon ordre, selon lequel tout ensemble peut être bien ordonné, c’est-à-dire ordonné en sorte que 

chacun de ses sous-ensembles ait un plus petit élément. C’est un axiome communément accepté 

en mathématiques, grâce auquel on peut, par exemple, démontrer que tout espace vectoriel admet 

une base. Il conduit cependant à des situations assez contre-intuitives comme le célèbre paradoxe 

de Banach-Tarski, qu’on évoquera à la Section 2.2.5, p. 33. 

L’Hypothèse du Continu, notée CH pour continuum hypothesis, exprime le fait qu’il n’y a pas 

d’ensemble dont le cardinal soit compris strictement entre celui de N et celui des parties P(N) 

de N. On peut étendre cette hypothèse en l’Hypothèse du Continu Généralisée, notée GCH pour 

generalized continuum hypothesis au fait que pour tout ensemble E, le plus petit cardinal supérieur 

à |E| est |P(E)|. 

Gödel s’est attaqué à ces questions aussitôt après avoir obtenu les grands résultats de 1930 

et 1931. Cette fois encore, il prend son point de départ dans un travail de Hilbert : Sur l’infini 

(1925), qui contient une esquisse de preuve de la consistance de CH dans une théorie axiomatisée 

des ensembles. Gödel explique l’échec de la tentative de Hilbert par deux raisons : d’une part, la 

croyance en la coextension des concepts de vérité et de démontrabilité, d’autre part, les exigences 

finitistes qui empêchent Hilbert d’admettre comme donnés tous les ordinaux. 

Gödel parvient à montrer en 1937 que, si ZF n’est pas contradictoire, alors AC et GCH sont 

consistants (on note ZF ¬AC et ZF ¬GCH). Paul Cohen (1934– ) montre en 1963 que, si ZF 

n’est pas contradictoire, ZF AC et que ZF HC, et prouve par là-même que l’Axiome du choix 

et l’Hypothèse du continu généralisée sont indépendants de ZF. On peut donc décider de prendre 

ou de ne pas prendre ces hypothèses pour travailler, selon sa propre philosophie. 

Métalogique 

La logique contemporaine, en particulier sous l’influence de Gödel, a mis en évidence un certain 

nombre de propriétés fondamentales dites métalogiques de tous les systèmes logiques : 

– consistance : un raisonnement à partir des axiomes n’aboutit pas à une absurdité ; 

– non-contradiction : la théorie est satisfaisable sémantiquement ; 

– fiabilité : tout ce qui est démontrable est vrai ; 

– complétude sémantique : tout ce qui est vrai est démontrable ; 





– compacité : c’est la complétude sémantique pour les théories infinies ; 

– complétude syntaxique : l’ajout d’une formule qui n’est pas un théorème entraine une contradiction 

; 

– décidabilité : il existe un algorithme permettant de savoir si une formule est vraie ou fausse ; 

– indépendance : parmi les axiomes choisis, aucun n’est la conséquence des autres ; 

Emil Post (1897–1954) démontre en 1921 la consistance (non contradiction), la complétude 

(forte et faible) ainsi que la décidabilité du calcul des propositions : 

– ce calcul est consistant au sens large i.e. que la théorie possède au moins une expression bien 

formée qui n’est pas un théorème et est non contradictoire ; 

– il est complet au sens fort (complétude syntaxique) i.e. qu’il est impossible d’ajouter aux 

axiomes une formule qui n’est pas un théorème sans entraîner une contradiction ; 

– il est par le fait même complet au sens faible (complétude sémantique) i.e. que tous les 

théorèmes qui ne sont pas des axiomes sont démontrables ; 

– ce calcul est décidable étant donné que la méthode des tables de vérité est un algorithme fini 

et que les expressions du calcul des propositions ont un nombre fini de valeurs de vérité. 

Post (1921), Hilbert et Ackermann (1928) ainsi que Gödel (1930) démontrent la consistance, 

la non contradiction et la complétude au sens faible du calcul des prédicats : 

– ce calcul est consistant et non contradictoire (Hilbert et Ackermann) ; 

– ce calcul est complet sémantiquement (Post et Gödel) ; 

– le calcul des prédicats n’est pas complet syntaxiquement puisque la classe d’objets des fonctions 

prédicatives est habituellement indéterminée ; 

– ce calcul est aussi indécidable, étant donné que les tables de vérité ne peuvent être construites 

que d’après des variables d’objets déterminées et finies (selon la théorème de Church). 

Les démonstrations métalogiques du calcul des prédicats du premier ordre se font en général par 

le théorème de Skolem, selon lequel toute formule de ce calcul a une forme normale de Skolem 

déductivement équivalente à elle-même. Il s’agit d’une technique inductive de décision (syntaxique) 

fondée sur des présupposés sémantiques. 

Conclusion 

De ce qui précède, on constate l’importance de la distinction entre syntaxe et sémantique. 

Cependant, même si la syntaxe est rigoureusement définie et si la sémantique est non-ambiguë, il 

reste le problème de la formalisation, c’est-à-dire de la modélisation : il se peut que le formalisme 

n’exprime pas ce qu’on a l’intention de lui faire dire. Par ailleurs, le choix des axiomes est délicat 

§¤© 

(la vérité est au fond d’un puit). . . 

 

car, comme le dit Démocrite, ¡ §£¢ 




27





Chapitre 2 

Rappels 

2.1 Introduction 

2.1.1 Distinction entre langage et métalangage 

Lorsqu’on fait de la logique, il faut bien prendre garde au fait que deux langages coexistent : 

– le langage objet (e.g. le langage des propositions) qui est formalisé mathématiquement ; 

– le métalangage (ici, la langue française) qui sert à décrire le langage objet. 

Un parallèle peut être fait avec les langages de programmation. Par exemple, si en C, on écrit : 

char e = ’=’ ; 

Le premier signe = désigne l’affectation du langage C qui est celui dans lequel on décrit les 

instructions (donc le métalangage). La ligne de commande ci-dessus consiste à lui dire d’assigner 

la variable e à la valeur du caractère ASCII = qui est mis entr’apostrophes selon les conventions 

du C pour le distinguer du métacaractère d’affectation. Le second = est donc un élément du langage 

objet que ce programme C est en train de manipuler. 

2.1.2 Structuration du métalangage 

Pour structurer le métalangage, on introduit des notions mathématiques dites « naives » car 

elles ne sont pas formelles et reposent sur l’intuition qu’on en a (comme par exemple la définition 

d’un ensemble comme une « collection d’objets »). Une fois établie une liste la plus restreinte 

possible de notions naïves, on définit avec les mots du métalangage ce qu’est un langage formel, 

ainsi que les règles applicables sur ces langages. La totalité des mathématiques sont ensuite déduites 

de ce langage formel par les règles formelles qu’on s’est fixées (c’est ce qu’on verra avec la Théorie 

ZF). À l’inverse du métalangage naivement structuré, les langages formels pourront faire l’objet 

d’un traitement automatique par des ordinateurs. 

Nous commençons nos rappels par les définitions premières de la théorie naïve des ensembles. 

29

2.2. THÉORIE NAÏVE DES ENSEMBLES CHAPITRE 2. RAPPELS 

2.2 Théorie naïve des ensembles 

2.2.1 Ensembles, relations, fonctions 

Définition 1 On appelle ensemble naïf une collection E d’élements. Si deux éléments x et y 

sont les mêmes, on notera x = y, sinon, on notera x = y. On notera x ∈ E si x est un élément 

de E et x /∈ E sinon. Si deux ensemble E et F ont les mêmes éléments, on notera E = F , sinon 

E = F . Un sous-ensemble (ou une partie) A de E est un ensemble dont tous les éléments 

sont dans E. L’ensemble des parties de E, noté P(E) est l’ensemble dont les éléments sont les 

sous-ensembles de E. 

On note A ⊆ E. S’il existe un élément de E qui n’est pas dans A, on dit que A est un sousensemble 

strict (ou une partie propre) 1 de E et on note A E. 

On définit deux mécanismes pour définir un ensemble : 

– en extension : où l’on explicite tous les éléments de l’ensemble, comme par exemple dans 

le cas du singleton {x} qui désigne l’ensemble ne contenant que l’élément x ou de la paire 

{x, y} qui est l’ensemble contenant x et y. Lorsqu’on peut énumérer les éléments d’un ensemble 

de telle sorte qu’un élément est relié à celui qui le précède et à celui qui lui succède 

par une règle évidente, on prend une notation abrégée comme pour l’ensemble fini {1, . . . , n} 

qui désigne l’ensemble des entiers entre 1 et n, ou de l’ensemble infini {2, 4, . . . , 2k, . . .} qui 

désigne l’ensemble infini des entiers pairs. 

– en compréhension : où l’on exploite une propriété caractéristique P des éléments de l’ensemble 

2 . Par exemple, pour un entier n, la propriété P (n) est le fait que n est divisible par 

deux. On définit l’ensemble des entiers pairs comme {n ∈ N | P (n)} (lire « l’ensemble des n 

dans N tels que P (n) »). 

L’ensemble vide, noté ∅, ne contient aucun élément. Si X et Y sont deux ensembles : 

– X ∪ Y désigne l’ensemble dont les éléments z vérifient z ∈ X ou z ∈ Y ; 

– X ∩ Y désigne l’ensemble dont les éléments z vérifient z ∈ X et z ∈ Y ; 

– X ⊔ Y désigne un ensemble X ∪ Y pour lequel X ∩ Y = ∅ ; 

– X \ Y désigne l’ensemble dont les éléments z vérifient z ∈ X et z /∈ Y ; 

– X△Y désigne l’ensemble dont les éléments z vérifient z ∈ X et z ∈ Y mais z /∈ X ∩ Y . 

Le couple (x, y) est l’ensemble 3 x, {x, y} . Le produit cartésien E×F est l’ensemble des couples 

(x, y) avec x ∈ E et y ∈ F . Cette notion se généralise au produit E1 × · · · × En de n ensembles 

dont les éléments (x1, . . . , xn) s’appellent des n-uplets. 

Définition 2 Une relation n-aire sur X1 × · · · × Xn est un sous-ensemble R ⊆ X1 × · · · × Xn. 

Définition 3 Une relation binaire f ⊆ X × Y est fonctionnelle ssi pour tout x ∈ X, il existe un 

unique y ∈ Y tel que (x, y) ∈ f. Dans ce cas, on utilise la « notation fonctionnelle » qui consiste 

à écrire f : X −→ Y au lieu de f ⊆ X × Y et à noter f(x) l’élément y ∈ Y tel que (x, y) ∈ f, ce 

qu’on écrit x ↦−→ f(x). L’image de f notée im(f) def 

= {f(x) : x ∈ X}, désigne le sous-ensemble 

de Y constitué de tous les f(x) lorsque x décrit tous les éléments de X. On a f = {(x, f(x)) : x ∈ 

X}. Une relation fonctionnelle s’appelle une fonction (on dit aussi application). L’ensemble X 

1 

La notation A ⊂ E désigne parfois l’inclusion stricte ; pour éviter les confusions, nous écrirons toujours ⊆ pour 

« inclus ou égal » et pour « inclus strictement ». 

2 

Les travaux de Russel ont montré que cette propriété ne peut pas être n’importe quoi, sinon on s’expose à des 

paradoxes. 

3 on a bien (x, y) = (y, x) et (x, y) = (x ′ , y ′ ) ssi x = x ′ et y = y ′ 




CHAPITRE 2. RAPPELS 2.2. THÉORIE NAÏVE DES ENSEMBLES 

s’appelle le domaine de f et Y son codomaine. On note Y X l’ensemble des applications de 

X −→ Y . Une application f : X −→ Y est 

– injective ssi, pour tout x, x ′ ∈ X, f(x) = f(x ′ ) implique x = x ′ ; 

– surjective ssi, pour tout y ∈ Y , il existe x ∈ X tel que f(x) = y (c’est-à-dire si im(f) = Y ) ; 

– bijective ssi elle est injective et bijective. 

Si f : X −→ Y et g : Y −→ Z, on appelle composée de f et g l’application g ◦ f : X −→ Z qui à 

tout x ∈ X associe z = g f(x) . L’application identique de X est l’application IdX : X −→ X 

telle que x ↦−→ x. Une involution est une application f : X −→ X telle que f ◦ f = IdX. Si f 

est bijective, on appelle application réciproque de f : X −→ Y l’application f −1 : Y −→ X qui 

à tout y associe l’unique x ∈ X tel que f(x) = y. Plus généralement, pour toute fonction f, on 

définit une application réciproque ensembliste f −1 : Y −→ P(X) qui, à tout y ∈ Y associe 

l’ensemble des x ∈ X tels que f(x) = y. Lorsque f est bijective, f −1 (y) = x ssi f −1 (y) = {x}. Une 

famille d’éléments de X indexée par un ensemble I est une application f : I −→ X. On note 

souvent xi l’élément f(i) pour i ∈ I et (xi)i∈I désigne en général l’application f. Une suite est une 

famille de la forme (xi)i∈N ou (xi)1≤i≤n. Soit f : X −→ Y une fonction et que X est un produit 

cartésien de la forme X = E1 × · · · × En, l’entier n s’appelle l’arité de f et se note ar(f) et on dit 

que f est n-aire. 

2.2.2 Relations d’ordre et d’équivalence 

Définition 4 Une relation R ⊆ X × X est : 

– réflexive ssi (x, x) ∈ R pour tout x ∈ X ; 

– transitive ssi, lorsque (x, y) ∈ R et (y, z) ∈ R, alors (x, z) ∈ R, pour tout x, y, z ∈ X. 

Une relation réflexive et transitive s’appelle une relation de préordre. Deux éléments x, y sont 

comparables ssi on a (x, y) ∈ R ou (y, x) ∈ R. Une relation R ⊆ X × X est : 

– symétrique ssi, lorsque (x, y) ∈ R, alors (y, x) ∈ R pour tout x, y ∈ X ; 

– antisymétrique ssi, lorsque (x, y) ∈ R et (y, x) ∈ R, alors x = y, pour tout x, y ∈ X ; 

Un préordre antisymétrique s’appelle une relation d’ordre. Soit (X, ≤) un ensemble muni d’une 

relation d’ordre. Si deux éléments de X sont toujours comparables, ≤ est un ordre total. Une partie 

de X totalement ordonnée s’appelle une chaîne de X. Un minimum (resp. maximum) de X 

est un élément x ∈ X, noté min X (resp. max X) tel que, pour tout y ∈ X, x ≤ y (resp. y ≤ x). 

Soit E une partie de X, un minorant (resp. majorant) de E est un élément x ∈ X tel que x est 

un minimum (resp. un maximum) de {x} ∪ E. Un infimum (resp. supremum) de E est un plus 

grand minorant (resp. plus petit majorant) de E, noté inf E (resp. sup E). L’ordre ≤ est bon ssi 

toute partie non-vide de X contient un minimum. L’ensemble (X, ≤) est inductif ssi toute chaîne 

de X admet un majorant. Un préordre symétrique s’appelle une relation d’équivalence. Dans 

ce cas, soit x ∈ X, on appelle classe d’équivalence de x modulo R l’ensemble, noté x mod R, 

des y ∈ X tels que (x, y) ∈ R. On note y ≡ x mod R et on lit (« y est congru à x modulo R »). On 

appelle ensemble des classes d’équivalence de X modulo R l’ensemble X/R def 

= {x mod R : 

x ∈ X} et x s’appelle un représentant de x mod R. Dans ces deux cas, on utilise la « notation 

opérationnelle infixe », c’est-à-dire qu’on note x R y, plutôt que (x, y) ∈ R et x R y pour (x, y) /∈ R. 

Exemple 1 La relation = est symétrique mais ni réflexive, ni transitive. 

Exemple 2 La relation R = {(X, Y ) ⊆ Z × Z | X ⊆ Y } est une relation d’ordre partiel. En 

effet, elle est bien réflexive, antisymétrique et transitive mais pas totale car {1, 3, 5} ⊆ {3, 4} et 




31

2.2. THÉORIE NAÏVE DES ENSEMBLES CHAPITRE 2. RAPPELS 

{3, 4} ⊆ {1, 3, 5}. De même, la relation « divise » est un ordre sur les entiers mais il n’est pas total 

car, par exemple 3 et 5 ne sont pas comparables. 

Exemple 3 La relation R = {(x, y) ∈ Z | x ≤ y} est une relation d’ordre total. 

Exemple 4 La relation R = {(x, y) ∈ Z×Z | x−y est divisible par 2} est une relation d’équivalence 

sur les entiers. La classe d’équivalence de 0 est l’ensemble des entiers pairs, la classe d’équivalence 

de 1 est l’ensemble des entiers impairs. L’ensemble des classes d’équivalence des entiers modulo R 

se note Z/2Z. 

Définition 5 Un arbre est un ensemble ordonné (X, ≤) admettant un minimum, appelé racine 

et tel que, pour tout x ∈ X, {y ∈ X | y ≤ x} est fini. Une feuille de X est un élément maximal. 

2.2.3 Ensembles définis par induction 

Une façon pratique de définir un ensemble consiste à partir d’une famille de fonctions et de 

construire le nouvel ensemble en itérant ces fonctions sur un ensemble de base. Ce mécanisme 

généralise le principe de récurrence sur les entiers. On retrouvera plus loin ce mécanisme d’induction 

dans la section sur les langages. 

Définition 6 Soit E un ensemble, B un sous-ensemble non-vide de E et F un ensemble de fonctions 

f : E n −→ E où n = ar(f) désigne l’arité de f. L’ensemble défini par induction sur F 

à partir de B est le plus petit 4 sous-ensemble X de E contenant B et tel que pour toute fonction 

n-aire f ∈ F , et tout x1, . . . , xn ∈ X, on ait f(x1, . . . , xn) ∈ X. 

Proposition 1 (Démonstration par induction) Avec les notations de la définition précédente, 

soit P (x) une propriété a priori vraie ou fausse d’un élément x de X, alors les psse : 

1. (a) P (x) est vrai pour tout x ∈ B ; 

(b) pour toute fonction n-aire f ∈ F et tout x1, . . . , xn ∈ X, si P (x1), . . . , P (xn) sont tous 

vrais, alors P f(x1, . . . , xn) est vrai ; 

2. pour tout x ∈ X, P (x) est vrai. 

Démonstration: Il est clair que 2. implique 1. Inversement, soit Y = {x ∈ X | P (x) est vrai}, alors B ⊆ Y 

d’après (a). Soient x1, . . . , xn ∈ Y , on a donc P (x1), . . . , P (xn) qui sont tous vrais. D’après (b), pour toute 

fonction n-aire f, on a f(x1, . . . , xn) est vrai, donc f(x1, . . . , xn) ∈ Y , c’est-à-dire que Y satisfait les clauses 

de la définition inductive de X. Comme ce dernier est minimal, on a X ⊆ Y et puisque Y ⊆ X, on déduit 

X = Y . 

2.2.4 Infini, cardinaux, ordinaux 

Définition 7 Deux ensembles sont équipotents s’il existe une bijection entre-eux ; c’est une relation 

d’équivalence notée . 

Dedekind se fonde sur la propriété caractéristique d’Euclide des les ensembles finis qui dit 

que « le tout est plus grand que la partie » pour définir ce qu’est un ensemble infini : 

4 Il existe car les parties d’un ensemble sont bien ordonnée pour l’inclusion et comme toutes les parties considérées 

contiennent B, elles sont donc non-vides et admettent un élément minimal. 




CHAPITRE 2. RAPPELS 2.2. THÉORIE NAÏVE DES ENSEMBLES 

Définition 8 Un ensemble X est infini ssi il est équipotent à une de ses parties propres. Sinon, 

il est fini. 

Exemple 5 Soit P = {2k : k ∈ N} l’ensemble des entiers pairs. On a bien P N et l’application 

f : N −→ P qui à tout entier k associe 2k est bijective, donc N est infini au sens de la définition 

précédente. 

Définition 9 Soit X un ensemble, le cardinal de X est la classe d’équivalence des ensembles 

équipotents à X. On le note |X|. On a |X| + |Y | def 

= |X ⊔ Y |, |X| · |Y | def 

= |X × Y |, |X| |Y | def 

= |XY |. 

On note |X| ≤ |Y | ssi il existe une injection de X dans Y . 

Théorème 2 (Premier Théorème de 

£ © ¥¨§ ¡ ) Pour tout ensemble X, |X| < |P(X)|. 

Démonstration: L’application x ↦−→ {x} de E dans P(X) est injective donc |X| ≤ |P(X)|. Soit f : X −→ 

P(X) et Y = {x ∈ E | x /∈ f(x)}. L’élément Y ∈ P(X) n’a pas d’antécédant par f car : 

– si x /∈ Y alors x ∈ f(x) par définition de Y , donc f(x) = Y ; 

– si x ∈ Y , alors x /∈ f(x) par définition de Y , donc f(x) = Y . 

Théorème 3 (Théorème de 

les cardinaux. 

£ © ¥¨§ ¡¡ 

§ ¡ © ¥ ¥ § £ © ) La relation ≤ est une relation d’ordre sur 

Démonstration:La relation est clairement réflexive et transitive. Montrons qu’elle est antisymétrique. Soient 

f : X −→ Y et g : Y −→ X des injections. Soit U = {U ⊂ X | g Y \ f(U) ∩ U = ∅}. Cet ensemble est 

stable par réunion, donc admet un élément maximal Ū (l’union de tous ses éléments) pour l’inclusion et on a 

Ū ⊔ g Y \ f( Ū) = X. La fonction ϕ : X −→ Y telle que ϕ(x) = f(x) si x ∈ Ū et ϕ(x) = y où y est l’unique 

élément tel que g(y) = x si x /∈ Ū est une bijection. 

Définition 10 Un ensemble X est dit transitif ssi x ∈ X implique x ⊂ X. Si, en outre, X est bien 

ordonné pour l’ordre strict ∈, on dit que X est un ordinal. Si X est un ordinal, son successeur 

est l’ordinal X ∪ {X} et X est appelé le prédécesseur de ce dernier. L’ensemble vide n’a pas de 

prédécesseur. Un ordinal X est fini ssi tout ordinal non-vide inclus dans X admet un prédécesseur. 

Un ordinal fini s’appelle aussi un entier naturel. 

Exemple 6 L’ensemble X = 

 

∅, {∅}, {∅, ∅} 

est un ordinal fini : on le note 3. 

Ni les cardinaux, ni les ordinaux ne forment un ensemble. 

2.2.5 Axiome du choix 

La relation d’ordre que nous avons établie sur les cardinaux dit que |X| ≤ |Y | s’il existe une 

injection de X dans Y . Pour que notre intuition soit tout-à-fait satisfaite, on voudrait bien pouvoir 

dire que s’il existe une surjection de X dans Y , alors |Y | ≤ |X|. Pour pouvoir déduire cela, il faut 

montrer que, si f : X −→ Y est surjective, il existe une injection g : Y −→ X. L’idée naturelle est 

de choisir pour chaque y ∈ Y , un x ∈ X tel que f(x) = y et de prendre g(y) = x, de telle sorte 

que f ◦ g = IdY ; pour cette raison, g s’appelle une fonction de choix. Cependant, si f n’est pas 

injective, il n’est pas clair a priori que, pour chaque y, qu’on puisse isoler un x parmi tous ceux 

pour lesquels f(x) = y et construire g. 




33

2.3. STRUCTURES ALGÉBRIQUES CHAPITRE 2. RAPPELS 

Les axiomes usuels des mathématiques5 ne permet pas de conclure que cette construction est 

impossible, comme l’a montré Gödel dans les années 1940. Paul Cohen a démontré en 1963 que, 

sous ces mêmes conditions, on ne peut pas conclure que cette construction est possible. Finalement, 

on peut décider (ou pas) d’accepter que cette construction est possible comme un axiome, 

indépendant des autres, c’est l’axiome du choix : 

Axiome 1 (Axiome du choix) Toute surjection est inversible à gauche. 

On formule souvent l’Axiome du choix sous la forme équivalente : 

Théorème 4 (Lemme de § ¡ © ) Tout ensemble ordonné inductif possède un élément maximal. 

L’Axiome du choix est rejeté par certains mathématiciens (un petit nombre, disons. . .), notamment 

ceux de l’école intuitionniste qui n’accepte que les principes constructifs. L’Axiome du choix 

recèle des conséquences surprenantes comme le Paradoxe de Banach-Tarski (1924) qui dit qu’il 

existe une façon de partitionner une boule de R 3 en six morceaux qui, après une succession de 

translations et de rotations, forment deux boules disjointes de rayon identique à celle dont on était 

parti. Le paradoxe dit qu’une suite de déplacements ne peut ainsi augmenter le volume de départ. 

En fait, le découpage n’est possible qu’en parties non-mesurables donc, dont le volume n’est pas 

défini. 

2.3 Structures algébriques 

Définition 11 Un magma est un couple (X, ⋆) où X est un ensemble et ⋆ une application ⋆ : 

X × X −→ X appelée loi interne que l’on note de manière infixe ( i.e. x ⋆ y est l’élément de X 

obtenu par l’application de ⋆ à x et y). Un élément x est : 

– neutre à gauche (resp. à droite) ssi, pour tout y ∈ X, x ⋆ y = y (resp. y ⋆ x = y) ; 

(s’il existe, il est unique et le magma est dit unifère) ; x ⋆ u = x ⋆ u ′ implique u = u ′ (resp. 

u ⋆ x = u ′ ⋆ x implique u = u ′ ) pour tout u, u ′ ∈ X (c’est en particulier le cas s’il admet un 

inverse) ; 

– inversible à gauche (resp. à droite), dans un magma unifère d’élément neutre e, ssi il 

existe y ∈ X tel que y ⋆ x = e (resp. x ⋆ y = e) ; 

– simplifiable à gauche (resp. à droite) ssi l’égalité x ⋆ y = x ⋆ z (resp. y ⋆ x = z ⋆ x) 

implique y = z. 

– absorbant à gauche (resp. à droite) ssi, pour tout y ∈ X, x ⋆ y = x (resp. x ⋆ y = x) ; 

– idempotent x ⋆ x = x ; 

– nilpotent d’ordre n, dans un magma unifère d’élément neutre e, ssi x ⋆ · · · ⋆ x 

= e avec n 

minimal satisfaisant cette propriété. 

n fois 

La loi ⋆ est : 

– associative ssi, pour tout x, y, z, (x ⋆ y) ⋆ z = x ⋆ (y ⋆ z) ; 

– commutative ssi x ⋆ y = y ⋆ x pour tout x, y ∈ X ; 

Un magma associatif s’appelle un semigroupe, un semigroupe unifère s’appelle un monoïde. Si 

tout élément de X est inversible, on dit que c’est un groupe. 

5 En l’occurence, l’axiomatique de Zermelo-Fraenkel, augmentée de l’Axiome de Fondation et sous réserve que 

cette théorie soit non-contradictoire. 




CHAPITRE 2. RAPPELS 2.4. LANGAGES 

Soient (X, ⋆, ⋄) un triplet tel que (X, ⋆) soit un groupe commutatif et (X, ⋄) un monoïde. On 

dit que ⋄ est distributif à gauche (resp. à droite) sur ⋆ ssi x ⋄ (y ⋆ z) = (x ⋄ y) ⋆ (x ⋄ z) (resp. 

(y ⋆ z) ⋄ x = (y ⋄ x) ⋆ (z ⋄ x)). Si ⋄ est distributif à gauche et à droite, (X, ⋆, ⋄) est un anneau. Si en 

outre, (X \ {0}, ⋄) est un groupe (où 0 désigne l’élément neutre de ⋆), on dit que c’est un corps. 

Exemple 7 L’ensemble (N, ·) est un monoïde commutatif dont l’élément neutre est 0 et dont tout 

élément non-nul est simplifiable. 

Exemple 8 L’ensemble (Z, −) est un magma non-associatif ( e.g. 2−(1−4) = 5 = (2−1)−4 = −3) 

et 0 est neutre à droite (n − 0 = n) mais pas à gauche (0 − n = −n). 

Exemple 9 Soit x un élément d’un anneau (A, +, ·). Si x · a = x · b alors x · a − x · b = 0, i.e. 

x · (a − b) = 0 donc, soit a = b, c’est-à-dire que x est simplifiable à gauche, soit c’est un diviseur 

de zéro. 

Exemple 10 L’ensemble (Z, +) est un groupe commutatif simplifiable ; pour tout n, son inverse 

pour + (appelé opposé) est −n. 

Exemple 11 L’ensemble (Q \ {0}, ·) est un groupe commutatif ; l’inverse de tout élément a/b nonnul 

est b/a. 

2.4 Langages 

2.4.1 Définitions 

Définition 12 Soit Σ un ensemble quelconque, un mot (on dit aussi une chaîne) sur l’alphabet Σ 

est une suite finie d’éléments de Σ, c’est-à-dire une application x : {1, . . . , n} −→ Σ où n ∈ N 

s’appelle la longueur de x, notée |x|. L’ensemble des mots de Σ se note Σ ∗ . Le mot de longueur 

nulle se note ɛ et s’appelle le mot vide. Le concaténé z = x · y des mots x et y est le mot de 

longueur |x|+|y| dont la i-ième lettre est xi pour 1 ≤ i ≤ |x| et y i−|x| pour |x| 

le mot constitué de la concaténation de p copies du mot x. 

Proposition 2 Tout mot de Σ ∗ se décompose de manière unique en produit de lettres de Σ et 

l’ensemble (Σ ∗ , ·, ɛ) est un monoïde simplifiable. 

Démonstration: Si ϕ : Σ −→ Σ ∗ désigne l’injection canonique, on a clairement x = ϕ(x1) · · · ϕ(xn). La 

concaténation laisse stable Σ ∗ par définition, on a bien |(x · y) · z| = |x · (y · z)| par associativité de l’addition 

et on vérifie immédiatement que la i-ième lettre de (x · y) · z est la même que celle de x · (y · z) et que ɛ est 

neutre. Spgops que la simplification a lieu à gauche : si ux = uy, alors |x| = |ux| − |u| = |uy| − |u| = |y|. Soit 

i ∈ {1, . . . , |x|}, alors xi = (u · x) |u|+i = (u · y) |u|+i = yi, donc x = y. 

Définition 13 Avec les notations précédentes, Σ ∗ appelé le monoïde libre sur Σ. Un langage 

sur Σ est une partie de Σ ∗ . Le produit de deux langages L1 et L2 est le langage L1 · L2 dont les 

éléments sont les concaténés x · y avec x ∈ L1 et y ∈ L2. 

On montre directement : 




35

2.4. LANGAGES CHAPITRE 2. RAPPELS 

Proposition 3 L’ensemble des langages sur Σ, munis de la concaténation est un monoïde dont 

l’élément neutre est le langage {ɛ}. 

Définition 14 On note L p le langage dont les mots sont la concaténations de p mots de L. La 

fermeture de ¢ 

¡§ § © § d’un langage L est : 

2.4.2 Problèmes de décision 

∗ def 

L = 

p∈N 

L p . 

En informatique, on a souvent affaire à des problèmes de décision : 

Définition 15 Soit L, un langage sur un alphabet Σ, le problème de décision associé à L 

consiste à savoir si, étant donné un mot x ∈ Σ ∗ , on a x ∈ L ou x /∈ L. Un programme PL à valeurs 

booléennes semi-décide L ssi, pour tout mot x ∈ L, le programme répond true en temps fini et que, 

lorsque x /∈ L, soit le programme répond false, soit il ne termine pas. Le PL décide L si, en outre, 

il termine toujours et permet donc de tester si x ∈ L ou x /∈ L pour tout x ∈ Σ ∗ . Le langage L est 

semi-décidable (resp. décidable) ssi il existe un programme qui semi-décide (resp. décide) L. 

Exemple 12 Soit Σ = {0, . . . , 9}, et L l’ensemble des écritures décimales des nombres pairs. Le 

problème de décision consistant à savoir si un nombre dont l’écriture décimale est x ∈ Σ ∗ est pair 

est décidable par le programme PL qui répond true si le dernier chiffre de x est 0, 2, 4, 6, 8 et false, 

sinon (il termine toujours). 

Exemple 13 On rappelle la conjecture 3x + 16 qui dit que, pour tout u0 ∈ N, la suite (un)n∈N 

définie par : 

 

un+1 = 

3n + 1 

n/2 

si n est impair ; 

si n est pair ; 

finit toujours par boucler sur les valeurs 4, 2, 1. 

Considérons, sur Σ = {0, . . . , 9}, le langage L des écritures décimales d’entiers vérifiant cette 

conjecture. Le programme PL qui, sur un entier x ∈ Σ ∗ , calcule u0 = x, puis u1, u2, . . . et répond true 

si, pour un certain n, un ∈ {1, 2, 4} semi-décide L car, pour tout x ∈ L, il est clair que PL(x) = true. 

Par contre, si la conjecture est fausse et que L = Σ ∗ , il existe un entier dont l’écriture décimale x 

fera tourner indéfiniment le programme PL si on la lui donne comme entrée. 

Le programme PL peut être considéré comme un mot de Σ ∗ (l’exécutable ou le code source par 

exemple sont bien des suites finies de caractères) et l’application du premier Théorème de Cantor 

dans cette situation montre qu’il existe des langages pour lesquels le problème de décision n’est pas 

résoluble car le nombre de programmes qu’on peut écrire est majoré par |Σ| ∗ et que ce cardinal est 

inférieur à celui |P(Σ ∗ )| de l’ensemble de tous les langages possibles. On en verra les conséquences 

dans le Chapitre 5.5, p. 69 

6 dite aussi, de Syracuse (Université de Syracuse NY, aux USA, pas Syracuse en Sicile), de Kakutani. . . 




CHAPITRE 2. RAPPELS 2.4. LANGAGES 

2.4.3 Règles de réécriture et grammaires 

Une façon très utile de définir un langage consiste à se donner une façon de transformer des 

mot en d’autres mots et de considérer le langage obtenu en itérant ce processus à partir d’un mot 

initial 7 . 

Définition 16 Une règle de réécriture sur Σ ∗ est une relation binaire R sur Σ ∗ . On note 

souvent x ⊢ y, plutôt que (x, y) ∈ R et on dit que y se dérive de x ou que x se réécrit en y. 

Pour p ∈ N, on note x ⊢ p y pour dire que y se dérive à partir de x en p réécritures, avec la 

convention que ⊢ 0 est l’identité, et x ⊢ ∗ y pour dire que que y se dérive à partir de x en un nombre 

fini de réécritures. Une production sur Σ est un couple (u, u ′ ) que l’on note souvent u → u ′ , où 

u ∈ Σ + et u ′ ∈ Σ ∗ . À toute production u → u′ , on peut associer une règle de réécriture ⊢u→u ′ 

définie par le fait que x ⊢u→u ′ x′ ssi il existe v, w des mots tels que x = v · u · w et x ′ = v · u ′ · w. 

Une grammaire est un quadruplet G = (V, Σ, P, s) où : 

– Σ est un alphabet disjoint de V dit alphabet des terminaux ; 

– V est un alphabet disjoint de Σ dit alphabet des variables, nous noterons x, y, z, . . . les 

éléments de V ; 

– P est un ensemble de productions sur l’alphabet V ⊔ Σ et où s ∈ V s’appelle la variable 

initiale. On regroupe les productions u → u1,. . . ,u → un en notant : u → u1 | · · · | un (la 

barre se lit « ou »). 

On note x ⊢G y et on dit que y est G-dérivable à partir de x s’il existe une production de G qui 

permette de réécrire x en y. Le langage engendré par G est l’ensemble des mots terminaux qui 

sont G-dérivables en un nombre fini d’étapes, à partir de s. 

Exemple 14 Soient V def 

= {s, a, b}, Σ def 

= {a, b}, P def 

= {s → a, s → b, b → bb, a → aa, a → ɛ, b → ɛ} 

et soit G def 

= (V, Σ, P, s), alors les mot aaa et bb sont dans le langage engendré par G car : 

s → a d’après la règle s → a 

a → aa d’après la règle a → aa 

aa → aaa d’après la règle a → aa 

et 

s → b d’après la règle s → b 

b → bb d’après la règle b → bb 

bb → bbb d’après la règle b → bb 

bbb → bb d’après la règle b → ɛ 

Plus précisément, on a s ⊢ 3 G aaa et s ⊢4 G bb. On a également, par exemple b ⊢2 G bbb 

2.4.4 Syntaxe inductive 

Sur le modèle des ensembles définis inductivement, nous définissons ici les langages définis 

inductivement. Les premiers exemples viendront lors de la définition des langages des propositions 

(cf. infra). 

Définition 17 Soit S un ensemble, une signature de S est une partition S = 

n∈N Sn où Sn 

s’appelle les symboles d’arité n (dits symboles n-aires). L’ensemble S0 s’appelle les constantes. 

Soit G = (V, Σ, P, s) la grammaire où V l’alphabet des variables, Σ def 

= S ⊔ (, ), , , s ∈ V est la 

variable initiale et où P est l’ensemble des productions de la forme : 

1. s → x | ɛ nfois 

 

2. x → x | f( x, . . . ,x) | c , où f ∈ Sn et c ∈ S0. 

7 C’est un système dynamique à temps discret. 




37

2.4. LANGAGES CHAPITRE 2. RAPPELS 

Le langage des termes définis par G est l’ensemble des mots dérivables de s dans G, c’est-à-dire 

le plus petit langage LS sur V ⊔ Σ tel que : 

1. toute constante c ∈ S0 et toute variable x ∈ V est un terme atomique de LS ; 

2. f(M1, . . . ,Mn) ∈ LS pour tout n > 0, M1, . . . , Mn ∈ LS et f ∈ Sn. 

Soit M un terme, l’ensemble des variables de M est le plus petit ensemble, noté var(M) tel 

que : 

1. var(c) = ∅ pour toute constante c ∈ S0 ; 

2. var(x) = {x} pour tout x ∈ V. 

3. pour tout n > 0, M1, . . . , Mn ∈ LS , et f ∈ Sn, var f(M1, . . . ,Mn) = 

n 

var(Mi) . 

Les termes M tels que var(M) = ∅ sont dits clos et on note LS l’ensemble des termes clos. 

Une substitution dans LS est une application σ : V −→ LS qui est l’identité presque partout 

(sauf sur une partie finie de V). L’ensemble supp(σ) def 

= {x ∈ V | σ(x) = x} est appelé le support 

de σ. On définit la profondeur π d’un terme est : 

1. π(c) = 1 pour tout c ∈ S0 ; 

2. π(x) = 1 pour tout x ∈ V ; 

3. pour tout M1, . . . , Mn ∈ LS , f ∈ Sn, 

π f(M1, . . . ,Mn) = 1 + 

n 

π(Mi) . 

On définit de même des variantes syntaxiques où les symboles ne sont pas préfixes ou bien dans 

lesquelles les parenthèses sont omises dans certains cas 8 . Par exemple, on écrira : (-x), ou même 

-x au lieu de -(x) pour le symbole - ∈ S1 et (x+y), voire x+y au lieu de +(x, y) 

2.4.5 Sémantique inductive 

On va relier les notions purement syntaxiques de la section précédente (c’est-à-dire concernant 

le langage objet qu’on a défini) à des objets de la métathéorie : 

Définition 18 Avec les notations de la section précédente, une interprétation sur LS à valeurs 

dans le domaine d’interprétation X est une application v telle que : 

1. v(x) ∈ X, pour toute variable x ∈ V ; 

2. v(c) ∈ X, pour toute constante c ∈ S0 ; 

3. v(f) : X n −→ X, pour tout symbole f ∈ Sn avec n > 0 ; 

étendue par induction à tout mot de LS par induction en définissant que, pour tout symbole f ∈ Sn, 

avec n > 0 et tout n-uplet de termes (M1, . . . , Mn) ∈ Ln S : 

v def 

f(M1, . . . ,Mn) = 

 

v(f) 

 

Xn 

v(M1) , . . . , v(Mn) . 

 

→X ∈X 

∈X 

∈LS 

8 Elles ne sont pas, à strictement parler, nécessaires car si tous les symboles sont préfixes, la chaîne fM1 · · · Mn est 

parfaitement bien identifiée mais ce serait moins lisible. 




i=1 

i=1

CHAPITRE 2. RAPPELS 2.5. FONCTIONS BOOL ÉENNES 

Soit une variable x ∈ V et un élément x ∈ X, on note v[x ↢ x] l’interprétation v ′ telle que v ′ (x) = x 

et v ′ (f) = v(f) pour tout f ∈ Sn et v ′ (x ′ ) = v(x ′ ) pour toute variable x ′ = x. On note IX(LS ) 

l’ensemble des interprétations de LS dans X. Soient L, L ′ deux sous-langages de LS . On dit que 

L est moins expressif que L ′ et on note L ≤ L ′ ssi pour toute interprétation v, et tout m ∈ L, il 

existe m ′ ∈ L ′ tel que v(m) = v(m ′ ). 

2.5 Fonctions booléennes 

Toujours dans la métathéorie, définissons un certain nombre de fonctions qui nous serviront 

pour définir la sémantique du calcul des propositions. 

Définition 19 Un treillis est un triplet (X, △, ▽) où X est un ensemble et △ et ▽ sont deux lois 

internes vérifiant : 

1. △ et ▽ sont associatives ; 

2. △ et ▽ sont commutatives ; 

3. △ et ▽ sont mutuellement absorbantes : 

– pour tout x, y ∈ X, x △ (x ▽ y) = x ; 

– pour tout x, y ∈ X, x ▽ (x △ y) = x ; 

Si △ et ▽ sont distributives l’une sur l’autre on dit que X est distributif. Un élément nul (resp. 

unité) est un un élément neutre (resp. absorbant) pour △ et absorbant (resp. neutre) pour ▽. 

S’il existe deux tels éléments, et que tout élément admet un inverse commun pour △ et ▽ appelé 

complémentaire, on dit que X est complémenté. Un treillis distributif complémenté est dit 

booléen (on dit aussi algèbre 9 de § §¨¡ § ). 

Exemple 15 Les ensembles (N, min, max) et (N, pgcd, ppcm) forment des treillis distributifs. 

Exemple 16 Soit E un ensemble, l’ensemble X des parties de E, munies des lois △ def 

= ∩ et 

▽ def 

= ∪ et un treillis booléen dont l’élément nul est ∅ et l’élément unité est E. 

Proposition 4 Soit (X, △, ▽) un treillis distributif et x, y, z ∈ X. Si x △ z = y △ z et que 

x ▽ z = y ▽ z alors on a x = y. En particulier, si (X, △, ▽) est booléen, alors le complémentaire 

de tout élément est unique. 

Démonstration: L’égalité x △ z = y △ z implique : x ▽ (x △ z) = x ▽ (y △ z). La règle d’absorption 

appliquée à gauche de l’égalité et celle de distributivité à sa droite donnent l’égalité équivalente : x = 

(x ▽ y) △ (x ▽ z). De même, on montre que y = (x ▽ y) △ (y ▽ z). Comme, par hypothèse, x ▽ z = y▽z, 

on conclut que x = y. 

Proposition 5 On vérifie immédiatement que : 

1. un treillis (X, △, ▽) est muni d’une relation d’ordre naturelle où x ≤ y ssi x = x △ y ; on a 

inf(x, y) = x △ y et sup(x, y) = x ▽ y ; 

9 le terme « algèbre » n’est pas le même que celui, classiquement utilisé en mathématiques désignant un module 

muni d’une structure d’anneau compatible. 




39

2.6. LOGIQUE DES ORDINATEURS CHAPITRE 2. RAPPELS 

2. soit (X, ≤) un ensemble ordonné pour lequel tout couple x, y admet un infimum et un supremum, 

alors (X, inf, sup) est un treillis. Si, en outre, X contient un minimum et un maximum, 

alors ces éléments sont respectivement l’élément nul et l’élément unité du treillis (X, inf, sup). 

Définition 20 Un anneau booléen est un anneau (X, +, ·) commutatif dont tout élément est 

idempotent pour + et · . 

Proposition 6 On vérifie immédiatement que : 

1. si (X, △, ▽) est un treillis booléen, alors (X, +, ·) est un anneau booléen en prenant : 

(a) x + y def 

= (x △ y ′ ) ▽ (x ′ △ y) où x ′ et y ′ désignent respectivement les inverses de x et y ; 

(b) x · y def 

= x △ y ; 

2. si (X, +, ·) est un anneau booléen, alors (X, △, ▽) est un treillis booléen en prenant : 

(a) x △ y def 

= x · y ; 

(b) x ▽ y def 

= x + y + x · y ; 

(c) x ′ def 

= u + x où u est l’élément unité de (X, △, ▽). 

Définition 21 L’ensemble B def 

= {false, true} s’appelle l’ensemble des booléens. Une fonction 

booléenne est une fonction Bn → B où B = {true, false}. On définit en particulier non : B → B, 

and : B2 → B, or : B2 → B, impl : B2 → B, equi : B2 → B par leurs valeurs indiquées dans la 

Table 2.1. La table de vérité d’une fonction booléenne n-aire f est la table à 2n lignes et n + 1 

colonnes dont les n premières colonnes accueillent les coordonnées des 2n arguments (x1, . . . , xn) 

possibles distincts de f, selon que chaque xi vaut true ou false, et la dernière colonne, la valeur 

f(x1, . . . , xn). 

x non(x) 

true false 

false true 

x y and(x, y) or(x, y) impl(x, y) equi(x, y) 

true true true true true true 

true false false true false false 

false true false true true false 

false false false false true true 

Tab. 2.1 – Tables de vérité des fonctions booléennes élémentaires. 

Proposition 7 Avec les notations de la définition précédente, (B, and, or) est un treillis booléen 

dont l’élément nul est false et l’élément unité est true. 

2.6 Logique des ordinateurs 

2.6.1 Instructions conditionnelles des langages de programmation 

2.6.2 Circuits booléens 

[AU93, chap. 13, pp. 761–797] 




Chapitre 3 

Logique propositionnelle 


Référence facile [AU93, chap. 12] 

3.2 Langages des propositions 

3.2.1 Syntaxe du langage de ¢¡¤£¥£§¦¨£ 

Définition 22 On appelle ensemble des connecteurs propositionnels de ¢ § © § l’ensemble : 

¡§ 

C K = 

n∈N C K n avec C K def 

0 = {⊥, ⊤}, C K def 

1 = {¬}, C K def 

2 = {∧, ∨, →, ↔} et C K 

n = ∅ pour tout n ≥ 0 

et où : 

⊥ se lit bottom ∧ se lit et → se lit implique 

⊤ se lit top ∨ se lit ou ↔ se lit si et seulement si 

¬ se lit non 

Définition 23 Soit R0 un ensemble de constantes relationnelles on construit une signature 

sur l’ensemble S def 

= 

n∈N Sn en convenant que S0 = C K 0 ⊔ R0, et Sn = C K n pour tout n ≥ 1 où : 

1. ¬ est unaire préfixe ; 

2. ∧, ∨, →, ↔ sont binaires infixes ; 

Soit R un ensemble de variables relationnelles, on définit le langage des propositions (on 

dit aussi formules propositionnelles) de ¢ § © § comme étant l’ensemble L ¡§ K des formules 

closes construite à partir des propositions atomiques (closes) de S0 par induction sur le modèle 

de la Définition 17, p. 37 de telle sorte que1 : 

1. S0 ⊆ L K ; 

2. si A ∈ L K , alors (¬A) ∈ L K ; 

3. si A, B ∈ L K , alors (A ∧ B) ∈ L K ; 

4. si A, B ∈ L K , alors (A ∨ B) ∈ L K ; 

5. si A, B ∈ L K , alors (A → B) ∈ L K ; 

6. si A, B ∈ L K , alors (A ↔ B) ∈ L K . 

1 Bien qu’une proposition soit forcément une formule close, nous notons LK et pas LS pour ne pas alourdir 

l’écriture. 

41

3.2. LANGAGES DES PROPOSITIONS CHAPITRE 3. LOGIQUE PROPOSITIONNELLE 

3.2.2 Sémantique booléenne du langage de ¡¤£¥£¥¦ £ 

Définition 24 L’ensemble des interprétations standard de L K est l’ensemble I K des interprétations 

v : S0 −→ B (au sens de la Définition 18, p. 38, restreinte aux termes clos), étendues 

par induction à L K de telle sorte que, pour tout A, B ∈ L K : 

1. v(¬A) = non v(A) ; 

2. v(A ∧ B) = and v(A), v(B) 

3. v(⊤) = true, v(⊥) = false ; 

4. v(A ∨ B) = or v(A), v(B) ; 

5. v(A → B) = impl v(A), v(B) : 

6. v(A ↔ B) = equi v(A), v(B) . 

avec les notations de la Table. 2.1, p. 40. Une formule A ∈ LK est : 

1. satisfaite par v ssi v(A) = true, auquel cas v est un modèle de A et on note v A ; 

2. falsifiée par v ssi v(A) = false, auquel cas on dit que v est un contre-modèle de A ; 

3. tautologique ssi elle est satisfaite pour toute interprétation v et on note A ; 

4. antilogique ssi elle est falsifiée pour toute interprétation v ; 

5. contingente ssi elle admet au moins une interprétation satisfaisante et une interprétation 

falsifiante ; 

et, pour toute formule B ∈ LK : 

1. A implique sémantiquement B et on note (A ⇒ B) ssi (A → B), c’est-à-dire ssi pour 

toute interprétation v, on a v(A) ≤ v(B) ; 

2. A équivaut sémantiquement à B et on note (A ⇔ B) ssi (A ↔ B), c’est-à-dire ssi pour 

toute interprétation v, on a v(A) = v(B). 

Une théorie propositionnelle est un ensemble T ⊆ L K de formules propositionnelles appelées 

axiomes. Une interprétation v est un modèle de T et on note v T ssi pour toute A ∈ T , 

v A. La théorie T est satisfaisable ssi elle admet un modèle. On dit qu’une formule A est un 

théorème d’une théorie T ssi tout modèle de T est un modèle de A et on note T A. 

Proposition 8 On a directement les propriétés suivantes : 

1. ∧ et ∨ sont sémantiquement associatifs, 

commutatifs, idempotents, et distributifs 

l’un à l’égard de l’autre ; 

2. ¬ est involutif ; 

3. ⊥ est neutre pour ∨ et absorbant pour ∧ ; 

4. ⊤ est neutre pour ∧ et absorbant pour ∨ ; 

5. (¬⊤) ⇔ ⊥ et (¬⊥) ⇔ ⊤ ; 

6. les lois de Morgan : ¬(x ∧ y) ⇔ (¬x) ∨ 

(¬y) et ¬(x ∨ y) ⇔ (¬x) ∧ (¬y) pour 

tout x, y ; 

7. le tiers exclu : x ∨ (¬x) ⇔ ⊤ pour tout x ; 

8. la règle de non-contradiction : x ∧ (¬x) ⇔ 

⊥ pour tout x. 

Démonstration: Montrons 1., les autres démonstrations sont du même type. Soit v une valuation booléenne, 

alors, pour tout x, y, z, on a v x ∧ (y ∧ z) 

= and(v(x), v(y ∧ z)) = and v(x), and v(y), v(z) 

. De même, on 




CHAPITRE 3. LOGIQUE PROPOSITIONNELLE 3.2. LANGAGES DES PROPOSITIONS 

a v (x ∧ y) ∧ z 

= and and v(x), v(y) 

, v(z) . En dressant la table de vérité : 

v(x) v(y) v(z) 

 

and v(x), and v(y), v(z) 

and and v(x), v(y) 

, v(z) 

false false false false false 

false false true false false 

false true false false false 

true false false false false 

false true true false false 

true false true false false 

true true false false false 

true true true true true 

on voit que v x ∧ (y ∧ z) = v (x ∧ y) ∧ z pour tout v. 

On vérifie directement que : 

Proposition 9 L’ensemble des classes d’équivalence des formules du calcul propositionnel forment 

un treillis booléen ( ¯ X, △, ▽) où ¯x △ ¯y def 

= x ∧ y, ¯x ▽ ¯y def 

= x ∨ y, l’élément nul (resp. unité) de ( ¯ X, △ 

, ▽) est la classe ¯ ⊥ des antilogies (resp. la classe ¯ ⊤ des tautologies) et l’inverse ¯x ′ d’un élément ¯x 

est (¬x). 

3.2.3 Sous-langages équivalents 

Définition 25 On appelle ensemble des connecteurs propositionnels § ¥ ¥ § ¡ de l’ensemble : 

C R = C R 1 ⊔ C R 2 avec C K def 

1 = {¬}, C K def 

2 = {∧}. On définit de la même façon que les propositions de 

Kleene le langage des propositions § ¥ ¥ § ¡ de LR Proposition 10 Toute proposition de Kleene équivaut à une proposition de Rosser. 

Démonstration: Soient d, i, e les fonctions de L K × L K −→ L K qui à tout A, B ∈ L K associent respectivement 

: 

d(A, B) def 

= ¬(¬A ∧ ¬B) , i(A, B) def 

= (d(¬A, B)) , and e(A, B) def 

= i(A, B) ∧ i(B, A) , 

ainsi que f def 

= A ∧ (¬A) pour tout A ∈ S0 et t def 

= (¬f). Toute formule de LK est, soit une formule de la 

forme (¬A) ou (A ∧ B), soit de l’une des formes suivantes : ⊤, ⊥, (A ∨ B), (A → B) ou (A ↔ B), où, par 

hypothèse d’induction, A et B sont supposées dans LR . On vérifie que : 

1. (¬A), (A∧B), d(A, B), i(A, B) et e(A, B), ainsi 

que t et f sont dans L R ; 

2. v(t) = v(⊤) = true et v(f) = v(⊥) = false ; 

3. v(A ∨ B) = v d(A, B) ; 

4. v(A → B) = v i(A, B) ; 

5. v(A ↔ B) = v e(A, B) . 

On montre de même que toute formule de Kleene équivaut à une formule d’ £ ¦ § ¡ £ 

© © 

¡ £ £ 

¢ § ¡ ¥ où ces dernières sont construites avec les seuls connecteurs propositionnels ¬ et ∨. Pour 

¡ 

conclure, plusieurs choix sont possibles pour définir le calcul des propositions. Ces choix conduisent 

à des langages sémantiquement équivalents. L’avantage du langage de Kleene est qu’il est riche 

et plus proche du langage mathématique usuel. En outre, les notions de vrai et le faux, du point de 

vue syntaxique, sont représentées de manière canonique par les symboles ⊤ et ⊥. L’avantage des 

sous-langages de Rosser ou d’Ackermann-Hilbert est qu’ils contiennent moins de connecteurs 




, 

43

3.2. LANGAGES DES PROPOSITIONS CHAPITRE 3. LOGIQUE PROPOSITIONNELLE 

et sont plus simples à décrire 2 Par contre, la traduction des notions usuelles telles que l’implication 

requièrent des définitions supplémentaires. Il n’y a pas, a priori, de meilleur choix. 

On notera désormais L le langage des propositions sans préciser l’ensemble de connecteurs 

choisis à condition que le langage résultant soit aussi expressif que L K . Sauf mention explicite, nous 

supposerons le langage doté des connecteurs ¬, ∧, ∨, →, ⊥, ⊤. De même, nous noterons I l’ensemble 

des interprétations de L. 

3.2.4 Formes normales conjonctives et disjonctives 

Dans ce qui suit, on notera (A1 ∨· · · ∨An) la formule 

(· · · (A1 ∨A2) · · · )∨An et (A1 ∧· · ·∧An) 

la formule 

(· · · (A1 ∧ A2) · · · ) ∧ An . Cela est justifié car ∧ et ∨ sont sémantiquement associatifs. 

Définition 26 Un littéral est une proposition atomique ou sa négation. Une clause disjonctive 

est une formule du type (l1 ∨ · · · ∨ ln) où li est un littéral. Elle est dite réduite ssi chaque li 

n’apparaît qu’une fois. On note K∨ l’ensemble des clauses disjonctives. Une forme conjonctive 

est une conjonction de clauses disjonctives, c’est à dire une formule du type C1 ∧ · · · ∧ Cn, où Ci 

est une clause disjonctive. On note N∧ l’ensemble des formes conjonctives. On définit, mutatis 

mutandis, l’ensemble K∧ clauses conjonctives et l’ensemble N∨ des formes disjonctives. Une 

forme est réduite ssi chaque clause n’apparaît qu’une fois. 

Exemple 17 Soient A, B, C, D des formules atomiques, alors : 

– (D ∨ A ∨ C) ∧ D ∨ (¬B) ∨ C ∧ (¬A) ∨ (¬B) ∨ C est une forme conjonctive ; 

– A ∧ (¬B) ∨ C ∨ D ∨ (¬A) est une forme disjonctive ; 

– A ∧ (¬B) est une forme conjonctive et disjonctive. 

Définition 27 Spgops que les seuls connecteurs utilisés sont ∧, ∨ et ¬. La fonction forme normale 

conjonctive fnc : L −→ N∧ est définie récursivement : 

1. fnc(A) def 

= A pour tout A ∈ S0 ; 

2. fnc(A ∧ B) def 

= fnc(A) ∧ fnc(B) ; 

3. pour A = A1∧· · ·∧An et B = B1∧· · ·∧Bm : 

fnc(A ∨ B) def 

= 

(Ai ∨ Bj) 

1≤i≤n 

1≤j≤m 

On montre immédiatement que : 

Théorème 5 Pour toute formule A, on a fnc(A) ⇔ A. 

4. fnc ¬(¬A) def 

= fnc(A) ; 

3.2.5 Expressivité booléenne du langage des propositions 

5. fnc ¬(A ∨ B) def 

= (¬fnc(A)) ∧ (¬fnc(B)) ; 

6. fnc ¬(A ∧ B) def 

= (fnc(¬A)) ∧ (fnc(¬B)). 

Définition 28 Une formule A dans laquelle apparaissent n propositions atomiques p1, . . . , pn représente 

une fonction booléenne n-aire f si et seulement si, pour toute interprétation v, on 

a v(A) = f v(p1), . . . , v(pn) . Soit p = (p1, . . . , pn), on définit les ensembles Vp(f) def 

= {v ∈ 

2 Le langage nand, dans lequel le seul connecteur binaire ∧ est utilisé, associé à la fonction booléenne nand telle 

que nand(x, y) = false ssi x = y = true possède cette même propriété. 




CHAPITRE 3. LOGIQUE PROPOSITIONNELLE 3.3. ARBRES DE BETH 

I | f(v(p1), . . . , v(pn) = true} et Fp(f) def 

= {v ∈ I | f(v(p1), . . . , v(pn) = false} Si f n’est pas 

identiquement false, sa formule normale disjonctive construite avec p est : 

fndp(f) def 

= 

v∈Vp(f) 

n 

i=1 

 

εv(pi) 

où εv(pi) def 

= 

 

pi 

si v(pi) = true ; 

(¬pi) si v(pi) = false . 

et si f n’est pas identiquement true, sa formule normale conjonctive, construite avec p est : 

fncp(f) def 

= 

v∈Ap(f) 

n 

i=1 

 

¯εv(pi) 

où ¯εv(pi) def 

= 

 

pi 

si v(pi) = false ; 

(¬pi) si v(pi) = true . 

Proposition 11 Pour toute fonction booléenne f, et tout n-uplet p = (p1, . . . , pn) de propositions 

atomiques, les formules fndp(f) et fncp(f) représentent f. 

Démonstration: Soit w une valuation. On note A = fndp(f) et B = fncp(f). On a : 

 

w(A) = or and 

v∈Vp(f) 1≤i≤n wεv(pi) 

and w εv(pi) = 

 

w(pi) si v(pi) = true 

w(¬pi) si v(pi) = false 

Par conséquent v = w ssi w εv(pi) = true pour tout i ∈ {1, . . . , n}. On en déduit w ∈ Vp(f) ssi w(A) = true, 

c’est-à-dire f w(p1), . . . , w(pn) = w(A). De même, on a : 

 

nor 

w(B) = and 

v∈Fp(f) i=1 w¯εv(pi) 

and w ¯εv(pi) = 

 

w(pi) si v(pi) = false 

w(¬pi) si v(pi) = true 

Par conséquent v = w ssi w ¯εv(pi) = false pour tout i ∈ {1, . . . , n}. On en déduit w ∈ Fp(f) ssi w(B) = false, 

c’est-à-dire f w(p1), . . . , w(pn) = w(A). 

3.3 Problème SAT et arbres de ¢¡¤£¦¥ 

Le problème de décision consistant, étant donnée une formule A, à répondre à la question : 

« existe-t-il une valuation qui satisfasse A » s’appelle le problème SAT. Soient p1, . . . , pn les propositions 

atomiques apparaissant dans A, on peut répondre à la question précédente en examinant 

les 2 n valuations correspondant aux substitution de pi par false ou par true, dans A, pour 1 ≤ i ≤ n. 

Cook et Levin ont démontré [Deh00, Proposition 3.3, p. 237] qu’il était difficile de trouver une 

méthode rapide pour décider de la satisfaisabilité d’une formule en général. Nous utiliserons cependant 

une méthode non-triviale, recourant aux arbres de Beth. 

On se place dans le langage de Rosser et on va se ramener récursivement à des sous-formules 

de plus en plus petites jusqu’à aboutir à des variables. En effet, supposons qu’il existe une interprétation 

v satisfaisant une formule F , alors : 

– si F est de la forme (¬F ′ ), alors v falsifie F ′ ; 

– si F est de la forme (F ′ ∧ F ′′ ), alors v satisfait F ′ et F ′′ . 

De même, supposons qu’il existe une interprétation v falsifiant une formule G alors : 

– si G est de la forme (¬G ′ ), alors v satisfait G ′ ; 

– si G est de la forme (G ′ ∧ G ′′ ), alors v falsifie au moins l’une des deux sous-formule G ′ ou G ′′ ; 




45

3.4. PREUVES CHAPITRE 3. LOGIQUE PROPOSITIONNELLE 

En poursuivant récursivement ce raisonnement, on construit, étape par étape, un ensemble de 

sous-formules Φ à satisfaire et un ensemble Ψ de sous-formules à falsifier pour chaque cas envisagé. 

À l’issue d’un nombre fini d’étapes, on aboutit à une situation où on n’a que des formules atomiques 

(i.e. des variables). 

Définition 29 § ¥ ¡ Un arbre de est arbre dont les nœuds sont étiquetés par un couple (Φ, Ψ) 

d’ensemble de formules telles que, pour tout nœud N de l’arbre, étiqueté par (Φ, Ψ), avec Φ = 

{F1, . . . , Fn} et Ψ = {G1, . . . , Gm}, on ait : 

– pour tout i ∈ {1, . . . , n} : 

– si Fi = ¬F ′ , alors N a un fils, étiqueté par Φ \ {Fi}, Ψ ∪ {F ′ } ; 

– si Fi = (F ′ ∧ F ′′ Φ ), alors N a un fils, étiqueté par \ {Fi} ∪ {F ′ , F ′′ 

}, Ψ ; 

– pour tout j ∈ {1, . . . , m} : 

– si Gi = ¬G ′ , alors N a un fils, étiqueté par Φ ∪ {G ′ }, Ψ \ {G ′ } ; 

– si Gi = (G ′ ∧ G ′′ 

), alors N a deux fils, l’un étiqueté par Φ, Ψ \ {Gi} ∪ {G ′ 

} , l’autre, 

 

par Φ, Ψ \ {Gi} ∪ {G ′′ 

} . 

Un tel arbre dont la racine la racine est étiquetée par {A}, ∅ (resp. ∅, {A} ) s’appelle l’arbre 

de satisfaction (resp. de falsification) de § ¥ ¡ de A. 

Proposition 12 Soit une feuille de l’arbre de satisfaction (resp. falsification) de Beth de A, 

étiquetée par (Φ, Ψ). Si Φ et Ψ sont disjoints, alors la substitution par true des variables de A 

apparaissant dans Φ et la substitution par false de celles apparaissant dans Ψ correspond à une 

interprétation satisfaisant (resp. falsifiant) A. En outre : 

– si aucune feuille de l’arbre de satisfaction de Beth de A n’est de la forme précédente, A est 

une antilogie ; 

– si aucune feuille de l’arbre de falsification de Beth de A n’est de la forme précédente, A est 

une tautologie. 

D’un point de vue algorithmique, la non-disjonction des deux sous-ensemble de formules étiquetant 

un nœud de l’arbre de satisfaction (resp. de falsification) constitue une incohérence qui suffit à 

conclure que la branche en cours d’examen ne peut pas conduire à une interprétation satisfaisante 

(resp. falsifiante). 

3.4 Preuves 

3.4.1 Introduction 

Une preuve est un objet purement syntaxique : c’est une suite de réécritures qui transforme 

les axiomes en la proposition à démontrer. Le fait que cette preuve soit valide sémantiquement, 

signifie que, dans la suite des réécritures, si l’on passe d’une formule An à une formule An+1, alors 

(An ⇒ An+1). 

3.4.2 Déduction naturelle 

Définition 30 Un séquent est un couple (Γ, A), noté Γ ⊢ A (on lit « Γ these A ») où : 

– Γ est un ensemble fini de formules, appelé contexte, représentant les hypothèses de travail ; 




CHAPITRE 3. LOGIQUE PROPOSITIONNELLE 3.5. COMPLÉTUDE – A est une formule, appelée conclusion. 

Un séquent est trivial ssi il est de la forme Γ, A ⊢ A. Un séquent Γ ⊢ A est valide ssi on a Γ A. 

Une règle de démonstration n-aire est une fonction n-aire R qui, à tout n-uplet de séquents 

(P1, . . . , Pn) appelés prémisses associe un séquent C = R(P1, . . . , Pn) appelé conclusion. On note 

la situation ainsi : 

P1 . . . Pn 

R 

C 

Soit R un ensemble de règles de démonstration, un raisonnement dans R est est une forêt 

ont les nœuds des arbres la constituant sont étiquetés par des séquents et de règles de R de telle 

sorte que : 

1. si un nœud est étiqueté par un séquent, alors son fils est étiqueté par une règle ; 

2. si un nœud est étiqueté par une règle, alors son fils est étiqueté par un séquent ; 

3. le père d’un nœud N étiqueté par une règle n-aire R avec n ≥ 1 est étiqueté par le séquent 

R(P1, . . . , Pn) où P1, . . . , Pn sont les étiquettes des nœuds fils de N ; 

4. un nœud étiqueté par une règle 0-aire n’a pas de fils. 

Une démonstration est un raisonnement connexe ( i.e. qui est un arbre). On note Γ ⊢R A pour 

dire qu’il existe une démonstration dans R du séquent Γ ⊢ A. Soit T une théorie propositionnelle, 

on note T ⊢R A pour dire qu’il existe une sous-théorie finie Γ ⊆ T telle que Γ ⊢R A. La Table 4.1 

regroupe l’ensemble des règles de la déduction naturelle et on notera Γ ⊢nat A pour dire que 

Γ ⊢ A est prouvable en déduction naturelle. 

Définition 31 Une règle R est valide ssi, pour tout P1 = Γ1 ⊢ A1, . . . , Pn = Γn ⊢ An et C = Γ ⊢ 

A = R(P1, . . . , Pn), le fait que Γ1 A1, . . . , Γn An implique que Γ A. 

Proposition 13 Les règles de déduction naturelle sont valides. 

Démonstration: C’est trivial pour les règles axiome et affaiblissement, pour la règle d’introduction à droite 

de l’implication. Soit v une interprétation et supposons que v(F ) = true pour toute formule F ∈ Γ. Si 

Γ, A B et que v(A) = true, cela implique que v(B) = true, donc v(A → B) = equi v(A), v(B) = 

equi v(A), v(B) = true, par conséquent Γ (A → B). On montre la validité des autres règles de la même 

façon. 

Exemple 18 Voici une preuve de (A ∧ B) ⊢ (B ∧ A) en déduction naturelle : 

3.5 Complétude 

(A ∧ B) ⊢ (A ∧ B) 

(A ∧ B) ⊢ B re∧· 

ax 

(A ∧ B) ⊢ A ∧ B 

(A ∧ B) ⊢ A re·∧ 

ax 

ri∧ 

(A ∧ B) ⊢ (B ∧ A) 

Définition 32 Une théorie propositionnelle T est : 

– cohérente ssi il n’existe pas de formule A telle que T ⊢ A et T ⊢ (¬A). 

– insatifsaisable ssi il n’existe pas de modèle de T ; 

– consistante ssi T ⊥ ; 

– complète ssi T est consistante et si, pour toute proposition, on a T ⊢ A ou T ⊢ (¬A). 




47

3.5. COMPLÉTUDE CHAPITRE 3. LOGIQUE PROPOSITIONNELLE 

Tab. 3.1 – Table des règles de déduction naturelle pour les propositions. 

Axiome : si la conclusion est dans les hypothèses, le 

séquent est prouvable : 

Γ, A ⊢ A ax 

Affaiblissement : si l’on peut démonter un séquent, le 

fait de rajouter une hypothèse est indépendant : 

Γ ⊢ A 

Γ, B ⊢ A aff 

Introduction à droite de l’implication : pour montrer 

A −→ B, il suffit de supposer A et de prouver B : 

Γ, A ⊢ B 

Γ ⊢ (A → B) ri→ 

Élimination à droite de l’implication (modus ponens) 

: si A → B est prouvable et que A alors on a B : 

Γ ⊢ (A → B) Γ ⊢ A 

re→ 

Γ ⊢ B 

Introduction à droite de la conjonction : pour montrer 

A ∧ B, il suffit de montrer A et de montrer B : 

Γ ⊢ A Γ ⊢ B 

ri∧ 

Γ ⊢ (A ∧ B) 

Éliminations à droite de la conjonction : si A ∧ B 

alors on peut déduire A et B : 

Γ ⊢ (A ∧ B) 

Γ ⊢ A 

Γ ⊢ (A ∧ B) 

re·∧ et 

Γ ⊢ B 

re∧· 

Introductions à droite de la disjonction : pour montrer 

A ∨ B, il suffit de montrer A ou de montrer B : 

Γ ⊢ A 

ri·∨ et 

Γ ⊢ (A ∨ B) 

Γ ⊢ B 

Γ ⊢ (A ∨ B) ri∨· 

Élimination à droite de la disjonction : pour montrer 

C et que (A ∨ B) est prouvé, il suffit de montrer C 

en supposant d’une part A, d’autre part B : 

Γ ⊢ (A ∨ B) Γ, A ⊢ C Γ, B ⊢ C 

re∨ 

Γ ⊢ C 

Introduction à droite de la négation : pour montrer 

¬A, on suppose A et on démontre ⊥ : 

Γ, A ⊢ ⊥ 

Γ ⊢ (¬A) ri¬ 

Élimination à droite de la négation : si on a montré 

(¬A) et A, alors on a montré ⊥ : 

Γ, (¬A) ⊢ ⊥ Γ ⊢ A 

re¬ 

Γ ⊢ ⊥ 

Introduction à droite de ⊥ (absurdité classique) : 

pour démontrer A, il suffit de démontrer ⊥ en supposant 

(¬A) : 

Γ, (¬A) ⊢ ⊥ 

Γ ⊢ A ri⊥ 




CHAPITRE 3. LOGIQUE PROPOSITIONNELLE 3.6. COMPACIT É 

On énonce sans démonstration le Théorème de complétude qui est un cas particulier du Théorème 

de complétude du calcul des prédicats qu’on verra au chapitre suivant. 

Théorème 6 (Théorème de complétude) Soit T une théorie et A une proposition, alors : 

3.6 Compacité 

T ⊢ A ssi T A . 

On donne dans cette section une démonstration topologique directe du Théorème de compacité 

bien qu’on puisse le déduire du Théorème de complétude. 

3.6.1 Définitions 

Définition 33 Un espace topologique est un ensemble (X, O) où O est un ensemble de parties 

de X appelés ouverts tel que : 

1. O est stable par réunion avec la convention que 

Ui = ∅ ; 

2. O est stable par intersection finie avec la convention que 

Ui = X. 

Les fermés de X sont les complémentaires des ouverts. Un voisinage d’un point x ∈ X est 

une partie de X contenant un ouvert. La topologie discrète sur X est la topologie pour laquelle 

O = P(X). La topologie grossière est celle pour laquelle O = {∅, X}. Soit B une famille 

de parties stables par intersection finie, la topologie engendrée par B est la topologie dont les 

ouverts sont les réunions d’éléments de B. L’ensemble B est appelée une base d’ouverts. 

Une famille (Ai)i∈X de parties de X telle que X = 

i∈I Ai est un recouvrement de X. 

L’ensemble X est compact ssi : 

– il satisfait la propriété de séparation de Hausdorff : deux points distincts admettent des 

voisinages disjoints ; 

– il satisfait la propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de X par des ouverts, 

on peut extraire un sous-recouvrement fini. 

Soient X un espace produit, les produits d’ouverts des composants de X constituent une base 

d’ouvert de X et la topologie engendrée est la topologie produit. 

Exemple 19 L’ensemble B def 

= {B(x, r) : x ∈ Rn , r ∈ R}, où B(x, r) def 

= {y ∈ Rn | y − x < r} 

constituent une base d’ouverts sur Rn . On montre que tout fermé borné de Rn est compact. 

i∈∅ 

Proposition 14 Soit X un espace topologique alors les psse : 

1. X satisfait la propriété de Borel-Lebesgue ; 

2. toute famille de fermés de X d’intersection finie non-vide est d’intersection quelconque nonvide. 

Démonstration: Soit (Ui)i∈I une famille d’ouverts recouvrant X, et (Fi)i∈I, la famille de fermés où Fi def 

= X\ 

Ui, qui est donc, par complémentarité, d’intersection vide. Toujours par complémentarité, on remarque que 

les psse : 

1. il existe J ⊂ I avec J fini tel que (Uj)j∈J recouvre X ; 




i∈∅ 

49

3.6. COMPACITÉ CHAPITRE 3. LOGIQUE PROPOSITIONNELLE 

2. il existe J ⊂ I avec J fini tel que (Fj)j∈J soit d’intersection vide ; 

donc les psse : 

1. X satisfait la propriété de Borel-Lebesgue ; 

2. toute famille de fermés d’intersection vide admet une sous-famille finie d’intersection vide ; 

3. toute famille de fermés d’intersection finie non-vide est d’intersection non-vide. 

On démontre avec l’axiome du choix : 

Théorème 7 (Théorème ¨ 

£ 

¡ §¨© §¡ ¢ de ) Tout produit de compacts est compact. 

En réalité, une démonstration plus facile existe dans le cas où les espaces sont dénombrables. 

3.6.2 Théorème de compacité 

Théorème 8 (Théorème de compacité du calcul propositionnel) Une théorie T a un modèle 

ssi toute sous-théorie finie de T a un modèle. 

Démonstration: Pour la topologie discrète, B est compact. Soit S0 l’ensemble des propositions atomiques, 

alors l’ensemble des valuations est X = B A qui, muni de la topologie produit, est compact d’après le 

Théorème de Tychonoff. 

1. Pour toute formule F , l’ensemble V (F ) def 

= {v valuation v(F ) = true} est ouvert et fermé. En effet, soit 

n le nombre de variables apparaissant dans F . L’ensemble V (F ) est une union d’ouverts élémentaires3 de X, donc V (F ) est ouvert. Comme X \ V (F ) = V (¬F ), V (F ) est également un fermé. 

2. Soit T une théorie telle que toute sous-théorie finie est non-contradictoire (i.e. admet un modèle), 

alors {V (F ) : F ∈ T } est stable par intersection finie non-vide. En effet, soient F1, . . . , Fn des 

formules de T , la sous-théorie Γ = {F1, . . . , Fn} est non-contradictoire donc l’intersection des fermés 

V (F1), . . . , V (Fn) est non-vide. 

3. Comme X est compact, d’après la Proposition 14, on déduit de 2. que l’intersection de tous les V (F ) 

pour F ∈ T est non-vide, i.e. que T est non-contradictoire. 

3 il y en a au plus 2 n 




Chapitre 4 

Logique du premier ordre 


Le langage des propositions ne permet pas de rendre compte de nombreuses situations. Il faut 

donc recourir à la notion de prédicat et de quantificateurs. Référence facile [AU93, chap. 14]. 

4.2 Syntaxe 

4.2.1 Construction 

Définition 34 On appelle ensemble des connecteurs logiques du premier ordre l’ensemble : 

C = 

n∈N Cn avec C0 def 

= {⊥, ⊤}, C1 def 

= {¬}, C2 def 

= {∧, ∨, →, ∀, ∃} et Cn = ∅ pour tout n ≥ 0 et 

où : 

⊥ se lit bottom ∧ se lit et ∀ se lit pour tout 

⊤ se lit top ∨ se lit ou ∃ se lit il existe 

¬ se lit non → se lit implique 

On appelle quantificateur universel et quantificateur existentiel les symboles ∀ et ∃ respectivement. 

Définition 35 Soient R un ensemble de symboles relationnels, et F un ensemble de symboles 

fonctionnels où : 

F = 

Fn et R = 

Rn , 

n∈N 

on définit une signature sur l’ensemble S = F ⊔ C ⊔ R en convenant que Sn = Fn ⊔ Cn ⊔ Rn 

avec : 

1. ¬ est unaire préfixe ; 

2. ∧, ∨, →, ↔ sont binaires infixes ; 

3. ∀, ∃ sont binaires préfixes. 

Soit F un ensemble de variables fonctionnelles, le langage des termes fonctionnels sur S 

est défini comme étant l’ensemble T des termes construits par induction sur le modèle de la 

Définition 17, p. 37 de telle sorte que : 

51 

n∈N

4.2. SYNTAXE CHAPITRE 4. LOGIQUE DU PREMIER ORDRE 

1. toute constante fonctionnelle c ∈ F0 et toute variable fonctionnelle x ∈ F est un terme 

fonctionnel atomique de T ; 

2. pour n > 0, si M1, . . . , Mn ∈ T , et f ∈ Fn alors f(M1, . . . , ,Mn) ∈ T . 

Soit R un ensemble de variables fonctionnelles, le langage des termes relationnels élémentaires 

(formules atomiques) sur S est défini comme étant l’ensemble A des termes clos 

construits par induction sur le modèle de la Définition 17, p. 37 de telle sorte que : 

1. les connecteurs ⊥, ⊤ ∈ C0, ainsi que toute constante relationnelle p ∈ R0 sont des formule 

atomique de A ; 

2. pour n > 0, si M1, . . . , Mn ∈ T et R ∈ Rn, alors R(M1, . . . , ,Mn) ∈ A. 

Le langage LS des formules sur S est défini par induction, toujours sur le modèle de la Définition 17, 

p. 37 de telle sorte que 1 : 

1. A ⊆ LS ; 

2. si A, B ∈ LS , alors : 

(a) (¬A) ∈ LS ; 

(b) (A ∧ B) ∈ LS ; 

(c) (A ∨ B) ∈ LS ; 

(d) (A → B) ∈ LS ; 

3. si A ∈ LS , et x ∈ F, alors : 

(a) (∀x A) ∈ LS ; 

(b) (∃x A) ∈ LS . 

On note (∀x1, . . . , xn A) au lieu de ∀x1 · · · (∀xn A) · · · et, de même, (∃x1, . . . , xn A) au lieu de 

∃x1 · · · (∃xn A) · · · . On dit que ∀ et ∃ sont le dual l’un de l’autre. On prend les règles de priorité 

suivantes : 1. pour ¬, ∀ et ∃, 2. pour ∨, ∧ et 3. pour →. Pour tout connecteur binaire infixe c et 

tout terme M, on notera : 

 

– (∀x c M, A) ( e.g. (∀x ∈ M, x ≥ 0)) pour 

– (∃x c M | A) ( e.g. (∃x ∈ M | x ≥ 0)) pour 

∀x (x c M) → A 

. 

 

∃x (x c M) → A 

. 

On notera (A ↔ B) pour (A → B) ∧ (B → A) et A1 → A2 → · · · → An → B désignera l’expression 

A1 → A2 → · · · → (An → B) · · · 

. 

Exemple 20 Soit F0 = {0, . . . , 9} et F = {x}, F2 = {+, .}, et R2 = {=,

CHAPITRE 4. LOGIQUE DU PREMIER ORDRE 4.2. SYNTAXE 

1. si A ∈ A, alors ssf(A) def 

= {A} ; 

2. si A = (¬B) ou A = (∀x B) ou A = (∃x B), alors ssf(A) def 

= {A} ∪ ssf(B) ; 

3. si A = (B ∧ C) ou A = (B ∨ C) ou A = (B → C), alors ssf(A) def 

= ssf(B) ∪ ssf(C). 

4.2.3 Variables libres, liées, α-équivalence, renommage 

Définition 37 Pour toute formule A ∈ L l’ensemble free(A) de ses variables libres et l’ensemble 

bound(A) de ses variables liée (on dit aussi variables muette) est défini par induction : 

1. si A = R(M1, . . . ,Mn) ∈ A alors free(A) = n i=1 var(Mi) et bound(A) = ∅. 

2. si A = (¬B) alors free(A) def 

= free(B) et bound(A) def 

= bound(B) ; 

3. si A = (B ∧ C) ou A = (B ∨ C) ou A = (B → C), alors free(A) def 

= free(B) ∪ free(C) et 

bound(A) def 

= bound(B) ∪ bound(C) ; 

4. si A = (∀x B) ou A = (∃x B), alors free(A) def 

= free(B) \ {x} et bound(A) def 

= bound(B) ∪ {x}. 

Si free(A) = 0, on dit que A est close 2 Si |free(A)| = n, on dit que A est n-aire et si free(A) ⊆ 

{x1, . . . , xn}, on la note A[x1, . . . , xn]. La clôture universelle de A[x1, . . . , xn] est la formule close : 

∀x1, . . . , xn A[x1, . . . , xn]. On la notera 3 ( ¯ ∀ A). 

Exemple 21 Dans la formule A def 

= ∀x (x ⋆ y = y ⋆ x) , on a free(A) = {y} et bound(A) = {x}. Si 

B désigne la sous-formule (x ⋆ y = y ⋆ x), on a free(B) = {x, y} et bound(B) = ∅. 

Exemple 22 Dans la formule A def 

= ∀x (x2 ≥ 0) ∧ (x = 5), on a : 

1. d’une part free(A) = free(B) ∪ free(C) avec B def 

= ∀x (x2 ≥ 0) et C def 

= (x = 5) et free(B) = ∅ 

tandis que free(C) = x d’où free(A) = {x}. 

2. d’autre part bound(A) = bound(B) ∪ bound(C) avec B def 

= ∀x (x2 ≥ 0) et C def 

= (x = 5) et 

bound(B) = {x} tandis que bound(C) = ∅ d’où bound(A) = {x}. 

La variable x est donc libre et liée dans A. 

4.2.4 Substitutions 

Définition 38 Pour une formule A[x], et un terme M dans lequel x n’apparaît pas liée, on note 

A[x ↢ M], voire A[M] si le contexte est clair, la formule A dans laquelle on a remplacé toutes les 

occurences libres de x par M. 

Exemple 23 On a : 

– Soit A[x, y] def 

= x+y, alors A[x ↢ (x+1), y] = (x+1)+y ; 

– Soit A[x] def 

= ∀x (x2 > 0) ∧ (x < 1), alors A[x ↢ sin(y)] = ∀x 

 

(x 2 > 0) ∧ sin(y) < 1 

; 

Définition 39 Deux formules A et B sont α-équivalentes (on note A ≡α B) ssi elles sont 

syntaxiquement identiques à une substitution près des occurences liées des variables liées par des 

variables qui n’apparaissent pas libres dans ces formules. 

2 Attention ! Cela ne signifie pas la même chose que jusqu’alors, où l’on disait qu’une expression était close lorsqu’elle 

ne présentait pas de variables. Ici, close signifie que l’expression n’a pas de variables libres. 

3 Attention : le symbole ¯ ∀ n’est pas un symbole d’un langage du premier ordre mais une abbréviation du 

métalangage pour dire « clôture universelle de ». 




53

4.3. SÉMANTIQUE CHAPITRE 4. LOGIQUE DU PREMIER ORDRE 

Exemple 24 On a : 

1. ∀y (x ⋆ y = y ⋆ x) 

≡α ∀z (x ⋆ z = z ⋆ x) ; 

2. ∀y (x ⋆ y = y ⋆ x) 

≡α ∀y (z ⋆ y = y ⋆ z) ; 

3. ∀y (x ⋆ y = y ⋆ x) 

≡α ∀y (y ⋆ y = y ⋆ y) : il y a capture de la variable libre z. 

Si x apparaît liée dans M, soit z une variable n’apparaissant pas dans A, et B def 

= A[x ↢ z] ≡α A, 

on notera toujours A[x ↢ M] pour B[z ↢ M]. 

Ces notions de substitution et les précautions à prendre sont usuelles en mathématiques. Par 

exemple, dans l’expression A[x] def 

= 1 

0 e(x+y)2 dy, la variable y est liée par le terme dy et on ne peut 

pas brutalement substituer x ↢ y car le résultat n’aurait pas le sens qu’on attend. Il faut donc faire 

une α-équivalence (i.e. un changement de variable) préliminaire : A[x] ≡α B[x] def 

= 1 

0 e(x+z)2 dz et 

B[x ↢ y] = 1 

0 e(y+z)2 dz. Comme on l’a mentionné précédemment, on écrira A[x ↢ y], voire A[y], 

pour désigner l’expression B[x ↢ y]. 

4.2.5 Preuves 

La Table 4.1 complète la Table 3.1 de la p. 48 et on notera, de même Γ ⊢nat A pour dire qu’une 

formule A du premier ordre est démontrable en déduction naturelle dans un contexte Γ. 

Proposition 15 Soient A et Γ, respectivement une proposition et un ensemble de propositions, 

alors il existe une démonstration du séquent Γ ⊢ A avec les règles de la Table 3.1 de la p. 48 ssi il 

existe une démonstration du séquent Γ ⊢ A avec les règles de la Table 4.1 dans laquelle n’apparaît 

aucune des règles ri∀, re∀, ri∃, re∃. 

4.2.6 Validité des preuves après substitution 

Définition 40 Soit Γ = {A1, . . . , An} ⊆ L, M ∈ T et x ∈ F, on note Γ[x ↢ M] l’ensemble de 

formules {A1[x ↢ M], . . . , An[x ↢ M]}. 

Théorème 9 Si Γ ⊢ A alors Γ[x ↢ M] ⊢ A[x ↢ M]. 

Démonstration: cf. [DNR01, p. 50–52]. 

4.3 Sémantique 

4.3.1 Interprétations 

Définition 41 L’ensemble des interprétations standard à valeurs dans un ensemble X 

de L est l’ensemble I des interprétations v : S0 −→ X (au sens de la Définition 18, p. 38) vérifiant 

que si : 

1. x ∈ F est une variable ; 

2. c ∈ F0 est une constante fonctionnelle ; 

3. p ∈ R0 est une constante relationnelle ; 

4. n > 0 est un entier ; 

5. f ∈ Fn est un symbole fonctionnel n-aire ; 

6. R ∈ Rn est un symbole relationnel n-aire ; 




CHAPITRE 4. LOGIQUE DU PREMIER ORDRE 4.3. S ÉMANTIQUE 

Tab. 4.1 – Table des règles de déduction naturelle. 

Axiome : si la conclusion est dans les hypothèses, le 

séquent est prouvable : 

Γ, A ⊢ A ax 

Affaiblissement : si l’on peut démonter un séquent, le 

fait de rajouter une hypothèse est indépendant : 

Γ ⊢ A 

Γ, B ⊢ A aff 

Introduction à droite de l’implication : pour montrer 

A −→ B, il suffit de supposer A et de prouver B : 

Γ, A ⊢ B 

Γ ⊢ (A → B) ri→ 

Élimination à droite de l’implication (modus ponens) 

: si A → B est prouvable et que A alors on a B : 

Γ ⊢ (A → B) Γ ⊢ A 

re→ 

Γ ⊢ B 

Introduction à droite de la conjonction : pour montrer 

A ∧ B, il suffit de montrer A et de montrer B : 

Γ ⊢ A Γ ⊢ B 

ri∧ 

Γ ⊢ (A ∧ B) 

Éliminations à droite de la conjonction : si A ∧ B 

alors on peut déduire A et B : 

Γ ⊢ (A ∧ B) 

Γ ⊢ A 

Γ ⊢ (A ∧ B) 

re·∧ et 

Γ ⊢ B 

re∧· 

Introductions à droite de la disjonction : pour montrer 

A ∨ B, il suffit de montrer A ou de montrer B : 

Γ ⊢ A 

ri·∨ et 

Γ ⊢ (A ∨ B) 

Γ ⊢ B 

Γ ⊢ (A ∨ B) ri∨· 

Élimination à droite de la disjonction : pour montrer 

C et que (A ∨ B) est prouvé, il suffit de montrer C 

en supposant d’une part A, d’autre part B : 

Γ ⊢ (A ∨ B) Γ, A ⊢ C Γ, B ⊢ C 

re∨ 

Γ ⊢ C 




Introduction à droite de la négation : pour montrer 

¬A, on suppose A et on démontre ⊥ : 

Γ, A ⊢ ⊥ 

Γ ⊢ (¬A) ri¬ 

Élimination à droite de la négation : si on a montré 

(¬A) et A, alors on a montré ⊥ : 

Γ, (¬A) ⊢ ⊥ Γ ⊢ A 

re¬ 

Γ ⊢ ⊥ 

Introduction à droite de ⊥ (absurdité classique) : 

pour démontrer A, il suffit de démontrer ⊥ en supposant 

(¬A) : 

Γ, (¬A) ⊢ ⊥ 

Γ ⊢ A ri⊥ 

Introduction à droite du quantificateur universel : 

pour démontrer (∀x A), il suffit de montrer A sans faire 

aucune hypothèse sur x : 

Γ ⊢ A où x n’est pas libre dans Γ 

ri∀ 

Γ ⊢ (∀x A) 

Élimination à droite du quantificateur universel : 

de (∀xA), on peut déduire A[x ↢ M] pour tout terme M : 

Γ ⊢ (∀x A) 

Γ ⊢ A[x ↢ M] re∀ 

Introduction à droite du quantificateur existentiel 

: pour démontrer (∃x A), il suffit de montrer A[x ↢ 

M] pour un certain terme M : 

Γ ⊢ A[x ↢ M] 

ri∃ 

Γ ⊢ (∃x A) 

Élimination à droite du quantificateur existentiel : 

si il existe un x pour lequel on a A et qu’en supposant A, 

on a C, alors en prenant x, on a C : 

Γ ⊢ (∃x A) Γ, A ⊢ C où x n’est pas libre sur Γ et C 

re∃ 

Γ ⊢ C 

55

4.3. SÉMANTIQUE alors : 

CHAPITRE 4. LOGIQUE DU PREMIER ORDRE 

1. v(x) ∈ X ; 

2. v(c) ∈ X ; 

3. v(p) ∈ B ; 

4. v(⊥) def 

= false ; 

5. v(⊤) def 

= true ; 

6. v(f) : X n → X ; 

7. v(R) : X n → B ; 

et étendues par induction à L K de telle sorte que, pour tous les termes fonctionnels M1, . . . , Mn ∈ 

T : 

8. v R(M1, . . . , ,Mn) = v(R) v(M1), . . . , v(M) ; 

9. v f (M1, . . . , ,Mn) = v(f ) v(M1), . . . , v(M) ; 

et telles que, avec les notations de la Table. 2.1, p. 40, si A, B ∈ L sont des formules alors : 

10. v(¬A) def 

= non v(A) ; 

11. v(A ∧ B) def 

= and v(A), v(B) ; 

12. v(∀x A) def 

= and v[x ↢ x](A) ; 

x∈X 

13. v(A → B) def 

= impl v(A), v(B) ; 

14. v(A ∨ B) def 

= or v(A), v(B) ; 

15. v(∃x A) def 

= or v[x ↢ x](A) . 

où, pour tout x ∈ X, on notera v[x ↢ x] l’interprétation v ′ telle que v ′ (x) = x et v ′ (s) = v(s) 

pour tout s ∈ Sn et v ′ (x ′ ) = v(x ′ ) pour toute variable x ′ = x. 

Une formule A ∈ L est : 

1. satisfaite par v ssi v(A) = true, auquel cas v est un modèle de A et on note v A ; 

2. falsifiée par v ssi v(A) = false, auquel cas on dit que v est un contre-modèle de A ; 

3. tautologique ssi elle est satisfaite pour toute interprétation v et on note A ; 

4. antilogique ssi elle est falsifiée pour toute interprétation v ; 

5. contingente ssi elle admet au moins une interprétation satisfaisante et une interprétation 

falsifiante ; 

et, pour toute formule B ∈ LK : 

1. A implique sémantiquement B et on note (A ⇒ B) ssi (A → B) ; 

2. A équivaut sémantiquement à B et on note (A ⇔ B) ssi (A ↔ B). 

On vérifie immédiatement que : 

Théorème 10 On a les formules : 

(A ∧ B) ⇔ 

x∈X 

 

¬ (¬A) ∨ (¬B) 

, (A → B) ⇔ (¬A) ∨ B , (∀x A) ⇔ 

 

¬ ∃x (¬A) 

, 

par conséquent, l’Algorithme 1, p. 57, transforme toute formule du premier ordre en une formule 

du premier ordre équivalente ne contenant que les connecteurs logiques ¬, ∨, ∃. On a également les 

formules 

(A ∨ B) ⇔ 

 

¬ (¬A) ∧ (¬B) 

, (A → B) ⇔ (¬A) ∨ B 

, (∃x A) ⇔ ¬ ∀x (¬A) 

, 

et il existe donc un algorithme qui transforme toute formule du premier ordre en une formule du 

premier ordre équivalente ne contenant que les connecteurs logiques ¬, ∧, ∀. 




CHAPITRE 4. LOGIQUE DU PREMIER ORDRE 4.3. S ÉMANTIQUE 

Algorithme 1 Réduction aux connecteurs ¬, ∨, ∃ 

Nom : redc // Réduit les connecteurs 

Entrée : Une formule A 

Sortie : Une formule A ′ ne contenant que les connecteurs ¬, ∨, ∃, telle que A ⇔ A ′ 

// Cas triviaux : 

if A est atomique then return A ; 

else if A est de la forme ∃x B then return ∃x redc(B) ; 

else if A est de la forme (B ∨ B ′ ) then return redc(B) ∨ (B ′ ) ; 

// Cas non-triviaux : 

else if A est de la forme (B ∧ B ′ ) then return 

 

¬ (¬redc(B)) ∨ (¬redc(B ′ )) 

; 

else if A est de la forme (B → B ′ ) then return (¬redc(B)) ∨ redc(B ′ ) 

; 

else if A est de la forme ∀x B then return ¬ ∃x (¬redc(B)) 

. 

4.3.2 Morphismes d’interprétations 

Définition 42 Soient v et v ′ deux interprétations de L sur X et X ′ respectivement, un morphisme 

de v sur v ′ est une fonction ϕ : X −→ X ′ telle que : 

1. pour toute constante c ∈ A0, ϕ v(c) = v ′ (c) ; 

2. pour toute proposition atomique P ∈ A0, ϕ v(P ) = v ′ (P ) ; 

3. pour tout symbole fonctionnel n-aire f, et tout x1, . . . , xn ∈ X : 

ϕ v(f)(x1, . . . , xn) = v ′ (f) ϕ(x1), . . . , ϕ(xn) ; 

4. pour tout symbole relationnel n-aire R, et tout x1, . . . , xn ∈ X : 

ϕ v(R)(x1, . . . , xn) = v ′ (R) ϕ(x1), . . . , ϕ(xn) . 

Un isomorphisme est un morphisme bijectif. S’il existe un isomorphisme, on dit que v et v ′ sont 

isomorphes et on note v v ′ . 

Le fait qu’un morphisme ϕ soit injectif signifie que ϕ(x) = ϕ(y) ssi x = y. 

Exemple 25 Soient F0 = {c}, F2 = {f}, R2 = {R}. Les interprétations de L : 

1. v, sur X = R, telle que v(c) = 0, v(f) : (a, b) ↦−→ a + b et v(R) : (a, b) ↦−→ a ≤ b ; 

2. v ′ , sur X =]0, ∞[, telle que v(c) = 1, v(f) : (a, b) ↦−→ a · b et v(R) : (a, b) ↦−→ a ≤ b ; 

sont isomorphes. 

Théorème 11 Soient v et v ′ deux interprétations de L sur X et X ′ respectivement, ϕ : X −→ X ′ 

un isomorphisme. Pour toute formule A, v A ssi v ′ A. 

Démonstration: cf. [DNR01, p. 73]. 




57

4.4. FORMES NORMALES CHAPITRE 4. LOGIQUE DU PREMIER ORDRE 

4.4 Formes normales 

4.4.1 Mise sous forme prénexe 

Définition 43 Une formule A est prénexe ssi elle est de la forme q1x1 · · · qnxn B où qi ∈ {∀, ∃} et 

où B n’a pas de quantificateurs. Le préfixe de A est q1x1 · · · qnxn. Elle est dite prénexe conjonctive 

(resp. disjonctive) si, en outre, B est sous forme normale conjonctive (resp. disjonctive). 

Lemme 1 Soit A, B des formules. Si x n’est pas libre dans B, alors : 

⊢ (∀x A) ∨ B ↔ (∀x (A ∨ B) 

et ⊢ (∃x A) ∨ B ↔ (∃x (A ∨ B) . 

Par conséquent, si A et B sont des formules telles que x1, . . . , xn ne sont pas libres dans B et 

x ′ 1 , . . . , x′ m ne sont pas libres dans A, alors, pour tout choix de quantificateurs q1, . . . , qn, q ′ 1 , . . . , q′ m , 

on a : 

(q1x1 ⊢ · · · qnxn A) ∨ (q ′ 1x ′ 1 · · · q ′ mx ′ m B) ↔ q1x1 · · · qnxnq ′ 1x ′ 1 · · · q ′ mx ′ m (A ∨ B) 

Démonstration: Montrons ⊢ (∀x A) ∨ B → (∀x (A ∨ B) : 

(1) ⊢ (∀x A) ∨ B → (∀x (A ∨ B) . . . . ri→ (2) 

(2) (∀x A) ∨ B ⊢ (∀x (A ∨ B) . . . . .li∨ (3) (4) 

(3) (∀x A) ⊢ ∀x (A ∨ B) . . . . . . . . . . . . . . . ri∀ (5) 

(4) B ⊢ ∀x (A ∨ B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ri∀ (6) 

(5) (∀x A) ⊢ (A ∨ B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . li∀ (7) 

(6) B ⊢ (A ∨ B). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ri∨· (8) 

(7) (∀x A), A ⊢ (A ∨ B) . . . . . . . . . . . . . . . . .ri·∨ (9) 

(8) B ⊢ B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ax 

(9) (∀x A), A ⊢ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ax 

les autres résultats se prouvent de même et on prouve le dernier séquent par récurrence sur n + m. 

Théorème 12 Toute formule équivaut à une formule prénexe conjonctive et à une formule prénexe 

disjonctive. C’est la preuve de l’Algorithme 2. 

Démonstration: D’après le Théorème 10, p. 56, sgops que la formule ne contient que ∃, ¬, ∨. On raisonne 

ensuite par induction pour la prénexité : 

1. si A est atomique, c’est clair ; 

2. si A = (¬B), alors par hypothèse d’induction, B ⇔ q1x1 · · · qnxn C donc A ⇔ q ′ 1 x1 · · · q ′ n xn (¬C) où q ′ i 

est le dual de qi ; 

3. si A = (B ∨ B ′ ), par hypothèse d’induction, B ⇔ q1x1 · · · qnxn C et B ′ ⇔ q ′ 1 x′ 1 · · · q′ m x′ m C′ . Quitte à 

renommer les variables liées, spgops x1, . . . , xn, x ′ 1, . . . , x ′ m sont distinctes. D’après le Lemme 1, on a 

donc : A ⇔ q1x1 · · · qnxnq ′ 1 x′ 1 · · · q′ m x′ m (C ∨ C′ ) ; 

4. si A = (∃x B), par hypothèse d’induction, on a B ⇔ q1x1 · · · qnxn C et A ⇔ ∃x q1x1 · · · qnxn C. 

On a donc montré que toute formule A équivalait à une formule prénexe q1x1 · · · qnxn B où B est sans 

quantificateurs. Or d’après le Théorème 5, B équivaut à fnc(B) qui est une formule normale conjonctive (de 

même pour la normale disjonctive de B). 




CHAPITRE 4. LOGIQUE DU PREMIER ORDRE 4.4. FORMES NORMALES 

Algorithme 2 Mise sous forme prénexe 

Nom : prenexe 

Entrée : Une formule du premier ordre A 

Sortie : Un couple [q1x1, . . . , qnxn], C où q1, . . . , qn sont des quantificateurs 

et où A équivaut à la formule prénexe q1x1 · · · qnxn C 

// Réduction des connecteurs logiques à ¬, ∨, ∃ : 

A ← redc(A) où redc est l’Algorithme 1, p. 57 ; 

// Algorithme principal : 

if A est atomique then 

return [ ], A ; 

else if A est de la forme ∃x B then 

return [∃x, q1x1, . . . , qnxn], C ; 

où [[q1x1, . . . , qnxn], C] ← prenexe(B) ; 

else if A est de la forme (¬B) then 

return [q ′ 1x1, . . . , q ′ mxn], (¬B) où q ′ i est le dual de qi 

où [q1x1, . . . , qnxn], B ′ ← prenexe(B) ; 

else if A est de la forme (B ∨ B ′ ) then 

renommer les variables liées de B et B ′ pour qu’elles soient distinctes ; 

return [q1x1 · · · qnxnq ′ 1x′ 1 · · · q′ mx ′ m], (C ∨ C ′ ) 

où [q1x1, . . . , qnxn], C ← prenexe(B) et [q ′ 1x′ 1 , . . . , q′ mx ′ m], C ′ ← prenexe(B ′ ) ; 




59

4.5. THÉORIES CHAPITRE 4. LOGIQUE DU PREMIER ORDRE 

4.5 Théories 

4.5.1 Définition 

Définition 44 Une théorie du premier ordre T est un ensemble de formules closes appelées 

axiomes. L’interprétation v satisfait T ssi v A pour tout A ∈ T , auquel cas on note v T et 

on dit que v est un modèle de T . Une théorie est satisfaisable 4 ssi elle admet un modèle. Une 

formule close A est un théorème dans T et on note T A ssi tout modèle de T est un modèle 

de A. 

4.5.2 Propriétés syntaxiques 

Définition 45 Une théorie T est : 

– cohérente ssi il n’existe pas de formule A telle que T ⊢ A et T ⊢ (¬A) ; 

– consistante ssi T ⊥ ; 

– complète ssi T est consistante et si, pour toute formule close, on a T ⊢ A ou T ⊢ (¬A) ; 

– moins puissante qu’une théorie T ′ et on note T ≤ T ′ ssi, pour toute formule close A, 

T ⊢ A implique T ′ ⊢ A. 

Une formule A est indépendante d’une théorie consistante T ssi T A et T (¬A). 

Proposition 16 Soit T une théorie complète et soient A et B des formules closes, alors : 

1. T ⊢ (A ∨ B) ssi T ∨ A ou T ⊢ B ; 

2. T ⊢ (¬A) ssi T A. 

Démonstration: 

1. si T A et T B, comme T est complète, on a T ⊢ (¬A) et T ⊢ (¬B), donc T ⊢ (¬(A ∨ B)). 

Comme T ⊢ (A ∨ B), cela voudrait dire que T est inconsistante, ce qui est absurde. L’autre sens est 

évident. 

2. Si l’on avait T ⊢ A et T ⊢ (¬A), cela signifierait que T serait inconsistante, ce qui est absurde. 

4.6 Théorème de complétude de ¡ ¡¦¥ ¢¤£ 


Une formule prouvable est vraie car les règles de démonstrations sont valides. La réciproque 

n’est pas évidente et constitue le cœur du Théorème de complétude de Gödel. 

4.6.2 Théorème 

Théorème 13 (Théorème de complétude de ¡ ¥ § ¡ , 1929) Une théorie T est satisfaisable 

§ 

ssi elle est consistante. En particulier, pour toute théorie T et toute formule close A, on a T ⊢ A 

ssi T A. 

Démonstration: 

– Si T est inconsistante, on a T ⊢ ⊥, donc pour toute formule A de T , et toute valuation v, on a 

v(A) = false. S’il existe un modèle pour T (satisfaisabilité), il existe une valuation v telle v(A) = true 

pour toute A ∈ T . 

4 on dit aussi non-contradictoire mais cette terminologie est moins claire. 




CHAPITRE 4. LOGIQUE DU PREMIER ORDRE 4.6. THÉORÈME DE COMPLÉTUDE 

– Supposons que T ⊥ (consistance), alors [DNR01, p. 76–81] (difficile) il existe un modèle pour T . 

Soit A une formule close, alors les psse : 

1. T ⊢ A ; 

2. T , (¬A) ⊢ ⊥ (par l’absurde) ; 

3. T ∪ {(¬A)} est inconsistante (par définition) ; 

4. T ∪ {(¬A)} est insatisfaisable d’après la 

première partie ; 

5. aucun modèle de T ne satisfait (¬A) ; 

6. tout modèle de T satisfait A ; 

7. T A. 

4.6.3 Corollaires : les théorèmes de ¢¡ 

£¥¤ £§¦§¦ £©¨ 

Nous donnons ici sans démonstration : 


a un modèle dénombrable. 


modèle dénombrable. 

¡ ¡ § © ¡ § £¤£ 

§ 

¥ ¦ 

§ ¡ § £ 

4.6.4 Corollaire : le théorème de compacité 

et £ ¡¤£ 

, 1915) Si une formule A est satisfaisable alors A 

, 1920) Si T est une théorie dénombrable alors T a un 

Par ailleurs, on peut remarquer que si tous les énoncés d’un ensemble dénombrable T ne sont 

pas simultanément vérifiables, il est nécessaire que la négation de la conjonction d’un nombre fini 

d’énoncés de T soit démontrable. Gödel en tire la conséquence suivante, connue sous le nom de 

théorème de compacité dénombrable : si toute conjonction finie d’énoncés de T est satisfaisable, 

alors T est satisfaisable. 

Théorème 16 (Théorème de compacité) Soit T une théorie alors T est satisfaisable ssi tout 

sous-ensemble fini de T est satisfaisable. 

Démonstration: Une autre façon de formuler le théorème est que T est insatisfaisable ssi il existe un 

sous-ensemble fini de T qui est insatisfaisable. Il est clair que s’il existe un sous-ensemble fini de T qui 

soit insatisfaisable, alors T l’est également. Inversement, si T est insatisfaisable, d’après le Théorème de 

complétude, elle est inconsistante, i.e. T ⊢ ⊥, c’est-à-dire qu’il existe un sous-ensemble fini Γ de T tel que 

Γ ⊢ ⊥. Toujours d’après le Théorème de complétude, cela signifie que, pour toute interprétation v, on a 

v Γ i.e. que Γ est insatisfaisable. 

4.6.5 Conclusion 

L’importance du théorème de complétude est le lien, établi pour la première fois, entre les notions 

sémantiques de validité et de satisfiabilité d’un énoncé et la notion syntaxique de démontrabilité. 

Dans le calcul des prédicats du premier ordre, l’ensemble des énoncés valides (c’est-à-dire vrais pour 

toute interprétation ou modèle de ce calcul) coïncide avec l’ensemble des énoncés formellement 

démontrables. Gödel fait très justement remarquer que son théorème est nécessaire si on veut 

poser l’équivalence entre la consistance d’une théorie du premier ordre et l’existence d’un modèle 

de cette théorie. 

A posteriori, c’est un fait très remarquable que ce premier travail contienne trois des théorèmes 

fondamentaux de la logique du premier ordre : complétude, Löwenheim-Skolem, compacité. On 




61

4.6. THÉORÈME DE COMPLÉTUDE CHAPITRE 4. LOGIQUE DU PREMIER ORDRE 

sait aujourd’hui (depuis 1969) que ces théorèmes caractérisent la logique du premier ordre dans le 

sens suivant : si on passe à une logique au pouvoir d’expression strictement plus fort (logique du 

second ordre, logiques infinitaires, etc), on n’a plus la validité simultanée d’un analogue du théorème 

de Löwenheim-Skolem et du théorème de complétude (ou de compacité). La logique du premier 

ordre est donc la plus forte possible à satisfaire simultanément les deux couples de théorèmes : 

Löwenheim-Skolem et complétude, Löwenheim-Skolem et compacité (dénombrable). 




Chapitre 5 

Exemples de théories du premier 

ordre 

5.1 Théorie de l’égalité 

Définition 46 Soit = ∈ R2, on appelle : 

1. axiome de réflexivité de = la formule Ref(=) def 

= ∀x (x = x) 

2. axiome de symétrie de = la formule Sym(=) def 

 

= ∀x, y (x = y) → (y = x) 

3. axiome de transitivité de = la formule : Trs(=) def 

(x 

= ∀x, y, z = y) ∧ (y = z) → (x = z) 

et théorie de l’équivalence de =, la théorie Eq(=) def 

= {Ref(=), Sym(=), Trs(=)}. On appelle 

théorie de l’égalité de =, la théorie Eg(=) contenant Eq(=) et : 

1. pour tout n > 0 et tout symbole fonctionnel f ∈ Fn, la formule : 

Eg(=, f) def 

n 

 

= ∀x1, . . . , xn, y1, . . . , yn xi = yi → f(x1, . . . , xn) = f(y1, . . . , yn) 

i=1 

2. pour tout n > 0 et tout symbole relationnel R ∈ Rn distinct de = , la formule : 

Eg(=, R) def 

n 

 

= ∀x1, . . . , xn, y1, . . . , yn xi = yi → R(x1, . . . , xn) → R(y1, . . . , yn) 

On notera F = F ′ la formule ¬(F = F ′ ). 

i=1 

On peut remplacer les axiomes de Eg(=) par les règles : 

5.2 Théorie des groupes 

Γ ⊢ (M = M) ri= et Γ ⊢ A[x ↢ M] Γ ⊢ (M = M ′ ) 

Γ ⊢ A[x ↢ M ′ re= 

] 

Définition 47 Soit = ∈ R2, −1 ∈ F1, * ∈ F2 et e ∈ F0, on appelle : 

63

5.3. THÉORIES ARITHMÉTIQUES CHAPITRE 5. EXEMPLES DE THÉORIES 

1. axiome d’associativité de * la formule Ass(*) def 

= ∀x, y, z (x * y) * z = x * (y * z) 

2. axiome de neutralité de e pour * la formule : Ntr(*, e) def 

= (e * x) = x ∧ (x * e) = x 

3. axiome d’inversion pour * la formule : 

Inv(*) def 

= ∀x (x * x −1 = e) ∧ (x −1 * x = e) 

et théorie des groupes de * (avec = comme symbole d’égalité et e comme symbole d’élément 

neutre), la théorie Grp(*) def 

= Eg(=)⊔{Ass(*), Ntr(*, e), Inv(*)}. La théorie des groupes abéliens 

de * est la théorie Ab(*) dont les axiomes sont ceux de Grp(*, =) auxquels on a adjoint l’axiome 

Com(*) def 

= ∀x, y (x * y = y * x). 

Soient G un ensemble, et v une interprétation de Grp(*) dans G ; soient ⋆ = v(*) et e = v(e). 

Il est clair que v est un modèle de Grp(*) ssi (G, ⋆) est un groupe dont l’élément neutre est e et on 

a le théorème formel : « dans un groupe, l’inverse à droite de tout élément est unique » dont voici 

une démonstration sans trop rentrer dans les détails : 

(1) Grp(*) ⊢ ∀x, y (x * y = e) → (y = x −1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i∀ (2) 

(2) Grp(*) ⊢ ∀y (x * y = e) → (y = x −1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i∀ (3) 

(3) Grp(*) ⊢ (x * y = e) → (y = x −1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i→ (4) 

(4) Grp(*), (x * y = e) ⊢ y = x −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . calcul (5) 

(5) Grp(*), x −1 * (x * y) = (x −1 * e) ⊢ y = x −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ntr(*) (6) 

(6) Grp(*), x −1 * (x * y) = x −1 ⊢ y = x −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ass(*) (7) 

(7) Grp(*), (x −1 * (x) * y = x −1 ⊢ y = x −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inv(*) (8) 

(8) Grp(*), e * y = x −1 ⊢ y = x −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ntr(*, e) (9) 

(9) Grp(*), y = x −1 ⊢ y = x −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ax 

5.3 Théories arithmétiques 

5.3.1 Axiomes 

Définition 48 Soit L un langage du premier ordre comportant le symbole de constante 0, le 

symbole fonctionnel unaire préfixe s, les symboles fonctionnels binaires infixes + et ×, le symbole 

relationnel binaire infixe =. On appelle théorie arithmétique élémentaire la théorie Ar dont 

les axiomes contiennent Eg(=) et les formules : 

Ar1 ∀x (s(x) = 0) 

Ar2 ∀x (x = 0) ∨ ∃y (x = s(y)) 

s(x) 

Ar3 ∀x, y = s(y) → (x = y) 

Ar4 ∀x (x + 0) = x 

x 

Ar5 ∀x, y + s(y) = s(x + y) 

Ar6 ∀x (x × 0) = 0 

x 

Ar7 ∀x, y × s(y) = (x × y) + x 

On notera x ≤ y la formule ∃z (x + z = y) et x < y la formule (x ≤ y) ∧ (x = y). Soit F une 

formule, on appelle axiome de récurrence de § £ © § sur F , la formule : 

Rec(F ) def 

= ¯ ∀ 

 

F [x ↢ 0] ∧ ∀y F [x ↢ y] → F [x ↢ s(y)] 

 

→ (∀z F ) 




(5.1)

§ £ © § 

CHAPITRE 5. EXEMPLES DE THÉORIES 5.4. THÉORIE ZF 

et schéma d’axiomes de récurrence de la famille Rec def 

§ © £ § 

= {Rec(F ) : F ∈ L}. La 

théorie arithmétique de est la théorie PA def 

¡ ¡ ¥ ¡ § ¢¤§ ¢ ¡ Pres 

= Ar ∪ Rec. On appelle arithmétique de 

la sous-théorie def 

= Eg(=) ∪ {Ar1, . . . , Ar5} de Ar. 

Exemple 26 Soit F def 

= x + t = 0, comme les deux variables x et t sont libres dans F , la clôture 

universelle nécessaire pour former l’axiome de récurrence associé à F s’obtient en préfixant la 

formule définie par (5.1) par ∀x, t de telle sorte que : 

Rec(F ) = ∀x, t (0 + t = 0) ∧ 

On pourrait remplacer Rec par la règle : 

Γ ⊢ F [x ↢ 0] Γ ⊢ 

5.3.2 Propriétés arithmétiques 

Théorème 17 La théorie PA est satisfaisable. 

Démonstration: On peut interpréter PA dans N. 

 

∀y 

(x + y = 0) → (x + s(y) = 0)) 

 

→ (∀z F ) 

 

∀y F [y] → F [s(y)] 

Γ ⊢ (∀x F ) 

Définition 49 Le modèle standard de PA est N. 

Théorème 18 Les modèles de Ar sont infinis. 

Démonstration: Soit v une interprétation de Ar dans X, alors Ar3 implique que v est injective et Ar1, 

qu’elle est surjective donc X est infini. 

Théorème 19 Dans PA, Ar2 est redondant. 

Démonstration: cf.. [DNR01, p. 105]. 

5.4 Théorie formelle des ensembles 


La théorie formelle des ensembles permet de définir syntaxiquement ce qu’est un ensemble. 

Les mathématiques usuelles sont construites à partir de ces axiomes et on peut représenter tous 

les objets habituels (fonctions, nombres, etc) par des ensembles de la même façon qu’on peut 

représenter avec des 0 et des 1 tous les objets que manipulent les ordinateurs. 

On suppose que L un langage du premier ordre contenant les symboles relationnels binaires 

infixes = et ∈, on définit M1 ⊆ M2 comme étant la formule ∀x (x ∈ M1) → (x ∈ M2) . 




rec 

65

£¥¡ 

5.4. THÉORIE ZF CHAPITRE 5. EXEMPLES DE THÉORIES 

5.4.2 Théorie de 

£¢¡ £§¡ £¤£¦¥ ¡¨§ £¥¦ 

Cette théorie est la plus communément admise pour fonder les mathématiques et est constituée 

d’un certain nombre d’axiomes que voici. 

 

Définition 50 La formule suivante exprime le fait que les ensembles x et y sont égaux ssi ils ont 

mêmes élements : 

Ext(x, y) def 

= ∀z (z ∈ x) ↔ (z ∈ y) 

 

→ (x = y) 

On appelle axiome d’extensionnalité, la formule : Ext def 

= ∀x, y Ext(x, y). 

Définition § ¡ £ § ¡ § 51 ( , 1908) La formule Pair(x, y, z) exprime le fait que si x et y sont deux 

ensembles, l’ensemble z est un ensemble ne contenant comme éléments que x et y : 

Pair(x, y, z) def 

 

= ∀t (t ∈ z) ↔ (t = x) ∨ (t = y) 

On notera s ∈ {x, y} la formule ∃z (s ∈ z) ∧ Pair(x, y, z) et s ∈ {x}, la formule s ∈ {x, x}. On 

appelle axiome de la paire, la formule Pair def 

= ∀x, y∃zPair(x, y, z). On définit également le couple 

(x, y) comme étant x, {x, y} . 

Définition £ © ¥ § ¡ 52 ( , 1899) La formule Uni(x, y) exprime le fait que y est l’union de tous 

les éléments t de x : 

Uni(x, y) def 

 

= ∀z (z ∈ y) ↔ ∃t (t ∈ x) ∧ (z ∈ t) 

On notera s ∈ x pour ∃y (s ∈ y) ∧ Uni(x, y) On appelle axiome de la réunion, la formule 

Uni def 

= ∀x ∃y Uni(x, y). 

Définition 53 La formule Part(x, y) exprime le fait que y est l’ensemble des parties de x : 

Part(x, y) def 

= ∀z ((z ∈ y) ↔ (z ⊆ x)) 

On notera s ∈ P(x) la formule ∃y (s ∈ y)∧Part(x, y) . On appelle axiome des parties, la formule 

Part def 

= ∀x ∃y Part(x, y). 

On reprend formellement dans ZF la Définition 3, p. 30 d’une relation fonctionnelle. 

Définition 54 On exprime le fait qu’une variable1 représente une relation fonctionnelle (resp. 

une relation fonctionnelle de a dans b) par la formule : Fonc(f) def 

= IsRel(f) ∧ IsFonc(f) (resp. 

Fonc(f, a, b) def 

= IsRel(f, a, b) ∧ IsFonc(f)) où : 

IsRel(f) def 

 

= ∀z (z ∈ f) → ∃x, y z = (x, y) 

IsRel(f, a, b) def 

 

= ∀z (z ∈ f) → ∃x, y z = (x, y) ∧ (x ∈ a) ∧ (y ∈ a) 

IsFunc(f) def 

= ∀x, y, y ′ 

′ ′ 

(x, y) ∈ f ∧ (x, y ) ∈ f → (y = y ) 

Dans ce cas, on note y = f(x) pour ∃z 

 

(z ∈ f) ∧ z = (x, y) 

. 

1 Attention : en théorie des ensembles, f est une variable, pas un symbole fonctionnel. 




CHAPITRE 5. EXEMPLES DE THÉORIES 5.4. THÉORIE ZF 

Définition (¡ ¡ £¤§ © 

¦ § ¡ 55 , 1922 

¥ ¦ 

§ ¡§ £ 

et , 1923) On exprime le fait qu’une formule représente 

une relation fonctionnelle sur a et b par la formule Fonc(F, a, b) def 

= IsRel(F ) ∧ IsFonc(F, a, b) où 

IsRel(F, a, b) def 

= ¯ 

∀ (y ∈ b) ↔ ∃z (z ∈ a) ∧ F [z, y] 

IsFunc def 

= ¯ ∀ (F [x, y] ∧ F [x, y ′ ]) → (y = y ′ ) 

Dans ce cas, on note s ∈ {y : x ∈ a | F [x, y]} pour ∃b (s ∈ b) ∧ Func(F, a, b) que l’on peut aussi 

écrire s ∈ {f(x) : x ∈ a} au lieu de : 

 

∃b (s ∈ b) ∧ Fonc(F, a, b) ∧ Fonc(f, a, b) ∧ ∀x, y (F [x, y] ↔ (x, y) ∈ f) 

On appelle axiome de remplacement associé à F , la formule : 

Remp(F ) def 

= IsFunc(F ) → ∀a ∃b IsRel(F, a, b) 

exprimant que si F représente une fonction, l’ensemble des images d’un ensemble par cette fonction 

existe. On appelle schéma de remplacement l’ensemble Remp def 

= {Remp(F ) : F ∈ L}. 

Définition 56 On exprime le fait que l’ensemble b est une partie, décrite « en compréhension » 

avec F [x], d’un ensemble a, par la formule : 

Comp(F, a, b) def 

= ¯ 

∀ x ∈ b ↔ (x ∈ a) ∧ F [x] 

Dans ce cas, on note s ∈ {x ∈ a | F [x]} pour ∃b (s ∈ b) ∧ Comp(F, a, b) . L’axiome de 

compréhension assicié à F est la formule Comp(F ) def 

= ∀a ∃b Comp(F, a, b). On appelle schéma 

de compréhension l’ensemble Comp def 

= {Comp(F ) : F ∈ L}. 

On peut remarquer plusieurs choses importantes : 

1. L’ensemble noté b = {x ∈ a | F [x]} issu du schéma de compréhension est construit comme 

sous-ensemble d’un ensemble a, contrairement au schéma de compréhension qu’avait donné 

Frege qui permettent de définir b = {x | F [x]} grâce à l’axiome obtenu par clôture universelle 

de ∃b∀x(x ∈ b ↔ F [x]). Le schéma d’axiomes de Frege donne lieu à une théorie incohérente 

comme le montre le paradoxe de Russel. 

2. Le schéma de compréhension, appliqué à la formule F = ⊥ implique qu’il existe un ensemble 

vide, noté ∅ : 

 

Comp(⊥) = ∀a ∃b ∀x x ∈ b ↔ (x ∈ a) ∧ ⊥ 

⇔ ∃b ∀x x /∈ b 

3. Le schéma de compréhension, appliqué à la formule F = (x ∈ c) implique que l’intersection 

de tout ensemble a avec c existe. En effet, soit 

Inter(a, b, c) def 

 

= ∀x x ∈ b ↔ (x ∈ a) ∧ (x ∈ c) 

on a bien Comp(x ∈ c) = ∀a ∃b Inter(a, b, c). On note alors s ∈ a ∩ c pour ∃b (s ∈ b ∧ 

Inter(a, b, c) . 




67

5.4. THÉORIE ZF CHAPITRE 5. EXEMPLES DE THÉORIES 

4. Le schéma de compréhension, appliqué à la formule F def 

= (x /∈ x), permet de montrer qu’il n’y 

a pas d’ensemble de tous les ensembles, i.e. Comp ⊢ ¬ ∃s ∀t (t ∈ s) . En effet, on a : 

 

Comp(x /∈ x) = ∀a ∃b ∀x x ∈ b ↔ (x ∈ a) ∧ (x /∈ x) 

En appliquant ri⊥, puis li∃, on se ramène à montrer Comp(x /∈ x), ∀t(t ∈ s) ⊢ ⊥. En appliquant 

à Comp(x /∈ x), la règle li∀ avec (a ↢ s), un affaiblissant, puis li∃, d’une part et la règle li∀ 

avec (y ↢ b) à ∀t(t ∈ s), d’autre part, on se ramène à prouver : (b ∈ b) ↔ (b ∈ s) ∧ (b /∈ 

b) , (b ∈ s) ⊢ ⊥, d’où l’on déduit(b ∈ b) ↔ (b /∈ b) ⊢ ⊥, puis ⊥ ⊢ ⊥. 

5. On peut se passer du symbole = en le redéfinissant à partir de ∈ par le fait que x = y est 

synonyme de ∀z (z ∈ x) ↔ (z ∈ y) et en remplaçant Ext par : 

∀x, y 

 

(x = y) → ∀z (x ∈ z) ↔ (y ∈ z) 

Définition 57 On exprime le domaine de la fonction f avec la formule 

Dom(f) def 

= {x ∈ f | ∃y (x, y) ∈ f} et Im(f) def 

= {y ∈ f | ∃x (x, y) ∈ f} 

Définition § ¡ £ § ¡ § 58 ( , 1908) On appelle axiome de l’infini la formule exprimant le fait 

qu’il existe un ensemble infini2 : 

Inf def 

 

= ∃x (∅ ∈ x) ∧ ∀y (y ∈ x) → (y ∪ {y} ∈ x) 

On définit le successeur d’un ensemble x comme étant l’ensemble x∪{x}. On notera 0 l’ensemble ∅, 

1 le successeur de 0, 2 le successeur de 1, etc. 

Définition 59 On appelle Théorie § ¡ £ § ¡ § de la théorie Z def 

= {Ext, Pair, Uni, Part, Inf, Comp} 

et Théorie de Zermelo-Fraenkel la théorie : ZF def 

= {Ext, Pair, Uni, Part, Inf, Remp}. 

Théorème 20 La théorie Z est strictement plus faible que la théorie ZF. 

Démonstration: Soit a un ensemble et F [x] une formule, en appliquant le schéma de remplacement à la 

formule G[x, z] def 

= (x = z) ∧ F [x], l’ensemble b = {x ∈ a | F [x]} est l’image de a par G. Cela prouve que 

l’axiome de remplacement est plus fort que celui de compréhension. La réciproque, est plus difficile. 

Définition 60 On appelle axiome de fondation l’axiome exprimant qu’il n’existe pas de suite 

strictement décroissante pour la relation d’appartenance : 

AF def 

 

 

= ∀x (x = ∅) → ∃y (y ∈ x) ∧ (y ∩ x) = ∅ 

On peut prouver : 

Théorème 21 AF est indépendante de ZF. 

2 On remplace souvent cet axiome par un autre, plus difficile à exprimer mais à l’utilisation plus aisée, exprimant 

qu’il existe un ordinal infini. 




CHAPITRE 5. EXEMPLES DE THÉORIES 5.5. THÉORÈMES D’INCOMPLÉTUDE 

5.4.3 L’Axiome du choix et l’Hypothèse du continu 

Introduction 

L’Axiome du choix AC et l’Hypothèse du continu CH sont deux hypothèses usuellement acceptées 

par la communauté mathématique mais la preuve de leur indépendance de ZF a été difficile 

à établir, comme on l’a vu dans la Section 1.2.5, p. 26. 

L’axiome du choix 

Définition 61 Une des façons d’énoncer l’axiome du choix est de dire que, pour toute partie R 

de a×b, si les sections de R sont non-vides, alors R contient le graphe d’une fonction de domaine a : 

AC def 

 

R 

= ∀a, b, R ⊆ a × b ∧ ∀x ∈ a, ∃y ∈ b | (x, y) ∈ R → 

 

∃f Func(f) ∧ Dom(f) = a 

 

∧ ∀x ∈ a, (x, f(x)) ∈ R 

 

L’hypothèse du continu 

Ayant prouvé, en 1874, que |P(N)| > |N| Cantor fit la conjecture, en 1878, que |P(N)| est le 

plus petit cardinal strictement supérieur à |N|. Cette conjecture fut baptisée hypothèse du continû 

(CH, continuum hypothesis) car il avait baptisé le cardinal |P(N)| = |R|, la puissance du continû. 

Cette hypothèse peut être généralisée (GCH, generalized continuum hypothesis) à tout ensemble, 

en posant que pour tout cardinal |E|, le plus petit cardinal strictement supérieur à |E| est |P(E)|. 

Définition 62 On appelle hypothèse du continu l’axiome CH exprimant qu’il n’existe pas de 

cardinal entre |N| et |P(N)|. Si l’on écrit a b comme abréviation de « il existe une fonction 

injective de a dans b » et a ≺ b comme (a b) ∧ ¬(b a) . Soit N une variable s’interprétant 

comme les entiers naturels, on peut définir : 

Théorème 22 CH est indépendant de ZF. 

CH def 

= ∀a (a N) ∨ (P(N) a) 

Démonstration: Voir Gödel (1940), pour ZF (¬CH) et Cohen (1963) pour ZF CH. 

5.5 Théorèmes d’incomplétude de ¡ ¡ ¥ ¢¤£ 


Dans son deuxième mémoire, publié en 1931, sous le titre Über formal unentscheidbare Sätze 

der Principia mathematica und verwandter Systeme I, Gödel démontre deux résultats fondamentaux 

qui firent l’effet d’un « tremblement de terre » puisqu’ils montrent qu’il existe des 

problèmes formalisés en logique mathématique qui ne peuvent pas être résolus. Pire, ce phénomène 

d’indécidabilité apparaît au cœur de tout l’édifice mathématique, c’est-à-dire dans l’arithmétique 

des nombres entiers. La communauté scientifique s’est heureusement remise de ce traumatisme en 

s’orientant vers un objectif alternatif consistant à préciser ce que signifie que « résoudre un problème 




69

5.5. THÉORÈMES D’INCOMPLÉTUDE CHAPITRE 5. EXEMPLES DE THÉORIES 

mathématique ». Cela a donné lieu à de fructueuses recherches sur les fonctions récursives, les machines 

de Turing, le λ-calcul, les démonstrations automatiques, etc. Gödel lui-même développe, 

en 1934, une suggestion de Jacques Herbrand qui permit de définir précisément ce qu’était une 

fonction arithmétique formellement calculable. 

5.5.2 Théorème d’indécidabilité de ¡ 

£¢¡ £§¡ de l’arithmétique élémentaire 

On ne sera pas trop précis dans cette partie afin de rendre la lecture plus facile mais toutes 

les notions dont il est question peuvent être parfaitement formalisées. Nous avons vu dans la 

Définition 15, p. 36, la définition d’un langage décidable. 

Soit T une théorie et F une formule, on note T ⊢ F le problème consistant à déterminer si 

F ⊢ F est décidable. 

Théorème 23 Le problème n-SAT consistant à décider si un formule propositionnelle à n variables 

est démontrable est décidable. 

Démonstration: D’après le théorème de complétude, une formule propositionnelle est démontrable ssi c’est 

une tautologie. La formule ayant n variables, il suffit de tester les 2 n valuations possibles. 

Définition 63 Une théorie T est : 

1. décidable ssi, pour toute formule F , T ⊢ F est décidable ; 

2. récursive ssi, pour toute formule F , F ∈ T est décidable. 

Théorème 24 Toute théorie récursive sur un langage au plus dénombrable est semi-décidable. Si, 

en outre, la théorie est complète, alors elle est décidable. 

Démonstration: Étant donné une formule, il suffit d’énumérer tous les mots possibles de L et de reconnaître 

parmi eux les axiomes de T comme elle est récursive, puis de fabriquer tous les arbres de déduction de preuves 

possibles de F . Si T ⊢ F est prouvable, à la question « est-ce que T ⊢ F est prouvable », l’algorithme 

précédent finira par trouver une preuve en temps fini et répondra true, ce qui prouve la semi-décidabilité. Si 

T ⊢ F n’est pas prouvable et que T est complète, alors T ⊢ (¬F ) est prouvable et l’algorithme précédent 

finira par trouver une preuve en temps fini de ce séquent et répondra false, ce qui prouve la décidabilité. 

Théorème 25 L’arithmétique de Presburger Pres est décidable. 


5.5.3 Premier Théorème d’incomplétude de ¡ 

£¢¡ £¥¡ 

En codant les axiomes et les théorèmes sous la forme d’entiers (le codage de Gödel, et en 

exploitant un argument diagonal de Cantor, Gödel a montré : 

Théorème 26 (Théorème d’indécidabilité de l’arithmétique de ¡ ¥ § ¡ ) Si une théorie est 

§ 

satisfaisable et contient l’arithmétique élémentaire Ar, alors elle est indécidable. 

Corollaire 1 L’arithmétique de Peano PA et la théorie ZF des ensembles de Zermelo-Fraenkel 

est indécidable. 




CHAPITRE 5. EXEMPLES DE THÉORIES 5.5. THÉORÈMES D’INCOMPLÉTUDE 

Théorème 27 (Premier Théorème d’incomplétude de ¡ § ¥ 

¡ § 

sable, récursive et contient Ar, alors elle est incomplète. 

) Si une théorie est satisfai- 

Démonstration: Soit T une théorie satisfaisable et récursive. La contraposée du Théorème 24 implique que 

T ne peut être simultanément récursive et complète. Comme elle est récursive, elle doit être incomplète. 

Corollaire 2 L’arithmétique de Peano PA est incomplète et il en est de même de la théorie des 

ensembles ZF si celle-ci est satisfaisable (ce qui est conjecturé). 

5.5.4 Second Théorème d’incomplétude de ¡ 

£¢¡ £¥¡ 

Gödel a montré que la satisfaisabilité n’est pas prouvable dans une théorie raisonnablement 

riche : 

Théorème 28 (Second Théorème d’incomplétude de ¡ ¥ § ¡ ) Si une théorie T est récursive 

§ 

et satisfaisable, et contient Ar, alors il existe une formule F exprimant le fait que T est satisfaisable 

et telle que T F . 

5.5.5 Suites de £ £ ¡¢¡¤£ £©¨ ¦ 

Les énoncés d’indécidabilité ou d’incomplétude peuvent paraître un 

peu abstraits. Nous présentons ici un résultat concret et surprenant, dû à 

Reuben Goodstein (1912–1985) qui en est une illustration. Une suite 

de nombres, définissable dans l’arithmétique de Peano PA converge 

vers 0 (on le démontre en plongeant PA dans ZF) mais il est impossible 

de le démontrer avec PA. Tout entier n, l’écriture de n en base b est 

la formule 

n = ak1 bk1 + · · · + akr bkr , avec 0 < aki 

L’écriture de n en base héréditaire b est la formule dans laquelle 

chaque exposant du coefficient en base b est récursivement décomposé 

en base b. Par exemple : 

266 = 2 8 + 2 3 + 2 = 2 22+1 

+ 2 2+1 + 2 . 

On note B[b](n) l’entier obtenu en substituant b par b+1 dans l’écriture 

en base b héréditaire de n ; par exemple : 

B[2](266) = 3 33+1 

+ 3 3+1 + 3 . 


Reuben Goodstein 

(1912–1985) 

Définition 64 Soit m un entier et (un)n∈N la suite définie par : u1 = m et un+1 = B[n+1](un)−1 

¥ 

s’appelle la § § ¥ ¥¨§ £ © suite de 

associée à m qu’on note (u(m)n)n∈N. 

Contre toute attente, alors qu’on a l’impression que cette suite croît extrêmement vite, on 

montre que cette suite est ultimement nulle : 





§ § 

¥ ¥ ¥¨§ £ © ) ZF ⊢ ∀m ∃n u(m)n = 0. 

71

5.5. THÉORÈMES D’INCOMPLÉTUDE CHAPITRE 5. EXEMPLES DE THÉORIES 

La preuve exploite une correspondance entre l’écriture en base b héréditaire et des ordinaux et 

que le passage de un à un+1 fait décroître l’ordinal correspondant ; comme les ordinaux sont bien 

ordonnées, la suite finit par tendre vers 0. Il est possible de formaliser cette suite et la propriété F 

d’être ultimement nulle dans PA mais on a : 

Théorème 30 PA F . 

Une façon un peu intuitive de se convaincre de ce résultat est que la suite converge trop lentement. 

Par exemple u(4) 

n∈N atteint la valeur 0 pour k = 3 · (2402653211 − 1) 10121210695 et 

que pour qu’on puisse prouver un résultat du genre « pour tout n, il existe k tel que P (n, k) » 

où P (n, k) est un prédicat binaire, il faut qu’on dispose d’une fonction de choix f pour laquelle on 

puisse prouver que f est calculable et que « pour tout n, P n, f(n) ». Le problème, c’est que f(n) 

croît trop vite pour être prouvée calculable dans PA [Smo80]. 




Chapitre 6 

Effectivité 


Le Théorème d’indécidabilité de Gödel montre qu’il n’existe pas d’algorithme permettant de 

décider, en toute généralité, si un séquent est démontrable. Tout au mieux pourra-t-on disposer 

d’un algorithme de semi-décision qui trouvera une preuve si le séquent est démontrable et, si ce 

n’est pas le cas, soit répondra qu’une telle preuve n’existe pas, soit ne terminera pas. 

Deux méthodes principales sont utilisées dans les logiciels : l’une est syntaxique et consiste à 

trouver des stratégies intelligentes pour trouver des preuves, l’autre est sémantique et permet de 

prouver des contradictions qui éviteront de chercher dans la mauvaise direction. 

Nous nous concentrerons sur une méthode sémantique très utilisée : la méthode de Herbrand. 

Elle permet de montrer qu’une formule est satisfaisable (donc prouvable d’après le Théorème de 

complétude), si l’on réussit à mettre en évidence une incompatibilité entre des clauses qu’on aura 

déduites de cette formule après un certain nombre de transformations. 

6.2 Test de satisfaisabilité de ¡¢¡¤£¥¡§¦©¨ £ 

6.2.1 Skolemisation 

Lorsqu’on exprime que la limite d’une suite (un)n∈N est l, on écrit : 

∀ε > 0 ∃n > 0 ∀p ≥ n |up − l| < ε . 

Une autre façon de le dire est qu’on a une fonction ε ↦−→ n(ε) qui vérifie que pour tout p ≥ n(ε), 

on a |up − l| < ε. En d’autres termes, on peut remplacer les « pour tout a il existe b » par une 

fonction exprimant le fait que b dépend de a, ce qu’on note souvent b(a). La skolemisation est une 

formalisation de ce mécanisme. 

Définition 65 Soit L un langage du premier ordre, F = q1x1 · · · qnxn G une formule prénexe et 

soient E = {i1, . . . , im} l’ensemble des indices i tels que qi = ∃, avec i1 < · · · < im, et U = 

{j1, . . . , jr} l’ensemble des indices j tels que qj = ∀, avec j1 < · · · < jr. On appelle extension 

¥ ¦ 

§ ¡ § £ 

de du langage L associée à F un langage LSko(F ) def 

= L ⊔ {f1, . . . , fm} où f1, . . . , fm 

sont des symboles fonctionnels dits symboles fonctionnels de ¥§¦ § £ 

associées à F tels que 

§¨¡ 

l’arité de fl est le nombre al de ∀ situés à gauche de qil , dans le préfixe de F . On appelle forme 

73

§¨¡ § £ 

6.2. TEST DE SATISFAISABILITÉ DE HERBRAND CHAPITRE 6. EFFECTIVITÉ 

de de F la formule FSko de LSko(F ) obtenue en enlevant tous les symboles ∃ de F et en 

remplaçant dans F toutes les occurences des variables xil par le terme Ml = fil (xj1 , . . . , xja l ). 

¥ ¦ 

Exemple 27 Soit L un langage du premier ordre possédant un symbole de fonction unaire f et un 

symbole de relation binaire R et 

 

F = ∃x1 ∀y1 ∀y2 ∃x2 R x1, f(y1) ∧ R 

f(y2), x1 → R(x1, x2) 

On a q1 = ∃, q2 = ∀, q3 = ∀ et q4 = ∃ donc E = {i1, i2} = {1, 4}, U = {j1, j2} = {2, 3}, a1 = 0 

et a2 = 2. L’extension de Skolem de L associée à F est un langage LSko(F ) = L ∪ {f1, f2} où 

les symboles fonctionnels de Skolem sont f1, d’arité a1 = 0, (c’est-à-dire une constante) et f2, 

d’arité a2 = 2. La forme de Skolem de F est : 

 

FSko = ∀y1 ∀y2 R f1, f(y1) ∧ R 

f(y2), f1 → R(f1, f2(y1, y2) 

Les objets dont il est question ne sont pas uniques car il suffirait de changer les symboles choisis 

par d’autre mais les propriétés seraient les mêmes, c’est pourquoi on parle de la forme de Skolem, 

plutôt que d’une forme de Skolem. Il est clair, par ailleurs, que F et FSko ont les même variables 

libres. On a la règle § ¡§ £ 

de d’élimination du quantificateur existentiel : 

Γ ⊢ ∃x A 

Γ ⊢ A[x ↢ f(y1, . . . , yn)] reSko 

∃ 

où {y1, . . . , yn} sont les variables libres autres que x de A et f est un nouveau symbole fonctionnel. 

¥ ¦ 

Lemme 2 Soit F une formule close prénexe de L, alors la formule FSko → F du langage L est un 

théorème, donc, d’après le Théorème de complétude, ⊢ (FSko → F ). 

Démonstration: cf. [DNR01, p. 85]. 

Lemme 3 Soit F une formule close prénexe de L, et v une interprétation de L qui satisfasse F , 

alors il existe un prolongement de v à LSko(F ) qui satisfasse FSko. 


Corollaire 3 On a les deux propositions équivalentes : 

1. une formule close prénexe admet un modèle ssi sa forme de Skolem admet un modèle ; 

2. une formule close prénexe admet un modèle ssi la forme de Skolem de sa négation n’admet 

pas de modèle. 

Exemple 28 Soit F def 

= ∃x ∀y R(x) → R(y) alors une forme de Skolem de (¬F ) est la formule 

G def 

= ∀x R(x) ∧ ¬R(f(x)) . Soient v une interprétation de L à valeurs dans X et x ∈ X. Si v G, 

alors v R(f(x)) et v ¬R(f(x)), ce qui est impossible, ce qui prouve que G n’est pas satisfaisable 

et, par conséquent, que F est satisfaisable. 

On déduit aisément le théorème qui se trouve à la base de la méthode de Herbrand : pour 

prouver que F est satisfaisable, on se ramène à prouver que des clauses ne le sont pas : 

Théorème 31 Soit F une formule et ∀x1, . . . xn C1 ∧ · · · ∧ Cr, une forme prénexe conjonctive 

de (¬F )Sko, alors F a un modèle ssi il existe un sous-ensemble des Ci qui ont un modèle commun. 

Pour trouver un tel sous-ensemble, on utilise la résolution dont il est sera question dès que nous 

aurons introduit l’algorithme d’unification dont on se sert pour la réaliser. 




CHAPITRE 6. EFFECTIVITÉ 6.2. TEST DE SATISFAISABILITÉ DE HERBRAND 

6.2.2 Unification 

Le principe de l’unification est de trouver une substitution permettant de rendre deux termes 

égaux. On étend naturellement cela aux formules où apparaissent ces termes. 

Soit σ une subsitution (c’est-à-dire une fonction qui à toute variable associe un terme), et M 

un terme, on rappelle qu’on note M[σ] le terme σ(M). Par exemple la substitution x ↢ a se note 

M[x ↢ a]. 

Définition 66 Deux termes M et M ′ sont unifiables ssi il existe une subsitution σ, appelée 

unificateur de M1 et M2 telle que M[σ] = M ′ [σ]. On dit que M est plus fin que M ′ ssi il existe 

une substitution σ telle que M[σ] = M ′ . On dit que l’unificateur σ est plus général qu’un autre σ ′ 

ssi il existe une substitution σ ′′ telle que σ ′ = σ ′′ ◦ σ. 

Exemple 29 Soit M = f(x, x, y) et M ′ = f f(y, y, z), f(y, y, z), a sont unifiables car la substitution 

σ définie par x ↢ f(a, a, z) et y ↢ a appliquée aux deux termes donne f f(a, a, z), f(a, a, z), a . 

Soit σ ′′ def 

= (z ↢ b) peut être composée avec σ pour former un autre unificateur σ ′ def 

= σ ′′ ◦σ, moins 

général que σ, dont l’application aux termes M et M ′ donne le terme f f(a, a, b), f(a, a, b), a . 

Exemple 30 Le terme M = f x, g(y, z) est plus fin que le terme M ′ = f f(x, a), g y, f(a, b) car 

la substitution car la substitution σ définie par x ↢ f(x, a) et z ↢ f(a, b) appliquée à M donne M ′ . 

Théorème 32 Soient M et M ′ deux termes du premier ordre unifiables. Il existe un unificateur 

le plus général de M et M ′ et on le note mgu(M, M ′ ) (pour most general unifier). 

Exemple 31 Avec les notations de l’Exemple 29, le calcul de mgu(E) avec E = {(M, M ′ )} se 

déroule ainsi : 

1. E = f(x, x, y), f f(y, y, z), f(y, y, z), a , σ = Id ; 

2. E ← x, f(y, y, z) , x, f(y, y, z) , (y, a) ; 

3. E ← f(y, y, z), f(y, y, z) , (y, a) ; σ ← x ↢ f(y, y, z) 

4. E ← (y, y), (z, z), (y, a) ; 

5. E ← (z, z), (y, a) ; 

6. E ← (y, a) ; 

7. E ← ∅ ; σ ← y ↢ a ◦ x ↢ f(y, y, z) . 

Donc M et M ′ sont unifiables et leur unificateur le plus général est mgu(M, M ′ ) = σ. 

Exemple 32 Le calcul de mgu(E) avec E = {(M, M ′ )} où l’on a pris M = f(x, x, y) et M ′ = 

f f(y, y, z), f(y, x, z), a se déroule ainsi : 

1. E = f(x, x, y), f f(y, y, z), f(y, x, z), a , σ = Id ; 

2. E ← x, f(y, y, z) , x, f(y, x, z) , (y, a) ; 

3. E ← f(y, y, z), f y, f(y, y, z) , (y, a) ; σ ← x ↢ f(y, y, z) ; 

4. E ← (y, y), y, f(y, y, z) , (z, z), (y, a) ; 




75


Algorithme 3 Algorithme trouvant l’unificateur le plus général 

Nom : mgu 

Entrée : Un ensemble E ← {(M1, M ′ 1 ), . . . , (Mn, M ′ n)} de couples de termes 

Sortie : Une substitution σ telle que M1[σ] = M ′ 1 [σ], . . . , Mn[σ] = M ′ n[σ] si elle existe 

sinon, annoncer un échec de type clash ou occur-check (on lève une exception). 

// Initialisation 

σ ← Id ; 

while E = ∅ do 

(a) if E = E ′ ⊔ f(M1, . . . , Mq), g(M ′ 1 , . . . , M ′ r ) où 1 ≤ q, r ≤ n then 

if f = g and q = r then 

E ← E ′ ⊔ {(M1, M ′ 1 ), . . . , (Mq, M ′ q 

sinon 

raise clash ; 

end if 

end if 

(b) if E = E ′ ⊔ {(x, x)} then 

E ← E ′ ; 

end if 

(c) if (E = E ′ ⊔ {(x, M)} or E = E ′ ⊔ {(M, x)}) et M = x then 

if x n’apparaît pas dans M then 

σ ′ ← (x ↢ M) ; E ← E[σ] ; σ ← σ ′ ◦ σ ; 

else 

raise occur-check ; 

end if 

end if 

end while 

return σ 




)} ;


5. E ← y, f(y, y, z) , (z, z), (y, a) ; 

6. occur-check. 

Donc M1 et M2 ne sont pas unifiables. 

Exemple 33 Le calcul de mgu(E) avec E = {(M, M ′ )} où l’on a pris M = f(x, x, y) et M ′ = 

f g(y, y, z), f(y, y, z), a se déroule ainsi : 

1. E = f(x, x, y), f g(y, y, z), f(y, y, z), a , σ = Id ; 

2. E = x, g(y, y, z) , x, f(y, y, z) , (y, a) ; 

3. E = f(y, y, z), f(y, y, z) , (y, a) ; σ ← x ↢ f(y, y, z) 

4. clash. 

Donc M1 et M2 ne sont pas unifiables. 

Proposition 17 L’Algorithme 3 termine toujours. 

Démonstration: D’abord, on peut remarquer que, à chaque passage dans la boucle while, soit E = ∅, soit 

on est dans l’un des cas (a), (b), (c).Soit f(E) = (uE, vE, |E|) où, uE (resp. vE) est le nombre de symboles 

de fonctions (resp. de variables) de E alors, lors d’un passage dans la boucle while, s’il n’y a pas d’échec : 

(a) vE et |E| restent inchangés et uE décroît strictement ; 

(b) vE décroît, uE reste inchangé et |E| décroît strictement ; 

(c) vE décroît strictement et uE et |E| restent inchangés. 

Par conséquent, f(E) est une fonction strictement décroissante pour l’ordre lexicographique sur N 3 qui est 

bien ordonné. L’algorithme termine donc toujours. 

Théorème 33 L’Algorithme 3 calcule l’unificateur le plus général, s’il existe et retourne un échec 

s’il n’existe pas. 

Démonstration: Notons El la valeur de E (resp. σl la valeur de σ) à la sortie du n-ième passage dans la 

boucle. On notera maintenant E = E0 et σ l’unificateur le plus général de E (s’il existe). 

Soit la propriété Hl : « il existe un unificateur σ de E ssi il existe un unificateur σ ′ de El tel que 

σ = σ ′ ◦ σl ». 

Si, pour tout n, on a Hl, alors on a le théorème. En effet, soit n la dernière étape de la boucle : 

1. si l’algorithme termine avec El = ∅, alors Id unifie trivialement El, donc, par Hl, σ = Id ◦ σl = σl 

unifie E. En outre, si σ unifie E, Hl implique qu’il existe σ ′ tel que σ = σ ′ ◦ σl, ce qui prouve que σ 

est bien l’unificateur le plus général de E ; 

2. si un clash se produit, El contient un couple de termes de la forme f(· · · ), g(· · · ) avec f = g. Comme 

une substitution ne peut pas transformer les symboles fonctionnels, les termes f(· · · ) et g(· · · ) ne sont 

pas unifiables, donc El n’est pas unifiable. La propriété Hl implique que E n’est donc pas unifiable. 

3. si un occur − check se produit, El contient un couple de la forme (x, M) ou (M, x) avec M = x et où x 

apparaît dans M. La longueur de la chaîne de caractères x est donc inférieure strictement à celle de M 

et il en sera de même après toute substitution. L’ensemble El n’est donc pas unifiable et, d’après Hl, 

il en est de même pour E. 

Montrons maintenant la proposition Hl par récurrence sur n. La propriété H0 est triviale. Soit L le 

nombre de passages dans la boucle avant que le programme ne s’arrête, soit l < L, supposons qu’on a Hl, et 

montrons qu’on a Hl+1. Il nous suffit en fait de montrer la proposition H ′ l : « il existe σ′ tel que σ = σ ′ ◦ σl 

et σ ′ unifie El ssi il existe σ ′′ tel que σ = σ ′′ ◦ σl+1 et σ ′′ unifie El+1 ». S’il n’y a pas d’échec, on est dans 

l’un des cas suivants : 




77


(a) El = E ′ l ⊔ f(M1, . . . , Mq), f(M ′ 1 , . . . , M ′ q ) donc El+1 = E ′ l ⊔ {(M1, M ′ 1 ), . . . , (Mq, M ′ q )} et σl+1 = 

σl : il est clair que σ ′ unifie El ssi σ ′′ unifie El+1. 

(b) El = E ′ l ⊔ {(x, x)} donc El+1 ← E ′ l et σl+1 = σl et Hl+1 est trivialement déduit ; 

(c) El = E ′ l ⊔ {(x, M)} ou El = E ′ l 

⊔ {(M, x)}, avec M = x et x n’apparaissant pas dans M. Dans ce cas, 

on a El+1 = El[x ↢ M], et σl+1 = (x ↢ M) ◦ σl. Regardons les deux sens de l’équivalence dans H ′ l : 

– s’il existe σ ′′ tel que σ = σ ′′ ◦ σl+1 et σ ′′ unifie El+1, alors en prenant σ ′ = σ ′′ ◦ (x ↢ M), on 

a σ = σ ′ ◦ σl et σ ′ unifie El ; 

– s’il existe σ ′ tel que σ = σ ′ ◦ σl et σ ′ unifie El alors x[σ ′ ] = M[σ ′ ]. Soit τ def 

= σ ′ ◦ (x ↢ M), on 

a x[τ] = x[x ↢ M][σ ′ ] = M[σ ′ ] = x[σ ′ ] et pour tout y = x, y[τ] = y[x ↢ M][σ ′ ] = y[σ] donc 

σ ′ = σ ′ ◦ (x ↢ M). 

6.2.3 Algorithme de résolution 

En reprenant les définitions du calcul propositionnel, on a : 

Définition 67 Un littéral est une formule atomique A ou se négation (¬A), on notera A def 

= (¬A) 

et (¬A) def 

= A). Une clause disjonctive est une formule du type (l1∨· · ·∨ln) où li est un littéral. Elle 

est dite réduite ssi chaque li n’apparaît qu’une fois. On note K∨ l’ensemble des clauses disjonctives. 

Une forme conjonctive est une conjonction de clauses disjonctives, c’est à dire une formule du 

type C1 ∧· · ·∧Cn, où Ci est une clause disjonctive. On note N∧ l’ensemble des formes conjonctives. 

On définit, mutatis mutandis, l’ensemble K∧ clauses conjonctives et l’ensemble N∨ des formes 

disjonctives. Une forme est réduite ssi chaque clause n’apparaît qu’une fois. 

Définition 68 Soient C1 et C2 deux clauses disjonctives et l1 et l2 deux littéraux, tels que les 

variables de C1 ∨ l1 soient distinctes des variables de C2 ∨ l2. On appelle résolution, la règle de 

réécriture : 

¯∀ (C1 ∨ l1) ∀ ¯ (C2 ∨ l2) 

¯∀ C1[σ] ∨ C2[σ] si mgu(l1, ¯l2) ou ɛ si l1 et ¯l2 ne sont pas unifiables . 

Soient C une clauses disjonctives et l1 et l2 deux littéraux, on appelle contraction, la règle de 

réécriture : 

¯∀ (C ∨ l1 ∨ l2) 

¯∀ C[σ]) ∨ l1[σ] si mgu(l1, l2) ou ɛ si l1 et l2 ne sont pas unifiables contr 

Exemple 34 Soient C1 = T (y), l1 = S a, f(y) , C2 = R(x), l2 = ¬S y, f(x) . On a mgu(l1, ¯ l2) = 

(x ↢ a) ◦ (y ↢ a), donc, par résolution, on déduit la clause R(a) ∨ T (a). 

Théorème 34 Un ensemble de clauses C1, . . . , Cl n’admet pas de modèle commun ssi on peut 

déduire la clause vide ɛ à partir de C1, . . . , Cl, en une succession de résolutions et de contractions. 


Exemple 35 Soient C1 def 

= ¬R(x, a)∨R(x, x), C2 def 

= ¬R(t, f(y))∨(¬R(t, y)) C3 def 

= ¬R(z, z)∨R(z, a) 

= R(t, f(y)) ∨ R(t, y), on a : 

et C4 def 

C3 

C4 

R f(y), f(a) ∨ R resol 

f(y), f(y) 

¬R ¬R 

contr 

f(a), f(a) f(y), f(a) ∨ ¬R resol 

f(y), y 

R contr 

f(a), f(a) 

resol 

ɛ 

En calcul propositionnel, il n’y a pas de contraction car il n’y a pas de subsitution. 




C1 

C2

£ ¡¢¡ ¡¨§ ¦ ¡ 


6.2.4 Test de satisfaisabilité de 

Pour résumer la méthode de Herbrand, pour essayer de montrer qu’une formule close F est 

satisfaisable : 

1. on met G def 

= (¬F ) sous forme prénexe ; 

2. on met G sous forme de Skolem ; 

3. on met GSko sous forme prénexe conjonctive G ′ def 

= ∀ ¯ (C1 ∧ · · · ∧ Cn) ; 

4. on utilise le Théorème 34 pour tenter de trouver un sous-ensemble de C1, . . . , Cn à partir 

duquel une suite finie de résolutions et de contractions donnent la clause vide ɛ, ce qui prouve 

que ces clauses n’admettent pas de modèle commun. 

Si on a montré que F est satisfaisable, le Théorème de complétude nous dit qu’elle est prouvable ; 

reste à trouver une preuve. . . 




79





Chapitre 7 

Conclusion 

7.1 Logiques d’ordre supérieur 

Nous avons vu la plupart des résultats de base de la logique du premier ordre. Le « premier 

ordre » signifie que la quantification n’a lieu que sur les variables. On ne peut donc pas exprimer 

des notions comme « pour toute formule F » dans de tels langages. Pour cette raison, il existe des 

logiques d’ordre supérieur à 1. De telles logiques sont utilisées par exemple dans la théorie des types 

dont on fait usage en programmation fonctionnelle [Pec02]. 

7.2 Logiques non-classiques 

7.2.1 Logiques modales 

Il existe également des logiques, dites non-classiques, qui constituent des alternatives intéressantes. 

Parmi elles, les logiques modales ajoutent aux opérateurs classiques des opérateurs dits modaux permettant 

de représenter des situations comme « il est possible que p » ou « il est nécessaire que p ». 

7.2.2 Logiques intuitionnistes 

La logique intuitionniste a la même syntaxe que la logique classique mais on n’a pas l’équivalence 

entre A ∨ (¬A) et ⊤, de même que ¬(¬A) n’est pas équivalent à A. Le rejet de ces équivalences 

provient d’une philosophie constructiviste des preuves. Dans la perspective intuitionniste, le fait 

de construire une preuve d’un théorème doit permettre d’exhiber un exemple. C’est un outil très 

important dans les logiciels d’aide à la preuve mathématique, dans lesquels l’option « intuitionniste 

» permet, en prouvant qu’un algorithme est correct, de générer automatiquement un logiciel 

qui implémente cet algorithme (on appelle cela de l’extraction). 

7.2.3 Logiques multivalentes 

On trouve également des logiques, dites multivalentes, dans lesquelles les valeurs de vérité ne se 

réduisent pas à true et false. On peut, par exemple, rajouter maybe, voire, dans le cas des logiques 

dites floues, exprimer un degré de « croyance » plus ou moins grand (on prend un réel dans [0, 1]) 

dans une interprétation. 

81

7.3. POUR FINIR CHAPITRE 7. CONCLUSION 

7.3 Pour finir 

Un physicien, et deux mathématiciens dont un logicien se rendent à un congrès en Écosse. Dans 

le train, ils aperçoivent un mouton noir dans un champ. Le physicien dit : « Tiens, c’est drôle, 

je ne savais pas qu’en Écosse les moutons étaient noirs. » Le mathématicien rétorque d’un air 

condescendant « Tu conclues mal, tu devrais plutôt dire : ”Tiens, en Écosse il y a des moutons 

noirs.” » Le logicien corrige aussitôt « Votre raisonnement est mauvais, il faut dire : ”Tiens, en 

Écosse il existe un champ dans lequel il existe un mouton dont l’un des côtés au moins est noir.” ». 1 

1 Illustration tirée du Génie des Alpages, par F’murr. 




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écoles d’ingénieurs. Dunod, Paris, 1993. traduction de Foundations of Computer Science. 

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[BR97] Jean-Jacques Barrère et Christian Roche. Le bêtisier des philosophes. Seuil, Paris, 

1997. 

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Studies in History of Medicine and Science, pp. 1–37, 1997–1998. 

[Deh00] Patrick Dehornoy. Mathématiques de l’Informatique. Dunod, 2000. 

[Die78] Jean Dieudonné, editor. Abrégé d’Histoire des Mathématiques. Hermann, Paris, 1978. 

[DNR01] René David, Karim Nour, et Christophe Raffali. Introduction à la logique. 2 ème cycle, 

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[Gui] Marcel Guillaume. Axiomatique et logique. Chapitre XI dans [Die78], pp. 417–483. 

[Kan87] Immanuel Kant. Critique de la Raison Pure. Flammarion, Paris, 1987. édition originale, 

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[Pea88] Guiseppe Peano. Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann, 

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[Pea91] Guiseppe Peano. Sul concetto di numero. Riv. di mat., vol. 1 pp. 87–102 e 256–267, 

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83

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