Diapositive 1 - Département de mathématiques et de statistique ...

4ctes

Équipe d’édition : 

Jean-Claude Girard, Cégep Saint-Jean-sur-Richelieu, 

Marie-Jane Haguel, Cégep de Sherbrooke, 

Gisèle Payette, Cégep de Sherbrooke. 

Association mathématique du Québec 

Centre 7400 

7400, Boulevard St-Laurent, bureau 2579 

Montréal, Québec, 

H2R 2Y1, Canada 

Téléphone : (514) 278-4263 

Télécopieur : (514) 948-6423 

Courriel : amq@bellnet.ca 

http://newton.mat.ulaval.ca/amq/ 

Dépôt légal – Bibliothèque nationale du Québec, 2008 

Bibliothèque nationale du Canada, 2008 

978-2-9802297-5-6 (version PDF)

Actes du 49 e congrès 

Association mathématique du Québec

ACTES 

DU 49 e CONGRÈS DE 

L’ASSOCIATION MATHÉMATIQUE DU QUÉBEC 

MATHÉMATIQUES ET DIVERSITÉ CULTURELLE 

Université de Sherbrooke 

31 mai et 1 er juin 2006 

Congrès conjoint avec 

Espace mathématique francophone 2006 (EMF 2006) 

Groupe des responsables de la mathématique au secondaire (GRMS) 

Message du président de l’AMQ 5 

Thème 7 

Conférences 11 

Ateliers 29 

Pour une plus grande harmonisation dans la transition du primaire au 

secondaire en mathématiques 

Nadine Bednarz, UQAM, 

Josée Lafontaine, École Notre-Dame-de-Fatima, 

Mélanie Auclair, Polyvalente la Frontalière, 

Carole Morelli, Chantal Leroux, Commission scolaire des Hauts-Cantons. 31 

Mathématiques de pointe au primaire 

Robert Bilinski, Collège Montmorency . 39 

Quelques liens entre mathématiques et musique 

Chantal Buteau, Brock University St.Catharines, Ontario. 43 

Enjeux et défis d’une culture mathématique sans frontières 

France Caron, Université de Montréal. 51 

L'analyse de copies d'élèves : un exercice de jugement professionnel ? 

Renée Caron, Université de Montréal. 59 

Les situations-recherche, Apprendre à chercher en mathématiques 

Léa Cartier, Karine Godot, Laboratoire Leibniz, Grenoble, France, 

Eva Knoll, Mount Saint Vincent University, Halifax, Canada, 

Cécile Ouvrier-Buffet. IUFM de Créteil, France, 

Université Paris 7 DIDIREM, Paris, France. 63 

Mathématiques et Contes 

Françoise Cerquetti-Aberkane, IUFM de Créteil, France. 77 

Géographie, civilisation et styles mathématiques 

Louis Charbonneau, UQAM. 81

Le logiciel Mathenpoche 

Benjamin Clerc, IREM de Montpellier, France. 89 

Sur une construction de carrés magiques diaboliques 

Julien Constantin, Université de Sherbrooke. 95 

Présentation d’un site sur l’enseignement de l’algèbre pour les professeurs 

Sylvie Coppé, IUFM de Lyon, France. 105 

L’approche par problème vécue par les élèves : Peut-on faire casser un verre 

de cristal avec une onde sonore? 

Audrey Corbeil Therrien, Guillaume Lapointe, Geneviève Vézina, 

étudiants au Cégep de Sherbrooke. 113 

Arrimage secondaire-collégial, formalisme et démonstration 

Claudia Corriveau, Denis Tanguay, UQAM. 117 

Comment compter les trous dans une meule de fromage suisse, ou 

l'homologie pour les gourmands 

Sara Derivière, Anik Trahan et Tomasz Kaczynski, Université de Sherbrooke. 127 

Sur le concept d’indépendance linéaire 

Jean-Luc Dorier, IUFM de Lyon et 

Équipe DDM, laboratoire Leibniz, Grenoble, France. 133 

Logique et raisonnement mathématique, Implication et quantification 

Viviane Durand-Guerrier, IUFM de Lyon, 

LIRDHIST-UCBL Lyon 1, 

IREM de Lyon, France. 139 

Mathématiques et philosophie : pour une culture scientifique citoyenne 

Philippe Etchecopar, département de mathématiques, Jean-Claude Simard, département 

de philosophie, Cégep de Rimouski. 149 

Des problèmes de recherche pour l'apprentissage de la modélisation et de la 

preuve en mathématique 

Denise Grenier, Laboratoire Leibniz, Université Joseph Fourier, 

Grenoble, France. 155 

Théâtre et mathématiques 

Jacques Lefebvre, UQAM. 163 

Les différents acteurs d’une situation d’apprentissage par problèmes : 

l’exemple d’un travail de session proposé aux élèves du programme de Sciences de 

la nature du Cégep de Sherbrooke dans le cadre de leur cours d’algèbre linéaire 

Nicolas Pfister, Cégep de Sherbrooke. 169 

Le rôle des mathématiques dans la mise en équation différentielle en 

physique 

Marc Rogalski, Université des Sciences et Technologies de Lille, France. 181 

Les dénombrements 

Jacques Sormany, UQAC et Cégep de Chicoutimi. 189 

Table ronde 199

À l’occasion de la journée commune au congrès Espace mathématique francophone, à la 29 e Session du 

GRMS, au 49 e Congrès de l’AMQ et au Colloque du primaire, voici quelques notes historiques sur l’AMQ. Pour en 

savoir plus, on peut consulter le site 

http://www.mlink.net/~amq/AMQ/Organisation/histo.html 

L’Association mathématique du Québec (AMQ) a été fondée en 1958 par Maurice L’Abbé, l’un des bâtisseurs 

des sciences mathématiques au Québec. Elle regroupe les personnes intéressées par les mathématiques, leur 

enseignement et leurs applications. Depuis 1959, l’AMQ organise des concours et des camps mathématiques de 

niveau secondaire et collégial, et publie une revue trimestrielle : le Bulletin AMQ. L’un des groupes d’intérêt de 

l’AMQ, le Groupe des chercheurs en sciences mathématiques, publie depuis 1977 les Annales des sciences 

mathématiques du Québec, une revue internationale de recherche en mathématiques. Un autre groupe d’intérêt de 

l’AMQ, le Groupe des didacticiens de la mathématique ( GDM ) organise régulièrement depuis sa fondation en 

1970 des colloques sur la didactique des mathématiques. L’AMQ a établi de nombreux partenariats avec des 

institutions québécoises, en particulier avec l’Institut des sciences mathématiques (ISM) dans le projet Liaison cégepsuniversités 

et avec le Groupe des responsables en mathématiques au secondaire (GRMS) en décernant chaque année dans cinq 

universités québécoises la Médaille de l’AMQ et du GRMS pour la formation des maîtres du secondaire. Depuis la 

dissolution de l’Association des promoteurs de l’avancement de la mathématique à l’élémentaire (APAME), l’AMQ a hérité de la 

responsabilité de l’enseignement mathématique au primaire. En remplacement de la revue Instantanés mathématiques, 

dont près de 40 volumes ont été publiés par l’APAME, une revue virtuelle MATH VIP consacrée à l’enseignement 

primaire a été lancée en 2005 sous l’égide de l’AMQ. 

L’AMQ a participé de façon active aux débats sur l’éducation au Québec en présentant depuis 1965 de 

nombreux mémoires au Ministère de l’éducation et en intervenant auprès des organismes à vocation éducative au 

Québec. Les dossiers récents portent sur la place des mathématiques dans les programmes collégiaux en sciences 

humaines ou en techniques, et sur l’accès à la profession enseignante au secondaire pour les diplômés en sciences 

mathématiques. La formation des maîtres du primaire et du secondaire ainsi que les programmes du secondaire ont 

toujours été au cœur des préoccupations de l’Association depuis sa fondation. Enfin, l’AMQ est actuellement, grâce 

à son président, particulièrement active dans le domaine de la vulgarisation scientifique en mathématiques. 

Site de l’AMQ sur la Toile : http://newton.mat.ulaval.ca/amq/. 

Actes du 49e congrès de l’Association mathématique du Québec 4 31 mai et 1er juin 2006 

Université de Sherbrooke

MESSAGE DU PRÉSIDENT 

DE L’ASSOCIATION MATHÉMATIQUE DU QUÉBEC 

Le 49e Congrès de l'Association Mathématique du Québec se tient cette année sous le thème Mathématiques et 

diversité culturelle. 

On a voulu par là attirer l’attention sur les relations très variées qu’entretiennent les mathématiques avec les 

autres activités humaines. Les mathématiques sont en effet pratiquées dans des contextes sociaux et culturels très 

variés, sur les cinq continents et depuis les temps les plus anciens. De plus, depuis un siècle, elles ont donné 

naissance à des disciplines nouvelles : statistique, recherche opérationnelle, informatique, etc. ayant leur culture 

propre et agissant de façon autonome. Elles interviennent aussi, aujourd’hui plus que jamais, dans les applications 

les plus diverses. 

Ce congrès revêt de plus un caractère bien spécial car il se tient au même moment et au même endroit que 

le troisième colloque Espace mathématique francophone et que le congrès annuel du GRMS. Il y aura également un 

Colloque du primaire, organisé sous les auspices de l’AMQ, qui augure bien de la relance des activités mathématiques 

destinées aux enseignantes et enseignants du primaire. C'est ainsi qu'à l'aube de l'été 2006 se tient à l'Université de 

Sherbrooke une sorte de « happening mathématique » qui ne manquera pas d'intéresser le monde de l'enseignement 

ainsi que, grâce à la participation des médias, la population en général. 

C'est pourquoi nous avons décidé de tenir le 31 mai une journée commune à tous ces colloques, laquelle se 

terminera en soirée par le spectacle Show Math, accessible au grand public, tant aux jeunes qu'aux moins jeunes. 

Cette journée commune, qui se veut l'événement marquant du congrès, sera une occasion unique pour les 

intervenants de tous les ordres d'enseignement : primaire, secondaire, collégial et universitaire, du Québec et de la 

francophonie, d'échanger sur les meilleures façons de structurer le cheminement scolaire des étudiants et étudiantes 

en mathématiques. 

C'est d’ailleurs un peu dans cet esprit que nous tiendrons le lendemain matin de cette journée commune 

une réunion des coordonnateurs des départements de mathématiques des cégeps, suivie en après-midi d'une table 

ronde AMQ-GRMS portant sur l'interface secondaire — post secondaire 

Au nom de l'AMQ, je tiens à remercier l'Université de Sherbrooke qui a bien voulu nous accueillir sur son 

magnifique campus ainsi que le comité organisateur pour le formidable travail accompli au cours des derniers mois. 

Enfin, mes remerciements vont au Comité d’organisation de Espace mathématique francophone qui fournit à l’AMQ une 

occasion exceptionnelle de participer à la francophonie mathématique dans le domaine de l’enseignement. 

JEAN-MARIE DE KONINCK, président 

Association mathématique du Québec. 





THÈME 

Actes du 49 e congrès de l’Association mathématique du Québec 7 31 mai et 1 er juin 2006 




MATHÉMATIQUES ET DIVERSITÉ CULTURELLE 

Comme la musique et les arts plastiques, les mathématiques sont un langage universel et l’une des activités 

créatrices fondamentales de l’homme, attachée à sa nature même. Elles n’ont d’existence que par et dans le cerveau 

humain. Ce caractère universel des mathématiques ne va-t-il pas de pair avec le mouvement actuel de 

mondialisation ? Ou, au contraire, doit-on distinguer soigneusement universalité et mondialisation ? Quel est alors 

le rôle des diverses cultures dans le développement des mathématiques, le rôle de l’affectivité, de la passion, du côté 

droit du cerveau ? Préserver la diversité culturelle aura-t-il une influence positive sur le développement des sciences 

mathématiques, sur leur enseignement, sur leurs applications ? 

Voici un thème de réflexion et quelques questions qui se posent naturellement en ce 49 e congrès de 

l’Association mathématique du Québec qui aura lieu conjointement avec le congrès international Espace mathématique 

francophone 2006 (EMF2006) et la 33 e session de formation du Groupe des responsables des mathématiques au secondaire 

(GRMS). Les trois premiers congrès EMF2000, tenu en France, EMF2003, tenu en Tunisie et EMF2006, qui sera 

tenu au Québec, contribuent en effet à développer graduellement une francophonie mathématique illustrant le rôle 

de la culture française dans l’enseignement et la science mathématique. 

Les mathématiques se sont développées dans des cultures particulières et en même temps qu’elles. C’est 

ainsi que l’on peut parler de mathématiques babyloniennes, chinoises, indoues, égyptiennes, grecques, arabes, 

italiennes, françaises, anglaises, allemandes, russes, américaines et bientôt, sans doute, chinoises au sens moderne. 

Le centre de gravité de l’activité mathématique s’est déplacé au cours du temps. Il est cependant arrivé de longues 

périodes de stagnation, sous la Rome impériale ou au Moyen-âge par exemple. 

L’Occident a vécu depuis la Renaissance une révolution scientifique et technique extraordinaire culminant 

dans la mécanique classique, la thermodynamique, la théorie électromagnétique, la théorie de la relativité, la 

mécanique quantique, la théorie du chaos, la théorie de l’information et toutes les inventions que l’on a tirées de ces 

avancées théoriques. Le phénomène actuel de la mondialisation, avec ses valeurs d’uniformité et de standardisation 

qui menace la diversité des cultures, laisse-t-il présager une autre période de stagnation des sciences 

théoriques ? 

La défense de la diversité culturelle ne serait-elle pas au fond une façon de valoriser l’universalité en la 

recentrant sur l’homme incarné dans une culture plutôt que sur une abstraction, l’homo economicus, en mettant 

l’accent sur la création plutôt que sur la consommation ? Le défi consiste à voir comment cela peut se faire 

concrètement au Québec et dans l’Espace francophone dans le domaine des sciences mathématiques. 





CONFÉRENCES 



Madame Colette Laborde 

IMAG, IUFM de Grenoble, France 

Colette Laborde est une didacticienne des mathématiques bien connue, intervenant dans la formation 

des enseignants au primaire, secondaire et collégial en France. Elle est responsable d'une équipe de recherche 

travaillant sur les environnements informatiques dans l'apprentissage et l'enseignement des mathématiques. 

Elle a travaillé par le passé sur les questions qui touchent le rôle du langage dans l'enseignement des 

mathématiques, l'apprentissage de la preuve en géométrie et s'est intéressée à l'apport des interactions sociales 

dans l'apprentissage des mathématiques. Ses travaux de recherche au cours des dernières années ont plus 

spécifiquement porté sur les apports d'un environnement informatique dans les apprentissages en 

mathématiques. Ils touchent à des sujets aussi divers dans ce cas que l'apport des environnements de géométrie 

dynamique sur l'apprentissage de la géométrie à l'école primaire et au début du secondaire, au développement 

des notions de variable et fonction, probabilité, d'équations différentielles ou de vecteur permises par les outils 

de cabri géomètre pour favoriser l'apprentissage. Elle s'est intéressée aussi aux simulations informatiques 

comme aide à la conceptualisation dans le cadre de formations professionnelles (à la conception par exemple de 

situations d'apprentissage destinées à la formation de travailleurs du bâtiment). Elle est ainsi une des personnes 

les mieux placées actuellement pour nous faire part des défis que pose l'utilisation des technologies dans 

l'enseignement des mathématiques. 

CONFÉRENCE PRINCIPALE 

LA PLACE DES NOUVELLES TECHNOLOGIES EN CLASSE DE MATHÉMATIQUES: 

NI DÉFI NI MODUS VIVENDI 

Les défis technologiques multiples dans notre société actuelle ne semblent pourtant pas avoir atteint 

aussi profondément la vie quotidienne de l'enseignement des mathématiques. En se fondant sur des cadres 

théoriques et des recherches développés dans différents pays, l'exposé cherchera à analyser les processus 

d'intégration des nouveaux outils technologiques au quotidien de la classe de mathématiques, en montrant qu'ils 

touchent à de nombreux aspects de l'enseignement: la forme et le contenu des savoirs à enseigner, les tâches à 

proposer aux élèves, la gestion de la classe et celle du temps, la relation didactique, l'évaluation institutionnelle. 

Deux éléments sensibles et critiques dans ce processus seront particulièrement objet d'attention: l'enseignant et 

la conception même des technologies. 



Les nouvelles technologies dans 

l’enseignement des mathématiques : 

entre défi et modus vivendi 

Le présent exposé offre une courte synthèse sur le rôle et les usages des nouvelles 

technologies dans l’enseignement des mathématiques, en s’appuyant sur quelques 

cadres théoriques. Il se centre sur la complexité du processus d’intégration, en 

abordant quatre aspects de cette complexité : les changements introduits par les 

technologies dans l’activité mathématique en classe, les difficultés des élèves dans 

la résolution de problèmes en environnement technologique, les conditions sur les 

tâches données à faire avec les nouvelles technologies et destinées à favoriser 

l’apprentissage des mathématiques, la complexité d’une gestion de classe intégrant 

les nouvelles technologies. Les éléments de cette analyse sont illustrés par des 

exemples portant en grande partie sur des technologies de géométrie dynamique; 

une analyse analogue pourrait être conduite sur d’autres environnements comme le 

montrent certains exemples de l’exposé. 

Colette Laborde 

IUFM de Grenoble 

et Université 

Joseph Fourier, 

Grenoble, 

Équipe IAM 

46 av FélixViallet 

38 000 GRENOBLE 

CEDEX France 

Colette.Laborde@ 

imag.fr 

L 

es jeunes vivent dans un monde de 

technologies ubiquitaires qui se 

développent à un rythme rapide et 

l’informatique a envahi le monde du travail. 

L’école ne peut plus ignorer cette présence 

croissante de l’informatique et se contenter 

d’accepter la coexistence de deux mondes, 

celui des jeux vidéo, des téléphones mobiles, 

d’Internet à la maison et dans la rue d’une 

part, celui du papier crayon à l’école d’autre 

part. L’enseignement des mathématiques est 

particulièrement concerné par ces 

changements dans la mesure où des 

technologies spécifiques sont adaptées à 

l’activité mathématique. Quelles technologies 

intégrer? Comment les utiliser en classe? Avec 

quels objectifs et dans quel type d’activités 

pour les élèves? Ces questions ne sont pas 

nouvelles. 

Il y a maintenant trente ans que l’enseignement 

mathématique est confronté à ce type de 

questions. En 1976, au congrès ICME 3 à 

Karlsruhe, un panel avait ainsi été organisé sur 

le sujet brûlant de l’époque : faut-il utiliser les 

calculatrices à l’école élémentaire? Cependant, 

la situation n’est plus la même. En 2006, en 

France, l’épreuve de mathématiques du 

concours de recrutement des professeurs 

d’école donnée dans une région de la France a 

demandé aux candidats de discuter, en 

contraste avec le papier crayon, la contribution 

de la géométrie dynamique dans une synthèse 

collective portant sur la plus courte distance 

d’un point à tous les points d’une droite 1. 

De fait, ces trente dernières années ont connu 

de nombreux changements. L’intégration des 

nouvelles technologies ne donne plus lieu à 

des positions extrêmes et s’est fait jour dans le 

monde de manière plus ou moins poussée 

(Wong 2003). On dispose de cadres théoriques 

pour analyser les activités mathématiques 

instrumentées, de nombreux enseignements 

innovants ont été développés et de 

nombreuses analyses ont porté sur les usages 

par les élèves (pour une revue de la littérature 

à ce sujet entre 1994 et 1998, consulter 

Lagrange et coll. 2003). L’objectif de cet 

exposé est de fournir une synthèse des aspects 

saillants de la recherche sur le sujet. 

Dans la diversité des technologies qui ont vu 

le jour lors des dernières décennies, on peut 

distinguer les catégories suivantes, même si, 

comme le remarquent Hoyles et Noss (2003, 

p. 326), les catégories ne sont plus aussi 

1 L’épreuve peut être consultée sur Internet à 

l’adresse 

http://www.education.gouv.fr/siac/siac1/sujets20 

06/MAT-06-PG3.pdf (juillet 2006) 



Les nouvelles technologies dans l’enseignement des mathématiques : entre défi et modus vivendi Colette Laborde 

tranchées actuellement en raison des développements 

technologiques : 

- les outils pour l’activité mathématique qui vont des 

calculatrices scientifiques aux logiciels comme des grapheurs, 

des éditeurs de 

données, des tableurs, des environnements de géométrie 

dynamique, en passant par des calculatrices avancées; 

- les ressources pour les élèves ou enseignants : Internet, 

espaces numériques de travail; 

- les tuteurs plus ou moins « intelligents », plus ou moins 

ouverts; 

- des dispositifs techniques comme les tableaux interactifs. 

Cet exposé se restreint aux technologies outils de l’activité 

mathématique qui ont donné lieu au plus grand nombre 

d’études parce qu’elles ont été les plus intégrées dans 

l’enseignement des mathématiques, quoique certes de façon 

inégale selon les pays. 

L’exposé porte sur les relations entre les connaissances 

mathématiques et l’activité instrumentée par les technologies 

à l’école, entre élèves et technologies, entre enseignants et 

technologies. La plupart des exemples portent sur la 

géométrie dynamique, mais une analyse analogue pourrait 

être menée sur d’autres environnements. 

1. Faire des mathématiques à l’école 

avec des technologies : qu'est-ce que cela 

change? 

Parmi les nombreux aspects de l’impact des technologies sur 

l’activité mathématique, ce sont les changements résultant 

des possibilités graphiques et de calcul qui sont abordés ici. 

1.1. Nouvelles formes de représentation 

des connaissances 

Une première caractéristique des technologies réside dans 

l’existence de représentations multiples, le plus souvent en 

interrelation. Le rôle des représentations dans les usages dans 

l’enseignement des mathématiques est essentiel comme 

l’écrivent Hoyles et Noss (2003, p.26) pour qui les 

technologies numériques sont des formes interactives de 

représentation qui médient et sont médiées par la pensée 

mathématique et son expression. Comme ces auteurs le 

soulignent, les systèmes de présentation ou représentation de 

nos pensées à nous-mêmes ou aux autres pour constituer une 

mémoire et communiquer dans le temps et l’espace, pour 

raisonner et calculer, constituent une partie fondamentale de 

notre infrastructure culturelle. 

Les objets mathématiques sont idéaux, avaient tranché les 

Grecs anciens. Ils ne sont accessibles que par des 

représentations (D’Amore 2003 pp.39-43, Duval 2000). 

Bosch et Chevallard (1999), après avoir introduit la 

distinction entre les objets ostensifs et non ostensifs, 

déclarent que les mathématiciens ont par trop envisagé leur 

travail comme portant sur les non ostensifs et ont sous- 

estimé les traitements qu’ils opèrent sur les ostensifs 

(diagrammes, formules, expressions algébriques, 

représentations graphiques) en ne leur accordant qu’un rôle 

auxiliaire. Moreno Armella affirme par ailleurs que toute 

activité cognitive est médiée par des outils matériels ou 

symboliques (1999). Or toute représentation d’un objet 

mathématique met au premier plan certaines caractéristiques 

de cet objet en même temps qu’elle en relègue d’autres à 

l’arrière-plan. Elle n’est pas sans effet sur la conception que 

l’on se forge de cet objet. Ainsi la représentation graphique 

sur papier de la fonction exponentielle e x ne coïncide-t-elle 

en aucun endroit avec l’axe des abscisses alors que c’est le cas 

pour les représentations sur ordinateur (dès que x est 

inférieur à -4 avec une unité de 1cm). La représentation 

papier crayon rompt la règle de représentation à l’échelle 

pour accentuer le fait que le graphe de la fonction est 

asymptote à l’axe des abscisses tandis que les représentations 

sur ordinateur et calculette donnent à voir la petitesse de e x. 

L’activité mathématique demande non seulement 

d’interpréter des représentations, mais de les manipuler, 

d’opérer sur ces dernières. On a pu voir comment dans le 

développement des mathématiques au cours du temps, les 

caractéristiques des systèmes de représentation utilisés ont 

influé sur les mathématiques développées, comme l’écrit 

Netz (1999) à propos de la mathématique grecque à la fois 

étayée et limitée par les moyens d’expression alors 

disponibles. Kaput (2001) affirme que les systèmes d’écriture 

et d’algèbre ont joué un rôle déterminant sur la pensée et les 

possibilités d’action. 

Les nouvelles technologies introduisent de nouveaux 

systèmes de représentation avec des possibilités accrues de 

manipulation et de traitement. Par exemple, le déplacement 

en géométrie dynamique est un bon exemple de tels 

changements. Un dessin en géométrie dynamique n’est plus 

un dessin statique représentant une instance d’un objet 

géométrique, mais une classe de dessins représentant les 

mêmes relations géométriques entre éléments variables 

(Laborde 1995). Un parallélogramme variable construit sur 

les points variables A, B et C représente deux relations de 

parallélisme entre deux côtés opposés, pour la paire AB et 

CD d’une part, pour la paire AD et BC d’autre part. 

L’invariance du parallélisme émerge dans le déplacement par 

contraste avec la variation des points et constitue l’essence de 

la figure dynamique ainsi construite. La généralité du 

parallélogramme est exprimée par cette représentation 

dynamique rendue possible par les moyens numériques et 

graphiques de l’ordinateur ou de la calculatrice. De même, 

Haspekian (2005) analysant le contenu auquel renvoie une 

cellule d’un tableur montre qu’en plus de la référence 

abstraite/générale d’une variable, un argument d’une cellule 

renvoie aussi à une référence particulière concrète (un 

nombre), une référence géographique (une adresse spatiale), 

et une référence matérielle (une boîte dans une grille), aucune 

de ces trois dernières références n’ayant de contre partie en 

papier crayon. La fonction de recopie est un exemple de 

traitement sémiotique et mathématique totalement nouveau. 

De plus, comme souligné par Kaput (op.cit), les nouvelles 

technologies permettent une interactivité entre différentes 

sortes de représentation, telles chaînes de caractères, 



Les nouvelles technologies dans l’enseignement des mathématiques Colette Laborde 

représentations graphiques, tables de valeurs numériques. 

Toutes ces caractéristiques créent un potentiel énorme pour 

une approche expérimentale de l’activité mathématique. 

1.2. Une économie d’expérimentation 

Les technologies utilisées comme outils de l’activité 

mathématique sont de nature particulière : elles embarquent 

des connaissances mathématiques au sens où des modèles 

mathématiques sont sous-jacents au traitement interne en 

machine des données entrées par l’utilisateur. Ces 

technologies offrent à l’interface des représentations d’objets 

mathématiques et de relations sur lesquelles on peut opérer 

en mode plus ou moins direct, et le résultat de ces opérations 

est calculé par la machine selon le modèle sous-jacent. On 

pourrait certes objecter que les livres aussi embarquent des 

connaissances, mais le degré d’interactivité entre machine et 

utilisateur est beaucoup plus élevé. Le résultat fourni par la 

machine, censé être mathématiquement consistant, fournit 

une rétroaction susceptible d’impact sur l’utilisateur. La 

machine permet à l’utilisateur de « voir » les objets se « 

comporter » mathématiquement, en un mot de voir des 

phénomènes mathématiques, à la condition évidemment que 

l’utilisateur soit capable de les interpréter en tant que tels. De 

plus, la machine a un potentiel incomparable de calcul et de 

représentation graphique. Ces deux caractéristiques, 

connaissances embarquées et possibilités numériques et 

graphiques, contribuent à une économie importante 

d’expérimentation et modifient la nature même de l’activité 

mathématique en favorisant une approche expérimentale au 

sens large, incluant des activités comme celle de modélisation 

ou de simulation à grande échelle. 

2. Élèves et nouvelles technologies 

Les élèves n’entrent pas immédiatement dans ces diverses 

représentations offertes par les technologies. Ils doivent 

apprendre à les interpréter de façon consistante avec les 

mathématiques (Noble, Nemirovsky, Dimattia & Wright 

2004). Ils doivent donc mobiliser conjointement des 

connaissances mathématiques et des connaissances sur la 

technologie en jeu. Ce dernier type de connaissances a été 

sous-estimé au début de l’usage des technologies dans 

l’enseignement des mathématiques en un temps où les 

technologies ont pu être considérées comme transparentes 

ou neutres. L’approche instrumentale développée il y a dix 

ans (Vérillon & Rabardel 1995) propose un modèle d’analyse 

de l’appropriation d’un artefact par l’utilisateur. Ce dernier 

construit des structures qui organisent ses actions avec 

l’artefact, lui permettent de les répéter en les adaptant aux 

aspects variables de la situation. Ces structures sont appelées 

par Rabardel et Vérillon schèmes d’utilisation. La genèse 

instrumentale est le processus de construction de tels 

schèmes. Elle n’est pas seulement individuelle, mais aussi de 

nature sociale. L’école peut jouer un rôle déterminant dans la 

genèse instrumentale des technologies par les élèves et 

donner lieu à l’appropriation de techniques instrumentées (au 

sens de l’approche praxéologique de Chevallard 1999) 

(Lagrange 2001). 

En réaction à l’illusion de la libération des élèves du travail 

technique par les nouvelles technologies, des études ont 

cherché à analyser l’usage des CAS (systèmes de calcul 

formel) par les élèves (Guin & Trouche 1999, 2002, Defouad 

2000, Artigue 2002). Elles ont relevé les difficultés des élèves 

à utiliser les CAS et ont décrit les schèmes d’utilisation pour 

grapher des fonctions sur des calculatrices avancées afin d’en 

inférer leur limite ou leurs variations. Lagrange (1999), 

Artigue (2002) et Pierce et Stacey (2004) mentionnent aussi la 

difficulté des élèves à passer d’un type de représentation à un 

autre dans un CAS. 

L’instrumentation d’autres types de technologies a aussi 

donné lieu à analyse, comme en particulier le déplacement en 

géométrie dynamique. Depuis le début de l’usage de la 

géométrie dynamique, il a été observé que les élèves n’ont 

pas recours spontanément au déplacement. Ils appellent 

l’enseignant pour vérifier que leur figure est correcte avant 

même de déplacer (Bellemain et Capponi 1992). Ou bien, ils 

bougent un élément de la figure, mais sur une petite zone 

comme s’ils craignent de détruire leur figure (Rolet 1996). 

Sinclair (2003) a observé que des élèves de 12e année, 

quoiqu’initialement intrigués par la possibilité de déplacer, 

cessent de le faire au bout d’un temps assez court, et se 

contentent de raisonner sur une figure statique. Parfois, 

certains créent un cas particulier en déplaçant et généralisent 

à partir de ce seul cas. Comme souligné par Strässer (1992), le 

déplacement offre une médiation entre dessin et figure et ne 

peut être utilisé comme tel qu’au prix d’une introduction 

explicite par l’enseignant. Talmon et Yerushalmy (2004) 

utilisant un environnement de géométrie dynamique (The 

Geometer’s Sketchpad 3 et The Geometric Supposer pour 

Windows) ont demandé à des élèves de 9ème année et à des 

étudiants gradués d’éducation mathématique de prévoir le 

comportement dynamique de points d’une construction 

géométrique qu’ils avaient eux-mêmes effectuée suivant une 

procédure donnée et de justifier leur prédiction. L’étude 

montre que souvent les élèves considèrent une hiérarchie en 

sens inverse dans laquelle le déplacement d’un objet 

provoque le déplacement de ses parents et non ses 

descendants. 

Les études sur la genèse instrumentale de diverses 

technologies s’accordent en général sur la complexité et la 

durée du processus, ainsi que sur l’imbrication des 

connaissances mathématiques et des connaissances sur 

l’artefact dans ce processus. 

Par exemple, le schème de vérification qu’une construction « 

résiste » bien au déplacement ne relève pas de la 

manipulation matérielle de la souris, mais de la 

compréhension que le dessin en géométrie dynamique est 

caractérisé par un ensemble de propriétés invariantes et non 

par son apparence visuelle. L’usage du déplacement à des fins 

de vérification nécessite d’entrer dans le monde théorique de 

la géométrie alors que les élèves de début d’école secondaire 

peuvent se cantonner dans une vue empirique de la 

géométrie. Arzarello et coll. (1998, 2002), Arzarello (2000), 

Olivero (2002) ont développé des analyses très fines de 

l’usage du déplacement par les élèves en situation de 

résolution de problèmes et ont montré comment ils sont liés 




au type de raisonnement mis en œuvre par les élèves. Là 

encore, l’usage instrumenté du déplacement pour explorer le 

problème et trouver des idées de solution est profondément 

y 

lié aux connaissances mathématiques. 

y = 0.64x + 2.02 

Des conclusions analogues ont été tirées des études sur les 

CAS. Artigue (2002) considère que toute technique 

instrumentée possède deux valeurs, une valeur pragmatique 

et une valeur épistémique (p.248) et qu’une instrumentation 

efficace requiert des connaissances mathématiques. Les 

schèmes adéquats d’usage du zoom pour le cadrage de 

représentations graphiques de fonctions sont fondés sur la 

compréhension que le zoom change les échelles des axes de 

différentes manières suivant le type de zoom et que le choix 

de l’échelle agit sur la taille du domaine et de l’image de la 

fonction affichés à l’écran. Dans l’usage des CAS, les élèves 

sont confrontés à des problèmes d’équivalence entre des 

formes d’expression inhabituelles en papier crayon dus aux 

algorithmes implémentés. L’usage contrôlé des CAS 

demande de distinguer calcul exact et approché (Birebent 

2001). Dans un pays comme la France, l’enseignement des 

mathématiques ne donne pas vraiment le même statut aux 

deux types de calcul : en papier crayon, on effectue des 

calculs approchés en cas d’impossibilité de faire des calculs 

exacts alors que les calculatrices avancées permettent 

indifféremment les deux types de calcul. 

Noss et Hoyles (1996) ont introduit la métaphore de 

l’ordinateur « fenêtre » sur les conceptions mathématiques 

des élèves pour décrire le fait que l’ordinateur peut révéler 

des difficultés cachées en raison de la nouveauté de 

l’environnement dans lequel les routines usuelles ne 

fonctionnent plus. En fait, les observations des démêlés 

d’élèves en train de résoudre des tâches en environnement 

technologique montrent souvent que les problèmes 

rencontrés ne relèvent pas de problèmes strictement liés à la 

technologie, mais bien aux mathématiques. Moreno (2006) a 

étudié les difficultés de futurs enseignants de mathématiques 

sur les équations différentielles ordinaires de premier ordre, 

déjà initiés à ces équations depuis 4 ou 5 ans. Il leur a 

demandé de déterminer l’équation différentielle de la famille 

décrite par une courbe variable d’un environnement de 

géométrie dynamique (Cabri-géomètre II plus) (Figure 1). Il 

s’agissait de la courbe variable de la fonction C e x que l’on 

faisait varier en déplaçant un point dans tout l’écran. 

Trois stratégies étaient possibles : 

- reconnaissance de la forme de la courbe comme 

représentante d’une fonction exponentielle e ax dont la valeur 

du paramètre a pouvait être trouvée par essai erreur, en 

essayant des valeurs testées ensuite en les graphant ; 

- une stratégie géométrique dans laquelle la constance 

de la sous tangence est repérée; 

- une stratégie algébrique dans laquelle l’équation de 

la tangente en un point variable P de la courbe variable est 

affichée ainsi que les coordonnées de P : l’égalité de la pente 

de la tangente et de la coordonnée en y de P est inférée lors 

du déplacement de P. 

( - 2.13, 0.64 0.5) 

Tous les étudiants ont eu recours à la stratégie algébrique, 

mais l’observation fine de leurs processus de résolution a 

révélé de profondes difficultés et des conceptions 

inattendues de la notion d’équation différentielle. Certains 

étudiants pensaient que l’équation d’une tangente à la courbe 

devait être l’équation différentielle, mais ils s’apercevaient de 

leur erreur lorsqu’ils bougeaient P sur la courbe, l’équation de 

la tangente changeant avec le déplacement de P. D’autres 

pensaient que l’équation différentielle devait être de la forme 

y’ = a y + b et cherchaient a et b à l’aide de points 

particuliers de la courbe variable. Certains cherchaient autant 

d’équations différentielles qu’il y avait de courbes… La 

plupart des étudiants qui ont finalement noté que pour 

chaque point P, yP = y’P, n’ont pas reconnu une équation 

différentielle dans cette dernière écriture et ne savaient qu’en 

faire. De ces observations, il ressort que 

- la notion de dérivée en analyse n’est pas reliée à la 

pente d’une tangente en géométrie analytique; 

- une équation différentielle de premier ordre n’est 

pas vue comme une relation entre la pente de la tangente en 

tout point de la courbe de la famille des solutions et les 

coordonnées du point : les étudiants n’ont pas su utiliser 

cette interprétation géométrique à laquelle ils avaient 

pourtant été introduits dans leurs études. 

La relation que les étudiants ont construite entre la famille de 

courbes et l’équation différentielle conformément à 

l’enseignement reçu est orientée dans le sens équation 

différentielle vers courbe : elle repose sur un processus de 

deux étapes, d’abord résoudre l’équation différentielle suivant 

un procédé quelque peu algorithmisé puis tracer les courbes 

représentatives de quelques solutions. 

La technologie agit en quelque sorte comme un révélateur de 

conceptions des élèves, car elle rend possible le problème 

inverse, celui de trouver l’équation différentielle à partir de la 

famille de courbes grâce à un artefact permettant de varier la 

courbe et de passer de la géométrie à l’algèbre et de l’algèbre 

à la géométrie. Résoudre un problème non routinier dans un 



P 

P 

C 

0.5 

y 

0.5 

( - 2.13, - 0.31) 

C 

0.5 

y = -0.31x - 0.96 

Figure 1. La courbe variable dans deux positions 

différentes et la tangente au point P variable sur la courbe 

x 

x


environnement technologique riche pose de nouveaux 

problèmes. 

Les connaissances mathématiques des élèves influent sur leur 

usage de la technologie, mais inversement les connaissances 

émergeant de l’usage de technologies sont marquées de 

l’environnement technologique ou même forgées par la 

technologie. Kieran et Yerushalmy (2004) ont recensé les 

nombreux changements introduits par les technologies 

graphiques dans l’apprentissage de l’algèbre sur le plan 

cognitif. Noss et Hoyles (1996) ont proposé le concept 

d’abstraction située pour décrire les invariants construits et 

marqués de la situation spécifique dans laquelle ils ont été 

forgés. Bien que ces invariants soient situés, ils contiennent 

aussi en germe une généralité valide dans d’autres contextes 

(Noss and Hoyles, p. 125). 

En bref, l’interdépendance des deux sortes de connaissances, 

connaissances mathématiques et connaissances sur la 

technologie, conduit à leur coévolution. Il en résulte que 

résoudre un problème bien choisi dans un environnement 

technologique peut être la source d’un apprentissage 

mathématique à condition que certaines conditions soient 

satisfaites. Le paragraphe suivant discute trois types de 

conditions. 

- le choix de l’interface; 

- le choix de la tâche donnée aux élèves; 

- le rôle de l’enseignant. 

3. Les technologies en tant que 

sources d’apprentissage 

3.1. Rôle de l’interface 

Comme souligné par Noss et Hoyles (2003, p.331), il est de 

plus en plus reconnu que les apprentissages sont tributaires 

non seulement des tâches, du contexte pédagogique, mais 

aussi des caractéristiques de l’environnement technologique. 

En tant que lieu de l’interaction entre utilisateur et machine, 

l’interface est un élément critique dans les possibilités 

d’apprentissage. Des éléments comme les choix de 

représentation des objets mathématiques, les façons dont 

l’environnement réagit aux actions de l’utilisateur et les 

modes de communication avec la machine jouent 

indubitablement un rôle sur la genèse instrumentale et en 

particulier sur la façon dont les élèves interprètent les 

rétroactions de la machine. Les représentations des objets et 

des actions sur les objets doivent être cohérentes avec les 

caractéristiques mathématiques des objets et des opérations 

sur ces objets. Par exemple, une interface d’un 

environnement de géométrie dynamique dans laquelle la 

construction d’une droite parallèle à une droite et passant par 

un point donné ne peut être faite dans les deux ordres 

possibles, en communiquant d’abord la direction puis le 

point au logiciel ou d’abord le point puis la direction, est trop 

contraignante par rapport à la définition mathématique et 

alourdit inutilement la charge en mémoire de l’apprenant. 

Les interprétations possibles des effets des commandes ou 

des outils ne sont pas sans incidence sur les schèmes 

d’utilisation construits par les utilisateurs. Nous avons 

indiqué plus haut que construire un schème d’utilisation du 

zoom dans les calculatrices graphiques requiert la 

compréhension des relations entre échelle sur chaque axe et 

la partie visible de la courbe. Une interface permettant le 

changement d’échelle par manipulation directe de l’unité sur 

les axes et montrant l’impact immédiat sur le graphe rend 

plus visibles ces relations qu’une interface dans laquelle le 

rapport du zoom n’est, ni contrôlé par l’utilisateur, ni 

directement visible. 

Ces réflexions et exemples témoignent de la dépendance des 

choix d’interface du contenu mathématique et des objectifs 

d’apprentissage. Ces choix sont peut-être encore plus 

critiques en cette époque où la technologie est omniprésente 

dans la vie quotidienne. La technologie utilisée à l’école ne 

peut être trop éloignée de celle en cours en dehors de l’école. 

3.2. Le choix de tâches 

On s’accorde maintenant à reconnaître que le sens des tâches 

dépend de l’environnement et qu’une tâche intéressante en 

papier crayon peut être dénuée d’intérêt en environnement 

technologique. Ajouter 15 et 17 nécessite un calcul mental 

producteur pour les élèves d’école élémentaire, il est sans 

intérêt en tant que tâche à part entière sur une calculatrice. 

De plus, les possibilités offertes par les technologies peuvent 

permettre un renouvellement des types de tâches (cf. plus 

haut la tâche sur la détermination d’une équation 

différentielle). Le défi pour les enseignants et les chercheurs 

est de délimiter les caractéristiques des tâches avec les 

technologies qui contribuent à donner un sens aux concepts 

mathématiques à apprendre. 

La théorie des situations didactiques (Brousseau 1998) 

fournit un cadre théorique pour formuler des conditions sur 

les tâches porteuses de nouveaux apprentissages en 

environnement technologique, en particulier sur les situations 

adidactiques. Les situations adidactiques sont des problèmes 

dans lesquels la connaissance à construire est un outil efficace 

de solution. Un bon fonctionnement de telles situations 

dépend des connaissances préalables des élèves : elles doivent 

leur permettre d’aborder le problème, mais sans leur donner 

des moyens de le résoudre de façon efficace, ce sont les 

rétroactions de la situation qui doivent signaler l’inadéquation 

de la résolution des élèves. Une autre condition au bon 

fonctionnement des situations adidactiques est donc aussi 

l’existence d’un milieu fournisseur de rétroactions et moyens 

d’action qui sont susceptibles de faire évoluer les stratégies de 

résolution des élèves vers des solutions correctes et efficaces. 

Ces nouveaux moyens de solution élaborés par les élèves 

sont candidats à être de nouvelles connaissances. Nous 

étendons les conditions énoncées par Brousseau sur les 

situations adidactiques aux situations demandant des 

connaissances déjà introduites, mais non complètement 

appropriées par les élèves. En raison du large éventail des 

actions possibles et des rétroactions offertes, les nouvelles 

technologies peuvent être constituantes d’un milieu pour des 

tâches choisies en vue de développer des connaissances sous- 




jacentes aux stratégies optimales de résolution, et cela, pour 

trois raisons : 

- elles permettent un spectre d’actions plus large que 

celui rendu possible en papier crayon; 

- elles fournissent des rétroactions embarquant des 

connaissances mathématiques; 

- elles offrent différents types de représentation et 

donc différentes possibilités à l’élève pour développer des 

contrôles de ses stratégies. 

Les technologies permettent des résolutions différentes de 

celles en papier crayon grâce aux outils disponibles différents 

de ceux du papier crayon et sollicitent donc des 

connaissances différentes. Par exemple, la géométrie 

dynamique peut être utilisée pour introduire les 

transformations géométriques comme outils de construction 

puisque sont disponibles des outils fournissant l’image de 

point, droite, polygone… par des transformations comme 

symétrie axiale, rotation, translation, homothétie, etc. . Dans 

certains environnements, il est même possible d’éliminer 

temporairement des outils de façon à rendre les 

transformations nécessaires. Par exemple, après avoir rendu 

indisponibles les outils Parallèle et Compas dans Cabrigéomètre, 

on demande aux élèves de construire un 

parallélogramme de côtés donnés AB et AD (Fig.2). La 

symétrie centrale de centre le milieu de BD permet d’obtenir 

un tel parallélogramme en construisant l’image du point A ou 

celle des segments AB et AD. En absence des outils « 

Compas » et « Parallèle », les stratégies de solution habituelles 

fondées sur le parallélisme ou l’isométrie des côtés opposés 

ne peuvent être développées qu’au prix de constructions 

longues. La stratégie transformationnelle est la plus directe et 

la valeur de la technique instrumentée correspondante est 

épistémique (cf. plus haut). 

A 

D 

B 

Fig.2. La construction d’un parallélogramme à partir de deux 

côtés donnés par une symétrie centrale 

Les transformations sont aussi un outil économique de 

construction dans l’espace. Un cube de face donnée peut être 

construit rapidement à l’aide de rotations : une première 

autour d’un côté fournissant ainsi une seconde face, puis des 

rotations autour de l’axe de la première face et enfin la 

dernière face parallèle à la première par translation (Fig.3). 

Fig.3. Le début de la construction d’un cube par des 

rotations 

L’objectif d’apprentissage dans ce type de tâches est que les 

transformations produisent des relations géométriques entre 

un objet et son image ou des propriétés sur les images, 

connaissance utile pour élaborer des preuves. Nous 

considérons qu’il est difficile pour un élève d’avoir recours 

d’emblée aux invariants et propriétés des transformations 

dans une preuve et que les utiliser en action dans les 

constructions est une étape intermédiaire qui leur permet de 

prendre conscience de cet aspect producteur des 

transformations. Cette étape impossible à réaliser en papier 

crayon est rendue possible par la géométrie dynamique. 

Présentons un autre exemple relatif à l’apprentissage de la 

notion de transformation ponctuelle et de figure comme 

ensemble de points tirant aussi parti de la géométrie 

dynamique. Jahn (2002) a organisé une suite de situations 

demandant aux étudiants de passer d’une conception de 

transformation en tant que portant sur des figures à une 

conception de transformation ponctuelle. Il s’agissait pour 

des élèves de 15-16 ans de construire dans Cabri-géomètre 

l’image d’un cercle dans une transformation ne conservant 

pas les longueurs. « Trace » et « Lieu » étaient les seuls outils 

possibles pour une telle construction en obtenant l’image du 

cercle comme la trajectoire de l’image d’un point variable du 

cercle ou comme le lieu de cette image. Les élèves ont su 

obtenir l’image comme trajectoire, mais non comme lieu. 

Cette construction ponctuelle a permis à l’enseignant 

d’introduire l’usage de l’outil « Lieu » . La recherche de Jahn 

illustre comment les connaissances sur l’artefact évoluent 

avec la construction des connaissances mathématiques, 

chaque avancée pour un type de connaissances s’appuyant 

sur l’autre type de connaissances. 




Le rôle des rétroactions offertes par les technologies a été 

souligné par la recherche sur les micromondes ainsi que par 

celles sur les environnements de géométrie dynamique dans 

lesquels les élèves peuvent vérifier leurs constructions par le 

déplacement ou mettre à l’épreuve leurs conjectures à l’aide 

de divers outils (de mesure ou de construction). Ces 

rétroactions peuvent susciter la recherche d’autres solutions 

dans le cas où elles mettent en évidence l’inadéquation de la 

solution. Dans une suite de tâches conçue par Hadas et coll. 

(2000), un conflit cognitif a été créé entre ce que les élèves 

prévoyaient et ce qu’ils observaient à l’écran quand ils 

vérifiaient leurs attentes sur le logiciel (Geometry Inventor). 

Ce jeu entre conjectures et vérifications, certitude et 

incertitude, a été rendu possible par les possibilités 

d’exploration et de vérification de l’environnement. 

Ainley et coll. (Ainley, Bills and Wilson 2005, p. 193) 

partagent le même souci de concevoir des tâches tirant parti 

des possibilités des technologies pour introduire des idées 

mathématiques. Ils ont conçu une série de tâches pour des 

tableurs créant le besoin de connaissances mathématiques 

pour construire des formules algébriques bien faites. Les 

possibilités des tableurs jouent un rôle crucial sur les 

stratégies de résolution attendues contribuant à créer un 

milieu au sens de la théorie des situations pour la notion de 

formule. Cependant, Ainley et coll. soulignent le fait qu’audelà 

de besoins mathématiques, les tâches sont aussi conçues 

pour aider les élèves à prendre conscience de l’utilité des 

connaissances mathématiques, c’est-à-dire à savoir si et 

pourquoi une idée mathématique est intéressante. Par 

exemple, une des tâches demande aux élèves d’engendrer des 

exemples pour un enseignant d’une autre classe. La 

génération d’exemples donne l’occasion d’apprécier l’utilité 

des notations du tableur. La technologie ne fournit pas 

seulement un outil de solution à des problèmes, elle gagne en 

valeur d’ordre mathématique. 

3.3. Le rôle des enseignants 

Déjà au début des recherches sur les usages des nouvelles 

technologies, quelques chercheurs avaient montré que des 

tâches même soigneusement conçues ne conduisaient pas 

nécessairement aux apprentissages visés et que les 

interventions des enseignants pouvaient être cruciales (sur la 

notion d’angle avec Logo, Hoyles et Sutherland 1990, sur la 

notion de symétrie axiale avec Logo, Gallou-Dumiel 1989). 

Au cours du temps, le rôle de l’enseignant n’a cessé d’être 

reconnu comme crucial dans l’usage des nouvelles 

technologies (Hoyles et Noss 2003). L’enseignant peut inciter 

les élèves à modifier leurs stratégies de résolution, mais 

surtout il intervient pour relier ce qui est fait sur le logiciel 

avec des savoirs théoriques. C’est ainsi que des chercheurs 

suivant une approche vygotskienne ont utilisé des 

environnements de géométrie dynamique pour médier des 

connaissances mathématiques. Les élèves sont confrontés à 

des tâches dans l’environnement et l’enseignant contribue à 

un processus d’intériorisation en organisant des interactions 

sociales et des discussions collectives dans la classe dans 

laquelle il intervient pour transformer la signification de ce 

qui a été fait dans l’environnement en une signification plus 

proche du sens officiel (à propos de la notion de 

construction géométrique Mariotti 2001, à propos de la 

notion de graphe Mariotti et coll. 2003 et Falcade 2006). 

L’intégration des technologies dans leur pratique n’est donc 

pas une tâche facile pour les enseignants et des recherches 

récentes sur les pratiques d’enseignants dans des classes 

ordinaires ont montré que ces derniers pouvaient réduire le 

potentiel de la technologie pour garder un contrôle sur leur 

classe (Ruthven et coll. 2005). La gestion de la classe est plus 

complexe : les enseignants doivent adapter des exercices du 

manuel pour être utilisés avec la technologie, préparer des 

fiches de travail spécifiques (Monaghan 2004), ils doivent 

articuler connaissances sur la technologie et connaissances 

mathématiques, connaissances anciennes et connaissances 

nouvelles (Assude 2005, Haspekian 2005). Passer de tâches 

dans lesquelles la technologie n’est qu’amplificatrice du 

papier crayon à des tâches nouvelles ne pouvant exister en 

papier crayon demande du temps aux enseignants (Laborde 

2001) qui doivent finalement développer un double 

processus d’instrumentation : 

- l’instrumentation de la technologie pour faire des 

mathématiques 

- l’instrumentation de la technologie pour faire 

apprendre les mathématiques. 

La formation initiale et continue des enseignants est cruciale 

pour le second type d’instrumentation (Mousley, Lambdin 

and Koc 2003, Grugeon 2006, Tapan 2003). 

4. Conclusion 

Cette courte synthèse montre que les technologies nouvelles 

sont à même de changer profondément l’activité 

mathématique à l’école et en conséquence l’enseignement et 

l’apprentissage des mathématiques, mais que l’intégration des 

technologies pour enrichir les apprentissages nécessite de la 

part des enseignants une préparation soigneuse de tâches 

adéquates et ne facilite pas la gestion de classe. 

L’enseignement des mathématiques doit donc construire une 

voie intermédiaire entre deux extrêmes, entre le modus 

vivendi acceptant que la technologie est en dehors de l’école 

et la simple inclusion de technologies en classe sans choisir 

les moments et les occasions mathématiques d’usage, sans 

changement sur les activités données aux élèves. 

L’intégration des technologies doit être objet continu de 

réflexions et de recherche, elle doit être prise en compte dans 

la formation des maîtres et l’évaluation des élèves. Elle ne 

doit pas être un phénomène de mode, mais être ouverte aux 

innovations dans les domaines technologiques pour les 

étudier. Il s’agit d’un ample et long travail prenant en compte 

toutes les dimensions de l’enseignement et engageant tous les 

partenaires de l’école. 




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Monsieur Jean-Marie De Koninck 

Université Laval, Québec 

Professeur à l’Université Laval depuis 1972, Jean-Marie De Koninck est aussi chercheur en théorie 

analytique des nombres. À ce titre, il a publié plus de cinquante articles scientifiques et cinq livres de recherche 

ou d’enseignement. Il est connu du public par ses apparitions régulières à la télévision comme analyste des 

compétitions internationales de natation et comme président-fondateur de la fameuse Opération Nez-Rouge. 

L’ensemble de son œuvre universitaire et sociale lui a valu de nombreux prix et distinctions dont l’Ordre du 

Canada en 1994, l’Ordre national du Québec en 1999 et le prix d’éducation Adrien-Pouliot de la Société 

mathématique du Canada en 2004. 

Lors de l’Année mondiale des mathématiques en l’an 2000, il a animé C’est mathématique ! , une série de 

16 émissions de télévision présentant au grand public les mathématiques et leurs diverses applications. 

Récemment, il a mis sur pied le projet Sciences et mathématiques en action ( SMAC ) dont la mission est d’éveiller et 

renforcer chez les jeunes l’intérêt pour les mathématiques et les sciences, et de démystifier les mathématiques 

auprès de la population en général. La conférence spectacle ShowMath qu’il anime avec ses collaborateurs et 

étudiants est une production de SMAC. Le 18 janvier 2006, le titre de Scientifique de l’année de Radio-Canada 2005 

lui a été décerné par l’équipe du magazine scientifique Les Années lumière pour avoir conçu et réalisé le projet 

SMAC. 



Show Math 

CONFÉRENCE SPECTACLE GRAND PUBLIC 

Qu’est-ce que le nombre π? Quel est son développement décimal? Avec quelle 

fréquence chaque chiffre de 0 à 9 apparaît-il dans ce développement? Peut-on 

trouver sa date de naissance dans le développement décimal du nombre π ? Quelle 

est la probabilité que quelqu'un soit soudainement téléporté sur la planète Mars? 

Comment Escher a-t-il construit son tableau d’une scène de quai distordue? Voilà 

quelques-uns des thèmes abordés à l'aide d'outils multimédias. L'objectif de la 

conférence est de montrer que les mathématiques sont à la base de toutes les 

sciences et qu'elles sont présentes partout dans notre vie de tous les jours. 

Mise en garde : le texte suivant rend compte du spectacle. C’est un texte à propos 

des sciences et non un texte scientifique. Il correspond à peu près au déroulement 

du spectacle. 

Jean-Marie 

De Koninck 

Université Laval 

jmdk@mat.ulaval. 

ca 

assisté de 

Sylvain Hallé et 

Laurent Vicente 

Université Laval 

B 

onjour mesdames et messieurs, 

bienvenue à Show Math! 

Pour vous illustrer que les mathématiques sont 

présentes partout dans notre quotidien, nous 

avons retenu quatre grands thèmes : 

- Une histoire du nombre π. 

- La théorie des probabilités. 

- Les maths dans les arts et dans la musique. 

- Deux phénomènes de physique à saveur 

mathématique : les tsunamis et la résonance. 

1. Une histoire du nombre π 

Au Moyen Âge, la plupart des gens croyaient 

que la Terre était plate. On croyait même que 

si on allait en bateau assez loin sur l'océan, on 

tomberait dans le vide! En fait, il aura fallu 

attendre l'audace d'un Christophe Colomb qui, 

en 1492, entreprit de traverser l'océan sans 

craindre de tomber dans le vide, pour enfin 

découvrir l'Amérique. 

Pourtant, les Grecs de l'Antiquité savaient fort 

bien que la Terre était ronde. Et même, il y a 

plus de 2200 ans, le mathématicien grec 

Ératosthène avait entrepris de mesurer la 

circonférence de la Terre. 

Comment s'y est-il pris? 

Un jour, on lui rapporte que, dans la ville de 

Syène en Égypte, au solstice d'été, à midi, la 

lumière du Soleil tombe d'aplomb, sans former 

d'ombre, au fond d'un puits. À cette même 

date, à la même heure, il observe qu'à 800 km 

de Syène, l'ombre de l'obélisque d'Alexandrie 

forme un angle de 7 o. En prolongeant les 

verticales jusqu'au centre de la Terre, et par un 

simple argument de géométrie (d'angles 

alternes-internes) pas évident à l'époque , il en 

déduit un angle de 7 o au centre de la Terre. 

Comme 7 o correspond à 800 km, il en déduit 

par une règle de trois que 360 o correspond à 

41 143 km, estimant ainsi la circonférence de 

la Terre avec une précision remarquable, 

puisqu'on sait aujourd'hui que le diamètre de la 

Terre à l'équateur est de 40 066 km. 

Avec le nombre π, Ératosthène aurait pu 

calculer le diamètre de la Terre en utilisant la 

formule C = !D , où C désigne la 

circonférence d'un cercle de diamètre D. C'est 

ce qui m'amène aujourd'hui à vous parler du 

nombre π, ce nombre qui vaut 

approximativement 3,141592. 



Show Math Jean-Marie DeKoninck 

Définition du nombre π 

Comment peut-on voir le nombre π? Il suffit de se donner 

un segment de longueur un et de tracer autour de ce segment 

un cercle de diamètre D=1. Lorsqu'on déroule ce cercle, on 

obtient un nouveau segment d'une longueur égale à π. 

Voilà donc les fameuses décimales du nombre π : 

π=3,14159265… 

Une loi fixant la valeur exacte de π 

Pendant des milliers d'années, les mathématiciens se sont 

acharnés à calculer les décimales du nombre π avec de plus 

en plus de précision. J'ai dit mathématiciens..., mais il n'y pas 

que les mathématiciens qui se soient intéressés au calcul des 

décimales du nombre π. Il y a même les politiciens. En effet, 

en 1897, dans l'État d'Indiana, un politicien excentrique 

rédige un projet de loi dans lequel il entend fixer la valeur de 

π d'abord à 3,1, ensuite à 3,2, un peu plus loin à 3,4, mais ce 

n'est pas clair, de sorte que son projet de loi est même 

contradictoire. Il prétend même avoir démontré la quadrature 

du cercle et la trisection de l'angle. Il prétendait aussi avoir 

démontré de grandes conjectures mathématiques sur 

lesquelles de grands mathématiciens avaient bûché pendant 

plusieurs années. Fort heureusement, on n'a pas écouté ce 

politicien, et son projet de loi n'a jamais été adopté. La 

recherche des décimales du nombre π a de nouveau été 

confiée aux scientifiques. Voilà pour la petite anecdote 

historique concernant le nombre π. 

Dates mémorables se retrouvant dans le 

développement décimal du nombre π 

Aujourd'hui, on connaît au moins mille milliards de 

décimales du nombre π. Voilà qui est fort impressionnant. 

En effet, si on entreprenait de mettre sur papier le premier 

milliard de ces décimales, disons à raison de 500 décimales 

par page, il faudrait une pile de feuilles d'une hauteur de 300 

mètres, soit la hauteur de la tour Eiffel. 

Bien des gens sont fascinés par les décimales de π. C'est ainsi 

qu'il y a plus d'un an, la compagnie Google a décidé de 

vendre des actions à la Bourse. Ayant rapidement vendu 

toutes ses actions, elle en a émis, en août 2005, une deuxième 

série, et elle en a émis exactement 14 159 265, soit les huit 

premières décimales du nombre π. 

Par ailleurs, on sait depuis 1761 que π est un nombre 

irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire comme un 

a 

quotient de deux entiers, de sorte que ! " , quels que 

soient les entiers a et b. En particulier, cela veut dire que le 

développement décimal du nombre π n'a pas de période. 

On croit même que π est un nombre normal, i.e. que chacun 

de ses chiffres apparaît selon la même fréquence : cela veut 

dire que le chiffre 0 apparaît environ une fois sur 10, que le 

nombre 1 apparaît environ une fois sur 10, et ainsi de suite. 

Le fait qu'il est normal veut aussi dire que toute séquence de 

chiffres, par exemple la séquence "137", apparaît selon la 

fréquence attendue. Ainsi, la séquence "137" devrait 

b 

normalement apparaître 1 fois sur 1000. En particulier, cela 

veut dire que si on fait défiler les décimales du nombre π, on 

devrait pouvoir retrouver toutes les dates mémorables. Par 

exemple, si on cherche la date où le premier homme, en 

l'occurrence l'Américain Neil Armstrong, a marché sur la 

Lune, i.e. le 21 juillet 1969, que l'on abrège par 210769, alors 

effectivement on retrouve le premier chiffre de cette date à la 

545 534e décimale du nombre π. 

Les dates d'anniversaire 

Parlant de dates, il y a d'autres dates importantes dans π… Y 

a-t-il quelqu'un dans la salle qui soit né le 23 juillet? 

Oui ?? ... 

Saviez-vous que votre date de naissance (le 23-07) est le 

premier anniversaire qui apparaît dans le développement 

décimal du nombre π? Il apparaît à partir de la 63e décimale. 

La 2e date qui y apparaît est le 28 mars. En fait, tous les 

anniversaires y apparaissent. Le dernier anniversaire à surgir 

(serait-ce le moins populaire ?) est le 12 mars . 

D'ailleurs, si vous voulez connaître à quel rang votre date 

d'anniversaire apparaît dans le développement décimal de π, 

vous pourrez en prendre connaissance en consultant le site 

de SMAC, soit www.smac.ulaval.ca. On doit également 

s'attendre à ce que le développement décimal de π contienne 

toutes les combinaisons gagnantes de la loterie 6/49, passées 

et à venir! Donc, si vous êtes chanceux, vous allez trouver, 

dans le développement décimal de π, la prochaine 

combinaison gagnante de la 6/49, sinon... parlez-en à votre 

dépanneur du coin... il saura sûrement vous démêler...!! 

2. La théorie des probabilités 

Mais revenons aux anniversaires... 

2.1 Le problème des anniversaires 

Supposons que vous êtes dans une fête où il y a 10 

personnes. Y a-t-il de bonnes chances que deux d'entre elles 

soient nées le même jour de l'année. Pas beaucoup? En fait, 

combien faut-il de personnes dans une fête pour être certain 

à 100 % qu'au moins deux d'entre elles aient le même 

anniversaire? Il est clair qu'il en faut 366 (si on ne tient pas 

compte des années bissextiles). Mais alors, d'après vous, 

combien faut-il de personnes dans une fête pour qu'on ait au 

moins 50 % de chances qu'il y en ait au moins deux qui aient 

le même anniversaire? 50, 100, 200 ? 

En fait, 23 suffisent. Comment fait-on pour calculer ça? 

Examinons d'abord la probabilité que ça n'arrive pas. 

Par exemple, s'il y a 3 personnes à la fête, alors la probabilité 

qu'il n'y ait pas deux personnes avec le même anniversaire est 

365 364 363 

égale à ! ! = 0, 9917 . De sorte que la 



365 

365 

365 

probabilité qu'il y ait au moins deux personnes avec le même 

anniversaire est égale à environ 1 %, ce qui n'est pas 

tellement surprenant! 

Si on a 10 personnes à la fête, alors la probabilité qu'il n'y ait 

aucun double est égale à


365 364 363 356 

! ! ! ... ! = 0,883 . Or, on aimerait que 

365 365 365 365 

cette dernière quantité soit inférieure à 1/2 afin que la 

probabilité cherchée soit au moins 1/2. 

Effectivement, lorsqu'on a 23 personnes à la fête, on obtient 

que la probabilité qu'il n'y ait aucun double est égale à 

professeur ne retrouve nulle part ni 5 piles d'affilée, ni 5 faces 

d'affilée, c'est que l'étudiant a vraisemblablement triché et 

c'est certain à 99,9 % . 

On a l'impression d'avoir rencontré un événement qui 

n'arrive pas souvent, pourtant il existe des événements 

encore moins probables... 

365 364 363 343 

! ! ! ... ! = 0, 4927 

365 365 365 365 

2.3 La probabilité d'événements hautement 

improbables 

C'est pourquoi, si on a 23 personnes à la fête, on a environ 

une chance sur 2 qu'il y ait au moins deux personnes avec le 

même anniversaire. 

Si on veut que cette probabilité excède 90 %, combien de 

personnes faut-il à la fête? La réponse est 41; pour une 

certitude de 99 %, il en faut 56. 

Quelle est la probabilité que 3 personnes aient le même 

anniversaire? 

Autrement dit, combien faut-il de personnes dans une fête 

pour que la probabilité qu'au moins 3 aient le même 

anniversaire excède 1/2? La réponse est 84. 

Pour ces deux derniers résultats, il faut faire appel à une 

notion un peu plus avancée, soit la loi de Poisson. 

2.2 Comment savoir si quelqu'un a triché en 

tirant à pile ou face? 

Un professeur donne en devoir à ses étudiants un exercice à 

emporter à la maison qui consiste à tirer à pile ou face 200 

fois et à inscrire le résultat de leur expérience. Pour savoir 

s'ils ont fait correctement leur devoir, le professeur vérifie si 

le résultat contient 5 piles ou 5 faces d'affilée. Si oui, il 

accorde une note de 100 %; sinon, il accorde une note de 0. 

Comment le professeur peut-il être certain de son coup? 

Plus précisément, si on tire à pile ou face 200 fois, on se 

demande d'abord quelle est la probabilité qu'on n'obtienne 

nulle part 5 fois PILE d'affilée. Pour donner la réponse, 

nous allons d'abord introduire la suite de Fibonacci, dont on 

parle d'ailleurs dans le roman de Dan Brown intitulé "Da 

Vinci Code". 

Il s'agit de la suite 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … où chaque terme de la suite 

(à partir du 3e) est la somme des deux précédents. 

Considérons maintenant la suite 

1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, … où chaque terme de la 

suite (à partir du 6e) est la somme des 5 termes précédents. 

Soit Gn le terme général de cette suite. 

Alors, on peut démontrer que, si on tire à pile ou face 200 

fois, la probabilité qu'on n'obtienne nulle part 5 fois PILE 

d'affilée est égale à 

G 202 

= 200 

2 

54791153834410200521357534972264192268144873494441741342508 

Parlant de hasard, il y a des situations où connaître les lois de 

la probabilité peut être très utile, par exemple si vous êtes 

1606938044258990275541962092341162602522202993782792835301376 

invité à participer à un spectacle de télé... 

! 0, 034 

De sorte que la probabilité d'obtenir ni 5 piles ni 5 faces 

d'affilée est égale à 0, 034 2 ! 0, 001 . C'est donc dire que si le 

Le singe qui tape à la machine à écrire 

Prenons par exemple un singe qui tape à la machine à écrire 

au hasard, disons un caractère à la seconde. Combien faudrat-il 

attendre d'années pour qu'il arrive à taper les 6 premiers 

romans de Harry Potter? 

On va faire un certain nombre de calculs : 

Le nombre total de pages est 2764. 

Il y a environ 2120 caractères par page. 

Il y a donc un total de 5 859 680 caractères dans les 6 romans 

réunis. En supposant que le singe tape un caractère à chaque 

seconde et qu'il a une chance sur 100 de taper le bon 

caractère, alors on peut établir qu'il faudra attendre environ 

10 12 100 000 secondes, i.e. plus de 10 12 099 993 années. 

Il faudra donc être patient, surtout si on se rappelle que l'âge 

de l'univers est d'environ 15 ×10 9 années. 

Mécanique quantique 

Joe est en train de boire sa bière. D'après les lois de la 

mécanique quantique, un électron peut se retrouver à deux 

endroits en même temps. Il est donc possible que certaines 

particules élémentaires de son verre de bière se retrouvent 

soudainement sous la table. Il est ainsi possible qu'à cause 

des fluctuations quantiques, son verre de bière se renverse 

sans que Joe n'y soit pour rien. Mais en utilisant les lois de la 

probabilité, on peut estimer que le temps qu'il faudra 

attendre pour que son verre de bière se renverse tout seul est 

de l'ordre de 10 à la puissance 10 33 années. Il faudra donc 

être patient... Mais il y a plus rare... 

Téléportation 

Toujours en raison des fluctuations quantiques, il est possible 

que soudainement vous soyez téléporté sur la planète Mars; 

mais il n'y a pas vraiment lieu de s'inquiéter, car cela se 

produira une fois toutes les 10 à la puissance 10 51 années. 

En fait, on a davantage de chances de gagner 

systématiquement tous les tirages de la 6/49, en admettant 

même qu'il y ait un tirage chaque seconde, durant toute 

l'année, jusqu'à la fin de ses jours, même si on pouvait vivre 

jusqu'à l'extinction du soleil dans plus de 4 milliards d'années, 

que d'être soudainement téléporté sur la planète Mars. 




2.4 Le problème de Monty Hall (ou le 

problème des trois portes) 

Explication du problème par l'animateur : Il y a devant vous 

3 portes. Derrière une de ces portes se trouve un cadeau de 

250 000 $; derrière les deux autres portes se trouvent... des 

mouches. L'animateur invite le concurrent à choisir une des 

trois portes. Ce dernier choisit la porte numéro 2. 

C'est alors que, dans un élan de générosité, l'animateur 

s'adresse au concurrent et lui dit : 

« Comme je sais où est le cadeau et comme je suis infiniment 

fin, je vais vous donner une chance... je demande donc que 

l'on ouvre la porte numéro 1. » 

La porte numéro 1 s'ouvre et on constate qu'elle cache des 

mouches! L'animateur s'adresse de nouveau au concurrent : 

« Comme je suis infiniment fin, je vais vous donner une 

chance en vous offrant de changer d'idée. Soit vous décidez 

de conserver la porte numéro 2, ou alors vous décidez de 

porter votre choix sur la porte numéro 3. » 

Le concurrent réfléchit. Comme il a peu de temps, il décide 

de consulter un expert... un mathématicien. Ce dernier lui dit: 

« Je vous conseille de changer de porte et de choisir la porte 

numéro 3. La raison est la suivante. Quand vous avez choisi 

la porte numéro 2, vous étiez conscient d'avoir une chance 

sur 3 que le cadeau soit derrière cette porte; vous étiez par le 

fait même conscient qu'il y avait exactement 2 chances sur 3 

que le cadeau soit derrière l'une des deux autres portes, i.e. 

soit la 1, soit la 3. Mais l'animateur, qui sait où est le cadeau, a 

choisi d'ouvrir la porte numéro 1. C'est pourquoi vous avez 2 

chances sur 3 que le cadeau soit derrière la porte numéro 3 

(puisque le cas de la numéro 1 est réglé!). » 

Voyant le concurrent hésiter, le mathématicien décide de 

renchérir avec une autre explication : 

« Imaginez qu'il y ait non pas 3 portes, mais plutôt 1 000 

portes. Au départ, vous en choisissez une; il est clair que 

vous avez seulement une chance sur 1000 de gagner. Vos 

chances de gagner sont faibles, n'est-ce pas? Mais le jeu 

continue et il reste 999 portes dont une est peut-être la 

bonne (et c'est même presque certain). Or, l'animateur, pour 

vous donner une chance, entreprend alors d'ouvrir 998 

portes -- évidemment parmi celles qui ne contiennent pas le 

gros lot. Il reste alors deux portes : la première que vous avez 

choisie, et celle que l'animateur n'a pas ouverte. Qu'allez-vous 

faire? En réalité, si vous changez votre choix, vous avez alors 

99,9 % de chances de gagner le gros lot! » 

Si vous n'êtes pas convaincu, on vous encourage à visiter le 

site de SMAC. On vous offre de faire le jeu en accéléré. 

L'ordinateur va jouer pour vous. Vous pouvez demander à 

l'ordinateur de jouer 100 fois avec la première stratégie, i.e. 

de ne pas changer d'idée après avoir choisi la première porte : 

vous allez voir que vous gagnez environ 1 fois sur 3. Ensuite, 

vous demandez à l'ordinateur de jouer encore 100 fois, mais 

avec la deuxième stratégie, i.e. en optant pour l'autre porte 

(celle non choisie au préalable) : vous allez constater que 

vous gagnez alors 2 fois sur 3. 

Il n'y a pas que dans le hasard qu'il y a des maths, il y a aussi 

dans les arts. 

3. Les arts et la musique 

3.1 Les dessins d'Escher 

Maurits Cornelis Escher (1898-1972) est un des plus célèbres 

artistes graphiques de tous les temps. Il est particulièrement 

connu pour ses structures dites impossibles, comme le 

tableau des montées et des descentes : c'est tout à fait contreintuitif, 

voire même troublant. Il y a aussi le tableau des deux 

mains. Un de ses fameux tableaux est une distorsion d'une 

scène de quai. Mais ce tableau se distingue particulièrement 

des autres, en ce sens que l'on peut apercevoir au centre du 

dessin une région floue (où la signature d'Escher a d'ailleurs 

été apposée), comme si l'artiste n'avait pas réussi à compléter 

son dessin. Voilà un mystère qui a piqué la curiosité du 

mathématicien Hendrik Lenstra, qui a aussitôt entrepris de 

l'éclaircir. Son objectif était de reconstituer la partie 

inachevée du dessin. 

Bien qu'Escher fût fasciné par des concepts mathématiques 

visuels, il n'avait qu'une formation mathématique de niveau 

secondaire. Lenstra s'est vite rendu compte qu'Escher avait 

d'abord fixé les bases de son dessin sur un quadrillé de lignes, 

en faisant grossir chaque carré par un facteur 256 tout en 

effectuant une rotation autour du centre de la grille. Il plaça 

alors la grille originale au-dessus de son dessin non tordu et 

entreprit de translater le dessin original depuis la grille droite 

vers la grille modifiée, un petit carré à la fois. 

Lenstra a alors constaté que le fait de grossir ou de diminuer 

le dessin non tordu par un facteur 256 donnait encore une 

fois le même dessin : cela veut dire que lorsqu'on fait un 

zoom ou encore une "mise en abîme" (l'équivalent de grossir 

256 fois), on retrouve à nouveau le dessin original. 

Mathématiquement parlant -- et c'est là qu'Escher était peutêtre 

confus -- le dessin original est périodique selon un 

facteur multiplicatif de 256. 

Mais, qu'en est-il de la période du "dessin tordu"? Lenstra a 

constaté que sa période est un nombre complexe, plutôt 

qu'un nombre réel. Cette reconstitution permettait de 

résoudre la question de ce qui aurait dû apparaître au centre 

du dessin. Le problème n'était pas complètement résolu, car 

il restait à trouver la valeur exacte de cette période complexe. 

Lenstra a alors obtenu la valeur exacte de cette période, en 

montrant par surcroît que cette valeur était unique. En fin de 

compte, on peut se demander pourquoi Escher n'avait pas 

complété son dessin. L'explication la plus plausible est 

qu'Escher avait une vague idée que les objets rapetissaient au 

centre du dessin, mais il savait qu'il fallait qu'il arrête quelque 

part, et c'est pourquoi il aurait laissé ce blanc en plein centre. 

C'est bien connu, il y a aussi des maths dans la musique. 

3.2 Les entiers baroques 

On va maintenant voir comment on peut, à partir d'une suite 

de nombres, créer une musique qui plaît à l'oreille. 

Construisons d'abord, à l'aide d'un algorithme, une suite 

toute simple, et à chaque nombre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 

associons les notes do, ré, mi, fa, sol, la, si, do, et en répétant 

ainsi avec les nombres 9, 10, 11, ... écoutons ce que ça donne 

comme musique. 




Ce qu'on vient de faire, c'est d'utiliser un algorithme pour 

construire une suite de nombres et ensuite d'écouter la 

symphonie des nombres. 

Écoutons une autre suite… 

Écoutons une 3e suite… 

On pourrait aussi "faire jouer" deux suites en même temps. 

Voici ce que ça peut donner... C'est comme si à tout 

algorithme de construction de nombres, on pouvait associer 

une interprétation musicale. 

3.3 Les MP3 

Restons dans le domaine de la musique. Vous connaissez les 

MP3 ?? Ça demande beaucoup de compression -- les maths 

peuvent servir... Les maths peuvent aussi servir pour la 

compression des fichiers MP3. 

Au fait, ça veut dire quoi un MP3 ? 

MP3 = Moving Picture Expert Group Layer 3 

(=compression audio) (Abréviation de MPEG) 

Un son, c'est une onde (la plus simple, un sinus) qui se 

propage dans un haut-parleur. Celle-là fait 440 Hz et, à 

l'oreille humaine, voici ce que ça donne... 

Une autre onde, avec une période plus courte, disons avec 

une fréquence de 660 Hz, donne un son plus aigu, que voici 

.... Supposons qu'on veut les écouter en même temps. 

Mettons-les ensemble, additionnons les deux sinus, i.e. les 

deux hauteurs, et voici le son résultant, qui est encore une 

onde, soit tout simplement la somme des deux ondes 

précédentes, i.e. la somme des hauteurs, la somme des deux 

sinus. La résultante, c'est la somme de l'onde bleue et de 

l'onde verte : c'est donc 440 Hz + 660 Hz. On a donc 

seulement deux nombres à retenir plutôt que l'onde au 

complet. Voilà donc déjà un principe : on n'a qu'à retenir les 

composantes fondamentales qui sont les fréquences 

respectives. Mais dans la réalité, qu'est-ce qui arrive si je 

prends le son dans un spectacle rock? 

On a alors une onde très compliquée. Mais alors, l'onde 

résultante est la somme de quoi ??? C'est là qu'intervient un 

mathématicien français, Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768- 

1830). Il a démontré que tout signal périodique (par exemple 

une pièce de 3 minutes) est la somme de sinus : ça marche 

tout le temps! Et il a aussi développé une méthode pour le 

faire!!! 

Pour en revenir à nos MP3, examinons d'abord la courbe de 

réponse de l'oreille humaine -- échelle logarithmique -- de 

grave à aiguë – bonne oreille : jusqu'à 20 000 Hz. Sur l'axe 

vertical, on a l'intensité du son (en décibels). Pour une même 

intensité, écoutons le son avec d'abord du sinus de 20 Hz, de 

..., de 10 000... On a l'impression que le son est plus fort. 

Les animaux ont une capacité auditive supérieure à celle des 

humains (on est un peu des handicapés sur le plan auditif). 

Mais ce handicap fait notre affaire lorsqu'il s'agit d'enregistrer 

de la musique... Avec les MP3, on élimine les fréquences 

qu'on n'entend pas, i.e. les trop graves et les trop aiguës; en 

éliminant tous les sons sous cette courbe, on flush sans que 

ça paraisse. On retient ainsi, somme toute, seulement 10 % 

du son original, une belle économie de mémoire! 

Écoutons un extrait d'un MP3 où on a éliminé les sons 

inutiles.... On ne s'aperçoit pas qu'il manque des sons! La 

courbe de réponse de l'oreille du Martien (merci à la NASA 

pour nous avoir fourni cette information... zone 51) nous 

permet de constater ce que le Martien est capable d'entendre. 

Pour enregistrer de la musique sur un MP3 martien, il 

faudrait éliminer tous les sons situés sous sa courbe 

d'entendement. De sorte que si on voulait, nous, écouter de 

la musique sur un MP3 martien, voici ce que l'on entendrait... 

de quoi ne pas apprécier les Beatles. 

Maintenant, la courbe de réponse de l'oreille du saturnien... 

Comme quoi la compression est basée sur les caractéristiques 

de l'oreille humaine. 

4. Problèmes de physique 

Comme on approche de la fin de cette présentation, on peut 

peut-être devenir un peu moins sérieux, tout en gardant un 

esprit scientifique. 

Allons-y donc avec deux phénomènes que l'on rencontre en 

physique. 

4.1 Les tsunamis 

On parle beaucoup, ces temps-ci, d'un phénomène naturel 

récurrent, soit le tsunami. Pour en savoir plus, nous allons 

rejoindre le Professeur Passimplepantoute dans son bureau 

au Centre de recherche Icitontrouve. 

jmdk : --Bonjour Professeur Passimplepantoute, comment 

allez-vous aujourd'hui, au Centre de recherche Icitontrouve? 

prof : -- Aujourd'hui, je suis allé en voiture avec un collègue, 

mais habituellement je viens à pied, à moins qu'il pleuve 

auquel cas je viens en autobus, mais s'il pleut beaucoup, je 

viens en métro, et si.... (le prof est interrompu par l'homme 

de ménage (HM)). 

HM -- Pas ça... il veut savoir comment ça va! 

jmdk : -- Vous m'avez l'air en plein déménagement, est-ce 

que vous déplacez des choses, est-ce qu'on vous dérange ? 

prof : ... Pas du tout, il n'y a rien qui bouge! 

jmdk : -- Peu importe... Professeur, on aimerait que vous 

nous parliez des tsunamis. On a entendu aux nouvelles que la 

vague d'un tsunami pouvait voyager à 700 km/h en pleine 

mer; pourtant, la vague n'atteint pas les rives à une telle 

vitesse, n'est-ce pas? 

prof : -- En réalité, il est bien connu que la vitesse de la vague 

est proportionnelle à la racine carrée de la profondeur de 

l'océan, selon la formule v = c ! h de sorte que... (il est 

interrompu par HM). 

HM : -- Plus elle s'approche, plus elle ralentit! 

jmdk : -- On a également entendu que la hauteur de la vague 

en pleine mer était de seulement quelques centimètres. Mais 

alors comment se fait-il que l'on a vu des vagues d'une 

hauteur de plus de 10 mètres sur les plages? 

prof : -- C'est que l'amplitude de la vague est, au contraire, 

inversement proportionnelle à la racine carrée de la 

profondeur du fond de l'océan, selon la formule h = 0 c 

h de 

sorte que... (il est interrompu par HM). 

HM : -- Plus elle s'approche, plus elle est haute! 

jmdk : -- On a aussi entendu parler dans les médias de 

"mega-tsunamis" qui se caractérisent par des vagues de plus 




de 300 mètres qui pourraient atteindre la cote est des États- 

Unis. 

prof : -- En effet, il est possible que depuis les Îles Canaries, 

aux abords de l'Afrique du Nord, puisse se former un mur 

d'eau d'une hauteur de 300 mètres, créant une vague pouvant 

traverser l'océan Atlantique à une vitesse de l'ordre de 1000 

km/h ... 

HM : -- À la vitesse d'un jet! 

prof : -- … pour atteindre la ville de New York, et c'est ce 

qu'on appelle un mega-tsunami. 

jmdk : -- Mais qu'est-ce qui peut provoquer une vague si 

démesurée? 

prof : -- C'est un gigantesque glissement de terrain ou, si vous 

voulez, un formidable éboulis... 

jmdk : -- Un éboulis ? 

prof : -- La définition scientifique d'un éboulis, c'est... (le prof 

est alors interrompu par un grondement (effet de son!) et on 

voit alors les piles de livres derrière lui se mettre à débouler 

sur son bureau...). 

HM : -- C'est ça un éboulis, et pis ça arrive trois fois par jour 

dans son bureau... 

jmdk : -- On a compris... mais qu'arriverait-il aux New- 

Yorkais advenant un tel scénario? 

prof : -- Voilà une situation qui pose problème et que l'on n'a 

jamais vécue... Hypothétiquement, le choc d'une si grosse 

vague pourrait causer des perturbations incommensurables 

sur les structures matérielles, de sorte que le sort des 

habitants new-yorkais, comment dirais-je... 

HM : -- Ils vont être faits à l'os! 

jmdk : -- Mais quelle est la probabilité qu'un tel événement se 

produise? 

prof : -- De tels événements sont très rares, le dernier est 

arrivé il y a 4 000 ans sur l'Île de la Réunion. Mais il existe sur 

l'Île de La Palma dans les Canaries un volcan qui a fait 

éruption en 1949. Durant cette éruption, une immense 

crevasse est apparue d'un côté du volcan. Alors que le volcan 

ne présente aucun danger lorsqu'il est calme, les scientifiques 

croient que son versant ouest cédera lors d'une future 

éruption. En d'autres mots, d'ici les prochains millénaires, 

une portion de La Palma, pesant 500 mille millions de 

tonnes, va tomber dans l'Océan Atlantique. Donc, d'ici 

quelques milliers d'années... 

HM : -- il y a pas d'inquiet, ça arrivera pas! 

jmdk : -- Professeur Passimplepantoute, je vous remercie 

infiniment pour vos explications... (le prof interromp jmdk 

pour dire). 

prof : -- mais j'oubliais de vous présenter mon collègue (en 

pointant HM) le Professeur Archisimple. Vous voyez... 

depuis les coupures, on fait le ménage chacun notre tour (il 

prend alors la casquette de HM et se la met sur la tête et saisit 

ensuite la moppe des mains de HM, alors que ce dernier 

vient s'asseoir à la place du prof...). 

Fort heureusement, des bureaux comme ça, il n'y en a pas à 

l'Université Laval! 

4.2 Un autre phénomène de la physique : la 

résonance 

La tragédie du pont de Tacoma 

Vous avez tous entendu dire que la ville de Kobe au Japon, 

en 1995, a été en partie détruite par un tremblement de terre. 

Vous avez aussi entendu parler du verre de vin cassé par la 

voix aiguë d'un chanteur d'opéra... Voilà deux situations qui 

ont en commun le phénomène de la résonance! 

Voici comment le professeur Passimplepantoute aurait défini 

le phénomène de la ré-so-nan-ce : 

« La résonance est l'augmentation de l'amplitude des 

oscillations d'un système électrique ou d'un système 

mécanique qui est excité par une force externe périodique 

dont la fréquence est égale à la fréquence naturelle du 

système. » 

Voici maintenant comment le professeur Archisimple aurait 

défini le phénomène de réso-nan-ce. Il aurait utilisé l'exemple 

de la balançoire. Imaginez une petite fille qui se balance 

tranquillement sur une balançoire. Son père, qui est placé 

derrière elle, l'observe. Il décide alors de fournir une 

impulsion additionnelle (= une force externe) pour 

augmenter l'amplitude de la balançoire. Il entre ainsi en 

résonance avec le mouvement de sa fille. S'il continue à 

exercer une force externe, éventuellement l'amplitude du 

mouvement pourrait devenir trop grande, à un point tel que 

la petite fille pourrait s'envoler en quittant le siège de la 

balançoire. 

Voilà qui n'est pas souhaitable! 

La résonance est un phénomène courant... parfois 

dramatique. Ce fut le cas en 1940 lorsque, à cause de la force 

du vent (pourtant un faible vent d'environ 55-60 km/h), le 

pont Narrow de Tacoma dans l'État de Washington s'est 

effondré. Les scientifiques ont identifié la résonance comme 

la cause de l'accident. Mais des détectives amateurs ont émis 

une autre hypothèse... 

Merci à vous tous. Bonne fin de journée, et merci à tous ceux 

et celles qui ont contribué à Show Math. 

GÉNÉRIQUE 



ATELIERS 





Pour une plus grande harmonisation 

dans la transition 

du primaire au secondaire 

en mathématiques 

Dans le cadre d’une recherche collaborative, une équipe d’enseignantes du 3e cycle 

du primaire et du 1er cycle du secondaire ont mis en commun leurs préoccupations, 

leurs expériences et leurs connaissances concernant un moment clé dans le 

cheminement des élèves : la transition du primaire au secondaire. Au cours de cet 

atelier, les animatrices partageront avec les participants les pistes d’intervention, et 

plus particulièrement celles concernant l’aspect de la résolution de problèmes, sur 

lesquelles elles ont travaillé et qui ont donné lieu à des expérimentations en classe. 

Nadine Bednarz, 

Université 

du Québec 

à Montréal, 

nadinebednarz@ 

yahoo.ca 

Josée Lafontaine, 

École Notre- 

Dame-de-Fatima 

Mélanie Auclair, 

Polyvalente 

la Frontalière 

Carole Morelli, 

cmorelli@ 

cshc.qc.ca et 

Chantal Leroux, 

Commission 

scolaire des 

Hauts-Cantons 

a transition du primaire au secondaire 

en mathématiques, comme d’autres 

transitions institutionnelles (du 

préscolaire au primaire, du secondaire au 

postsecondaire), est un élément clé à 

considérer en lien avec le cheminement des 

élèves et leur apprentissage (Durand-Guerrier, 

2003, Bloch, Kientega, Tanguay, 2006). Ces 

transitions sont en effet souvent à la source de 

difficultés importantes chez les élèves. Dans le 

cas plus spécifiquement ciblé, celui de la 

transition du primaire au secondaire, l’analyse 

des deux programmes de formation en 

mathématiques (MEQ, 2000, MELS, 2003) 

met en évidence, sur le plan des savoirs 

essentiels, que plusieurs contenus 

mathématiques communs se retrouvent au 

troisième cycle du primaire et au premier cycle 

du secondaire. C’est le cas par exemple du 

travail sur les nombres et les opérations, les 

nombres naturels, les fractions et les nombres 

décimaux qui sont traités autant au primaire 

qu’au début du secondaire1 L 

. Il en est de même 

1 

Ainsi, par exemple, le travail sur le sens de la 

fraction est abordé au primaire et au début du 

secondaire, de même que la comparaison et la 

notion de fractions équivalentes. Celui sur les 

opérations sur les fractions (sens et calcul), amorcé 

à la fin du primaire (addition, soustraction de 

de la mesure, de la géométrie, des probabilités, 

des statistiques où certaines composantes 

communes se retrouvent aux deux niveaux. 

Pourtant, les élèves ont souvent de la difficulté 

à reconnaître dans ce qu’ils font ces aspects 

communs, les manières d’approcher ces 

savoirs essentiels aux deux niveaux scolaires 

étant souvent fort différentes. Par ailleurs, le 

passage du primaire au secondaire fait aussi 

appel, pour les élèves, à des changements 

conceptuels importants. C’est le cas par 

exemple du passage de l’arithmétique à 

l’algèbre (Bednarz, Janvier, 1996), ou d’une 

géométrie empirique à une géométrie plus 

déductive au secondaire (Salin, 2003). 

À travers ce qui précède, on perçoit bien 

l’intérêt qu’il y a à s’attarder à cette transition, 

de manière à mieux comprendre ce qui se 

passe de part et d’autre, à chacun des niveaux 

scolaires, et à mieux penser leur articulation. 

Comment prendre en compte les apprentis- 

fractions dont le dénominateur de l’un est multiple 

de l’autre, multiplication d’un nombre naturel par 

une fraction), est repris au secondaire et poussé 

plus loin en introduisant les quatre opérations sur 

les fractions. On voit bien dans cet exemple le 

recoupement qu’il y a entre les savoirs essentiels 

travaillés à la fin du primaire et au début du 

secondaire. 



Pour une plus grande harmonisation dans la transition du primaire au secondaire en mathématiques Nadine Bednarz 

-sages, les enseignements réalisés à chacun des niveaux? 

Comment travailler à une meilleure articulation entre les deux 

niveaux de manière à aider les élèves à effectuer ce passage et 

à progresser dans leurs apprentissages? 

Ce questionnement est à l’origine d’un projet de recherche 

collaborative qui s’est déroulé sur deux années, au cours des 

années scolaires 2004-2006. Ce projet a réuni des 

enseignantes et enseignants du début du secondaire 

(secondaire 1) provenant des différentes polyvalentes de la 

Commission scolaire des Hauts-Cantons, des enseignantes et 

enseignants provenant des écoles primaires associées à 

chacune de ces polyvalentes (écoles sources), intervenant au 

3e cycle du primaire. Ont ainsi participé à cette recherche, 

pour le secondaire Marie-Pierre Beaudoin (Polyvalente 

Louis-Saint-Laurent, East Angus), Louis Pomerleau 

(Polyvalente Montignac, Mégantic), Mélanie Auclair 

(Polyvalente la Frontalière, Coaticook), pour le primaire 

Marc-André Barrette (École Louis-Saint-Laurent, Compton), 

Josée Lafontaine (École Notre-Dame-de-Fatima, Lac 

Mégantic), Marie-Ève Péloquin (École St-Camille, 

Cookshire), Sylvie Roy (École Du Parchemin, East Angus), 

Isabelle Rodrigue (École Notre-Dame-du-Sacré-Cœur, 

Weedon). L’équipe de recherche était également formée de 

Nadine Bednarz, professeure à l’UQAM, et de Carolle 

Morelli et Chantal Leroux, toutes deux conseillères 

pédagogiques, respectivement au primaire et au secondaire, à 

la Commission scolaire des Hauts-Cantons. 

1. Le point de départ du travail de 

l’équipe et les thèmes plus 

spécifiquement ciblés dans les rencontres 

Au départ, il est apparu important à l’équipe de mieux 

connaître ce qui se fait, dans la pratique, au primaire et au 

secondaire en mathématiques. Les enseignants du secondaire 

côtoient en effet rarement les enseignants du primaire, et 

connaissent mal ce qu’ils font, leurs attentes, leur manière de 

fonctionner; ils connaissent peu le programme du primaire, 

ce qui se vit actuellement en contexte de réforme, les 

questions qui se posent… De la même façon, les enseignants 

du primaire côtoient rarement les enseignants du secondaire 

qui recevront leurs élèves, connaissent mal leur manière de 

fonctionner, leurs attentes, leur programme… De l’avis 

même des enseignants et enseignantes qui ont travaillé à ce 

projet, ces derniers vivent souvent dans deux mondes, dans 

deux cultures différentes qui se côtoient rarement. Pour 

briser cet isolement, nocif pour les deux niveaux et les élèves 

concernés, nous avons cherché à mettre en place une 

collaboration s’étalant sur une longue durée (deux ans) qui 

permette un apprivoisement progressif de la réalité vécue de 

part et d’autre, et un véritable engagement dans un projet 

conjoint. 

Les échanges, concrètement durant les rencontres, ont porté 

tout d’abord sur ce qui se fait de part et d’autre dans la classe, 

sur le matériel utilisé, sur le programme (un parallèle a été fait 

entre les deux programmes en termes de savoirs essentiels), 

sur ce qui se fait en lien avec la réforme en cours au primaire. 

Toutefois pour éviter que le travail ne reste général, des 

thèmes plus spécifiques ont vite été ciblés par l’équipe pour 

avancer sur la question de l’arrimage entre les deux niveaux, 

en lien avec des difficultés communes observées par les 

enseignants et enseignantes chez leurs élèves au primaire et 

au secondaire. 

Parmi un ensemble de thèmes possibles permettant 

d’aborder concrètement la transition entre le primaire et le 

secondaire en mathématiques, les enseignantes et les 

enseignants de l’équipe ont choisi de travailler sur les 

habiletés de calcul et la résolution de problèmes, deux 

domaines où les élèves éprouvent des difficultés aux deux 

niveaux. 

La question de la transition primaire secondaire en 

mathématiques a donc été abordée à partir de ces 

thématiques précises, ancrées dans le contexte de ces 

enseignants, partant de leur pratique, des difficultés 

observées, et ce, dans un souci de travailler à l’élaboration 

d’interventions facilitant le passage primaire secondaire pour 

les élèves et cherchant à les aider à progresser dans leurs 

apprentissages. 

Dans ce texte, nous revenons plus particulièrement sur une 

des thématiques, celle de la résolution de problèmes. 

2. Le travail plus spécifique sur le thème 

de la résolution de problèmes 

Pour faciliter un meilleur arrimage entre le primaire et le 

secondaire en mathématiques, l’équipe a travaillé à 

l’élaboration d’un référentiel commun en résolution de 

problèmes entre enseignants du primaire et du secondaire. 

Elle a aussi cherché à se doter d’un outil d’analyse des 

problèmes en lien avec ce référentiel, et à construire, en 

partant de ce référentiel, des interventions visant à 

développer chez les élèves des habiletés en résolution de 

problèmes. 

2.1. Un référentiel commun progressivement 

élaboré par l’équipe 

Les échanges entre les enseignants autour du matériel et de 

leur manière de fonctionner ont permis de mettre en 

évidence que, même si ces derniers poursuivaient les mêmes 

objectifs à l’égard de la résolution de problèmes, celle-ci 

n’était souvent pas abordée de la même façon en classe aux 

deux niveaux. Par exemple, les références données aux élèves 

pour décrire la démarche face à un problème demandent de 

souligner les données importantes, superflues au primaire, 

d’écrire les conditions du problème au secondaire… Le 

recours à une stratégie de type dessin par les élèves est 

accepté au primaire, mais n’est pas nécessairement valorisé au 

secondaire. 

À travers les discussions, l’équipe a donc senti 

progressivement le besoin de se donner un référentiel 

commun, conçu au départ comme un outil de travail pour 

l’enseignant, et qui permettrait d’intervenir dans le sens d’une 

continuité entre les deux niveaux. Nous avons essayé aussi de 

penser son adaptation pour les élèves, de manière à ce qu’il 

devienne un outil auquel ils peuvent se référer, un outil qui 




leur donne une image de différentes composantes liées au 

processus de résolution de problèmes. 

Ce référentiel commun est formé de quoi? 

Une analogie ici productive de sens a été utilisée, celle d’une 

équipe au travail, permettant d’illustrer le processus de 

résolution de problèmes comme une démarche non linéaire, 

dynamique, avec des allers-retours, une démarche impliquant 

différentes composantes. Cette équipe renvoie à différents 

personnages. 

Comment est née cette idée des personnages? 

Cette idée provient d’une démarche déjà en place dans la 

Commission scolaire des Hauts-Cantons en résolution de 

problèmes au primaire, elle est issue d’un des anciens 

conseillers pédagogiques en mathématiques (Richard Bibeau). 

Elle concerne trois des personnages repris ici dans le 

référentiel : le détective, le menuisier et l’inspecteur. 

La reprise de ces trois personnages, en continuité avec ce qui 

était déjà engagé dans les écoles, nous a permis de nous 

articuler sur des pratiques en place, pour les préciser, les 

raffiner au besoin. Compte tenu de notre problématique, une 

telle articulation sur les pratiques en place est centrale. 

Un autre personnage s’est ajouté à ces trois premiers 

personnages, pour rendre compte d’une dimension 

importante du processus de résolution de problèmes, qui 

nous semblait absente, celle de la création. Le fou créateur, 

personnage issu de la pratique de certains enseignants du 

primaire en français, a alors été repris. 

Progressivement, nous avons été amenés à préciser ce 

référentiel commun pour chacun des personnages : son rôle 

dans le processus de résolution de problèmes et les stratégies 

qu’il peut se donner pour avancer dans la résolution. 

Le détective 

Son rôle : 

Il identifie des données du problème, il décode, identifie ce 

que l'on cherche ou ce qu'il faut faire, il s'assure de vérifier si 

on a tout ce qu'il faut pour résoudre le problème… 

Les stratégies possibles du détective : 

Il redit dans ses propres mots le problème, se raconte 

l'histoire, se la représente, reformule le problème pour que 

les autres membres de l’équipe (ou les autres dans la classe) 

puissent le comprendre, reformule la question; il identifie les 

données (informations utiles, incontournables, éléments 

essentiels) du problème, nomme au besoin les informations 

manquantes ou superflues, note les questions qu'il se pose en 

relation avec la tâche à effectuer… 

Le menuisier 

Son rôle : 

Il se représente l'ensemble du problème, s’en construit un 

modèle, il élabore et organise la démarche en lien avec les 

autres membres de l’équipe, il choisit ses outils, il partage sa 

solution et les procédures de résolution utilisées avec les 

autres… 

Les stratégies possibles du menuisier : 

Il reformule un problème semblable, plus simple, dans un 

autre contexte, pour aider à voir la solution possible; il 

change au besoin les nombres pour des nombres plus 

simples qui l'aident à voir la solution du problème; il a 

recours à différentes procédures de résolution : dessin, 

schéma, essais numériques contrôlés, … 

L’inspecteur 

Son rôle : 

Il vérifie le travail de chacun des membres de l'équipe, il 

s'assure que la solution amenée correspond à ce qui était 

demandé dans le problème, et que la solution (les solutions) 

proposée(s) par l’équipe est (sont) valide(s). Il a un rôle 

important à toutes les étapes de la démarche de résolution… 

Les stratégies possibles de l'inspecteur : 

Il anticipe la nature du résultat, l'ordre de grandeur de la 

réponse; il vérifie la logique de la démarche, la pertinence de 

la réponse par rapport au problème; il doit rendre compte de 

la validité de cette solution (des solutions amenées) aux 

autres (en présentant sa justification); il vérifie les calculs; il 

permet à chacun d'améliorer et de réajuster le travail… 




Le fou créateur 

Nous en reprenons ici quelques-uns à titre d’exemples : 

Son rôle : 

Il a un rôle important à jouer dans les problèmes non 

routiniers à résoudre (problèmes complexes, problèmes 

ouverts, situations problèmes...), ainsi que dans la 

formulation de problèmes. Il utilise sa créativité, il peut être 

utile à l'une ou l'autre des étapes de la résolution en 

envisageant différents engagements possibles… 

Les stratégies possibles du fou créateur : 

Il regarde le problème sous différents angles, le ramène à un 

autre problème au besoin, énonce certaines conjectures, 

imagine plusieurs façons de résoudre, généralise le problème, 

invente d'autres problèmes… 

Parallèlement à l’élaboration de ce référentiel commun, 

différentes pistes d’exploitation ont été élaborées pour rendre 

ce référentiel signifiant pour les élèves : 

- reformulation du référentiel de manière plus synthétique 

pour les élèves; 

- construction d’affiches présentant les personnages qui 

servent de supports auxquels l’enseignant et les élèves 

peuvent référer; 

- résolution de différents types de problèmes par les 

élèves et retour réflexif sur ceux-ci, pour mettre en 

évidence selon eux, après résolution, les personnages qui 

ont été sollicités dans la résolution du problème, quand, 

où, pourquoi. 

Une discussion autour des dimensions souvent absentes pour 

les élèves (inspecteur et fou créateur principalement) a 

conduit par ailleurs à nous intéresser au choix de problèmes 

permettant de mobiliser davantage chez les élèves le travail 

de contrôle sur le processus de résolution (auquel renvoie 

davantage l’analogie avec l’inspecteur) et le travail de création 

(recherche de conjectures, de différentes solutions possibles, 

auquel renvoie davantage l’analogie avec le fou créateur). 

2.2. Se doter d’un outil d’analyse des problè- 

mes 

Différents problèmes ont été travaillés par l’équipe, 

expérimentés en classe aux deux niveaux scolaires, en 

essayant de faire ressortir ce que ces problèmes permettent 

de développer chez les élèves, de voir leur potentiel en lien 

avec les personnages du référentiel. Il s’agissait ainsi 

d’identifier des problèmes qui sollicitent davantage le fou 

créateur, qui forcent un travail de l’inspecteur, du détective… 

Problème 1 : Un litre d’huile à chauffage coûte 2,35 $. Écris ce que 

tu ferais sur la calculatrice pour trouver combien cela coûterait pour 

remplir un petit réservoir qui contient 0,53 l. 

Ce problème sollicite le travail du menuisier 2. Il va surtout 

chercher la reconnaissance de l’opération par l’élève, et 

permet de mettre en évidence la présence éventuelle de 

certaines conceptions erronées (par exemple, le fait que 

l’élève pense : « Le résultat étant plus petit, ça doit 

nécessairement donner une division. ») 

Problème 2 : En me promenant à vélo, j’ai traversé une bande 

fraîchement peinte large d’environ 15 cm. J’ai poursuivi ma route en 

ligne droite et je me suis retourné pour regarder les marques de peinture 

laissées par les pneus sur le bitume. Qu’est-ce que j’ai vu? (tiré de 

Mason, 1994) 

Ce problème sollicite le fou créateur. Il demande une 

exploration, la formulation de conjectures, de penser à 

différents engagements possibles, ouvre sur la formulation de 

nouveaux problèmes possibles. 

Problème 3 : Un expert efficace travaille dans une usine de 

fabrication de robots. En 5 minutes, un robot construit une copie de luimême 

et se déplace ensuite dans une caisse où il est emballé pour être 

expédié vers l’extérieur. 

L’expert a une idée géniale et découvre une façon d’augmenter le 

rendement. Il fabrique un robot capable de construire deux de ses 

semblables en 5 minutes. Le robot mère se déplace ensuite dans une 

caisse où il est emballé pour être expédié vers l’extérieur. 

L’expert court voir sa supérieure pour lui expliquer qu’il a doublé la 

production et met en route le robot au préalable pour être à même de lui 

montrer sa nouvelle invention. Lorsqu’il arrive, sa supérieure est en 

réunion et il doit attendre 3 heures avant de pouvoir la rencontrer. 

Quand elle est libre, l’expert lui explique son invention; celle-ci regarde 

l’horloge et court jusqu’à l’usine. Combien de robots y trouve-t-elle? 

Combien de robots l’expert s’attend-il qu’elle trouve? (tiré de Confrey, 

1994) 

Ce problème sollicite le travail du détective : un travail 

important de décodage des données, de compréhension du 

problème est ici en jeu. 

Problème 4 : Lucie et Pierre ont chacun leur argent de poche. Lucie a 

dépensé 1/6 de son montant d’argent et Pierre 1/3 du sien. À ton avis, 

qui a dépensé le plus? Explique. 

Est-ce possible que Lucie ait dépensé plus que Pierre? Pourquoi? 

Ce problème sollicite l’inspecteur : il y a en effet ici nécessité 

de s’engager de façon réfléchie dans le problème, de revenir 

au besoin sur la réponse fournie (si j’ai dit par exemple que 

Lucie a dépensé moins que Pierre car 1/6 est plus petit que 

1/3, et que l’on me demande « Est-ce possible que Lucie ait 

dépensé plus que Pierre? », la nouvelle question peut 

m’amener à revenir sur ma réponse précédente). 

2 

Ceci ne veut pas dire, comme pour tous les problèmes qui suivent, 

que les autres personnages ne sont pas sollicités. Nous voulons 

simplement mettre en évidence, dans ce cas, une composante 

davantage mobilisée. 




L’élaboration d’interventions en classe, s’appuyant sur le 

référentiel commun, a par ailleurs été menée dans le but de 

développer chez les élèves des habiletés en résolution de 

problèmes. 

2.3. Faire intervenir chacun des personnages 

2.3.1. Un premier exemple à propos du menuisier 

Un même problème a été présenté aux élèves dans différents 

contextes. Cette intervention visait à développer une prise de 

conscience chez les élèves de l’influence du contexte, et le 

développement de la stratégie à aller chercher un problème 

semblable, plus simple, pour aider à voir clair dans le 

problème. 

D’abord confrontés au premier problème à résoudre (voir 

problème ci-dessous), les élèves d’une des classes, dans ce cas 

de la fin du primaire, ont, comme on s’y attendait, bloqué. 

Peu d’entre eux ont pu résoudre le problème. 

Problème 1 : Une solution est composée de glucose. La concentration 

de glucose est de 12 ml par litre de solution. Combien faudrait-il 

prendre de cette solution pour avoir 90 ml de glucose? 

Dans le deuxième cas (voir problème ci-dessous), lorsque le 

problème leur a été proposé (le lendemain) par l’enseignante, 

la plupart ont pu le résoudre, en ayant recours à différentes 

solutions. 

Problème 2 : Super cadeau chez Provigo! Chaque caissière dispose 

d’un gros sac contenant 90 boîtes de gomme « balloune ». Elle en donne 

12 à chaque personne qui passe à la caisse. Premier arrivé, premier 

servi! À combien de personnes peut-elle donner des boîtes de gomme 

« balloune »? 

Le jour suivant, Isabelle, l’enseignante, a ramené à la classe 

les problèmes. Qu’est-ce qui fait que l’un est facile à résoudre 

et l’autre non? Est-ce que ces problèmes se ressemblent? 

Qu’est-ce qu’on pourrait faire quand on est face à un 

problème comme le premier? 

La discussion a débouché sur ce qu’il serait possible de faire 

pour simplifier le premier problème et le rendre plus 

compréhensible. 

D’autres interventions ont été conduites dans le même sens 

par la suite. Ainsi, des problèmes semblables ont été 

présentés, l’un avec le support du dessin, l’autre non, ou 

encore l’un avec le support du matériel, l’autre non (voir 

exemples ci-dessous), en cherchant à voir ce que les enfants 

feraient dans chacun des cas. Un retour collectif sur ces 

problèmes était alors organisé en classe dans le but, là encore, 

de développer des stratégies de résolution. 

Problème 1 : Peux-tu retrouver la longueur de ma bande de papier de 

départ, sachant que j’en ai coupé les 7/9 et que le morceau qui me reste 

alors entre les mains mesure 60 mm? (des bandes de papier sont à la 

disposition des enfants) 

Problème 2 : J’ai parcouru les 7/9 de la distance entre ma maison et 

le chalet de ma tante Charlotte. S’il me reste 60 kilomètres à parcourir 

pour y arriver, quelle est la distance totale à parcourir entre chez moi et 

le chalet de ma tante? 

2.3.2. Un deuxième exemple à propos du fou 

créateur 

Pour solliciter le fou créateur chez les élèves, une idée de 

ligue d’improvisation mathématique est née. La formulation 

de problèmes qui prend place dans le cadre de cette ligue 

d’improvisation cherche par ailleurs à prendre en compte la 

difficulté que les élèves éprouvent dans la compréhension de 

problèmes. La formulation de problèmes est à cet effet un 

outil intéressant. Composer un problème aide à mieux le 

comprendre, à voir comment il est construit, les relations 

entre les données… 

La ligue d’improvisation mathématique (LIM), telle que 

pensée, s’inspire de la Ligue nationale d’improvisation (LNI), 

et place donc les élèves dans un contexte qu’ils connaissent, 

de défi, de jeu, de création. 

Pour ceux et celles nombreux au Québec qui connaissent la 

LNI, on y parle d’improvisation mixte (dans ce cas, un thème 

est joué par les joueurs des deux équipes) ou d’improvisation 

comparée (dans ce cas, les équipes jouent sur un même 

thème tour à tour). L’improvisation se fait sur un titre ou un 

thème. Plusieurs catégories viennent baliser le jeu, par 

exemple improvisation libre, muette ou en ayant recours au 

mime, à des onomatopées, sous une forme dramatique, 

dansée, etc.; on fixe le nombre de joueurs, la durée et une 

période de concertation préalable. 

Ce modèle a été repris et adapté pour créer la ligue 

d’improvisation mathématique. On parlera ainsi 

d’improvisation mixte lorsque celle-ci se réalise en équipe, 

d’improvisation comparée lorsque chaque élève est un 

joueur, d’improvisation sur un thème. Plusieurs catégories 

sont possibles, par exemple improvisation libre, 

improvisation impliquant des concepts donnés, faisant appel 

à certains types de nombres, à un certain domaine (par 

exemple, mesure, géométrie…), mettant en oeuvre 

éventuellement d’autres contraintes. Le nombre de joueurs 

peut être fixé dans le cas de l’improvisation en équipe. On 

prévoit là aussi une certaine durée et une concertation 

préalable. 

Un exemple d’improvisation aidera à mieux comprendre ce 

qui précède : 

Improvisation comparée 

ayant pour thème « dans un pays imaginaire » 

Catégorie : mesure, 138, 10 et 52 doivent faire partie du problème 

Durée : 5 minutes 

Concertation préalable : 30 secondes 

À vous de vous y exercer! 

Plusieurs improvisations ont été réalisées par les classes des 

enseignants et enseignantes impliqués dans cette recherche. 

Nous en reprenons une ci-dessous expérimentée à la fois au 

primaire et au secondaire (avec des variantes différentes dans 

l’énoncé). Nous donnerons aussi, dans ce cas, quelques 

exemples de productions d’élèves provenant d’une des 

classes du primaire, la classe de Josée, et d’un des groupes du 

secondaire, un des groupes de Mélanie. 




Un exemple d’improvisation au primaire et au secondaire 

l’élève 1 qui oublie la contrainte « Données superflues »). 

L’improvisation proposée était la suivante : 

Certains formulent un problème à donnée manquante (c’est 

le cas de l’élève 5, on ne connaît pas la population du 

Improvisation comparée 

Québec, il faudra la retrouver). Certains essaient de formuler 

portant sur le thème « une visite dans l’espace » 

un problème qui va s’avérer, pour les autres, complexe à 

Catégorie : multiplication 

résoudre, cherchant à créer ainsi un défi (voir par exemple 

Nombres utilisés : (au primaire, nombres naturels; au secondaire, 

l’élève 1). 

fractions) 

Autres contraintes : données superflues 

Notre analyse nous montre par ailleurs que la différence 

Durée : 5 minutes 

entre les élèves du primaire et du secondaire n’est pas si 

Concertation : 30 secondes 

grande dans ce domaine, les enfants pouvant à certains 

égards mieux réussir que les élèves du secondaire. Il y a donc 

là un chantier important à travailler aux deux niveaux, pour 

favoriser à plus long terme le développement d’habiletés chez 

les élèves, en pensant soigneusement la progression d’un 

niveau scolaire à l’autre. 

Voici quelques improvisations formulées par des enfants de 

5 e/6 e années (provenant de la classe de Josée) : 

Élève 1 : Un astronaute fait 12 fois le tour d’une planète, un 

tour équivaut à 168 km. S’il va à 12 km/h, combien de temps 

mettra-t-il à faire le tour avec un bris sur son vaisseau, ce qui 

lui rajoute 97 minutes et 2 km/h de moins? De plus, il doit 

faire un détour de 12 km à chaque tour. 

Élève 2 : Michael a 3 fois plus de cartes que Steven, et 

Steven a 189 cartes. Maxime a 100 cartes. Combien Michael 

a-t-il de cartes de hockey? 

Élève 3 : Gérard est allé dans l’espace, il a vu 5 planètes, la 

Lune et le Soleil. Il a commencé à compter les étoiles, il en 

compte environ 50 par minute en 3 heures. Combien en voitil? 

Élève 4 : 4 hommes de la Nasa vont faire une visite dans 

l’espace pour une durée de 1 an, soit 365 jours. Si les 4 

hommes veulent savoir combien d’heures ils vont rester dans 

l’espace, quelle multiplication devront-ils faire et combien 

d’heures vont-ils rester? 

Voici quelques improvisations formulées par des élèves de 

secondaire 1 (provenant de la classe de Mélanie) : 

Élève 5 : Bonjour, dernièrement j’ai fait une expédition dans 

l’espace et j’ai vu beaucoup d’étoiles; c’était vraiment beau. 

La moitié des étoiles étaient belles et les autres moins belles. 

Il y en avait à peu près 3 fois la population du Québec. Alors 

combien y avait-il de belles étoiles? 

Élève 6 : Julie est allée faire une visite dans l’espace. La durée 

de la visite était 1 heure. Elle a passé le 2/5 de son temps à 

faire le tour de la Terre. Ensuite, elle s’est dirigée vers 

Mercure où elle a passé le 1/5 du temps qui lui restait. 

Élève 7 : Louis et moi sommes allés dans l’espace et 1/4 du 

temps nous avons dormi, 2/4 du temps on a regardé les 

planètes et 1/4 du temps nous avons été sur la Lune. 

Combien de temps sommes-nous restés sur la Lune si le 

voyage a duré 2 mois? C’était en 1969. 

Les exemples précédents montrent bien a priori le potentiel 

de cette activité en lien avec le développement de 

compétences par les élèves en résolution de problèmes. 

Dans ces quelques exemples, beaucoup d’éléments 

ressortent. Ainsi, certains élèves formulent un problème 

incomplet (c’est le cas de l’élève 6 qui a du mal à formuler 

une question en lien avec l’énoncé, une question menant à 

résoudre une multiplication). Certains ont du mal à prendre 

en compte l’ensemble des contraintes (C’est le cas par 

exemple de l’élève 2, centré sur la multiplication et les 

données superflues, et qui oublie le thème; ou encore de 

Ce travail ouvre par ailleurs sur différentes pistes 

d’exploitation en classe : 

- résolution des problèmes formulés par les autres élèves de 

la classe, retour sur les problèmes et reformulation au besoin 

du problème initial; 

- construction d’un répertoire de problèmes venant des 

élèves, présenté à d’autres, repris en devoir ou lors de 

travaux; 

- retour sur les problèmes formulés à partir d’une grille de 

co-évaluation (voir les exemples ci-dessous expérimentés 

dans les deux classes à propos des problèmes précédents). 

Cette grille, présentée plus loin, permet aux élèves (et à 

l’enseignant, enseignante), dans l’exploitation de cette 

improvisation, de juger de la validité du problème formulé. 

Sur la façon de mener cette ligue d’improvisation en classe, là 

aussi les pistes sont nombreuses, inspirées du modèle de la 

LNI. À titre d’exemples, on peut penser à la formulation 

d’une improvisation en équipe (improvisation mixte), à la 

simulation d’une improvisation par les élèves, à l’organisation 

d’un match d’improvisation opposant une équipe à une autre, 

une classe à une autre, des élèves de chacun des niveaux 

scolaires primaire et secondaire… 

Conclusion 

Plusieurs pistes se dégagent de ce travail de deux années avec 

l’équipe de recherche, dont nous n’avons vu ici que quelques 

éléments. Ces pistes ouvrent sur un dialogue entre les 

enseignants et enseignantes du primaire et du secondaire 

autour du développement d’habiletés de calcul chez les élèves 

et de la résolution de problèmes, visant une meilleure 

articulation entre les deux niveaux, dans un souci de 

progression des apprentissages des élèves. Des 

prolongements sont actuellement en cours d’élaboration qui 

impliqueront d’autres enseignants et enseignantes du 

primaire et du secondaire de la même commission scolaire, 

désireux de travailler sur cette question. Les actions 

entreprises visent à partager avec d’autres le matériel et les 

stratégies élaborées, de manière à en favoriser une diffusion 

qui puisse profiter à d’autres personnes. 




Grille d’autoévaluation proposée dans la classe du secondaire : 

CRITÈRES OUI +/_ NON 

J’ai respecté le thème 

J’ai utilisé des fractions 

Il faut faire une multiplication 

pour résoudre 

Il y a une ou plusieurs données 

superflues 

Mon problème comporte une 

question ou une tâche 

J’ai fait preuve de créativité 

Grille de coévaluation proposée dans la classe du primaire 

Titre de l’improvisation : __________________________ 

CRITÈRES 

Respect du thème 

Respect des nombres proposés 

Respect des notions 

TRÈS 

BIEN 

Respect 

contraintes 

des différentes 

Comporte une question ou une 

tâche 

Problème 

formulation 

créatif dans sa 

Problème créatif par rapport 

aux notions mathématiques 

Le problème est réalisable 

PLUS OU 

MOINS 

MOINS 

Références 

Bednarz, N. & Janvier, B. (1996). Algebra as a problem solving 

tool: Continuities and discontinuities with arithmetic. In N. 

Bednarz, C. Kieran, & L. Lee (Eds.), Approaches to 

algebra: Perspectives for research and teaching, (pp. 

115-136). Dordrecht: Kluwer. 

Bloch, I., Kientega, G., Tanguay, D. (2006) Synthèse du 

thème 6, transition secondaire, post-secondaire en 

mathématiques. Actes du colloque international 

"Espace Mathématique Francophone". CD-ROM. 

Sherbrooke, Québec, 27 au 31 mai 2006. 

Confrey, J. (1994). « Voix et perspective » : à l’écoute des 

innovations épistémologiques des étudiants et 

étudiantes. Revue des Sciences de l’Éducation, vol. XX, no 1, 

115-133. 

Durand-Guerrier, V. (2003). Synthèse du thème 5. Transitions 

institutionnelles. Actes du colloque international "Espace 

Mathématique Francophone". CD-ROM. Tozeur, 

Tunisie, 19 au 23 décembre 2003. 

Mason, J. (1994). L’esprit mathématique. Collection la Spirale. 

Éditions Modulo. 

Programme d’études en mathématiques au primaire (2000). Ministère 

de l’Éducation du Québec. 

Programme d’études en mathématiques au premier cycle du secondaire 

(2003). Ministère de l’Éducation, du Loisir et du Sport. 

Salin, M.H. (2003). Comprendre les difficultés des élèves à passer de 

la « géométrie de l’école primaire » à la « géométrie du collège ». 

Actes du colloque international "Espace Mathématique 

Francophone". CD-ROM. Tozeur, Tunisie, 19 au 23 

décembre 





Mathématiques de pointe 

au primaire 

À l'aide de découpages, nous illustrerons comment des mathématiques de 

l'élémentaire sont à la fine pointe de la recherche en chimie de l'ADN. 

Robert Bilinski 

Collège 

Montmorency 

rbilinski@ 

cmontmorency.qc 

.ca 

O 

n retrouve beaucoup de mathématiques 

amusantes au primaire. Quelques 

articles récents, à la fine pointe 

de la recherche active en science, démontrent 

qu’elles ne sont pas dénuées de sens, d’intérêt 

ou de potentiel, insoupçonné encore, pour 

faire avancer la science. Aussi, il ne faut pas se 

montrer réticent à les enseigner à cause de leur 

nature ludique ou de leur apparence frivole. 

Dans bien des cas, c’est leur simplicité même 

qui leur permet d’être si utiles. 

1. Des mathématiques amusantes 

dans une classe de primaire 

Je suis prêt à parier que si l’on faisait un 

sondage sur « les mathématiques les plus 

amusantes du primaire », sur « les mathématiques 

du primaire qui nous ont le plus 

marqués » ou sur « les mathématiques du 

primaire dont on se souvient le plus », la 

réponse tomberait invariablement sur la 

construction à partir de patrons de figures 

géométriques en 3D. 

En effet, l’éveil progressif de l’intérêt soulevé 

par la transformation d’une feuille de papier 

épais (ou de carton) n’ayant aucune 

profondeur en un objet fragile et vide, mais 

ayant cette précieuse troisième dimension, la 

profondeur, n’a pas d’égal dans ma mémoire. 

Pourtant, je me souviens avec plaisir des 

innombrables calculs réalisés, mais pas dans le 

détail. Il y en avait tellement que tous les 

calculs se mélangent dans mes souvenirs. Par 

contre, les constructions étaient si rares 

qu’elles sont restées dans ma mémoire : le 

carton jaune, le bâton de colle… 

Figure 1 : Patron usuel en 2D servant à la 

construction d’un cube 



Mathématiques de pointe au primaire Robert Bilinski 

2. Des mathématiques amusantes dans un 

laboratoire 

Aujourd’hui, loin de paraître enfantins, certains chercheurs 

passent pour des génies avant-gardistes en continuant ces 

jeux amusants de mathématiques, mais avec des brins 

d’ADN à la place du matériel de bricolage de base du 

primaire... Le meneur de bal fut le chimiste new-yorkais N.C. 

Seeman qui faisait récemment la couverture de l’illustre revue 

« Scientific American » et y signait un article d’une dizaine de 

pages. 

La Figure 2 illustre le potentiel de nos mathématiques, 

lorsque mélangées à un peu d’imagination et de savoir, sans 

oublier quelques subventions. On remarque qu’au lieu de 

construire des solides avec des faces pleines, on construit 

avec l’ADN des « squelettes » de figures géométriques 

connues. 

C’est à se demander quel but poursuivent ces chercheurs 

dans leurs constructions. La réponse est à la fois fort simple, 

et surprenante : 

— créer des « miniréacteurs » chimiques dans lesquels la 

proximité des produits introduits à l’intérieur favoriserait des 

réactions recherchées; 

— bâtir des contenants pouvant servir à l’administration 

de médicaments… 

Figure 2a : Dessin d’un octaèdre fait à partir de brins 

d’ADN (extrait de Shih) 

Figure 2b : Le patron en 2D qui se plie pour obtenir 

celui de la Figure 2a 

Figure 2c : Dessin expliquant l’entrecroisement de 2 

branches issues de 2 étoiles 

Figure 2d : Photographies d’octaèdres réels réalisées 

à l’aide de microscopes 

La première fois (dont on a la trace en Occident) que 

l’homme a exploré les figures tridimensionnelles platoniciennes, 

c’était dans la Grèce antique où les mathématiciens, 

selon la légende, dessinaient ces figures dans le sable avec des 

bâtons! 

3. D’autres mathématiques amusantes du 

primaire dans les laboratoires 

Dans le même ordre d’idées, pensons aux autres bricolages 

que nous avions dans nos cours de mathématiques du 

primaire. En y pensant bien, on se souviendra aussi des 

pavages ou des variantes de « tangram » où l’objectif est de 

remplir une surface avec des figures géométriques 

prédéterminées. 

Ici les chimistes forment des plaquettes à l’allure de cottes de 

mailles médiévales. Le but avoué est de permettre la création, 

à plus ou moins long terme, d’ordinateurs entièrement faits 

d’ADN. Ainsi, on fait déjà des structures se comportant 

comme des portes ET, OU et NON que l’on voudrait 

pouvoir greffer à la surface de ces plaquettes… 

4. Encore d’autres mathématiques du 

primaire amusantes dans les laboratoires 

En utilisant notre imagination, le dessin de de la Figure 3a 

pourrait évoquer des Legos. 

Figure 3a : Dessin illustrant l’agencement de molécules 

d’ADN (extraite de Kiehl) 



Mathématiques de pointe au primaire Robert Bilinski 

Figure 3b : Photographie d’un pavage comme le a) par 

un microscope 

Vous l’aurez deviné, des chimistes ont déjà construit de telles 

briques qui s’imbriquent l’une dans l’autre à la manière de ces 

jouets… 

Figure 4 :: Assemblage de plusieurs briques « Legos » 

d’ADN 

5. Conclusion 

Clairement, le travail que l’on effectue au primaire dans 

l’enseignement des mathématiques revêt une tout autre allure 

à la lumière des constructions présentées dans cet article. 

Plusieurs constats s’offrent donc à nous. Ce n’est pas parce 

qu’une partie des mathématiques est amusante ou considérée 

comme facile qu’elle devrait pour autant être négligée ou 

escamotée. Trop souvent, le contenu « beau », « élégant » et 

« amusant » des mathématiques est sacrifié pour le côté 

« utile »… La source d’émerveillements immédiats et futurs 

chez les jeunes et les moins jeunes passe entre autres par une 

bonne formation au primaire. 

Il est clair que les mathématiques constituent une source de 

bricolages époustouflants dans le domaine génétique. Ainsi, il 

faut continuer à amener les jeunes à explorer le monde qui 

les entoure en découvrant les merveilles des dimensions. De 

plus, il est possible de trouver des mathématiques dans le 

moindre bricolage et de les rendre amusantes par le fait 

même. À vous de chercher… 

6. Références bibliographiques 

– Richard A. Kiehl, Karin Musier-Forsyth, Nadrian C. 

Seeman , Boris I. Shklovskii, T. Andrew Taton (2003), 

Assembly of Nanoelectronic Components by DNA Scaffolding, NSF 

Nanoscale Science and Engineering Grantees Conference, 

Dec 16-18. 

– William M. Shih, Joel D. Quispe & Gerald F. Joyce (2004), 

A 1.7-kilobase single-stranded DNA that folds into a nanoscale 

octahedron, Nature: 427 p 618-621 

– Nadrian C. Seeman, Hui Wang, Xiaoping Yang, Furong 

Liu, et al (1998), New motifs in DNA nanotechnology, 

Nanotechnology 9 257–273. 

– N. C. Seeman (1998), DNA nanotechnology : Novel DNA 

constructions, Annual Reviews of Biophysical and Biomolecular 

Structures 27 : 225 — 248 

– Nadrian C. Seeman (June 2004), Nanotechnology and the 

Double Helix; Scientific American Magazine. 

– Yuriy Brun, Manoj Gopalkrishnan, Dustin Reishus, Bilal 

Shaw, Nickolas Chelyapov, and Leonard Adleman (2004), 

Building Blocks for DNA Self-Assembly, gratuit sur le site 

web de University of Southern California 





Quelques liens 

entre 

mathématiques et musique 

Tout commença, dit-on, par Pythagore et ses calculs de proportions d’intervalles 

musicaux. C’est l’exemple classique de rapport entre les mathématiques et la 

musique. Mais y a-t-il plus? D’autres mathématiciens sont-ils venus mettre leurs 

oreilles dans la musique? Quelles mathématiques joue-t-on dans la musique? 

Mathématiques et musique au XXI e siècle: comment cela sonne-t-il? 

Chantal Buteau 

Brock University 

St.Catharines 

Ontario 

cbuteau@ 

brocku.ca 

Remerciements 

Je remercie Denis 

Poulin, étudiant à la 

Maîtrise en 

mathématiques à 

l’Université Laval 

dont le travail de fin 

de Baccalauréat 

traitait de la théorie 

mathématique de la 

musique, et Isabelle 

Beaudet, enseignante 

de mathématiques à 

la Commission 

scolaire des 

Premières 

Seigneuries, pour 

leurs précieux 

commentaires 

permettant de 

clarifier plusieurs 

parties de cet article. 

M 

athématiques et musique ? Ça peut 

créer un effet de surprise et 

provoquer un commentaire 

comme "Oui bien sûr, Pythagore!". Eh oui, il 

y a eu Pythagore et ses études de proportions 

d'intervalles musicaux. C'est certainement 

l'exemple le plus classique, bien qu’antique (!), 

de liens entre la musique et les mathématiques. 

Mais y a-t-il plus? Y a-t-il eu d'autres 

mathématiciens qui sont venus mettre leurs 

oreilles dans la musique? Y a-t-il eu des 

musiciens qui ont inséré des équations dans 

leurs œuvres? Quelles mathématiques joue-t-on 

dans la musique ? 

Je présente dans cet article quelques exemples 

diversifiés de liens entre les mathématiques et 

la musique : l'étude de la musique par deux 

mathématiciens célèbres, l'introduction des 

mathématiques par un théoricien de la 

musique pour formaliser sa théorie analytique 

et l'utilisation des mathématiques par un 

compositeur du XX e siècle et par un autre de 

l’époque baroque. Ceci nous mènera ensuite à 

l'introduction de la théorie mathématique de la 

musique (en abrégé la MaMuTh) devenue une 

discipline de recherche. La MaMuTh est une 

théorie mathématique, donc à la fois 

cohérente et rigoureuse, pour l’analyse d’objets 

musicaux et de leurs relations. C’est dans ce 

contexte 

que j’exposerai brièvement un modèle 

topologique de l'analyse mélodique de la 

musique, sujet principal de mes travaux de 

recherche. 

1. Quelques liens entre les 

mathématiques et la musique 

Il faut retourner au tout commencement alors 

que les mathématiques et la musique étaient 

étroitement liées en tant que disciplines. Au 

temps de Pythagore, et ce, jusqu’au Moyen 

Âge, le quadrivium de connaissance répartissait 

les mathématiques en quatre parties : la 

géométrie, l’arithmétique, l’astronomie et la 

musique. Par la suite, une coupure s’est faite : 

la musique est devenue un Art. À ce moment, 

mathématiques et musique ont semblé 

s’éloigner, mais aujourd’hui, ces disciplines 

sont sans aucun doute de nouveau en harmonie. 

Regardons quelques liens dans le passé avant 

de présenter une théorie mathématique 

contemporaine de la musique. Au lecteur 

intéressé, je réfère à l’épisode 3 Arts et culture 

(réf. (1)) de la série télévisée C’est Mathématique! 

pour une introduction captivante du sujet. 

Actes du 49 è congrès de l’Association mathématique du Québec 43 31 mai et 1 er juin 2006 


Quelques liens entre mathématiques et musique Chantal Buteau 

1.1 Des mathématiciens et la musique 

La légende veut qu'un jour Pythagore, se promenant devant 

la boutique d'un forgeron, observa que lorsque celui-ci 

frappait l'enclume avec des marteaux dont les masses étaient 

dans des rapports simples, cela produisait des sons 

consonants. Ceci l'emmena à créer un monocorde pour 

étudier systématiquement les rapports de fréquences des 

sons. 

Figure 1 Le frontispice du livre Theorica Musice (1492) 

du théoricien de la musique Franchino Gafurio. On y 

remarque dans chacune des images les nombres 16, 12, 9, 8, 6 

et 4 sur les marteaux, cloches, verres, cordes tendues et flûtes se 

référant à l’étude mathématique de la musique de Pythagore. 

Pythagore observa que deux cordes pincées (de même 

densité et sous même tension) donnaient un son plaisant si 

leurs longueurs étaient dans un rapport de deux petits entiers. 

Par exemple, si les longueurs sont dans un rapport de 2:1, 

elles produisent deux notes distantes d’une octave, la corde la 

plus courte produisant le son plus aigu. Les cordes dont les 

longueurs sont dans un rapport de 3:2 produisent la quinte, 

par exemple do – sol, qui est très agréable à l'écoute. Si, à 

partir de cette proportion, on reproduit une quinte, le 

quotient suivant par rapport à la note originale sera 3 2 : 2 2 

que l'on ramène dans l’octave précédente soit à 9 :8. 

Figure 2 Les rapports de longueurs des cordes; 2:1 produit l’octave 

(do – do) ; 3:2 produit la quinte (do – sol) ; 3:2 de 3:2 (do – sol – ré) 

est 9:4 qui devient 9:8 (do–ré) produisant la quinte de la quinte 

réajustée à l’octave. 

Et ainsi de suite, si on reproduit successivement des quintes 

(do, sol, ré, la, mi, si) en y ajoutant une quinte inférieure au 

do donnant la note fa, on obtient la gamme de Pythagore : 

Note do ré mi fa sol la si do 

Ratio 1:1 9:8 81:64 4:3 3:2 27:16 243:128 2:1 

Figure 3 Rapports de fréquences des notes de la gamme de Pythagore 

Notons que cette gamme ne s'entend pas comme celle jouée 

sur un piano, car, sur ce dernier, les rapports de fréquences 

ont été réajustés pour faciliter les changements de clés. Plus 

précisément, on observe que les rapports entre les tons do – 

ré, ré – mi, fa – sol, sol – la, la – si sont tous de 9 :8 et les 

rapports entre les demi-tons mi – fa et si – do sont tous deux 

de 256 : 243. Or, ( 256 : 243) 

2 

< 9 : 8 , et donc le demi-ton 

pythagoricien n’est pas exactement un demi-ton, alors que le 

demi-ton sur le piano a été ajusté pour être exactement la 

moitié d’un ton. 

Ajoutons que l’impossibilité de refermer une gamme par 

progression de quintes justes vient du fait qu’on ne puisse 

trouver deux entiers l et m tels que 3 l = 2 m . Et il s’en suivra 

une longue tradition sur l’étude des gammes et 

tempéraments : comment refermer une gamme selon 

différents critères de maximisation par exemple sur les 

quintes justes et les tierces majeures (do – mi) ? Au lecteur 

intéressé, je recommande les articles Mathématiques et Musique 

I, II et III (réf. (2),(3),(4)) de Serge Robert dans les bulletins 

de l’Association Mathématique du Québec (AMQ) qui 

présentent la construction mathématique de gammes à 

travers l’Histoire. Aussi le site Internet «Maths & Music » 

(réf.(5)) contient plusieurs autres références sur le sujet. 

Revenons aux rapports simples de fréquences. En se basant 

sur les calculs de Pythagore, le mathématicien Euler s’est 

intéressé à l’ordre de consonance d’un ensemble d’intervalles. 

Il a abordé le problème en utilisant le théorème fondamental 

de l'arithmétique, soit la factorisation unique, à ordre près, de 

tout entier positif en nombres premiers, i.e. pour tout 

e1 e2 ek n ! N : n = p1 p2 ...pk où les p sont des nombres 

i 

premiers et les e des entiers positifs. Euler a employé cette 

i 

décomposition dans la définition de la fonction gradus. 

!(n) :=1 + # ei ( pi "1) . 

i 

Puis, il a étendu sa fonction aux rationnels a:b, que l'on peut 

supposer réduits : 

!(a : b) := !(ab). 

Sa conjecture fut que plus la valeur du gradus du rapport 

d'entiers d'un intervalle est petite, plus l'intervalle est 

consonant. Par exemple, en comparant les intervalles de la 

gamme de do majeure 1 , on obtient l'ordre suivant de 

consonance : 

1 Dans cet exemple, nous considérons la gamme en intonation juste, 

c’est-à-dire dans laquelle les rapports de fréquences des accords 

majeurs, soit do – mi – sol, fa – la – do et sol – si – ré, sont tous 4 : 

5 : 6. 




Intervalles Rapports d'entiers 

Octave 2:1 

Quinte 

Quarte 

Sixte majeure 

Tierce majeure 

Seconde majeure 

Septième majeure 

3:2 

4:3 

5:3 

5:4 

9:8 

15:8 

Figure 4 Ordre de consonance des intervalles de la gamme en 

intonation juste selon le modèle de Euler : plus la valeur du gradus du 

rapport d’intervalle est petite, plus l’intervalle est consonant. 

1.2 Un théoricien de la musique et la théorie des 

ensembles 

Allen Forte, théoricien contemporain de la musique, a intégré 

dans les années soixante des concepts de la théorie des 

ensembles dans son approche d'analyse de musique atonale 

(réf.(6)). Je fais remarquer que la musique atonale, par 

exemple la musique sérielle du début du XX e siècle, comme 

celle de Schoenberg ou de Webern, dans laquelle les règles de 

tonalité ne tiennent plus, est une musique très différente de la 

musique classique. Dans l’approche de Forte, les regroupements 

de notes, comme les accords, sont représentés par des 

ensembles d'entiers 0, 1, ..., 11 correspondant aux hauteurs 

des notes : 0 – do ou si#, 1 – do# ou réb, 2 – ré, ..., 11 – si 

ou dob. Puis, Forte établit des relations entre les regroupements 

de notes en utilisant par exemple les concepts 

d'intersection, de complément et de sous-ensemble. La 

Figure 5 présente un exemple d'identification de regroupements 

de notes "à la Allen Forte". 

Figure 5 Exemple moderne d’identifications de regroupements de notes À la Forte. 

On y remarque que le système chromatique (do, do#, ré, ré#, ..., la#, si) est représenté par 

Z /12Z . 

Il faut noter que Forte n'était pas le premier à utiliser la 

représentation ensembliste dans son approche. Des 

théoriciens–compositeurs comme Milton Babbitt (né en 

1916) (réf.(7)) et Anatol Vieru (1926 – 1998) (réf.(8)) l'ont 

précédé. Par contre, on peut affirmer qu'à partir de la 

période Forte, l'approche mathématique dans l'analyse de la 

musique a vraiment commencé à s'établir parmi les 

théoriciens de la musique nord-américains. Et c'est à cette 

période que la représentation du système chromatique (i.e. le 

système de notes) dans le cercle, tel que représenté dans la 

Figure 5, est véritablement devenue usuelle. Le développement 

de cette approche ensembliste, souvent appelée Set 

Theory ou American Set Theory, dépasse aujourd’hui largement 

l'application à la musique atonale. Signalons que le théoricien 

David Lewin y a considérablement contribué (réf.(9)) 

par son approche catégorielle. 

1.3 Des compositeurs et les mathématiques 

Il n’y a pas que le mathématicien qui joue de ses violons dans la 

musique ou le théoricien de la musique qui intègre les 

mathématiques dans son analyse, il y a aussi le compositeur 

qui a son mot à dire, ou plutôt à faire entendre. Par exemple, 

Iannis Xenakis (1922-2001) a composé son œuvre Nomos 

Alpha (1966) en suivant un algorithme très précis. Il a utilisé 

le groupe de rotations du cube sur lui-même (d'ordre 24) et, à 

chacun des sommets du cube, il a associé ce qu'il a appelé un 

complexe sonore : C1, C2, ..., C8, par exemple, une répétition 

de notes ou un nuage de notes. Or, on peut représenter les 

rotations par des permutations des 8 sommets. Par exemple, 

dans la Figure 6 une rotation de π/2 dans le sens antihoraire 

selon l’axe vertical envoie les complexes C2 sur C1, C3 sur 

C2, C4 sur C3, C1 sur C4, etc, et cette rotation est alors 

représentée par la permutation (23416785). 

Figure 6 Xenakis a associé un 

complexe sonore à chacun des sommets du 

cube et, en utilisant la représentation des 

rotations en tant que permutations des 

sommets, il a considéré une suite finie de 

rotations du cube sur lui-même pour 

composer Nomos Alpha. 




Puis, il a considéré un procédé de Fibonacci pour créer son 

œuvre : il a engendré une suite de rotations en choisissant 

d'abord deux rotations g1 et g2 , puis en déterminant les 

suivantes par 

gk+2 := gk+1 ! gk Étant donné que le groupe est fini, la suite est périodique. 

Or, Xenakis a en fait utilisé une suite aux propriétés 

maximales. En effet, Moreno Andreatta a démontré dans sa 

thèse de doctorat (réf.(10)), en 2003, que la suite possède le 

plus grand nombre d'éléments différents et qu’elle est de 

période maximale. Le lecteur est invité à jeter un coup d’oeil 

sur ce procédé de composition sur le site Internet (réf.(11)). 

Xénakis a délibérément utilisé un groupe mathématique dans 

la composition de son œuvre. Je dois faire remarquer que ce 

procédé était déjà présent chez les compositeurs baroques, 

mais qu’il était caché sous les règles de composition, plus 

précisément celles de la fugue. L'idée de la fugue est de 

présenter une mélodie, puis de la répéter le plus souvent 

possible dans d'autres voix et décalées dans le temps, comme 

un canon. Ces répétitions, appelées imitations, sont de 

strictes reproductions, ou elles sont transposées (par exemple 

une quinte plus haut), ou inversées (réflexion par rapport à 

l'axe horizontal) ou encore rétrogradées (réflexion par 

rapport à l'axe vertical). Et on y reconnaît bien la structure 

de groupe. La Figure 7 présente les premières mesures de 

l'Inventio I de Johann Sebastian Bach (1685-1750) dans 

laquelle quelques symétries sont mises en évidence. 

Figure 7 Quelques symétries de l'Inventio I de Johann 

Sebastian Bach. 

Or, dans son traité d’analyse en 1992, Xenakis (réf.(12)) a 

représenté ces symétries, soit la répétition, l’inversion, la 

rétrogradation, et l’inversion rétrogradée, par des opérations 

linéaires dans le plan complexe (Figure 8). 

2 Théorie mathématique de la musique 

Dans la section précédente, nous avons vu des liens entre 

musique et mathématiques qui sillonnent différents aspects 

de la musique, plus précisément les aspects de composition et 

d'analyse et les aspects physique et intellectuel. Dans cette 

section, j’expose brièvement quelques grandes lignes d’une 

théorie mathématique contemporaine de l’étude systématique 

de la musique. 

Figure 8 Autre représentation possible des symétries selon le 

compositeur Xenakis (réf.(12), page 374) par des opérations 

linéaires dans le plan complexe. 

Nous préludons avec une citation de Pierre Boulez (né en 

1925), chef d'orchestre et compositeur français : “Music cannot 

be degenerated or reduced to a section of Mathematics: Music is 

fundamentally rooted within physical, psychological and semiotic 

realities. But we need more sophisticated methods besides statistical and 

empirical data in order to formally describe musical instances” 2. Dans 

ce contexte, la théorie mathématique de la musique, en 

abrégé la MaMuTh 3, est un cadre de travail scientifique pour 

la musicologie qui respecte les limites imposées par la nature 

même de la musique. 

Dans les années quatre-vingt, le mathématicien et musicien 

professionnel Guerino Mazzola a présenté (réf.(13),(14)) le 

début du développement d’un cadre mathématique abstrait 

de la MaMuTh. Mazzola propose des structures abstraites 

dans lesquelles on peut redéfinir plusieurs approches, les 

généraliser et, parfois même, résoudre certaines contradictions. 

Avec des concepts de géométrie algébrique, de théorie 

des modules et des catégories, des topologies algébrique et 

combinatoire, de théorie des représentations et, enfin, de 

théorie des topoï, et avec l'apport de diverses disciplines 

comme les sciences informatiques, la sémantique, la 

2 « La musique ne peut être réduite à une section des 

mathématiques : la musique est fondamentalement enracinée dans 

les réalités physique, psychologique et sémiotique. Par contre, en 

plus des méthodes statistiques et empiriques, nous avons aussi 

besoin de méthodes sophistiquées pour décrire formellement les 

objets et relations musicaux.» 

3 Du nom allemand de la théorie, Mathematische Musiktheorie, qui 

concorde également avec Mathematical Music Theory. 




physique, les sciences cognitives et les mathématiques, on sinon, ! = - 1. Le contour mélodique du motif de la 

ij 

étudie les objets musicaux et leurs relations dans les Figure 9 donne par exemple la matrice suivante : 

contextes de composition, d’analyse et d’interprétation. 

Pour illustrer le type de recherche qui se développe dans le 

" 0 0 0 !1% 

$ 

' 

domaine de la MaMuTh, ces dernières années, principale- 

$ 

0 0 0 !1 

' 

ment en Europe et en Amérique du Nord, j’ébauche 

$ 0 0 0 !1' 

brièvement la théorie des espaces motiviques, un modèle 

$ 

' 

topologique de l'analyse et de l’étude de la structure 

# 1 1 1 0 & 

mélodique de la musique, qui constitue le sujet principal de puisque la mélodie reste constante pour les trois premières 

mes travaux de recherche actuels. 

notes, expliquant tous ces 0, puis descend (d’une tierce 

majeure) ce que l’on observe par les - 1 dans la partie 

triangulaire supérieure de la matrice . Par définition, si 

! = - 1, alors 

ij ! = 1 et vice versa. La matrice, souvent 

ji 

appelée « comparison matrix », en abrégé COM, est donc 

antisymétrique et la diagonale principale ne contient que des 

0, i.e. ! ii = 0. 

2.1. Espaces motiviques 

Décrivons d'abord en quelques lignes ce qu'est l'analyse 

mélodique ou, plus précisément, l'analyse motivique. Cette 

dernière décrit la structure d'une composition musicale par le 

biais de l’organisation hiérarchique de ses motifs (courtes 

mélodies d'environ deux à dix notes). Cette analyse se 

résume souvent à déterminer le motif générateur de la 

composition, appelé motif germinal. Le motif germinal 

remplit la fonction particulière d'unifier toute la composition. 

Plus précisément, selon le théoricien Rudolph Réti 

(réf.(15)), c'est le motif dont le contour est répété tout au 

long de la composition, soit sous forme d’une stricte 

répétition, soit après transformation. L'exemple classique 

d'un motif germinal est le fameux motif formé des quatre 

notes sol – sol – sol – mib (voir Figure 9) de la Cinquième 

Symphonie de Beethoven que l'on entend, remarquablement, 

du début à la fin de la symphonie. 

Figure 9 Motif germinal à l’ouverture de la Cinquième 

Symphonie de Beethoven. Si le temps d’attaque du silence est fixé à 

0, la durée d’une barre de mesure à 1, la hauteur du do central à 0 et 

chaque demi-ton à 1, on peut représenter ces notes par : sol1=(1/4, 7), 

sol2=(1/2, 7), sol3=(3/4, 7), et mib=(1,3). Ce motif est alors 

représenté dans notre modèle par l’ensemble de ces 4 notes, soit 

M={sol1, sol2, sol3, mib}. 

Présentons maintenant les concepts de notre modèle 

simplifié4 . Les notes sont représentées par leur temps 

d'attaque (O) et leur hauteur (P) et l'espace des notes est 

l’espace réel R {O,P} ! R 2 . Un motif est un ensemble fini non 

vide de notes ayant toutes des temps d'attaque distincts. En 

d'autres mots, cette contrainte exclut les accords. Le motif 

d'ouverture de la Cinquième Symphonie est un bon exemple de 

motif. Le contour mélodique des motifs est défini par une 

application ensembliste sur l'ensemble de tous (oui, tous!) les 

motifs de la composition. Par exemple, le contour 

mélodique d'un motif M peut être représenté par la matrice 

( ! ) où ij ! =1 si la hauteur de la note j est plus élevée que 

ij 

celle de la note i, ! =0 si les notes ont la même hauteur et 

ij 

4 Le lecteur peut se référer à (réf.(16),(17)) pour une description 

détaillée. 

Les imitations, comme la transposition (par exemple do-rémi 

devenant sol-la-si joué à une quinte supérieure) ou 

l'inversion (par exemple do-do#-ré devenant do-si-sib), sont 

représentées par l'action d'un groupe. Il agit sur l'ensemble 

des contours. Les classes (regroupements) de motifs 

résultant de l'action du groupe sont appelées gestalt. 

L'introduction de métriques (fonctions de distance) sur les 

contours de même cardinalité5 permet de rendre compte de 

la similarité mélodique de même cardinalité. Nous en sommes 

alors à l'étape cruciale de la construction du modèle, celle de 

représenter les transformations de motifs impliquant la 

similarité de motifs de cardinalités différentes. Nous 

définissons le voisinage V ! (M) de rayon ε du motif M 

comme étant l'ensemble de tous les motifs contenant un 

sous-motif de même cardinalité que M et dont le contour est 

distant du contour de M d’au plus ε. Nous disons alors que 

le motif N est une transformation de M si N ! V " (M) ou 

M ! V " (N) . 

Et voilà, le tour est joué : on obtient un espace de motifs, 

appelé espace motivique, correspondant à la structure 

hiérarchique des motifs de la composition. 

Plus précisément, sous certaines conditions 6 , la collection de 

tous les voisinages des motifs forme une base pour une 

topologie sur l'ensemble des motifs de la composition. Dans 

ces espaces, très différents du plan euclidien 7, le motif aux 

5 Sous certaines conditions, ces métriques s'étendent sur les gestalt 

de même cardinalité. 

6 C'est-à-dire dans tous les cas classiques à une exception près. 

Cette exception est la construction avec le contour mélodique de 

notes strictement consécutives. Par exemple, le motif de la Figure 

9 serait représentée dans ce cas par (0,0,-1), indiquant que la 

mélodie reste, reste et descend. Or, cette représentation est 

problématique. Voir (réf. (17) ou (18)) pour plus de détails. 

7 Les espaces motiviques ne sont que de type T et ne sont donc 

0 

pas des espaces de Hausdorff comme le plan Euclidien. Dans un 

espace de type T , on ne peut pas toujours séparer deux points par 

0 

des voisinages ouverts disjoints. Au contraire, dans le plan 

Euclidien, on se rappelle qu’étant donné deux points P et Q, les 




voisinages les plus «denses» 8, c'est-à-dire ayant le plus de 

motifs voisins, est alors considéré comme le motif germinal. 

Ce modèle a été appliqué à l'Art de la Fugue de Johann 

Sebastian Bach dans le but d'étudier le problème de la 

longueur de son thème principal : est-il formé des huit 

premières notes de l'ouverture ou plutôt de ses douze 

premières notes? Or, du point de vue compositionnel, il est 

bien accepté que le thème doive contenir toutes les douze 

notes. En utilisant notre modèle (voir réf.(18) pour les 

détails), nous avons conclu que le thème, du point de vue de 

sa structure motivique, n'est composé que de ses huit 

premières notes. Plus précisément, la structure motivique du 

thème est déjà présentée dans ses huit premières notes et 

l'ajout des quatre dernières notes appuie la structure 

motivique, mais ne l'enrichit pas. 

Figure 10 Le thème principal de l’Art de la Fugue de Bach : 

est-il composé des 8 ou des 12 premières notes ? En appliquant 

notre modèle d’analyse motivique, dont tous les détails se trouvent 

dans (réf.(18)), on en a conclu que, du point de vue motivique, les 8 

premières notes forment le thème. 

2.2. Quelques mots sur la recherche en théorie 

mathématique de la musique 

Nous terminons la présentation de la MaMuTh par quelques 

questions qui se posent naturellement en raison de son 

caractère interdisciplinaire. D'abord, la terminologie 

musicale n'est pas universelle (même mot pour plusieurs 

concepts ou plusieurs mots pour un même concept). 

Comment travaille le mathématicien dans sa formalisation 

d'objets musicaux et de leurs relations? Et comment est 

reçue cette terminologie par les musiciens et les théoriciens 

de la musique? Aussi, on construit des modèles 

mathématiques décrivant des relations entre objets musicaux. 

Comment valide-t-on ces modèles mathématiques? Ce qui 

revient à se demander : mais qu'est-ce que la vérité en 

musique ? Si on revient à cet exemple de motif germinal 

chez Beethoven, avait-il incorporé intentionnellement son 

motif "sol-sol-sol-mib" dans sa Cinquième Symphonie chaque 

fois que nous l'entendons? En fait, avons-nous le droit 

d'examiner son œuvre d'art à la loupe mathématique 

computationnelle du XXI e siècle ? 

disques ouverts de centres P et Q et de rayons égaux à la demidistance 

entre P et Q sont disjoints et séparent les deux points. 

8 Le terme dense n'est pas utilisé ici tout à fait au sens topologique. 

Il est utilisé pour décrire l'idée de densité, mais dans un espace de 

type T . Dans un tel espace, nous décidons de considérer les deux 

0 

relations " être inclus dans " et " inclure " un voisinage comme 

permettant de bien définir la nature germinale d'un motif. 

Notre réponse à cette dernière question est ferme : si nous 

admettons que Beethoven fut un génie, n’ayons pas peur de 

sortir notre machinerie lourde pour approfondir notre 

compréhension de ses œuvres. Rendons hommage à leur 

beauté et à leur complexité 9. 

3. Conclusion 

Choisissons une coda bien simple mais néanmoins 

concluante : “La musique est une mathématique de l’âme qui compte 

sans savoir qu’elle compte”, a dit un jour le célèbre 

mathématicien Gottfried W. Leibniz (1646 – 1716) 10. 

4. Références bibliographiques 

(1) Arts et Culture, Épisode 3 de la série 1 de « C’est 

mathématique ! », Téléfiction, Montréal. 

(2) Robert, S. (2003), Mathématique et musique I, dans Bulletin 

AMQ, vol. XLIII, no.3, pp.28-35, Octobre. 

(3) Robert, S. (2005), Mathématique et musique II, dans Bulletin 

AMQ, vol. XLV, no.2, pp.37-56, Mai. 

(4) Robert, S. (à paraître), Mathématique et musique III, dans 

Bulletin AMQ. 

(5) Site Internet Mathematics & Music à l'adresse 

http://www.brocku.ca/mathematics/maths&music/ 

(6) Forte A. (1973), The Structure of Atonal Music, New 

Haven: Yale University Press. 

(7) Babbit M. (1946), The Function of Set Structure in the Twelve- 

Tone System, Ph.D. Dissertation, Princeton University 

(accepté en 1992). 

(8) Vieru A. (1967), Cartea modurilor, 1 (Le livre des modes, 

1), Ed. muzicala, Bucarest. 

(9) Lewin D. (1987), Generalized Musical Intervals and 

Transformation, Yale University Press. 

(10) Andreatta, M. (2003), Méthodes algébriques dans la musique 

et la musicologie du XXème siècle : aspects théoriques, analytiques et 

compositionnels, Thèse de doctorat, École des hautes études en 

sciences sociales (EHESS)-Paris, 2003. 

(11) http://recherche.ircam.fr/equipes/repmus/Analyse/Xe 

nakis/ 

9 Mon directeur de thèse, Guerino Mazzola, aimait bien ajouter que, 

si Einstein a introduit sa théorie (assez complexe!) de la relativité 

pour arriver à mieux comprendre l’œuvre de Dieu, on peut 

certainement oser introduire nos modèles topologiques, par 

exemple, pour essayer de mieux comprendre l’œuvre de Beethoven ! 

10 Le lecteur intéressé par les applications mathématiques dans la 

musique trouvera quelques références sur notre site Internet Maths 

& Music (réf.(5)). En particulier, on y trouve des références sur des 

cours mathématiques et musique aux niveaux élémentaire (réf.(19)), 

secondaire (réf.(20)) et universitaire (réf.(21)). 




(12) Xenakis, I. : Formalized Music : Thought and Mathematics in 

Composition, Harmonologia Series No. 6, Pendragon Press, 

Stuyvesant NY. 

(13) Mazzola, G. (1989), Geometrie der Töne, Birkhäuser, Basel. 

(14) Mazzola, G. et al (2002), Topos of Music, Birkhäuser, 

Basel. 

(15) Réti, R. (1951), Thematic Process of Music, Greenwood 

Press, Connecticut, USA. 

(16) Buteau, C. (2003), A Topological Model of Motivic Structure 

and Analysis of Music: Theory and Operationalization, Thèse de 

doctorat, University of Zurich. 

(17) Buteau, C. (2005), Topological Motive Spaces, and Mappings of 

Scores’ motivic Evolution Trees, Grazer Mathematische Berichte, 

Proceedings of the Colloqium on Mathematical Music 

Theory, Graz 2004, H. Fripertinger, L. Reich (eds.). 

(18) Buteau, C. et G. Mazzola (2000), From Contour Similarity 

to Motivic Topologies, dans Musicae Scientiae, European Society 

for Cognitive Sciences of Music (ESCOM), Vol IV, no 2, 

pp.125-49. 

(19) Site Internet Enriching mathematical concepts through music à 

l'adresse : 

http://schools.tdsb.on.ca/joyce/main/pathfinder/midi_inde 

x.html 

(20) Communication en ligne Pure Mathematics 30: Mathematics 

and Music, Optional curriculum project for Grade 12, Alberta 

(Canada), February 2004, à l'adresse 

http://www.education.gov.ab.ca/k_12/testing/diploma/pro 

jects/feb_2004/puremath30_project.pdf 

(21) Site Internet Mathematics and Music du cours offert par 

Dave Benson à University of Aberdeen (Écosse) à l'adresse 

http://www.maths.abdn.ac.uk/~bensondj/html/mathsmusic.htm 





Enjeux et défis 

d’une culture mathématique 

sans frontières 

L'intégration d'une dimension culturelle à l'enseignement des mathématiques paraît 

faire consensus. Mais la variété des approches envisagées pour une telle intégration 

reflète la diversité des conceptions qu'on a de la culture et des mathématiques, et 

des frontières qu'on leur attribue. Ce texte tente de faire le point sur ces questions 

et propose quelques pistes et balises pour que l'universalité des mathématiques 

puisse émerger de la légitime prise en compte de la diversité de leurs 

manifestations. 

France Caron, 

Université de 

Montréal 

france.caron@ 

umontreal.ca 

D 

epuis quelques années déjà, les 

médias se plaisent à souligner 

l’orientation par compétences du 

Programme de formation de l’école québécoise en 

l’associant régulièrement à un recul de la place 

accordée aux connaissances. Ce point de vue, 

bien souvent exprimé de façon alarmiste, 

néglige un aspect important de ces programmes 

qui leur vient de l’intention clairement 

exprimée de rehausser la dimension culturelle 

de l’éducation dispensée aux élèves du 

Québec. En témoignent les nombreux 

« repères culturels » intégrés aux programmes 

d’enseignement des différentes disciplines 

(Gouvernement du Québec; 2001, 2003a), et 

un document d’accompagnement produit à 

l’intention des enseignants spécifiquement sur 

l’intégration de la dimension culturelle à l’école 

(Gouvernement du Québec, 2003b). 

Comme il est plutôt malvenu de s’opposer à la 

vertu, cet aspect de la réforme est rarement 

remis en cause, si ce n’est pour souligner la 

nécessité d’outiller les enseignants en ce sens. 

Ainsi, l’intégration d’une dimension culturelle 

à l’enseignement, y compris en mathématiques, 

paraît vouloir faire consensus. Mais la 

variété des approches envisagées pour ce faire 

témoigne bien de la diversité des conceptions 

de la culture et des mathématiques, et des 

frontières qu’on leur attribue. Si l’universalité 

est l’un des attributs les plus précieux des 

mathématiques, à quelle(s) culture(s) devraiton 

s’intéresser en classe de mathématiques? 

Les nouveaux programmes de mathématiques 

vont-ils dans le sens de cette culture idéale? 

C’est en partant de ces vastes questions que 

nous avons amorcé une réflexion dans le cadre 

de cet atelier. 

Un concept polysémique 

Il existe de nombreuses façons de concevoir et 

de définir la culture. Notons d’abord une 

vision essentiellement académique, élitiste et 

quasi absolue de la culture (dite alors générale), 

aux visées universelles, mais liée dans la 

pratique à une nation : 

Culture générale : ensemble de connaissances 

générales sur la littérature, l'histoire, la 

philosophie, les sciences et les arts, que doivent 

posséder, au sortir de l'adolescence, tous ceux 

qui forment l'élite de la nation. (Dictionnaire 

de l’Académie française, 1932) 



Enjeux et défis d’une culture mathématique sans frontières France Caron 

À l’autre extrême, abordé sous un angle anthropologique et 

sociologique, le concept de culture devient quelque chose de 

relativiste, dans la mesure où il peut s’appliquer à tout groupe 

social, sans visée normative ou prescriptive : 

Ensemble des données acquises et transmises à l'intérieur d'un 

groupe social. Les productions intellectuelles, artistiques, 

religieuses, etc., de ce groupe. (http://dictionnaire.tv5.org/) 

Quelque part entre ces deux positions, on retrouve une 

conception de la culture qui paraît mieux correspondre à une 

vision démocratique de l’éducation : 

Ensemble des connaissances acquises qui permettent de 

développer le sens critique, le goût, le jugement. (Le Robert, 

2004) 

Mais, comme tend à le suggérer la charmante bande dessinée 

ci-dessous 1 , sans doute convient-il de préciser l’ensemble des 

connaissances utilisables dans la pratique mathématique, et 

propices à y développer le sens critique, le goût et le 

jugement . 

Préciser cet ensemble revient à définir ce qu’on entend par 

culture mathématique. L’Organisation de coopération et de 

développement économiques (OCDE), à travers son Programme 

international pour le suivi des acquis des élèves 

(PISA) s’est attelée à une telle tâche : 

La culture mathématique (Mathematical literacy) est l'aptitude 

d'un individu à identifier et à comprendre les divers rôles joués 

par les mathématiques dans le Monde, à porter des jugements 

fondés à leur propos et à s'engager dans des activités 

mathématiques, en fonction des exigences de sa vie présente et 

future en tant que citoyen constructif, impliqué et réfléchi. 

(OCDE, 2001) 

Prise seule, sans les contenus, processus et contextes qui en 

précisent le sens, cette définition peut sembler à la fois 

ambitieuse et insuffisante. En effet, il apparaît difficile de 

« porter des jugements fondés à propos des mathématiques » 

si l’on ne réfère dans cette culture mathématique à l’épistémologie 

propre à cette discipline, à la façon dont s’est 

construit et continue de se construire ce corpus de connaissances. 

1 Quino (1985) Les vacances de Mafalda, © Éditions Glénat. 

Pour tenter de mieux définir cette culture mathématique à 

laquelle tout citoyen aurait droit, revenons au concept de 

culture. Selon Fernand Dumont, figure de proue de la 

sociologie au Québec, la culture d’un individu est constituée 

de deux volets : d’une part, ce qui crée l'unité première du 

monde et de soi (« culture première ») et, d’autre part, 

l'ensemble des procédés de rupture (« culture seconde ») qui 

permettent à l’individu de voir le monde et de se voir en 

même temps. 

On retrouve cette double nature de la culture dans la présentation 

générale du programme du premier cycle du 

secondaire, applicable à toutes les disciplines. La culture y 

est en effet présentée comme « instrument d’appréhension de 

soi et du monde », et l’école aurait pour responsabilité de 

développer chez l’élève autant sa culture première « en 

partant d’éléments du milieu immédiat, à la source de 

l’identité personnelle et sociale » qu’une culture élargie qui 

« puise dans les fruits de l’activité humaine d’hier comme 

d’aujourd’hui, dans les connaissances de l’héritage collectif et 

dans les repères communs élaborés au fil du temps » 

(Gouvernement du Québec, 2003a, p.7). On y précise par 

ailleurs qu’enseigner dans une perspective culturelle consiste, 

notamment, à « exploiter des repères culturels pour amener 

l’élève à comprendre le monde et lui faire découvrir chaque 

discipline comme porteuse de sens, tant par son histoire que 

par les questionnements particuliers qu’elle suscite », à 

« amener l’élève à établir un plus grand nombre de liens entre 

les divers phénomènes scientifiques, sociaux, artistiques, 

moraux et économiques et à se situer par rapport à eux » et, 

ainsi, à « poser un regard critique, éthique et esthétique sur le 

monde ». Cette visée finale, qui lie compétences et 

connaissances, nous renvoie à la définition de la culture du 

Robert. Et pour s’en approcher, tout en reconnaissant que la 

culture est aussi « une réalité vivante à laquelle chaque 

génération apporte sa contribution », le programme précise 

que « l’école prendra appui sur la culture propre aux jeunes 

pour les amener à s’ouvrir à d’autres dimensions des 

multiples manifestations de l’activité humaine et à actualiser 

leur créativité dans tous les domaines. » Cela nous ramène à 




la complémentarité des deux cultures, telles que définies par 

Dumont, qui participent au développement d’un individu. 

En intégrant de façon explicite la dimension historique à 

l’enseignement des mathématiques, les nouveaux programmes 

québécois donnent une des clés pour espérer porter des 

« jugements fondés à propos des mathématiques », comme le 

voudrait la culture mathématique telle que définie par 

l’OCDE. Ce choix curriculaire rejoint la position de Charnay 

(2002), selon qui, pour prétendre à la dimension culturelle, 

l’enseignement des mathématiques se doit d’envisager, dès le 

primaire, l’ensemble des enjeux suivants : 

• Commencer, lorsque c’est possible, à situer les connaissances 

mathématiques dans une perspective historique 

pour les faire percevoir comme construction 

humaine. 

• Fournir aux élèves les outils intellectuels utiles au citoyen 

pour appréhender, de façon critique, les informations 

et les propositions qui lui sont soumises. 

• Éveiller au caractère scientifique des mathématiques 

et à leur large applicabilité. 

• Initier très tôt les élèves à la façon spécifique dont les 

mathématiques envisagent le rapport au vrai et au 

faux, soit en s’appuyant sur leur rapport au « réel », 

soit en ayant recours à la puissance du raisonnement. 

• Initier à une pratique de l’activité mathématique, 

caractérisée à la fois par : 

o le goût du questionnement, de la recherche, de 

l’investigation ; 

o la nécessité de structurer, d’organiser, d’expliciter, 

de prouver. 

Tout en étant ambitieuse, cette liste fait ressortir à la fois la 

spécificité disciplinaire des mathématiques et les liens 

multiples qu’elles entretiennent avec les autres disciplines et 

les différents domaines d’activité humaine. C’est en touchant 

à ces deux aspects qu’il nous paraît possible de faire apprécier 

les mathématiques comme discipline porteuse de sens, autant 

pour elle-même que pour ce qui lui est extérieur, et de 

contribuer ainsi au développement d’une culture propice à 

l’exercice du sens critique, du goût et du jugement à l’endroit 

des mathématiques et des réalités qu’elles permettent de 

modéliser. Nous référerons donc à ce cadre pour examiner 

jusqu’à quel point la mise en place des nouveaux 

programmes s’inscrit dans le développement d’une telle 

culture mathématique et constitue un changement par 

rapport à ce qui a pu se faire avant. Pour aller au-delà des 

intentions énoncées dans les documents officiels et nous 

rapprocher de leur réalisation en classe, nous avons aussi 

parcouru le contenu des nouveaux manuels de première 

secondaire 2 , publiés par trois éditeurs différents et approuvés 

2 

Cadieux, R., Gendron, I. et Ledoux, A. (2005) Panoram@th, Les 

Éditions CEC. 

Coupal, M.. (2005) À vos maths! , Graficor · Chenelière Éducation. 

par le MÉLS. Une telle exploration suggère quelques pistes 

et balises à envisager pour le développement à l’école d’une 

culture mathématique. 

La perspective historique 

Malgré une liste relativement courte de repères historiques 

dans les programmes de mathématiques du premier cycle, la 

perspective historique est bien présente dans les nouveaux 

manuels. Cette direction avait déjà été amorcée dans les 

manuels des programmes antérieurs, mais on sent ici une 

volonté de faire ressortir davantage le processus de construction 

du savoir mathématique, en allant plus souvent au-delà 

des dates, des personnages et des anecdotes. Cela se 

manifeste notamment par : 

• l’exposé de constructions variées du savoir mathématique 

telles qu’elles ont émergé dans différentes civilisations; 

les systèmes de numération en représentent 

l’exemple le plus classique, abondamment utilisé dans 

les nouveaux manuels du primaire et repris dans ceux 

de première secondaire, en incluant parfois les 

algorithmes utilisés dans ces systèmes pour réaliser les 

opérations arithmétiques (ex. le procédé de multiplication 

dans l’Égypte ancienne que fait découvrir À vos 

maths! 3 ) 

• l’exposé des débats et changements de points de vue 

qui ont marqué certaines évolutions : la présentation 

dans Panoramath 4 du long processus ayant mené à la 

reconnaissance des nombres négatifs en est un bel 

exemple; 

• des activités d’apprentissage qui amènent l’élève à 

résoudre un problème similaire à celui qu’ont résolu 

des mathématiciens à une autre époque : par exemple, 

le calcul de la circonférence de la terre et celui de la 

distance terre-lune, réalisés dès l’Antiquité, sont joliment 

présentés dans Perspective 5 ; 

• des idées de sujets de recherche pour aller plus loin. 

Il est intéressant de noter que dans ces manuels où l’on 

aborde l’étude de la géométrie de façon un peu plus 

systématique, le traitement réservé à Euclide est vite expédié. 

Entre l’œuvre mathématique d’Euclide et l’œuvre artistique 

d’Escher, on semble préférer la seconde pour mettre en place 

des activités d’apprentissage en géométrie. Il est vrai que 

depuis les années 70, sans avoir été officiellement mise de 

côté comme ce fut le cas en France, la géométrie euclidienne 

n’occupe plus au Québec la position dominante qu’elle 

occupait avant dans l’enseignement de la géométrie au 

secondaire, ayant fait place, notamment, à la géométrie des 

transformations. Et pour cette géométrie des transforma- 

Guay, S. , Hamel, J.-C. et Lemay, S. (2005) Perspective mathématique, 

Éditions Grand Duc – HRW. 

3 À vos maths! Manuel A, p.160-161. 

4 Panoram@th, Manuel A, Volume 1, p.114-115. 

5 Perspective mathématique, Manuel A, Volume 2, p.352-357. 




tions, l’œuvre d’Escher peut effectivement constituer à la fois 

une banque d’illustrations aux qualités esthétiques indéniables 

et, par son côté fascinant et intrigant, une source de 

questionnements intéressants. 

Il reste néanmoins, comme le rappelle Perspective 6 , que les 

Éléments d’Euclide ont constitué pendant plus de deux mille 

ans le noyau de l’enseignement de la géométrie. On ne peut 

nier que cette œuvre majeure ait fortement contribué à 

définir « la façon spécifique dont les mathématiques 

envisagent le rapport au vrai et au faux » et contrôlent ce 

rapport par « la puissance du raisonnement ». Préciser que le 

mérite d’Euclide n’aura été que de rassembler des savoirs 

déjà connus pour la plupart et de les présenter de façon claire 

et logique n’est sans doute pas suffisant pour que l’élève 

puisse en faire de même avec ses connaissances, comme 

l’invite à le faire le manuel. Une fréquentation un peu plus 

prolongée de cette géométrie qui, dans le sillage de Platon et 

de Thalès de Milet, a cherché à se dégager du monde des 

objets pour viser celui des idées et a contribué ainsi à poser 

les bases du raisonnement déductif, pourrait aider l’élève à 

percevoir certains des échafaudages qui ont servi et servent 

encore à encadrer cette vaste construction humaine que sont 

les mathématiques. 

Le raisonnement mathématique 

Le raisonnement mathématique tient à la fois de l’inductif, 

pour explorer et dégager une régularité à partir d’observations, 

et du déductif pour tirer, par le recours à la logique, 

une conclusion à partir d’hypothèses supposées vraies et de 

propriétés connues. Le raisonnement déductif permet entre 

autres de valider, à l’intérieur de certaines conditions, une 

conjecture inférée à partir d’expériences et d’observations. 

Par sa rigueur et son formalisme, la démonstration est la 

forme la plus achevée du raisonnement déductif. La géométrie 

a longtemps été perçue comme le cadre privilégié pour 

l’apprentissage de la démonstration. 

Si dans certains pays comme la France, l’enseignement de la 

démonstration a continué de vivre à l’école à travers 

notamment la géométrie des transformations et des espaces 

vectoriels (au coût parfois élevé que demandait le nonrecours 

à une géométrie euclidienne, souvent plus accessible), 

la remise en question de la géométrie euclidienne au 

secondaire a plutôt entraîné au Québec un arrêt de 

l’enseignement de la démonstration et une centration en 

géométrie sur les processus de construction des transformations 

et sur les calculs d’angles, d’aires, de longueurs et de 

volumes. Cette réalité a été plusieurs fois dénoncée par les 

professeurs de mathématiques des collèges et des universités. 

« Les mathématiques jouent un rôle central dans la civilisation 

occidentale. Il faut transmettre quelque chose qui soit représentatif 

de ce qu’elles sont. (Au secondaire) ce devrait être la géométrie, 

d’abord et avant tout, et sans visée utilitaire. L’objectif 

serait que chacun comprenne ce qu’est une théorie, comment, à 

partir d’axiomes et de règles de déduction, on peut arriver, par 

le raisonnement déductif, à démontrer des choses qui ne sont 

6 Perspective mathématique, Manuel A, Volume 1, p.84. 

pas évidentes. Il ne s’agit pas de faire des élèves des géomètres, 

ni même des mathématiciens, mais bien des citoyens qui 

puissent juger par eux-mêmes, qui auront fait l’expérience d’une 

démonstration et appris que le savoir humain ne repose pas 

entièrement sur l’observation empirique, qu’on peut comprendre 

la nature par le raisonnement, sans en faire l’expérience directe. 

Faire une démonstration plutôt que d’imposer une vérité 

est une exigence au cœur de la démocratie. » 

André Joyal, UQAM 

Le Devoir, novembre 1997 

Présenté sous cet angle, non seulement l’exercice de la 

démonstration permettrait-il à l’élève de s’initier à un aspect 

caractéristique de la pratique mathématique et du raisonnement 

qui la sous-tend, mais il contribuerait aussi à doter 

l’élève d’« outils intellectuels utiles au citoyen pour appréhender, 

de façon critique, les informations et les propositions qui 

lui sont soumises ». En apprenant à lier hypothèses et 

conclusions, l’élève développerait cette pensée hypothétique, 

indispensable au scientifique et utile à tout individu : une telle 

pensée offre l’option de se libérer momentanément de l’état 

actuel d’une réalité pour imaginer de nouveaux scénarios, 

envisager leurs implications, choisir de façon stratégique ceux 

vers lesquels il convient d’investir pour créer les conditions 

qui en permettront la réalisation, et reconnaître les situations 

impossibles vers lesquelles toute énergie déployée le serait à 

pure perte (Guedj, 1997). Une telle pensée pourrait aussi 

aider à reconnaître les zones floues et les incohérences dans 

tout système organisé : informatique, administratif, économique, 

juridique, politique, etc. 

Si l’on admet ces hypothèses, on serait porté à croire que 

l’apport des nouveaux programmes au développement de la 

culture mathématique serait non négligeable, puisqu’à 

première vue on y lit un retour affirmé de la preuve et de la 

démonstration. En effet, la réalisation par l’élève de preuves 

ou de démonstrations constitue l’une des composantes de la 

Compétence 2 « Déployer un raisonnement mathématique » 

visée par le programme de mathématiques, et cela dès le 

premier cycle du secondaire (Gouvernement du Québec, 

2003a). Mais un second regard amène à constater que cette 

même compétence s’évalue aussi par « l’utilisation correcte 

des concepts et des processus appropriés à la situation » et 

que les problèmes admissibles pour l’évaluation de cette 

compétence « nécessitent le recours à une combinaison 

connue de concepts et de processus appris antérieurement ». 

Dans ces conditions, on voit mal la motivation à amener 

l’élève à se questionner sur la validité d’une assertion, à 

chercher à enchaîner des implications logiques, si sa capacité 

à raisonner ne sera évaluée que sur la base de son application 

à reproduire une procédure déjà connue. 

Il est sûr que l’apprentissage de la preuve est semé d’embûches; 

en témoignent les nombreuses études didactiques sur la 

question (Dreyfus, 1999). Le raisonnement déductif ne s’inscrit 

pas dans la façon de penser spontanée des élèves, et il est 

régulièrement ignoré dans la vie de tous les jours, où l’on 

n’hésite pas à généraliser rapidement à partir d’un événement 

ou à sombrer dans un « relativisme absolu » qui affirme 

mollement que toutes les opinions se valent. Par ailleurs, 

force est de reconnaître que la complexité de bien des situa- 




tions réelles se prête difficilement à un enchaînement rigoureux 

de déductions et s’inscrirait davantage dans un paradigme 

de logique floue (Sangalli, 2001). Mais peut-être que la 

preuve constitue malgré tout un des éléments de cette culture 

seconde qui permet de mieux voir le monde et qui donne 

tout son sens à l’école. 

Cela n’implique pas pour autant de revenir en arrière en 

cherchant à reconstruire chez l’élève toute la géométrie euclidienne 

ou en réduisant dans l’enseignement le raisonnement 

mathématique à la preuve. L’exploration d’une situation, la 

recherche de régularités et la formulation de conjectures sont 

des éléments fondamentaux de la pratique mathématique, 

autant dans ses développements que dans ses applications, 

que les programmes actuels ont raison de reconnaître comme 

autre composante de la Compétence 2 (même si les modalités 

d’évaluation risquent à nouveau de faire obstacle à ces 

intentions). Mais la construction et la structuration de 

connaissances mathématiques, tant au niveau individuel que 

collectif, exige de ne pas s’arrêter là. L’épistémologie propre 

à toute discipline scientifique commande de questionner la 

généralité de ce qu’on infère, d’en cerner les conditions de 

validité et de chercher à en comprendre les causes. Et l’une 

des forces des mathématiques réside justement dans le fait 

que le caractère idéalisé des objets d’étude, où les structures 

sont mises à nu, permet de mieux contrôler les réponses à de 

tels questionnements et d’assurer la cohérence de la construction. 

Par conséquent, il convient d’être vigilant lorsque le manuel 

paraît se satisfaire de l’observation de quelques cas pour 

conclure à une propriété, une « loi » ou une « règle » : c’est le 

cas notamment des propriétés des quadrilatères que Perspective 

7 fait découvrir à l’élève à partir d’activités de traçage et 

d’observation. Sans remettre en cause la pertinence de telles 

activités, les résultats vers lesquels elles conduisent ne 

devraient pas se voir reconnaître un statut autre que celui de 

conjecture. Il conviendrait de se demander ensuite s’il s’agit 

d’une propriété commune à tous les quadrilatères de ce type 

et de tâcher de s’en convaincre (ou de chercher à en comprendre 

la raison) en tirant parti de l’étude des angles formés 

par les droites en jeu (aussi au programme d’étude à ce 

niveau). C’est en questionnant les observations et en établissant 

des liens entre les concepts qu’on peut espérer comprendre 

et organiser ses connaissances à l’intérieur d’une 

structure riche et logique (Hana, 2000), et c’est précisément 

ce que visent les mathématiques. Une telle organisation, qui 

permet par les nombreux liens qu’elle tisse d’en retrouver les 

éléments, libère par ailleurs de l’interminable mémorisation 

d’éléments isolés et donne tout son sens à cette phrase bien 

connue d’Édouard Herriot : « La culture, c'est ce qui reste 

quand on a tout oublié ». On a donc tout intérêt à instaurer 

en classe une culture du doute, où l’argument d’autorité n’a 

plus sa place et où les « pourquoi » et les « est-ce que c’est 

toujours vrai » sont au moins aussi importants que les 

« combien », les « quoi » ou les « comment ». Dans sa 

rigueur, la pensée mathématique a un côté rebelle qu’il convient 

de mettre en valeur. 

7 Perspective, Manuel A, Volume 1, p.85-87. 

La même approche peut s’appliquer à l’arithmétique et à 

l’algèbre. Par exemple, à la suite des contextes et des suites 

de nombres que présente À vos maths 8 pour amener l’élève à 

dégager la « règle des signes », on pourrait compléter avec 

une justification mathématique qui fasse ressortir la 

cohérence interne de cette règle. Ce travail repose sur deux 

idées-clés qui ont dirigé la construction du savoir mathématique 

en général, et des nombres en particulier (Guedj, 1996) : 

d’une part, se permettre de faire avec de nouveaux objets ce 

qu’on ne pouvait pas faire avec les anciens – dans le cas de 

l’extension de ! à ! , soustraire un plus grand nombre 

d’un plus petit – ; d’autre part, assurer la coexistence de 

l’ancien avec le nouveau en ne mettant pas en péril les 

résultats déjà établis – faire en sorte ici que les propriétés de 

la multiplication dans ! (en particulier la distributivité, 

l’élément absorbant et la commutativité) demeurent valables 

dans ! –. Comme autre exemple, on pourrait plus tard, 

lors de l’entrée dans l’algèbre, reconnaître que « résoudre une 

équation, c’est encore démontrer » (Gandit et Demongeot, 

1996), en faisant ressortir les raisons qui permettent d’assurer 

l’équivalence des équations (c.-à-d. ayant mêmes solutions) 

ou l’implication qui les lie (ex. si ce produit est nul, alors au 

moins un des facteurs est nul). 

L’explicitation des liens entre concepts ou entre concepts et 

processus n’apparaît pas souvent dans les manuels de 

première secondaire. En fait, on sent une volonté (ou peutêtre 

une consigne) de réduire au minimum la place occupée 

par l’exposé du savoir mathématique au profit d’activités 

d’apprentissage ou d’application. L’explicitation du savoir 

n’occupe en effet qu’entre 3% et 13% de l’espace du livre, 

selon la collection. Souvent isolé dans des encadrés qui 

encapsulent l’information associée à un élément de ce savoir, 

l’exposé se réduit aux définitions, à l’énoncé des propriétés, 

aux procédures, aux « règles » ou aux « formules ». Si 

plusieurs des activités des manuels ont été habilement 

conçues pour faire découvrir l’existence de liens, l’explication 

de propriétés et la justification des procédures, il reste que 

ces aspects du savoir n’ont pas un statut officiel dans le livre 

de l’élève et que leur mise en évidence et leur valorisation 

institutionnelle reposent essentiellement sur les épaules de 

l’enseignant. Sans nier la valeur des activités présentées par 

les manuels, on peut néanmoins se demander s’il n’y aurait 

pas intérêt à doter aussi l’élève d’un ouvrage de référence 

pour les mathématiques du secondaire, qui serait structuré 

selon une logique des savoirs et afficherait clairement le 

pourquoi des choses. Dans cette direction, les livres de 

Deledicq 9 nous semblent constituer un modèle intéressant 

qu’on pourrait vouloir adapter aux programmes du Québec. 

Expliciter dans l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques 

les propriétés qui expliquent les faits observés et 

justifient les processus permet de valoriser les termes et leurs 

définitions comme outils pour raisonner et, par conséquent, 

s’inscrit aussi dans le développement de la Compétence 3 

8 

À vos maths! Manuel A, p.249-251. 

9 

Deledicq, A. (2004) Maths – Collège, Paris, Éditions de la 

Cité. 

Deledicq, A. (2004) Maths – Lycée, Paris, Éditions de la Cité. 




« Communiquer avec le langage mathématique ». Car il y a 

une dimension langagière aux mathématiques, qui s’exprime 

dans différents registres (verbal, symbolique ou graphique). 

Développer une culture mathématique, c’est aussi s’approprier 

ce langage et en comprendre le rôle et la portée. Comme 

nous le laisse entendre Stendhal, cette attention portée à 

l’explicitation pourrait même avoir des effets qui débordent 

des connaissances mathématiques : « Ma cohabitation passionnée 

avec les mathématiques m'a laissé un amour fou 

pour les bonnes définitions, sans lesquelles il n'y a que des àpeu-près. 

» 

Le rapport à la réalité 

Une vision essentiellement puriste des mathématiques pourrait 

confiner l’enseignement de cette discipline au niveau 

abstrait où se situent les objets mathématiques enseignés, les 

liens qui les unissent et les structures qui en rendent compte. 

Mais ce serait faire silence à la fois sur les nombreux problèmes 

issus de la réalité qui ont favorisé le développement des 

mathématiques et sur l’utilisation croissante des mathématiques 

dans les différents secteurs d’activité humaine, qui 

explique la place qu’elles occupent actuellement dans le 

cursus scolaire. Sans pour autant s’y réduire, une culture 

mathématique se doit d’inclure une prise en compte du 

rapport au réel, autant dans la construction du savoir 

mathématique que dans son application. Et les raisons pour 

aller dans ce sens vont au-delà du soutien à la motivation de 

l’élève auquel peut donner lieu une contextualisation des 

mathématiques à différents domaines de réalité. 

À travers les repères culturels et la Compétence 1 « Résoudre 

une situation-problème », le programme vise un transfert aux 

situations extramathématiques des connaissances développées 

en mathématiques. Le « décodage des éléments qui se 

prêtent à un traitement mathématique » et la « représentation 

de la situation-problème par un modèle mathématique », 

présentés comme composantes de cette compétence, relèvent 

de la modélisation mathématique. De fait, avec les 

technologies qui permettent d’explorer et de résoudre des 

problèmes de plus en plus complexes et donc d’aborder des 

pans de la réalité de plus en plus vastes, la modélisation a 

considérablement gagné en importance dans la pratique 

mathématique, au point d’être considérée maintenant par 

certains mathématiciens comme une des composantes essentielles 

des mathématiques 10 et un des enjeux principaux de 

leur enseignement (Bouleau, 2000). Or le passage de 

connaissances mathématiques à de véritables compétences de 

modélisation est loin d’aller de soi et nécessite un travail 

explicite en ce sens qui dépasse un simple « éveil à l’applicabilité 

» des mathématiques et requiert de l’enseignant un 

subtil dosage des consignes, du temps alloué et des ressources. 

En plus du niveau de structuration de ses connaissances 

(Caron, 2003), la capacité à modéliser d’un étudiant dépend 

10 Après avoir été longtemps vues comme science des grandeurs, 

puis, plus récemment, comme science des structures, les 

mathématiques sont de plus en plus décrites comme sciences des 

modèles, ou science du calcul, de la modélisation et de la 

démonstration (Ronald Brown, Yves Lafont). 

de son expérience de la complexité, de ses compétences de 

communication et du niveau d’intégration de la technologie à 

sa pratique mathématique (Caron et Bélair, 2006). 

Par le temps qu’elle requiert et la nécessité de miser sur les 

intérêts individuels des élèves (pour éviter que le contexte 

d’application ne s’instaure en obstacle), la modélisation 

constitue une des raisons d’intégrer des projets d’élèves à 

l’apprentissage des mathématiques. Les manuels offrent 

plusieurs idées de projets intéressants (ex. l’étude du réchauffement 

de nos hivers proposée par Perspective 11 ). Pour que de 

tels projets puissent contribuer au développement de compétences 

de modélisation, il importe de laisser le soin à l’élève 

de choisir les mathématiques qu’il met à contribution (Caron 

et Muller, 2005). Idéalement, on favorisera la comparaison 

de différents modèles créés par les élèves pour en faire 

ressortir les ressemblances et les différences, les apports et les 

limites. Et on ira au-delà de la régression gérée par la 

calculatrice (à laquelle la modélisation se voit souvent réduite 

au second cycle du secondaire) en visant le caractère 

explicatif du modèle : cela demande de comparer, de décrire 

le changement, de chercher les invariants, d’avancer des 

hypothèses, de combiner à un niveau global des relations 

simples qu’on aura pu définir à un niveau local, etc. 

La modélisation donne aussi un sens particulier à l’apprentissage 

de la statistique. En découvrant les différentes formes 

de distributions qui correspondent aux phénomènes examinés 

(naturels ou sociaux) et en appréciant la variabilité des 

échantillons associés à une même distribution, l’élève 

apprend avec la statistique à connaître « la variabilité du 

monde » qui échappe aux modèles déterministes (Wozniak, 

2005; Kahane, 2002). La loi de probabilité devient ensuite la 

façon de retrouver l’invariance dans cette variabilité, qui 

permettra de prédire, expliquer, évaluer et décider. Ainsi, un 

enseignement culturel de la statistique peut viser bien plus 

que le décodage de l’information transmise au citoyen et au 

consommateur. Mais cela demande de développer une culture 

du questionnement, de l’analyse, de l’interprétation et de la 

communication en mathématiques. 

Finalement, il nous faut revenir sur le rôle des outils informatiques 

dans la modélisation mathématique de la complexité 

du réel ; ce rôle essentiel contribue fortement à justifier leur 

intégration dans l’apprentissage des mathématiques. L’incidence 

radicale de la technologie sur la pratique mathématique 

(pure ou appliquée) demande de ne pas en limiter l’utilisation 

à une aide à l’enseignement (ou à l’apprentissage) d’un même 

savoir traditionnel. Une intégration réussie des outils informatiques 

dans l’enseignement des mathématiques au secondaire 

et au collégial devrait ouvrir progressivement vers les 

nouvelles approches qu’ils permettent (exploration graphique, 

collecte et traitement de données, méthodes itératives, 

simulations, etc.) pour traiter des problèmes plus complexes 

et aborder ainsi un champ plus vaste de situations réelles. 

L’élève ne pourra néanmoins exercer un réel contrôle sur les 

productions de ces outils que s’il est exposé à certains des 

11 Perspective, Manuel A, Volume 2, p.230-231. 




mécanismes, algorithmes et contraintes qui leur sont propres. 

Puisque l’informatique n’est curieusement pas couverte par le 

programme de science et technologie au secondaire, sans 

doute revient-il à l’enseignant de mathématiques d’en faire 

connaître les éléments qui influencent l’activité mathématique 

de ses élèves et qui contribuent à façonner une nouvelle 

culture mathématique. Enfin, dans le souci de prolonger la 

perspective historique aux développements contemporains et 

d’ « éveiller à l’applicabilité des mathématiques », on pourrait, 

comme le font déjà certains manuels, montrer le rôle fondamental 

qu’elles ont joué et qu’elles continuent de jouer en 

informatique : en cryptographie (évoquée dans Panoramath 12 ), 

en infographie, etc. Ces nouveaux champs d’application, où 

le virtuel constitue une couche entre le réel et le mathématisé, 

multiplient les occasions d’utiliser les mathématiques et 

créent de nouvelles demandes pour en poursuivre le développement. 

Conclusion 

Une culture mathématique qui permette « d’identifier et de 

comprendre les divers rôles joués par les mathématiques 

dans le Monde, de porter des jugements fondés à leur propos 

et de s'engager dans des activités mathématiques, en fonction 

des exigences de sa vie présente et future », ne peut que 

reposer sur un vaste réseau de connaissances et une expérience 

riche et variée de la pratique mathématique. Si les 

nouveaux programmes et manuels semblent à bien des 

égards vouloir relever un tel défi, il convient de prendre 

certaines précautions pour faire en sorte qu’une profondeur 

accompagne l’ampleur du territoire qu’on se propose de faire 

parcourir à l’élève, et que celui-ci ressorte proprement outillé 

des explorations qu’il aura pu y faire. Il y a tant à comprendre 

de la fréquentation des mathématiques qu’il serait malheureux 

que, glissant par manque de temps de la culture au 

tourisme, on se contente de n’y faire qu’un « bien beau 

voyage ». 

Références 

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mathématiques postmodernes? Actes du colloque 

EM2000. 

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d’elles? Montréal, Éditions Bande didactique. 

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competencies in modelling, In C. Haines, P. Galbraith, 

W.Blum, S. Khan (dir.) Mathematical Modelling: Education, 

Engineering and Economics. Chichester, Horwood 

Publishing. À paraître. 

Caron, F. et Muller, E. (2005) L’intégration de l’application et 

de la modélisation dans les mathématiques au 

secondaire et au collégial », Actes de la 28e Rencontre 

annuelle du Groupe canadien d’étude en didactique des 

mathématiques, 63-80. 

12 Panoram@th, Manuel A, Volume 1, p.102-103. 

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et mémoire, Montréal, Éditions HMH, Montréal, 1968. 

Gandit, M. et Demongeot, M-C. (1996) Le vrai et le faux en 

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Gouvernement du Québec (2003a). Programme de formation de 

l’école québécoise. Enseignement secondaire, premier cycle. 

Québec, Ministère de l’Éducation. 

Gouvernement du Québec (2003b). L’intégration de la dimension 

culturelle à l’école. Document de référence à l’intention du 

personnel enseignant. Québec, Ministère de l’Éducation. 

Gouvernement du Québec (2001). Programme de formation de 

l’école québécoise. Éducation préscolaire – Enseignement 

primaire. Québec, Ministère de l’Éducation. 

Guedj, D. (1997) La gratuité ne vaut plus rien. Paris, Éditions du 

Seuil. 

Guedj, D. (1996) L’empire des nombres. Paris, Éditions 

Gallimard. 

Hana, G. (2000) Proof, Explanation and Exploration : An 

overview. Educational Studies in Mathematics 44, 5–23. 

Kahane, J.P. (dir.) (2002) Enseignement des sciences mathématiques: 

Commission de réflexion sur l'enseignement des mathématiques : 

Rapport au ministre de l'éducation nationale. Paris, Éditions 

Odile Jacob. 

Organisation de coopération et de développement 

économiques (2001) Connaissances et compétences : des atouts 

pour la vie. Paris, Éditions de l’OCDE. 

Sangalli, A. (2001) Éloge du flou – Aux frontières des 

mathématiques et de l’intelligence artificielle. Les Presses de 

l’Université de Montréal. 

Wozniak, F. (2005) Conditions et contraintes de l’enseignement de la 

statistique en classe de seconde générale – Un repérage didactique. 

Thèse de doctorat, Université Claude Bernard – Lyon. 





L'analyse de copies d'élèves: 

un exercice 

de jugement professionnel ? 

Après avoir corrigé une à une les copies de nos élèves, nous ne prenons pas 

toujours le temps de revenir sur la performance globale de l'ensemble de la classe. 

Pourtant, cet exercice pourrait jeter un éclairage sur les erreurs que nos élèves ont 

faites individuellement et collectivement et sur ce qu'il convient de faire pour les 

aider à corriger certaines fausses conceptions. 

Renée Caron, 


Montréal 

renee.caron@ 

umontreal.ca 

L 

es solutions que les élèves produisent 

aux problèmes qu'on leur propose dans 

une activité d'évaluation nous en disent 

long sur le sens qu'ils ont donné aux 

connaissances mises en jeu au cours des 

activités que nous leur avons proposées. Dans 

le cas de la résolution de problèmes 

mathématiques, il s'agit souvent pour l'élève, 

comme dans le cas de la plupart des 

problèmes de sa vie, d'arriver à une solution, 

de répondre à la question posée. Le fait 

d'obtenir la réponse lui indique souvent qu'il a 

satisfait à la tâche. Or, en apprentissage des 

mathématiques, on compte sur l'activité de 

résolution de problèmes pour amener les 

élèves à créer de nouveaux savoirs ou, à tout le 

moins, à en prendre conscience. Il faut donc 

aller au-delà de la solution. 

Il importe donc d'analyser les résultats que les 

élèves produisent aux problèmes 1 qu'on leur 

propose pour les comprendre et, éventuelle- 

1 Pour les besoins de l'animation de cet atelier, un 

échantillon de solutions d'élèves à deux problèmes, 

proposés dans une épreuve expérimentale du 

ministère de l'Éducation du Québec, a servi de base 

à nos discussions et argumentations. On retrouvera 

ces deux problèmes en annexe à ce texte. 

ment, modifier ces problèmes. Cette analyse 

est fondamentale dans la tâche d'une 

enseignante ou d'un enseignant. Elle nous fait 

voir que la question qu'on voulait leur poser 

n'est pas celle qu'on leur a posée, et que le 

savoir qu'on voulait vérifier n'est pas celui que 

la situation permettait de vérifier. Dans 

d'autres cas, on constate que les connaissances 

qu'on croyait leur permettre d'acquérir ne sont 

pas celles qu'ils ont acquises. 

Voici donc quelques réflexions que nous 

avons été amenés à faire suite à l'observation 

des copies d'élèves. 

PROBLÈME 1 

Pourquoi choisit-on que tel ou tel problème 

apparaisse dans un examen ? 

La réponse à cette question est sans doute : 

« Pour s'assurer que l'élève a fait les apprentissages 

qui vont lui permettre de poursuivre 

avec succès ses études. » 

Si on considère ce problème (annexe 1), ce 

qu'on aurait dû chercher à vérifier chez les 

élèves de la fin du Primaire, ce sont leurs 



L'analyse de copies d'élèves : un exercice de jugement professionnel ? Renée Caron 

habiletés à appliquer la priorité des opérations et à utiliser 

adéquatement les parenthèses, de même qu’à représenter 

une situation-problème sous forme d'équation. On sait que 

ces acquis leur deviendront de plus en plus utiles à mesure 

que se complexifieront les problèmes et les équations qu'ils 

auront à résoudre au Secondaire. Ce sont aussi des savoirs 

qui sont visés par le Programme de formation de l'école québécoise. 

Toutefois, si ce qu'on veut vérifier est bien ce qui est énoncé 

au paragraphe précédent, il n'est pas nécessaire que les 

élèves fassent des calculs, il est même souhaitable qu'ils ne 

les fassent pas. Réserver une plage pour les calculs et leur 

demander de fournir la solution de l'équation vient donc 

modifier le sens de la question et détourner leur pensée 

d'une réflexion sur la relation entre la situation et l'équation 

ou les équations qui peuvent la représenter. Cette forme qu'a 

prise la situation reflète sans doute le sens qu'on a 

progressivement donné à la démarche de représentation d'un 

problème à données multiples par une équation dans la culture 

scolaire, soit par le biais des manuels utilisés par les élèves, 

soit par les moyens qu'on a mis en place pour rendre la tâche 

accessible au plus grand nombre d'élèves. 

Comment les élèves ont-ils réagi à cette question ? 

Une des choses amusantes qu'on a pu observer, c'est que les 

élèves nous ont fait, pour la plupart, la démonstration qu'ils 

savent composer avec la priorité des opérations et avec le 

sens des parenthèses. Ils ont d'abord résolu le problème 

sans tenir compte des équations qu'on leur proposait puis ils 

ont ensuite fait les calculs pour toutes les expressions ou 

équations qu'on leur proposait et ont choisi celle qui 

conduisait au même résultat que celui qu'ils avaient obtenu. 

C'est un peu primitif comme raisonnement mathématique et 

des jeunes de 12-13 ans sont sans doute capables de faire 

mieux. Quelques-uns nous l'ont démontré d'ailleurs, de 

façon plus ou moins complète, par des arguments tels que : 

- dans l'équation A, on ne tient pas compte des breuvages; 

- dans l'équation B, on additionne le montant des dépenses à 117 $. 

Les arguments qui avaient peu de lien avec les données du 

problème ont cependant été plus nombreux que les 

précédents. C'est ainsi que certains élèves ont écrit que 13 $ 

était un « bon prix » pour un repas ou encore que ce prix 

était sans doute le bon puisque les autres prix étaient « exagérés 

». Pour plusieurs autres, la justification de leur choix 

n'a été qu'une simple répétition des données du problème. 

Quelles conclusions peut-on tirer de ces comportements 

d'élèves ? 

Le nombre d'élèves ayant procédé en résolvant le problème 

et en comparant le résultat avec celui des équations 

proposées est trop grand pour qu'on puisse conclure que 

cette manière de faire est accidentelle chez eux, surtout 

quand on considère que les copies examinées viennent d'un 

nombre restreint de classes. Il est permis de croire que le 

comportement des élèves est relié à un apprentissage 

insuffisant de la modélisation et de la mathématisation. Si 

nous sommes plutôt bien informés sur la capacité de l'élève 

à résoudre une situation-problème dont les données sont multiples 

comme le spécifie le programme, nous le sommes moins sur 

sa capacité à recourir à l'équation comme mode de 

représentation lui permettant d'organiser ces données. Comme les 

consignes du problème leur demandaient de faire les calculs, 

il leur paraissait inutile, une fois ces calculs faits, de chercher 

une justification mathématique plus sophistiquée quand il y 

en avait une toute simple sous leurs yeux. 

Par ailleurs si la démarche qu'ont empruntée la majorité des 

élèves est une démarche apprise, il faut conclure qu'à un 

moment donné ou l'autre de leur apprentissage, l'activité de 

«mathématisation» qui consiste à traduire une situationproblème 

à l'aide d'outils et de symboles mathématiques a 

été perdue de vue au profit de quelque chose de beaucoup 

plus simple, soit trouver la réponse au problème. 

Se donner le temps de comprendre les réponses que nous 

donnent les élèves nous fait souvent réaliser qu'on a besoin 

de rectifier le tir. Cela nous fait réaliser que les moyens 

qu'on avait peut-être utilisés pour permettre à tous les élèves 

de se rendre au bout de la tâche les ont privés d'un exercice 

et d'un effort qui leur auraient permis d'atteindre un niveau 

plus élevé d'habileté mathématique. 

PROBLÈME 2 

Nous avons consacré moins de temps à l'étude de ce 

problème; toutefois, il est intéressant de constater que, pour 

ce problème aussi, ce qu'on a prévu que les élèves 

apprennent n'est pas nécessairement ce qu'ils ont appris. 

Voici quelques observations : 

Certains élèves n'ont pas une idée claire du concept d'image 

de la figure de départ : ils changent donc des détails sans 

que cela leur apparaisse incorrect. 

La flèche de translation est interprétée comme un indicateur 

de la direction, mais pas nécessairement comme un indicateur 

de la grandeur du déplacement. 

Certains élèves interprètent les quadrants du plan cartésien 

comme des espaces fermés à l'intérieur desquels la figure de 

départ et son image doivent être placées de la même manière, 

par exemple à un carreau de distance du bord de gauche. 

Certains élèves interprètent les axes du plan cartésien 

comme des axes de symétrie. 

Il aurait été intéressant de réfléchir davantage sur ce qui a 

amené les élèves à interpréter l'opération de translation de 

telle ou telle manière. On peut proposer plusieurs 

hypothèses, mais c'est quand chaque enseignante, chaque 

enseignant, le fait pour les productions de ses élèves et au 

regard de son propre enseignement que cette réflexion 

devient productive et garante d'une amélioration des 

apprentissages et des savoirs des élèves. 



L'analyse de copies d'élèves : un exercice de jugement professionnel ? Renée Caron 

ANNEXE 1 

ANNEXE 2 

Lors d'une sortie à l'île Blizzarde, le recteur a remis 117,00 $ 

CAPNAR à un élève pour ses dépenses personnelles. 

Pour s'amuser avec ses amis, cet élève s'est acheté pour 

39,00 $ CAPNAR d' « attrape-bébêtes». 

Il a dépensé 3 fois moins de dollars CAPNAR pour ses 

breuvages que pour les « attrape-bébêtes». 

Il a prêté 52,00 $ CAPNAR à une de ses amies et le reste, il 

l'a dépensé pour ses repas. 

Parmi les équations suivantes, laquelle permet de 

trouver ce que cet élève a dépensé pour ses repas? 

Explique pourquoi. 

A) 117 - 39 - 52 = 

B) 117 + (52 - 39 ÷ 3 - 39) 

C) 117- (39 + 39 ÷ 3 + 52) 

D) 117 - (39 + 39) ÷ 3 + 52 

Calcule ce que cet élève a dépensé pour ses repas. 

La lettre (A, B, C ou D) qui me permet de trouver ce que 

cet élève a dépensé pour ses repas est ____. 

Explique pourquoi tu as choisi cette équation. 

______________________________________________ 

____________________________________________ 

Laisse des traces des calculs qui te permettent de trouver ce 

que cet élève a dépensé pour ses repas. 

Cet élève a dépensé ____ $ CAPNAR pour ses repas. 

Pendant ton cours de potion 101, un intrus, dont on ne 

peut dévoiler l’identité, s’est introduit dans l’école. 

Il est à la recherche de jeunes magiciennes et magiciens sur 

lesquels il veut pratiquer de dangereuses expériences qui 

risquent d’affecter leur cerveau. 

Jusqu’à nouvel ordre, il est strictement interdit de circuler 

dans l’école. 

Le directeur a donc demandé à tous les enseignants de 

« transplaner » leur groupe d’élèves dans leur dortoir 

respectif. 

Effectue la translation afin d’aider ton enseignant à 

« transplaner » les élèves de ton groupe dans leur dortoir. 

Effectue la translation décrite par la flèche de translation 

pour montrer le déplacement de la valise. 





Les situations-recherche, 

Apprendre à chercher en 

mathématiques 

Cet article s'articulera autour de plusieurs situations dites "situations-recherche". 

Ces situations sont généralement présentées sous la forme d'un jeu matériel et sont 

directement issues de la recherche mathématique actuelle. Nous les proposons dès 

l'école primaire jusqu’à l'université afin de mettre les apprenants en situation de 

recherche en mathématiques. Les participants à nos ateliers ont été invités à "jouer" 

et à analyser les situations-recherche proposées. Nous présentons dans cet article 

une analyse mathématique et didactique de ces situations et identifions les apports 

de celles-ci pour la classe. 

Léa Cartier, 

lea.cartier@ 

imag.fr 

Karine Godot, 

karine.godot@ 

imag.fr 

Laboratoire 

Leibniz, 

Grenoble, 

France. 

Eva Knoll, 

eva.knoll@ 

msvu.ca 

Mount Saint 

Vincent 

University, 

Halifax, Canada. 

Cécile Ouvrier- 

Buffet. 

cecile.ob@ 

wanadoo.fr 

IUFM de Créteil, 

Université Paris 7 

DIDIREM, Paris, 

France. 

www.mathsamodeler.net 

D 

ans les programmes scolaires de 

mathématiques se dessine un intérêt 

nouveau pour la démarche de 

recherche en mathématiques. L’expression 

même de « démarche de recherche en 

mathématiques » a pris une place importante 

et apparaît actuellement de manière récurrente 

dans les instructions officielles françaises, du 

primaire au secondaire, et même à l’entrée de 

l’université. Il est en effet préconisé de 

confronter les élèves à « de véritables 

problèmes de recherche » (cycle 2 de l’école 

primaire), à « une véritable activité 

mathématique » (collège), de les initier à « la 

pratique d’une démarche scientifique globale » 

(classe de Terminale). L’introduction de ce 

type d’activités au sein des programmes 

français vise à « intéresser les élèves à la 

pratique des mathématiques », en faisant de la 

classe « une véritable petite communauté 

mathématique » (instructions officielles du 

primaire). Il ne s’agit pas seulement que les 

élèves trouvent du plaisir dans ces activités de 

recherche : il est bien davantage question 

d’ « éviter de donner des mathématiques une 

vision étriquée réduite à des techniques » 

(instructions de terminale scientifique). 

Cette dimension « recherche », qui se veut 

donc proche de l’expérience des chercheurs 

professionnels, s’inscrit dans une vision des 

mathématiques scolaires qui donne plus de 

poids, relativement, au raisonnement mathématique 

qu’aux connaissances acquises. Cette 

tendance est aussi visible dans d’autres pays 

francophones, notamment au Québec, où les 

« situations-problèmes » et la « résolution de 

problèmes » sont préconisées dans les 

programmes. En effet, l’entrée par les 

compétences dans les programmes québécois 

fait ressortir trois composantes : résoudre un 

problème, déployer un raisonnement, 

communiquer en langage mathématique. 

Cependant, la résolution de problèmes 

apparaît là plus comme une modalité 

pédagogique en situation d’apprentissage 

qu’un type de situation à part entière. Faut-il 

étudier le processus mobilisé dans de telles 

situations ou se concentrer davantage sur le 

savoir notionnel construit dans la résolution ? 

C’est une question difficile que pose 

également la lecture des programmes belges : 

ceux-ci par exemple n’ont pas tranché. 

Soulignons que, dans ce cas particulier, il s’agit 

de construire un savoir dans les situationsproblèmes 

alors apparentées aux situations 

adidactiques de Brousseau (Brousseau, 1998). 



Les situations-recherche . Apprendre à chercher en mathématiques L. Cartier, K. Godot, E. Knoll et C. Ouvrier-Buffet 

Mais revenons au processus de recherche lui-même : 

comment se caractérise la « démarche de recherche en 

mathématiques » ? Quelles compétences appelle-t-elle ? 

Quelles situations problématisent ce genre de démarche ? 

Quelle implémentation didactique est-il possible de faire ? 

Nous avons apporté des éléments de réponse à ces vastes 

questions au cours de trois ateliers proposés dans le cadre du 

congrès AMQ : 

- Karine Godot : « Maths à Modeler : des jeux pour apprendre à 

chercher en mathématiques dès le plus jeune âge ». 

- Léa Cartier : « La chasse à la bête : une situation-recherche pour 

l’entrée dans la preuve » 

- Eva Knoll et Cécile Ouvrier-Buffet : « Les situations-recherche 

pour la classe et la formation des enseignants ». 

1. La « démarche de recherche en mathématiques 

» : proposition de définition et 

caractérisation 

En référence à Glaeser et Polya nous rassemblerons sous le 

terme « heuristiques » les caractéristiques de la démarche de 

recherche en mathématiques. 

Heuristique : 

- Art de résoudre des problèmes mathématiques (Polya, 1989). 

- Étude des méthodes spontanées ou non conduites par une personne 

confrontée à un problème (Glaeser, 1999, p.112). 

Une situation problématique (qui n’est pas forcément 

énoncée en langage mathématique ou restreinte à un seul 

problème) implique de se poser une question, d’étudier 

éventuellement un problème plus simple, de faire des essais, 

d’émettre des conjectures, de les réfuter ou de les valider, de 

prouver, de généraliser… C’est cet ensemble de composantes 

que nous qualifierons d’heuristiques. 

La pratique du mathématicien est peu décrite. Nous nous 

sommes appuyées sur les travaux de Nimier d’une part 

(Nimier, 1989) et de Burton (Burton, 1999) d’autre part, 

conduits à partir d’entretiens avec des mathématiciens sur 

leur discipline de prédilection. Il en ressort deux 

composantes propres à l’activité de recherche : une phase de 

recherche individuelle et une phase collective, ces deux 

phases pouvant aussi se développer conjointement selon 

Burton. 

Intéressons-nous tout d’abord à la première. Quelle que soit 

leur spécialité en mathématiques, les chercheurs parlent de 

jeu, de plaisir, de persévérance, d’imagination et d’intuition 

ou d’insight (un aspect reconnu comme majeur selon Burton). 

La dimension sociale de l’activité professionnelle du 

chercheur apparaîtrait plutôt, quant à elle, dans un deuxième 

temps, à travers les échanges entre collègues, l’aspect 

communication étant le terme du processus de recherche une 

fois les avancées formalisées. Ces échanges font partie 

intégrante de la recherche, ils participent à son avancée, 

induisant échanges, dialogues, mises en débat. Soulignons 

que la phase de recherche et la phase de mise en commun et 

d’échanges avec des pairs ne sont pas séparées dans le temps, 

mais s’imbriquent réellement. Le cliché du mathématicien 

enfermé dans son bureau est de nos jours révolu : le travail 

en collaboration est en effet à l’œuvre pour ainsi dire dès le 

début d’une recherche (Burton, 2004). 

Nous considérerons donc que chercher en mathématiques, 

c’est se retrouver dans la peau d’un chercheur en mathématiques, 

s’interroger, essayer, tâtonner, observer, raisonner, 

émettre des conjectures, généraliser, prouver, s’accrocher, 

imaginer, trouver du plaisir, échanger avec autrui, partager 

ses découvertes, critiquer, argumenter... 

Les programmes actuels français vont dans ce sens : du 

primaire à la fin du lycée, on retrouve des objectifs tels les 

heuristiques décrites ci-dessus. 

2. Les programmes français actuels : un 

exemple d’attente institutionnelle de 

mise en œuvre d’une « démarche de 

recherche en mathématiques » 

Par exemple, les instructions officielles préconisent (Bulletins 

officiels du Primaire, du Collège et du Lycée ; Godot, 2005, 

p. 62-63) : 

ce que l’enseignement des mathématiques doit 

permettre de développer : 

• au primaire : « Capacités à chercher, abstraire, 

raisonner, prouver » 

• au collège : « Pratiquer une démarche scientifique, 

chercher, observer » 

• au lycée : « Observation, abstraction, expérimentation, 

démonstration » 

de faire construire des conjectures : 

• au primaire : « Émettre des hypothèses et les tester – 

Faire et gérer des essais successifs » 

• au collège : « Énoncer des conjectures, les 

expérimenter » 

• au lycée : « Se poser des questions – Conjecturer un 

résultat » 

de faire travailler l’argumentation : 

• au primaire : « Argumenter à propos de la validité 

d’une solution produite par soi-même ou par un 

camarade » 

• au collège : « Construction d’une argumentation – 

Écoute des arguments d’autrui – Introduction 

progressive au raisonnement déductif » 

• au lycée : « Comprendre comment la question se 

résout dans des cas particuliers et en quoi les 

arguments valables se généralisent ou non » (1re et 

Terminale) 

de rechercher des contre-exemples : 

• au primaire : « Élaborer une solution originale et en 

éprouver la validité » 

• au collège : « Recherche de contre-exemples » 

• au lycée : « Trouver d’éventuels contre-exemples » 

de vérifier, de contrôler ses résultats : 

• au primaire : « Contrôler et discuter la pertinence ou 

la vraisemblance d’une solution – Identifier des 

erreurs dans une solution en distinguant celles qui 




sont relatives au choix d’une procédure de celles qui 

interviennent dans sa mise en œuvre » 

• au collège : « Contrôle des résultats et évaluation de 

leur pertinence en fonction du problème étudié – 

Analyse critique » 

• au lycée : « Contrôler les résultats obtenus, évaluer 

leur pertinence en fonction du problème posé » 

mais aussi, de développer l’imagination et la créativité : 

• au primaire : « Favoriser l’initiative, l’imagination et 

l’autonomie des élèves » 

• au collège : « Des qualités d’initiative, d’imagination et 

de créativité » 

• au lycée : « Capacités d’imagination et d’analyse 

critique » (2 nde et 1re) 

Les heuristiques qui sont au cœur de l’activité du mathématicien 

sont ainsi mises en avant par ces programmes. Mais de 

quelles ressources pédagogiques disposent les enseignants 

pour les mettre en œuvre en classe ? Comment évaluer leur 

maîtrise par les élèves ? Comment peuvent-ils noter ou 

valider ces séances ? Nos recherches ont montré que très peu 

d’outils sont disponibles pour les enseignants. Quelques 

manuels proposent des problèmes pouvant permettre à 

l’élève d’accéder à une heuristique, mais la fermeture relative 

de ceux-ci nous semble faire obstacle au développement de 

telles compétences chez l’élève (voir en particulier Godot, 

2005, p. 70-97). 

Nous allons maintenant proposer un nouveau type de situations 

permettant effectivement de travailler la démarche de 

recherche. Nous entendons « nouveau » au regard de ce qui 

existe dans la littérature, c’est-à-dire le problem-solving 

(Schoenfeld, 1985), les situations-problèmes, les problèmes 

ouverts (Arsac, Germain et Mante, 1988) et les situations 

adidactiques (Brousseau, 1998). Nous montrerons comment 

ces « situations-recherche » que nous proposons répondent à 

la demande institutionnelle, c’est-à-dire en quoi elles permettent 

à l’élève de mobiliser une réelle activité de recherche, en 

référence à ce que fait le chercheur professionnel. 

3. Les situations-recherche 

Nos recherches s’articulent autour de situations que nous 

appelons situations-recherche. Ce sont des situations didactiques 

particulières qui peuvent être considérées comme la 

transposition pour la classe de l’activité du chercheur en 

mathématiques telle que nous l’avons précédemment décrite. 

Nous les caractérisons ainsi : 

• Le problème abordé est le plus souvent issu de 

problèmes de recherche actuels. Il peut donc comporter 

une, plusieurs ou aucune solution. Il peut être encore 

ouvert dans la recherche mathématique actuelle. 

• Le point de départ est une question facilement 

compréhensible pour celui à qui elle est posée. Elle n’est 

pas formalisée en termes mathématiques. C’est la 

situation qui amène l’élève à l’intérieur des 

mathématiques. 

• Les méthodes de résolution ne sont pas désignées. 

Plusieurs pistes peuvent être suivies. 

• Les connaissances scolaires nécessaires sont les plus 

élémentaires et réduites possibles. Ainsi, le domaine 

conceptuel dans lequel se trouve le problème, même s’il 

n’est pas familier, est d’un accès facile pour que l’on 

puisse prendre facilement possession de la situation, 

s’engager dans des essais, des conjectures, des projets de 

résolution. 

• Une question résolue peut amener à se poser de 

nouvelles questions. Il n’y a que des critères de fin locaux 

(Grenier et Payan, 2002 ; Godot, 2005). 

Cette caractérisation n’est pas sans rappeler certains des 

éléments de définition des problèmes ouverts (Arsac, 

Germain et Mante, 1988) ou du problem solving. 

On peut noter plusieurs points communs entre les situationsrecherche 

et les problèmes ouverts : l’énoncé n’induit ni la 

méthode ni la solution, la solution n’est pas une application 

directe des résultats présentés en classe, mais demeure tout 

de même accessible, et la résolution nécessite la mise en 

œuvre d’une démarche de recherche. Cependant, plusieurs 

différences existent. 

Une situation-recherche peut avoir une, plusieurs ou aucune 

solution, contrairement à un problème ouvert ou au problem 

solving qui n’en ont généralement qu’une. De plus, les valeurs 

des variables de recherche ne sont pas fixées au préalable. 

Les variables de recherche sont des variables de tâches 

inhérentes à la situation-recherche, leurs valeurs permettent 

de caractériser les différents sous-problèmes de la situation et 

les procédures afférentes (Godot, 2005, p. 133). Enfin, dans 

une situation-recherche, il n’y a pas nécessairement de savoir 

mathématique notionnel visé ou à mobiliser. En effet, nous 

cherchons avant tout à mettre l’accent sur la démarche de 

recherche en elle-même : c’est pourquoi nous proposons des 

situations où les savoirs notionnels ne viennent pas faire 

obstacle au développement de la démarche de recherche. 

4. Des situations-recherche et des 

heuristiques spécifiques 

Les situations que nous proposons sont de plusieurs types : 

elles peuvent être liées à un travail plus spécifique sur une ou 

plusieurs heuristiques, impliquer des notions mathématiques 

données, appartenir à un ou plusieurs domaines 

mathématiques différents. Remarquons que la plupart des 

situations que nous avons conçues sont proches des 

mathématiques discrètes, un champ des mathématiques 

comportant de nombreux problèmes compréhensibles et 

encore ouverts dans la recherche. Remarquons que l’équipe 

dans laquelle s’inscrivent nos travaux, Maths à Modeler, est 

composée notamment de chercheurs en mathématiques 

discrètes, ce qui nous donne un accès privilégié aux 

recherches mathématiques en cours et à l’observation de la 

démarche du chercheur elle-même. 

Indiquons quelques exemples de situations-recherche que 

nous avons développées au sein de Maths à Modeler et 

expérimentées auprès de différents publics : 




• Une situation sur les pavages du plan par des polyminos 

permettant une alternative à l’apprentissage de la preuve 

est décrite dans (Grenier et Payan, 1998). 

• Une situation autour de droites discrètes permet un 

travail tout particulier de l’heuristique « définir » 

(Ouvrier-Buffet, 2003 et 2006). 

• Une situation nommée « roue aux couleurs » permet 

l’entrée dans une démarche de recherche en 

mathématiques, et ce, dès 8 ans (Godot, 2005). 

• Un ensemble de situations pouvant être proposées 

comme situations-recherche sont accessibles sur le site 

de la valise de Maths à Modeler. 

(http://www-leibniz.imag.fr/LAVALISE ). 

5. L’organisation des ateliers : vers la 

caractérisation de la gestion d’une 

situation-recherche 

Nos hypothèses de travail, vérifiées expérimentalement à 

grande échelle dans plusieurs cadres (cadre scolaire, extrascolaire, 

formation d’enseignants, animation scientifique, …) 

et donc auprès de publics différents, ont guidé les choix 

d’organisation des ateliers proposés lors du colloque de 

l’AMQ. Ainsi, l’organisation retenue pour les ateliers souligne 

les aspects les plus importants du type de gestion d’une 

situation-recherche. 

Dans la gestion d’une situation-recherche, élèves et 

enseignants sont dans une situation différente de celle d’une 

classe habituelle. L’élève se retrouve en effet en position de 

« chercheur », mais aussi en situation de « gestionnaire » de sa 

propre recherche : c’est lui qui choisit et modifie les valeurs 

des variables de recherche, par exemple. Et l’enseignant 

« gestionnaire » est également en position de « chercheur » : il 

ne connaît pas forcément les pistes qui seront explorées par 

les élèves, les différentes stratégies qui pourront être mises en 

place, ni les réponses aux questions que les élèves auront 

eux-mêmes choisies. 

Dans chaque atelier, les participants ont été confrontés 

directement aux problèmes mathématiques. Nous pensons 

en effet que la compréhension de la démarche de recherche 

et l’analyse de ce que feront les élèves dans cette situation 

passent par le fait d’être soi-même confronté au problème 

mathématique. 

Le travail dans les ateliers a ainsi été organisé autour de petits 

groupes de 3 à 4 personnes, le travail en groupe permettant 

une dynamique particulière par les échanges qu’il suscite 

d’une part, et court-circuitant le découragement individuel 

d’autre part. Le gestionnaire de la situation (professeur, 

intervenant extérieur ou animateur scientifique) peut relancer 

la recherche ou inciter à la prise de notes (en particulier 

auprès de jeunes enfants), mais n’induit en aucun cas les 

procédures et solutions. 

Du matériel a été utilisé dans certains groupes des ateliers. 

L’utilisation de matériel peut modifier l’entrée dans la 

situation et la recherche même. La présence ou l’absence de 

ce matériel peut être une variable de la situation et ainsi 

influer sur le déroulement d’une séance. 

Des synthèses collectives concernant la résolution 

mathématique ont également été organisées dans chaque 

atelier. Ces phases de synthèses nous semblent indispensables 

pour faire état de l’avancée des travaux dans les groupes, 

pour montrer la variété des stratégies développées ainsi que 

les démarches de preuve. Différentes modalités peuvent être 

mobilisées pour ces synthèses, par exemple celle du débat 

scientifique (Legrand, 1993). 




La grenouille ou les petits cailloux 

Karine Godot 

Il s’agit de deux énoncés différents pour une même situationrecherche. 

Relevant des jeux de Nim, dont on doit la 

résolution dans les années 30 à Grundy (Grundy, 1935) et 

Sprague (Sprague, 1935), cette situation est une version bien 

plus ouverte de la situation « Qui dira 20 ? » décrite par 

Brousseau (Brousseau, 1998). Comme plusieurs autres 

situations-recherche, elle peut être proposée à différents 

niveaux scolaires. Dans le cadre de nos recherches, elle a été 

expérimentée auprès d’élèves de l’école primaire française de 

cycle 3 (9 à 11 ans) au cours d’un trimestre, à raison d’une 

heure hebdomadaire. Leurs recherches ont été finalisées par 

un séminaire dans les locaux de notre laboratoire, en 

présence de chercheurs professionnels. 

1. Énoncés 

1. Énoncés 

Les deux versions de cette même situation-recherche sont les 

suivantes : 

Version « Les petits cailloux » 

Deux joueurs ont devant eux un tas de petits cailloux 

(commun aux deux joueurs). Chacun leur tour, ils doivent 

prendre dans ce tas un nombre de cailloux choisi parmi 

plusieurs quantités qu’ils ont préalablement fixées ensemble. 

Celui qui ne peut plus jouer a perdu. 

Vous devez fixer à l’avance le nombre total de cailloux et les 

différents nombres que chaque joueur a le droit de prendre. 

Si vous êtes le premier joueur, que devez-vous faire pour être 

certain de gagner ? 

Pour commencer, nous vous proposons d’essayer en 

décidant que chaque joueur ne pourra prendre que 1 ou 2 

cailloux. 

Version « La grenouille » 

Deux joueurs à tour de rôle font sauter la grenouille d’une 

case à une autre. Chacun leur tour, ils doivent faire avancer la 

grenouille d’un nombre de cases choisi parmi plusieurs 

quantités qu’ils ont fixées ensemble préalablement. Le but du 

jeu est d’amener la grenouille sur la dernière case. Le joueur 

qui ne peut plus faire avancer la grenouille a perdu. 

Vous devez fixer à l’avance le nombre total de cases et les 

longueurs des sauts de la grenouille. Si vous êtes le premier 

joueur, que devez-vous faire pour être certain de gagner ? 

Pour commencer, nous vous proposons d’essayer en 

décidant que la grenouille ne pourra faire que des sauts de 

longueur 1 ou 2. 

2. Résolution mathématique Les deux énoncés 

renvoient au même problème mathématique à condition de 

ne pas compter la case sur laquelle est la grenouille, mais 

toujours le nombre de cases qui la précèdent. 

Si l’on veut être sûr de gagner, il faut déterminer une stratégie 

gagnante, et savoir identifier quelles sont les situations 

gagnantes et les situations perdantes. Pour la résolution, nous 

nous limiterons au cas où les joueurs ont deux alternatives 

quant au nombre de cailloux à prendre ou de cases à sauter. 

Prenons un exemple : considérons le cas où n, le nombre 

total de cailloux (ou de cases), est 10 et où l’on peut prendre 

1 ou 2 cailloux (ou on peut avancer d’une ou deux cases). 

Nous noterons ci-après ce sous-problème (1,2). 

Si l’on joue au hasard, comme sur le schéma ci-dessous 

réalisé par des élèves de CM2 (11 ans), il est alors difficile de 

tirer des conclusions des différentes parties de jeu. Si l’on 

veut avancer dans la résolution du problème, il faut partir du 

principe que les deux joueurs « savent jouer » c’est-à-dire 

qu’ils possèdent tous deux une stratégie gagnante et qu’ils 

l’appliquent à chaque coup. 

Après plusieurs parties, il apparaît alors expérimentalement 

que le premier joueur est gagnant quel que soit n, sous 

condition qu’il puisse choisir le nombre de cailloux ou de 

cases à prendre de façon à laisser à son adversaire un nombre 

de cases ou de cailloux qui soit un multiple de 3. En fait, il 

s’agit de faire « des paquets de trois ». 

Ainsi, nous parvenons à la conjecture : 

Dans le cas (1,2) : 

Si le nombre de cases ou de cailloux est un multiple de 3, je ne 

commence pas. 

Sinon, je commence et je prends des cailloux ou j’avance de façon à 

laisser à mon adversaire un nombre de cailloux ou de cases multiple 

de 3. 

Dans les deux cas, si l’autre joueur prend un caillou (ou avance 

d’une case), j’en prends deux et inversement. 

Le même type de raisonnement peut être effectué pour les 

autres sous-problèmes, par exemple comme l’ont fait les 

élèves pour (2,3), (3,4), (1,3), (2,4), (2,5)… Á chaque fois, on 

parvient à identifier les situations gagnantes et perdantes et à 

déterminer une stratégie gagnante. 

Par exemple, pour le sous-problème (1,3), le cas n = 2 étant 

perdant, on aboutit à la conjecture : 




De façon générale, on aboutit au résultat suivant : 

Dans le cas (p,q) où q>p. 

Je regarde les situations perdantes lorsque n


gagnantes et perdantes puis ils ont cherché à généraliser pour 

(1,p), avant que je ne les incite à étudier le cas (2,3). Chaque 

fois, ils jouaient ensemble, et, comme je l’avais observé chez 

les élèves, ils ont pris très peu de notes, jusqu’à ce que je leur 

demande de préparer un bilan de leur recherche pour l’autre 

groupe. 

Le groupe qui s’est intéressé à la grenouille a procédé 

différemment. Tout d’abord, contrairement aux élèves et à 

l’autre groupe, il n’a cherché que sur le support papier crayon 

et n’a pas joué. Chaque membre cherchait de son côté puis ils 

mettaient en commun leurs résultats. Ensuite, leur étude a été 

progressive. Pour (1,2), ils ont fait varier n, le nombre de 

cases, et ont étudié, n = 1, 2, 3, 4… Une fois la conjecture 

sur les multiples de 3 établie, ce groupe a cherché une 

solution pour (2,3) puis pour (1,3). 

Faute de temps, les deux groupes n’ont pas pu rechercher 

des preuves formelles de leurs résultats, restés donc, comme 

pour la majorité des élèves, au statut de conjecture, statut 

d’un énoncé mathématique bien peu souvent rencontré dans 

l’enseignement en France, alors que l’établissement de 

conjectures est un élément moteur de la recherche en 

mathématiques. Le faire découvrir aux élèves, quel que soit 

leur niveau scolaire, nous semble donc particulièrement 

important. 

Comme nous l’avions remarqué dans les classes, la 

formulation de l’énoncé induit des stratégies différentes et 

des dissemblances quant au recours au support papier 

crayon. Les petits cailloux provoquent plus aisément le recours 

à la notion de paquets, alors que la grenouille incite à prendre 

des notes. 

Les sept joueurs étaient enthousiastes, je n’arrivais plus à les 

arrêter afin d’avoir le temps de faire une synthèse et de leur 

montrer ce qu’ont fait les élèves de cycle 3. Dans les couloirs 

ensuite, ils parlaient encore de conjectures. Lors de la 

discussion finale, ils ont tous vu l’intérêt de proposer ce type 

de situations aux élèves; le fait que cela donne du sens à la 

notion de congruence a été apprécié par les enseignants de 

lycée ou du supérieur. Tous ont perçu la richesse de la 

situation, liée à l’ouverture de l’énoncé, aux concepts 

heuristiques mis en jeu et au fait que même de jeunes élèves 

puissent se lancer dans la recherche et énoncer des 

conjectures. 




La chasse à la bête 

Léa Cartier 

La « chasse à la bête » est une situation développée par 

l’équipe Maths à Modeler. Elle est issue d’un problème de 

mathématiques discrètes : l’exclusion des polyminos. Nous 

décrirons cette situation et présenterons les résultats d’une 

classe française de 6 ème (élèves âgés de 11 à 12 ans). Nous 

conclurons sur l’atelier présenté au congrès AMQ. 

1. Présentation du problème mathématique 

Le problème général, dont est issue la « chasse à la bête », se 

présente ainsi : on dispose d’un morceau de grille discrète et 

d’une taille de polyminos à exclure (se référer à Golomb 1994 

pour trouver d’autres types de problèmes de même nature). 

Par exemple, on cherche à exclure tous les polyminos de 

taille 4 dans la grille suivante : 

Pour résoudre ce problème nous allons donc devoir choisir 

des cases de telle façon à ne pas conserver 4 cases contiguës, 

ce qui exclue, de fait, les 4 tétraminos. L’intérêt du problème 

réside dans la minimisation de ce nombre de cases exclues. 

Pour que ce problème soit plus facilement dévoluable, nous 

avons choisi de le transformer en choisissant un polymino 

particulier à exclure : ce polymino sera « la bête ». Le 

problème consiste alors à rechercher le plus petit nombre 

d’obstacles à poser sur le territoire pour que la « bête » ne 

puisse pas s’y poser. Prenons un exemple : 

Précisons que les rotations et symétries de la bête sont 

autorisées : 

Les positions possibles de la bête : 

Comment choisir des cases du territoire de telle manière que 

la bête ne puisse s’y poser ? Voici une façon de procéder : 

Nous avons donc une solution à notre problème comportant 

quatre obstacles. Cette solution est-elle optimale ? Comment 

le prouver ? Toutes ces questions sont celles posées aux 

élèves dans des cas plus ou moins particularisés que nous 

développerons ci-après. 

2. Présentation du problème proposé aux 

élèves et organisation des séances 

Le problème peut être adapté à l’âge des élèves. Il est 

possible de le « fermer » plus ou moins par le choix des bêtes 

et/ou le choix des territoires. Nous présenterons ici le 

problème tel qu’il a été proposé à des élèves de sixième 

disposant d’environ 6 heures de recherche sur 4 séances. 

La première séance a été consacrée à la présentation du 

problème. Le premier cas résolu a été celui de la bête à une 

case. Du matériel composé d’un territoire carré de 8 cases par 

8 cases et d’obstacles leur a ensuite été fourni et chaque 

groupe a choisi sa propre bête constituée de 4 à 6 cases. 

Dès la deuxième séance le territoire a été fixé à 5 par 5, la 

première bête étudiée étant le domino, la deuxième le trimino 

long, puis le trimino en L. Le matériel composé du territoire, 

de la bête et d’obstacles a été à leur disposition à chacune de 

ces séances. 

La classe dans laquelle le problème a été proposé développait 

un projet particulier entre le français et les mathématiques. 

Le projet principal était le montage d’une pièce de théâtre 

(Guedj, 2001). La recherche du problème de la chasse à la 

bête s’est conclue par la présentation du résultat de leur 

recherche lors d’un séminaire dans notre laboratoire, et ce 

auprès de chercheurs en mathématiques discrètes, d’élèves 

d’autres établissements et de leurs parents. Les extraits de 

leurs travaux qui vous seront présentés dans cet article sont 

issus des transparents qu’ils ont élaborés en vue de cette 

présentation. 

Les séances de recherche étaient animées par un chercheur 

en mathématiques discrètes et membre de l’équipe Maths à 

Modeler, les professeures de français et de mathématiques 

étant présentes, ainsi que moi-même. Les élèves étaient 

organisés en groupes de 3, et chacun notait les résultats et les 

pistes suivies lors de la recherche. Chaque séance a comporté 

une phase de mise en commun d’au moins 20 minutes, cette 

phase permettant de montrer à chaque groupe ce qui s’était 

fait dans les autres groupes. La motivation des élèves pour la 

recherche, pour la prise de note et pour la compréhension de 

ce qui était avancé dans la classe n’a pas posé de problème, 

l’enjeu ne leur étant sûrement pas indifférent. 




3. Des stratégies de résolution 

Ce problème nécessite a priori peu de pré-requis 

mathématiques spécifiques. Cependant, les raisonnements 

qui devront être mis en œuvre sont riches et peuvent se 

déployer dans différentes directions, comme les suivantes : 

Stratégies de base : deux stratégies de recherche de solutions 

par tâtonnement existent. 

On peut commencer par couvrir le territoire d’obstacles, 

sachant que c’est une solution, et les enlever petit à petit pour 

se rapprocher de la solution optimale. 

On peut chercher au contraire à poser dès le départ le moins 

d’obstacles possibles, et se rapprocher d’une solution. 

Des stratégies mixtes entre ces deux premières façons de 

procéder peuvent être imaginées : on cherche une première 

solution que l’on améliore de façon à se rapprocher d’une 

solution optimale. Les stratégies par tâtonnement ne 

fournissant pas de preuve de l’optimalité des solutions, on 

peut s’attendre à d’autres façons de procéder intégrant des 

justifications de la démarche d’établissement de solution. 

Stratégie par forçage 

Les solutions peuvent être établies par forçage : on considère 

une case particulière et on regarde comment elle peut être 

occupée par une bête. On dispose alors l’obstacle en fonction 

de cette occupation potentielle. En voici un exemple sur un 

territoire de 6 par 6, et d’une bête à 4 cases : 

Choisissons de regarder la case du coin en haut à gauche. 

Elle peut être occupée de 2 façons par une bête, mais ces 

deux dispositions sont en fait symétriques. On peut se 

contenter de n’en considérer qu’une : 

Pour empêcher la bête d’être dans cette position, il faut 

mettre au moins un obstacle. Quatre positions sont 

possibles : 

Les 2e et 3e dispositions peuvent sembler peu intéressan-tes 

dans la mesure où elles n’empêchent pas la « bête 

symétrique » de se poser. On peut alors considérer soit ces 4 

configurations, soit les deux dispositions restantes, et 

recommencer le raisonnement pour la case suivante. 

Selon la configuration de la bête, la stratégie dite de forçage 

donnera un réel forçage ou non. Si l’on considère le domino 

par exemple, une fois le premier choix effectué, tous les 

autres en découlent. 

Stratégie par découpage/pavage 

Cette stratégie peut être soit un pavage du plan par la bête, 

soit un découpage matériel du territoire par une forme 

appropriée. 

Utiliser cette stratégie nécessite le raisonnement suivant : 

pour empêcher la bête de telle forme de se poser, il est 

nécessaire que toutes ces formes-là soient exclues. En 

particulier, si on arrive à paver le territoire avec n bêtes, alors 

n obstacles sont nécessaires. De façon plus générale, si on a 

montré qu’une forme donnée nécessite p obstacles pour 

empêcher la bête de se poser et que le territoire à notre 

disposition peut être pavé par q fois cette forme, alors une 

solution optimale comportera au moins pq obstacles. 

Par exemple, avec la forme précédente, un territoire de 2 par 

3 nécessitant au moins un obstacle, on cherche à découper le 

territoire de 6 par 6 en morceaux de 2 par 3 : 

Ce découpage nous assure que la solution optimale comportera 

5 obstacles au moins. Si on trouve une solution 

comportant 5 obstacles, alors elle sera optimale. 

La stratégie par pavage peut permettre de construire des 

solutions ; elle pourra être associée à la stratégie par forçage, 

les justifications pouvant venir de chacune des stratégies. 

Ce découpage nous assure que la solution optimale 

comportera 5 obstacles au moins. 

Si on trouve une solution comportant 5 obstacles, alors elle 

sera optimale. 

La stratégie par pavage peut permettre de construire des 

solutions, elle pourra être associée à la stratégie par forçage, 

les justifications pouvant venir de chacune des stratégies. 

Autres stratégies 

D’autres stratégies existent, en particulier des méthodes 

mixtes entre celles décrites ci-dessus. Une stratégie de 

recherche de solutions par identification des bords a été mise 

en œuvre dans l’un des groupes de l’atelier AMQ, stratégie 




qui pourrait s’avérer directement utilisable sur les territoires 

toriques proposés dans la valise de Maths à Modeler. 

(http://www-leibniz.imag.fr/LAVALISE/bete2/bete8.htm 

). 

4. Ce que l’on peut attendre de la 

situation en classe 

La chasse à la bête a montré lors des séances observées toute 

sa richesse. Nous sommes bien conscients que la mise en 

œuvre particulière de la situation avec deux intervenants 

extérieurs, deux professeures et un séminaire à l’intérieur 

d’un laboratoire a joué, et ce, à plusieurs niveaux, dans la 

réalisation de la recherche. Malgré ce possible bémol, et étant 

donné que la situation a été testée à plusieurs reprises et dans 

des conditions plus « standards », nous considérons que les 

résultats obtenus peuvent être attendus dans un contexte 

« classique » de recherche en classe. 

Le choix par les élèves de leur propre bête est une étape 

décisive dans la dévolution du problème. Dans la classe, sur 

les 9 groupes, tous ont choisi des bêtes de formes différentes. 

En voici quelques-unes; remarquez que certaines ne sont pas 

connexes par les côtés : 

Le fait que certains groupes aient trouvé des solutions de 

faible cardinalité a motivé les autres à chercher de meilleures 

solutions. La nécessité de passer à des problèmes plus petits a 

été rapidement soulevée dans la classe, personne ne 

réussissant à trouver de preuve de l’optimalité de sa solution. 

L’étude du domino a alors été la proposition d’un groupe 

pour la simplification du problème. En tant que gestionnaires 

de la situation, nous avons utilisé cette proposition et fixé la 

taille du territoire à 5 par 5. 

Le travail sur le domino représente la phase la plus délicate 

de l’ensemble des séances. En effet, lors de cette séance, les 

stratégies de forçage et de pavage sont apparues 

simultanément dans quelques groupes. Une première mise en 

commun a eu lieu. Elle a permis de mettre en lumière une 

propriété forte, qu’il est nécessaire de « désamorcer » 

rapidement, à savoir : « Ma solution est optimale, car si 

j’enlève un seul obstacle, alors ce n’est plus une solution ». 

C’est en particulier à cause de cette propriété que nous avons 

choisi un territoire de taille impaire : dans le cas du domino, il 

existe une solution à 13 obstacles telle que si l’on enlève un 

obstacle ce n’est plus une solution. Pourtant, il existe une 

solution à 12 obstacles : 

Les stratégies par forçage et par découpage ont été proposées 

par les groupes les ayant utilisées lors d’une seconde mise en 

commun. La compréhension de la technique de pavage est 

délicate : certains élèves restent au niveau du matériel et ne 

comprennent pas l’apparition d’un « nouveau » problème, 

dual, qui est celui du pavage. La présentation qui a emporté la 

conviction des derniers incrédules est celle–ci : « Des bêtes 

sont déjà posées sur mon territoire. Pour les chasser, je 

devrais utiliser au moins un obstacle par bête. Donc il me 

faudra au moins autant d’obstacles que l’on peut poser de 

bêtes sur le plateau. J’ai réussi à poser 12 bêtes, donc il me 

faut au moins 12 obstacles. J’ai une solution avec 12 

obstacles, je ne peux pas faire mieux ». 

Pour le trimino long, le problème est du même type : les 

élèves trouvent une solution avec 8 obstacles. Les questions 

sont alors : cette solution est-elle unique ? Peut-on le 

prouver ? Le fait de trouver un pavage du territoire avec 8 

bêtes conduit à la conclusion suivante : la solution est 

optimale. 

Cette phase de recherche nous a permis de vérifier que le 

problème était bien assimilé par les élèves : les raisonnements 

utilisés pour le domino peuvent être intégralement réinvestis, 

et ils l’ont été. La difficulté principale a été de trouver une 

solution à 8 obstacles et un pavage à 8 triminos. 

Le problème se complexifie avec le trimino en L, les élèves 

ayant trouvé une solution à 10 obstacles et un pavage à 8 

bêtes : 

Je vous propose ici un extrait de leur travail. Seules les 

couleurs ne sont pas conservées, chaque cadre correspond à 

un de leurs transparents, le passage entre crochets résume les 

coupes du texte original. Les élèves ont nommé les obstacles 

« mines ». 

Une solution à 10 mines …mais 8 bêtes 

maximum ??? 

Le nombre de mines est compris entre 8 

et 10. 

On simplifie le problème. 

Sur un territoire 

de 2 sur 2, 

il nous faut 

minimum 2 mines. 




• Résolution du problème : Pour chacune des bêtes, 

Sur notre territoire, 

trouver les solutions optimales et montrer qu’elles le 

sont. 

on peut poser 4 territoires de 2 sur 2 

• Si un tel travail est proposé en classe : 

– Quels sont les apprentissages en jeu dans le problème ? 

– Quelles notions sont abordées ? 

– Á quelles difficultés des élèves peut-on s’attendre ? 

Comment les dépasser ? 

Maintenant, 

comptons les mines nécessaires. 

Ici, il faudra 9 mines. 

Le nombre minimum de mines 

n’est donc pas 8. 

[Les élèves procèdent ainsi pour 6 autres 

découpages et montrent pour chacun 

que 9 mines sont nécessaires] 

Mais, avec la dernière disposition 

+ 

1 

2 

2 2 

2 

2 

2 

+ 

1 

Le nombre minimum de mines 

n’est donc pas 9. 

Il faut 10 mines au minimum 

pour que la bête 

ne s’installe pas 

sur le territoire de 5 sur 5. 

5. Production des participants 

L’atelier « chasse à la bête » a permis de proposer cette 

situation à une dizaine de participants. Dans chacun des trois 

groupes, une grille 5 par 5, ainsi que des obstacles et trois 

types de bêtes leur ont été fournis. Le problème a été réduit 

(étant donné le temps imparti) à la recherche sur le 5 par 5. 

Le questionnement comportait un versant mathématique et 

un versant didactique : 

2 

2 

+ 

1 

Comme l’analyse mathématique le laissait attendre, les 

stratégies mises en place par les participants ont été du même 

type que celles des élèves, souvent plus élaborées ou 

comportant des connaissances préalables sur le pavage par 

exemple. C’est surtout la rapidité de leur déploiement qui 

varie. Dans les trois groupes, la recherche s’est surtout axée 

sur la recherche de solutions et de méthodes de recherche de 

ces solutions. Les stratégies mises en œuvre étaient 

complexes, je ne donnerai donc dans ce qui suit que les 

orientations de chaque groupe. Le premier groupe a plutôt 

utilisé des méthodes par tâtonnement et cherché à 

argumenter de la pertinence des solutions trouvées. Le 

deuxième a mis en œuvre des méthodes mixtes basées sur le 

forçage. Le troisième a cherché à générer des solutions par 

identification des bords, puis par suppression des obstacles 

« en trop » pour chaque configuration. 

La mise en commun qui a suivi a permis de discuter en 

particulier de l’implémentation en classe d’une telle situation. 

L’une des objections apportées à la mise en place de 

situations-recherche en classe est le temps nécessaire à de 

telles situations. Il convient d’insister sur le fait que nous ne 

n’affirmons pas que tout apprentissage mathématique doive 

se faire par ce type de situations. D’autre part, nous avons 

montré comment les instructions officielles préconisent un 

travail de recherche qui peut être mis en œuvre en classe par 

les situations-recherche. Parallèlement, nous n’ignorons pas 

les contraintes institutionnelles fortes qui peuvent détourner 

un enseignant de ces situations qui demandent du temps. 

C’est pourquoi il nous semble important que l’institution, en 

cohérence avec ses attentes, intègre un temps dédié à ce 

travail de recherche en classe. Apprendre à chercher sera utile 

dans la classe pour les autres temps alloués au travail en 

groupe, ainsi que sur le temps de travail individuel. 

Pour conclure, et comme lors de cet atelier, je redonne la 

parole aux élèves et reprends leur conclusion sur ce qu’ils ont 

appris lors de ce travail de recherche : 

Nous avons commencé à apprendre à : 

Travailler ensemble 

Écouter un peu mieux les autres 

Ne pas dire tout de suite « c’est impossible » 

Simplifier un problème pour mieux l’étudier 

Essayer de trouver des preuves 

des arguments 

Discuter de ces preuves avec d’autres 

Comprendre des fautes de raisonnement 




Le problème de Frobenius 

Eva Knoll et Cécile Ouvrier-Buffet 

Le savoir scientifique se construit dans le domaine de la 

recherche. C’est au type de pratiques propres au chercheur 

que nous souhaitons confronter l’élève : là est véritablement 

l’enjeu des situations-recherche. Nous allons, dans cette 

partie, prendre un problème venu tout droit de la recherche 

mathématique et montrer ce qu’il peut en advenir en classe. 

La transposition d’un problème issu de la recherche est 

effectivement un point crucial non traité par les travaux 

didactiques portant sur les « situations de recherche » 

(expression utilisée dans une très large acception). 

1. Présentation du problème 

Il s’agit du problème fameux de Frobenius (1849-1917), 

énoncé en ces termes : soient n1,...,n k, des entiers positifs 

premiers entre eux. Trouver le plus grand entier naturel 

(appelé nombre de Frobenius) qui soit non atteignable (on 

dit non représentable) par combinaison entière positive de 

n1,...,n k. Le problème est encore ouvert aujourd’hui pour 

k > 4 (cf. Ramirez Alfonsin, 2005). 

Nous avons utilisé pour l’atelier une version simplifiée du 

problème de Frobenius : si les valeurs nominales des pièces 

en usage dans un système monétaire sont n1, n2,..., n k, quelles 

sommes sont payables exactement dans ce système ? 

Des questions de nature mathématique et didactique ont été 

soumises aux participants une fois la dévolution du problème 

effectuée : 

- Décrivez votre démarche de résolution 

- Quelles sont les questions mathématiques que pose ce 

problème ? 

- Quelle(s) utilisation(s) en classe et en formation des 

enseignants voyez-vous pour ce problème particulier ? 

2. Résolution mathématique 

2.1. Étude d’un petit cas : k=2 La résolution 

mathématique du problème de Frobenius est relativement 

simple dans le cas où k = 2. Nous allons démontrer le 

théorème suivant : 

Théorème : si p et q sont deux entiers naturels premiers 

entre eux, alors le plus grand entier non représentable par 

combinaisons entières positives de p et de q est : pq - p - q. 

Preuve 

Puisque p et q sont premiers entre eux, p peut s’écrire : 

p = xp + yq où x et y sont des entiers relatifs. 

Dans ce cas, p peut être représenté de plusieurs façons. Sa 

représentation devient unique si l’on impose 0 ≤ x < q. 

Alors, p est représentable si y ≥ 0 et n’est pas 

représentable si y < 0. 

Donc, le plus grand entier non représentable par 

combinaisons entières positives de p et de q est : 

(q – 1) p + (-1) q = pq – p – q . 

Nous renvoyons le lecteur à Ramirez-Alfonsin pour les 

preuves (particulièrement difficiles et délicates) pour k = 3, 4. 

Le lecteur pourra aussi faire des essais sur une applet 

disponible en ligne 

(http://www.math.uu.nl/people/beukers/frobenius/index.h 

tml). 

2.2. Aspects mathématiques qui font du 

problème de Frobenius une Situation- 

Recherche 

Si nous reprenons les éléments de caractérisation d’une 

situation-recherche décrits précédemment, il apparaît 

clairement que le problème de Frobenius remplit les 

différents critères : il s’agit en effet d’un problème facilement 

accessible, encore partiellement ouvert dans la recherche 

mathématique, pour lequel des stratégies initiales existent 

effectivement, où des questions mathématiques se posent 

(nous allons le montrer ci-après) et où l’élève peut choisir ses 

propres variables de recherche. 

Considérons le problème de Frobenius expérimentalement. 

Prenons quelques valeurs distinctes (deux ou trois) pour les 

pièces de monnaie et regardons quelles sont les valeurs 

atteintes. Si nous ne prenons que des valeurs paires par 

exemple, la régularité des valeurs atteintes apparaît de 

manière quasi évidente. Il en va de même pour des cas 

particuliers impliquant des multiples. Considérons alors des 

cas non « triviaux », à savoir : des entiers premiers entre eux. 

Un phénomène (nous pourrions parler ici de fait expérimental) 

se dégage rapidement : il existe des trous « au début » et à 

partir d’une certaine valeur, tous les entiers sont atteints. Le 

nombre de Frobenius est la plus grande valeur entière non 

atteinte. Mais ce qui est remarquable là, c’est de s’interroger 

sur ces « trous ». Sont-ils caractérisables ? Répondent-ils à 

une régularité ? Justement, la réponse est non, et là réside 

toute la profondeur de ce problème. Cependant, le travail de 

conjectures sur des cas simples s’avère possible, tout comme 

l’élaboration de théorèmes locaux, ce qui caractérise ce 

problème comme étant une situation-recherche. 

Prenons à titre d’illustration deux exemples et représentons 

les nombres atteints afin d’observer les « trous » : 

- Exemple 1 : les valeurs des pièces sont 5, 8 et 11. 

Les nombres atteints sont : 5, 8, 10, 11, 13, 15, 16. Á partir 

de 18, tous les entiers sont atteints. Le dernier « trou » est 

donc 17. 

- Exemple 2 : les valeurs des pièces sont 9 et 11. 

Les nombres atteints sont : 9, 11, 18, 20, 22, 27, 29, 31, 33, 

36, 38, 40, 42, 44, 45, 47, 49, 51, 53, 54, 55, 56, 58, 60, 62, 63, 

64, 65, 66, 67, 69, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78. Á partir de 

80, tous les entiers sont atteints. Le dernier « trou » est ici 79. 

Ces deux exemples illustrent bien la « variabilité » du 

phénomène et les questions qui découlent de l’observation 

des « trous ». Encore faut-il reconnaître qu’une question est 




véritablement une question : cela apparaît véritablement 

comme une heuristique propre au chercheur. 

3. Production des participants – Implications 

didactiques 

Dans le cadre de cet atelier, quatre groupes allant de deux à 

trois participants ont travaillé sur la résolution mathématique 

du problème de Frobenius. Le débat a rapidement porté, 

dans certains groupes, sur l’interprétation à donner du 

« système monétaire ». L’aspect concret de la situation a 

conduit aux questions suivantes : utilise-t-on un système 

monétaire existant ? Et dans ce cas, est-il possible, ou 

acceptable, de rendre la monnaie ? 

Par ailleurs, soulignons que l’habillage de l’énoncé posé aux 

participants contient un certain formalisme dans la notation 

utilisée, étant donnée la présentation générale du problème. 

Cet usage du symbolisme suggéra, à un groupe notamment, 

une méthode algébrique consistant en l’élaboration d’une 

formule de combinaison linéaire, couvrant ainsi effectivement 

tous les cas possibles. Une telle solution, qui se veut 

complète et la plus générale possible, peut ensuite servir pour 

calculer n’importe quel cas particulier, sans pour autant 

mettre en valeur une possible structure de l’espace 

mathématique généré par la problématique de départ. Elle ne 

dit en fait « rien » sur la nature des solutions. Or, comme 

nous l’avons souligné dans la présentation mathématique, 

c’est bien la répartition des nombres atteints qui est remarquable 

et qui soulève de réelles questions mathématiques. 

Cela étant, ce phénomène nous amène à l’interrogation 

suivante : à quoi reconnaît-on une solution ? 

Il s’agit bien de négocier la transposition didactique de ce 

problème de recherche. Le propre d’une situation-recherche, 

dans sa gestion en classe, est bien de placer l’élève en 

situation de chercheur et de propre gestionnaire de sa 

recherche. L’enseignant quant à lui se retrouve aussi en 

posture de chercheur, il n’est pas détenteur du savoir. 

L’habillage peut donc effectivement apparaître comme 

problématique, mais, in fine, il n’en est rien. L’ « épurement » 

d’un problème, l’établissement de questions, voire la 

modélisation intramathématique font partie intégrante de la 

démarche de recherche. 

Au-delà des questionnements initiaux décrits ci-dessus, la 

plupart des groupes sont passés à l’expérimentation sur des 

exemples, choisissant au moins une combinaison particulière 

et explorant les possibilités résultantes. Ces explorations ont, 

dans la plupart des cas, permis des conjectures sur l’existence 

de valeurs atteignables ou non, amenant des questions de 

maximum non atteignable et de prédiction. 

Grâce aux questions didactiques mises en place dès le début 

de la session, plusieurs groupes ont débattu de thèmes plus 

théoriques en parallèle à la résolution même du problème. 

Au-delà de l’importance de l’habillage de l’énoncé décrit plus 

haut, ces discussions concernaient par exemple l’applicabilité 

de l’activité en classe à différents niveaux scolaires, 

particulièrement pour ce qui se rapporte à l’engagement des 

étudiants et à la perception de la facilité/difficulté du 

problème de départ. 

Les possibilités de reformulations du problème ont aussi été 

explorées. Un groupe, par exemple, a reformulé la question 

de la façon suivante : qu’arriverait-il si on fixait le nombre à 

générer et si on faisait varier les pièces en usage ? Bien que 

cette nouvelle question puisse sembler triviale (il suffit 

d’avoir une pièce de 1 pour toujours pouvoir produire la 

somme voulue), ce genre de questionnement peut prendre 

une valeur didactique puisqu’il engage à une réflexion sur la 

qualité de la question de départ. En effet, la situation de 

départ étant ouverte, elle permet une appropriation de la 

problématique par les participants : à eux de poser les 

« bonnes » questions pour l’avancée dans la résolution. 

Conclusion 

Nous avons montré, au travers de trois exemples de 

situations, plusieurs des spécificités des situations-recherche. 

Au niveau mathématique, il s’agit de transposer dans la classe 

de réelles situations de recherche, parfois encore ouvertes 

mathématiquement. Cette transposition peut être une 

simplification du problème initial comportant une dimension 

ludique véhiculant un enjeu pour l’élève (chasse à la bête, Léa 

Cartier) ou une non-simplification (problème de Frobenius, 

Eva Knoll et Cécile Ouvrier-Buffet). Dans le cas des petits 

cailloux et de la chasse à la bête, le support matériel à la 

disposition des élèves permet une implémentation de ce 

genre de situations en classe dès le primaire. 

Un certain champ des mathématiques, celui de la théorie des 

jeux, semble apporter quant à lui des situations pouvant être 

directement posées en classe (jeux de Nim, Karine Godot). 

Cependant, notre objectif étant d’impliquer les élèves dans 

une démarche de chercheur, nous ne nous limitons pas à 

cela. Les deux situations présentées par Karine Godot font 

apparaître une nouvelle heuristique : reconnaître que deux 

problèmes, issus de contextes différents, sont en réalité les 

mêmes. L’histoire des mathématiques nous montre combien 

la reconnaissance d’invariants a permis l’émergence de 

nouveaux concepts. 

Au niveau didactique, les situations-recherche requièrent des 

conditions particulières de gestion en classe. Il s’agit en effet 

d’organiser une prise de notes pour les plus jeunes en 

particulier. 

Un exemple d’organisation pédagogique et didactique utilise 

cela : la narration de recherche. Elle est susceptible de permettre 

l’observation et la valorisation du travail d’un élève en 

situation de recherche. Un groupe de recherche de 

Montpellier définit la narration de recherche ainsi : « l’exposé 

détaillé, écrit par l’élève lui-même, de la suite des activités 

qu’il met en œuvre lors de la recherche des solutions d’un 

problème » 

(http://www.mathadoc.com/chapitre.php?chap=432). Il est 

aussi possible de trouver des résultats didactiques sur l’usage 

des narrations de recherche 

(http://www.math.jussieu.fr/~leidwang/wwwIREM/Group 

eIrem3.htm et ouvrage collectif du groupe ZEP-REP de 

l’IREM de Paris 7, 2002). 




Dans le cas spécifique des situations-recherche de Maths à 

Modeler, les notes représentent la mémoire du groupe sur 

l’état de leur recherche et seront utilisées en particulier lors 

de la communication ultérieure des résultats. Elles ne sont 

pas a priori destinées à l’enseignant. Insistons enfin sur le 

point suivant : la finalisation de la recherche des élèves par 

un séminaire ou par la création d’une affiche s’avère en effet 

fondamentale. 

Pour que l’apprentissage des heuristiques soit effectif, une 

pratique régulière se révèle nécessaire. Se pose alors la 

question de l’institutionnalisation de ces nouvelles 

compétences, dans le double objectif de répondre à la 

demande conjointe des enseignants qui enseignent et des 

élèves qui apprennent, mais aussi de rendre disponibles et 

mobilisables ces heuristiques dans tout type de situations, 

qu’il s’agisse alors de nouvelles situations-recherche ou de 

situations-problèmes. 

En cela, la formation des enseignants vient au cœur de la 

discussion : l’entrée par les situations-recherche est tout à la 

fois une nouvelle voie pour explorer la démarche de 

recherche, mathématiquement et didactiquement, mais aussi 

un moyen de requestionner l’intitulé « résolution de 

problèmes ». 

Cette recherche est en cours. Nous espérons avoir montré 

dans cet article les perspectives didactiques nouvelles offertes 

par les situations-recherche. 

Références bibliographiques 

ARSAC G., GERMAIN G. et MANTE M. (1988) Problème 

ouvert et situation-problème. IREM de Lyon. 

BROUSSEAU G. (1998) Théorie des situations didactiques. 

Éditions La Pensée Sauvage, Grenoble. 

BURTON L. (1999) The Practices of Mathematicians: What do 

they tell us about coming to know mathematics? Educational Studies 

in Mathematics, 37 (2), 121-143. 

BURTON L. (2004) Mathematicians as Enquirers: Learning about 

Learning Mathematics. London: Kluwer Academic Publishers. 

GLAESER G. (1999) Une introduction à la didactique 

expérimentale des mathématiques. Éditions La Pensée Sauvage, 

Grenoble. 

GODOT K. (2005) Situations recherche et jeux mathématiques pour 

la formation et la vulgarisation – Exemple de la roue aux couleurs, 

thèse de doctorat de l’université Joseph Fourier, Grenoble. 

GOLOMB S.W. (1994) Polyominoes – Puzzles, Patterns, Problems 

and Packings. Princeton Science Library, Princeton, NJ. 

GRENIER D., PAYAN C. (1998), Spécificités de la preuve 

et de la modélisation en Mathématiques Discrètes, Recherches 

en didactique des mathématiques, vol. 18.2, pp. 59 -100, Éd. La 

Pensée Sauvage, Grenoble. 

GRENIER D., PAYAN C. (2002), Situation de recherche en 

classe : essai de caractérisation et proposition de modélisation en 

mathématiques discrètes. Cahiers du séminaire national de 

recherche en didactique des mathématiques. Édité par 

l’ARDM. Paris. 

GRUNDY P.M. (1935) Mathematics and Games, Eureka, 

Cambridge 1939 (1964), vol 2 (vol 27), pp 6-8 (pp 9-11). 

GUEDJ D. (2001) One Zero Show – Du point à la ligne. Théâtre, 

Éditions du Seuil, Paris. 

LEGRAND M. (1993) Débat scientifique en cours de 

mathématiques et spécificité de l’analyse. Repères IREM n°10, p. 

123-159. Topics Editions. 

NIMIER J. (1989) Entretiens avec des mathématiciens. IREM de 

Lyon. 

OUVRIER-BUFFET C. (2003) Construction de définitions / 

construction de concept : vers une situation fondamentale pour la 

construction de définition en mathématiques – Étude théorique et 

expérimentale auprès d’étudiants de 1 ère année d’université. Thèse de 

doctorat de l’université Joseph Fourier, Grenoble. 

Disponible en ligne (http://tel.ccsd.cnrs.fr). 

OUVRIER-BUFFET C. (sous presse) Des définitions pour quoi 

faire ? Analyse épistémologique et utilisation didactique. Collection « 

Éducation et sciences » dirigée par Sylvette Maury. Éditions 

Fabert. 

OUVRIER-BUFFET (sous presse) Exploring Mathematical 

Definition Construction Processes. Educational Studies in 

Mathematics. 

POLYA G. (1989) Comment poser et résoudre un problème. 

Éditions Jacques Gabay. 

RAMIREZ ALFONSIN, JL (2006) The Diophantine Frobenius 

Problem. Oxford University Press. 

SCHOENFELD A. (1985) Mathematical Problem Solving. 

Academic Press. Orlando. 

SPRAGUE R.P. (1935), Über mathematische Kampfspiele, 

Tôkoku Math J., 1935-36, vol 41, pp 438-444. 

Ouvrage collectif du groupe ZEP-REP de l'IREM de Paris 7 

(2002) Expériences de narration de recherche en mathématiques. Éd. 

ACL, Les éditions du Kangourou, IREM de Paris 7, Paris. 

Sites web 

Instructions officielles françaises : 

http://www.education.gouv.fr/ 

Programmes (français) du primaire : 

http://eduscol.education.fr/D0048/primacc.htm 

Programmes (français) du secondaire : 

http://eduscol.education.fr/D0015/LLPHPR01.htm 

(MàM Valise) La valise de Maths à Modeler, 

http://www-leibniz.imag.fr/LAVALISE/debutval.php 

(Narrations de recherche, IREM de Montpellier) 

http://www.mathadoc.com/chapitre.php?chap=432 

(Narrations de recherche, IREM Paris 7) 

http://www.math.jussieu.fr/~leidwang/wwwIREM/Groupe 

Irem3.htm 



Mathématiques et Contes 

Au cours de cet atelier, l’animatrice a présenté ses recherches et travaux sur les 

similitudes à exploiter entre les contes et la mathématique. Entre autres choses, elle 

nous a proposé diverses activités et donné des exemples concrets d’exploitation de 

contes mathématiques dans des classes de l'éducation préscolaire et de 

l'enseignement primaire. 

F. Cerquetti- 

Aberkane, 

IUFM de Créteil 

France 

cerquetti.francois 

e@wanadoo.fr 

C 

onte, conté, à conter… 

Es-tu véridique ? 

Pour les bambins qui s’ébattent au clair de 

lune mon conte est une histoire fantastique. (…) 

Je suis à la fois futile, utile et instructeur. 

Amadou Hampâté Bâ (15) 

Conte mathématique : pourquoi ? 

Une vieille histoire 

Depuis que l’humanité est, le conte est. Le 

conte était vraisemblablement oral à l’origine. 

Sans doute les rapports de chasseurs du 

paléolithique étaient-ils un peu embellis ! Puis 

le conte entre dans l’histoire avec l’invention 

de l’écriture. 

Il est particulièrement émouvant de retrouver 

les quêtes de héros sur des tablettes d’argile 

datant de plusieurs millénaires, comme celle 

relatée par l’épopée de Gilgamesh. 

Dans un conte, la quête du héros possède de 

nombreuses ressemblances avec celle de 

l’élève tentant de résoudre un problème 

mathématique (8) ! 

Les mathématiques, comme le conte, sont fort 

anciennes : prévoir le cycle des saisons par le 

calcul pouvait s’avérer être une nécessité vitale 

pour une population. 

Hérodote nous apprend que la géométrie est 

née en Égypte sur les bords du Nil. On 

comprend que la répartition de l’eau dans une 

zone désertique et le calcul des aires des 

champs inondés par les crues du Nil, qu’il 

fallait prévoir par ailleurs, étaient aussi une 

nécessité vitale. Contes et mathématiques 

étaient alors liés comme l’étaient imaginaire et 

raison. La paix et l’harmonie régnaient alors 

entre elles ! Les calculs mathématiques ne 

contredisaient pas les transes des devins, mais 

cohabitaient sans heurt avec le monde de la 

magie et des astres. 

Une profonde unité 

Ou plutôt : 

« Dans une ténébreuse et profonde unité, 

Vaste comme la nuit et comme la clarté, » 

Ces vers des Correspondances de Baudelaire 

peuvent parfaitement illustrer certaines 

situations en géométrie, où il faut « reconnaître 

(…) une figure plane (…) dans une 

configuration plus complexe » (20). À un 

autre niveau, Baudelaire nous invite à avoir 



Mathématiques et contes Françoise Cerquetti-Aberkane et Younès Aberkane 

une vision synthétique de la connaissance et non pas 

seulement analytique. Cette vision est « ténébreuse », comme 

lorsque l’on commence à chercher un problème, puis « vaste 

(…) comme la clarté » lorsque l’on trouve la solution. 

L’utilisation du conte en mathématique permet cette 

approche synthétique par la transdisciplinarité, l’ouverture 

d’autres portes : la langue (12, 13, 14), la poésie (2), les arts 

plastiques, la musique, le mime, le théâtre (6). D’autre part, 

les savoirs et les connaissances mises en jeu sont plus 

facilement intégrés. 

Les mathématiques impliquent une résolution de problème. 

Il en est de même pour le conte dans lequel le héros doit 

résoudre des problèmes successifs au cours d’une quête. 

Éducation. 

Traditionnellement le conte était utilisé pour transmettre des 

connaissances et pour éduquer, à partir d’histoires d’animaux 

par exemple, comme l’explique Ibn Al-Muqaffa (8e siècle) 

dans son introduction de Kalila et Dimna. (23) 

« Deux raisons conjuguées incitaient ces savants à faire 

parler les animaux : ils trouvaient là, en même temps qu’un 

moyen de s’exprimer en toute liberté, un vaste domaine à 

exploiter ; quant au livre lui-même, il joignait l’agrément à 

la sagesse, celle-ci le faisant choisir par les philosophes, 

celui-là par les esprits légers. » 

Le conte a aussi un aspect culturel. En effet, il permet de 

prendre en compte la culture des enfants issus de 

l’immigration par exemple. En Afrique on utilise le conte 

comme moyen d’enseignement. Chez les Inuits également 

(24) le conte sert à transmettre les savoirs. 

Affectivité. 

On sait depuis longtemps que l’affectivité est l’une des 

composantes des difficultés psychologiques de la résolution 

de problèmes en classe. On le sait, bien entendu, par notre 

propre expérience, notre vécu, mais aussi, si l’on n’en était 

pas persuadé, par Freudenthal (17), Tobias (18) ou Nimier 

(16). 

Proposer un problème situé dans un monde imaginaire 

permet une distanciation de la situation vécue, et par là une 

sécurisation du jeune chercheur qui devient alors bien plus 

performant. 

Autre avantage majeur, l’enfant en difficulté dans la 

résolution de problème a une seconde chance. Le nouveau 

cadre proposé, celui du conte, lui permet de sortir du 

conditionnement négatif dans lequel il est enfermé, et peutêtre 

aussi de quitter le cycle infernal des situations d’échec 

(un retour des enfers comme dans la mythologie grecque). 

Il ne faut pas oublier non plus le simple plaisir d’écouter une 

histoire que l’on raconte. 

D’autre part, on sait de manière certaine, depuis l’émergence 

de la psychologie cognitive, que la mémorisation (de résultats 

mathématiques, de procédures, de théorèmes, par exemple) 

est grandement facilitée par un choc émotionnel. Or cet 

aspect émotionnel est sans doute l’une des composantes 

majeures du conte… Heureux hasard ? 

Enfin l’évocation. Le « geste mental » de l’évocation est l’un 

des axes principaux de la gestion mentale d’Antoine de La 

Garanderie (21). Les paramètres d’évocation P1 (concret) et 

P4 (imagination) sont sollicités (22). 

Le conte répond-t-il donc à tous nos problèmes d’enseignement 

des mathématiques ? Est-il alors un outil magique ? 

Quelle bonne fée invoquer, et que demander au génie 

endormi que l’on réveille ? 

Conte mathématique : comment ? 

La résolution de problèmes mathématiques présentée différemment, 

c’est une nouvelle chance pour les enfants en 

difficulté. 

Dans la classe, plusieurs pistes sont possibles. 

1) Au travers de nouvelles, de contes, on peut faire sortir les 

représentations qu’ont les élèves de ce qu’est un problème. 

Le texte « Le problème » (11), extrait des Contes du chat perché de 

Marcel Aymé (7), est un bon outil. 

Delphine et Marinette doivent résoudre le problème suivant 

que leur a donné la maîtresse : 

« Les bois de la commune ont une étendue de seize hectares. 

Sachant qu’un are est planté de trois chênes, de deux hêtres 

et d’un bouleau, combien les bois de la commune 

contiennent-ils d’arbres de chaque espèce ? » 

Les petites filles, ne parvenant pas à résoudre le problème, 

demandent de l’aide aux animaux de la ferme qui suggèrent 

de se répartir le travail et d’aller compter les arbres de chaque 

espèce présents dans les bois de la commune. Naturellement 

ce n’est pas la réponse qu’attendait la maîtresse et les fillettes 

sont très désappointées quand elles découvrent la réaction de 

l’enseignante. 

Les élèves peuvent facilement déceler le quiproquo qui 

s’installe lors de la résolution du problème par les fillettes. 

N’étant pas directement concernés ils peuvent analyser plus 

objectivement la situation, alors que ce n’est pas le cas 

lorsqu’ils sont eux-mêmes confrontés à une résolution de 

problèmes. 

Le texte Le problème de Christian Lamblin (6) permet aussi de 

faire réfléchir les élèves sur la distance à prendre entre un 

texte de problème et la situation réelle à laquelle il fait 

référence. Dans ce texte, le maître propose aux élèves de 

résoudre le problème suivant : 

« Mon papa achète une grosse tarte aux fraises et il la partage 

en quatre. Sachant que la tarte pèse 800 grammes, quel va 

être le poids de chaque part ? » 

Dans la nouvelle, une discussion s’engage entre le maître et 

les élèves au sujet du papa dont on parle dans le texte et de la 

tarte aux fraises que le papa d’un des élèves ne supporte pas. 

Pour tenir compte de toutes les objections des élèves et de 

toutes leurs situations personnelles, le maître modifie le texte 

de problème qui devient : 

« J’achète une petite tarte aux pommes et je la partage en 

23. Sachant que la tarte pèse 80 g, quel sera le poids de 

chaque part ? » 




Le texte n’a plus aucun sens. 

problèmes de mathématiques. Plusieurs outils de création de 

contes sont disponibles dans la littérature. 

Les élèves peuvent sans difficulté analyser la situation 

caricaturale présente dans cette histoire. 

2) On peut utiliser les problèmes et les énigmes figurant dans 

plusieurs ouvrages et présentés sous forme de nouvelles. 

C’est le cas des Énigmes de Shéhérazade (4) et du Démon des 

maths (5). Le livre Arithmétique appliquée et impertinente (25) 

propose, quant à lui, des problèmes loufoques comme celuici 

: 

« L’hippopotame a refusé de se déshabiller pour se peser. 

La balance a affiché : 3 tonnes 4 quintaux, 53 kilogrammes 

et 210 grammes. Son blouson de cuir pèse un quintal et 

85 kg, son jean 66,4 kg, ses santiags 0,1375 tonne, son 

petit linge 25,32 kg et son walkman 612 g. 

Quel est le poids réel de l’hippopotame ? » 

Ce type de problème peut être intégré à des contes. 

3) On peut aussi « détourner » un conte traditionnel. Le petit 

chaperon rouge a changé de couleur dans bien des ouvrages. 

Il lui est même arrivé, dans des mondes parallèles, de poser 

au loup des problèmes mathématiques. Ce qui, soit dit en 

passant, a bien ennuyé le loup et lui a coupé l’appétit. 

Toujours dans le domaine de l’appétit, on peut s’interroger 

mathématiquement sur la cure d’amaigrissement du cochon 

de la ferme des parents de Delphine et Marinette et aussi se 

questionner sur les chances de la buse d’emporter le cochon 

dans les airs – s’il maigrit trop ! (7) – ou encore sur un 

partage de pains entre bons amis (10). 

On peut également utiliser le conte Alice aux pays des merveilles 

et faire un travail spécifique sur les syllogismes, par exemple. 

D'ailleurs, un très sérieux concours de professeurs des écoles 

proposait aux candidats de réfléchir sur le thème de la 

proportionnalité à partir des différentes pastilles qu’Alice 

avait prises pour grandir ou rapetisser. 

4) On peut, si l’on se sent l’âme d’un conteur, créer soimême 

un conte parsemé d’énigmes et de problèmes, ou 

inventer « une histoire dont vous êtes le héros » comportant 

plusieurs problèmes à résoudre. Divers sites comme celui de 

« l’asdmaths » proposent également des problèmes de 

recherche et des énigmes qu’on peut incorporer à ces divers 

contes inventés ou détournés, ou qu’on peut associer à « des 

histoires dont vous êtes le héros ». 

Une expérience menée en dernière année de l’école 

élémentaire a permis la résolution de problèmes très variés en 

utilisant « une histoire dont vous êtes le héros » inspirée des 

Chevaliers de la Table ronde. Les élèves venaient présenter 

leur solution au tableau en jouant le rôle des différents 

chevaliers. Cela leur a permis de se décentrer et de résoudre 

les problèmes de façon plus aisée, car ils étaient les héros 

d’une histoire et plus seulement les élèves de la classe. 

5) On peut aussi – et c’est beaucoup plus amusant – faire 

créer un conte par les enfants à partir d’un thème donné et 

demander aux élèves d’y incorporer plusieurs énigmes et 

6) On peut aussi vivre le conte en le mimant (des techniques 

de théâtre d’improvisation peuvent être utilisées). On peut y 

introduire un paysage sonore et résoudre en plus, pourquoi 

pas, des énigmes musicomathématiques. 

7) On peut utiliser des albums existants pour travailler 

différentes notions. 

Diverses expériences ont été réalisées. L’une d’entre elles a 

pris comme support le conte africain La lionne solitaire et les 

bébés autruches (éditions Circonflexes 2001) pour travailler la 

spatialisation en maternelle par exemple. Les élèves ont 

beaucoup progressé dans l’apprentissage des notions de 

spatialisation (devant, derrière, à côté, etc.), car en jouant le 

rôle des animaux de l’album ils ont pu se décentrer et donc 

acquérir plus facilement ces différentes connaissances. 

Il ne faut pas oublier les albums du japonais Akihiro Nozaki, 

tous utilisables dès l’école primaire : 

Le pot magique (26) illustre la notion de factorielle de façon 

très simple. 

Jeux de chapeaux 

(27) propose des problèmes de logique. 

Le loup, le crapaud et les trois petits cochons (28) aborde la notion 

de probabilité. 

Ces albums, agréablement illustrés, peuvent être utilisés 

directement en classe au cours d’activités spécifiques de 

recherche de problèmes. 

8) On peut aussi détourner des bandes dessinées et utiliser 

ses personnages célèbres pour mettre en scène un problème, 

comme le montre l’exemple ci-dessous réalisé par une 

étudiante de l’IUFM de Versailles. 

Le sourire que provoque la lecture de ce texte est une bonne 

mise en condition pour sa résolution. 

Rabelais n’écrivait-il pas d’abord pour faire rire ses malades et 

leur permettre de penser à autre chose qu’à leurs soucis 

personnels et à leur maladie ? 

Certains de nos élèves sont malades des mathématiques et en 

particulier de la résolution de problèmes : n’hésitons pas à 

nous servir des outils qui ont fait leur preuve depuis des 

siècles ! 




Il ne s’agit pas d’inventer un artifice supplémentaire pour 

« habiller la résolution de problèmes », mais bien d’utiliser 

tous les moyens dont nous disposons pour permettre aux 

élèves de se lancer vraiment dans l’activité mathématique. 

Enfin, il nous semble que tous les moyens sont bons quand il 

s’agit d’aider les élèves à acquérir de nouveaux savoirs et à 

entreprendre une recherche. 

Leur permettre d’éprouver du plaisir en faisant des mathématiques 

est également l’un des objectifs de telles activités. On 

mémorise mieux ce qui a été appris agréablement. 

Comme le dit Amadou Hampaté Ba « Le savoir est la seule 

richesse que l’on puisse entièrement dépenser sans en rien la 

diminuer ». 

Donnons-nous-en les moyens ! 

Bibliographie 

(1) Lewis Carroll, Alice’s Adventures Underground, 

Dover Publications, New York 1965. 

(2) Guillevic, Euclidiennes, Poésies, Gallimard, Paris 1977. 

(3) Vladimir Levchine, La frégate du capitaine unité, 

Éditions Radouga, Moscou 1989. 

(4) Raymond Smullyan, Les énigmes de Shéhérazade, 

Flammarion, Paris 1998. 

(5) Hans Magnus Enzensberger, Le démon des maths, 

Éditions du Seuil, Paris 1998. 

(6) Dominique Chauvel, Pièces et saynètes pour les 

enfants, (Le problème de Christian Lamblin), Retz 1999. 

(7) Marcel Aymé, Les contes du chat perché, (Le 

Problème), Gallimard, 1937. 

(8) Évelyne Roques, Du conte au problème, Dossier 

JDI, Nathan, octobre 1994. 

(9) Georges Kolebka, L’épicier rose et autres contes de la 

même couleur, Hachette Jeunesse, 2000. 

(10) Luda, 365 contes de gourmandise (Le juste prix), 

Gallimard 1999. 

(11) Françoise Cerquetti-Aberkane, Enseigner les 

mathématiques à l’école, collection enseignant, Paris 

Hachette Éducation 2003. 

(12) Georges Perec, La vie mode d’emploi : romans, 

Hachette, Paris 1978, 

(Prix Médicis 78). 

(13) Oulipo, Abrégé de littérature potentielle, Éd. Mille et 

une nuits, Paris 2002. 

(14) Harry Mathews, Cigarettes : a Novel, Weidenfeld & 

Nicholson, 1987. 

(15) Amadou Hampaté Bâ, Il n’y a pas de petite querelle, 

Éd. Stock, Paris 1999. 

(16) Jacques Nimier, Mathématique et affectivité, Coll. 

PERNOUD, Éd. Stock, Paris 1976. 

(17) Hans Freudenthal, Mathematics as an Educational 

Task, Reidel Publishing Co., Dordrecht 1973. 

(18) Sheila Tobias, Le Mythe des maths, Axes pratiques, 

Éd. Études vivantes, Paris 1980. 

(20) Ministère de l’Éducation nationale (France), 

Qu’apprend-on à l’école élémentaire ?, éditions CNDP, Paris 

2002. 

(21) Antoine de La Garanderie, Les profils pédagogiques, 

Le Centurion Paris 1980. 

(22) Armelle Géminet, La gestion mentale en mathématiques, 

Retz, Paris 1994. 

(23) Ibn al Muqaffa, Le livre de Kalila et Dimna traduit de 

l’arabe par André Miquel édition Klincksieck Paris 1980 

(24) Louise Poirier, Conférence plénière à l’EMF 2006 

Sherbrooke « L’enseignement des mathématiques à la communauté 

inuite » 

(25) Jean Louis Fournier, Arithmétique appliquée et 

imper-tinente, Edition Payot et Rivages, Paris 1993 

(26) Akihiro Nozaki, Le pot magique, Père Castor 1991 

(27) Akihiro Nozaki, Jeux de chapeaux, Père Castor 1991 

(28) Akihiro Nozaki, Le loup, le crapaud et les trois petits 

cochons, Père Castor 1991- 



Géographie, civilisation et 

styles mathématiques 

Selon l’époque, les centres d’intense production du savoir mathématique se 

déplacent. Mais non seulement les lieux sont-ils différents, les domaines d’intérêts 

et les façons de faire des mathématiques elles aussi changent. Un lien existerait-il 

entre ces diverses façons de faire et les lieux où elles sont privilégiées ? C’est ce que 

nous aborderons en nous penchant sur les mathématiques des Mésopotamiens, des 

Grecs, des Arabes, des Chinois, des Européens. 

Louis 

Charbonneau, 

département de 

mathématiques, 

UQAM 

charbonneau.louis 

@uqam.ca 

L 

es mathématiques sont souvent 

qualifiées de langage universel. Tous les 

mathématiciens du monde les 

comprennent. Elles sont un genre d’esperanto 

qui, en théorie, peut être décodé par tous. Au 

point qu’une phrase mathématique devrait 

avoir un même sens pour un Sénégalais, un 

Japonais ou un Inuit. Notre confiance est si 

grande dans l’universalité des mathématiques 

comme langage que nous, les hommes de cette 

planète, avons ajouté des messages 

mathématiques dans des engins spatiaux que 

nous avons lancés dans l’espace intersidéral et 

qui pourraient, un jour, tomber entre les « 

mains » d’autres êtres intelligents. Avons-nous 

raison de croire en cette universalité ? 

Les mathématiques ont une longue histoire. 

On les retrouve à toutes les époques, dans 

toutes les grandes civilisations. Elles ont donc 

effectivement un certain caractère universel. 

Néanmoins, à feuilleter les livres d’histoire des 

mathématiques, on se rend vite compte que 

même si certains sujets reviennent toujours, 

l’arithmétique et la mesure des surfaces par 

exemple, la forme que prennent les 

mathématiques varie considérablement. 

Qu’y a-t-il donc de commun, qu’y a-t-il de 

différent entre ces mathématiques qui peuvent 

toutes se traduire dans les mathématiques qui 

sont les nôtres aujourd'hui, mais qui, tout de 

même, se présentent sous un habillage 

différent, original ? Vouloir répondre à une 

telle question nous fait rencontrer dès le 

départ une difficulté non négligeable, du fait 

que chaque civilisation se situe à la fois dans 

l’espace et le temps. Comparer les 

mathématiques de civilisations différentes 

nous oblige dans un premier temps à nous 

interroger sur les possibilités d’influences 

réciproques. En cela on doit tenir compte de 

la contemporanéité de celles-ci aussi bien que 

de leur proximité géographique éventuelle. 

Aussi, tentons de représenter succinctement, 

schématiquement, les liens temporels et 

géographiques entre les grandes civilisations 

que sont, en autres, l’Égypte, la Mésopotamie 

antique, la Chine, l’Inde, la Grèce, le monde 

arabo-musulman et l’Europe du Moyen Âge et 

de la Renaissance. 



Géographie, civilisation et styles mathématiques Louis Charbonneau 

La géographie du temps 

Tout au long de l’histoire, les lieux de forte activité 

mathématique ont varié. La carte qui suit situe les 

civilisations signalées ci-dessus et qui se sont démarquées 

pour l’importance de leur activité mathématique. 

Une telle carte nous permet de voir d’un coup d’œil les liens 

géographiques pouvant avoir influencé l’évolution d’une 

civilisation, soit par le fait d’occuper un territoire sur lequel 

des civilisations antérieures ont prospéré, soit par la simple 

proximité géographique. Ainsi, on constate que le monde 

arabo-musulman a englobé des territoires qui auparavant 

avaient vu se déployer les civilisations égyptienne, 

mésopotamienne et grecque. L’on y voit aussi que l’Inde et le 

monde arabo-musulman se touchent géographiquement. De 

fait, toutes ces civilisations ont influencé les mathématiques 

du monde arabo-musulman. Par ailleurs, même si la 

civilisation grecque touche sur cette carte le monde européen 

de la Renaissance, l’influence de la civilisation grecque sur 

l’Europe ne découle pas d’une proximité physique, étant 

donné que la civilisation grecque antique s’est éteinte plus de 

mille ans avant que l’Europe n’entre dans cette période que 

nous appelons la Renaissance. L’influence du monde grec sur 

l’Europe provient de son passage par le monde arabomusulman 

et le monde byzantin. On perçoit ici une faiblesse 

des cartes sur lesquelles il n’est pas tenu compte du temps. 

Pour signaler les influences d’une civilisation à l’autre, une 

telle carte s’avère utile au niveau des conjectures, mais elle 

reste très insuffisante. 

Pour indiquer schématiquement de telles influences, un 

schéma classique, comme celui ci-dessous, pourrait faire 

l’affaire. Mais encore là, le temps y est absent tout comme les 

liens géographiques, même si j’ai tenté de placer les différents 

noms approximativement comme ils apparaissent sur la 

carte. Peut-être aurait-il fallu mettre ces flèches sur la carte ? 

Mais encore là, le temps n’y serait pas apparu. Un artifice 

possible est de personnaliser les flèches de sorte que les 

influences contemporaines correspondent à des flèches de 

même format (couleur ou forme de la flèche). Dans le 

schéma, j’ai numéroté les flèches, chaque numéro 

correspondant à une grande époque : le 1 pour l’Antiquité, le 

2 pour le Haut Moyen Âge (500-1200) et le 3 pour le Bas 

Moyen Âge (1200 – 1453) et la Renaissance. La forme du 

trait, pointillé ou non, indique respectivement une influence 

faible et localisée dans le temps ou une influence plus 

profonde. 

3 

2 

Byzance 

2 

Grèce 



Europe 

1 

3 

Égypte 

Monde arabe 

2 

1 

2 

2 

Mésopotamie 

2 

1 

2 

2 

2 

Inde 

Chine 

Afin de concilier cette exigence de prendre en compte aussi 

le temps, voici la solution proposée par Neugebauer, le 

célèbre historien des mathématiques mésopotamiennes 1. Je 

l’ai francisée et y ai ajouté une colonne pour la Chine. J’ai 

aussi ajouté des zones ombragées qui indiquent des périodes 

d’activités mathématiques plus intenses. Les flèches 

soulignent par ailleurs les influences d’une civilisation à une 

autre. Ainsi, le tableau informe à la fois sur les espaces 

géographiques, les périodes temporelles et les influences. 

Plus complexe que les tableaux précédents, il illustre plus 

adéquatement la complexité qui nous attend lorsqu’on veut, 

comme dans mon propos, regarder de haut l’ensemble de 

l’histoire des mathématiques depuis les origines jusqu’à la 

Renaissance européenne. 

1 Neugebauer, O., The Exact Sciences in Antiquity, New York : Dover 

Publications, Inc., 1957, p. xvi. 

2


Ayant maintenant cette toile de fond à notre disposition, 

nous pouvons revenir à notre question de départ : « En quoi 

les mathématiques des différentes civilisations se 

ressemblent-elles et se distinguent-elles les unes des autres ? » 

Pour y répondre, nous focaliserons notre attention sur 

différentes facettes des mathématiques de chaque civilisation. 

L’ensemble de ces facettes constituera pour nous le style 

mathématique d’une civilisation. Il va sans dire qu’il s’agit 

d’une conception très limitative du « style mathématique ». 

Styles mathématiques… 

Plusieurs éléments participent à la façon dont les 

mathématiques se présentent dans une société. Nous 

retiendrons les facettes suivantes : contexte global, le rapport 

à la vérité, le numérique et le géométrique, la représentation 

des objets mathématiques. Notons, avant de les aborder, que 

nous donnerons plus d’informations sur les mathématiques 

chinoises que sur les mathématiques des autres civilisations, 

étant donné qu’elles sont en général moins connues. 2 

Le contexte global 

Qui sont les mathématiciens ? Des fonctionnaires au service 

de l’état ayant pour tâche d’aborder des questions pratiques 

de gestion impliquant les personnes ? Des « amateurs » 

trouvant dans les mathématiques un défi intellectuel à 

relever? Des « mathématiciens » au service de personnes ou 

institutions autres que l’état ? À cet égard, où se situe le 

mathématicien dans la hiérarchie sociale? 

En Égypte et en Mésopotamie, les mathématiciens dont on a 

trouvé des traces de leur travail sont clairement des scribes, 

donc des fonctionnaires de l’état ou, éventuellement, de 

temples. Pour ceux qui avaient des fonctions religieuses, 

l’astronomie constituait sans doute une part majeure de leurs 

préoccupations. 

Il en va de même en Chine, du moins jusqu’au XII e siècle. 

On peut déjà connaître les préoccupations des fonctionnaires 

par les titres des chapitres du livre ayant eu la plus grande 

influence dans les mathématiques chinoises : Les neuf chapitres 

sur l’art mathématique, livre datant probablement du premier 

1. Champs rectangulaires (38 problèmes) 

2. Millet et grain décortiqué (46 problèmes) 

3. Partage selon les rangs (20 problèmes) 

4. Diminution de la largeur (24 problèmes) 

5. Discussion des travaux publics (28 problèmes) 

6. Taxation équitable (28 problèmes) 

7. Excédent et déficit (20 problèmes) 

8. Comparaison des dispositions (18 problèmes) 

9. Base-hauteur (24 problèmes) 

Liste des chapitres de Les neuf chapitres sur l’art mathématique 

(premier siècle de notre ère) 

2 

Les informations sur les mathématiques chinoises sont tirées des 

deux livres suivants : Yabuuti, Kiosi, Une histoire des mathématiques 

chinoises, Paris : Belin, 2000 et Yan, Li, et Shiran, Du, Chinese 

Mathematics, A Concise History, Oxford : Clarendon Press, 1987. 

siècle de notre ère. Mais ces fonctionnaires sont d’un rang 

inférieur. Ainsi, pendant la dynastie Tang (618-907), un 

astronome est un fonctionnaire de 5 ième rang inférieur mineur 

alors qu’un mathématicien est de 9 ième rang inférieur mineur. 

Dans les régions du nord, dominées par la dynastie 

mandchoue Jin (1115-1234), puis aussi dans les régions du 

sud de la dynastie chinoise des Song du sud (1127-1279), et 

enfin dans l’ensemble de la Chine sous la dynastie mongole 

des Yuan (1279-1368), des mathématiciens commencent à 

travailler pour les marchands (surtout dans la vallée du fleuve 

Yangszi). Cette évolution n’est sans doute pas étrangère au 

fait que les dynasties Jin et Yuan ne sont pas chinoises, mais 

que dans les deux cas elles manifestent un profond respect 

pour la culture chinoise. De plus, l’insécurité qui, à cette 

époque, a nécessairement accompagné les changements 

dynastiques a été un terreau favorable à un retour d’un 

certain mysticisme taoïste auquel se greffe un intérêt pour la 

numérologie et les carrés magiques. Les mathématiciens nonfonctionnaires 

de cette époque participent à ces 

mouvements. De plus, les premiers empereurs de la dynastie 

Yuan sont en contact avec leurs parents qui sont allés jusqu’à 

Bagdad. 3 Ainsi, des astronomes chinois vont à l’observatoire 

de Maraga et un observatoire dirigé par des astronomes 

arabes est créé en Chine. Néanmoins, les astronomes sont 

des scribes, des fonctionnaires, et les relations entre les 

astronomes chinois et arabes, surtout en relation avec la 

prédiction des éclipses, se limitent à l’échange de résultats. 

L’inertie intellectuelle des fonctionnaires astronomes apparaît 

telle qu’elle inhibe la curiosité des Chinois face aux 

techniques pourtant beaucoup plus efficaces des astronomes 

arabes. 

En Inde, la situation n’apparaît pas claire. L’importance du 

religieux dans l’intérêt pour les mathématiques nous porte à 

croire qu’il devait y avoir des mathématiciens scribes. Notons 

toutefois que les mathématiciens provenaient habituellement 

de familles de mathématiciens et astronomes. Peu 

d’échanges se faisaient entre mathématiciens, chaque famille 

préservant les connaissances du clan. Par ailleurs, il est 

intéressant de remarquer qu’alors, peu d’efforts étaient 

orientés vers l’amélioration des calculs astronomiques. La 

tradition dominait puisque l’astronomie jouait un rôle dans le 

fonctionnement de l’état. Il n’en allait pas de même pour les 

mathématiques, car les mathématiciens n’avaient de compte à 

rendre qu’à eux-mêmes. 

Dans la Grèce hellénique (avant -323), les mathématiciens 

faisaient partie de l’élite citoyenne. De ce fait, ils n’étaient pas 

au service de l’état. Par la suite, dans la période hellénistique 

(-323, mort d’Alexandre le Grand à 500 de notre ère), ils 

servaient leur maître, mais beaucoup plus pour la gloire que 

ce dernier en retirait que pour des raisons de fonctionnement 

de l’appareil étatique, comme pour les membres du Museum 

à Alexandrie. Au cours de la période hellénique, les 

mathématiques faisaient partie intégrante des grands courants 

philosophiques. À la période hellénistique, elles se détachent 

3 

Deux petits-fils de Gengis Khan jouèrent un rôle important ici. : 

Hulagu (1217-1265), fondateur de la dynastie mongole qui a dominé 

l’Iran et qui a fondé l’observatoire de Maraga, et Kubilay (1214- 

1294), fondateur de la dynastie Yuan en Chine. 




partiellement de ces systèmes intellectuels par un mouvement 

socio-intellectuel qui touche aussi bien les mathématiques 

que la philosophie. 

Dans le monde arabo-musulman, on retrouve des mathématiciens 

qui ont un statut similaire à ceux de la Grèce 

hellénistique, comme, par exemple, al-Khwarizmi, membre 

de la Maison de la sagesse de Bagdad. Mais l’on retrouve 

aussi toute une tradition qui se rattache clairement au 

commerce. L’importance de la numération positionnelle 

indo-arabe l’illustre et le développement de l’algèbre le 

montre bien. Notons que certaines prescriptions du Coran 

concernant les héritages, l’orientation des mosquées et les 

moments des cinq prières quotidiennes, posent des 

problèmes qui faciliteront l’émergence des mathématiques 

dans cette civilisation. 

En Europe, au cours du Bas Moyen Âge (1200-1453), l’on 

retrouve principalement deux types de mathématiciens. En 

Italie et dans les villes commerçantes du reste de l’Europe, 

plusieurs écoles destinées aux fils de marchands sont sous la 

direction de mathématiciens. En Italie, leurs revenus sont si 

importants que ces mathématiciens font partie de la haute 

bourgeoisie. On retrouve parfois aussi des mathématiciens 

dans quelques universités nouvellement créées, comme, par 

exemple, à Paris et Cambridge. À partir du XV e siècle, les 

écoles de marchands cèdent progressivement leur place 

comme centre de production mathématique, parfois à 

l’université, mais beaucoup plus souvent à un monde 

d’amateurs qui sont de fait plus près de l’université que du 

commerce. Ils participent à la mouvance néo-platonicienne 

qui se développe alors et dont les académies de la fin du 

XVI e siècle sont le fleuron. Au XVII e siècle, l’université sera 

complètement dépassée par cette mouvance, sauf en 

Angleterre où Cambridge redevient un centre mathématique 

avec d’illustres mathématiciens tels Wallis et Newton. À cet 

égard, la religion et la philosophie jouent un rôle de plus en 

plus explicitement limité dans le travail du mathématicien. 

Le rapport à la vérité 

Les règles qui découlent du travail du « mathématicien » fontelles 

l’objet d’un discours assurant la justesse de celles-ci ? 

Jusqu’à quel point ce discours, s’il existe, cherche-t-il à 

convaincre ou à convaincre de façon irréfutable ? Ce discours 

semble-t-il davantage reposer sur la confiance du mathématicien 

lui-même, mais sans tentative de justification destinée 

aux lecteurs ? La logique s’insère-t-elle structurellement dans 

le discours justificatif ? 

Les textes égyptiens et mésopotamiens se limitent à donner, 

pour résoudre des problèmes, des règles qui prennent la 

forme de description de solutions numériques. Le jeune 

apprenti scribe devait donc intérioriser ces solutions et 

éventuellement devenir capable de savoir quand les 

appliquer. Aucune justification n’apparaît. Mais peut-être y en 

avait-il une d’explicitée au niveau de l’enseignement oral. 

En Chine, les textes les plus anciens, comme les Neuf chapitres 

de l’art mathématique écrit au début de notre ère, s’organisent 

aussi autour d’un modèle semblable. Chaque énoncé d’un 

problème est suivi par la réponse et la procédure explicite 

pour y arriver. Dans le commentaire qu’en fait vers 260 Liu 

Hui, des justifications viennent soutenir certaines des règles 

Aire ABCD = Aire de AEFG, et donc c(a + b) = ab 

énoncées. Ainsi, pour justifier la procédure permettant de 

déterminer la longueur du côté du carré inscrit dans un 

triangle rectangle donné, procédure correspondant à notre 

formule c = ab , où c est la mesure du côté du carré et a et b 



a + b 

sont les cathètes du triangle rectangle, Liu Hui déplace des 

morceaux dans une figure bien choisie. Il complète le 

rectangle dont l’hypoténuse du triangle rectangle donné est 

une diagonale. Déplaçant mentalement les morceaux du 

puzzle, il réarrange le rectangle de dimensions a et b en un 

rectangle de même aire dont l’une des dimensions est c et 

l’autre se révèle être a + b. Dès lors, on a c(a + b) = ab, d’où 

découle la formule ci-dessus. Ce genre de justification se 

rencontrera tout au long de l’histoire des mathématiques 

purement chinoises. Elle se distingue de ce que faisaient les 

Grecs en ce qu’il n’y a derrière aucun édifice déductif, aucune 

définition précise, aucun corps explicite de logique que 

devrait respecter le raisonnement. 4 Liu Hui convainc, mais 

un géomètre grec n’aurait pu accepter un tel argument 

comme démonstration. À aucun moment les mathématiciens 

chinois ne sentiront le besoin d’entreprendre un travail de 

fondement comme l’on fait les Grecs. 

Il n’est pas nécessaire de s’étendre sur l’importance bien 

connue que donnaient les Grecs à la structure déductive 

d’une démonstration. Le respect des règles explicites de la 

logique prend une importance centrale ici. Il ne s’agit pas de 

convaincre, mais bien de trouver une justification incontestable 

de la justesse d’un énoncé ou d’une construction. 

L’émergence des régimes démocratiques dans certaines cités 

grecques n’est pas étrangère au développement de cette 

exigence de la rigueur dans la pensée mathématique. 

Les astronomes indiens ont été influencés par les écrits 

astronomiques grecs dans les deux ou trois premiers siècles 

4 

Le philosophe Mozi (470-391 avant notre ère), aussi connu sous le 

nom de Maître Mô, et son école ont entrepris de donner une 

structure plus explicite et formelle à la logique, s’intéressant au 

passage à certaines définitions d’objets géométriques. Mais leurs 

travaux n’ont pas eu d’influence en géométrie.


de notre ère, particulièrement en ce qui a trait à l’utilisation 106, 93, 79, 65, 51, 37, 22, 7. 

de modèles géométriques et, par ricochet, à la trigonométrie. 

Néanmoins, les mathématiciens, qui sont souvent des 

astronomes, n’ont pas retenu des Grecs leur besoin de 

rigueur de démonstration. En fait, les résultats sont souvent 

donnés par eux sans aucune justification. C’est un peu 

comme si la conviction de la justesse du résultat par l’auteur 

du texte suffisait. Par analogie, on peut penser ici au génial 

Stenza II, 12 By what number the second sine 

[difference] is less than the first sine, and by the quotient 

obtained by dividing the sum of the preceding sine 

[differences] by the first sine, by the sum of these two 

quantities the following sine [differences] are less than the 

first sine. 

Ramanujan (1887-1920), ce mathématicien indien découvert Stenza II-12 De combien la deuxième [différence des] 

par l’anglais Hardy, qui générait des résultats tout à fait sinus est moins que la première et par le quotient 

surprenants qu’il ne pouvait pas toujours justifier, mais qui se obtenu en divisant la somme des [différences] des 

sont souvent révélés justes. 

sinus précédente par le premier sinus, par la somme de 

ces deux quantités la [différence] des sinus suivants 

sont moins que le premier sinus. 

Dans le monde arabo-musulman et dans l’Europe de la fin 

du Moyen Âge et de la Renaissance, l’idéal de démonstration 

grecque sera repris et même enrichi. 

Le numérico algébrique et le géométrique 

Les mathématiques sont-elles de nature plus numérico 

algébrique que géométrique ? Les textes mathématiques 

traitent-ils essentiellement de nombres et de mesure, plutôt 

que de grandeurs plus générales, comme des grandeurs 

géométriques ? 

Les nombres, souvent issus de mesures de grandeurs 

géométriques, sont omniprésents dans toutes les cultures et 

civilisations. Mais, dans certains cas, cette présence semble 

plus profonde que dans d’autres. Ainsi, en Mésopotamie, le 

numérique est l’outil par excellence des prédictions. La 

prévision des éclipses de Lune et de Soleil se faisait en 

trouvant des régularités dans les tables astronomiques issues 

des observations. Il n’y avait pas de modèles géométriques de 

l’univers. Le numérique était leur seul outil et les astronomes 

mésopotamiens ont poussé son utilisation au maximum. Le 

sens du numérique se manifeste aussi dans la numération 

sexagésimale. Le fait d’utiliser des tables d’inverses pour 

effectuer les divisions montre leur habilité à jouer avec le 

nombre. Ce sens du numérique particulièrement poussé se 

retrouve aussi en Inde. La création d’une numération 

positionnelle l’illustre aussi. Mais cela est encore plus clair 

lorsqu’on examine leur traitement du calcul des tables de 

cordes qu’ils semblent pourtant avoir en partie hérité des 

Grecs qui, eux, avaient une approche très clairement 

géométrique. Dans son Aryabhatiya écrit en 499, Aryabhata 

(466-550) présente la table des sinus, probablement issue de 

la table des cordes d’Hipparque, en donnant la liste des 

premières différences, puis en précisant une façon de 

retrouver les sinus à partir des deuxièmes différences. 5 

Stenza I, 10 The tewenty-four sine [differences] 

reckoned in minutes of arc are 225, 224, 222, 219, 215, 

210, 205, 199, 191, 183, 174, 164, 154, 143, 131, 119, 106, 

93, 79, 65, 51, 37, 22, 7. 

Stenza I-10 Les vingt-quatre demi-arcs [différences] 

calculés en minutes d'arc sont 225, 224, 222, 219, 215, 

210, 205, 199, 191, 183, 174, 164, 154, 143, 131, 119, 

5 

Ma traduction des citations anglaises dans Katz, Victor J., A 

History of Mathematics, An Introduction, seconde édition, Addison- 

Wesley, 1998, p. 212-213. 

La formule sous-jacente à ce dernier énoncé est la suivante : 

sn = sn-1 + (s1 - (s1 + ... + sn-1)/s1). 

À nouveau, comme pour les astronomes mésopotamiens, le 

traitement en termes de différences nous indique qu’une 

approche numérique semble plus naturelle à l’astronome 

indien. 

Le monde arabo-musulman s’est étendu sur la Mésopotamie 

et a atteint les marches occidentales du monde indien. Il n’est 

donc pas surprenant que les mathématiciens du monde 

arabo-musulman aient hérité de ces deux civilisations une 

approche plus numérique. Mais cette tendance a été 

contrebalancée par l’influence des mathématiques grecques. 

Ainsi la pensée grecque s’est-elle vue digérée par les Arabes, 

de sorte qu’au total, le numérique a retrouvé, dans un cadre 

par ailleurs tout à fait original ayant absorbé les préoccupations 

de rigueur grecque, une place qu’il n’avait pas auparavant. 

Il faut rappeler qu’à la fin des premiers siècles de notre 

ère. Il y a aussi eu dans le monde hellénistique une 

recrudescence d’intérêt pour le numérique. Pensons à 

Diophante (v. 250) et à Nicomaque de Gérase (mort vers 

120). Mais il y a plus. Il ne faut pas oublier que la première 

grande école mathématique grecque considérait le nombre 

comme la base de toute découverte des relations cachées 

dans la nature. Pythagore est avant tout un numéricien. Si la 

géométrie semble pour les Grecs précéder dans la hiérarchie 

des connaissances le numérique, c’est qu’il y a eu un long 

cheminement dans lequel la découverte de l’incommensurabilité 

a joué un rôle majeur. Mais cette découverte n’a été 

possible que parce que déjà la nécessité de justifications avait 

acquis une grande importance. 

Les Européens hériteront d’abord des Arabes la culture 

mathématique grecque. La place du numérique dans cet 

héritage est d’autant plus grande que le vecteur principal 

d’influence a été le monde des marchands. Cette prépondérance 

sera remise en cause par l’arrivée en Italie et en Europe 

à la fin du XVI e siècle, après la chute de Constantinople, de 

textes grecs n’ayant jamais été traduits. 

La Chine pour sa part a aussi une préférence pour le 

numérique, mais elle semble moins profondément ancrée 

dans l’esprit de cette civilisation qu’en Mésopotamie et en 

Inde. 




Les représentations des objets mathématiques 

Comment représente-t-on les nombres ? Comment représente-t-on 

les fractions ? Comment représente-t-on les grandeurs 

? Les symboles jouent-ils un rôle important ? Les règles 

sont-elles exprimées en faisant référence à des symboles ? 

Représenter un objet mathématique par autre chose que des 

mots nous semble aujourd’hui tout naturel. Et pourtant, j’ose 

dire que ce n’est pas naturel. À preuve, le fait qu’un grand 

esprit comme al-Khwarizmi écrive habituellement les 

nombres en mots, au long, souligne que l’oral et sa 

transcription écrite restent le plus naturel. Al-Khwarizmi dit 

clairement que la suite de chiffres qui représente un nombre 

en est l’« image », distinguant explicitement l’image du 

nombre. C’est par les mots que les tables de sinus seront 

d’abord apprises par cœur en Inde, menant peu à peu à 

l’élaboration du système positionnel décimal qui sera 

présenté au monde arabo-musulman par ce même al- 

Khwarizmi. Il y a une nette progression entre les 

numérations antérieures, dans lesquelles les symboles ne 

servent qu’à écrire le nombre, et la numération indo-arabe, 

dans laquelle les symboles participent au calcul sur ces 

nombres, d’abord à l’aide de tablettes de poussières en Inde, 

puis sur le papier chez les Arabes. Le symbole devient alors 

un outil et non seulement un signe remplaçant le nombre. 

Les fractions, par la complexité de ce qu’elles représentent, 

poussent aussi à développer des symbolismes plus 

dynamiques. On retrouve cela en Mésopotamie, avec les 

fractions sexagésimales, écriture qui sera reprise par les 

astronomes de l’école hellénistique à partir d’environ 200 ans 

avant notre ère. 

Il est intéressant de noter que l’utilisation de l’espace pour 

changer le sens d’un symbole sera utilisé dans d’autres 

circonstances. Ainsi, en Chine, dans Les neuf chapitres sur l’art 

mathématique, on résout des systèmes d’équations linéaires en 

manipulant des baguettes qui sont disposées sur une surface 

plate. Par exemple, pour résoudre le système suivant dans le 

chapitre 8, (en symboles modernes) 

5x – 7y = 11 

7x – 5y = 25, 

on va disposer les nombres selon la disposition 

suivante (chaque nombre étant écrit avec des baguettes) : 

7 5 

-5 -7 

25 11. 

Ce type d’utilisation de la position spatiale sera utilisé en 

1248 dans le Reflets des mesures du cercle sur la mer de Li Ye, l’un 

de ces mathématiciens non-fonctionnaires de l’époque Jin. 

Pour représenter l’équation 6x 2 - 3x + 2 = 0, il dispose les 

nombres ainsi : 

Le symbole indique les unités. La barre oblique indique 

que trois fois l’inconnue est enlevée. À la même époque, 

mais sous les Yuan, dans le Miroir de jade des quatre inconnues 

(1303), Zhu Shijie représente l’expression à quatre inconnues 

suivante : 

x 2 + 4y 2 + 9z 2 - 16u 2 - 4xy + 6xz + 16yu - 24zu - 2yz 

Ici, le indique simplement l’absence de nombre à cette 

position. Il est intéressant de noter que les noms et les 

symboles utilisés dans l’algèbre chinoise de cette époque, 

désignée comme étant l’art de l’inconnue céleste, se réfère 

aussi à l’espace. Ainsi, alors que la constante est associée au 

mot homme, le x l’est au mot ciel6, le x2 au mot dessus, les x2 à 

haut, etc. Alors que x-1 est associée à terre, x-2 au mot dessous, 

x-3 au mot bas, etc. 

Une utilisation analogue de l’espace a été faite par plusieurs 

mathématiciens arabo-musulmans. Pour eux il faut plutôt 

parler de tableaux. Ainsi, dans son travail sur les polynômes, 

as-Samawal (1130-1180) a représenté une approximation 

de 10 au moyen du tableau suivant : 

3 1 6 2 2 7 7 

Approximation de la racine carrée de 10 : 

3,162277 

Un tableau semblable 7 pouvait aussi représenter l’expression 

3 + x -1 + 6x -2 + 2x-3, etc. Les tableaux font partie de la 

tradition mathématique arabe. Pour résoudre les questions 

d’héritage, les juges, qui avant le IX e siècle étaient parfois 

aussi mathématiciens, utilisaient des tableaux bien structurés 

pour leur permettre de déterminer adéquatement les 

différentes parts des héritiers. 

Apparue probablement à Séville au tout début du XIII e 

siècle, une nouvelle notation pour les expressions polyno- 

Actes du 49e congrès de l’Association mathématique du Québec 86 31 mai et 1er Université de Sherbrooke 

6 

Le ciel est la première des entités agissantes, la deuxième étant la 

terre et la troisième, l’homme. D’où le nom d’art de l’inconnue 

céleste donné à cette algèbre. 

7 

Rashed, Roshdi, Entre arithmétique et algèbre, Recherches sur l'histoire des 

mathématiques arabes, Paris : Belles-Lettres, 1984, p. 144. 

juin 2006


miales reprend cette utilisation de la disposition spatiale. 

Contrairement à la notation d’as-Samawal, un simple 

symbole est écrit au-dessus du coefficient correspondant à un 

certain ordre de grandeur de l’inconnue. Ainsi, ce que nous 

écrivons aujourd’hui 3x 5 + 3x 4 + 17x 3 - (200 + 10x 2 + 20x) 

est représenté par 

. 8 

Même s’il n’existe aucune preuve directe et explicite, on peut 

penser que cette notation est à l’origine de notations reposant 

sur le même principe utilisé en Europe à la Renaissance, 

comme chez Chuquet (1485) par exemple, qui représente 5x3 par .53, ou un siècle plus tard chez Jost Bürgi, où 3x2 + 7x - 4 

est représenté par 3 II 

+ 7 I 

! 4 0 

. Le même esprit se retrouve dans 

la notation de Stevin (1585), dans laquelle 

peut aussi bien exprimer 27 + 8x + 4x 2 + 7x 3 que le nombre 

27,847. Notre notation algébrique, qui est celle de Descartes 

(1637), n’utilise pas la position comme principe de base. Les 

symboles ont un sens en soi. Il y a ici une très grande 

originalité par rapport à tout ce qui s’était fait auparavant. 9 

Où en sommes-nous ? 

Le génie particulier de chaque civilisation se manifeste dans 

la façon dont les mathématiques se situent dans la mouvance 

sociale, philosophique et religieuse, dans leur rapport à la 

justification de ses résultats, dans l’importance relative du 

numérique et du géométrique, et dans leurs outils de 

représentation. 

Dans les esquisses, presque des caricatures, que nous avons 

présentées, il apparaît que les mathématiques d’une 

civilisation ne peuvent se ramener à celles d’une autre sans 

l’amputer de l’une de ses caractéristiques. Dans ce sens, on 

peut dire que chaque civilisation a un style mathématique qui 

lui est propre. Il y a certes des éléments qui apparaissent 

transcender presque toutes les civilisations. Ainsi le 

numérique apparaît-il partout au départ comme l’élément de 

base du travail mathématique. Seule la civilisation grecque 

s’est détachée du numérique. De plus, seules les civilisations 

ayant connu une influence soutenue des mathématiques 

grecques ont relativisé l’importance du numérique. En Inde, 

malgré l’influence de l’astronomie géométrique hellénistique, 

le numérique n’a pas été déplacé, bien au contraire. Mais 

l’astronomie est une science de modélisation du réel. Ce n’est 

pas le cas pour l’ensemble des mathématiques. 

Il apparaît dès lors que le phénomène grec est un cas unique, 

remarquable, exceptionnel. 

Un autre cas remarquable est le développement du 

symbolisme en Europe de la Renaissance, et surtout au 

XVII e siècle. La nature des représentations symboliques 

utilisées dans diverses civilisations repose sur la disposition 

spatiale. Certes il y a des symboles, mais ils sont tous 

numériques. 10 Les objets que nous qualifierions d’algébriques 

(représentation d’une relation) sont représentés dans un 

cadre de dispositions spatiales. Ce type de symbolisme a 

évolué vers des techniques calculatoires riches et efficaces, en 

particulier chez les mathématiciens du monde arabomusulman. 

Toutefois, il a des limites, comme, par exemple, 

lorsqu’il y a plusieurs inconnues dans un problème. Les 

Chinois utilisèrent la double dimensionnalité dans le plan 

pour aborder ce genre de problèmes. Mais ce furent les 

Européens qui, en utilisant un symbolisme non spatial, 

innovèrent avec le plus d’originalité. L’utilisation de symboles 

ne va pas de soi. Mais le Bas Moyen Âge a été une époque 

particulièrement fertile dans la création et le développement 

de divers symbolismes. Pensons au développement de la 

notation musicale, de la comptabilité, de la cartographie. 

Ainsi, forte d’une influence de l’algèbre du monde arabomusulman, 

l’Europe va développer une algèbre dont l’outil 

symbolique ne sera plus principalement de nature spatiale. Le 

symbole sera un signe à interpréter. Après de nombreuses 

décennies pendant lesquelles toutes sortes de symboles 

seront proposés, les algébristes en viendront à utiliser un 

symbolisme qui allie l’efficacité à la fois de représentation et 

de calcul. Aujourd’hui, nous sommes encore sur la lancée de 

cet apport tout à fait original. 

En terminant ce regard englobant des mathématiques à 

travers l’espace et le temps, je ne peux qu’attirer votre 

attention sur les moments de haute production 

mathématique originale. Ils semblent correspondre à des 

périodes de mixage de besoins divers auxquels répondent les 

mathématiques ou, plus encore, de mixage de civilisations. 

Dans le premier cas, pensons à ces mathématiciens 

fonctionnaires chinois dont les capacités à innover semblent 

restreintes après un certain temps. Toutefois, au XIII e siècle, 

des besoins nouveaux, issus du commerce ou de 

considérations philosophiques d’une nouvelle classe de 

mathématiciens – qui ne sont plus des fonctionnaires – 

débouchent sur de nouvelles mathématiques. Dans le second 

cas, qu’il suffise de penser au monde arabo-musulman. On 

pourrait aussi ajouter la période Jin et Yuan en Chine, et le 

Bas Moyen Âge et la Renaissance en Europe. C’est très 

souvent en jetant un regard neuf, et disons innocent, sur le 

travail d’une civilisation antérieure ou différente, qu’une 

civilisation fait des pas de géants et, par le fait même, met en 

place son propre style mathématique. 

Actes du 49e congrès de l’Association mathématique du Québec 87 31 mai et 1er 8 

Abdeljaouad, Mahdi, Le manuscrit mathématique de Jerba : Une 

pratique des symboles algébriques maghrébins en pleine maturité, 

Actes du 7 


juin 2006 

ème Colloque Maghrébin sur l’Histoire des Mathématiques Arabes, 

vol. 2, Marrakech : École Normale Supérieure, 2005, p. 9-98, p. 76. 

9 

Pour les notations, voir Cajori, Florian, A History of Mathematical 

Notations, vol. 1 : Notations in Elementary Mathematics, La Salle 

10 

Il y a des occurrences de symbolismes non numériques, comme 

(Ill.) : Open Court Publishing Company, 1928. 

chez Diophante, mais d’une influence très limitée.



Le logiciel Mathenpoche 

MathEnPoche est un logiciel gratuit composé de centaines d'exercices de 

mathématiques : activités de découverte, de démonstration, exercices d'application, 

travaux de synthèse. Il est développé par des professeurs de mathématiques en 

exercice et diffusé par l'association Sésamath. 

Résumé de l'atelier : 

* Les expérimentations académiques : présentation, statistiques ; 

* Interface professeur : gestion de l'interface, utilisation de l'interface (gestion des 

groupes, gestion des séances, compléments (bilans, options, aide, gestion des outils, 

etc.)) 

Benjamin Clerc, 

IREM 1 de 

Montpellier, 

France 

Benjamin.clerc@ 

sesamath.net 

1 Institut de recherche sur 

l’enseignement des mathématiques 

athenpoche est un logiciel libre, sous 

licence GPL2, d’exercices de 

mathématiques à destination des 

élèves, en accès libre et gratuit sur Internet3. M 

On peut également l’installer en local sur un 

ordinateur individuel ou sur un réseau en 

Intranet. 

L’élève peut ainsi l’utiliser aussi bien à 

domicile qu'en classe, sous la direction d’un 

professeur. 

Les exercices sont répartis en chapitres, euxmêmes 

partagés en séries de plusieurs exercices. 

Il existe également un didacticiel 4 pour 

enseigner à l’élève les spécificités de l’outil 

informatique (répondre dans une zone de 

saisie, utiliser les instruments de géométrie 

virtuels…). 

L’ensemble couvre intégralement le programme 

d’un niveau. Actuellement, le niveau 

collège est achevé (de 11 ans à 15 ans en 

2 http://fsffrance.org/gpl/gpl.fr.html 

3 http://mathenpoche.net/ 

4 http://mathenpoche.net/6eme/pages/ 

geometrie/chap0/serie2/ 

http://mathenpoche.net/6eme/pages/geometr 

ie/chap0/serie1/ 

France), les niveaux dernière année de 

primaire (10 ans) et première année de lycée 

(16 ans) sont en cours de développement. 

Chaque chapitre comporte une série de 

découverte ou de révisions, les séries étant de 

difficulté croissante, jusqu’à la série « Pour 

aller plus loin », qui se situe dans une lecture 

large des programmes. 

Chaque exercice comporte 10 questions auxquelles 

l’élève doit successivement répondre. 

Pour chaque question, l’élève a droit à une 

« seconde chance » : s’il a commis une erreur à 

sa première réponse, le logiciel la lui indique. 

Une aide animée est alors proposée à l’élève 

pour lui permettre de mieux identifier, puis de 

corriger cette erreur, ce qui favorise le travail 

en autonomie. Si l’élève se trompe de 

nouveau, le logiciel lui donne la correction. 

Que l’élève ait su répondre ou non, on passe à 

la question suivante. 

À la fin de l’exercice, l’élève se voit attribuer 

une note sur 10 ainsi qu’une appréciation. 



Le logiciel Mathenpoche Benjamin Clerc 

Il existe quatre exceptions à ce principe : 

– Quelques exercices se présentent sous forme de QCM : 

ils n’offrent qu’une seule « chance » de réponse. 

– Les exercices longs (constructions géométriques ou 

raisonnement difficile) ne comportent que 5 questions. 

– De rares exercices ne comportent qu'une seule 

question, principalement quand il s'agit de problèmes 

ouverts. 

– Des exercices-jeux ne sont pas évalués. 

– Les données des questions sont variables et aléatoires 

(un véritable aléatoire la plupart du temps, des milliers 

d'énoncés différents pour chaque exercice). 

Les nouveautés 

Le logiciel Mathenpoche, dans sa version actuelle, intègre un 

certain nombre de nouveautés : 

Chaque exercice (à l’exception de ceux qui ne sont pas 

évalués) est accompagné d’une aide animée interactive 5. Le 

déroulement de cette aide est linéaire : l’élève doit cliquer sur 

un bouton « suite » pour avancer, mais peut également 

revenir en arrière, relire l’aide autant de fois qu’il le souhaite 

et la quitter à tout moment pour revenir à l’exercice. 

Il ne s’agit pas d’une correction, mais d’un petit cours 

rappelant les notions et méthodes utiles à la résolution de 

l’exercice. Ainsi, l’élève est incité à travailler en autonomie, 

tous les moyens lui sont donnés pour parvenir à résoudre le 

problème qui lui est posé. Lorsque l’exercice nécessite 

plusieurs compétences ou connaissances distinctes, l’aide 

commence par un menu dans lequel on demande à l’élève de 

choisir la notion qui lui sera expliquée, toujours dans le souci 

de favoriser son autonomie. Le passage entre deux étapes est 

agrémenté d’effets d’animation que le format de cette 

présentation ne permet pas de reproduire. 

Le logiciel présente des outils virtuels intégrés aux exercices 

qui le nécessitent : compas, règle, équerre, rapporteur, 

crayon, calculatrice… 

Les outils virtuels 6 de géométrie permettent ce qu’il est 

impossible de réaliser sur support papier : 

1. Les exercices de construction et d’étude de figures 

géométriques ont, comme les autres, des données aléatoires. 

Mathenpoche présente ainsi un grand nombre d’exercices 

analogues, mais légèrement différents qui permettent la 

répétition et dont la résolution amène l’élève à réfléchir sur 

ce qu’il fait, sur les méthodes employées… 

2. Dans ces exercices, les constructions sont libres : l’élève 

peut tracer des figures et les effacer autant de fois qu’il le 

veut. On se concentre ainsi sur la construction 

mathématique, sans problèmes pratiques (oubli de matériel, 

crayons mal taillés, papier froissé, etc.) rencontrés avec de 

jeunes élèves lors d’exercices sur cahier. 

3. Le maniement très aisé des outils de géométrie (pilotage 

avec la souris ou des touches du clavier) rend ces exercices 

accessibles aux élèves qui ont des difficultés de manipulation, 

qu’elles soient d’ordre psychologique ou physiologique. On 

pense naturellement aux élèves handicapés. 

– Le logiciel présente des exercices utilisant un logiciel de 

géométrie dynamique (Tracenpoche 7, le développement de 

ces exercices a conduit au développement d'un logiciel de 

géométrie dynamique très complet), la construction 

demandée à l'élève est validée par l'exercice. 

Actes du 49è congrès de l’Association mathématique du Québec 90 31 mai et 1er 6 Tous les instruments ont été regroupés dans un logiciel qui 

constitue ainsi le premier logiciel de géométrie aux instruments 

virtuels : Instrumenpoche http://instrumenpoche.net/ . À 

noter qu'un lecteur d'animation couplé à ce logiciel permet de 

lire les animations ainsi construites ; la bibliothèque compte plus 

de 100 animations réalisées par les utilisateurs du logiciel 

5 Toutes les aides animées sont accessibles à l'adresse 

http://instrumenpoche.net/rubrique.php3?id_rubrique=10 

http://cii.sesamath.net/montpellier/aides_animees/ 

7 http://tracenpoche.net/ 


juin 2006


statistiques nécessaires. Pendant la séance, l’interface de suivi 

en temps réel (qui comporte un système d’alerte signalant 

tout élève en échec sur sa série d’exercices) permet au 

professeur de connaître en permanence la progression des 

élèves : il a toutes les données à sa disposition pour pouvoir 

intervenir lorsqu’il le juge utile. 

– Si certains exercices numériques sont guidés pour faciliter 

l’apprentissage de méthodes, d’autres sont volontairement 

« ouverts » : le logiciel propose un problème et attend 

uniquement la réponse. Le but de tels exercices est d’inciter 

l’élève à organiser sa pensée et à renforcer son autonomie 

face à des problèmes : à lui de mobiliser ses connaissances, 

puisées éventuellement dans différents chapitres de son 

cours. Dans ce cas, Mathenpoche propose une « feuille de 

brouillon » virtuelle où l’élève peut écrire ses recherches. 

Cette feuille n’est pas évaluée. 

– Certains exercices de calcul proposent une calculatrice, 

d’autres non, suivant que l’objectif de l’exercice soit 

l’application de méthodes de raisonnement ou de techniques 

de calcul. 

Version réseau 

La version réseau de Mathenpoche peut être installée sur un 

serveur Internet (serveurs dédiés à Mathenpoche pour les 

utilisateurs des académies de Créteil, Montpellier, Strasbourg, 

Rennes, Nancy-Metz, La Réunion, Paris) ou en Intranet via 

un réseau local (Salles pupitres de l'académie de Lille). 

Pour utiliser cette version, l’élève doit saisir un nom 

d’utilisateur (login) et un mot de passe qui lui sont 

personnels. Le logiciel identifie alors l’élève connecté, ce qui 

permet de personnaliser l’accès aux exercices, de récupérer et 

traiter les résultats. 

Le professeur intervient lui aussi sur un ordinateur. Une 

interface lui est réservée, qui lui permet en quelques clics de 

souris de créer ou de modifier par avance des groupes 

d’élèves et des séances personnalisées, de suivre la progression 

des élèves en temps réel, d’analyser les résultats pour 

affiner son enseignement. La facilité d’utilisation de cette 

interface libère l’enseignant des contraintes du support 

papier. Il peut ainsi très simplement organiser des groupes de 

besoin suivant les difficultés repérées chez les élèves. Ces 

difficultés sont très facilement repérables lorsqu’elles ont été 

rencontrées lors de précédentes séances d’exercices de 

Mathenpoche : le logiciel effectue lui-même les calculs 

Il est désormais possible au professeur d'intégrer dans sa 

séance ses propres exercices de géométrie dynamique ou de 

géométrie aux instruments virtuels ; différents TP 8 sont 

disponibles pour une prise en main accélérée de ces 

fonctionnalités. 

Le système 

Mathenpoche est conçu et développé par une équipe de 

professeurs de mathématiques en exercice. Ainsi, chaque 

étape de la conception et du développement du logiciel est 

soumise à deux critères d’exigence : la qualité pédagogique et 

la conformité aux programmes officiels. Les développeurs 

sont les premiers à tester les exercices avec leurs élèves. 

Une équipe de testeurs (actuellement plus de 200 professeurs 

répartis dans toute la France et quelques-uns à l’étranger), 

utilisent la version réseau avec leurs élèves et sont inscrits à 

une liste de diffusion de courriers électroniques qui leur 

permet d’échanger leurs commentaires et de faire part aux 

développeurs de leurs remarques. La modularité du logiciel 

(chaque exercice est programmé de façon indépendante) 

permet aux développeurs de réagir très rapidement : les 

bogues signalés sont en général corrigés dans un délai de 

quelques heures. 

Huit expérimentations sont menées dans plusieurs académies. 

Tous les professeurs de mathématiques ont la 

possibilité d’utiliser la version réseau de Mathenpoche, avec 

là aussi une liste de diffusion dédiée, animée par un 

développeur du logiciel. Des séances de présentation sont 

organisées pour aider à la prise en main du logiciel. 

Plusieurs groupes de recherche (IREM dans plusieurs 

académies, IUFM 9 de Bretagne…) se sont constitués pour 

étudier l’impact du logiciel, pour créer des documents 

d’accompagnement ou réfléchir aux améliorations 

pédagogiques ou techniques que l’on pourrait apporter à 

Mathenpoche à l’avenir. Là encore, l’esprit de Mathenpoche 

est de favoriser de tels échanges, d’y participer parfois, et de 

toujours en tenir compte. 

8 http://mathenpoche.sesamath.net/?option=decouvrir 

9 Institut universitaire de formation des maîtres 




La conception même du logiciel, son caractère libre et gratuit, 2. Sur la version Réseau 

l’esprit d’ouverture et de coopération qui anime l’équipe de 

développeurs encourage tous ceux (élèves, parents, 

professeurs, pédagogues, institutions scolaires) qui sont 

concernés par Mathenpoche à se l’approprier, dans une réelle 

démarche de service public. 

− 

− 

Développer une interface spécifique pour les devoirs à la 

maison en Extranet. 

Développer un module de « devoirs surveillés en 

réseau » permettant au professeur de créer son devoir 

puis d’être assisté lors de la correction (barème, 

Extensions possibles du logiciel Mathen- statistiques…) et enfin de générer des séances 

poche 

personnalisées de remédiation à partir de la copie 

virtuelle de chaque élève. 

Extensions horizontales 

− Développer les échanges et interactions de postes à 

Mathenpoche est un logiciel modulaire dont la technologie postes dans l’optique de travaux de groupe en réseau 

axée sur Internet permet de nombreuses évolutions. Parmi (des élèves pouvant travailler simultanément sur le 

celles-ci, certaines concernent les exercices eux-mêmes, même exercice ou l’un créant l’énoncé permettant de 

d’autres, les fonctionnalités réseau de Mathenpoche. construire une figure, l’autre la construisant…). 

Certaines de ces extensions ont été suggérées par les 

utilisateurs actuels du logiciel. 

− Dans le cadre des serveurs académiques, développer des 

modules d’échanges entre classes, soit pour des 

1. Sur les exercices 

problèmes ouverts ou pour des rallyes mathématiques 

(avec un système souple d’inscription suivant les heures 

de cours…). 

− Dans le cadre des serveurs académiques, développer les 

outils permettant des évaluations à grande échelle sur la 

maîtrise d’une ou plusieurs notions ou compétences (sur 

le modèle des évaluations en 6e, mais avec plus de 

souplesse et la possibilité de créer des modules de 

remédiation spécifiques et de les proposer aux classes). 

− Créer des corrections animées (en cas de seconde erreur) 

qui tiendraient compte à la fois du type d’erreur fait par 

l’élève (dans le cas d’une erreur classique), mais aussi des 

données de l’exercice (données aléatoires dans certaines 

limites). 

− Donner la possibilité d’écouter les énoncés d’exercice, 

de les traduire plus facilement dans d’autres langues, de 

développer l’accès aux élèves empêchés en tenant compte de 

différents handicaps. 

− Croiser la base d’exercices dynamiques actuelle avec une 

base d’exercices statiques permettant d’alterner à partir 

du support-écran les exercices interactifs et les exercices 

papier/crayon à faire sur cahier 10. 

− Donner la possibilité de générer certains types 

d’exercices, via des interfaces prévues à cet effet. Ce 

concept pourrait être particulièrement intéressant pour 

la géométrie virtuelle aux instruments. 

− Développer d’autres outils directement intégrés (ou non) 

dans les exercices de Mathenpoche : tableur, géométrie 

dynamique (couplée à la géométrie aux instruments 

virtuels), calcul formel… en favorisant des passerelles 

naturelles des uns aux autres, avec la possibilité de les 

brider partiellement suivant les besoins… 

Extensions verticales 

En liaison avec les villes et les Conseils Régionaux, deux 

extensions de Mathenpoche sont envisagées (et déjà mises en 

chantier) pour les deux importantes liaisons intercycles qui 

encadrent le collège. 

1. La liaison école primaire/école secondaire 

Dans le cadre de la refonte récente des programmes de 

Mathématiques en primaire (rentrée 2003), la liaison entre 

l’école et le collège en Mathématiques est un enjeu capital, 

souvent très difficile à négocier. 

Actes du 49è congrès de l’Association mathématique du Québec 92 31 mai et 1er 10 Les cahiers Mathenpoche http://lescahiersmep.sesamath.net/ 

répondent à cela pour les classes de 6 


juin 2006 

e et 5e; en 5e le manuel 

Sésamath http://manuel.sesamath.net/ , premier manuel 

scolaire libre, complète avantageusement les cahiers.


2. La liaison 3 e /seconde 

La liaison entre le collège et le Lycée est souvent redoutée 

par les élèves. C’est un cap essentiel dans l’orientation des 

élèves. 

Intérêts d’un logiciel intercycles 

– Pour les élèves : les élèves utilisent des outils similaires en 

changeant d’établissement, c’est un facteur de transition non 

négligeable. Par ailleurs, les versions des autres cycles étant 

libres et gratuites, elles aussi, et surtout inter opérables, les 

professeurs peuvent déjà utiliser des exercices des autres 

cycles quand ils le jugent opportun. 

– Pour les professeurs : les stages de formation inter - 

catégoriels ou intercycles sont toujours difficiles à poursuivre 

dans la durée. En permettant des concertations en partie 

centrées sur des outils communs, Mathenpoche développe 

les connaissances réciproques des professeurs des différents 

cycles. 

– Pour la programmation : mener une réflexion globale de 

développement intercycles permet de prendre en 

considération les obstacles pédagogiques ou didactiques 

inhérents à ces transitions. 

Expérimentations académiques 

Description 

1. L'installation 

Mathenpoche est installé sur un serveur dédié du rectorat, 

principalement pour faciliter les mises à jour du logiciel. Un 

nom de domaine "officiel" pour accéder aux pages est déjà 

réservé. 

2. La participation des professeurs 

Elle n'est aucunement obligatoire et reste sur la base du 

volontariat. Elle se fait par une simple inscription en ligne 

(personnelle ou via le responsable Mathenpoche de 

l'établissement. 

3. Procédure d'inscription 

Inscription en ligne via un formulaire : 

− Le nom d'utilisateur est envoyé par courriel à l'adresse 

professionnelle du professeur. 

− Le mot de passe de connexion est envoyé par courriel. 

− Parallèlement à l'envoi de ces identifiants, le professeur 

est automatiquement inscrit à une liste de diffusion 

dédiée à l'expérimentation, afin de favoriser les échanges 

entre les participants. 

4. Responsable Mathenpoche 

Dans chaque établissement qui comptera des participants à 

l'expérimentation, un responsable privilégié est désigné; par 

défaut, c'est le premier de l'établissement qui s'inscrit. À ce 

titre, il possède des droits supplémentaires : 

– Possibilité de création des classes par incorporation des 

fichiers GEP 11 (celles de tous les collègues de 

l'établissement) ; 

– Possibilité d'inscriptions groupées au programme (pour 

aider ses collègues) ; 

– Possibilité de modifier les identifiants des collègues de 

son établissement ; 

– Possibilité de nommer un autre responsable au sein de 

l'établissement. 

5. Rôle du coordonnateur de l'expérimentation 

– Développer l'interface d'inscription ; 

– Accompagner les utilisateurs dans leur prise en main du 

logiciel, via la liste dédiée au rectorat ; 

– Assurer la liaison avec l’équipe des développeurs de 

Mathenpoche (retours de bogues ou de suggestions 

d'amélioration par exemple) ; 

– Formation de formateurs lors de réunions d'information 

pour qu'ils puissent à leur tour former leurs collègues et 

faire connaître le programme ; 

– Mises à jour et maintenance du serveur. 

6. Évaluation du projet 

Elle est laissée à la charge de l'Inspection Académique qui 

évaluera l'impact du logiciel sur les professeurs et les élèves 

lors de leurs différentes visites dans les établissements. Le 

protocole reste à déterminer. 

7. Évolution possible 

L’évolution suivante a été envisagée : 

Création d'un annuaire LDAP 12 pour faciliter, à terme, 

l'installation sur les serveurs SLIS 13 des établissements. 

Statistiques 

Des dizaines de réunions de présentation, réparties dans les 

différentes académies, ont eu lieu à partir de novembre 2004. 

Pour chacune d’elles, sur simple invitation des inspecteurs, le 

taux de représentation des établissements a été supérieur à 

60 %. 

En ce qui concerne l’utilisation de Mathenpoche ,pour 

l'année scolaire 2005/2006 : 

11 Gestion des Établissements Publics 

12 Lightweight Directory Access Protocol 

13 Serveur de communications Linux pour l'Internet scolaire 




− 2 420 professeurs inscrits, 

− 921 collèges concernés, 

− 5 770 classes enregistrées, 

− 110 800 élèves inscrits, 

− 1 714 000 exercices faits et 

− 11 324 séances programmées. 

Expérimentation nationale 14 

Les enseignants des autres académies (et de l'étranger) se 

voient proposer le même service sur un serveur gracieusement 

mis à disposition par le Centre de Ressources 

Informatiques de Haute-Savoie 15. 

Statistiques 

− 1 583 professeurs inscrits, 

− 997 collèges concernés, 

− 5 746 classes enregistrées, 

− 88 300 élèves inscrits, 

− 1 319 464 exercices faits et 

− 8 878 séances programmées. 

Groupes de recherche 

IREM de Strasbourg 

Le groupe « Scenarii pour Mathenpoche » est constitué 

d'enseignants de collège ; il travaille à la création de scénarios 

pour Mathenpoche 4°, chapitre "calcul littéral", qui seront 

traités par la suite. 

IREM de Lille 

Ce groupe s'est fixé comme objectifs : 

- de se pencher sur la question de la pertinence de l’utilisation 

de l’informatique dans l'enseignement des mathématiques (si 

l’ordinateur permet de différencier les exercices et l’aide à 

apporter pour chaque élève, alors Mathenpoche est une aide 

pour les élèves); 

- de réfléchir à l’utilisation de ce logiciel : à quel moment 

dans la classe ? pour quels élèves ? les élèves font-ils 

réellement des mathématiques ? Est-ce pour renforcer une 

notion ? lui donner du sens ? la découvrir ? 

- d'étudier plus particulièrement les chapitres concernant 

« Entiers et décimaux » du logiciel Mathenpoche. 

14 Accès élève : http://mathenpochereseau.sesamath.net/gestion/ 

Accès professeur : http://mathenpochereseau.sesamath.net/interface_formateur/ 

15 http://www.cri74.org/ 

IREM de Montpellier 

Ce groupe s'est fixé comme objectifs : 

– de travailler à l'élaboration de documents d'accompagnement 

destinés aux enseignants, présentant des scénarios 

d’intégration au cours et en dehors de l’établissement ; ces 

documents contiendraient : 

une fiche professeur avec les compétences exigibles ; 

une fiche élève ; 

un scénario d'usage décrivant chaque phase de la 

séquence avec les phases d'utilisation de Mathenpoche, 

les phases de travail papier/crayon, les différents 

lieux... ; 

– d'utiliser Mathenpoche en situation avec les classes dont 

les animateurs ont la charge ; 

– de réfléchir aux différents types d'aide utilisables par les 

élèves ; 

– de répondre aux questions : 

Pourquoi utiliser Mathenpoche ? 

Quels sont ses avantages et ses inconvénients par 

rapport aux autres logiciels ? 

IREM de Reims 

Écriture de scénarios pour Mathenpoche 2nde, triangles 

isométriques. 

IREM de Paris Nord 

Évaluation, observation et proposition d'amélioration du 

chapitre Axes de symétrie de Mathenpoche 6 e. 

IREM de Rennes 

Utilisation de Mathenpoche en 6 e /5 e pour l'enseignement de 

la proportionnalité, expérimentations - analyse critique – 

propositions. 

Commission Inter IREM 

Une Commission Inter IREM Mathenpoche coordonne les 

actions de ces différents groupes 16. 

DidmaR, Équipe de Didactique des 

mathématiques de Rennes 

Groupe de recherche associant l'INRP 17, l'IUFM de Bretagne 

et l'équipe de didactique des mathématiques de Rennes. 

Les travaux de ce groupe portent sur l'emploi de produits 

multimédia en CM2 et en sixième. Dans ce cadre, le groupe a 

retenu Mathenpoche comme premier sujet d'étude. 

Le travail sera centré sur le thème de la proportionnalité. 

16 http://cii.sesamath.net/ 

17 Institut national de recherche pédagogique 



Sur une construction de 

carrés magiques diaboliques 

Les carrés magiques ont traversé les siècles et les cultures depuis l’Extrême-Orient 

jusqu’à l’Occident. Passe-temps, objets symboliques, magiques ou mathématiques, 

ils continuent d’intriguer. Parmi la multitude de recettes que leur construction a 

suscitées, nous nous intéressons ici aux carrés magiques dits affines, dont la 

construction est basée sur les propriétés élémentaires du parallélisme dans un plan 

affine paramétré par un anneau. 

Julien 

Constantin, 


Sherbrooke 

julien@videotron. 

ca 

L 

a construction des carrés magiques 

affines est décrite dans [1] et le présent 

texte y fait suite. Nous ferons d’abord 

un rappel du principe de cette construction de 

carrés magiques et panmagiques. Nous verrons 

ensuite comment dans ce cadre obtenir, 

lorsque c’est possible, des carrés diaboliques. 

§1 Construction de carrés 

magiques affines 

Un carré semi-magique d’ordre n est un 

carré de n 2 cases où apparaissent, chacun dans 

sa case, les entiers 0, 1, 2, 3, … , n 2 – 1, de telle 

façon que toutes les lignes et les colonnes 

aient la même somme. On voit aisément que 

cette somme doit être S n = n(n 2 – 1)/2. Si, de 

plus, chacune des deux diagonales du carré a 

aussi cette somme, le carré est magique. 

Voici comment construire un tel carré à partir 

d’une inspiration proprement géométrique. 

On y voit le carré comme un plan, les n 2 cases 

étant les points de ce plan. 

1 ♦ Il faut d’abord choisir un anneau 

commutatif A à n éléments. 

L’anneau Zn des entiers modulo n fait très 

souvent l’affaire dans le cas d’un n impair. 

2 ♦ On dispose les éléments de A le long du 

bord inférieur du carré, chaque élément 

correspondant à une colonne. De même, on 

place à notre gré les éléments de A le long du 

côté gauche du carré, chaque élément 

correspondant à une ligne. 

On définit ainsi, comme en géométrie 

analytique, une abscisse et une ordonnée, 

chaque case du carré étant repérée par un 

couple (x, y) d’éléments de A. La figure 1a 

illustre ce procédé dans le cas où n = 7, 

l’anneau A étant celui des entiers modulo 

7 et les éléments de Z7 étant placés dans 

l’ordre « naturel » le long des axes. On y a 

par exemple marqué le point (4,1) en gris. 

Les lignes du carré sont les droites de pente 

0, les colonnes sont les droites de pente ∞. 

Une droite de pente m ∈ A sera donnée par 

les solutions (x, y) d’une équation de la forme 

y = mx + b. Chaque droite contient exactement 

n points ; pour chaque m ∈ A, il y a 

précisément n droites de pente m puisqu’il y a 

n choix pour l’ordonnée à l’origine b ∈ A ; 

elles forment une partition du plan qu’on 

appelle le faisceau des droites de pente m. 

En incluant les pentes 0 et ∞, il y a n + 1 

pentes et donc en tout (n + 1)n droites. C’est 

ce qu’on appelle un plan affine lorsque n est 

un nombre premier. 



Sur une construction des carrés magiques diaboliques Julien Constantin 

Fig.1a 

Fig.1b : C1 Fig.1c : C2 

La figure 1a montre, dans le cas où A = Z7, les 7 points de 

la droite y = 3 x + 1. 

Ces points sont étiquetés ou marqués 

par la lettre b. Notez que si l’on identifie, d’une part, le 

bord gauche et le bord droit du carré et, d’autre part, le 

bord supérieur et le bord inférieur, on peut voir le carré 

comme un tore et trouver facilement dans le cas présent 

les points de la droite sans faire de calcul : puisque c’est 

une droite de pente 3, il suffit, partant d’un point de la 

droite, d’avancer d’une case vers la droite et de monter de 

3. La figure 1b montre le faisceau étiqueté des droites de 

pente 3, les étiquettes étant a, b, c, …f, g. On a fait le 

choix ici d’étiqueter les points de la droite d’ordonnée à 

l’origine i par la (i + 1) ième lettre de l’alphabet. C’est un 

choix arbitraire. 

Le point essentiel : dans le faisceau étiqueté des droites de 

pente m, deux points ont la même étiquette si et seulement 

s’ils appartiennent à la même droite. 

3 ♦ Avec m1, m2 ∈ A, on construit les faisceaux étiquetés C1 

et C2 des droites de pente m1 et m2. 

Les figures 1b et 1c montrent, avec A = Z7, les faisceaux 

étiquetés C1 et C2 des droites de pente 3 et 4. 

4 ♦ Les étiquettes de C1 étant vues comme des variables, on 

leur donne des valeurs de sorte que l’ensemble de ces valeurs 

soit précisément {0, 1, 2, …, n-1}. Et de même pour C2. 

Les figures 2a et 2b illustrent le résultat pour l’exemple des 

figures 1b et 1c. Dans C1, on a posé a = 0, b = 1, c = 2, 

d= 3, e = 4, f = 5, g = 6. 

Dans C2 on a posé (a, b, c, d, e, f, g) = (3, 4, 0, 1, 2, 5, 6). 

Fig. 2a : C1 Fig. 2b : C2 

Fig. 2c : C 

5 ♦ On fait C = nC1 + C2, en voyant C1 et C2 comme des 

matrices. Si, en cours de route, on a fait les bons choix, C 

sera magique et plus… Un carré magique C obtenu par ce 

procédé est dit affine ; C1 et C2 sont les carrés auxiliaires. 

C’est le cas du carré C de la fig. 2c obtenu à partir des 

carrés des figures 2a et 2b. 

Quelles conditions assurent le résultat cherché ? En voici, 

telles qu’établies dans [1]. 

C1 Si m1 - m2 est inversible (ou simplement simplifiable) dans 

A, alors tous les entiers de 0 à n 2 – 1 apparaîtront dans C 

et sans répétition. 

C2 Si m1 et m2 sont inversibles (ou simplement simplifiables) 

dans A, alors C1 et C2 sont à somme constante, c’est-à- 

dire que toutes les lignes et colonnes de ces carrés ont la 

même somme Tn = 0 + 1+ 

2 + ... + n ! 1 = ( n ! 1) 

n / 2. 

En conséquence 

C est semi-magique. 

C3 Si une diagonale de C1 est une droite de pente d et si 

m1 – d est inversible, alors cette diagonale a aussi comme 

somme T n. 

En particulier, lorsque A = Z n, que les coordonnées sont 

dans l’ordre naturel, comme dans la figure 1a et comme nous 

le ferons toujours par la suite, et que m1, m2, m1 - m2 , m1 ± 1, 

m2 ± 1 sont inversibles, alors le carré C est magique, quelles 

que soient les valeurs données aux étiquettes selon l’étape 4. 

C’est ce qui s’est produit dans l’exemple précédent avec 

A = Z7 et les pentes 3 et 4 : le carré C de la figure 2c est 

magique. En fait, lorsque n est premier, toutes les conditions 

précédentes sont satisfaites avec des pentes distinctes autres 

que 0 et ± 1; on peut obtenir ainsi (n!) 2 carrés magiques. 

Même si les conditions précédentes ne sont pas toutes 

satisfaites, on peut souvent obtenir un carré magique en 

faisant un choix judicieux des valeurs données aux étiquettes 

à l’étape 4, comme le montrent plusieurs exemples donnés en 

[1]. 

Terminons par une remarque souvent utile par la suite. Un 

anneau de coordonnées A étant donné, disons qu’une paire 

de points (x1, y1), (x2, y2) du carré a comme pente m ∈ A si 

(y2 - y1) = m(x2 - x1). C’est la définition usuelle en géométrie 

analytique. Notons cependant que si A n’est pas un corps, 

une paire de points peut avoir plusieurs pentes ! C’est le cas 

par exemple avec A = Z12 et 9 –3 = 2(5 – 2) = 6(5 –2). 

Lemme 1. Si m n’est pas une pente de la paire (x1, y1), (x2, y2), 

alors dans le faisceau étiqueté des droites de pente m, ces points n’ont pas 



Sur une construction de carrés magiques diaboliques Julien Constantin 

la même étiquette. Plus généralement, si aucune paire d’un ensemble E 

de points n’a la pente m, alors, dans le faisceau étiqueté des droites de 

pente m, toutes les étiquettes des points de E sont distinctes. 

En effet, si (x1, y1), (x2, y2) avaient la même étiquette, ils 

appartiendraient à une même droite de pente m et d’équation 

y = mx + b. Mais alors y1 = mx1 + b et y2 = mx2 + b, d’où 

(y2 - y1) = m(x2 - x1) et m est une pente de la paire. 

§2 Pour assurer la panmagie 

Un carré d’ordre n est dit panmagique si ses 2n diagonales, 

brisées ou non, ont la somme magique. Par exemple, dans le 

carré de la figure 2c, les 7 nombres 5, 24, 42, 16, 41, 11, 29 

décrivent une diagonale descendante brisée. De même les 

nombres 30, 18, 5, 35, 27, 8, 45 forment une diagonale 

montante brisée. Dans ce carré, toutes les diagonales brisées 

ou non ont comme somme 168 : ce carré est panmagique. 

On dit aussi pandiagonal ou diabolique, mais nous 

réserverons ce dernier terme pour une propriété étudiée à la 

section suivante. Notons que si l’on voit toujours le carré 

comme un tore, les diagonales brisées perdent leur air … 

brisé. 

Pour s’assurer de la panmagie, il suffit en principe de 

résoudre pour C1, et aussi pour C2, le système de 2n 

équations linéaires à n inconnues et à coefficients entiers 

obtenu en écrivant, pour chaque diagonale, que la somme des 

étiquettes y apparaissant vaut T n. Cela peut être assez lourd. 

Et seules les solutions où l’ensemble des valeurs données aux 

étiquettes est exactement l’ensemble {0, 1, 2, …., n-1} sont 

acceptables. Heureusement, il y a bien des cas où le problème 

peut se simplifier considérablement. 

Lemme 2. Si une diagonale L, brisée ou non, est une droite de pente 

d et si m – d est simplifiable, alors, dans le faisceau étiqueté des droites 

de pente m, toutes les étiquettes des points de L sont distinctes et la 

somme des étiquettes sur L est T n. 

En effet, soient (x1, y1), (x2, y2) deux points distincts de L et 

supposons L d’équation y = dx + b, alors (y2 - y1) = d(x2 - x1). 

Si la paire de points avait la pente m, on aurait 

(y2 - y1) = m(x2 - x1), d’où 0 = (m – d) (x2 - x1) 

et, puisque m – d est simplifiable, x1 = x2 et les points ne 

seraient pas distincts. 

Proposition 3. Si C = nC1 + C2 est un carré affine obtenu au 

moyen des carrés auxiliaires C1 et C2, faisceaux des droites de pente m1 

et m2 respectivement, alors toute diagonale de C, brisée ou non, a la 

somme magique si elle est une droite de pente d et si m1 – d et m2 – d 

sont simplifiables. 

C’est une application directe du lemme précédent. 

Corollaire 4. Soient n un entier , et m1, m2 ∈ Z n avec m1, m2, 

m1 - m2, m1 ± 1, m2 ± 1 premiers avec n ; alors, si les coordonnées 

sont placées dans l’ordre naturel le long des axes, le carré 

C = nC1 + C2 obtenu à partir des carrés auxiliaires des droites de 

pente m1 et m2 est panmagique. 

En effet, dans ce cas toutes les diagonales, brisées ou non, 

sont des droites de pente 1 ou –1 et la proposition 

précédente s’applique. 

C’est le cas du carré de la figure 2c, avec le nombre premier 7 

et les pentes 3 et 4 : le carré est panmagique. 

L’article [1] est essentiellement consacré aux carrés 

panmagiques et on y trouve plusieurs résultats et exemples 

sur les équations permettant d’assurer la panmagie. On y 

montre en particulier comment construire des carrés 

panmagiques affines pour tout n > 3 et non congru à 2 

modulo 4. 

§3 Pour assurer le diabolisme 

Souvent on essaie d’obtenir la somme magique avec d’autres 

configurations à n cases que les lignes, colonnes ou 

diagonales d’un carré d’ordre n. Ces configurations sont 

choisies davantage pour des motifs d’ordre esthétique ou 

visuel que mathématique : on les souhaite d’une forme 

intéressante et aisément identifiables à l’œil. Voici quelques 

configurations dans le cas n = 5. 

Petite croix latine Grande croix latine 

Petite et Grande croix de Saint-André 



Fig. 3 

Chacune de ces configurations à 5 cases apparaît 5 2 fois dans 

un carré d’ordre 5, si l’on se rappelle toujours de voir le carré 

comme un tore. Pour une configuration donnée, on passe 

d’une apparition à une autre de cette configuration en la 

faisant simplement glisser le long des lignes et des colonnes. 

La figure 4 présente un carré affine C d’ordre 5 obtenu à 

partir de Z5 et des pentes 2 et 3 pour les carrés auxiliaires C1 

et C2. Dans ces deux carrés, on a simplement donné 

l’étiquette j à la droite d’ordonnée à l’origine j. 

Le carré C est panmagique. De plus, les 25 petites croix 

latines qu’on peut y trouver ont toutes la somme magique. Il 

en est de même pour toutes les grandes croix latines et toutes 

les petites ou grandes croix de Saint-André. Ce qui, avec les 

lignes, les colonnes et les diagonales, donne 120 fois la 

somme magique. N’est-ce pas un peu diabolique ? Et cela se 

serait produit ici, quel que soit l’étiquetage donné aux droites 

dans les carrés C1 et C2. Pourquoi en est-il ainsi ?


exemplaires ainsi que pour toutes les grandes croix latines et 

4 2 0 3 1 4 1 3 0 2 

toutes les grandes croix de Saint-André, car tous 

s’obtiennent, avec l’anneau Z5, par translation et homothétie 

3 1 4 2 0 3 0 2 4 1 

à partir des deux premières. Et voilà pourquoi ce carré 

panmagique est diabolique pour les petites et les grandes 

2 0 3 1 4 2 4 1 3 0 

croix latines et de Saint-André. On peut constater que ce 

1 4 2 0 3 1 3 0 2 4 

carré est aussi diabolique pour ce qui paraît être d’autres 

configurations, comme celles de la figure 5. En réalité, 5a et 

0 3 1 

C1 

4 2 0 2 4 

C2 

1 3 

5b montrent de grandes croix latines si on les voit sur le tore 

et elles sont obtenues des précédentes par translation. 5c 

vient d’une croix de Saint-André par une homothétie de 

24 11 3 15 7 

rapport 3. 

18 5 22 14 1 

12 4 16 8 20 

6 23 10 2 19 

0 17 9 21 13 

C 

Fig. 4 

Un carré d’ordre n est diabolique pour une configuration de 

n cases (autre qu’une ligne, colonne ou diagonale) si toutes 

les apparitions de cette configuration dans le carré (toujours 

vu comme un tore) ont la somme magique. Cette acception 

du terme diabolique, quoique moins courante, est utilisée dans 

[2] et [3], par exemple. 

Dans la suite, désignons par E un ensemble de n points ou 

cases du carré. Si aucune paire de points de E n’est de pente 

m ∈ A, on dira que E évite m. Avec A = Z5, la petite croix 

latine de la figure 3 évite les pentes 2 et 3, quelle que soit sa 

position dans le carré, et il en est de même pour la petite 

croix de Saint-André, comme on peut le vérifier 

visuellement. Le lemme suivant est utile pour voir si un carré 

est diabolique pour une configuration. Une translation de 

vecteur (a, b) ∈ A×A du plan du carré est une application 

T a,b du plan en lui-même, définie par 

T a,b (x, y) = (x + a, y + b). De même, une homothétie de 

rapport a ∈ A est une application H a telle que 

H a(x, y) = (ax, ay). En général, lorsque A ≠ Z n, ces 

applications peuvent « déformer » considérablement une 

configuration ! 

Lemme 5. Si E évite m, alors toute translation ou toute homothétie 

de rapport simplifiable appliquée à E produit un ensemble qui évite 

aussi m. 

C’est une conséquence immédiate du fait très aisément 

vérifiable que l’application d’une telle translation ou 

homothétie à une paire de points ne change pas les pentes. 

Proposition 6. Si E évite m, alors, dans le faisceau étiqueté des 

droites de pente m, les étiquettes des points de E sont toutes différentes et 

la somme de ses étiquettes est T n. En conséquence, si toutes les 

apparitions de la configuration E dans le carré évitent les pentes m1 et 

m2, alors le carré C = nC1 + C2 construit à partir des carrés étiquetés 

des droites de pente m1 et m2 est diabolique pour E. 

C’est une conséquence du lemme 1. 

Revenons à l’exemple de la figure 4. Aussitôt que l’on a 

constaté qu’un exemplaire de la petite croix latine et un 

exemplaire de la petite croix de Saint-André évitent les 

pentes 2 et 3, alors il en est ainsi pour tous les autres 

Fig. 5a Fig. 5b Fig. 5c 

Nous pouvons considérer beaucoup d’autres configurations. 

En voici quelques exemples, figure 6 pour n = 7, 9 et 11, 

figures 7 et 8 pour n = 7. Chacune de ces configurations à n 

cases apparaît n 2 fois dans un carré d’ordre n, si l’on se 

rappelle toujours de voir le carré comme un tore. On peut 

obtenir divers résultats comme ceux qui suivent. 

Corollaire 7. Avec A = Z n et n = 2k + 1, la petite croix latine à 

n cases (voir figure 6) évite les pentes k et k +1. En conséquence, le 

carré affine d’ordre n construit à partir des carrés étiquetés des droites de 

pente k et k + 1 est diabolique pour les petites croix latines à n cases et 

pour les grandes croix latines correspondantes obtenues par homothétie 

inversible. Ceci quel que soit l’étiquetage. 

Fig.6 : petites croix latines pour n = 7, 9, 11 

Étau E Grille G 

Croix de Saint-André 

Fig. 7 




et C2 des droites de pente m1 = 4 et m2 = 5 respectivement, 

chaque droite d’ordonnée à l’origine i étant étiquetée Xi. Il 

s’agit maintenant de donner des valeurs convenables à ces 

étiquettes et de produire les carrés C1 et C2 de la figure 11. 

Fig. 8a : Grandes croix latines 

Fig. 8b : Fourche 

Revenons au carré magique C de la figure 2, avec n = 7. Un 

simple examen visuel montre que, à l’instar de la croix latine 

à gauche de la figure 6, l’étau et la grille de la figure 7 évitent 

les pentes 3 et 4. En conséquence, le carré C est diabolique 

pour toutes ces configurations ! Et comme les trois 

configurations de la figure 8 s’obtiennent de la petite croix 

latine et de l’étau par des homothéties de rapport 3 et 4 et 

des translations, le carré est aussi diabolique pour ces trois 

autres configurations. On pourrait continuer… Je laisse au 

lecteur le soin de compter combien de fois on obtient ainsi la 

somme magique. 

Ce n’est pas tout ! Superposons l’étau E et la grille G en leur 

donnant le même centre. Comme ces deux ensembles de 

cases ont la même somme magique, alors les ensembles E\G 

et G\E doivent avoir la même somme. Cela signifie que 

partout dans le carré C, la somme des cases marquées ♠ dans 

un sous-carré 3×5 égale toujours celle des cases marquées ♥ 

(figure 9a). De même, en superposant la petite croix latine et 

le sandwich, on obtient que la somme des cases marquées ♦ 

dans un quelconque sous-carré 5×3 est égale à celle des cases 

marquées ♣ (figure 9b). On peut aisément trouver d’autres 

résultats du genre. 

♦ 

♠ ♣ ♣ 

♥ ♥ ♦ ♦ 

♠ ♣ ♣ 

♦ 

Fig. 9a Fig. 9b 

On pourrait croire que la méthode se limite aux carrés 

d’ordre premier. Il n’en est rien. Considérons le cas n = 9. 

Deux anneaux se présentent à l’esprit : l’anneau Z9 des 

entiers modulo 9 et le corps F9. Voici d’abord un exemple 

avec A = Z9. La figure 10 présente les faisceaux étiquetés C1 

X8 X4 X0 X5 X1 X6 X2 X7 X3 

X7 X3 X8 X4 X0 X5 X1 X6 X2 

X6 X2 X7 X3 X8 X4 X0 X5 X1 

X5 X1 X6 X2 X7 X3 X8 X4 X0 

X4 X0 X5 X1 X6 X2 X7 X3 X8 

X3 X8 X4 X0 X5 X1 X6 X2 X7 

X2 X7 X3 X8 X4 X0 X5 X1 X6 

X1 X6 X2 X7 X3 X8 X4 X0 X5 

X0 X5 X1 X6 X2 X7 X3 X8 X4 

Fig. 10a : C1 : droites de pente 4 

X8 X3 X7 X2 X6 X1 X5 X0 X4 

X7 X2 X6 X1 X5 X0 X4 X8 X3 

X6 X1 X5 X0 X4 X8 X3 X7 X2 

X5 X0 X4 X8 X3 X7 X2 X6 X1 

X4 X8 X3 X7 X2 X6 X1 X5 X0 

X3 X7 X2 X6 X1 X5 X0 X4 X8 

X2 X6 X1 X5 X0 X4 X8 X3 X7 

X1 X5 X0 X4 X8 X3 X7 X2 X6 

X0 X4 X8 X3 X7 X2 X6 X1 X5 

Fig. 10b : C2 : droites de pente 5 

4 1 7 2 8 5 6 3 0 

3 0 4 1 7 2 8 5 6 

5 6 3 0 4 1 7 2 8 

2 8 5 6 3 0 4 1 7 

1 7 2 8 5 6 3 0 4 

0 4 1 7 2 8 5 6 3 

6 3 0 4 1 7 2 8 5 

8 5 6 3 0 4 1 7 2 

7 2 8 5 6 3 0 4 1 

Fig. 11a : C1 : droites de pente 4 

4 0 3 6 5 8 2 7 1 

3 6 5 8 2 7 1 4 0 

5 8 2 7 1 4 0 3 6 

2 7 1 4 0 3 6 5 8 

1 4 0 3 6 5 8 2 7 

0 3 6 5 8 2 7 1 4 

6 5 8 2 7 1 4 0 3 

8 2 7 1 4 0 3 6 5 

7 1 4 0 3 6 5 8 2 

Fig. 11b : C2 : droites de pente 5 




40 9 66 24 77 53 56 34 1 

30 6 41 17 65 25 73 49 54 

50 62 29 7 37 13 63 21 78 

20 79 46 58 27 3 42 14 71 

10 67 18 75 51 59 35 2 43 

0 39 15 68 26 74 52 55 31 

60 32 8 38 16 64 22 72 48 

80 47 61 28 4 36 12 69 23 

70 19 76 45 57 33 5 44 11 

Carré magique issu des faisceaux de pentes 4 et 5 

Croix latine Croix de Double croix 

Lorraine de St-André 

Fig. 12 

Comment a-t-on déterminé cet étiquetage ? On s’est inspiré 

de la proposition 3 et du corollaire 4 : ici m1, m2, m1 - m2, 

m1 + 1, m2 - 1 étant premiers avec n, seuls m1 – 1 et m2 + 1 

peuvent causer problème pour obtenir la panmagie : il s’agit 

des diagonales montantes de C1 et des diagonales 

descendantes de C2. Si on écrit les équations exigeant que 

ces diagonales aient somme T9 = 0 + 1 + 2 +…+8 = 36, on 

obtient le système 

3(X0 +X3 + X6) = 36 X0 +X3 + X6 = 12 

3(X1 +X4 + X7) = 36 ou X1 +X4 + X7 = 12 

3(X2 +X5 + X8) = 36 X2 +X5 + X8 = 12 

Seules les solutions où {X0, X1, X2,…,X8} = {0, 1, 2, … , 8} 

conviennent. Il y en a 2592. Nous avons arbitrairement 

adopté la même solution pour C1 et C2, soit 

(X0, X1, X2,… , X8) = (7, 8, 6, 0, 1, 2, 5, 3, 4), ce qui donne 

les carrés de la figure 11. La formule C = C2 + 9×C1 produit 

finalement le carré panmagique du haut de la figure 12. 

Pour les trois configurations présentées au bas de la figure 

12, on constate visuellement qu’elles évitent les pentes 4 et 5. 

En vertu de la proposition 6, le carré panmagique de la figure 

12 est diabolique pour la croix latine, la croix de Lorraine et 

la double croix de Saint-André, ainsi, bien sûr, que pour 

toutes les homothéties de ces configurations ! Et la méthode 

produit 2592 2 tels carrés ! 

Proposition 8. Si une configuration E évite la pente m et si m est 

inversible dans l’anneau, alors la configuration transposée tE, obtenue 

en changeant les lignes en colonnes et les colonnes en lignes, évite la pente 

m – 1. 

En effet, on voit facilement qu’une paire de points de pente 

m devient par transposition une paire de pente m – 1. 

Ainsi, puisque dans Z9, 4 – 1 = 7 et 5 – 1 = 2, tout carré affine 

d’ordre 9 construit avec Z9 et les pentes 7 et 2 est automatiquement 

diabolique pour les transposées des trois configurations 

de la figure 12. 

Et que se passe-t-il si on utilise plutôt le corps F 9 à 9 

éléments ? Ce corps est formé de toutes les expressions de la 

forme bα + c où b, c ∈Z3 avec α 2 = 2α + 1. D’où l’on tire 

α 3 = 2α + 2, α 4 = 2, α 5 = 2α, α 6 = α + 2, α 7 = α + 1, 

α 8 = 1. Plaçons les coordonnées c 0, c 1, c 2, … , c 8 dans 

l’ordre 0, 1, 2, α, α + 1, α + 2, 2α, 2α + 1, 2α + 2 le long 

des axes, regroupant ainsi les éléments suivant les classes 

modulo le sous-corps G = {0, 1, 2}, c’est-à-dire G suivi de 

G+α = {α, α + 1, α + 2}, suivi de 

G + 2α = {2α, 2α + 1, 2α + 2}. 



2α+2 

2α+1 

X8 X5 X2 X1 X7 X4 X3 X0 X6 

X7 X4 X1 X0 X6 X3 X5 X2 X8 

2α X6 X3 X0 X2 X8 X5 X4 X1 X7 

α+2 

α+1 

X5 X2 X8 X7 X4 X1 X0 X6 X3 

X4 X1 X7 X6 X3 X0 X2 X8 X5 

α X3 X0 X6 X8 X5 X2 X1 X7 X4 

2 X2 X8 X5 X4 X1 X7 X6 X3 X0 

1 X1 X7 X4 X3 X0 X6 X8 X5 X2 

0 X0 X6 X3 X5 X2 X8 X7 X4 X1 

0 1 2 α α+1 α+2 2α α 2 α 3 

Fig. 13a : Carré C1 des droites de pente α étiquetées par les Xi 

2α+2 X8 X4 X0 X7 X3 X2 X6 X5 X1 

2α+1 X7 X3 X2 X6 X5 X1 X8 X4 X0 

2α X6 X5 X1 X8 X4 X0 X7 X3 X2 

α+2 X5 X1 X6 X4 X0 X8 X3 X2 X7 

α+1 X4 X0 X8 X3 X2 X7 X5 X1 X6 

α X3 X2 X7 X5 X1 X6 X4 X0 X8 

2 X2 X7 X3 X1 X6 X5 X0 X8 X4 

1 X1 X6 X5 X0 X8 X4 X2 X7 X3 

0 X0 X8 X4 X2 X7 X3 X1 X6 X5 

0 1 2 α α+1 α+2 2α α 2 α 3 

Fig. 13b : Carré C2 des droites de pente α + 1 

La figure 13 présente les carrés étiquetés des droites de pente 

α et α + 1 respectivement. Par un trait plus gras, nous avons 

partitionné les deux carrés 9 × 9 en sous-carrés de côté 3.


Dans chacun toutes les étiquettes apparaissent. La 

proposition suivante l’explique. 

Proposition 9. Soit K un sous-corps d’un corps fini A et m ∈ 

A\K. On suppose les coordonnées placées suivant les classes additives 

modulo K, comme illustré dans la figure 13 ; alors, pour le carré 

étiqueté des droites de pente m, toutes les étiquettes sont distinctes dans 

chaque sous-carré d’ordre k = card (K) déterminé par le produit 

cartésien de deux classes. 

En effet, si deux points distincts (x1, y1), (x2, y2) d’un tel carré 

avaient la même étiquette, ils formeraient une paire de pente 

m et donc y2 - y1 = m(x2 - x1). Mais en vertu de la définition 

des classes, on a x2 - x1, y2 - y1 ∈ K et donc m ∈ K. 

Ainsi, quelles que soient les valeurs données aux étiquettes 

dans les carrés de la figure 13, comme les sous-carrés de la 

partition ont 9 éléments, la somme des étiquettes dans 

chacun sera toujours T9 : le carré C = C2 + 9×C1 sera 

magique et tous ces sous-carrés auront la somme magique. 

On voudrait plus : que le carré C soit panmagique et diabolique. 

Notons que pour les coordonnées c i on a ici, pour tout 

i, c i +3 = ci + α. On peut donc utiliser la proposition 6 de [1] 

ou, si l’on préfère, écrire directement les équations assurant la 

panmagie. Après simplification, on obtient pour C1 le 

système 

X0 + X4 + X8 = 12 X0 + X1 + X2 = 12 

X1 + X5 + X6 = 12 X3 + X4 + X5 = 12 

X2 + X3 + X7 = 12 X6 + X7 + X8 = 12 

Considérons les carrés 

X0 X1 X2 3 8 1 

X4 X5 X3 2 4 6 

X8 X6 X7 7 0 5 

Celui de droite est le carré magique d’ordre 3. Comme le 

système d’équations se ramène à trouver deux partitions de 

{0, 1, 2, …, 8} en trois classes de 3 éléments et de somme 

12, les lignes et les colonnes du carré magique de droite font 

parfaitement l’affaire : on assigne à chaque élément du carré 

de gauche l’élément correspondant du carré de droite, donnant 

ainsi des valeurs convenables aux étiquettes du carré C1: 

on obtient la solution (X0, X1,…, X8)=(3, 8, 1, 6, 2, 4, 0, 5, 7). 

On peut obtenir 72 solutions en permutant les lignes du carré 

de gauche, ou encore en permutant ses colonnes, ou en le 

tournant d’un quart de tour. Un travail analogue avec 

C2 nous donne le système suivant, dont on a retenu pour la 

suite la solution (3, 0, 6, 5, 2, 8, 4, 1, 7). 

X0 + X5 + X7 = 12 X0 + X4 + X8 = 12 

X1 + X3 + X8 = 12 X1 + X5 + X6 = 12 

X2 + X4 + X6 = 12 X2 + X3 + X7 = 12 

La figure 14 montre ce que deviennent les carrés C1, C2. 

Comme prévu, ils sont du type « sudoku ». 

On peut vérifier que le carré magique C = C2 + 9 × C1 de la 

figure 15 est panmagique et diabolique pour chacune des 

trois configurations indiquées au bas de la figure. En fait, il 

se trouve que les quatre systèmes d’équations qui assurent 

dans C1 la panmagie et chacun des trois diabolismes sont 

équivalents et il en est de même pour C2. 

2α+2 7 4 1 8 5 2 6 3 0 

2α+1 5 2 8 3 0 6 4 1 7 

2α 0 6 3 1 7 4 2 8 5 

α+2 4 1 7 5 2 8 3 0 6 

α+1 2 8 5 0 6 3 1 7 4 

α 6 3 0 7 4 1 8 5 2 

2 1 7 4 2 8 5 0 6 3 

1 8 5 2 6 3 0 7 4 1 

0 3 0 6 4 1 7 5 2 8 

0 1 2 α α 7 α 6 α 5 α 2 α 3 

Le carré C1 de pente α 

2α+2 7 2 3 1 5 6 4 8 0 

2α+1 1 5 6 4 8 0 7 2 3 

2α 4 8 0 7 2 3 1 5 6 

α+2 8 0 4 2 3 7 5 6 1 

α+1 2 3 7 5 6 1 8 0 4 

α 5 6 1 8 0 4 2 3 7 

2 6 1 5 0 4 8 3 7 2 

1 0 4 8 3 7 2 6 1 5 

0 3 7 2 6 1 5 0 4 8 

0 1 2 α α 7 α 6 α 5 α 2 α 3 

Le carré C2 de pente α + 1 

Fig. 14 : Les carrés C1 et C2 de pente α et α + 1 respectivement 

70 38 12 73 50 24 58 35 0 

46 23 78 31 8 54 43 11 66 

4 62 27 16 65 39 19 77 51 

44 9 67 47 21 79 32 6 55 

20 75 52 5 60 28 17 63 40 

59 33 1 71 36 13 74 48 25 

15 64 41 18 76 53 3 61 29 

72 49 26 57 34 2 69 37 14 

30 7 56 42 10 68 45 22 80 

Carré magique issu de C1 et C2 de la figure 14 

trois configurations : bloc et escaliers 

Fig. 15. 




Proposition 10. Soit G un sous-groupe additif d’un anneau A, 

t ∈ A \G et G1 = G + t. Supposons les coordonnées placées le long 

des axes dans l’ordre des éléments de G , G1, 

G + t1, 

G1 

+ t1, 

G + t2 

, G1 

+ t2 

,... . 

Si m ∈ A \{0} est tel que ( 1 ) { 0} 

= ! " G G mG , alors, 

dans tout rectangle V = ( G + ti 

) " [ ( G + tk 

) ! ( G1 

+ tk 

) ] , toutes les 

étiquettes sont distinctes. 

Démonstration. Soit ( x 1 , y1), 

( x2 

, y2 

) ! V . Alors 

x 2 " x1 

! G et y 2 # y1 

" G ! G , comme on le voit facile- 

1 

α 

ment. Si ( x 1, 

y1), 

( x2 

, y2 

) ont la même étiquette, alors ils 

sont sur la même droite de pente m et donc 

y2 $ y1 

= m( 

x2 

$ x1) 

# mG " ( G ! G1) 

= { 0} 

et les points 

sont identiques. 

6 α 

2 0 3 1 7 5 6 4 

5 α 

1 3 0 2 4 6 5 7 

4 α 

7 5 6 4 2 0 3 1 

2 1 

α 

4 

0 

6 

2 

5 

1 

7 

3 

1 

5 

3 

7 

0 

4 

2 

6 

3 α 

0 

3 

5 

6 

1 

7 

4 

2 

4 

7 

0 

6 

5 

6 

0 

3 

4 

2 

1 

7 

1 

2 

5 

3 

0 

0 α α3 1 α2 α4 α5 α6 Fig.16a : C1 : droites de pente α 

α6 0 3 4 7 6 5 2 1 

α5 2 1 6 5 4 7 0 3 

α4 7 4 3 0 1 2 5 6 

α2 5 6 1 2 3 0 7 4 

1 1 2 5 6 7 4 3 0 

α3 3 0 7 4 5 6 1 2 

α 6 5 2 1 0 3 4 7 

0 4 7 0 3 2 1 6 5 

Appliquons ce résultat à l’étude d’un carré d’ordre 8. Le 

corps F 8 est formé des 8 éléments de la forme aα2 + bα + c, 

où a, b, c ∈ Z2 = {0, 1} avec α3 = α + 1. On a α4 = α2 + α, 

α5 = α2 + α + 1, α6 = α2 + 1 et α7 = 1. Prenant le sousgroupe 

G = {0, α}, on place les coordonnées suivant les 

classes G, G1 = G + α3, G + α2, G1 + α2, c’est-à-dire dans 

l’ordre 0, α, α3, 1, α2, α4, α5, α6. Avec m = α ou α3, on a 

bien ( 1 ) { 0} 

= ! " G G mG et donc on est assuré, d’après la 

proposition précédente, que les 16 rectangles 4 × 2 dont les 

coordonnées du coin inférieur gauche sont dans {0, α3, α2, α5} ont toutes leurs étiquettes distinctes et ont donc chacun 

comme somme T8 = 28, quel que soit l’étiquetage. Comme 

ici les deux diagonales sont des droites de pente 1 = -1, on 

obtient, en utilisant les pentes α et α3 pour les carrés 

auxiliaires C1 et C2, (9!) 2 = 131 681 894 400 carrés magiques 

partitionnés de plusieurs façons en blocs 4×2 de somme 

magique. Mais on veut davantage : que tous les blocs 4 × 2 

aient la somme magique. Pour cela, il faut un étiquetage 

convenable. Après avoir écrit les systèmes d’équations reflétant 

cette exigence dans C1 et dans C2, on trouve dans chaque 

cas 144 solutions. Elles ne sont pas toutes également 

intéressantes. Dans la figure 16, on a choisi pour C1 

l’étiquetage (6, 5, 3, 0, 4, 7, 1, 2) et pour C2 l’étiquetage 

(4, 6, 3, 1, 5, 7, 2, 0), dans chaque cas la iième étiquette étant 

celle de la droite ayant comme ordonnée à l’origine la iième coordonnée. Ces carrés auxiliaires produisent le carré de la 

figure 17a qui, on pourra le vérifier, est panmagique et 

diabolique pour les trois configurations exhibées à la figure 

17b. De plus, les coins opposés de tous les sous-carrés de 

côté 5 ont comme somme 63 = 82 – 1. Il faut noter qu’ici 

toutes les translations du plan affine déplacent dans le carré 

et sans les déformer les trois configurations de la figure 17b. 

0 α α 3 1 α 2 α 4 α 5 α 6 

Fig.16b : C2 : droites de pente α 3 

16 3 28 15 62 45 50 33 

10 25 6 21 36 55 40 59 

63 44 51 32 17 2 29 14 

37 54 41 58 11 24 7 20 

1 18 13 30 47 60 35 48 

27 8 23 4 53 38 57 42 

46 61 34 49 0 19 12 31 

52 39 56 43 26 9 22 5 

Fig.17a : Carré panmagique et diabolique pour les configurations de 

la fig.17b. 

Fig. 17b : Bloc 4×2, sandwich et guirlande. 

On pourrait continuer… Qu’on me permette plutôt de 

conclure comme Descartes le fait dans sa Géométrie : « Mais 

ie ne m'arreste point a expliquer cecy plus en detail, a cause 

que ie vous osterois le plaisir de l'apprendre de vous mesme » 




Références 

[1] Constantin, Julien (2005). Carrés magiques : une construction 

géométrique. Bulletin AMQ, Vol. XLV, no 1, mars 2005. 

http://newton.mat.ulaval.ca/amq/bulletins/mars05/car 

res.pdf 

[2] http://www.alain.granier2.free.fr/maths/logique/car 

remagique.doc 

[3] http://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_diabolique 






Présentation d’un site sur 

l’enseignement de l’algèbre 

pour les professeurs 

Nous avons élaboré un site pour les professeurs de mathématiques, destiné à leur 

donner des outils pour enseigner l'algèbre à des élèves de 11 à 16 ans. Ces outils 

sont constitués d'écrits théoriques sur l'enseignement de l'algèbre (à partir de 

publications de recherche), d'analyse de programmes, d'éléments de gestion de 

classe et d'activités pour les élèves. 

Sylvie Coppé 

IUFM de Lyon et 

UMR ICAR, 

équipe COAST, 

CNRS Université 

Lyon 2, France 

sylvie.coppe@ 

univ-lyon2.fr 

D 

ans cette communication, nous souhaitons 

présenter un site élaboré 

pour les professeurs de mathématiques, 

destiné à leur donner des outils pour 

enseigner l’algèbre élémentaire à des élèves de 

collège en France (élèves de 11 à 16 ans). 

La conception de ce site fait partie d’un projet 

de recherche pluridisciplinaire (associant les 

sciences physiques et la chimie) qui vise à 

produire des documents, appelés « Outils pour 

le professeur », destinés à aider les enseignants 

ou les formateurs dans leur pratique de classe 

en sciences et en mathématiques en prenant en 

compte des résultats de recherche, notamment 

en didactique des sciences. Nous souhaitons 

ainsi contribuer à la formation continue des 

professeurs. Le nom de ce groupe de 

recherche est SESAMES pour Situations 

d'Enseignement Scientifique : Activités de 

Modélisation, d'Évaluation, de Simulation. 

Il est constitué de plusieurs groupes thématiques 

dans lesquels des chercheurs et des 

enseignants sont associés pour la production 

de documents. Ainsi, le groupe portant sur 

l’algèbre est constitué d’une chercheure, de 

cinq professeurs et d’un doctorant. Pour cette 

partie, les documents sont accessibles sur le 

site consultable à l'adresse suivante : 

http://web.lyon.iufm.fr/formation/UCDmat 

h//algebre/index.htm. 

1. Contexte de la recherche 

Depuis plus de dix ans, à Lyon, l'équipe 

COAST a mené des projets de recherchedéveloppement 

dans l'objectif de produire des 

documents pour les professeurs qui intègrent 

des résultats de recherche en didactique des 

sciences et qui soient directement utilisables. 

Ces projets, dont la question générale porte 

sur l’articulation entre activités des élèves et 

pratiques d’enseignement, ont la particularité 

d’associer des enseignants et des chercheurs au 

travail de conception et d’expérimentation. Ils 

ont permis de développer ce que nous avons 

appelé des « outils » pour les professeurs. Le 

travail de conception de ces outils nécessite de 

mettre simultanément en œuvre des résultats 

de recherche très divers : des analyses 

épistémologiques sur le savoir, des analyses 

didactiques sur certains objets de savoir, des 

hypothèses d’apprentissage, des connaissances 

sur les représentations des élèves ou sur les 

erreurs, et des connaissances sur les pratiques 

professionnelles. 



Présentation d’un site sur l’enseignement de l’algèbre pour les professeurs Sylvie Coppé 

Le travail des groupes se fait à plusieurs niveaux. Chaque 

groupe thématique se réunit régulièrement et produit des 

documents pour les professeurs. Avant d’être mis sur le site, 

tous les documents sont discutés et les activités proposées 

sont expérimentées dans les classes. Les productions des 

élèves sont conservées et quelques séances sont filmées. 

Des réunions de coordination regroupant les responsables des 

sous-groupes et tous les chercheurs associés et doctorants 

sont organisées pour faire émerger des questions de recherche 

portant, par exemple, sur les conditions de la diffusion des 

outils ou sur les pratiques professionnelles. 

Enfin, des réunions plénières regroupant l'ensemble des 

enseignants et des chercheurs ont lieu deux fois par an pour 

informer des productions et de l'avancement du travail, pour 

harmoniser la présentation des documents et pour favoriser 

des collaborations entre sous-groupes. 

2. Pour le groupe Mathématiques: enseignement 

de l’algèbre au collège et en seconde 

Nous sommes partis d’un premier constat de départ selon 

lequel les élèves de 2 nde (élèves de 15-16 ans) semblent avoir 

des difficultés importantes pour mobiliser leurs connaissances 

algébriques pour résoudre des problèmes. En particulier, il 

semble que les élèves des classes de 3 e (élèves de 14-15 ans) 

ou de 2 nde ont du mal à introduire une lettre dans un 

problème si on ne la leur donne pas. Ceci provient 

certainement du fait que, d’une part, l’aspect modélisation est 

peu mis en avant actuellement lors de l’introduction de 

l’algèbre élémentaire et que, d’autre part, les types de tâches 

portant sur l’aspect purement technique du calcul algébrique 

prennent le pas sur d’autres types de tâches qui donneraient 

du sens à la pratique algébrique. 

Or, en France, dans les programmes actuels du collège, il y a 

un découpage important des notions algébriques qui, selon 

nous, ne favorise pas les liens entre les notions abordées ou 

leur utilisation: par exemple, sur le calcul algébrique, on 

n’aborde pas en même temps développement et factorisation; 

il y a une séparation d’une année. De plus, jusqu’à présent les 

processus de preuve en algèbre étaient peu mis en avant; il 

semble que les concepteurs des programmes aient pris 

conscience de ce fait puisqu’on trouve dans les nouveaux 

programmes de 4 e qui seront appliqués en septembre 2007 

une injonction à l’ « Utilisation du calcul littéral pour prouver 

un résultat général ». 

Dans les manuels, on peut constater que les problèmes posés 

aux élèves ne nécessitent pas toujours le recours à 

l’introduction d’une équation, car ils peuvent facilement être 

résolus par d’autres méthodes notamment arithmétiques. 

Enfin, la plupart du temps, on indique quelle est l’inconnue 

qui doit être introduite sous la forme «appelle x… ». 

Voici un exemple assez fréquent d’un problème qui ne 

nécessite pas une mise en équation : 

Je pense à un nombre, je lui ajoute 34, je multiplie par 7 le résultat et je 

trouve 112. Quel était le nombre de départ ? 

Ce problème peut être facilement résolu par une procédure 

qui consiste à "remonter" les calculs 112 : 7 = 16 et 

16 – 34 = -18. Ainsi, on voit bien que l’introduction d’une 

lettre et d’une équation n’est pas une procédure indispensable 

pour cet exercice. Or ce type d’exercice est souvent celui 

choisi par les manuels pour introduire les équations. Enfin, 

très souvent les nombres qui interviennent dans les 

problèmes sont des entiers et la solution est souvent, elle 

aussi, un nombre entier peu élevé, ce qui permet et renforce 

des procédures par essais peu coûteuses. 

De la même façon, concernant les systèmes d’équations, 

Coulange, 1997 a montré une grande uniformité sur la forme 

des problèmes qui peuvent être résolus par un système qui 

entraîne des effets de contrat importants et qui laisserait 

penser que mettre en équation se fait par une simple 

traduction pas à pas de l’énoncé. 

Comme dans les programmes, les types de tâches relevant 

des preuves en algèbre sont très peu représentés dans les 

manuels et l’existence des théorèmes d’algèbre est souvent 

ignorée. On fait comme s’il n’y avait pas de théorèmes ou de 

règles en algèbre alors qu’on travaille beaucoup sur les 

propriétés en géométrie. De la même façon, on trouve peu 

d’incitation à employer des procédures de vérifications 

(Coppé, 1993) même si dans le programme il est 

explicitement indiqué que les élèves doivent savoir tester une 

égalité. Or il nous semble que travailler sur les vérifications 

permet, au delà de savoir si les résultats sont plausibles pour 

l’élève, de donner du sens notamment à la notion de variable 

(Chalancon et al., 2002). Cela pourrait donc être une façon de 

travailler sur la notion de variable. 

Tous ces constats et d’autres études théoriques (Vergnaud, 

1989, Chevallard, 1985, 1989, 1990, Gascon, 1993) nous 

amènent à penser que l'enseignement de l'algèbre au collège 

ne semble pas problématisé, qu’il est souvent rabattu sur de la 

technique algébrique, que les questions de continuité / 

rupture entre arithmétique et algèbre sont peu prises en 

compte dans la pratique habituelle des professeurs, que les 

erreurs des élèves sont peu reconnues et analysées par les 

professeurs. 

Les documents élaborés et diffusés sur le site visent donc à 

permettre aux professeurs de mettre en place des activités 

dans les classes prenant en compte ces différentes questions. 

Notons que nous employons le terme "activités" dans un 

sens large : des exercices, des problèmes, mais aussi des types 

de problèmes avec une gestion de classe associée. 

Cependant, nous pensons que les documents proposés ne 

doivent pas se réduire, comme dans les manuels, aux textes 

des problèmes. Nous avons donc rajouté d’autres 

documents : 

- une liste de sept principes qui guident nos choix 

d'activités à mettre en œuvre dans les classes, 

- des écrits théoriques provenant notamment des travaux 

de recherche sur l’algèbre, 

- des analyses de programmes, 

- des éléments concernant la gestion de la classe, 

- une bibliographie des travaux sur l’algèbre. 




De plus, dans les propositions d'activités pour la classe, nous 

avons intégré une analyse en fonction des principes, des 

propositions de déroulement, des descriptions de procédures 

d'élèves et des prolongements possibles. Les commentaires 

doivent permettre au professeur de s’approprier le problème 

posé avec toutes ses caractéristiques, notamment les choix 

des variables didactiques ainsi que des éléments de gestion de 

classe. Les descriptions de procédures d’élèves doivent 

permettre au professeur de mieux comprendre les enjeux des 

activités proposées et d’anticiper les réactions des élèves. 

L’entrée dans le site peut se faire à plusieurs niveaux : par les 

principes, par des thèmes mathématiques et par les activités, 

par niveau de classe. Nous proposons donc un plan qui n'est 

plus tout à fait celui des manuels qui proposent, en général, 

un chapitre sur le calcul algébrique puis un chapitre sur les 

équations/inéquations, puis sur les fonctions. Nous avons 

également en tête ce découpage, mais nous envisageons 

davantage l'introduction de la lettre et la pratique du calcul 

algébrique comme un outil pour résoudre des 

équations/inéquations et pour les fonctions. 

3. Présentation des principes 

Nous avons énoncé sept principes qui nous paraissent 

essentiels pour permettre un enseignement de l'algèbre qui 

montre aux élèves l'utilité et la force de l’outil algébrique et 

qui justifient nos choix. Ces principes sont de deux types : 1 

et 3 sont plus généraux, ils concernent tout l'enseignement 

des mathématiques au collège et au lycée ; les autres sont plus 

spécifiques à l'algèbre. 

Pour rendre compte de l’atelier, nous avons choisi de 

présenter les sept principes avec quelques commentaires qui 

ne sont pas forcément ceux qui sont sur le site, mais qui 

reprennent plusieurs documents, puis nous donnerons un 

exemple d’activité que nous proposons sur le site. En 

revanche nous ne développerons pas toutes les références 

théoriques (notamment sur l’algèbre, les travaux sont 

nombreux) qui sous-tendent notre travail. 

1 - Proposer aux élèves des problèmes dans lesquels l'emploi des lettres 

(ou autre symbole) paraît sinon indispensable mais utile, performant 

pour résoudre le problème. 

Ce premier principe n'est pas spécifique de l'algèbre. En effet 

depuis trente ans, en s'appuyant sur les travaux de Piaget, de 

Bachelard et de Vigotsky, les recherches en didactique des 

mathématiques mettent en avant la notion de problèmes. 

Ainsi, ces recherches se fondent sur l'idée que l'on construit 

ses connaissances en résolvant des problèmes pour lesquels 

nos connaissances anciennes se révèlent insuffisantes ou 

inadaptées, et nécessitent la création de nouveaux outils qui 

seront, à leur tour, transformés en objets de connaissance 

dans le cadre de l'enseignement. 

Nous pensons que ce jeu entre, d’une part, connaissances 

anciennes et nouvelles et, d’autre part, entre le statut d'outil 

pour résoudre des problèmes et d'objet de connaissance se 

révèle à la base de notre enseignement actuel en France 

comme en témoignent les nouveaux programmes du collège. 

Pour l'enseignement de l’algèbre, nous pouvons traduire de 

façon plus concrète cette première position théorique. Ainsi, 

il nous semble important de proposer aux élèves des 

problèmes qui nécessitent l'emploi de lettres non pas parce 

que le professeur le demande, mais parce que cela aide à la 

résolution du problème ou bien cela permet de résoudre une 

série de problèmes semblables du point de vue de la structure 


Ces problèmes peuvent déboucher soit sur des résolutions 

d'équations, soit sur l'introduction du calcul littéral. Ainsi, 

nous pensons que, pour l'élève, la lettre devrait apparaître pas 

seulement comme une écriture, un symbole qui remplace un 

nombre, et que le professeur ne désigne plus par une écriture 

numérique, mais plutôt, et assez rapidement dans le cursus 

scolaire, comme une variable (ou une inconnue). Il est 

important de montrer aux élèves que la lettre ne remplace pas 

seulement un nombre singulier, mais tout un ensemble de 

nombres, ce qui est une caractéristique du raisonnement 

algébrique à la différence du raisonnement arithmétique 

(Vergnaud, 1989). 

2 – Ne pas désigner trop tôt les quantités inconnues ou variables par 

une (ou des) lettre(s). Laisser les élèves ressentir la nécessité de leur 

introduction plutôt que de les donner a priori. 

Ce principe constitue la suite du précédent. À la suite des 

constatations ci-dessus sur les manuels, ce principe a été écrit 

en réaction contre une tendance actuelle de ces derniers à 

découper les problèmes et à les rendre très fermés (Betton et 

Coppé, 2005), ce qui est particulièrement vrai dans le cas des 

équations et des fonctions. 

De plus, si l'on veut montrer à l'élève la puissance du 

raisonnement algébrique, il est essentiel de lui donner des 

problèmes qu'il a du mal à résoudre par d'autres méthodes, 

arithmétiques par exemple. 

Il est donc important pour le professeur de connaître les 

spécificités et les différences entre le raisonnement algébrique 

et le raisonnement arithmétique afin, d’une part, de laisser les 

élèves mettre en place différents types de raisonnement et, 

d’autre part, de trouver des problèmes qu’on peut plus 

difficilement résoudre par des méthodes arithmétiques. C’est 

pourquoi nous avons explicitement présenté des activités 

d’introduction de la lettre avec ses différentes fonctions 

(variable et inconnue, nombre généralisé, voire paramètre) et 

utilisé les notions de problèmes connectés et déconnectés 

(Bednarz et Janvier, 1996) pour bâtir des séances 

d’introduction aux équations. 

3 – Favoriser les liens entre des textes en langage naturel, des 

expressions numériques et des représentations géométriques pour donner 

du sens à certaines expressions algébriques 

L'algèbre permet de résoudre des problèmes par la 

modélisation, mais c'est aussi un langage symbolique avec des 

règles spécifiques. Duval (1993) définit et utilise la notion de 

registre de représentation sémiotique. Ainsi, un objet 

mathématique peut être représenté dans différents registres 

(décrit en langue naturelle, illustré par un dessin, défini dans 

un langage symbolique, etc.). Chaque registre permet de 

travailler sur l'objet d'une façon particulière associée à ce 




registre, mais l'objet n'est jamais la somme de ses 

représentations dans les divers registres. 

Un exemple assez simple est celui des fonctions : ainsi on 

peut définir une fonction à l'aide d'une phrase en langue 

naturelle (par exemple, la vitesse est fonction du temps), à 

l'aide d'une formule algébrique, d'une courbe, d'un tableau de 

valeurs, d'un graphe, etc. Or, les traitements dans chacun de 

ces registres ne sont pas tous équivalents. Par exemple, il sera 

quelquefois plus simple de travailler dans le registre des 

écritures symboliques en ne faisant que du calcul littéral, en 

laissant de côté le problème posé en langue naturelle. 

En ce qui concerne l'algèbre, nous pensons qu'il est 

important de trouver des activités qui vont permettre de 

travailler les passages entre la langue naturelle, les écritures 

algébriques et les dessins géométriques. À partir des 

problèmes proposés, nous veillons à laisser les élèves 

s’exprimer soit dans le registre de la langue naturelle, soit 

dans celui des écritures symboliques, et à faire verbaliser des 

propriétés dans ces mêmes registres. 

Enfin, à l’occasion de certains problèmes, nous apprenons 

aux élèves à désigner par une écriture symbolique (et nous 

institutionnalisons ces écritures) certaines propriétés des 

nombres : un nombre pair, un nombre divisible par 5, un 

nombre entier et son suivant, etc. 

Nous souhaitons également travailler les deux aspects sens et 

dénotation d’une expression (Drouhard, 1992) au travers des 

formulations demandées. 

Enfin, nous avons introduit une rubrique intitulée « Problèmes 

de synthèse » dans laquelle nous proposons des 

problèmes qui peuvent être résolus dans différents cadres et 

qui peuvent évoluer par un jeu sur les variables didactiques et 

donc qui peuvent être proposés à différents niveaux de classe. 

4 - Travailler sur les vérifications qui donnent du sens aux notions 

Comme nous l’avons déjà indiqué plus haut, ce point nous 

paraît extrêmement important et relativement nouveau dans 

sa prise en compte institutionnelle. Dans les nouveaux 

programmes de collège (2005), il est indiqué : « contrôler ou 

anticiper des résultats par des calculs mentaux approchés». Ici apparaît 

le terme « contrôle » qui, pour nous, englobe les vérifications. 

Dans le programme de la classe de 5 e, il apparaît : « Tester si 

une égalité comportant un ou deux nombres indéterminés est vraie 

lorsqu'on leur attribue des valeurs numériques données ». 

Nous interprétons cette injonction, d’une part, comme une 

injonction à la vérification et, d’autre part, comme une 

rencontre avec la notion de variable. En effet, en testant une 

égalité, c'est-à-dire en remplaçant la (les) "lettre(s)" par des 

nombres et en répétant cette opération pour plusieurs 

nombres, on indique à l'élève que cette lettre représente bien 

un nombre qui varie et qu'alors la phrase mathématique 

obtenue est vraie ou fausse. 

Il y a donc là, selon nous, un double travail pour favoriser la 

compréhension des élèves et leur entrée dans l'algébrique. Il 

nous semble tout à fait important que le professeur mette en 

place dans la classe des types d'exercices qui favorisent ce 

lien. 

Dans le programme de 4 e, on indique que « le test d’une égalité 

par substitutions de valeurs numériques aux lettres prend tout son 

intérêt ». Même si le terme vérifier n’est pas utilisé, nous 

pensons qu’il s’agit ici de faire une vérification des calculs 

littéraux. 

Enfin dans le programme de 2 nde, il est encore indiqué : « on 

explicitera quelques procédures simples permettant d'infirmer ou de 

confirmer une formule ». 

Pour aller dans ce sens, nous avons bâti des activités de calcul 

mental algébrique qui prennent en compte cette question de 

test d’égalité. 

5 – Travailler sur la notion de formule qui prépare la notion de fonction 

Nous pensons que le travail algébrique est une notion 

unificatrice du programme de collège. Ainsi, l'étude des 

programmes montre que l'entrée dans l'algèbre ne se fait pas 

seulement en classe de 4 e même si, bien sûr, un travail 

important est fait durant cette année qui constitue un 

moment d'unification et de synthèse de notions déjà vues. 

Les liens avec la classe de troisième sont certainement faits 

par les notions de développement / factorisation et par 

équations / inéquations. 

Pour les classes de 6 e/5 e, cela paraît moins évident. Or, selon 

nous, ce sont les formules qui peuvent faire ce lien. En effet, 

les élèves connaissent des formules depuis l'école primaire 

(même si leur place a été réduite à l'école primaire depuis les 

années 1970, et encore davantage avec les programmes de 

2002 puisque le formulaire pour les aires a été supprimé); les 

élèves voient et utilisent des formules, notamment de 

périmètre et d'aire pour le rectangle et le cercle/disque. 

Pour eux c'est un procédé de calcul qui fournit un résultat 

numérique lorsqu'on affecte à la (ou aux) "lettre(s)" une ou 

des valeurs numériques. Donc nous pensons qu'à travers cela 

les élèves ont déjà rencontré l'idée de variable. Il nous semble 

donc important d'exploiter dans des exercices le lien avec les 

formules, soit en donnant des formules aux élèves et en 

faisant calculer et représenter graphiquement, soit en faisant 

établir des formules à partir de problèmes. 

Nous avons d’ailleurs constaté dans les activités 

d’introduction de la lettre que les élèves utilisaient 

spontanément ce terme pour désigner les écritures produites 

soit pour établir une formule générale, soit pour produire une 

équation. 

6 – Ne pas négliger la notion de preuve en algèbre 

À la suite du principe précédent, nous pensons également 

qu'il faut proposer des types de tâches donnant à voir, à 

prouver des égalités vraies pour tout x dans un ensemble de 

nombres. Ainsi nous pensons que les activités de preuve par 

l'outil algébrique sont des types de tâches qui vont permettre 

à l'élève tout d'abord de faire des conjectures en utilisant la 

lettre comme remplaçant n'importe quel nombre d'un 

ensemble donné, puis de prouver ces conjectures en utilisant 

les règles du calcul algébrique qui fonctionneront bien alors 




comme des théorèmes avec le même statut qu'en géométrie. 

Un exemple d’activité de preuve est donné en annexe. 

7 – Ne pas négliger les justifications des calculs par l'utilisation de règles 

algébriques 

Pour illustrer ce point, nous prendrons comme exemple la 

formule de la distributivité qui est introduite formellement en 

classe de 5 e, mais pour laquelle il n'y a que peu de types de 

tâches en lien et qui est donc assez vite oubliée par les élèves 

puisqu'ils ne voient pas son utilité. Or, c'est elle qui permet de 

justifier toutes les règles de calcul littéral, de développement 

et de factorisation. Il revient donc au professeur de faire vivre 

cette formule pour qu'elle prenne tout son sens, c'est–à–dire 

autrement que pour faire des calculs de différentes façons (ce 

qui est essentiellement le cas actuellement). 

Il est donc tout à fait important que des exercices dans 

lesquels cette formule fonctionne comme une règle soient 

proposés aux élèves. 

Nous pensons que, contrairement à la géométrie où un travail 

important est fait pour exiger des justifications par des 

théorèmes, en algèbre la question de la justification des règles 

de calcul n'est pas vraiment posée. En effet, en algèbre, on 

cherche à donner aux élèves des automatismes de calcul, ce 

qui est légitime. Or un automatisme de calcul est fait pour 

être appliqué sans avoir à justifier les différentes étapes (c'est 

ce qui fait qu'il est rapide et performant). Mais, au début de 

l'apprentissage, il nous semble important de bien faire 

comprendre aux élèves que la propriété de distributivité doit 

fonctionner comme un théorème c'est-à-dire avec des 

conditions d'application. Il nous semble donc important de 

travailler avec les élèves de 5 e et 4 e sur les justifications des 

calculs. 

4. Un exemple de problème proposé 

Toutes les propositions d'activités, soit sur l’introduction de 

l’algèbre, soit sur des thèmes mathématiques (équations, 

factorisation), soit encore sur des problèmes de synthèse, ont 

été rédigées en suivant le même plan : texte du problème, but, 

objectif, lien avec les principes, mise en œuvre dans la classe, 

analyse du problème, institutionnalisation ou synthèse 

possible, production des élèves, prolongements possibles. 

Nous en donnons un exemple en annexe. 

Il s’agit d’une activité de preuve d’une formule générale. 

D’ailleurs dans les questions posées aux élèves nous utilisons 

bien ce terme. Nous avons veillé à faire trouver la formule 

générale par les élèves plutôt que de la donner, ce qui permet 

de favoriser l’écriture dans un registre symbolique (nous 

n’excluons pas la langue naturelle, mais ce serait complexe). 

Comme nous l’avons dit, cette activité a été réalisée en classe 

et nous avons pu ainsi nous rendre compte des difficultés des 

élèves, notamment en ce qui concerne la désignation d’un 

nombre et son suivant. En revanche, les élèves ont bien 

accepté le fait de prouver cette formule et ne se sont pas 

contentés de quelques exemples. Un autre point difficile pour 

les élèves a été le calcul sur les fractions qui a été un obstacle 

au passage à l’écriture de la formule. 

Nous pensons qu’il est important de donner ces 

commentaires au professeur qui souhaite prendre ce 

problème pour sa classe pour qu’il comprenne dans quel 

esprit nous lui proposons ce travail et pour lui permettre 

d’anticiper les réactions des élèves en restant ouvert à 

différentes procédures. Ainsi, nous pensons que donner à 

voir des réponses ou des procédures d’élèves (éventuellement 

commentées) devrait permettre aux professeurs de changer 

leur regard sur les apprentissages des élèves. De même, 

donner aussi des éléments de gestion de classe (temps, 

organisation de la classe, synthèse) doit permettre de garder la 

cohérence entre le travail attendu des élèves et les modalités 

choisies par le professeur. Nous faisons l’hypothèse forte que 

ces informations sont essentielles pour l’appropriation des 

activités proposées et, à plus long terme, pour la formation 

continue des professeurs. 

À noter également que nous proposons une synthèse qui 

indique les connaissances décontextualisées qui peuvent être 

mises en avant à partir de ce problème singulier. 

Enfin nous tentons, quand c’est possible, de proposer des 

prolongements afin d’enrichir les problèmes, de faire des 

liens entre différentes notions, plutôt que de travailler 

uniquement un type de tâches. 

5. Conclusion 

Nous avons présenté ce site pour les professeurs ou 

formateurs, et nous sommes bien consciente que ce n’est que 

le début d’un travail. Pour le moment, ce site et son 

architecture sont en évolution à la fois pour les rubriques et 

pour les activités proposées. Après trois ans de 

fonctionnement, une première conclusion est que la création 

d’un site et son alimentation demandent un travail très 

important et des moyens pour les professeurs impliqués. De 

plus, comme nous avons fait le choix d’expérimenter tous les 

problèmes, nous sommes tributaires de contraintes 

institutionnelles comme les programmes et le temps des 

classes. Il ne s’agit donc pas, pour nous, de proposer une 

multitude de problèmes, mais plutôt d’en choisir certains qui 

permettront d’amorcer une réflexion chez les professeurs qui 

utilisent les documents pour qu’ils puissent ensuite euxmêmes 

en produire d’autres. 

Pour le moment, nous avons laissé de côté les problèmes 

d’entraînement au profit de problèmes d’introduction ou de 

synthèse, ce qui renforce les questions sur les types de 

documents à proposer aux professeurs. Ainsi, la question du 

rapport entre un problème d’introduction, forcément 

singulier, et l’institutionnalisation des connaissances qui peut 

être faite se révèle centrale, comme le soulignent aussi Robert 

et Rogalski, 2004. De la même façon, nous ne proposons pas 

non plus d’évaluations, ce que nous comptons faire plus tard. 

Une autre interrogation concerne les liens avec les manuels 

scolaires. En effet, une étude sur la façon dont les 

professeurs stagiaires préparent leurs séances de classe 

montre qu’ils utilisent de façon massive les manuels (Coppé, 

à paraître). Or l’entrée dans les documents du site ne se fait 

pas comme dans les manuels par chapitres, mais par des 

problèmes qui ne renvoient pas forcément à des titres de 




chapitres. L’idée d’ordre dans la présentation des notions, très 

fortement ancrée dans les manuels par le biais des chapitres, 

est donc beaucoup moins présente sur le site. 

De plus, nous avons fait le choix explicite de donner des 

problèmes avec des questions ouvertes, ce qui n’est pas non 

plus conforme aux manuels actuels. 

Le travail autour de ce site ouvre des questions de recherche 

sur la nature des documents à proposer pour une véritable 

appropriation non seulement des activités, mais aussi des 

références théoriques sur les apprentissages et sur 

l’enseignement de l’algèbre. Nous faisons l’hypothèse que 

travailler à la fois sur les activités de classe et sur des éléments 

théoriques est une façon de participer à la formation continue 

des professeurs. Une autre question concerne le niveau de 

description et d’explicitation des séances de classe : jusqu’où 

doit-on aller dans la description des activités, le détail des 

consignes, les documents sur les élèves ? 

Enfin, à plus long terme, nous pensons faire une étude sur la 

façon dont les professeurs s’approprient ces documents. Estce 

une simple appropriation ou un vrai travail de formation ? 

Dans ce cas, faut-il organiser des séances de formation en 

parallèle pour compléter, approfondir? Est-ce que le travail 

autour des séances d’algèbre au collège peut avoir des effets 

dans d’autres champs de connaissances ? 

Références bibliographiques 

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of algebra as a problem-solving tool : continuities and 

discontinuities with arithmetic. In : Sutherland, R. (ed). 

Approaches to algebra, perspectives for research and 

teaching. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers. 

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mathématique dans la classe : ouvrir les problèmes. 

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Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la 

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dans les équations, inéquations et en calcul littéral. 

Grenoble : Petit x n°59. 

Chevallard, Y. (1985). Le passage de l'arithmétique à l'algèbre 

dans l'enseignement des mathématiques au collège. 

Première partie. Petit x n° 5: IREM de Grenoble. 



Deuxième partie. Petit x n° 19: IREM de Grenoble. 



Troisième partie. Petit x n° 30: IREM de Grenoble. 

Combier, G., Guillaume, J. C. & Pressiat, A. (1996). Les 

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Coppé, S. (1993). Processus de vérification en mathématiques 

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devoir surveillé. Thèse de l’Université Claude Bernard. 

Lyon I. 

Coppé, S. (à paraître). Les connaissances antérieures des 

professeurs de mathématiques à travers la préparation 

de séances de classe. Cas de stagiaires en fin de 

formation initiale. Actes du séminaire national de 

didactique des mathématiques. Paris Janvier 2006. 

Coulange, L. (1997). Les problèmes "concrets" à mettre en 

équation dans l'enseignement. Grenoble : Petit x n° 19. 

Coulange, L. (2000). Etude des pratiques du professeur du 

double point de vue écologique et économique. Cas de 

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Drouhard, J. P. (1992). Les écritures symboliques de l’algèbre 

élémentaire. Thèse de l’Université de Paris 7. 

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fonctionnement cognitif de la pensée, Annales de 

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Gascon, J. (1993). Un nouveau modèle de l’algèbre 

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d'enseignant. Recherche en didactique des 

mathématiques. Vol 21/1.2. Grenoble : La Pensée 

Sauvage Éditions. 

Robert, A. & Rogalski, M. (2004). Problèmes d’introduction 

et autres problèmes de recherche au lycée. Repère 

IREM n° 54. 

Vergnaud, G. (1989). Difficultés conceptuelles, erreurs 

didactiques et vrais obstacles épistémologiques dans 

l'apprentissage des mathématiques. In Construction des 

savoirs. Obstacles et conflits. N. Bednarz et C. Garnier 

Edits. CIRADE. 




Annexe 

Introduction de la lettre 

Établir une formule de calcul 

Faites les calculs suivants : 

1 1 

! 

2 3 = 

1 1 

! 

3 4 = 

1 1 

! 

4 5 = 

Quel serait le calcul suivant ? 

Ces calculs semblent tous faits sur le même modèle. 

Pouvez-vous trouver lequel ? Pouvez-vous établir une 

formule qui rende compte de ce que vous avez constaté 

et la prouver? 

Buts de cette activité par rapport aux principes : 

1 Montrer l'intérêt et la nécessité de trouver une formule 

dans laquelle une lettre est introduite pour établir une 

formule. 

2 Ne pas désigner trop tôt les quantités variables par une 

lettre, laisser aux élèves ressentir la nécessité de leur 

introduction. 

3 Travailler sur les vérifications. 

4 Travailler sur les formules. 

5 Établir des preuves en algèbre. 

Durée : une séance d'une demi-heure 

Les élèves travaillent seuls pendant 5 à 10 minutes. 

Ils doivent faire les calculs proposés, se rendre compte de 

leurs liens, puis trouver une formule qui rend compte de ces 

remarques. Les calculatrices sont autorisées. Le professeur 

passe auprès de chacun. Il peut ainsi voir les formules 

produites. 

Mise en commun au tableau et discussion sur les formules 

produites 

Plusieurs objectifs pour ce moment : 

- Faire des calculs avec des fractions simples qui n'ont pas 

le même dénominateur. 

- Trouver la formule, savoir l'exprimer avec une seule 

lettre. 

- Distinguer les formules vraies ou fausses par vérification 

avec les premiers calculs faits. 

Synthèse 

Avec des lettres on peut écrire une formule générale et la 

prouver. 

On peut calculer avec des lettres comme avec des nombres 

puisqu'ici elles remplacent n'importe quel nombre. 

Deux nombres entiers consécutifs peuvent s'écrire a et a+1. 

Analyse de cette activité 

Il s'agit de faire trouver une formule à partir d'exemples. On 

est ici dans une activité de généralisation et de preuve. En ce 

sens, cette activité est différente de l'activité 2. 

Les premiers calculs ont pour but de faire entrer dans 

l'activité, mais aussi de servir de modèle à l'énoncé de la 

formule. 

Ce qui est difficile pour les élèves, c'est de traduire ce qu'ils 

constatent par une formule. Ainsi, nous avons pu constater 

qu’ils utilisaient spontanément des lettres, mais qu'ils avaient 

du mal à traduire (ou qu'ils ne voyaient pas) les nombres 

consécutifs alors que le produit du second membre était bien 

perçu. 

Ainsi, les premières formules produites étaient souvent du 

type : 

1 1 1 

! = 

a b ab 

a a a 

! = 

b c bc 

(ce qui pourrait être correct avec c= b+1, mais qui ne 

correspond pas à cet énoncé). 

La difficulté pour le professeur est donc de faire évoluer ces 

formules vers celles qui mettent en avant la relation entre a et 

b. On travaille donc ici sur la désignation de deux nombres 

consécutifs. 

Prolongements : 

Généralisation de la formule à : 

a a 

! 

b b +1 = 

a 

b(b +1) 






L’approche par problème 

vécue par les élèves : 

Peut-on faire casser un verre de cristal 

avec une onde sonore? 

Est-il possible de faire éclater un verre de cristal par la reproduction d’un signal 

sonore provenant de ce verre? C’est que nous avons voulu découvrir lors du projet 

de fin d’études 2006 en mathématiques. La partie expérimentale de ce projet 

consistait à faire l’enregistrement analogique d’un signal sonore émis par un verre 

de cristal et à le reproduire par la suite. Pour ce faire, nous avons dû développer 

des outils mathématiques, grâce à l’algèbre linéaire, le calcul différentiel et intégral, 

sur les concepts d’espaces vectoriels, de vecteurs, de bases, de produit scalaire et 

d’intégration numérique pour ainsi aboutir à la théorie de l’approximation linéaire. 

Cette dernière nous a permis d’établir une approximation numérique du signal 

enregistré pour ainsi le reproduire. Le verre de cristal a-t-il résisté à ce signal ou a-til 

éclaté? C’est ce que vous pourrez découvrir…! 

Audrey Corbeil 

Therrien, 

audrey.corbeil.therri 

en@usherbrooke.ca 

Guillaume 

Lapointe, 

Guillaume.Lapointe@ 

usherbrooke.ca 

Geneviève Vézina, 

genevieve.r.vezina@ 

usherbrooke.ca 

étudiants au Cégep 

de Sherbrooke 

D 

ans le cadre de notre cours de projet 

de fin d’études, lors de notre dernière 

session en sciences de la nature au 

Cégep de Sherbrooke, nous avons élaboré un 

projet en mathématiques. Nous avons choisi 

d’enrichir l’un des projets offerts qui, au 

départ, consistait à capter un signal sonore et à 

en faire l’analyse harmonique dans le but de le 

reproduire. En plus de faire la captation, 

l’analyse et la reproduction d’un signal sonore, 

nous avons également tenté de vérifier si 

l’histoire de la chanteuse qui réussit à casser un 

verre en chantant est un mythe ou une réalité, 

s’il est vraiment possible de briser un verre de 

cristal avec une onde sonore. 

Un verre de cristal a des fréquences auxquelles 

il vibre plus efficacement. Autrement dit, 

lorsque le verre est heurté, ou encore frotté 

avec un doigt humide, il dissipe son énergie 

via ces fréquences sous forme d’onde sonore 

et lorsque de l’énergie sonore lui est transmise 

selon ces fréquences, il accumule cette énergie, 

vibrant de plus en plus fort, jusqu’à ce que le 

matériau ne le supporte plus. C’est ce que l’on 

appelle résonance et c’est ce phénomène que 

nous allons tenter de mettre à profit pour 

casser notre verre. 

Il faudra donc effectuer un enregistrement du 

signal sonore émis par le verre de cristal 

lorsque celui-ci vibre naturellement et recréer 

ce signal à l’aide de méthodes mathématiques. 

Dans le cadre de ce projet, nous avons 

privilégié une approche vectorielle. 

Tout d’abord, l’enregistrement a été effectué à 

l’aide du programme Vizu, un programme 

informatique qui a transformé les variations de 

pression selon le temps, c’est-à-dire le son, en 

une série de points sur un graphique. Le son a 

été produit par friction d’un doigt humidifié 

sur le rebord du verre. Cela donne un son plus 

continu, avec moins de variations que les 

autres méthodes auxquelles nous avions 

songé. Ce son a ensuite été capté à l’aide d’un 

micro. 

L’analyse de ce graphique (figure 1) montre 

une période de 0,00212 secondes, ou encore 

une fréquence fondamentale de 471 Hz. Afin 

de reproduire ce signal, il faut trouver la 

fonction se rapprochant le plus des points du 

graphique. Puiqu’il s’agit d’un signal de nature 

périodique (vibrations sonores), les fonctions 

sinusoïdales ont été retenues. 



L’approche par problème vécue par les élèves Audrey Corbeil-Therrien,, Guillaume Lapointe et Geneviève Vézina 

l’avions appris auparavant. Pour développer ce nouveau 

concept que nous ne connaissions pas, nous nous sommes 

basés sur la définition suivante de la projection orthogonale 

d’un vecteur sur un autre1: -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 

Fig. 1 Pression, en fonction du temps, lors d’une période du signal 

sonore du verre de cristal 

Nous nous sommes basés sur certaines notions d’algèbre 

linéaire acquises préalablement à ce projet : les espaces 

vectoriels et les caractéristiques de leurs bases, les 

combinaisons linéaires, ainsi que le produit scalaire et la 

projection orthogonale d’un vecteur sur un autre. Toutefois, 

ces notions ne sont pas suffisantes pour résoudre le 

problème posé. 

Le premier obstacle a été de rapprocher les notions de 

vecteurs et de fonctions. Nous avons donc vérifié si les 

fonctions pouvaient se comporter comme des vecteurs, c’està-dire 

si elles possédaient les mêmes propriétés que ces 

derniers. Après l’analyse de différents cas, nous en sommes 

arrivés à l’élaboration du théorème suivant : «Un sousensemble 

est un sous-espace vectoriel s’il fait partie d’un plus 

grand espace vectoriel tel que les propriétés de fermeture de 

l’addition et de la multiplication par un scalaire sont 

vérifiées». En acceptant le fait que l’ensemble des fonctions 

réelles dans les réels forment un espace vectoriel, le théorème 

précédent nous permet d’affirmer que l’ensemble de tous les 

polynômes trigonométriques de degré n ou moins de la 

forme : 

P(x) = a 0 

+ a cos !x + a cos 2!x + ... + a cos n!x + 

1 

2 

n 

b sin !x + b sin 2!x + ... + b sin n!x 

1 

2 

n 

est également un espace vectoriel. En effet, l’ensemble des 

polynômes trigonométriques de degré n ou moins fait partie 

d’un espace vectoriel plus grand, soit les fonctions réelles 

dans les réels, et les propriétés de fermeture de l’addition et 

de la multiplication par un scalaire sont vérifiées pour cet 

ensemble. Nous noterons P cet espace dont la dimension est 

2n+1. Nous pouvons maintenant travailler dans l’espace 

vectoriel P. 

Ensuite, pour pouvoir reproduire le plus fidèlement le son du 

verre, il faut trouver la fonction «la plus proche» de celle de 

notre signal sonore, soit le polynôme trigonométrique 

approchant le mieux le graphique. Pour ce faire, il est 

possible d’utiliser le concept de projection orthogonale, qui 

permet de trouver le vecteur d’un sous-espace «le plus 

proche» d’un autre donné. Autrement dit, il s’agit de trouver 

une fonction dans l’espace des polynômes trigonométriques 

qui sera la «plus semblable» au graphique représentant le 

signal sonore. Toutefois, nous devons appliquer ici la 

projection orthogonale à un espace vectoriel de dimension 

2n+1, au lieu d’un espace de dimension 1 comme nous 

Soit deux vecteurs non nuls, ! v et ! u non parallèles et non 

orthogonaux ; la projection orthogonale de ! v sur ! u (notée 

! v! u ) est l’unique vecteur pour lequel 

1) ! v! u / / ! u 

2) ! v ! ! v ! u " ! u. 

Algébriquement, la première condition s’exprime par le fait 

que la projection ! v! u est combinaison linéaire de ! u : il existe 

un scalaire k tel que ! v ! u = k ! u , alors que l’orthogonalité 

imposée par la seconde condition s’écrit (! v ! ! v ! u )i ! u = 0. 

Nous avons donc proposé une généralisation de cette 

définition pour pouvoir l’appliquer à un espace quelconque E 

de dimension n. Nous obtenons : 

« Soit un vecteur ! v d’un espace W et soit E un sous-espace 

! 

de dimension n, muni d’une base v , 

1 ! v ,..., 

2 ! v . La 

n 

! 

projection orthogonale (notée v ) est l’unique vecteur pour 

E 

lequel 

! 

1) v ! E 

E 

! 

2) v ! ! v " E. » 

E 

Dans cette généralisation, la première condition se traduit par 

! 

le fait que la projection v est combinaison linéaire des 

E 

! 

vecteurs v , 

1 ! v ,..., 

2 ! v de la base de E : il existe donc des 

n 

scalaires k 1 ,..., k ! ! ! 

tels que v = k v + ... + k v . La seconde 

n E 1 1 n n 

! 

condition exige que le vecteur v ! ! v soit orthogonal à 

E 

l’espace E. En particulier, il doit être orthogonal à tous les 

vecteurs de la base de E, ce qui s’écrit 

À partir de cette définition, nous pouvons développer une 

formule qui nous permettra de calculer la projection 

orthogonale, lorsque la base de E est orthogonale. 

( ! v ! ! v )i E ! v = 0, ( 1 ! v ! ! v )i E ! v = 0,...,( 2 ! v ! ! v )i E ! v = 0. 

n 

! 

Soit e , 1 ! e ,..., 2 ! e une base orthogonale du sous-espace E 

n 

dans W, soit ! ! 

F un vecteur de W et soit F la projection 

E 

orthogonale de ! F sur le sous-espace E. La première 

! ! ! 

condition donne F = k e + ... + k e et la seconde : 

E 1 1 n n ( ! F ! ! F ) • E ! e = 0 , i = 1, ...,n devient donc, après substitution, 

i ( ! ! ! 

F ! (k e + ... + k e )) • 1 1 n n ! e = 0 i = 1,..., n , c’est à dire 

i 

! 

F • ! e ! k ( i 1 ! e • 1 ! e ) + ... + k ( i n ! e • n ! e ) = 0 i = 1,..., n . 

i 

1 

PAPILLON, Vincent. Vecteurs, matrices et nombres complexes, 

Modulo, Mont-Royal, 1993, p. 61. 




Par l’orthogonalité des éléments de la base, on a alors que 

! 

F • ! ! 2 

e ! k (0) + ... + k e + ... + k (0) = 0 i = 1,..., n , 

i 1 i i 

n 

! 

F • 

d’où k = 

i ! B. En effet, on peut montrer que le produit scalaire de deux 

ei i = 1,..., n , 

! 2 

ei ! 

et ! F • 

F = 

E 

vecteurs distincts quelconques de B est nul, ce qui indique 

que ces deux vecteurs sont orthogonaux. À l’aide d’un 

théorème que nous avons élaboré mais que nous ne 

présentons pas ici, il nous est possible d’affirmer que tout 

ensemble de vecteurs orthogonaux deux à deux est 

linéairement indépendant. Donc l’ensemble B respecte les 

deux conditions lui permettant d’être une base de l’espace 

des polynômes trigonométriques. De plus, cette base est 

orthogonale, permettant ainsi de l’utiliser pour la technique 

de projection orthogonale. 

! ! 

e 

1 ! F • 

e + 

! 2 1 

e1 ! ! 

e 

2 ! F • 

e + ... + 

! 2 2 

e2 ! e 

k ! 

e . 

! 2 n 

en On remarque que 

! 

F = 

E ! F! + 

e1 

! F! + ... + 

e2 

! F! , où 

en 

sur la droite engendrée par 

P(x) = a 0 + a 1 cos !x + a 2 cos 2!x + ... + a n cos n!x + 

b 1 sin !x + b 2 sin 2!x + ... + b n sin n!x 

! 

F E peut aussi s’écrire : 

! 

F E est la projection orthogonale 

! 

e i , i = 1,..., n. 

Nous avons maintenant une formule permettant de trouver 

la projection orthogonale sur un espace. Cependant, cette 

formule utilise la notion de produit scalaire, une notion que 

nous n’avons pas définie dans notre espace P des polynômes 

trigonométriques décrit précédemment. La définition 

axiomatique du produit scalaire indique qu’il est à la fois 

commutatif, distributif sur la somme vectorielle et distributif 

sur la multiplication par un scalaire. De plus, le produit 

scalaire d’un vecteur avec lui-même donne le carré de sa 

norme. On peut satisfaire à cette définition si on définit le 

produit scalaire de deux fonctions f et g par la formule 

" 

f • g = # f (x)g(x)dx . 

!" 

Puisque les fonctions de l’espace P sont périodiques de 

période 2 ! , nous pouvons les étudier sur une seule période. 

Nous avons choisi de travailler sur une période étalée de - ! 

à ! . Par une simple transformation affine il sera possible de 

se ramener à la période de notre signal. Toutefois, il faut 

d'abord définir une base orthogonale de l'espace P. 

Une base d’un espace vectoriel doit pouvoir engendrer 

chaque vecteur de cet espace. De plus, chaque élément de la 

base doit être linéairement indépendant de tous les autres. Si 

nous regardons l’espace vectoriel formé de tous les 

polynômes trigonométriques de la forme 

une base possible serait formée de chacun des monômes, ce 

qui nous donnerait : 

B = 1,cos ( ! x),cos( 

2! x),...,cos(n! 

x) 

! { sin ( ! x),sin 

( 2! x),...,sin(n! 

x) } 

{ } 

Vérifions si cet ensemble respecte les deux conditions. 

D’abord, en utilisant des combinaisons linéaires, il est 

possible d’obtenir tous les vecteurs de l’espace. Ensuite, à 

l’aide du produit scalaire décrit précédemment, il est possible 

de vérifier l’indépendance linéaire des vecteurs de l’ensemble 

Maintenant il est possible d'appliquer la formule de 

projection orthogonale de la fonction F sur l'espace P. 

Le produit scalaire tel qu’il a été présenté auparavant ne peut 

être calculé algébriquement, puisque le graphique est 

constitué de points et non d’une fonction continue. Il faut 

donc avoir recours à une méthode numérique pour 

approximer le résultat. Comme méthode d’intégration 

numérique, notre choix s’est arrêté sur la méthode des 

trapèzes. Cette méthode nous demande de diviser notre 

intervalle de temps en plusieurs sous-intervalles de grandeur 

x, la distance entre deux instants. L’aire de chacun des 

trapèzes formés par deux points consécutifs du graphique est 

ensuite calculée. La sommation de tous ces trapèzes est une 

approximation de l’intégrale numérique recherchée. On peut 

alors approximer le produit scalaire de la fonction f sur un 

élément de la base de l'espace P, nommé g, par 

f ig = f (x)g(x)dx ! 

"x( f (x)g(x)+ f (x )g(x )) 

i+1 i+1 , 

2 



& 

% 

$% 

N 

# 

i =1 

où N est le nombre de points sur l’intervalle que l’on cherche 

à calculer. 

Cette méthode nous permettra donc d’approximer l’intégrale 

nécessaire au calcul de la projection orthogonale. 

C’est à l’aide du logiciel SystemView que le signal fut 

reproduit. Ce logiciel permet d’obtenir un fichier sonore de 

type wav à la sortie, donc un fichier qui pouvait être joué 

directement dans un haut-parleur. Ci-dessous il y a le 

graphique du signal original et la projection orthogonale de 

ce signal produit à l'aide de Maple6. Cette projection a été 

faite avec un polynôme de degré n égal à 80 et 

l'approximation des intégrales à l'aide de la méthode des 

trapèzes a été faite avec 182 points. 

Enfin, nous avons tenté de casser notre verre de cristal avec 

le signal sonore. Le verre a répondu au signal, mais sans 

casser. En effet, le verre s’est mis à vibrer avec intensité sans 

toutefois éclater. Nous croyons que cela est dû au fait que 

notre verre n’avait pas de pied et qu’il était impossible de le 

fixer convenablement. Il dissipait l’énergie par un mouvement 

latéral par rapport à la surface sur laquelle il était 

déposé. Il nous est donc impossible d’affirmer que la 

reproduction du signal sonore permet de casser le verre de 

cristal. Toutefois, les résultats obtenus laissent un doute. Il 

faudrait répéter l’expérience avec un verre à pied. L’histoire 

du verre de cristal brisé par son onde sonore reste donc, pour 

nous, un mystère.


-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 

Fig.2 Pression, en fonction du temps, lors d’une période du 

signal sonore du verre de cristal 

Fig.3 Fonction modélisant le signal sonore (Maple6) 



Arrimage 

secondaire-collégial, 

formalisme et démonstration 

Dans cet article, nous nous proposons de discuter de la préparation, reçue des 

élèves du secondaire, au formalisme et au raisonnement hypothético-déductif, en 

vue de ce qui en est exigé au cégep, entre autres dans les cours mathématiques de 

sigles NYA, NYB et NYC. Pour mieux comprendre et cerner les difficultés vécues au 

passage du secondaire au collégial vis-à-vis les exigences accrues en matière de 

formalisme, nous analysons des productions d'étudiants d'un cours d'algèbre 

linéaire de niveau collégial (MATH-704). Nous comparons ensuite les apprentissages 

du formalisme et de la démonstration mathématique tels que, selon notre 

évaluation, les ancien et nouveau programmes du secondaire les mettent en œuvre. 

Claudia Corriveau 

UQAM 

corriveauc@ 

hotmail.com 

Denis Tanguay 

UQAM 

tanguay.denis 

@uqam.ca 

Remerciements 

Nous tenons à 

remercier les 

enseignants du 

collégial qui ont 

accepté de participer 

à la consultation 

décrite en 

introduction. 

Nous sommes 

également très 

reconnaissants à 

Diane Demers, 

d’abord pour sa 

précieuse 

collaboration, sans 

laquelle le présent 

article n’aurait 

jamais vu le jour, 

ensuite pour ses 

suggestions, qui ont 

contribué à améliorer 

l’article. 

e programme Mathématique 536, en 

vigueur depuis 1998 et qui le restera 

jusqu’à ce que le nouveau programme 

soit implanté en 5e L 

secondaire, a été conçu de 

façon à préparer l’élève à de possibles études 

scientifiques au collégial, et même au-delà. 

Cela signifie entre autres qu’à travers les 

programmes Mathématique 436 et Mathématique 

536, l’élève devrait être initié à un certain 

formalisme, comme le laisse entendre l’extrait 

suivant : 

De plus, [...] démonstrations et preuves devraient 

être constamment présentes, autant en algèbre 

qu’en géométrie. L’élève qui suit ce cours 

poursuivra probablement des études supérieures ; il 

faut donc lui assurer une préparation appropriée 

en relevant graduellement le niveau de traitement 

de la mathématique (MEQ, 1998, p. 16). 

La question se pose donc : comment 

aménager le cours MATH 536 en vue de 

mieux préparer les élèves aux cours de 

mathématiques du Cégep, et notamment aux 

exigences de formalisme accrues dans ces 

cours. C’est en cherchant à répondre à cette 

question que, dans le cadre d’un projet de fin 

de formation au Baccalauréat en enseignement 

secondaire (concentration mathématique) 

mené avec une collègue, l’auteure du présent 

article proposait à une soixantaine de 

professeurs de différents cégeps québécois un 

questionnaire de dix questions, auquel dix 

professeurs ont répondu. Un premier compterendu 

de cette enquête est paru dans 

Corriveau et Parenteau (2005). De ce projet, 

nous présentons ici quelques éléments 

significatifs. La Question 3, par exemple, allait 

comme suit : « Quelles difficultés (mathématiques, 

non organisationnelles) rencontrent les 

étudiants au début de leur apprentissage ? » 

L’extrait suivant est tiré d’une entrevue avec 

un des répondants. 

L’enseignant veut justifier tout ce qu’il fait au 

tableau, mais les étudiants ne comprennent pas 

pourquoi ça doit être fait. Faire une preuve, c’est 

l’enfer ! Il faut arriver rapidement à une finalité en 

disant à quoi ça sert. [...] Ils n’ont pas le sens de 

la preuve : pourquoi raisonner en mathématiques ? 

[...] L’algèbre est un gros obstacle. Par exemple, 

la factorisation, la mise en évidence, le produit de 

racines carrées… 

Cet autre extrait a été donné par écrit : 

L’arrivée au collégial est souvent un choc. Le 

rythme est plus rapide qu’au secondaire, les sujets 

sont fortement dépendants les uns des autres, 



Arrimage secondaire-collégial, formalisme et démonstration Claudia Corriveau et Denis Tanguay 

surtout en calcul. Ce qui constituait un exercice en soi au 

secondaire (une décomposition en facteurs par exemple) devient une 

simple étape dans la résolution d’un problème plus complexe au 

collégial. [...] En algèbre linéaire, à un certain point du cours, le 

niveau d’abstraction augmente brusquement. Il faut avoir du métier 

pour préparer de longue main ces passages difficiles pour les élèves, 

mais même dans ces conditions, l’expérience peut s’avérer difficile et 

frustrante, pour les étudiants et le professeur ! 

À la Question 8, « Avec quels concepts abordés les étudiants 

ont-ils plus de difficulté ? », l’enseignant interviewé 

répondait entre autres : « LA PREUVE. La justification du 

recours aux preuves. La limite (mais ça dépend de 

l’approche qu’on lui donne…). » Parmi les réponses écrites, 

on trouve « L’algèbre et le raisonnement logique » ou encore 

cette autre : « La manipulation de fractions, la manipulation 

et la simplification d’expressions algébriques. Aussi, les 

rudiments de la théorie des ensembles (les diagrammes de 

Venn, les opérations ∩ et ∪ ainsi que le symbolisme ∈, ∉, 

⊆, ⊄, ∅). » Pour finir, nous reproduisons deux extraits de 

réponses écrites à la Question 10 : « Sachant qu’un nouveau 

programme d’études est en rédaction pour le deuxième cycle 

du secondaire, avez-vous des recommandations à faire ? » 

À mon humble avis, le programme actuel est trop diversifié. On 

pourrait par exemple, ne pas aborder les statistiques descriptives en 

536. On a l’impression que le temps accordé à chaque thème est 

insuffisant pour permettre une assimilation plus profonde. On 

aurait intérêt à toucher moins de sujets, moins de notions et se 

consacrer davantage aux habiletés opératoires essentielles. 

... faire l’algèbre correctement et plus de géométrie. 

En résumé, il ressort de l’enquête que les professeurs de 

Cégep évaluent la préparation des élèves du secondaire 

comme déficiente : 

• pour les cours NYA et NYB 1, surtout en ce qui a 

trait aux manipulations algébriques, aux notions de 

composition de fonctions et de fonction réciproque ; 

• pour le cours NYC 2, surtout en ce qui a trait au 

formalisme, aux démonstrations, à la rigueur, aux 

rudiments de la théorie des ensembles et de la 

logique propositionnelle. 

Dans le présent article, nous nous attacherons plus 

particulièrement à la préparation des élèves du secondaire à 

un certain formalisme et à la démonstration. Par conséquent, 

ce sont les cours d’Algèbre linéaire (NYC, 105, 704, …) qui 

retiendront notre attention 3 . Nous présenterons un aperçu 

des travaux des didacticiens, pour en retenir certains 

éléments théoriques sur la base desquels nous analyserons 

quelques productions d’étudiants d’un cours d’Algèbre 

linéaire (MATH-704). Nous chercherons à y évaluer les 

capacités des étudiants, à mieux diagnostiquer leurs 

difficultés, leurs faiblesses, à mieux comprendre et préciser 

ce que les didacticiens désignent par « obstacle du 

formalisme » en algèbre linéaire. Nous comparerons ensuite 

le programme actuel de MATH 536 et le nouveau 

programme du secondaire, afin de déterminer si celui-ci est 

susceptible de mieux préparer les élèves pour affronter ces 

difficultés. 

1. Quelques repères théoriques 

1.1. L’obstacle du formalisme 

Dans la littérature en didactique des mathématiques, on peut 

lire entre autres sur les travaux de recherche de J.-L. Dorier 

menés en France, de G. Harel aux États-Unis et de A. 

Sierpinska au Québec, et qui portent tous trois sur l’algèbre 

linéaire. Ces didacticiens s’entendent sur la nature 

formalisatrice, généralisatrice et unificatrice de plusieurs des 

concepts abordés en algèbre linéaire, ceux-ci commandant 

par conséquent un niveau d’abstraction qui se pose en 

obstacle pour les étudiants. Au collégial, le cours d’Algèbre 

linéaire est le plus abstrait auquel ceux-ci sont confrontés. Ils 

sont amenés à traiter des expressions et symboles nouveaux, 

souvent introduits de manière implicite par l’enseignant. Les 

manipulations sur les nouveaux objets se constituent en de 

nouvelles algèbres (vectorielle et matricielle) plus complexes 

que l'algèbre du secondaire. On remarque cette complexité 

lorsque les étudiants produisent des résultats incohérents ou 

vides de sens. Dorier et al. (1997, p. 116) mentionnent que : 

Pour la majorité des étudiants [de 18 à 20 ans qui en sont à leur 

premier cours d’Algèbre linéaire], l’algèbre linéaire n’est qu’un 

catalogue de notions très abstraites qu’ils n’arrivent pas à se représenter ; 

de plus, ils sont submergés sous une avalanche de mots nouveaux, de 

symboles nouveaux, de définitions nouvelles et de théorèmes nouveaux. 

Pour cette raison, les difficultés des étudiants en algèbre 

linéaire relèvent de ce que Dorier et al. appellent « l’obstacle 

du formalisme ». Sierpinska ajoute : 

L’obstacle du formalisme se manifeste chez les étudiants qui opèrent sur la 

forme des expressions, sans considérer ces expressions comme faisant 

référence à autre chose qu’à elles-mêmes. Un des symptômes en est la 

confusion entre différentes catégories d’objets mathématiques ; par exemple, 

les ensembles sont traités comme des éléments d’ensembles, les 

transformations comme des vecteurs, les relations comme des équations, les 

vecteurs comme des nombres, et ainsi de suite. L’obstacle du formalisme 

fait produire aux étudiants un discours qui a les apparences du discours 

utilisé par l’enseignant ou le manuel. Pour être efficaces en tant 

qu’étudiants, ceux-ci vont souvent développer des automatismes. Un de ces 

automatismes est de construire une matrice et de réduire à chaque fois 

qu’ils le peuvent, quelle que soit la question qui leur est demandée 

(Sierpinska et al., 1999, p. 12 ; trad. Tanguay, 2002, p. 37). 

Dorier a de plus mis en évidence une corrélation 

relativement nette entre les manifestations de l’obstacle du 

formalisme et les lacunes des étudiants en théorie des 

ensembles. 

1.2. Nouvelles pratiques attendues 

Dans un article de 1998, A. Robert cherche à identifier et 

analyser les spécificité et complexité des mathématiques du 

lycée et des premières années d’université (15 à 19 ans). 

Outre les attentes accrues en ce qui a trait au travail 

personnel, à la plus grande autonomie requise de chaque 

élève-étudiant, ce sont surtout les exigences nouvelles en 

matière de démonstration, de formalisation et plus 

généralement, de pratiques mathématiques que l’auteure 

qualifie « d’expertes » qui retiennent son attention et 

incidemment, la nôtre. Elle repère entre autres les éléments 

de complexité que nous énumérons ci-dessous 4. Ses 




exemples sont le plus souvent puisés au domaine de 

l’Analyse. Les nôtres seront choisis en Algèbre linéaire. 

1. Des types de problèmes jamais rencontrés jusqu’alors. 

Par exemple, montrer que le produit de Lie (défini pour 

deux matrices carrées A et B de même format comme la 

matrice AB–BA) n’est pas associatif. 

2. Pluralité d’arguments à faire intervenir concurremment pour un 

problème donné. 

Par exemple, déterminer le volume d’un tétraèdre dont les 

coordonnées des sommets sont connues. On doit alors faire 

le lien entre le tétraèdre et le parallélépipède (de même 

hauteur, dont l’aire de la base est double de celle du 

tétraèdre) engendré par trois vecteurs bien choisis, entre les 

sommets donnés et ces vecteurs, entre le volume de ce 

parallélépipède et le produit mixte des trois vecteurs, ou 

encore le déterminant de la matrice construite sur ces trois 

vecteurs. 

3. Arguments à appliquer à répétition... 

... quand par exemple, pour étudier le signe d’un 

discriminant (variable), il faut utiliser un autre discriminant. 

4. Sélection d’information. Théorème à appliquer « en partie » 

seulement. 

Par exemple, déduire de la valeur du produit vectoriel 

!!!" !!!" 

AB! AC que les points A, B et C ne sont pas alignés. 

5. Changements (à la charge de l’élève-étudiant) de cadre, de registre 

de représentations, de point de vue, d’angle d’attaque. 

Ce sera le cas par exemple quand on demande de déterminer 

la position relative de trois plans dans l’espace, ce qui 

nécessite le passage du cadre de la géométrie vectorielle au 

cadre des systèmes d’équations linéaires. Autre exemple : on 

peut avoir à établir que A, B et C sont alignés en « réinter- 

!!!" !!!" 

prétant » l’énoncé comme C ! AB ou encore, AB et AC 

sont multiples scalaires l’un de l’autre. Etc. 

6. Quantifications implicites à repérer, à prendre en compte... 

... quand par exemple il faut vérifier les conditions de 

fermeture, pour déterminer si tel sous-ensemble constitue 

un sous-espace d’un espace vectoriel donné, et pour 

déterminer sinon quel est le sous-espace engendré par ce 

sous-ensemble. 

À ces éléments, nous ajoutons les difficultés plus 

généralement liées aux structures déductives, de plus en plus 

complexes: arbre plutôt que chaîne d’inférences (cf. par ex. 

Tanguay, 2005), preuves par l’absurde, par contraposition, 

par cas, etc. 

2. Analyses diagnostiques 

2.1. La tâche 

Nous tentons de mieux comprendre les difficultés vécues 

par les étudiants à travers l’analyse de productions 

d’étudiants, recueillies dans le cadre d’un cours de sigle 

MATH-704 5, donné au Collège de Maisonneuve à l’hiver 

2006. Les participants de notre recherche en étaient à leur 

quatrième session au Cégep et avaient complété les cours de 

Calcul différentiel et de Calcul intégral. Le groupe comptait 26 

étudiants. Nous avons pu obtenir les 21 copies remises pour 

le premier devoir, élaboré et soumis par le professeur en 

charge du cours. Nous avons utilisé 11 à 12 des 21 copies 

(selon les questions) pour faire l’analyse, rejetant celles que la 

reproduction avait rendues difficilement lisibles. La première 

question du devoir était la suivante : 

Soit An×n une matrice inversible. En utilisant la définition 

d’une matrice inverse, montrer que 

a) (AT) –1 = (A –1) T 

b) (kA) –1 = (1/k) A –1 

2.2. Analyse a priori 

Compte tenu de la consigne, de ce que nous connaissons des 

notes de cours et des résultats couverts au moment où la 

tâche a été soumise, nous avançons que la démonstration 

attendue pour la Question 1a aurait dû ressembler à la 

démonstration présentée à la Figure 1. 

Démonstration 

Selon les notations établies en cours, (AT) –1 désigne l’inverse 

de la matrice AT. Si nous parvenons à montrer que (A –1) T est 

aussi l’inverse de AT, c’est-à-dire que la multiplication de ces 

deux matrices donne bien l’identité, par unicité de l’inverse 

d’une matrice carrée, nous aurons que (A T) –1 = (A 

Évaluons sommairement la difficulté de la tâche, à partir des 

éléments de complexité décrits à la section 1.2. 

• Il s’agit effectivement d’un type de démonstration assez 

éloigné de ce à quoi les étudiants sont habitués. 

• Il y a bien une pluralité d’arguments à coordonner, mais 

elle est relativement restreinte : définition et unicité de 

l’inverse, propriété de la transposition d’un produit, 

symétrie de l’identité. 

• Il n’y a pas d’arguments à appliquer à répétition, il n’y a 

pas d’information à sélectionner dans les résultats 

invoqués. 

• Il n’y a pas de changement de cadres ou de registres de 

représentation à effectuer dans la mesure où le cadre est 

celui de l’algèbre matricielle et où la consigne impose un 

registre précis, qui est celui de l’énoncé, avec les matrices 

désignées par des majuscules 6 . 

• Il n’y a pas de quantification implicite à repérer (sinon 

que de comprendre que la démonstration doit être 

valable pour toute matrice carrée). La structure déductive 

n’est pas particulièrement complexe. 



–1) T. 

Vérifions : 

(A –1) T AT = (AA –1) T par la propriété de la transposition 

d’un produit, 

= (I) T par définition de l’inverse d’une 

matrice donnée, 

= I car la matrice identité est 

symétrique. 

On vérifie de la même façon que AT (A –1) T = I. 

Donc, (A –1) T est bien l’inverse de AT, ce qui démontre que 

(AT) –1 = (A –1) T. 

Figure 1 La démonstration attendue


De prime abord, on aurait donc tendance à évaluer cette 

tâche comme relativement simple. On peut par ailleurs 

penser qu’à travers cette tâche, le professeur visait un travail 

de mise en fonctionnement des règles et définitions (liées au 

produit, à l’inverse, au neutre, à la transposition, dans le 

cadre de l’algèbre matricielle), comme le suggère d’ailleurs la 

consigne. Donc en ce sens, la tâche ne vise pas 

exclusivement un travail sur la démonstration, qui y 

intervient au moins autant comme outil que comme objet, 

au sens de Douady (1986). 

2.3. Les productions et leur analyse 

Pour préserver l’anonymat des étudiants, nous avons recopié 

leurs productions. Bien entendu, les disposition et graphie 

ont été reproduites telles quelles. 

Analyse de la première production 

La Figure 2 présente la première production. 

Figure 2 La première production 

L’étudiant 7 fait montre ici d’une conception ritualiste de la 

preuve (Harel et Martin, 1989), favorisée par l’enseignement 

au secondaire : 

• On part de la définition (l’étudiant interprète la 

consigne « En utilisant la définition d’une matrice 

inverse, montrer que ... » comme une indication de ce 

avec quoi il doit partir). 

• On manipule. 

• On arrive à l’égalité demandée. 

Ligne 5. Procédé de manipulation (relativement) standard : 

on « ajoute 0 » ou on « multiplie par 1 » pour introduire une 

des expressions auxquelles on veut arriver. Ici, cela devient 

multiplier par I = AT(AT) –1. 

L’étudiant est dans un cadre purement calculatoire, parce 

que c’est le cadre que commande sa démarche de preuve. Il 

applique donc des « règles de calcul »: 

− en perdant de vue que ces règles ne sont pas valables 

dans le présent contexte (que « T » n’est pas un 

exposant) ; qu’elles n’y ont plus de sens. Nous 

faisons face ici à ce que nous appelons le « paradoxe 

de l’apprentissage de l’algèbre » : on introduit une 

nouvelle algèbre (algèbre tout court en 2 e secondaire, 

algèbre vectorielle en 5 e secondaire, algèbre 

matricielle au cégep) comme outil de calcul, « d’automatisation 

», « d’algorithmisation » des démarches, de 

prise en charge du raisonnement par le calcul et ses 

règles. Cela suppose donc qu’on accepte de déléguer 

à cette algèbre et à ses règles une partie du contrôle 

de la validité et du sens 8 . Mais cette abdication 

entraîne à son tour des pertes de contrôle et de sens. 

− en perdant de vue la structure logique de la preuve : 

si cette règle (à savoir qu’on peut intervertir les 

« exposants » T et –1) était vraie, on aurait pu 

conclure la preuve en une ligne; cela revient aussi à 

constater que l’étudiant utilise le résultat à prouver à 

l’intérieur de la démonstration. 

Le cadre calculatoire a certainement provoqué ces pertes de 

sens, de contrôle, mais on peut également sans doute les 

attribuer au « bruit 9 » engendré par les symboles nouveaux, à 

la pression psychologique causée par la vague conscience 

qu’a l’étudiant que « A », « T », « –1 » ne désignent plus des 

objets mathématiques familiers. 

Ligne 7. AA –1 remplacé par I. Il y a ici un manque de 

contrôle de la structure logique : si l’expression AA –1 « revient 

» à I à la ligne 7, à quoi a-t-elle servi aux lignes 3, 4 et 

5 ? 

Ligne 8. Au-delà de la grosse perte de sens (paradoxe de 

l’apprentissage de l’algèbre) qui fait traiter A T comme un 

nombre qu’on envoie « en dessous », du côté droit de 

l’équation (en traitant incidemment la matrice identité 

comme le nombre 1), il y a ici incapacité de l’étudiant à 

décoder ce qu’il y a à montrer du point de vue des 

définitions, et de voir que l’égalité de la ligne 7, 

A T(A –1) T I = I, traduit en fait exactement ce qu’on doit 

démontrer. 

À la lumière de cette analyse et des diagnostics posés, nous 

faisons un premier constat : les difficultés provoquées par 

l’introduction de nouveaux objets et de nouvelles règles de 

manipulation viennent amplifier les difficultés liées au 

contrôle du raisonnement déductif et de sa structure logique; 

à moins que ce ne soit l’inverse ! Pour éviter de débattre ad 

infinitum de la poule et de l’œuf, disons plus simplement (et 

mathématiquement...) que les difficultés ne s’additionnent 

pas, mais se multiplient ! 

Analyse de la deuxième production 

La Figure 3 présente la deuxième production. 

Ici, il semble que l’étudiant comprenne mieux comment faire 

intervenir la définition de la matrice inverse dans la 

démonstration. Il adopte un mode de fonctionnement 

fréquemment utilisé au secondaire : on part de l’égalité à 

montrer, qu’on transforme — soit un côté, soit les deux 

côtés à la fois — jusqu’à arriver à une égalité qu’on sait être 

vraie. Cette conduite dénote un manque de contrôle sur la 

structure logico-déductive de la preuve, puisqu’il n’y a 

visiblement pas vérification par l’étudiant que le passage de 

chaque égalité à la suivante résulte bien d’une équivalence, 

qui seule rendrait valide une telle démarche. Bien entendu, ni 




le signe ⇔, ni le signe ⇒ ne sont utilisés d’une égalité à 

l’autre. 

Ligne 7. L’utilisation de la définition de la matrice inverse 

est valable, et semble-t-il bien contrôlée. Cependant, on ne 

sait trop quel statut donner à l’égalité de la ligne 8. 

Lignes 9 et 10. L’étudiant énonce une implication sans se 

rendre compte que du point de vue de la structure logique, 

c’est en fait la réciproque qui est implicitement utilisée dans 

sa démonstration : pour l’étudiant, les lignes 11 à 15 

montrent que (A –1) T est « aussi » l’inverse de AT. C’est donc 

–1) T=(AT) –1 

bien l’implication (A –1) Test l’inverse de A T ⇒ (A 

qui permet de conclure à l’égalité de la ligne 16. Par ailleurs, 

il est vrai que la proposition sous-jacente est en fait une 

équivalence et que les deux implications sont valables. 

Lignes 11, 12 et 13. Le passage de la ligne 11 à la ligne 12 à 

la ligne 13 est difficile à décoder cognitivement. Nous 

émettons l’hypothèse que ce passage résulterait d’une 

« réinterprétation » abusive de la règle (AB) T = B T A T, 

réinterprétation qui ferait de la règle quelque chose comme 

l’énoncé « pour faire de deux transpositions une seule dans 

un produit, il faut [d’abord] commuter les matrices » ; 

énoncé qui expliquerait alors la ligne 12. 

Figure 3 La deuxième production 

Analyse de la troisième production 

La Figure 4 présente la troisième production. 

Figure 4 La troisième production 

Dans cette production, on retrouve pratiquement toutes les 

erreurs relevées précédemment. Il est difficile de 

comprendre comment s’organise la preuve du point de vue 

du strict déroulement logique. Nous devons spéculer sur ce 

qu’a pu être le raisonnement. Parmi plusieurs possibles, 

l’hypothèse décrite ci-dessous est celle qui suppose à 

l’étudiant la meilleure compréhension. 

L’étudiant veut montrer la Ligne 1, mais va plutôt montrer la 

Ligne 2 — équivalente dans son esprit — obtenue de la 

Ligne 1 en multipliant chaque côté de l’égalité par (A T). 

L’étudiant manipule le côté droit jusqu’à obtenir la matrice 

identité à droite, et l’égalité (A T) –1(A T)= I. Cette dernière 

serait justifiée par ce qui est entouré d’un nuage, et qui 

viendrait de la définition de l’inverse (toujours donnée en 

cours sous la forme AA –1 = A –1A = I, ce qui expliquerait la 

2 e ligne du nuage). Une fois l’égalité (A T) –1(A T)=I justifiée, 

l’égalité à montrer s’en trouve vérifiée (toujours en 

supposant qu’elles sont bien équivalentes ; l’étudiant ne 

précise bien sûr rien de tout cela). Par ailleurs, nous 

n’arrivons pas à comprendre la signification des 3 e et 4 e 

lignes du nuage. 

Pour ce qui est du détail des manipulations Ligne 2 à Ligne 

6, mentionnons que l’étudiant transpose le produit des deux 

matrices sans les commuter (Lignes 3 et 4). On peut penser 

que comme dans la Production 1, l’étudiant traite « T » 

comme un exposant. Il est d’ailleurs très intéressant de 

constater que l’étudiant « sort » d’abord le « T » des 

parenthèses (passage de la Ligne 2 à la Ligne 3), comme 

pour le mettre au même niveau que le « T » qui affecte A –1. 

Comme dans la Production 1, il y a ici perte du sens accordé 

aux manipulations et aux symboles, dont l’accumulation et la 

nouveauté étourdissent visiblement l’étudiant. 

2.4. Bilan des analyses 

Pour faire le bilan de ces analyses, penchons-nous sur les 

pratiques « expertes » (Robert, 1998) qui nous ont permis de 

détecter les failles dans les productions, et qui constituent 

par ailleurs les éléments de compétences que devraient avoir 

les étudiants pour contrôler de telles productions. 

• Contrôle de la structure logique de tous les instants. 

o Repérer dans la 1re copie que le terme A A –1 n’a en 

fait pas servi. 

o Être conscient du danger (équivalences versus 

implications simples) qui guette celui qui démontre 

une égalité qu’on sait être vraie (2e et 3e copies). 

o Repérer dans la 2 e copie que « si (A T) –1 = (A 



–1) T, 

alors (A –1) T est aussi matrice inverse de A T » est la 

réciproque de l’implication utilisée dans la 

démonstration, et ce, bien qu’il y ait équivalence 

sous-jacente. 

• Conscience constante de ce que désignent les symboles 

malgré leur nouveauté, de ce à quoi s’appliquent les 

règles, des règles de calcul valables et de celles non 

valables (comme (AB) T = A T B T). 

• Facilité (compétence) à lire une égalité dans le bon sens. 

Par exemple, la règle (AB) T = B T A T doit en fait être 

appliquée de droite à gauche dans la démonstration. 

• Facilité à reconnaître ou appliquer une définition ou une 

propriété quand il faut y remplacer une variable par une 

expression complexe (par exemple, appliquer 

correctement une règle énoncée avec A, quand A y est 

remplacé par BC ou A –1 ou A T). 

• Maîtriser le nouveau symbolisme, les nouveaux termes, 

particulièrement quand ils rentrent en conflit avec les


anciens. Exemple : ne pas traiter « T » comme un 

exposant. 

• Savoir interpréter, décoder une règle, une définition. Par 

exemple : 

(A T) –1 = (A –1) T à décoder comme « l’inverse de A T 

s’obtient en transposant l’inverse de A ». Ce qu’il faut 

comprendre ici, dans une égalité qui concentre à 

peine une douzaine de symboles, parenthèses 

comprises, c’est que A est une matrice inversible 

dont on connaît (ou dont on pourra éventuellement 

calculer) l’inverse A –1 et qu’alors, l’inverse de A T 

s’obtiendra simplement en transposant A –1. 

Ce dernier point en particulier nous fait mesurer à quel point 

l’évaluation de la tâche comme « relativement simple » a 

priori (cf. § 2.2) est trompeuse. En cours, la propriété 

(AB) T = B T A T avait été énoncée une fois, et illustrée par un 

exemple (avec matrices 2×2). Un exercice des notes de 

cours demande de montrer que (ABC) T = C T B T A T. Dans la 

Question 1a du devoir, neuf copies sur douze n’ont pas 

utilisé la propriété, ou l’ont utilisée incorrectement. Toujours 

pour la Question 1a, on n’arrive pas à décoder l’égalité à 

montrer à l’aide de la définition de la matrice inverse dans 

sept copies sur douze. Six copies sur douze traitent « -1 » 

comme un exposant dans la Question 1b, et passent 

directement de (kA) –1 à k –1A –1 ou encore à (1/k) A –1. Pour 

illustrer davantage le décalage entre les attentes du 

professeur et les capacités des étudiants, mentionnons enfin 

qu’à la Question 2 du devoir, où il fallait montrer que 

(cof(A)) T=cof(A T), cof(A) désignant la matrice des 

cofacteurs de A, une seule copie sur onze a fait intervenir 

l’invariance du déterminant par transposition — l’argument 

central de la démonstration — et encore était-ce de façon 

totalement inadéquate. 

À la lumière de ce qui précède, nous tirons les conclusions 

suivantes : 

➢ Le secondaire prépare mal aux compétences dont il a 

été question ci-dessus, et plus généralement au 

formalisme et à la démonstration. 

➢ Un travail d’analyse d’erreurs, comme nous l’avons fait 

en § 2.3 et § 2.4, permet de mieux mesurer la difficulté 

de ce qui est demandé aux étudiants. Il serait 

souhaitable que les enseignants (du collégial) 

s’attachent avec autant d’application que possible à 

évaluer ces difficultés, les ruptures et sauts cognitifs 

impliqués, au besoin par le biais d’un tel travail 

d’analyse 10. 

➢ Le cas échéant, les enseignants du collégial se seront 

alors donné de meilleurs moyens pour aménager une 

transition moins abrupte vers le formalisme, ce qui 

devrait constituer pour eux une préoccupation 

constante. 

Pour éclairer ce dernier point, nous proposons en annexe un 

réaménagement possible de la tâche proposée en § 2.1. Nous 

avons cherché à prendre en compte les difficultés identifiées 

en § 2.2, § 2.3 et § 2.4 pour guider le choix des questions 

intermédiaires a), b) et c), et pour fixer les valeurs des 

variables didactiques (cf. Artigue, 1998, § B2) : par exemple, des 

entrées fractionnaires et une matrice W de format 4 × 4, afin 

d’inciter à ne pas utiliser l’algorithme de Gauss-Jordan pour 

déterminer W –1 . On notera que le fait qu’une réponse 

correcte à d) constitue également une réponse correcte à c) 

peut être utilisé en classe par l’enseignant comme base de 

discussion, d’ordre méta-mathématique, sur ce qu’est une 

démonstration générale et sur les avantages que cette 

généralité confère au résultat démontré. 

3. La démonstration dans les programmes du 

secondaire 

Tel qu’annoncé dans l’introduction, nous regardons 

maintenant comment le programme actuel prépare l’élève à 

la démonstration, et nous comparons ensuite avec ce que 

propose le nouveau programme à cet égard. 

3.1. Le programme actuel 

Dans les programmes de Math 436 et Math 536, les 

démonstrations sont sollicitées essentiellement en contexte 

géométrique. En quatrième secondaire, les élèves doivent 

démontrer des propositions en utilisant la géométrie 

analytique. Selon le programme, les élèves peuvent 

démontrer des propositions comme : « Les milieux des côtés 

de tout quadrilatère sont les sommets d’un parallélogramme. 

» On demande aussi aux élèves, lorsqu’ils travaillent 

l’isométrie et la similitude des figures, de dégager des 

propriétés et théorèmes, de les démontrer quand c’est 

possible et de les appliquer à la résolution de problèmes. 

En cinquième secondaire, les élèves doivent démontrer 

! ! ! ! 

certaines propriétés des vecteurs (ex : u ! v " u i v = 0 ) 

et des propositions à l’aide des vecteurs (ex. : Les médianes 

d’un triangle se rencontrent aux deux tiers de leur longueur à 

partir du sommet). Les élèves doivent aussi démontrer des 

propositions lorsqu’ils travaillent les relations métriques dans 

le cercle et le triangle rectangle. Dans le programme, on 

suggère à l’enseignant de démontrer les identités fondamentales 

de trigonométrie, afin que les élèves puissent par la 

suite démontrer l’identité d’expressions trigonométriques. 

Dans les deux programmes, 436 et 536, les attentes quant à 

la démonstration sont énoncées clairement, que ce soit à 

travers les objectifs globaux, terminaux ou intermédiaires. 

Pour chaque thème abordé (géométrie analytique, isométrie 

et similitude, vecteurs, etc.), on retrouve en annexe une liste 

de propriétés pouvant faire l’objet de démonstrations. 

3.2. Le nouveau programme 

Le nouveau programme du deuxième cycle (troisième, 

quatrième et cinquième secondaires, toujours en 

préparation) propose un choix de trois profils de formation, 

que les auteurs nomment séquences. La troisième secondaire 

offre une formation générale et, dès la quatrième, les élèves 

choisissent selon leurs intérêts l’une ou l’autre des séquences 

suivantes : 

− La séquence Culture, société et technique, qui vise à 

préparer les élèves à poursuivre leurs études dans le 

domaine des arts, de la communication, des sciences 

humaines et sociales. 




− La séquence Technico-sciences, qui prépare les élèves 

aux domaines techniques tels que l’alimentation, les 

techniques en biologie ou en physique, 

l’administration et la communication graphique, etc. 

− La séquence Sciences-naturelles, qui permet aux élèves 

de poursuivre des études en sciences de la nature. 

On peut donc s’attendre à ce que les étudiants inscrits aux 

cours de mathématiques des filières scientifiques du collégial 

proviennent des séquences Technico-sciences ou Sciencesnaturelles. 

À travers ces trois profils, les élèves doivent développer 

leurs compétences à communiquer à l’aide du langage 

mathématique, à déployer un raisonnement mathématique et à résoudre 

une situation-problème. L’explication générale de la compétence 

déployer un raisonnement mathématique évoque l’importance de 

conjecturer, critiquer et justifier lors d’activités mathématiques. 

Réaliser des preuves est une composante de cette 

compétence et, selon le programme, elle devrait être évaluée 

chez les étudiants. 

3.2.1. La séquence Technico-sciences 

Les processus importants de cette séquence sont la 

modélisation et la prise de décision. On dit dans le 

programme que l’élève devrait alterner entre « preuves 

pragmatiques » et « preuves intellectuelles » ; on peut penser 

que les auteurs du programme désignent par là, comme chez 

Balacheff (1987), les démonstrations plus formelles. Or, à la 

lecture de la description détaillée de cette séquence, la 

démonstration ne nous semble pas y avoir une place si 

importante. Notamment, les élèves sont amenés à faire de la 

géométrie analytique, mais avec une tout autre visée que 

celle de démontrer des résultats géométriques. Ils se 

concentrent davantage sur les concepts de distance entre 

deux points, de droite, de pente... et ils ont principalement 

recours à la géométrie analytique pour modéliser. De plus, 

on demande que l’élève découvre les relations métriques 

dans le triangle rectangle (ou quelconque) à partir de ses 

connaissances du concept de similitude, sans mentionner 

toutefois l’importance de démontrer les conjectures 

trouvées. Dans l’Annexe D du programme (MELS, p. 205), 

on propose une liste d’énoncés qui pourront servir comme 

pistes d’exploration ou comme résultats à utiliser dans les 

preuves en résolution de problèmes. 

3.2.2. La séquence Sciences-naturelles 

Dans cette séquence, on mentionne que le processus de 

modélisation est central et que le niveau de formalisme 

augmente. En algèbre, on demande à l’élève de démontrer 

des identités algébriques. En géométrie, les élèves travaillent 

les figures isométriques et semblables, les figures et solides 

équivalents, les relations métriques dans le triangle rectangle, 

les rapports trigonométriques, les coniques et finalement les 

vecteurs. Contrairement au programme actuel, il n’y a pas 

dans le nouveau programme l’exigence explicite de 

démontrer les propriétés des vecteurs, ni de démontrer des 

propositions géométriques à l’aide des vecteurs. Seules les 

opérations addition, soustraction et multiplication par un 

scalaire sont à l’étude. 

La deuxième année du cycle (secondaire 4) apparaît comme 

celle où la démonstration devrait être davantage sollicitée. 

L’étude des figures semblables et isométriques, des rapports 

trigonométriques et des relations métriques dans le triangle 

rectangle gagnerait, selon le programme, à être faite par la 

découverte. Conjecturer est un processus dominant. On 

mentionne que l’élève pourra utiliser les conjectures (qu’il 

aura énoncées et validées empiriquement) à titre de 

justification en résolution de problèmes. Là non plus, on ne 

signale pas l’importance de démontrer les résultats 

découverts. Cependant, on note que certaines propriétés 

seront déduites « ... à l’aide d’un raisonnement organisé à 

partir de définitions ou de propriétés déjà établies tout en 

introduisant la rigueur souhaitée » (MELS, p. 192). Comme 

pour la séquence Technico-sciences, la section se termine 

avec une annexe constituée d’une liste d’énoncés, mais rien 

n’est dit sur ce qui doit en être fait. 

3.3. Comparaison des deux programmes et 

conclusion 

Dans le nouveau programme, l’accent est surtout mis sur les 

processus généraux que les enseignants doivent mettre de 

l’avant en classe. Par exemple, on insiste sur le fait que les 

élèves doivent conjecturer, mais on ne sait pas à quels 

concepts ou contenus donner priorité. Ainsi, pour un 

concept ou un résultat donné, certains enseignants pourront 

demander aux élèves d’émettre des conjectures pour ensuite 

en travailler avec eux les démonstrations. Mais un autre 

enseignant pourrait se contenter de faire découvrir ce même 

concept ou résultat par des processus d’exploration et 

d’induction, et en négliger tous les aspects déductifs. Le seul 

extrait du nouveau programme qui fait le lien entre 

conjectures et preuves se trouve dans la description générale 

du « sens de la compétence Déployer un raisonnement 

mathématique » : 

La rédaction de la preuve est donc l’étape ultime du processus de validation 

d’une conjecture. Celle-ci peut être qualifiée d’explication ou de 

démonstration selon le raisonnement choisi par l’élève et elle s’exprime en 

faisant appel au langage propre à la discipline (MELS, p. 119). 

Le programme actuel est plus précis sur les objectifs à 

atteindre. Si l’enseignant décidait de ne pas travailler la 

démonstration en géométrie analytique, par exemple, alors il 

ne répondrait pas aux exigences du programme. 

Il nous semble clair que le nouveau programme laisse plus 

de latitude aux enseignants pour ce qui est du traitement des 

contenus, ce qui pourra stimuler l’enseignant consciencieux 

et donner lieu à un enseignement riche et dynamique. Mais à 

l’inverse, un enseignant moins impliqué pourrait avoir 

tendance à évincer les contenus auxquels l’élève n’a pas 

accès par l’exploration, ou encore à ne demander 

systématiquement que des conjectures et des validations 

empiriques ou informelles, sans jamais solliciter le 

raisonnement déductif. Si l’on s’en tient à ce qui est 

explicitement prescrit dans le nouveau programme, on peut 

donc difficilement dire que les élèves seront mieux préparés 




au raisonnement déductif. Quant au formalisme, les 

directives du nouveau programme sont au moins aussi 

vagues que dans le programme actuel, et ne vont pas au-delà 

des « vœux pieux », comme « s’assurer du respect des règles 

et des conventions propres au langage mathématique » 

(MELS, p. 129), ou encore : 

Mentionnons aussi la compréhension des rôles des quantificateurs […] et 

des opérateurs logiques […]. Étant donné que plusieurs définitions de 

termes et de symboles se précisent à mesure que progressent les 

apprentissages, il importe de leur accorder une attention particulière afin de 

s’assurer que l’élève en comprenne le sens, en perçoive l’utilité et ressente le 

besoin d’y recourir (MELS, p. 126). 

Nous évaluons que les enseignants du Cégep devraient 

s’attendre, après la réforme, à avoir des groupes plus 

hétérogènes, à ce que leurs étudiants soient outillés de façon 

très variable, tant au niveau des contenus que du degré de 

formalisme avec lequel auront été abordés ces contenus. De 

plus, si les élèves provenant de la séquence Technico-sciences 

peuvent être admis en sciences pures au Collégial, nous 

croyons qu’il pourrait y avoir une différence marquée quant 

à leur compétence à démontrer et à déduire, par rapport aux 

étudiants provenant de la séquence Sciences-naturelles. 

En conclusion, pour minimiser les impacts de la transition 

secondaire-collégial du point de vue du formalisme et de la 

démonstration, il reste donc à espérer que : 

• les enseignants comprendront l’importance de 

démontrer les conjectures, d’y mettre en œuvre de 

véritables raisonnements déductifs 11 ; 

• que les rédacteurs et éditeurs des manuels à venir ou 

déjà en chantier soient eux aussi sensibles à la 

préparation au formalisme et à la démonstration ; 

• que la mise en place d’un quatrième cours de mathématiques 

préparatoire aux trois cours standards, et 

plus axé sur le raisonnement hypothético-déductif 

que sur les applications, comme celui qu’offre le 

Cégep Ahuntsic par exemple, soit généralisée à tous 

les cégeps. 

Comme il est ressorti dans le Thème 6 — Transition 

secondaire/postsecondaire et enseignement des mathématiques 

dans le postsecondaire — du Colloque Espace 

Mathématique Francophone, EMF-2006 12 , il serait alors 

important que, dans un tel cours, « … les connaissances 

logico-déductives [soient] mises en œuvre en articulation 

avec la construction des concepts mathématiques sur 

lesquels elles permettent d’opérer » (Bloch et al., 2006, 

caractères gras dans le texte). 

ANNEXE 

Un réaménagement possible de la Question 1a du 

devoir 

On suppose que la propriété 

(A T) –1=(A –1) T aura été vue en cours, et illustrée à travers 

quelques exemples et exercices. 

Question 1. La propriété 

(AT) –1 = (A –1) T. 

a) Considérez la matrice L donnée par 

" 1 0 ! 5 3 # 

$ 

2 ! 1 4 ! 1 

% 

L = $ % . 

$ 3 2 3 0 % 

$ % 

&4 ! 3 ! 2 1 ' 

Montrez que la matrice M, donnée ci-dessous, est l’inverse 

de L ; 

" ! 4 ! 25 11 1 # 

$ 23 92 46 4 % 

$ ! 3 ! 9 7 0 % 

23 23 23 

M = $ % . 

$ 6 49 ! 5 ! 1% 

$ 23 92 46 4 % 

$ 19 45 ! 6 ! 1% 

$ & 23 46 23 2 % ' 

b) Déterminez l’inverse de la matrice W, donnée par : 

" ! 4 

$ 23 

$ ! 25 

92 

W = $ 

$ 11 

$ 46 

$ 1 

$ & 4 

! 3 

23 

! 9 

23 

7 

23 

0 

6 

23 

49 

92 

! 5 

46 

! 1 

4 

19 # 

23 % 

45 % 

46 % . 

! 6 % 

23 % 

! 1% 

2 % ' 

c) Démontrez la propriété 

(A T ) –1 = (A –1) T, pour toute matrice A3×3 inversible. 

d) Démontrez la propriété 

(A T) –1 = (A –1) T, pour toute matrice An×n inversible, 

n ∈ N*. 

Indice : utilisez la définition et l’unicité de l’inverse d’une 

matrice carrée donnée. 




Bibliographie 

Artigue, M. (1988). Ingénierie didactique. Recherches en 

didactique des mathématiques, Vol. 9, n°3 pp. 281-308. 

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Thème 6. À paraître dans les Actes du Colloque EMF 

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éditions Le Griffon d’argile, Sainte-Foy, Québec. 

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graphes orientés. Annales de didactique et de sciences 

cognitives, n°10, pp. 55-93. IREM de Strasbourg. 

Tanguay, D. (2003). Un enseignement de la preuve au 

collégial. Actes du 45e Congrès de l’AMQ, publiés sous la 

dir. d’André Ross, pp. 82-103. Les éditions Le Griffon 

d’argile. Sainte-Foy, Québec. 

Tanguay, D. (2002). L’enseignement des vecteurs. Bulletin 

AMQ, Vol. XLII, n°4 (décembre 2002), pp. 36-47. 

1 Respectivement cours de Calcul différentiel et cours de Calcul 

intégral en Sciences de la nature. 

2 Cours d’Algèbre linéaire en Sciences de la nature. 

3 Pour une évaluation sommaire des contenus des cours de niveau 

collégial en Sciences de la nature, sous l’angle de ce qui est susceptible 

d’y être mis en œuvre en démonstration, le lecteur pourra consulter 

Tanguay (2003), § 3. 

4 Bien qu’identifiés par A. Robert dans le cadre des démonstrations 

exigées des élèves-étudiants, ces éléments contribuent également à 

augmenter les difficultés en résolution de problèmes. 

5 Cours d’Algèbre linéaire et géométrie vectorielle du programme DEC 

intégré. Celui-ci offre une formation en sciences, lettres et arts 

permettant aux étudiants de poursuivre leurs études dans presque 

n’importe quel domaine à l’université. Les étudiants qui le suivent 

sont en principe académiquement forts, puisque le programme 

accepte un nombre limité de candidats. Le cours d’Algèbre linéaire et 

géométrie vectorielle est sensiblement le même que celui offert dans le 

programme de Sciences de la nature, mais se donne en 60 heures 

plutôt qu’en 75 heures. 

6 Utiliser un autre registre de représentation sémiotique (cf. Duval, 1993) 

consisterait par exemple à désigner les matrices par des tableaux 

avec entrées doublement indicées (a11, a12, a1n, aij, ann, etc.), dont les 

positions dans le tableau sont suggérées à l’aide de points de 

suspension. Mais la consigne « en utilisant la définition... » rend 

inopérant le travail dans un tel registre. 

7 Nous utilisons systématiquement le masculin mais il peut s’agir en 

fait d’une étudiante. 

8 Dorier écrit : « Il faut pouvoir travailler sur des équations en 

oubliant momentanément ce qu’elles représentent mais en sachant 

y revenir quand besoin est […] » (Dorier et al., 1997, p. 106). 

9 « bruit » à prendre ici au sens des interférences qui brouillent un 

message radio. 

10 … mais nous sommes bien sûr conscients que l’investissement 

requis en temps n’est pas disponible pour chacun ! 

11 Les prescriptions du nouveau programme auront alors l’avantage 

de faire plus souvent porter les démonstrations sur des résultats 

moins accessibles à l’intuition, pas d’emblée acceptés comme vrais 

par l’élève, où se pose un véritable « enjeu de vérité » (Grenier et 

Payan, 1998). 

12 Colloque tenu conjointement avec les congrès de l’AMQ et du 

GRMS, à l’Université de Sherbrooke en mai-juin 2006. 





Comment compter les trous 

dans une meule de fromage suisse, 

ou l'homologie pour les gourmands 

Nous présentons une approche gourmande de l'homologie, motivée dès le départ 

par des problèmes concrets que l'on se propose de résoudre par la suite grâce à cet 

outil mathématique puissant qu'est l'homologie, assisté par des programmes 

informatiques, facilement manipulables par l'utilisateur non informaticien, voire 

non-mathématicien. 

Sara Derivière, 

Anik Trahan et 

Tomasz Kaczynski 


Sherbrooke 

sara.deriviere@ 

Usherbrooke.ca 

anik.trahan @ 

Usherbrooke.ca 

tomasz.kaczynski 

@Usherbrooke.ca 

'homologie est une spécialité de la 

topologie algébrique. La topologie est la 

science qui étudie les propriétés 

géométriques invariantes d'un objet quand 

celui-ci est étiré, tordu ou rétréci de manière 

continue. L'algèbre étudie les propriétés des 

ensembles munis d'une structure algébrique 

(groupes, anneaux, lois de composition, ...). 

Ainsi, la topologie algébrique est une branche 

des mathématiques où l'algèbre générale est 

utilisée dans l'étude des espaces topologiques1 

L 

. Cet article est plutôt basé sur une sousbranche 

de la topologie algébrique : la topologie 

computationnelle. Celle-ci se concentre sur 

les applications informatiques et algorithmiques. 

Tout ceci est très impressionnant, mais 

pourquoi s'intéresser à une chose apparemment 

si barbare ? C'est ce à quoi se propose de 

répondre la Section 1. Une fois que vous aurez 

compris tout le génie de l'homologie et ce qu'il 

vous permettra de faire, vous aurez hâte d'en 

apprendre davantage, d'où le besoin de définir 

certains objets dans la Section 2, objets que 

1 Une définition plus rigoureuse de la topologie 

algébrique ainsi qu'une présentation des recherches 

possibles dans ce vaste domaine se trouvent sur la 

page web du GRTC : http ://www.dmi.usherb.ca/ 

kaczyn/grtc/index.html 

nous manipulerons dans la Section 3. Tout 

ceci nous permettra de définir, plus ou moins 

rigoureusement, l'homologie des ensembles 

dans la Section 4. Finalement, dans la Section 

5, vous serez en mesure de compter le nombre 

de trous dans une meule de fromage suisse, de 

calculer le nombre de cratères sur la lune, de 

prédire si tel ou tel labyrinthe est réalisable, et 

bien plus encore ... Vous pourrez ainsi 

impressionner petits et grands lors de votre 

prochain souper familial ! 

1 L'homologie, pour quoi faire ? 

Ainsi donc, les calculs d'homologie seraient 

utiles ? Oui, nous l'affirmons ! Voici quelques 

exemples concrets. Imaginons un instant que 

vous vouliez résoudre un labyrinthe. Vous 

pourriez vous demander, avant de commencer 

à vous atteler à cette tâche, si le labyrinthe en 

question admet bien une solution. Par 

exemple, sur la Figure 1, existe-t-il un chemin 

permettant de joindre le côté inférieur gauche 

au côté supérieur droit ? 

Imaginons à présent qu'un inconnu frappe à 

votre porte, un soir d'hiver enneigé, vous 

montre la photo de la Figure 2 et vous promet 

un voyage à Miami Beach si vous lui donnez le 

nombre exact de cratères. (Presque) rien n'est 

impossible... 



Comment compter les trous dans une meule de fromage suisse, ou l'homologie pour les gourmands S. Derivière, A. Trahan et T. Kaczynski 

Fig. 1 - La souris ne pourra-t-elle jamais atteindre le morceau 

de fromage ? 

Fig. 2 - Combien de cratères sont visibles sur cette partie de 

la lune ? 

Et si vous étiez un riche industriel, fabriquant des pièces 

électroniques (voir Figure 3), vous aimeriez donner à vos 

distributeurs l'assurance de la qualité de vos pièces. 

Fig. 3a - Tous les circuits imprimés ont-ils 

été reproduits conformément à l'original? 

Manque-t-il des connections ? 

Figure 3b - Les questions posées à la figure 

3a peuvent être traitées par des calculs 

d’homologie (comme nous allons le voir) en 

passant simplement par la représentation en 

noir et blanc! 

Et bien sûr, une question primordiale lors d'un bon repas : 

quel morceau de fromage choisir ? Lequel a le moins de 

trous, et donc le plus de succulente saveur à dévorer ? Vous 

pourrez répondre à toutes ces questions grâce aux simples 

calculs d'homologie. Incroyable, mais vrai ! 

2 Approche cubique 

L'homologie se propose d'attribuer, à tout objet géométrique, 

une suite de groupes abéliens 2 dont les dimensions vont 

répondre à nos questions ! Par exemple, si l'on note par X 

notre objet d'étude et H 0(X), H 1(X), H 2(X), ... la suite de 

groupes abéliens calculée, les dimensions de H 0(X), H 1(X) et 

H 2(X) déterminent respectivement le nombre de composantes 

connexes, le nombre de boucles et le nombre de 

chambres vides (de cavités) dans X (voir Figure 4). 

Objet géométrique groupes abéliens 

X → H*(X) = {Hk(X)} 

dim H0(X) = # composantes connexes de X 

dim H1(X) = # boucles de X 

dim H2(X) = # chambres vides dans X 

Fig. 4 -Récapitulatif 

Pour calculer ces groupes abéliens, nous devons considérer 

des images ou des données représentées par des ensembles 

cubiques dont voici la définition (voir par exemple [4] et [2] 

pour plus de détail). 

Définition 1 Un ensemble cubique est une union finie de 

produits d'intervalles. Dans notre cas, nous considérons 

uniquement des intervalles de longueur un : 

! [a , a + 1] ! [a , a + 1] ! · · · ! [a , a + 1] , a " Z. 

1 1 2 2 n n i 



finie 

2 Un groupe abélien est une structure algébrique dont les éléments 

peuvent être additionnés, soustraits, multipliés par des scalaires 

entiers, mais la division par des scalaires n'est pas permise.


Dans ce cas, un intervalle simple est un segment (de longueur 

un), le produit de deux intervalles un carré, de trois 

intervalles un cube, ... 

3. Motivation pour l'approche cubique 

Mais pourquoi utiliser cette approche cubique ? Il existe 

différents cadres mathématiques permettant de définir et 

calculer l'homologie des ensembles. Les plus utilisés sont 

l'approche cubique (que nous privilégions ici) et l'approche 

simpliciale. Voici les deux principales raisons de ce choix : 

Raison mathématique Le produit cartésien de deux 

simplexes (éléments de base de l'homologie simpliciale) n'est 

pas nécessairement un simplexe, alors que le produit de 

cubes est toujours un cube : 

simplex × simplex ≠ simplex 

cube × cube = cube 

Raison informatique Comme nous l'avons laissé entendre 

précédemment, nous allons utiliser l'ordinateur et des 

programmes informatiques pour calculer efficacement les 

homologies. Et comme chacun sait, une image sur un écran 

est en fait une collection de pixels, donc de petits carrés : 

c'est un ensemble cubique ! 

! 

X = n-pixels 

finie 

Les programmes que nous utiliserons par la suite 

s'appliqueront en général sur des fichiers dits cubiques et 

portant l'extension .cub. 

3 Programmation 

Nous présentons dans cette section le programme et les 

commandes dont nous avons besoin pour transformer un 

fichier image .bmp en fichier cubique .cub : 

fichier image →fichier .cub 

Les programmes que nous utiliserons dans toute la suite 

proviennent d'une bibliothèque de programmes librement 

accessible sur le net appelée CHomP 3. 

Le programme qui permet d'obtenir un fichier cubique à 

partir d'un fichier .bmp est bmp2pset. Chaque commande est 

définie lorsque l'on tape uniquement son nom. Par exemple, 

le mode d'emploi de cette commande retourné par le 

programme est montré à la Figure 5. 

Fig. 5 - Le mode d'emploi de chacune des commandes 

est très utile. 

Ainsi, le fichier cubique du labyrinthe de la Figure 1, obtenu 

suite à l'appel : 

bmp2pset maze.bmp maze.cub, 

est affiché à la Figure 6. 

Fig. 6 - Le début du fichier cubique correspondant au 

labyrinthe de la Figure 1. 

4 Définition de l'homologie 

Cette section, la plus mathématique, permet enfin de définir 

exactement l'homologie (voir [1] pour une approche plus 

rigoureuse des complexes cubiques). 

4.1 Complexe cubique 

Définition 2 Un cube élémentaire Q est un produit cartésien 

d'intervalles de longueur un ou dégénérés (réduit à un point) : 

Q = I 1 × I 2 × · · · × I n ⊂ R n , 

I j = [a, a + 1] ou I j = [a] := [a, a], a ∈ Z 

Les cubes pleins sont des produits cartésiens d'intervalles 

élémentaires non dégénérés : I j = [a, a + 1] ∀j . 

Remarque 3 Les pixels sont des cubes pleins de dimension 

2. 

Définition 4 Un ensemble cubique X est une union finie de 

cubes élémentaires, 

X := {cubes élémentaires} . 

Actes du 49e congrès de l’Association mathématique du Québec 129 31 mai et 1er 3 Page web de Computational Homology Project : http 

Exemple 5 Considérons le carré Q (qui est par définition un 

cube élémentaire) de la Figure 7. Intuitivement le bord de ce 

cube est la somme de chacun de ces quatre côtés. Il faut 

toutefois prendre garde au sens des vecteurs. Selon 

://www.math.gatech.edu/ chomp/ 

l'orientation classique de la base et si l'on parcourt le bord 


juin 2006 

! 

finie 

On note C k(X) le groupe abélien libre engendré par l'ensemble 

K k(X) de k-cubes dans X. C k(X) est appelé le groupe des kchaînes, 

ces éléments sont de la forme : 

c =∑α iQ i 

4.2 Opérateur de la frontière cubique - idée 

Nous définissons à présent un opérateur (appelé opérateur de la 

frontière ou opérateur de bord) entre deux groupes de chaînes de 

dimensions consécutives. Pour développer l'intuition de cet 

opérateur, regardons l'exemple suivant.


du carré dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, A 2 

et B 1 sont parcourus positivement tandis que B 2 et A 1 sont 

parcourus négativement. Ainsi l'opérateur de bord appliqué 

à Q, noté ∂Q est : 

∂Q = A 2 + B 1 - B 2 - A 1 

Définition 6 Frontière et homologie cubique 

De manière générale et non rigoureuse, la frontière d'un cube 

de dimension k est la somme alternée 4 de tous les cubes de 

dimension k - 1, c'est à dire de toutes les faces qui le 

composent : 

∂Q =∑± (k - 1)-faces de Q. 

De plus, on peut vérifier que la composition de deux 

opérateurs de frontière correspond à l'opérateur nul : 

∂ ° ∂ = 0. 

Définition 7 Un complexe cubique C(X) est la donnée de 

groupes de chaînes de toutes les dimensions et des 

opérateurs de bords entre chaque groupe de chaînes 

consécutif : 

C(X) := {C k(X), ∂k} 

Fig. 7 - 

Étant donné un complexe cubique C(X), on peut définir 

l'homologie de X de dimension k, pour tout k ≥ 0. Pour cela, 

on utilise la notion de cycles et bords. 

Définition 8 Pour tout k > 0, on note ∂k l'opérateur de 

frontière entre C k(X) et C k-1(X). On note respectivement 

Z k(X) et B k(X) le noyau de ∂ k et l'image de ∂ k+1. Une k-chaîne 

de C k(X) est appelée un k-cycle si son bord est nul, c'est-à-dire 

si ∂ kz = 0. Ainsi, par définition, l'ensemble de tous les 

k - cycles est exactement Z k(X). 

Une k-chaîne z de C k(X) est appelée un k-bord s'il existe une 

(k + 1)-chaîne c telle que ∂ k+1c = z . L'ensemble de tous les kbords 

est noté B k(X). Puisque ∂ 2 = 0, alors B k(X) est un sousgroupe 

de Z k(X). 

Deux cycles c 1 et c 2 de Z k(X) sont homologues si c 2 - c 1 est un 

bord. Il s'agit d'une relation d'équivalence. Finalement, le k ième 

groupe d'homologie de X est le groupe quotient 

4 La règle d'alternance du signe est trop technique pour cette 

H (X ) := k Z (X ) k cycles 

= 

B (X ) bords k . 

Intuitivement, l'homologie détecte les cycles qui ne sont pas 

triviaux, dans le sens qu'ils ne sont pas des bords de chaînes 

de dimensions plus élevées. 

Pour plus de détails sur l'homologie, consultez par exemple 

le livre [3]. 

5 Exemples de calcul d'homologie 

Nous avons vu dans la Section 4 comment créer un fichier 

cubique avec l'extension .cub à partir d'un fichier image 

.bmp. À présent, nous transformons le fichier cubique en 

complexe de chaîne grâce à la commande cubchain sur lequel 

nous pourrons calculer l'homologie. La commande exacte est 

la suivante : 

cubchain maze.cub maze.chn 

Ensuite, on calcule l'homologie par l'appel de la fonction 

homchain : 

homchain maze.chn 

Cependant, le programme possède une seconde commande 

permettant de calculer l'homologie directement sur le fichier 

cubique : homcubes. Dans certains cas, cette dernière est plus 

avantageuse, car beaucoup plus rapide. À l'appel de ces deux 

commandes, le programme nous retourne toutes les valeurs 

de H k(X), dans l'ordre, jusqu'à la dernière non nulle, ainsi que 

le temps qui a été nécessaire au calcul. Par exemple, la Figure 

8 montre les deux résultats obtenus suite à l'appel de ces 

deux fonctions sur une image représentant le chiffre huit. 

Fig. 8 - Résultat obtenu suite à l'appel des deux 

fonctions homchain et homcubes. 

Le résultat obtenu est sans surprise. En effet, le chiffre 8 est 

formé d'une seule composante connexe et de deux boucles, 

la dimension de H 0 doit donc être 1, celle de H 1 égale à 2 et 

toutes les homologies de dimensions supérieures doivent être 

nulles, ce qui correspond exactement aux résultats retournés. 

Cependant, homcubes a effectué le calcul en 0,31 secondes 

alors qu'il a fallu plus de 4 secondes pour obtenir le même 

résultat avec homchain ! 

Actes du 49e congrès de l’Association mathématique du Québec 130 31 mai et 1er présentation, nous référons à [4], chap. 2 pour la formule exacte. 


juin 2006


Nous voulons à présent calculer le nombre de trous dans la 

meule de fromage de la Figure 9 appelée slicing.cub .Cette 

image a été obtenue à partir du fichier cubique par l'appel de 

la fonction showcubes : 

showcubes slicing.cub 

Fig. 9 - Combien de trous dans ce fromage ? 

Nous calculons donc l'homologie de ce fromage grâce à 

l'appel : 

homcubes slicing.cub 

dont le résultat est montré à la Figure 10. 

Fig. 10 - Homologie du fromage 

D'après ce calcul, on conclut que ce morceau de fromage (un 

seul morceau parce que H 0(X) = Z dont la dimension est 1) a 

exactement 6 cycles (H 1(X) = Z 6 ) et 3 cavités à l'intérieur 

même du fromage, donc invisibles sans trancher le fromage 

(H 2(X) = Z 3 ). On peut ensuite vérifier ces résultats en 

découpant le fromage en tranches par la commande 

suivante : 

cubslice slicing.cub tranche 

puis en regardant tranche par tranche ce que l'on obtient. Par 

exemple, la première tranche de ce morceau est montrée à la 

Figure 11 grâce à la commande : 

showcubes tranche1.cub 

Fig. 11 - La première tranche du fromage. On ne 

pouvait pas voir ces trous, invisibles de l'extérieur 

mais détectés par le programme showcubes ! 

6 Conclusion 

Ainsi, les mathématiques et l'homologie nous ont permis de 

résoudre rapidement des problèmes divers et variés. Chacun 

de vous est maintenant en mesure de calculer sans erreur le 

nombre de trous dans une meule de fromage suisse, et ça, qui 

l'eut crû... 

Nous vous invitons à présent à venir vous amuser avec la 

bibliothèque de programmes CHomP pour apporter une 

réponse à vos nombreuses questions existentielles ! 

Références 

[1] J. Blass, H. Wolsztynski : Cubical Polyhedra and 

homotopy. 

[2] R. Ehrenborg, G. Hetyei : Generalization of Baxter's 

Theorem and cubical homology. J. Combinatorial Theory, 

Series A 69, 233-287, 1995. 

[3] P.J. Hilton, S. Wylie : Homology Theory. Cambridge. 

University Press, Cambridge, 1960. 

[4] T. Kaczynski, K. Mischaikow, M. Mrozek : 

Computational Homology. Appl. Math. Sci. Series 157, 

Springer-Verlag, New York 2004. 





Sur le concept 

d’indépendance linéaire 

Dans les cours classiques d'algèbre linéaire au niveau collégial/universitaire, 

l'indépendance linéaire ne prend que quelques lignes et donne lieu à des types de 

tâches bien référenciées que les étudiants finissent par savoir faire. Cependant, dès 

qu'on sort de ces tâches routinières, de graves lacunes peuvent être mises en 

évidence. Partant de ce constat, nous proposons un éclairage historique de cette 

notion et, à l'appui d'une lecture épistémologique, un dispositif didactique prenant 

mieux en compte la dualité intuition/formalisme dans l'enseignement de cette 

notion. 

Jean-Luc Dorier 

IUFM de Lyon 

et Équipe DDM, 

laboratoire Leibniz 

Grenoble, France 

Jean-Luc.Dorier@ 

pse.unige.ch 

L 

es difficultés des étudiants en algèbre 

linéaire sont connues depuis longtemps 

(cf. (Robert et Robinet 1989) et 

(Rogalski 1990)). Depuis près de trente ans, 

des programmes de recherche sur 

l'enseignement de l'algèbre linéaire ont vu le 

jour un peu partout dans le monde et l'intérêt 

pour ce domaine semble s'être rapidement 

accru. Ainsi, on dispose aujourd'hui de 

plusieurs travaux qui, grâce à des échanges 

internationaux, permettent d'avoir une vue 

d'ensemble assez unifiée des différents 

problèmes et de problématiques de recherche 

diverses et complémentaires qui débouchent 

sur des résultats encore partiels, mais 

encourageants (pour une synthèse déjà 

ancienne, voir Dorier 1997a ou Dorier 2000). 

Notre but n’est pas ici de rendre compte des 

tous ces travaux. Nous désirons nous focaliser 

sur un concept bien précis, qui peut sembler 

assez insignifiant, celui d’indépendance 

linéaire. 

1. L’obstacle du formalisme 

Il existe une difficulté particulièrement forte 

des étudiants à faire fonctionner les concepts 

d'algèbre linéaire dans des cadres formels en 

dehors de tâches routinières où une technique 

précise peut être mise en place. Ce constat est 

somme toute assez banal, d'ailleurs la plupart 

des enseignants le font depuis longtemps (et 

pas seulement en algèbre linéaire) et même les 

étudiants en ont conscience. Mais nos analyses 

ont permis de préciser la nature de ce que 

nous avons appelé (dans un sens naïf) 

l'obstacle du formalisme. Elles montrent 

que, plus que tout autre contenu enseigné au 

même niveau, la théorie des espaces vectoriels 

apparaît comme un domaine abstrait et formel 

aux étudiants qui se sentent noyés par les 

nouvelles définitions et ont du mal à faire le 

lien avec ce qu'ils ont précédemment appris. 

Dans un contexte où l'espace vectoriel n'est 

pas spécifié (« soit E un espace de dimension 

n… »), certaines tâches, même en fin 

d'enseignement, donnent lieu à des réponses 

qui semblent dénoter un manque total de 



Sur le concept d’indépendance linéaire Jean-Luc Dorier 

maîtrise des outils de logique et de langage ensembliste et se 

traduisent par des dérapages face auxquels les enseignants se 

sentent désarmés. 

Face à ce constat, les enseignants se plaignent du manque de 

formation antérieure en logique et langage ensembliste et en 

géométrie. Nous verrons dans ce texte que la première piste 

est moins évidente qu’elle en a l’air. Pour la deuxième, nous 

renvoyons au travail de thèse de Gueudet (2000). 

Pour ce qui concerne la notion d’indépendance linéaire, on 

peut arriver à ce que des étudiants bien entraînés réussissent 

tout à fait correctement à déterminer si une famille de 

vecteurs est libre ou liée. Selon les exigences, ceci peut être 

fait avec des n-uplets (de taille plus ou moins grande), mais 

aussi moyennant un enseignement de techniques ad hoc, 

pour des familles de fonctions, de suites ou de polynômes. 

Cependant, on a montré que, sur des tâches plus formelles 

relevant de la notion d’indépendance linéaire, les mêmes 

étudiants pouvaient être mis en difficulté. 

Examinons par exemple l'exercice suivant : 

Soit u, v et w trois vecteurs de l'espace et f un endomorphisme. 

1) Si u, v et w sont indépendants, est-ce que f(u), f(v) et f(w) le 

sont ? 

2) Si f(u), f(v) et f(w) sont indépendants, est-ce que u, v et w le 

sont ? 

Une proportion écrasante d'étudiants se trompent et 

affirment que la première proposition est vraie, alors que la 

seconde est fausse. Le raisonnement le plus fréquent 

revient, à quelques variantes près, à ceci : 

Si αu + βv + γw = 0, alors comme f est une application linéaire : 

αf(u) + βf(v) + γf(w) = f(0) = 0. Or, comme u, v et w sont 

indépendants, alors α = β = γ = 0; donc f(u), f(v) et f(w) sont 

indépendants, donc la proposition est vraie. 

Une première analyse de ce type de réponse semble révéler 

une difficulté dans l'utilisation de l'implication 

mathématique. Dans cet exemple, en effet, l'implication 

apparaît à deux niveaux, dans l'énoncé de la proposition à 

démontrer, mais aussi dans la définition de l'indépendance 

linéaire qui est au cœur de l'hypothèse et de la conclusion de 

la proposition. Plus précisément, la proposition à démontrer 

suit un schéma du type suivant : 

si (P implique Q) est vraie alors (P' implique Q') est vraie. 

De fait, la proposition est une implication dont l'antécédent 

et la conclusion sont des implications. Pour démontrer ce 

type de proposition, il faut partir de P' et en déduire Q', en 

utilisant que (P implique Q) est vraie. Or ici Q = Q' et les 

étudiants partent de P dont ils déduisent P', puis comme (P 

implique Q) est vraie en déduisent Q qui est aussi Q'. Ils 

croient ainsi avoir démontré la proposition. Il semblerait 

donc que leur difficulté soit essentiellement de nature 

logique. 

Or dans notre travail de thèse (Dorier 1990), à l’appui de 

données statistiques portant sur environ 160 étudiants, nous 

avons montré qu'il n'y avait pas de corrélation directe entre 

les compétences des étudiants dans l'utilisation de 

l'implication mathématique et les réponses aux deux 

exercices précédents. Par ailleurs, si on demande aux 

étudiants ayant donné une réponse fausse d'illustrer la 

proposition en géométrie par exemple, la plupart réalisent 

immédiatement qu'il y a une erreur, sans être cependant 

capables de l'identifier. Il apparaît donc que les 

dysfonctionnements repérés dans l'utilisation de la 

définition formelle de l'indépendance linéaire ne peuvent 

être dus aux seules difficultés de type logique. 1 Il serait vain 

également d'invoquer une difficulté générale des étudiants à 

pouvoir mener correctement une démonstration formelle. 

Nous avons donc cherché des raisons plus intrinsèquement 

liées au contexte de l'algèbre linéaire, à travers l'analyse de 

l'histoire du concept de dépendance linéaire. 

2. Un éclairage historique 

La dépendance linéaire trouve ses origines dans l'étude 

des systèmes d'équations linéaires. Un des premiers textes 

mettant ce concept explicitement en avant est dû à Leonhard 

Euler et s'intitule: Sur une Contradiction Apparente dans la 

Doctrine des Lignes Courbes; il date de 1750. Euler y traite du 

paradoxe dit de Cramer. L'étude du problème le mène à 

remettre en cause le fait qu'un système de n équations 

linéaires en n inconnues détermine toujours une solution 

unique, fait qui, semble-t-il, était à l'époque implicitement 

admis de tous. Euler commence par examiner ce problème 

pour n = 2; il donne comme exemple les deux équations: 

3x -2y = 5 et 4y = 6x – 10. 

Voici ce qu'il en dit : 

On verra qu'il n'est pas possible d'en déterminer les deux 

inconnues x et y, puisqu'en éliminant l'une x, l'autre s'en va d'ellemême 

et on obtient une équation identique, dont on est en état de 

déterminer rien. La raison de cet accident saute d'abord aux yeux, 

puisque la seconde équation se change en 6x - 4y = 10, qui n'étant 

que la première 3x - 2y = 5 doublée, n'en diffère point. (Euler 

1750, 226) 

Il ne s'agit pas ici de croire que ce que dit Euler est une 

révélation pour les mathématiciens de l'époque. Mais le fait 

que deux équations puissent être identiques, cet « accident » 

pour reprendre le terme employé par Euler, n'était pas jugé 

digne d'intérêt. Jusque-là on n'avait pas cherché à faire une 

théorie des équations linéaires, mais à mettre en place des 

techniques pratiques de résolution (et ce, depuis la haute 

antiquité). C'est en cela que le texte d'Euler est une 

nouveauté; il porte sur les équations linéaires, mais n'a pas 

pour but d'en donner de résolution, il propose une approche 

plutôt descriptive et qualitative. 

Regardons maintenant de plus près ce que dit Euler. Ce 

qui semble important, c'est que, bien qu'elle « saute d'abord 

aux yeux », ce n'est pas l'identité des équations qui est le 

critère pour signifier l'indétermination du système, mais une 

1 Ces résultats ont depuis été confirmés par des travaux sur 

l'apprentissage de la logique, qui ont mis en évidence l'importance 

du contexte dans lequel les exercices de logique sont proposés dans 

les compétences des étudiants (Durand-Guerrier, 1996). 




résolution par élimination. Ceci prouve que la résolution 

reste la préoccupation majeure. 

Pour n = 3, Euler donne deux exemples : un où deux 

équations sont identiques, et un autre où une équation est le 

double de la somme des deux autres. Dans les deux cas, il n'y 

a pas de tentative de résolution, et Euler conclut : 

Ainsi quand on dit que pour déterminer trois inconnues, il 

suffit d'avoir trois équations, il y faut ajouter cette restriction, que 

ces trois équations diffèrent tellement entr'elles, qu'aucune ne soit 

déjà comprise dans les autres. (ibid., 226) 

Pour n = 4, Euler rajoute que, dans certains cas, deux 

inconnues peuvent rester indéterminées, et il donne 

l'exemple des quatre équations suivantes : 

5x + 7y - 4z + 3v - 24 = 0 , 

2x -3y + 5z - 6v - 20 = 0 , 

x + 13y - 14z + 15v +16= 0 , 

3x + 10y - 9z + 9v - 4 = 0 , 

elles ne vaudroient que deux, car ayant tiré de la troisième la valeur 

de x = - 13y + 14z - 15v - 16 

et l'ayant substituée dans la seconde pour avoir : 

y = 

33z ! 3v ! 52 

29 

et x = 

!23z + 33v + 212 

29 

ces deux valeurs de x et de y étant substituées dans la première et la 

quatrième équations conduiront à des équations identiques 2 , de 

sorte que les quantités z et v resteront indéterminées. (ibid., 227) 

Ici donc, à nouveau, la démonstration repose sur une 

résolution par élimination et substitution. Euler ne 

mentionne pas les relations linéaires entre les équations, 

pourtant assez apparentes : (1) - (2) = (4) et (1) - 2x(2) = (3) 

(par exemple). Pour finir, il conclut par un énoncé général : 

Quand on soutient que pour déterminer n quantités inconnues 

il suffit d'avoir n équations qui expriment leur rapport mutuel, il y 

faut ajouter cette restriction que toutes les équations soient 

différentes entre elles, ou qu'il n'y en ait aucune qui soit renfermée 

dans les autres. (ibid., 228) 

Pour un lecteur moderne, « être comprise dans » ou « être 

renfermée dans » traduit immédiatement une relation de 

dépendance linéaire. Pourtant, une lecture minutieuse de ce 

que fait Euler nous montre, qu'à ses yeux, cela traduit plutôt 

un « accident » dans la fin d'une résolution par élimination et 

substitution, qui fait que certaines inconnues restent 

indéterminées. Bien sûr il nous montre, à quelques reprises, 

que la raison en vient de relations linéaires entre les 

équations, mais ce n'est pas le critère qu'il retient comme 

décisif. Ce faisant, il s'inscrit tout à fait dans la ligne de ce qui 

prédominait à l'époque, la résolution. La différence entre les 

propriétés de « dépendance linéaire » et « être comprise 

(enfermée) dans » peut sembler mince, mais elle a eu des 

incidences importantes. En effet, le point de vue d'Euler le 

lie au cadre des équations alors que la dépendance linéaire 

est un concept plus large, valable à la seule condition qu'on 

puisse faire des combinaisons linéaires. Aussi, pour bien 

2 Attention, Euler ne veut pas simplement dire que les deux 

équations sont identiques l'une à l'autre, mais que chacune est 

identique, c'est-à-dire toujours vraie. 

, 

marquer la différence, nous appellerons dépendance inclusive 

cette propriété pour une équation « d'être comprise 

(enfermée) dans d'autres ». 

Jusque vers la deuxième moitié du 19 e siècle, le concept de 

dépendance inclusive, plutôt que celui de dépendance 

linéaire, est à l'œuvre dans le cadre des équations linéaires. 

Cette conception est mathématiquement équivalente à la 

dépendance linéaire, de plus, elle était tout à fait efficace, et 

en quelque sorte naturelle, dans le contexte de l'époque, où 

la préoccupation majeure face aux systèmes d'équations 

linéaires était leur résolution. Cependant, cette conception 

empêchait de voir les équations et les n-uplets de solutions 

de la même façon au regard de leur linéarité. Or, cette 

limitation n'a pas permis de dégager entièrement le concept 

de rang. En effet, pour ce faire, il fallait pouvoir utiliser un 

raisonnement dual permettant de relier entre eux tous les 

systèmes ayant le même ensemble de solutions. Or un 

raisonnement dual nécessite de pouvoir transformer une 

équation en un n-uplet et vice versa, c'est-à-dire d'unifier ces 

deux objets sous un même concept linéaire : le vecteur, au 

sens d'élément d'un espace vectoriel. Ce pas a été franchi en 

1875 par Frobenius. 

Celui-ci commence par donner la définition suivante : 

Plusieurs solutions particulières 3 

A1 (χ) , A2 (χ) , …, An (χ) (χ= 1, 2,…, k) 

seront dites indépendantes ou différentes, 

si c1Aα (1) + c2Aα (2) + …+ ckAα (k) ne peuvent s'annuler 

pour tous les α = 1, 2, …n, sans que c1, c2, …, ck soient tous 

nuls, en d'autres termes, si les k formes linéaires 

A1 (χ) u1 + A2 (χ) u2 + …+ An (χ) un (χ = 1,…, k) sont 

indépendantes (Frobenius 1875, 255). 

Non seulement cette définition est tout à fait semblable à la 

définition moderne de l'indépendance linéaire (c'est la 

première fois qu'une telle définition est donnée), mais elle 

montre explicitement la similarité entre les n-uplets de 

solutions et les équations dans leur caractère linéaire. Cette 

idée, a priori si simple, va être essentielle dans le travail de 

Frobenius; il va ainsi mettre en évidence, en quelques pages, 

pour la première fois, toutes les caractéristiques essentielles 

du rang d'un système (cf. Dorier à paraître). 

Ainsi, on repère dans l'histoire que la conception de 

dépendance inclusive joue un rôle d'obstacle à l'émergence 

du concept de rang. 

3. Retour sur le didactique 

Dans sa thèse, Ousman (1996) a montré que des étudiants 

en début d'université (avant enseignement d'algèbre linéaire) 

ont des conceptions voisines de la dépendance inclusive à 

propos des équations linéaires. Mais les difficultés des 

étudiants ne montrent pas qu'une résistance de leur 

conception de dépendance inclusive empêche une bonne 

utilisation de la définition formelle. En revanche, nous avons 

3 Attention, il s'agit de k vecteurs à n composantes. 




mis en évidence que les raisonnements utilisant des 

conceptions primitives sur la dépendance (dont la 

dépendance inclusive) ne suffisent pas pour bien utiliser la 

définition formelle. 

Ce constat nous conduit à l'hypothèse que la difficulté 

didactique est en fait ici plus globale, elle vient du processus 

de généralisation à l'œuvre dans le passage à la théorie des 

espaces vectoriels. En effet, le concept formel 

d'indépendance linéaire est une généralisation (de la 

dépendance inclusive, de la proportionnalité, etc.) dans le 

sens où il unifie diverses conceptions dont les domaines de 

validité sont limités, chacun, à un contexte particulier. Dans 

ce processus, il n'y a pas de possibilité de généralisation 

abusive : la généralisation n'est tout simplement pas possible 

sauf à créer justement le concept formel qui va se substituer 

globalement à toutes les conceptions primitives. Du point de 

vue logique, il y a équivalence des conceptions primitives au 

concept formel dans chacun de leurs champs d'application. 

L'obstacle est donc dans la nature de la généralisation, ce 

que nous avons appelé « l'obstacle du formalisme ». Cette 

double analyse historique et didactique montre alors que la 

difficulté consiste à accéder au concept formel à travers un 

processus prenant en compte les conceptions primitives et 

les caractéristiques épistémologiques de ce type de 

généralisation unifiante. Pour le cas des équations, il s'agit 

donc de passer de la conception de dépendance inclusive au 

concept de dépendance linéaire dans une problématique qui 

montre, d'une part, le lien entre les deux conceptions et, 

d'autre part, la supériorité du concept de dépendance 

linéaire. Or ce passage ne peut être conçu que comme 

réponse au besoin d'unification relativement à d'autres 

contextes. 

Le contexte historique est beaucoup trop complexe pour 

servir ici d'inspiration pour mettre en place un dispositif 

didactique adéquat. On peut penser à un autre dispositif 

permettant de transposer les idées essentielles à l'œuvre dans 

le travail de Frobenius. Il s'agit essentiellement d'introduire 

un « saut qualitatif », dès le début de l'enseignement 

universitaire d'algèbre linéaire, en remplaçant la 

problématique de résolution par celle de l'étude plus 

théorique des systèmes. Dans ce sens, la méthode du pivot 

de Gauss est particulièrement adaptée pour permettre le 

passage de la conception de la dépendance inclusive à la 

définition formelle du concept de dépendance linéaire. En 

effet, la « disparition » éventuelle d'une équation en fin de 

résolution (une ligne de zéros en bas de la diagonale du 

tableau triangulaire) est l' « accident » qui montre la 

dépendance au sens d'Euler (la dépendance inclusive). Or, 

l'algorithme fonctionnant par combinaisons linéaires 

successives des lignes, la ligne nulle à la fin est aussi le 

révélateur de l'existence d'une relation linéaire entre les 

équations. Ainsi, une analyse réflexive sur l'algorithme offre 

une possibilité d'interpréter la dépendance inclusive en 

termes de dépendance linéaire 4 . Ce type de démarche est 

4 Notons que, dans le développement des concepts d'algèbre 

linéaire, la théorie des déterminants, inaugurée par un traité de 

Cramer de 1750, a joué un rôle prédominant. Néanmoins nos 

mis en œuvre dans le début de l'enseignement expérimenté à 

Lille par Rogalski et débouche sur une mise en place du 

concept de rang dans le cadre des systèmes d'équations 

linéaires. 

4. Une ingéniérie didactique 

Rogalski avait commencé dès 1984 un enseignement 

« expérimental » de l'algèbre linéaire à l'Université des 

Sciences et Technologies de Lille. À partir de 1989, il a 

intégré dans cet enseignement les résultats des recherches 

précédentes. L’expérience s’est déroulée jusqu’à la fin des 

années 90 et a donné lieu à plusieurs publications. 

Cet enseignement repose sur les trois hypothèses suivantes 

qui constituent un point de départ opératoire pour élaborer 

une ingénierie, en ce qui concerne l'enseignement de 

l'algèbre linéaire. 

a) Il faut prendre en compte la nature formalisatrice, 

unificatrice, généralisatrice et simplificatrice des concepts de 

l'algèbre linéaire. 

b) L'enseignement de l'algèbre linéaire nécessite un certain 

nombre de prérequis. 

c) Il faut utiliser de façon interactive les trois idées suivantes: 

* le recours au levier du « méta »; 

* la construction d'ingénieries longues; 

* l'utilisation des changements de points de vue 

comme moteur d'unification d'abord, de résolution 

ensuite. 

Outre les choix découlant de ces trois hypothèses, un choix 

plus particulier a été fait d'organiser l'enseignement pour 

arriver à dégager, de manière centrale, la notion de rang, 

dont les travaux historiques et épistémologiques ont montré 

à la fois qu'elle est effectivement centrale en algèbre linéaire 

et particulièrement difficile pour les étudiants. Cela amène à 

privilégier l'entrée dans l'algèbre linéaire par les équations 

linéaires, théorie où la notion de rang se présente 

naturellement, est plus 0 car liée à la dualité, et pour laquelle 

il est assez facile d'introduire une problématique pour 

laquelle la notion de rang peut apparaître comme centrale 

pour répondre aux questions. Cela amène aussi à insister 

plus sur le rang d'un système de vecteurs que sur la seule 

indépendance (voir à ce sujet le paragraphe suivant). 

L'ingénierie comporte quatre étapes, que nous 

présentons très schématiquement ci-dessous (pour plus de 

détails cf. (Rogalski 1991, 1994 et 1995) et (Dorier 1997a, II- 

3)). 

analyses historiques montrent également que cet outil puissant mais 

aussi excessivement technique a pu masquer certaines idées 

élémentaires et ralentir l'émergence de certains concepts, dont celui 

de rang. Nous défendons donc la thèse que le pivot de Gauss est 

une méthode mieux adaptée pour introduire les concepts 

élémentaires d'algèbre linéaire par l'étude des systèmes que ne le 

sont les déterminants. 




1) Dans la première étape, il s'agit de développer des 

préliminaires en même temps que le début de l'algèbre 

linéaire, et d'organiser problématiques, changements de 

cadres et convergence de points de vue différents. 

En ce qui concerne les préliminaires, Rogalski développe au 

début du cours l'activité « circuit électrique », telle que Marc 

Legrand l'a exposée dans (Legrand, 1990), susceptible de 

favoriser la compréhension par les étudiants du 

raisonnement mathématique. Il introduit aussi assez tôt les 

éléments de langage de théorie des ensembles. Enfin il 

donne des compléments de géométrie dans l'espace. 

2) La seconde étape débute par une présentation explicite 

aux étudiants de toutes les interrogations communes qu'on 

peut tirer de ce qui a été fait dans la première étape. Le 

schéma ci-dessous leur est présenté en amphi, et figure 

explicitement dans le polycopié distribué. 

Parallèlement à l'algèbre linéaire, dans cette étape, les 

méthodes linéaires sont systématiquement utilisées dans 

d'autres domaines mathématiques : polynômes, suites 

récurrentes linéaires; équations différentielles linéaires. 

3) La troisième étape traite de l'algèbre linéaire abstraite 

(axiomatique des espaces vectoriels, espaces de dimension 

finie, applications linéaires…), qui est utilisée comme cadre 

de modélisation interne aux mathématiques. 

4) La quatrième étape est plus technique et plus brève. Elle 

comporte l'étude des matrices, les techniques de changement 

de bases, et l'inversion des matrices carrées. 

5. Conclusion 

Dans ce travail, la question de la diversité des modes de 

représentation et de pensée apparaît sans être la question 

centrale. La première entrée est celle de l'analyse du savoir, 

plus particulièrement, dans sa dimension historique. La 

nature unificatrice, généralisatrice, simplificatrice et 

formalisatrice de l'algèbre linéaire (telle que l'analyse 

épistémologique l'a révélée) conduit inévitablement à poser 

la question de la multiplicité des cadres, des registres, des 

points de vue ou des modes de raisonnement, mais aussi de 

leur unification dans la théorie formelle. L'obstacle du 

formalisme semble en ce sens relever d'une difficulté des 

étudiants à prendre du recul par rapport aux différents 

modes de représentation et de pensée. 

L'analyse historique est alors une source pour retrouver des 

sens oubliés d'un concept et mieux comprendre l'évolution 

de ce concept jusqu'à sa formalisation ultime dans la théorie 

axiomatique des espaces vectoriels. Sans vouloir recréer dans 

l'enseignement les conditions historiques d'émergence d'un 

concept, les travaux de Dorier-Robert-Robinet-Rogalski ont 

montré que l'analyse historique permettait de mieux 

comprendre certaines difficultés des étudiants, mais aussi de 

construire des ingénieries locales visant à introduire les 

concepts d'algèbre linéaire de façon à faire saisir aux 

étudiants la nécessité du formalisme, tout en leur présentant 

les différents sens possibles de ces concepts dans leurs 

différents cadres ou registres de représentation, en 

particulier en liaison avec leurs connaissances antérieures sur 

les systèmes d'équations linéaires et la géométrie du lycée. 

L'enjeu de la flexibilité cognitive s'inscrit donc dans une 

problématique globale visant le dépassement de l'obstacle du 

formalisme. 

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Psychology of Mathematics Education (4 vol.), Valencia : 

Université, vol 4, 211-218. 



Logique et raisonnement 

mathématique, 

Implication et quantification 

Les connecteurs logiques associés aux questions de quantification jouent un rôle 

essentiel dans l’activité mathématique. Or la complexité de ces notions est en 

général sous-estimée par les professeurs. Je proposerai des pistes pour travailler 

avec les élèves et les étudiants sur les difficultés liées aux interactions entre 

implication, négation et quantification. 

Viviane Durand- 

Guerrier 

Université Lyon 

1, France 

LIRDHIST 

IUFM 1 de Lyon 

IREM 2 de Lyon 

France. 

Viviane.Durand- 

Guerrier@univlyon1.fr 

1 Institut universitaire de 

formation des maîtres de 

Lyon 

http://www.lyon.iufm.fr/ 

2 Institut de recherche sur 

l’enseignement des mathématiques, 

Université Claude 

Bernard Lyon 1. 

http://sierra.univ- 

lyon1.fr/irem/ 

L 

es difficultés liées au maniement de 

l’implication dans la classe de 

mathématiques sont attestées par de 

nombreux travaux de recherche, ainsi que par 

les résultats d’évaluations tant nationales 

qu’internationales. Les professeurs semblent 

souvent démunis devant ces difficultés qui 

résistent tout au long de la scolarité, y compris 

chez des étudiants avancés, ceci pouvant 

sembler être en contradiction avec la simplicité 

apparente de ce connecteur et sa présence 

centrale dans l’activité mathématique. De 

nombreux travaux de psychologie cognitive 

attestent que des sujets mêmes cultivés sont en 

difficulté pour repérer les cas qui satisfont une 

implication dans des tâches abstraites, alors 

que des tâches proches proposées dans des 

contextes issus de la vie ordinaire sont 

majoritairement réussies. Les travaux de 

recherche en didactique des mathématiques 

que je conduis depuis plusieurs années ont mis 

en évidence le fait que la complexité de la 

notion d’implication est très largement sousestimée, 

dans ces travaux de psychologie d’une 

part, par les professeurs de mathématiques 

d’autre part, en particulier parce que les 

phénomènes liés aux interactions entre 

implication et quantification sont insuffisamment 

pris en compte. C’est l’importance de la 

nécessité de la prise en compte de ces 

phénomènes que j’ai souhaité mettre en 

lumière dans cet atelier. Pour cela, j’ai proposé 

aux participants de résoudre une tâche 

révélatrice de ce phénomène, d’observer 

quelques réponses d’étudiants et d’élèves à 

cette même activité et de discuter des 

conséquences que l’on peut en tirer pour 

l’enseignement. 

I. Un labyrinthe surprenant 3 

I.1 Présentation de la tâche du 

labyrinthe 

Cette tâche a été proposée dans le cadre 

d’EVAPM2 91 ; il s’agit d’une évaluation 

proposée par l’Association des professeurs de 

mathématiques de l’enseignement public à des 

enseignants volontaires en fin de seconde, 

dont les résultats sont publiés dans APMEP 

(1992). Le labyrinthe est le premier exercice 

d’une série de six portant sur le thème 

Argumentation – Raisonnement – Expression. 

L’exercice se présentait ainsi : 

3 

On trouve un analyse détaillée de cette tâche dans 

Durand-Guerrier (1999, 2003) et dans Durand- 

Guerrier & al (2000). 



Logique et raisonnement mathématique Implication et quantification Viviane Durand-Guerrier 

Exercice 1 

Lire attentivement les lignes ci-dessous avant de répondre aux questions. 

Une personne que nous appellerons X a traversé ce 

labyrinthe, de l’entrée à la sortie, sans jamais être passée deux 

fois par la même porte 

Les pièces sont nommées A, B, C… comme il est indiqué sur 

la figure 

Il est possible d’énoncer des phrases qui aient un sens par 

rapport à la situation proposée et sur la vérité desquelles on 

puisse se prononcer (VRAI ou FAUX), ou qui peuvent être 

telles que les informations que l’on possède ne suffisent pas 

pour décider si elles sont vraies ou fausses (ON NE PEUT 

PAS SAVOIR). 

Par exemple, la phrase « X est passée par C » est une 

phrase VRAIE. 

En effet, on affirme que X a traversé le labyrinthe, et C 

est la seule pièce d’entrée. 

Pour chacune des six phrases suivantes, dire si elle est 

VRAIE, si elle est FAUSSE ou si ON NE PEUT PAS 

SAVOIR, et, dans chaque cas, expliquez votre réponse. 

Phrase n°1 : « X est passé par P » 

Phrase n°2 : « X est passé par N » 

Phrase n°3 : « X est passé par M » 

Phrase n°4 : « Si X est passé par O, alors X est passé par 

F » 

Phrase n°5 : « Si X est passé par K, alors X est passé par 

L » 

Phrase n°6 : « Si X est passé par L, alors X est passé par 

K » 

Avant de poursuivre votre lecture, je vous invite à résoudre 

pour vous-même cet exercice en notant les arguments qui 

vous permettent de répondre. 

I.2. Quelques réponses d’étudiants 

Les réponses présentées ci-dessous ont été recueillies dans le 

cadre d’un module optionnel s’adressant à des étudiants 

scientifiques en deuxième ou troisième année de licence en 

France (semestre 4 ou semestre 5 des études universitaires) 

en mars 2005. Il s’agit d’un module transversal de sciences 

humaines et sociales de l’université Lyon 1, intitulé Analyse 

logique des énoncés et des raisonnements mathématiques. Aspects 

épistémologiques et didactiques. À cette session, le groupe 

comprenait des étudiants en licence mathématiques, 

physique, biologie, informatique et électronique. La réponse 

à chacune des questions pour chacun des vingt-huit étudiants 

est présentée en annexe. 

Comme le montre la lecture de ce tableau, les réponses sont 

unanimes pour les phrases n°1, 2 et 4 et correspondent sans 

doute à vos propres réponses. Pour la phrase n°3, un 

étudiant a répondu que la phrase est fausse, les autres 

répondant on ne peut pas savoir . Pour la phrase n°5 un étudiant 

s’est posé la question de savoir s’il fallait prendre en compte 

le temps (y a-t-il une chronologie entre antécédent et 

conséquent ?). Les résultats qui vont retenir principalement 

notre attention sont ceux qui concernent la phrase n°6. En 

effet, les réponses sont ici partagées entre ceux qui répondent 

que la phrase est fausse (13 sur 28), ceux qui répondent on ne 

peut pas savoir (10 sur 28) ou des formulations proches (2) : le 

même étudiant qui s’interroge sur le temps et un étudiant qui 

répond que la phrase est vraie (il s’agit de l’étudiant qui avait 

répondu faux à la question n°3). Voici un relevé représentatif 

des réponses obtenues lors de cette session. 

Exemples de réponses à la phrase n°6 

1. Pas nécessairement/ CDILMNQR. 

2. On ne sait pas : trajet CDILMNQR, la déduction est fausse, 

mais on ne peut rien déduire sur le trajet. 

3. ONPPS (X peut passer par L sans passer par K). 

4. Problème de concordance des temps. 

5. On ne peut pas savoir : pas forcément on peut directement 

passer à M. 

6. On ne peut pas savoir. L ouvre sur trois pièces, si X ne peut 

pas passer 2 fois par la même pièce il peut passer par K ou I 

avant L pour y rentrer. 

7. On ne peut pas savoir, car il peut avoir passé par I. 

8. On ne peut pas savoir L appartient à deux chemins ≠. ∃ 

donc 1 chemin où X peut passer par L sans passer par K. 

9. On ne peut pas savoir. En arrivant dans la pièce I, X a le 

choix entre J et L. S’il prend directement L, il ne peut pas 

passer par K car il passerait deux fois par la même porte. S’il 

prend J, alors il passe par K et donc L. 

10. On ne peut pas savoir. Il existe un chemin où X passe par L 

et non par K et il existe un chemin où X passe par L et par 

K. 

11. Elle peut être vraie, mais elle peut aussi être fausse. (…) En 

réalité, la construction si alors entraîne que la phrase est 

fausse (car on a pas d’implication). 

12. Faux, car X a pu passer par L en arrivant de I et en allant 

dans M (L a trois portes) et donc sans passer par K, donc 

l’implication est fausse, il y a un contre-exemple (cependant, 

il est possible que X soit passé par L et K). 

13. Faux chemin ⇒ X n’est pas passé par K (pour la 6, on 

pourrait dire « on ne peut pas savoir » mais le alors me fait 

dire que c’est faux. 

14. Faux, car L a 2 portes 1 sur K 1 sur I et les deux sont 

accessibles depuis l’entrée donc il aurait pu passer par I. 

15. Faux : X peut passer par CILMNOR. 

16. Faux. X peut passer par I mais aussi par K pour aller à L. 

17. Faux. Il est possible que X soit passé par L sans passer par 

K. 

18. Faux. Il peut couper par I. 




19. Faux. X peut passer par L sans passer par K. 

20. Faux. Lorsque X est en I, il peut passer par en L, puis en 

M et aller jusqu’à la sortie sans jamais passer par K. 

Je propose cette activité depuis de nombreuses années à des 

étudiants de licence, ainsi qu’à des enseignants en formation 

initiale ou continue du primaire, du secondaire ou du 

supérieur ; les résultats sont toujours sensiblement les 

mêmes, même si les professeurs chevronnés sont plus enclins 

à répondre que la phrase n°6 est fausse que les étudiants ou 

les futurs enseignants. 

I.3 Les résultats de l’évaluation EVAPM2 91 

L’exercice du labyrinthe visait à tester la maîtrise de 

l’implication dans une situation non classique, et les auteurs 

s’interrogent sur le rapport entre cette maîtrise et la capacité à 

produire des démonstrations correctes en mathématiques. 

Les résultats obtenus indiqués par les auteurs sont les 

suivants (en pourcentage de réponses attendues) : 

Phrase n°1 : 100% 

Phrase n°2 : 96% 




Phrase n°6 : 29%. 

Ceci correspond au pourcentage de réussite relativement aux 

réponses considérées comme exactes par les auteurs, à savoir: 

Phrase n°1 : FAUSSE 

Phrase n°2 : VRAIE 

Phrase n°3 : ON NE PEUT PAS SAVOIR 



PHRASE n°6 : FAUSSE. 

On voit que les taux de réussite des élèves sont bons pour les 

quatre premières phrases 4, commencent à chuter pour la 

cinquième et s’effondrent pour la sixième. Dans les résultats 

complets par questionnaire, on obtient en outre des 

informations sur les réponses obtenues en fonction de 

différents critères. Par exemple, sur une population de 227 

élèves répartis dans 16 classes, 29% répondent que la phrase 

est fausse ; 60% répondent on ne peut pas savoir si la phrase est 

vraie ou fausse. Si l’on rapporte ce taux à l’ensemble des élèves 

qui sont admis en Première Scientifique 5, ces taux sont 

respectivement de 19% et 70%, tandis que pour les 

redoublants, ils sont de respectivement de 42% et 47%. 

Suite à l’analyse de ces résultats, les auteurs font part de leur 

étonnement : 

« La réussite à la question du labyrinthe se révèle 

indépendante, voire corrélée négativement avec la 

réussite aux démonstrations à contenu mathémati- 

4 Les résultats un peu plus faibles pour la phrase n°3 viennent du 

fait que quelques élèves hésitent à répondre on ne peut pas savoir. 

5 L’évaluation a été réalisée en Seconde entre le 21 mai et 15 juin 

1991. 

que de l’épreuve T 6, avec la moyenne de l’année 

attribuée par les enseignants et avec le score obtenu 

à la première passation. Les élèves qui réussissent le 

mieux cette question sont les futurs redoublants. Les 

élèves admis en Première S sont aussi ceux qui 

réussissent le mieux les démonstrations à contenu 

mathématique, mais ils répondent massivement je ne 

sais pas à la question concernant la phrase 5 7. Ainsi, 

un échec à cet item est un bon indicateur de réussite 

aux autres questions, mais aussi aux évaluations des 

enseignants 8. » 

Ces résultats font en effet apparaître une divergence entre de 

nombreux élèves pour qui la phrase n°6 appelle la réponse on 

ne peut pas savoir, et les auteurs de l’évaluation, pour qui elle 

appelle la réponse fausse. On doit tenir compte du fait que la 

réponse on ne peut pas savoir est donnée dans les consignes 

comme une réponse possible, et que c’est celle que donnent 

les auteurs de la brochure d’une part, une très large majorité 

des élèves d’autre part, pour la phrase n°3. 

Grâce à Antoine Bodin, l’un des auteurs d’EVAPM91, j’ai eu 

la possibilité d’examiner cinquante et une copies pour 

lesquelles j’ai retenu la réponse donnée pour la phrase n°6 et 

la justification de cette réponse. Sur les cinquante et une 

copies consultées, on trouve cinq fois la réponse la phrase est 

vraie, treize fois la réponse la phrase est fausse et trente-trois fois 

la réponse on ne peut pas savoir, soit respectivement environ 

10%, 25% et 65% des réponses, si bien que l’échantillon est 

bien représentatif de la répartition des réponses de la 

population générale. Dans la plupart des copies, les réponses 

sont justifiées soigneusement. Ce qui apparaît à la lumière de 

ces quelques copies, c’est que de nombreux élèves répondant 

on ne peut pas savoir invoquent comme argument le fait que 

certains trajets rendent la phrase vraie, mais pas tous. Il apparaît 

que nombre d’entre eux reconnaissent que la présence de 

la lettre L sans la présence de la lettre K dans le trajet 

emprunté rend l’implication fausse, mais sans en déduire que 

la phrase proposée est fausse. Comme pour les étudiants, on 

voit également que ce sont sensiblement les mêmes arguments 

qui conduisent aux deux réponses faux ou on ne peut pas 

savoir. 

1. « Faux parce que L a deux portes, celle de droite mène à la sortie et 

ne passe pas par K. » 

2. « On ne peut pas savoir. En effet, X aurait pu passer soit dans la 

pièce K, soit dans la pièce I pour rejoindre la pièce L. » 

On voit également, comme l’on pouvait s’y attendre, 

qu’interviennent des arguments qui débordent le cadre strict 

consistant à répondre en tenant compte des trajets possibles. 

3. « La phrase n°6 est une phrase fausse, car en entrant par C, X est 

passé directement par I puis par L, car si X était passé par K, il aurait 

fait un grand détour inutile. » 

6 

Il s’agit d’une épreuve de deux heures dont fait partie cet exercice 

(voir ci-dessous). 

7 

Il s’agit vraisemblablement de la phrase 6, puisque la phrase 5 a un 

taux de réussite de 69%. 

8 C’est moi qui souligne. 




4. « On ne peut pas savoir, car il existe plusieurs possibilités pour 

accéder à L et si X est passé par K, il a pris le chemin le plus long. » 

Les copies examinées montrent que c’est le fait que la valeur 

de vérité de la phrase n°6 dépend du trajet effectué qui 

conduit le plus souvent à la réponse on ne peut pas savoir. Or 

pour les auteurs de la brochure, c’est précisément cette raison 

qui conduit à déclarer que la phrase n°6 est fausse. Leurs 

commentaires mettent en évidence le fait que pour eux, les 

phrases 4, 5 et 6 sont quantifiées implicitement et la question qu’ils 

semblent poser est la suivante : 

Est-il vrai que pour toute personne X ayant traversé le labyrinthe, si X 

est passé par L, alors X est passé par K ? 

Ils écrivent en effet, à propos de la phrase n°6 : 

« S'agit-il d'énoncés mathématiques qu'il s'agirait 

d'appréhender de façon globale? Dans ce cas, ce qui 

importe c'est la qualité d'un lien entre les deux assertions 

et non la véracité particulière de chacune des 

assertions. » 

Il semble donc que la divergence entre la réponse majoritaire 

des élèves et celle qui est considérée comme exacte par les 

auteurs de l’évaluation porte sur l’interprétation des énoncés 

conditionnels proposés. C’est ce point que je vais maintenant 

expliciter en m’appuyant sur une formalisation de la situation 

dans le cadre de la logique des prédicats du premier ordre. 

I.4 Analyse dans le cadre de la logique des 

prédicats 

Une idée communément répandue est que la logique 

mathématique doit se construire contre la logique de sens 

commun et l’on pourrait voir, dans les résultats précédents, 

une nouvelle illustration de ce point de vue. Cependant, 

dans ce cas, une analyse logique dans le cadre du calcul des 

prédicats montre que la divergence observée ne se laisse pas 

réduire à cette analyse 9. 

Pour conduire une analyse logique de cette tâche, je me place 

dans le calcul des prédicats du premier ordre, dans lequel on 

peut modéliser la situation évoquée dans l’exercice du 

labyrinthe. 10 Rappelons que, dans le calcul des prédicats, on 

dispose des connecteurs propositionnels classiques définis 

par leurs tables de vérité (¬ : non ; ∧ : et ; ∨ : ou ; ⇒ : si, 

alors ; ⇔ : si et seulement si), de lettres de variables, de 

lettres de prédicats pour formaliser les propriétés (prédicats à 

une place) et les relations (prédicats à deux ou plusieurs 

places) des deux quantificateurs existentiels et universels. Les 

règles de syntaxe permettent de définir les expressions bien 

formées, c’est-à-dire les formules. Pour attribuer une valeur 

de vérité à une formule, il faut l’interpréter dans une 

structure comportant un univers du discours non vide et des 

interprétations pour chacune des lettres de prédicats 

intervenant dans la formule. Le travail de modélisation 

consiste à partir d’une structure (un domaine de réalité ou 

9 Je discute cette position dans la communication à paraître dans le 

cadre des actes du colloque EMF 2006. 

10 D’autres exemples d’analyses de ce type sont présentés dans 

Durand-Guerrier (1996a, 1996b). 

une théorie mathématique) pour proposer une formule montrant 

la structure logique sans référence à la situation 

proposée. 

Dans notre exemple, le domaine de réalité est la situation 

évoquée dans l’énoncé. On peut formaliser cette situation 

évoquée en attribuant à chaque pièce du labyrinthe un 

prédicat. Ainsi, à la pièce P, j’attribue un prédicat P qui 

s’interprète par « être passé par P ». Un trajet se formalise 

par la conjonction des prédicats associés aux pièces qui sont 

sur le trajet et de la négation des prédicats associés aux pièces 

qui ne sont pas sur le trajet. On peut ainsi formaliser chacun 

des trois trajets qui permettent de sortir du labyrinthe : 

T1 : CDILMNQR ; T2 : CDIJKLMNR ; T3 : CBGFONQR. 

Les phrases numéro 1 à 6 sont des interprétations dans le 

domaine de réalité considérée de formules contenant une 

variable libre. Je m’intéresse ici exclusivement aux phrases 3 

et 6. 

La phrase n°3 : « X est passée par M », interprète la formule 

« F1 : M(x) » . 

La phrase n°6 : « Si X est passée par L, alors X est passée par 

K », interprète la formule « F2 : L(x) ⇒ K(x) ». 

Dans cette analyse, la question à laquelle nous sommes 

confrontés est celle du statut logique de la lettre X dans les 

phrases 1 à 6. Plusieurs interprétations sont possibles et 

conduisent à des résultats différents. 

Une première interprétation , de type empirique, consiste à 

considérer que X est le nom propre d’une personne qui a 

traversé le labyrinthe sans passer deux fois par la même porte 

(on aurait aussi bien pu décider de désigner cette personne 

par un nom patronymique). Trois cas sont alors possibles : 

1 er cas : X a emprunté le trajet T1 : M(X) est vrai dans le 

domaine de réalité ; donc, X satisfait la phrase ouverte M(x). 

2 ème cas : X a emprunté le trajet T2 : M(X) est vrai dans le 

domaine de réalité ; donc, X satisfait la phrase ouverte M(x). 

3 ème cas : X a emprunté le trajet T3 : M(X) est faux ; donc X 

ne satisfait pas la phrase ouverte M(x). 

Comme celui qui doit répondre à la question ne connaît pas 

le trajet emprunté par X, il ne sait pas ce qu’il en est de la 

vérité de la phrase n°3, ce qui conduit à la réponse on ne peut 

pas savoir. Autrement dit, l’énoncé est contingent pour le 

sujet. Notons que cela ne veut pas dire ici que l’énoncé n’a 

pas de valeur de vérité. En effet, comme le trajet a été réalisé, 

l’un des trois cas s’est produit. 

Le même raisonnement montre qu’il en est de même pour la 

phrase n°6. En effet, sous cette interprétation, la phrase 

numéro 6 est une instance d’une implication ouverte et 

certaines des instances sont des phrases vraies, tandis que 

d’autres sont des phrases fausses. 

1 er cas : X a emprunté T1, X satisfait l’antécédent de F2, mais 

pas le conséquent ; donc, X ne satisfait pas F2. 

2 ème cas : X a emprunté T2, X satisfait l’antécédent et le 

conséquent de F2 ; donc X satisfait F2. 




3 ème cas : X a emprunté T3, X ne satisfait pas l’antécédent de 

F2 ; donc X satisfait F2. 

Dans la mesure où celui qui doit répondre à la question ne 

connaît pas le trajet emprunté par X, il ne sait pas de quelle 

instance il s’agit. Cette interprétation de la lettre X conduit à 

la réponse majoritaire des élèves, qui apparaît donc comme 

étant tout à fait cohérente, ceci d’autant plus que de 

nombreuses formulations langagières proposées par les 

élèves sont cohérentes avec cette interprétation (par exemple 

2 ou 4, ou l’exemple cité par les auteurs). 

Une deuxième interprétation, sans doute plus conforme au 

canon mathématique habituel, consiste à considérer que X 

est un élément générique, le nom de n’importe quelle 

personne ayant traversé le labyrinthe sans passer deux fois 

par la même porte. Dans ce cas-là, non seulement celui qui 

doit répondre à la question ne peut pas savoir quel cas est 

réalisé, mais il n’est pas possible d’attribuer une valeur de 

vérité aux phrases n° 3 et 6, puisque cela dépend de l’individu. 

Ainsi, ici encore, les deux énoncés sont contingents pour 

le sujet, mais ils sont également contingents de manière 

intrinsèque 11. Notons que cette interprétation peut conduire 

assez naturellement à une réponse du type pas nécessairement. 

Une troisième interprétation , qui renvoie à une pratique 

ordinaire dans la classe de mathématiques, consiste à 

considérer que X est une lettre de variable universellement 

quantifiée implicitement. Cette interprétation est ici très 

problématique. En effet, d’une part, il n’y a pas de population 

de référence, autrement dit pas de domaine de quantification, 

et d’autre part, pour une population de référence donnée, il 

se pourrait que certains trajets ne soient pas empruntés et 

l’on ne peut donc pas être sûr que les exemples et contreexemples 

potentiels soient actualisés. Par conséquent, la 

valeur de vérité de ces deux phrases est dépendante de la 

population de référence. Les deux énoncés sont contingents 

de manière intrinsèque. Ils sont même dans les limbes 

(Quine, 1990, 1993). Notons que ceci est fréquent en 

mathématiques. Ainsi en va-t-il de l’énoncé « Pour tout x, 

x 2+1 est positif strictement ». Si l’on ne précise pas la 

structure dans laquelle on considère cet énoncé, on ne peut 

pas se prononcer sur sa valeur de vérité. 

Une quatrième interprétation consiste à considérer que la 

quantification implicite porte sur la variable trajet, et que le 

domaine de référence est l’ensemble des trajets possibles. 

Dans ce cas les deux énoncés sont faux, puisqu’ils ont chacun 

un contre-exemple. Notons qu’en fait, dans la formalisation 

de la situation, c’est naturellement la variable trajet qui est 

prise en compte, et que dans les deux premières interprétations, 

l’on raisonne non pas sur la personne X, mais sur son 

trajet. Dans le premier cas, on raisonne donc sur un trajet 

singulier que l’on ne connaît pas et dans la seconde, sur un 

trajet générique. 

Ce qui se dégage de cette analyse logique, outre le fait, 

comme je l’ai dit plus haut, que la réponse majoritaire des 

élèves est tout à fait cohérente, c’est le fait qu’aucune 

interprétation de la lettre X ne fournit les réponses considé- 

rées comme correcte pour les auteurs de l’évaluation, à savoir 

la réponse on ne peut pas savoir pour la phrase numéro 3 et la 

réponse faux pour la phrase numéro 6. Ceci met en lumière le 

fait que les auteurs, et de nombreux professeurs et étudiants, 

changent le statut logique de la lettre X entre la phrase 

numéro 3 et la phrase numéro 6. Il faut noter que pour les 

phrases 1, 2, 4 et 5, la réponse est toujours la même, quelle 

que soit l’interprétation de la lettre X choisie. Pour la phrase 

numéro 1, ceci est lié au fait qu’aucune instance de la phrase 

ouverte associée n’est vraie ; pour les phrases ouvertes 

numéro 2, 4 et 5, ceci est lié au fait que toutes les instances 

de chacune des phrases associées sont vraies. Dans ces 

quatre cas, il n’est nul besoin de connaître le trajet emprunté 

par la personne X pour se prononcer sur la valeur de vérité 

de la phrase correspondante, ceci parce que cette valeur de 

vérité est contrainte par la situation : pour la phrase numéro 

1, parce que l’énoncé existentiel « Il existe x, P(x) » est faux 

dans cette situation, pour les trois autres phrases, parce que 

les énoncés universels associés sont vrais. Les cas 3 et 6 

conduisent à des énoncés contingents dans les deux 

premières interprétations, car l’énoncé universel associé est 

faux, tandis que l’énoncé existentiel associé est vrai. La 

troisième interprétation conduit à des énoncés contingents 

parce que la variable personne est non pertinente dans cette 

situation. 

On pourrait penser que cette situation du labyrinthe, parce 

qu’elle est très éloignée des activités mathématiques ordinaires, 

n’est pas significative pour comprendre ce qui se joue 

dans la classe autour des interactions entre implication et 

quantification. L’exemple suivant montre que, bien au 

contraire, le phénomène observé se retrouve également dans 

les activités mathématiques scolaires. 

II. Un quadrilatère problématique 

L’exercice ci-dessous a été proposé à 273 étudiants arrivant à 

l’université scientifique dans le cadre de mon travail de 

thèse 12 en octobre 1992. C’était le premier exercice de la 

première partie d’un questionnaire qui en comportait six. 

Dans l’ensemble du questionnaire, la question principale était 

de savoir si les étudiants arrivant à l’université reconnaissaient 

les cas où l’on ne peut pas faire de déduction en 

présence d’un énoncé conditionnel affirmé. Pour cet 

exercice, un énoncé classique du niveau du collège français 

était rappelé, puis une question simple était posée. 

Énoncé 1 : Dans un losange, les diagonales se coupent en 

leur milieu. 

Question : un quadrilatère (ABCD) a ses diagonales 

perpendiculaires. Est-ce un losange? Justifiez votre réponse. 

Il faut noter que cet énoncé n’est pas a priori de type 

implicatif. En effet, si l’univers du discours est la classe des 

losanges, il se traduit par l’énoncé « ∀x D(x) » (1) où D 

s’interprète par la propriété « avoir ses diagonales 

perpendiculaires » . C’est lorsque l’on plonge les losanges 

dans une classe plus large qu’apparaît la nécessité de 

l’implication : dans la classe des parallélogrammes, l’énoncé 


C’est-à-dire que l’on ne peut pas leur attribuer de valeur de vérité. 

12 

Durand-Guerrier, 1996 


juin 2006


devient « ∀x (L(x)⇔ D(x)) » (2), où L s’interprète par la 

propriété « être un losange ». Lorsque l’univers du discours 

considéré est la classe des quadrilatères, l’énoncé devient 

« ∀x (L(x) ⇒ D(x)) » (3), l’énoncé réciproque « ∀x (D(x) ⇒ 

L(x) ) » étant alors faux, si bien qu’en toute rigueur, dans la 

classe des quadrilatères, cet énoncé devrait se formaliser par 

« [∀x (L(x) ⇒ D(x)) ] ∧¬[∀x (D(x) ⇒ L(x)) ] » (4). La 

question posée se situe explicitement dans la classe des 

quadrilatères et correspond au cas d’un objet vérifiant le 

conséquent de (3). Comme certains quadrilatères vérifient à 

la fois le conséquent et l’antécédent, tandis que d’autres 

quadrilatères vérifient le conséquent sans vérifier l’antécédent, 

on ne peut pas se prononcer compte tenu des informations 

données. 

Dans la population étudiée, un peu plus de 20% des étudiants 

répondent oui en arguant le plus souvent qu’il n’y a pas 

d’autres quadrilatères à diagonales perpendiculaires 13. Près de 

40% répondent non, soit qu’ils interprètent la question comme 

signifiant : « Peut-on affirmer que le quadrilatère 

(A,B,C,D) est un losange? », ou encore « Un quadrilatère 

ayant ses diagonales perpendiculaires est-il toujours un 

losange? »; soit qu’ils appliquent le principe du maximum 

d’information 14, considérant que le quadrilatère en question 

n’est pas un parallélogramme, car sinon ce serait précisé. 

Enfin 30% environ donnent une réponse du type on ne peut 

pas savoir en utilisant largement le vocabulaire des modalités, 

les expressions les plus fréquentes étant pas forcément (près de 

50% des réponses) ou pas obligatoirement (environ 25% des 

réponses). Ici encore, comme dans le cas du labyrinthe, des 

arguments similaires conduisent à répondre soit faux, soit pas 

forcément, ou une formulation équivalente. 

Imaginons maintenant deux élèves en train de travailler 

ensemble à déterminer la nature d’un quadrilatère intervenant 

dans le problème qu’ils sont en train de résoudre. Ils ont 

établi le fait que ce quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires 

et ils se posent la question de savoir s’il s’agit ou non 

d’un losange. Est-ce que l’on s’attend à ce qu’ils répondent 

non au motif que la condition est nécessaire sans être 

suffisante ? Évidemment non ; la seule réponse pertinente 

dans ce cas, c’est que l’on n’a pas assez d’information pour se 

prononcer, et qu’il faut donc poursuivre la recherche. On 

retrouve ici le rôle du raisonnement plausible de Polya 

(1958). 

Dans cet exercice, contrairement à la situation du labyrinthe, 

les étudiants n’avaient pas à évaluer la valeur de vérité d’une 

implication, mais ils devaient reconnaître s’ils étaient dans un 

cas où ils pouvaient déduire que le quadrilatère proposé 

possédait ou non la propriété antécédente. Or c’est précisément 

parce que parmi les instances de l’implication ouverte 

associée à la réciproque de l’énoncé (3) ayant un antécédent 

vrai, certaines sont vraies tandis que d’autres sont fausses, 

que l’on ne peut pas trancher dans ce cas. 

13 Plusieurs étudiants précisent que le seul contre-exemple est le 

carré, mais que le carré est aussi un losange. 

14 Maxime conversationnelle due à Grice selon laquelle le locuteur 

est censé donner toute l’information dont il dispose. Voir aussi 

IREM de Grenoble, 1985. 

III. L’implication, une notion polysémique 

Il ressort de ce qui précède que derrière l’apparente simplicité 

de l’implication se cachent plusieurs notions qui entretiennent 

entre elles des relations multiples et qui toutes sont à 

l’œuvre dans la classe de mathématiques. Nous en avons 

rencontré cinq que je détaille ci-dessous. 

La première est le conditionnel courant, exprimé dans la 

langue ordinaire et en contexte quotidien. Les phrases 4, 5 et 

6 du labyrinthe relèveraient a priori de cette catégorie, si la 

tâche n’était pas proposée dans un contexte mathématique. 

Selon Quine (1950), une spécificité du conditionnel courant, 

c’est que l’on se place toujours dans les cas qui vérifient 

l’antécédent. Cet aspect n’est pas soulevé dans la tâche du 

labyrinthe telle qu’elle est proposée dans l’évaluation 

EVAPM91 car, pour chacune des implications proposées, il y 

a au moins un cas qui vérifie l’antécédent. Marc Rogalski a 

proposé la tâche du labyrinthe à de futurs enseignants en 

ajoutant la phrase « Si X est passé par S, alors il est passé par 

T ». Comme aucun chemin permettant de traverser le 

labyrinthe ne satisfait l’antécédent, cette phrase est vraie 

quelle que soit l’interprétation de la lettre X choisie. Sur les 

deux populations concernées, un tiers environ des personnes 

interrogées déclarent que cette phrase est vraie ; un peu plus 

d’un cinquième disent qu’elle est non pertinente, et un peu 

plus de deux cinquièmes la déclarent fausse (Rogalski & 

Rogalski, 2003, 2004). Les auteurs notent que l’on peut 

cependant déclarer la phrase vraie avec des arguments non 

logiques en ne prenant pas en compte la contrainte selon 

laquelle on ne doit pas passer deux fois par la même porte. 

La seconde est l’implication entre propositions, souvent 

appelée implication matérielle à la suite de Russell (1903, 

1989). Dans une interprétation donnée, sa valeur de vérité 

dépend exclusivement de la valeur de vérité des propositions 

élémentaires qui la composent. C’est ce que l’on obtient dans 

la tâche du labyrinthe en interprétant la lettre X par un nom 

propre, ou par un terme générique. Une implication 

matérielle est fausse dans le seul cas où son antécédent est 

vrai et son conséquent faux. Comme on l’a rappelé ci-dessus, 

le fait qu’une implication matérielle dont l’antécédent est faux 

soit déclarée vraie est en conflit avec l’usage courant. C’est ce 

que montrent également les nombreux travaux de psychologie 

cognitive consacrés à cette question 15. On a vu dans 

l’exemple du losange que cette définition est cependant 

nécessaire puisque c’est lorsque le domaine de quantification 

contient des éléments qui ne satisfont pas l’antécédent que le 

recours à l’implication pour formaliser un énoncé général est 

pertinent. On fait alors appel à la troisième forme d’implication. 

Cette troisième forme est l’implication universellement quantifiée 

articulant deux propriétés, souvent appelée implication 

formelle à la suite de Russell (1903, 1989). C’est ce que l’on 

obtient dans la tâche du labyrinthe si l’on considère que la 

lettre X est une lettre de variable universellement quantifiée. 

La vérité d’une implication formelle dans une interprétation 

15 

Voir en particulier les travaux autour de la tâche de sélection de 

Wason présentés dans le numéro 11 de la revue Intellectica. 




donnée exprime que toutes les implications matérielles obtenues 

en assignant à la variable un élément du domaine (qui 

est non vide par hypothèse) sont vraies. Elle est donc fausse 

dès qu’elle a un contre-exemple. C’est le point de vue des 

auteurs de l’évaluation EVAPM2 91 sur la phrase numéro 6. 

C’est cette opposition entre l’implication formelle et 

l’implication matérielle qu’ils semblent exprimer lorsqu’ils 

écrivent : 

« S'agit-il d'énoncés mathématiques qu'il s'agirait 

d'appréhender de façon globale? Dans ce cas, ce qui 

importe c'est la qualité d'un lien entre les deux 

assertions et non la véracité particulière de chacune 

des assertions.» 

La quatrième forme est l’implication ouverte, qui relie deux 

propriétés et qui correspond à une formule du calcul des 

prédicats contenant une variable libre 16. C’est ce qui permet 

de relier l’implication formelle et l’implication matérielle. 

Ainsi, les phrases 4, 5 et 6 sont les cas d’implications 

ouvertes. Pour les phrases 4 et 5, les implications formelles 

associées sont vraies dans l’interprétation et on peut donc se 

prononcer sur la valeur de vérité. Dans le cas de la phrase 

numéro 6, l’implication formelle associée est fausse, mais 

certaines instances sont vraies et c’est la raison pour laquelle 

on ne peut pas se prononcer. Il doit être clair que le passage 

par l’implication ouverte est indispensable, puisqu’en effet, 

dans une implication formelle, la variable est muette et ne 

peut donc donner lieu à aucune assignation d’objet. 

La cinquième forme d’implication que nous avons rencontrée 

est la règle du détachement, également appelée Modus 

Ponens. Il s’agit de la règle classique d’inférence qui permet 

de détacher la conclusion d’un énoncé conditionnel affirmé 

lorsque l’on sait que son antécédent est vrai. Dans la plupart 

des cas, dans le cadre des mathématiques scolaires, on 

applique cette règle à partir d’une implication formelle, vraie 

dans une théorie mathématique donnée (autrement dit un 

théorème). On montre qu’un objet donné satisfait la 

propriété antécédente, d’où il s’ensuit que cet objet satisfait la 

propriété conséquente. Pour cela, on passe par une 

implication matérielle, selon le schéma suivant : 

Soit w un élément de l’univers du discours (singulier ou 

générique) satisfaisant la propriété P. Comme l’énoncé « Pour 

tout x, si P(x), alors Q(x) » est vrai, on peut affirmer que 

l’énoncé « si P(w), alors Q(w) » est vrai. Par suite (règle du 

détachement), Q(w) est vrai. 

Supposons maintenant, comme dans le cas du losange, que la 

réciproque de ce théorème n’est pas un théorème, et 

considérons un élément u de l’univers du discours satisfaisant 

Q. Sans information supplémentaire, on ne sait pas si 

l’implication matérielle « si Q(u), alors P(u) » est vraie ou 

fausse. Par conséquent, on ne peut pas faire de déduction ; 

mais naturellement, cela ne signifie pas que P(u) est fausse. 

16 

Je n’ai pas abordé dans l’atelier la question des prédicats à 

plusieurs places et des difficultés liées aux quantifications 

multiples. Ces questions difficiles sont abordées par exemple 

dans Dubinski & Yparaki (2000), Durand-Guerrier & Arsac 

(2003), Chellougui (2004). 

C’est exactement la situation du losange que j’ai présentée au 

paragraphe II. 

IV. Conclusion 

Les questions que j’ai abordées dans cet atelier sont loin 

d’épuiser toutes les difficultés concernant le maniement de 

l’implication dans la classe de mathématiques, mais elles 

mettent en évidence plusieurs points qui sont autant de pistes 

pour travailler avec les élèves, à différents niveaux du cursus. 

Le point crucial concerne la pratique largement répandue de 

quantification universelle implicite dans des énoncés conditionnels. 

Associée à la règle du contre-exemple, elle fait 

disparaître l’implication matérielle au profit de l’implication 

formelle, qui devient la seule référence explicite et instaure, 

de fait, la dichotomie du vrai et du faux comme la norme 

dans la classe de mathématiques. Les résultats obtenus avec 

la tâche du labyrinthe montrent que ceci rentre en conflit 

avec la logique de sens commun, mais aussi avec la logique 

des prédicats du premier ordre. Cette pratique mathématique 

tend en outre à focaliser l’attention sur les énoncés au 

détriment du travail sur les objets et leurs propriétés, comme 

on le voit avec la tâche du losange. Elle laisse à un niveau 

totalement implicite la nécessaire reconnaissance de la 

contingence de certains énoncés mathématiques en situation 

de résolution de problème et risque de se poser par là même 

en obstacle didactique pour la construction par les élèves de 

la rationalité mathématique 17. On le sait depuis longtemps, 

un travail isolé de logique mathématique ne permet pas 

d’améliorer de manière significative les aptitudes pour 

conduire des raisonnements mathématiques. C’est au cœur 

même de l’activité mathématique que les différentes formes 

d’implication rappelées en III peuvent et doivent être 

travaillées et explicitées. Les résultats obtenus aux deux 

tâches du labyrinthe et du losange montrent en outre qu’un 

raisonnement rigoureux peut, et même doit dans certains cas, 

s’appuyer sur des éléments empiriques pertinents. Ceci rend 

justice au projet de Tarski (1936) de construire une définition 

de la vérité qui soit formellement correcte et matériellement 

adéquate 18. 

17 

Voir également le texte de ma communication à paraître dans les 

actes du colloque EMF 2006 

18 

La pertinence des travaux de Tarski pour l’étude didactique du 

raisonnement mathématique est présenté dans Durand-Guerrier 

(2004, 2005) 




Références 

APMEP (1992) Publication n°88 : EVAPM91/2. 

Évaluation des programmes de mathématiques Seconde 

1991. 

CHELLOUGUI, F. (2003) Approche didactique de la 

quantification dans la classe de mathématiques dans 

l’enseignement tunisien, Petit x, n°61. 

CHELLOUGUI, F. (2004) L’utilisation des quantificateurs 

universels et existentiels en première année universitaire entre l’explicite 

et l’implicite. Thèse des l’Universités Lyon 1 et Tunis. 

DUBINSKY, E. & YPARAKI, O. (2000) On Students 

Understanding of AE and EA Quantification. Research in 

Collegiate Mathematics Education IV, CBMS Issues in Mathematics 

Education, 8, 2000, 239-289. American Mathematical Society, 

Providence. 

DURAND-GUERRIER,V. (1995) Place de la logique 

formelle comme outil d'analyse des connaissances mises en 

oeuvre dans le raisonnement mathématique dans une 

perspective didactique, in G. Arsac, J. Gréa, D. Grenier, A. 

Thibergien, Différents types de savoirs et leurs articulations, La 

Pensée Sauvage. Grenoble. 

DURAND-GUERRIER, V. (1996a) Logique et 

raisonnement mathématique : défense et illustration de la pertinence du 

calcul des prédicats pour une approche didactique des difficultés liées à 

l'implication, Thèse de l’université Claude Bernard Lyon 1. 

DURAND-GUERRIER, V. (1996b) Place et rôle de 

la logique formelle dans la modélisation du raisonnement 

mathématique in Actes de la VIII ème école d'été de didactique des 

mathématiques, Noirfalise R., M.J. Perrin-Glorian, IREM de 

Clermont-Ferrand. 

DURAND-GUERRIER, V. (1999) L’élève, le 

professeur et le labyrinthe, in Petit X 50, 57-79. IREM de 

Grenoble, Université Joseph Fourier Grenoble1. 

DURAND-GUERRIER, V. (2000) Le statut logique des 

énoncés dans la classe de mathématique. Éléments d’analyse pour les 

enseignants, IREM de Lyon. 

DURAND-GUERRIER, V. (2003) Which Notion of 

Implication is the Right One? From Logical Considerations 

to a Didactic Perspective, Educational Studies in Mathematics 53, 

5-34. 

DURAND-GUERRIER, V. (2004) La théorie 

élémentaire des modèles comme référence épistémologique 

pour analyser les énoncés et les raisonnements 

mathématiques : aspects logiques, perspectives didactiques et 

aperçus linguistiques, in Durand-Guerrier, V. & Tisseron, C. 

(éds), Actes du Séminaire National de Didactique des mathématiques 

2003, IREM Paris 7. 

DURAND-GUERRIER, V. (2005) Recherches sur 

l’articulation entre la logique et le raisonnement mathématique dans une 

perspective didactique. Un cas exemplaire de l’interaction entre analyses 

épistémologique et didactique. Apports de la théorie élémentaire des 

modèles pour une analyse didactique du raisonnement mathématique, 

note de synthèse pour l’Habilitation à diriger des recherches 

en didactique des mathématiques, diffusée par IREM de 

Lyon. 

DURAND-GUERRIER, V. Logique mathématique et 

logique de sens commun : rupture ou continuité ? À paraître 

dans les Actes du colloque EMF 2006, dans le cadre du thème 8 : 

Développement de la rationalité mathématique au fil de la scolarité, 

Sherbrooke, 27-31 mai 2006. 

DURAND-GUERRIER, V. & ARSAC, G. (2003) 

Méthodes de raisonnement et leurs modélisations logiques. 

Le cas de l’analyse. Quelles implications didactiques ?, 

Recherches en Didactique des Mathématiques, 23/3, 295-342. 

LEGRAND, M. (1993) Débat scientifique en cours de 

mathématique et spécificité de l’analyse in Repères n°10 123- 

158. 

POLYA, G. Les mathématiques et le raisonnement plausible. 

Editions J. Gabay. 1958. 

QUINE, W.V. (1950) Methods of Logic, Holt, Rinehart & 

Winston; Traduction française Armand Colin, 1972. 

QUINE, W.V. (1990) Pursuith of Truth, Harvard 

University Press, Traduction française Éditions du seuil 1993. 

RUSSELL, B. (1903) Les principes de la mathématique, 

traduction française in RUSSEL, Écrits de logique philosophique. 

PUF: Paris 1989. 

TARSKI, A. (1936) Le concept de vérité dans les 

langages formalisés in Logique, sémantique et métamathématique, 

volume 1 : 157-269. Armand Colin, 1972. 

TARSKI, A. (1944) La conception sémantique de la 

vérité et les fondements de la sémantique in Logique, 

sémantique et métamathématique, volume 2 : 265-305. Armand 

Colin, 1972. 




Annexe Les réponses des étudiants de licence 

Réponse Phrase n°1 Phrase n°2 Phrase n°3 Phrase n°4 Phrase n°5 Phrase n°6 

E1 Faux Vrai ONPPS 19 Vrai Vrai Pas nécessairement 

E2 Faux Vrai ONPPS Vrai Faux Faux 

E3 Faux Vrai ONPPS Vrai Vrai ONPPS 

E4 Faux Vrai ONPPS Vrai Vrai On ne sait pas 




E8 Faux Vrai ONPPS Vrai Faux ONPPS 

E9 Faux Vrai ONPPS Vrai Temps ? Temps ? 



E12 Faux Vrai ONPPS Vrai Vrai Faux 













E25 Faux Vrai Faux Vrai Vrai Vrai 




ONPPS : on ne peut pas savoir 


juin 2006



Mathématiques et philosophie : 

pour une culture scientifique 

citoyenne 

La culture humaniste, ciment intellectuel des sociétés antérieures, a sombré corps et 

biens. Or, l’environnement technoscientifique dans lequel nous baignons présente 

un risque élevé de déficit démocratique. Pour que cette culture en gestation puisse 

jouer son rôle démocratique, il faudra donc dépasser une série d’obstacles. En 

prenant comme exemple l’enseignement des mathématiques, nous proposons en 

conséquence quatre défis : une maîtrise judicieuse de l’informatique, de nouvelles 

approches pédagogiques, davantage d’esprit critique et, enfin, une compréhension 

minimale du rôle social des technosciences. Nous dégageons ainsi quelques pistes 

d'une culture scientifique citoyenne, susceptible de renouveler en profondeur le 

sens de l’activité éducative. 

Philippe 

Etchecopar, 

Département de 

mathématiques, 

Cégep de Rimouski 

etchecop@ 

globetrotter.net 

Jean-Claude 

Simard, 

Département de 

philosophie, 

Cégep de Rimouski 

et UQAR 

jcsimard@ 

globetrotter.net 

T 

out un chacun reconnaîtra aisément 

l’importance de donner aux étudiants le 

goût de la liberté et de la critique… 

sauf dans certaines disciplines plus formelles 

comme les mathématiques. Pourtant, il y a 

quarante ans, déjà, Roger Godement, grand 

bourbakiste devant l’éternel, écrivait ceci, qui 

nous semble plus actuel que jamais : 

Il semble que, dans les "grandes" nations 

scientifiquement et techniquement surdéveloppées 

où nous vivons, le premier devoir des 

mathématiciens, et de beaucoup d'autres, serait 

plutôt de fournir ce qu'on ne leur demande pas, 

à savoir des hommes capables de réfléchir par 

eux-mêmes, de dépister les arguments faux et 

les phrases ambiguës, et aux yeux desquels la 

diffusion de la vérité importerait infiniment 

plus que, par exemple, la télévision planétaire 

en couleurs et en relief: des hommes libres, et 

non des robots pour technocrates. Il est 

tristement évident que la meilleure façon de 

former ces hommes qui nous manquent n'est 

pas de leur enseigner les sciences mathématiques 

et physiques, ces branches du savoir où la 

bienséance consiste, en premier lieu, à faire 

semblant d'ignorer jusqu'à l'existence même des 

problèmes humains, et auxquels nos sociétés 

hautement civilisées accordent, ce qui devrait 

paraître louche, la première place. Mais même 

en enseignant des mathématiques, on peut du 

moins essayer de donner aux gens le goût de la 

liberté et de la critique, et les habituer à se voir 

traités en êtres humains doués de la faculté de 

comprendre. 

(Roger Godement, Cours d'algèbre, Paris, 

Hermann, 1966, préface) 

Fidèles à l’esprit de Godement, le thème du 

congrès 2006 de l’AMQ, Mathématiques et 

diversité culturelle, nous a incités à présenter 

quelques réflexions sur un aspect trop négligé 

de l’enseignement des mathématiques et de la 

philosophie : le développement d’une culture 

scientifique citoyenne 1. 

Ces réflexions sont d’abord basées sur notre 

expérience de l’enseignement en Sciences de la 

nature, mais le développement d’une culture 

scientifique citoyenne nous semble tout aussi 

important dans les autres programmes du 

collégial. En effet, quel que soit son champ de 

1 

Ce texte a d’abord été présenté sous forme de 

communication, et nous avons tenu à en conserver 

le style oral originel. Par ailleurs, puisqu’il s’agissait 

d’un congrès de mathématiques, nous avons mis 

l’accent sur cette discipline. Mais bien sûr, les principes 

ici développés valent plus spontanément 

encore pour la philosophie ou d’autres matières… 



Mathématiques et philosophie : pour une culture scientifique citoyenne Philippe Etchecopar et Jean-Claude Simard 

spécialisation, l’élève doit devenir non seulement un bon 

travailleur, mais aussi un citoyen à part entière. 

I - Le contexte actuel 

I.1- Nouvelles technologies, information et déficit 

démocratique : la nécessité des passerelles 

Notre époque est marquée par divers phénomènes qui, sans 

lui être entièrement spécifiques, n’en ont pas moins pris de 

nos jours une ampleur inédite. Le développement accéléré 

des technologies de l’information et des communications 

autant que la croissance fulgurante de l’informatique, bref ce 

qu’on pourrait appeler la numérisation de la société — un 

processus, notons-le, dans lequel les mathématiques 

occupent une place centrale —, constitue certes l’un des plus 

remarquables. On l’a dit et redit : nous vivons dans une 

société de l’information où l’économie du savoir joue un rôle 

majeur et qui ira toujours croissant. 

L’autre tendance lourde, tout aussi remarquable, et d’ailleurs 

liée à la première, est que cette extension planétaire des 

communications rend tous les phénomènes interdépendants. 

Et comme la chose s’est souvent produite par le passé, cette 

addition quantitative de transformations amène un changement 

qualitatif majeur : la société actuelle tisse en effet des 

réseaux de complexité qui rendent la saisie correcte de ses 

divers aspects de plus en plus ardue. Pensons par exemple 

aux modifications du climat, à la prolifération nucléaire, au 

retour des pandémies mortelles (SIDA, grippe aviaire, virus 

du Nil occidental, etc.), à la question des OGM, à l’emprise 

des groupes pharmaceutiques sur la pratique de la médecine, 

etc. 

Cette situation historique inédite donne naissance à deux 

dangers différents. Le premier concerne le décalage potentiel 

des rythmes d’évolution. Les historiens distinguent en effet, 

surtout depuis la naissance de l’histoire quantitative, diverses 

vitesses de transformation des sociétés humaines. Soit des 

modifications rapides, qui caractérisent l’histoire courte. C’est 

par exemple le cas du développement exponentiel des 

technosciences. Soit encore un déroulement temporel 

médian, générationnel pourrait-on dire. C’est par exemple la 

lente évolution des mentalités qui suit le développement des 

technologies. Soit, enfin, l’histoire étalée sur la longue durée : 

c’est le cas de certains phénomènes que l’on pourrait appeler, 

par analogie, tectoniques, parce qu’ils forment une sorte de 

soubassement des événements. Ce temps géologique concerne, 

dans le cas qui nous occupe, le développement collectif 

des capacités intellectuelles. 

Ce décalage important des divers rythmes évolutifs risque 

d’induire une cassure entre, d’une part, la rapidité des 

changements scientifiques et techniques et, d’autre part, la 

capacité de la société à les absorber et à développer en 

conséquence des aptitudes adaptées. 

À ce premier danger s’en ajoute un second, non moins actuel 

et sérieux : le contrôle de l’information. Le développement 

exponentiel des technologies des communications offre 

aujourd’hui des possibilités inédites de manipulation de 

l’opinion publique, et donc, des esprits. Le public — et nos 

élèves ne font pas exception — baigne en permanence dans 

un océan de « communication » où sont présentes des 

applications mathématiques sophistiquées. Il suffit de penser 

à l’utilisation des statistiques ou au traitement des données 

dans l’omniprésente publicité ou encore dans le marketing 

politique. Ces technologies de l’information, jointes aux lois 

du marché, tendent à transformer la réalité en spectacle et 

effacent la frontière entre mondes virtuels et monde réel. 

La conjonction de ces deux dangers pose un sérieux 

problème à la démocratie. La complexité et la technicité des 

enjeux scientifiques occasionnent en effet un sentiment de 

dépossession et peuvent entraîner une démission conséquente 

de la population, ce qui favorise le règne des experts et de 

leurs discours d’autorité. Se profile alors une perte éventuelle 

de contrôle de la population sur la technoscience. Quant à la 

manipulation des esprits, elle peut pour sa part mener au 

monopole du savoir utile par une élite économique. Le 

conditionnement et la manipulation des esprits entraînent 

alors une extension rapide de la pensée unique, simpliste ou 

binaire. Les conséquences pour la démocratie sont lourdes : 

la population se retrouve déphasée et déconnectée du présent 

et elle tendra à effectuer un repli sur soi pour trouver refuge 

dans l’intégrisme, l’irrationnel (les pseudosciences) ou un 

scientisme désincarné. La baisse tendancielle des inscriptions 

dans les disciplines scientifiques est déjà préoccupante, mais 

la conséquence générale la plus sérieuse de tous ces facteurs 

délétères, c’est le déficit démocratique. Quand les grands 

problèmes deviennent l’affaire des seuls spécialistes, le débat 

public en souffre et on perd de vue l’idéal grec, celui-là même 

qui a donné naissance à la démocratie : le lien consubstantiel 

entre vie démocratique et argumentation. 

Malgré ces risques nombreux et élevés, ce sombre portrait 

n’est pas sans remèdes. Car des passerelles entre 

changements technologiques et population existent déjà. 

Songeons à l’augmentation et à l’accessibilité de l’information 

disponible grâce à Internet, à la hausse de la scolarité 

moyenne, à la création d’organismes gouvernementaux — 

par exemple ici, au Québec, le Conseil de la science et de la 

technologie —, dédiés aux émissions de vulgarisation 

scientifique, etc. Pour pallier les graves dangers évoqués, il 

faut cependant créer de nouvelles passerelles, en particulier 

dans le domaine qui nous occupe au premier chef, celui de 

l’enseignement. 

I.2 - La situation en mathématiques 

Cette situation générale trouve son pendant dans le cas des 

mathématiques. En effet, au cœur des sciences, elles ont 

connu une véritable explosion et elles se développent elles 

aussi à un rythme exponentiel. Les domaines mathématiques 

se multiplient et, sous la poussée de l’informatique, nous 

l’avons dit, nous assistons à une mathématisation accélérée 

des diverses sciences. La plupart des disciplines y recourent 

en effet pour modéliser les phénomènes à l’étude grâce aux 

simulations informatiques. De telles simulations permettent 

de reproduire, d’expérimenter et de prédire. Elles deviennent 

omniprésentes et servent d’argument d’autorité pour les 




« décideurs » qui les ont élaborées. Pensons seulement au 

fameux modèle Sylva planifiant l’exploitation forestière au 

Québec et dénoncé dans L’erreur Boréale de Richard 

Desjardins. Un modèle n’est après tout que la somme des 

choix de ceux qui l’ont élaboré. 

Bref, les mathématiques évoluent rapidement et les jeunes, 

nos élèves, aussi. Ils ont été élevés dans le monde très récent 

des communications tous azimuts. C’est la génération 

d’Internet, des mp3, du vidéoclip. C’est encore celle du 

zapping et de l’immédiateté. Heureusement, c’est également 

celle d’une intense curiosité et du dynamisme propre à la 

jeunesse. 

Entre la croissance des mathématiques et ces jeunes d’une 

part, et l’enseignement des mathématiques d’autre part, un 

fossé s’est creusé. Car l’enseignement des mathématiques, lui, 

a peu évolué. En général, il est resté magistral et dogmatique. 

D’ailleurs, il relève trop souvent d’une conception formaliste 

qui semble destinée essentiellement à former d’autres 

professeurs de mathématiques. Notons encore que les 

mathématiques appliquées n’ont pas bonne presse en 

Sciences de la nature et que l’usage de l’informatique ne 

s’introduit que difficilement dans l’enseignement. De plus, les 

mathématiques paraissent hors du temps aux élèves : celles 

qui leur sont enseignées remontent à un siècle ou deux, 

tandis que, dans d’autres disciplines, les cours incluent des 

découvertes récentes. Enfin, les méthodes sont généralement 

restées au stade de l’imprimerie et du tableau noir (ou blanc 

depuis quelque temps). 

L’absence de motivation adéquate et l’absence d’idées 

directrices transforment immanquablement un cours de 

mathématiques en un fatras de recettes partielles qui dégénèrent 

très vite en recettes à appliquer automatiquement sans contrôle 

rationnel possible. (André Revuz) 

Pour les élèves l’enseignement des mathématiques semble 

donc décroché de la réalité, il est vu comme un catalogue de 

recettes, basé sur le couple exercices-mémorisation. Il ne faut 

pas s’étonner, alors, d’assister à une désaffection des filières 

mathématiques et au recul de la place des mathématiques 

dans les programmes, et pas seulement au Québec. 

Ce recul des mathématiques, dans un monde où elles sont de 

plus en plus nécessaires, est un paradoxe qui aggrave le fossé 

technologique entre les citoyens et la science. Surtout que 

l’enseignement traditionnel engendre chez les élèves une 

passivité qui risque d’aggraver le déficit démocratique déjà 

évoqué. 

II - Quelques grandes orientations 

Que faire, alors ? Ce qui est sûr, c’est qu’un tel diagnostic 

appelle de nouvelles orientations générales. Il faut que nos 

jeunes, futurs citoyens, puissent s’approprier les enjeux 

scientifiques majeurs de notre temps. Pour cela, il faut 

renouveler l’enseignement des mathématiques et établir des 

passerelles inédites entre développement technologique et 

citoyens, d’une part, et entre le rôle élargi des mathématiques 

et leur enseignement, d’autre part. Comment, dans une 

optique de formation citoyenne, combler les fossés qui se 

sont creusés et le déficit démocratique qui s’ensuit ? Grâce à 

l’esprit critique et à la culture scientifique, croyons-nous, 

lesquels s’appellent l’un l’autre comme une compétence 

générale et son contenu nécessaire. 

II.1- Les mathématiques : du dogmatisme à 

l’esprit critique (un peu d’histoire) 

Dans l’esprit des élèves (et de certains membres du personnel 

enseignant ?), les mathématiques sont encore le domaine de 

la certitude et, par conséquent, de la vérité. Pourquoi ? Parce 

que les Grecs, créateurs des mathématiques pures, ont 

postulé dès l’origine un lien naturel entre celles-ci et la 

réalité : c’est la vérité comme correspondance spontanée au 

réel, ce qu’on appelle la position réaliste ou encore 

platonicienne (mais c’était déjà celle de Pythagore, deux 

siècles avant Platon). Or, cette association dogmatique de la 

vérité et de l’axiomatique dure depuis lors. Si les axiomes 

d’un système formel sont vrais, pense-t-on, et que les 

démonstrations sont saines et le système cohérent, la 

certitude des axiomes se transmet nécessairement aux 

propositions. Ainsi, ce qui vaut pour les sciences 

expérimentales, la notion de falsifiabilité élaborée par Popper 

(Logique de la découverte scientifique, 1934, tr. fr., 1973), ne 

s’appliquerait pas aux mathématiques. 

Mais selon nous, cette vision est erronée. Une certaine forme 

de falsifiabilité doit maintenant traverser les mathématiques. 

Pourquoi ne peut-on plus les considérer comme naturellement 

vraies ? Les géométries non euclidiennes et la crise des 

fondements qui a suivi ont fait justice de la notion de vérité 

comme correspondance spontanée. La coexistence de propositions 

dûment démontrées, mais contradictoires entre elles, 

oblige maintenant à limiter la notion de vérité à la rigueur 

interne, c’est-à-dire à la cohérence formelle du système. En 

d’autres termes, on ne peut plus se prononcer sur la vérité 

des axiomes ou des propositions elles-mêmes, et il faut 

dorénavant penser en termes de validité plutôt que de vérité. 

Deledicq a exprimé de manière hautement colorée, mais tout 

à fait juste, ce changement de paradigme : 

Le règne de l’évidence est aboli. Les axiomes naissent et 

demeurent libres et égaux en droit, les distinctions de valeurs ne 

peuvent être fondées que sur l’utilité. Le concept de vérité est 

limité essentiellement au-dedans d’une théorie donnée; nulle 

proposition ne peut être envisagée qui n’en fasse expressément 

partie. La liberté consiste à pouvoir énoncer tout ce qui ne 

contredit pas d’autres énoncés. Ainsi, l’existence de chaque 

axiome n’a de bornes que celles qui assurent avec les autres 

axiomes, la non-contradiction de la théorie dont ils sont la 

base 2 . 

Évidemment, tout ceci vaut surtout pour les mathématiques 

pures. Qu’en est-il alors des mathématiques appliquées ? 

S’agit-il d’une situation complètement différente ? On sait 

que le critère traditionnel de la vérité des mathématiques 

appliquées était leur efficacité ou leur utilité. Dans la nouvelle 

conjoncture, ceci reste a fortiori valable. Cependant, là 

aussi, quelque chose d’essentiel a changé. Car nous croyons 

2 Clefs pour les maths modernes, Paris, Seghers, 1972, p. 21. 




que les mathématiques, qui ont toujours été une science 3 

pure ou formelle, quoiqu’universellement applicable, sont 

maintenant en partie expérimentales. Pour une raison très 

simple : l’extension intensive de l’informatique a fait de la 

numérisation et de la modélisation des instruments d’expérimentation 

mathématique. Et cette instrumentalité, distincte 

de l’applicabilité, modifie le statut traditionnel des mathématiques. 

Se trouve-t-on pour autant en présence d’une forme 

de falsifiabilité au sens de Popper ? Sans doute pas, mais on 

nage dans les « vérités » alternatives. C’est d’ailleurs l’une des 

raisons pour lesquelles l’épistémologue hongrois Lakatos, 

mathématicien de formation, qualifie de quasi empiristes de 

larges pans des mathématiques actuelles. 

Bien sûr, ce trop bref historique est brossé à grands traits. 

Mais la conclusion, qu’il y aurait évidemment lieu de raffiner, 

n’en apparaît pas moins clairement : le lien spontané entre 

mathématiques, certitude et vérité a vécu. Il faut dorénavant 

abandonner toute attitude dogmatique et introduire l’esprit 

critique et la culture scientifique, même en mathématiques. 

II.2 - L’esprit critique 

Dans une société de communication où les techniques les 

plus sophistiquées tentent d’influencer le citoyen consommateur 

dans un grand nombre de domaines, un des objectifs 

majeurs de l’enseignement, y compris l’enseignement des 

mathématiques, devrait être de développer l’autonomie de 

jugement chez les jeunes. Cette autonomie de jugement, en 

lien avec la capacité argumentative, est essentielle à la 

démocratie. 

Or, c’est l’esprit critique qui est à la base de l’autonomie de 

jugement. Bien des études ont été menées sur le sujet. Pour 

notre part, nous indiquerons certains principes simples qui 

font consensus, suivis de quelques éléments qui peuvent 

nous guider dans l’enseignement des mathématiques. 

Un principe important consiste à placer l’élève dans des 

situations où il est amené à réfléchir plutôt qu’à croire. En ce 

sens, l’accent devrait être mis davantage sur la démarche 

plutôt que sur une réponse. Il s’agit d’explorer des situations : 

cas particuliers, contre-exemples, domaine de validité, 

diversité des approches, liens avec d’autres situations, etc. Il 

faut développer l’habitude de rechercher le plus souvent 

possible des explications et considérer que les solutions 

définitives sont rares. 

En fonction de ce principe, on peut distinguer quelques 

capacités majeures de l’esprit critique, lesquelles figurent dans 

la plupart des études sur la question. D’abord l’aptitude à 

obtenir une vue d’ensemble d’une situation et à établir des 

liens avec d’autres phénomènes. Ensuite la capacité à 

argumenter et raisonner. Enfin, la capacité de chercher, trier 

et maîtriser l’information, pour la communiquer ensuite de 

manière efficace. Pour développer ces compétences, 

l’enseignement des mathématiques ne devrait pas se limiter 

3 

Certains préfèrent parler plutôt d’un langage général des sciences, 

mais cela ne change pas la nature de la problématique que nous 

esquissons ici… 

aux connaissances strictement disciplinaires, comme nous 

allons le voir à l’instant. 

II.3 - La culture scientifique 

L’esprit critique appelle une culture scientifique comme 

pendant naturel. Il existe presque autant de définitions de la 

culture scientifique que de personnes qui y travaillent. La 

nôtre, de nature d’abord académique, inclut principalement 

trois champs : l’histoire des sciences et des techniques, 

l’épistémologie, ainsi que les rapports STS (rapports Science, 

Technologie et Société) ouvrant sur l’éthique. L’idée est de 

mettre la science et la technique en perspective à tous les 

niveaux et d’offrir ainsi une prise à l’esprit critique. 

L’épistémologie de l’activité scientifique inculque le sens de la 

relativité et constitue un bon antidote au dogmatisme 

impénitent. L’histoire des sciences et des techniques 

possède, quant à elle, une importante valeur pédagogique. 

Dans le cas qui nous occupe, il faut mettre en relation 

l’histoire des mathématiques et celle des sciences et des idées. 

Enfin, l’étude des rapports science, technologie et société 

permet de réfléchir à l’influence des facteurs sociaux sur le 

développement des sciences et des techniques et, inversement, 

à l’impact de celles-ci sur la société, ce qui contribue 

éventuellement à l’établissement d’un système de valeurs 

raisonné. Il ne faut en effet pas perdre de vue le but ultime 

de ce mariage entre esprit critique et culture scientifique, qui 

demeure l’autonomie intellectuelle et morale des élèves. 

III - Des pistes pour l’enseignement 

Après avoir posé un diagnostic global et indiqué quelques 

orientations générales, il est maintenant temps de passer à 

l’étape des applications pratiques. 

III.1 – Un principe de départ simple 

Un premier principe pédagogique assez simple consiste à 

utiliser la célèbre distinction du philosophe et historien des 

sciences Reichenbach entre contexte de découverte et 

contexte de justification (Experience and Prediction, 1938). Le 

contexte de justification, c’est la façon dont on enseigne les 

résultats scientifiques après coup. C’est l’approche habituelle, 

formelle, progressive et déductive. Le contexte de découverte 

est très différent, car il témoigne plutôt de la façon dont les 

découvertes ont été réellement effectuées. Qu’il s’agisse de 

débats acerbes et interminables (l’élaboration simultanée et 

malheureusement concurrente des calculs différentiel et 

intégral par Newton et Leibniz), de voies apparemment sans 

issue (Saccheri et ses tentatives de démontrer par l’absurde le 

cinquième postulat d’Euclide, lesquelles, contre toute attente, 

ont ouvert la voie aux géométries non euclidiennes), du rôle 

du hasard (la découverte de l’électricité corporelle par 

Galvani), voire de la rêverie (Kekulé et la visualisation de la 

tétravalence du carbone), les voies de la découverte 

scientifique sont nombreuses, variées et ont très peu à voir 

avec la façon dont on les expose ensuite en classe. Replacer à 

l’occasion les concepts enseignés dans leur contexte 

historique et philosophique et rappeler les questionnements 

qu’ils ont soulevés permet de montrer que les résultats 

scientifiques ne sont pas figés, et qu’ils sont la plupart du 




temps le fruit d’un long travail d’élaboration. Cela permet 

également de constater que les liens entre la science et les 

facteurs sociaux ne sont pas simples et ouvrent souvent des 

avenues de réflexion inédites et stimulantes. 

Ainsi, certains thèmes se prêtent tout naturellement au développement 

de l’esprit critique et d’une culture scientifique en 

mathématiques. Ce sont ceux faisant état des débats qui ont 

traversé leur histoire ou encore qui illustrent leur nature et 

leur rôle. Souvent, on ne les aborde pas en classe, car on croit 

à tort qu’ils ne peuvent être traités sérieusement dans le cadre 

des cours collégiaux. On peut par exemple penser aux 

différents types de nombres et aux polémiques ayant entouré 

leur élaboration, à la différence cruciale entre infini potentiel 

et infini actuel, aux géométries non euclidiennes, à l’invention 

de l’algèbre moderne par Galois, à la crise des fondements, 

aux avenues mathématiques actuelles, etc. 

III.2 - Une carte du labyrinthe 

Outre la présentation occasionnelle du contexte des découvertes, 

un deuxième élément permettrait, dès l’abord, de 

donner aux élèves une culture scientifique de base. Il s’agirait 

de leur offrir une vue d’ensemble des mathématiques, une 

sorte d’aperçu global. Pour nombre d’entre eux, les mathématiques 

telles qu’elles sont enseignées paraissent un 

labyrinthe auquel manque le fil d’Ariane. Ils suivent aveuglément 

le professeur, de résultat en résultat, sans trop de recul 

ni de perspectives. Or la capacité à prendre du recul et à faire 

des liens est, nous l’avons vu, essentielle pour développer 

l’esprit critique. C’est, au-delà de la connaissance des faits, la 

compréhension de leur dynamique. 

Il nous semble donc que, dès l’arrivée au collège, il faudrait 

fournir aux élèves, dans la mesure du possible, bien sûr, une 

carte de l’univers mathématique dans lequel ils vont être 

entraînés. Cette vision d’ensemble pourrait évidemment 

prendre diverses formes. Cela pourrait être par exemple une 

sorte de paysage où seraient décrits les domaines (la géométrie, 

l’algèbre, le calcul différentiel et intégral, etc.), puis le 

terreau dans lequel ces domaines s’enracinent (les nombres, 

les fonctions, les transformations, etc.) et aussi les sentiers 

qui les parcourent, comme le raisonnement, les démonstrations, 

l’abstraction, la généralisation, etc. Elle serait 

complétée par un aperçu des grandes étapes du développement 

historique des mathématiques occidentales : leur 

naissance en Grèce, la révolution scientifique des XVIe- 

XVIIe siècles, la crise des fondements au XIXe siècle, 

l’explosion du XXe siècle, et ainsi de suite. 

Cependant, un paysage, c’est statique. Il devrait par conséquent 

être complété sous l’angle du contexte de découverte, 

qui en dévoile le dynamisme, et montre ce qui a fait progresser 

les mathématiques à travers l’histoire. Comment la solution 

de problèmes posés par les phénomènes naturels a-t-elle 

contribué à leur développement ? Songeons par exemple à 

l’importance de la compréhension du mouvement dans 

l’élaboration du calcul différentiel. En quel sens les questions 

de cohérence interne ont-elles été aussi un facteur ? Ainsi, 

Cantor aurait-il développé la théorie des ensembles et les 

nombres transfinis sans les résultats contradictoires des 

géométries non euclidiennes ? Enfin, comment les divers 

facteurs sociaux influencent-ils les mathématiques dans chaque 

civilisation ? Par exemple, pourquoi est-ce en Grèce 

antique et nulle part ailleurs que sont nées les mathématiques 

comme système formel ? Qu’est-ce qui a déterminé l’apparition 

de ce style proprement occidental ? 

III.3 – Méthodes de travail, pédagogie et 

apprentissage 

Parlons à présent d’apprentissage et de pédagogie, lesquels 

demeurent dans l’enseignement le nerf de la guerre, quels que 

soient par ailleurs les époques et les changements. 

Les méthodes d’apprentissages retenues doivent amener les 

élèves à développer l’esprit critique. En ce sens, la modélisation 

est une méthode de résolution de problème bien adaptée 

à cet objectif. Elle demande en effet une bonne capacité 

d’observation et d’abstraction pour déterminer les fonctions 

mathématiques représentant le phénomène. L’élaboration 

d’un modèle oblige à penser en terme d’étapes et non de 

résultat à obtenir, et un bon esprit critique est indispensable 

pour établir les limites du modèle. Enfin, la modélisation, 

avec ses simulations informatiques, rapproche l’enseignement 

des mathématiques de leur utilisation effective dans les 

sciences. 

Toujours dans l’optique de développer l’esprit critique, les 

méthodes de travail doivent elles aussi mettre les élèves en 

situation de questionnement et de communication. Il est 

pertinent de favoriser le travail d’équipe et l’utilisation des 

TIC. Plus largement, les méthodes de travail à privilégier sont 

celles qui impliquent questionnement et jugement et qui 

correspondent aux technologies actuelles. 

Enfin, les méthodes d’enseignement doivent elles aussi 

évoluer. Pour susciter l’intérêt et développer une certaine 

autonomie, il faut passer d’un enseignement magistral à un 

enseignement plus interactif, provoquant les élèves à 

apprendre en pensant. En ce sens, il est nécessaire d’utiliser 

les ressources technologiques actuelles (informatique et 

Internet), tant pour leur efficacité que pour actualiser 

l’enseignement aux yeux des élèves. 

III.4 - Collaboration interdisciplinaire et bases 

philosophiques 

On l’aura sans doute compris à la lecture, les grandes 

orientations ici adoptées reposent sur quelques principes 

philosophiques de base, qui leur donnent à la fois sens et 

cohérence. Ces principes sont aussi ceux qui offrent un cadre 

au travail interdisciplinaire entre mathématiques et philosophie, 

dont le destin historique fut souvent lié. (On sait que la 

plupart des grandes révolutions mathématiques furent aussi 

celles où se développa la pensée philosophique, pour la 

raison très simple que les grands philosophes étaient souvent 

mathématiciens, et vice versa. Pensons par exemple à 

Pythagore, Platon, Descartes, Leibniz, etc.) Le premier de ces 

principes est la finitude humaine, qui limite la possibilité qu’a 

l’homme d’atteindre l’absolu, quel que soit le domaine. Ainsi, 

la perte de certitude en mathématiques, l’un des derniers 

retranchements où on la croyait encore accessible, s’inscrit 




logiquement dans cette foulée. Cette finitude trouve son 

corrélat nécessaire dans le sens de la relativité des connaissances 

humaines. Ainsi, les divers contextes de découverte, 

changeants, ondoyants et au fond imprévisibles, ne sont pour 

nous que le reflet de ces limites. L’histoire et ses incessantes 

transformations deviennent par là même l’illustration 

constante de cette relativité. 

Un second principe, qui justifie lui aussi la collaboration 

interdisciplinaire, mais également l’enseignement non magistral, 

est la conception de la vie démocratique comme dialogue 

intersubjectif. Comme l’a montré Popper dans Misère de 

l’historicisme, tous les régimes politiques sont limités et 

imparfaits, mais la démocratie est sans doute le moins 

mauvais d’entre eux, parce qu’elle suppose des échanges 

constants entre citoyens ou citoyennes, c’est-à-dire entre 

sujets de droit. Bref, c’est peut-être un type limité de société, 

mais c’est cette limite même, comme l’avait vu avant lui 

Bergson (Les deux sources de la morale et de la religion, 1932), qui 

en garantit l’ouverture permanente. En ce sens, le lien entre 

argumentation et démocratie est essentiel, et ce n’est 

nullement un hasard si les Grecs anciens ont créé à la fois les 

mathématiques formelles, la philosophie et la démocratie. 

C’est pourquoi, amener nos élèves à penser par eux-mêmes, 

c’est en faire des vecteurs démocratiques, des multiplicateurs 

futurs. Ainsi, une culture scientifique citoyenne devient un 

idéal, non seulement accessible, mais nécessaire. À leurs 

niveaux respectifs, tant la classe que la démocratie forment 

des sociétés ouvertes, où incombent à chacun et chacune la 

tâche d’apprendre constamment et la nécessité d’argumenter 

pour ce faire. 

Pour une conclusion provisoire 

Les connaissances vont continuer à s’accumuler exponentiellement, 

le progrès des technologies ne prendra pas de pause 

et les mathématiques resteront au cœur de ces changements. 

Comme il l’a toujours fait dans le passé, l’enseignement doit 

donc s’adapter aux réalités du jour. Si nous ne voulons pas 

que le fossé entre les sciences et le grand public continue de 

s’élargir et que, par voie de conséquence, le risque d’un 

déficit démocratique ne s’accentue lui aussi, il nous semble 

donc impératif d’inclure un objectif de formation citoyenne 

dans l’enseignement. Et ce sont l’esprit critique autant que la 

culture scientifique qui balisent à notre avis la voie de l’avenir. 

En somme, les mathématiques doivent, à nouveau, être 

associées à la vie démocratique, comme l’a souvent été la 

philosophie. C’est la tâche future qui attend les enseignantes 

et les enseignants de ces deux disciplines vénérables. 



Des problèmes de recherche pour 

l'apprentissage 

de la modélisation et de la preuve en 

mathématique 

L'objectif de cet atelier est d'étudier un ensemble organisé de problèmes formant ce 

que nous appelons une « situation de recherche pour la classe » (SiRC), permettant 

de mettre des élèves de tous âges et de différents niveaux dans une activité de 

recherche. L'activité mathématique peut se caractériser par : des expérimentations 

sur des petits cas, des modélisations de problèmes, l'énoncé de conjectures, la 

recherche d'exemples et de contre-exemples, l'énoncé de résultats (éventuellement 

partiels) et la construction de preuves. 

Denise Grenier 

Laboratoire 

Leibniz, 

Université Joseph 

Fourier, 

Grenoble, 

France. 

Denise.Grenier@ 

imag.fr 

L 

’atelier peut s'organiser en deux temps: 

• la résolution des problèmes ; 

• une « analyse didactique » de ces 

problèmes, consistant pour l'essentiel à 

s'intéresser aux questions suivantes : quelles 

sont les solutions et les procédures de 

résolution possibles, quelles connaissances 

sont nécessaires pour chercher et résoudre ces 

problèmes, quels apprentissages sont mis en 

jeu. 

Ce travail est à mener en groupes, avec des 

moments de synthèse collectifs. La première 

partie de cet atelier s’adresse donc à tout 

public. La seconde partie (analyse didactique) 

intéresse plus particulièrement les enseignants 

de mathématiques et les chercheurs en 

enseignement. 

Ce que nous désignons par « situations de 

recherche » (SiRC) est très précis ; nous 

expliquerons en quoi nous les distinguons des 

« situations-problèmes » et des « problèmes 

ouverts » qui sont décrits dans d'autres travaux 

de didactique des mathématiques. Nous en 

donnons les éléments de caractérisation dans 

Grenier et Payan (2003 et EMF 2006). 

En particulier, trois aspects fondamentaux 

présents dans ces SiRC sont peu présents, 

voire absents, dans la classe usuelle. 

• L’« enjeu de vérité ». En classe, 

usuellement, ce qui est à prouver est la plupart 

du temps annoncé comme vrai (« démontrer 

que ») ; il n’y a pas d’enjeu de vérité. 

• L’aspect « social » de l’activité. Dans une 

SiRC, il peut y avoir un vrai enjeu social de 

production mathématique, même s’il est local 

(groupe + professeur et/ou chercheur). 

• L’aspect « recherche ». Dans les manuels et 

les pratiques enseignantes, il est explicitement 

déclaré que, pour résoudre un problème et 

aussi pour prouver, « on ne doit utiliser que les 

propriétés du cours ou celles d'une liste 

donnée ». Cette consigne est contradictoire 

avec l’activité du chercheur et avec la 

démarche scientifique. 

Ces caractéristiques et contraintes entraînent 

des conditions de réalisation et de 

gestion précises. Notre équipe s'attache 

depuis des années à l'étude de ces conditions. 

Nous disposons actuellement d' « analyses a 

priori » fiables pour quelques-unes de ces 

SiRC, résultats de nombreuses expérimentations 

que nous avons menées dans des 

institutions et à des niveaux scolaires très 

différents. La « situation de recherche » choisie 

ici en est un exemple. 



Des problèmes de recherche pour l'apprentissage de la modélisation et de la preuve en mathématique Denise Grenier 

I. La question mathématique générale. 

Quelques définitions. 

La question générale est la suivante : 

Q0. Étant donné un polymino, est-il pavable par 

un ensemble de polyminos identiques plus petits ? 

Un polymino peut être défini comme un morceau d'un plan 

quadrillé découpé selon les cases, chaque case étant adjacente 

à une ou plusieurs autres cases (4 au maximum) par au moins 

un de ses côtés. Un polymino peut avoir des « trous » (des 

cases manquantes). 

Par exemple, le polymino ci-dessous est-il pavable par des 

dominos ? (les zones hachurées sont des trous). Après 

plusieurs « essais » il semble que non, et pourtant il comporte 

un nombre pair de cases ... Peut-on le prouver et comment? 

Figure 1 

Cette question relève de la géométrie combinatoire, une 

branche des mathématiques discrètes (domaine mathématique 

absent des programmes scolaires dans de nombreux 

pays). Cependant, nous allons montrer qu'à partir de la 

question générale Q0, on peut construire des problèmes 

permettant de faire travailler les élèves sur des notions qui 

concernent les programmes scolaires (et pas seulement en 

France). Il s'agit avant tout de travailler la modélisation et la 

preuve, allant de la mise en place de conjectures à 

l'élaboration de démonstrations. Nous verrons que d'autres 

notions mathématiques sont aussi en jeu dans ces problèmes. 

Il est facile de se convaincre rapidement qu'on ne peut 

répondre globalement à la question Q0 pour un polymino 

« quelconque ». Pour étudier Q0, il faut donc se fixer des cas 

particuliers de polyminos à paver, par exemple, des rectangles 

ou des carrés, avec ou sans trous, ou des trapèzes, etc. 

Quant au polymino qui servira à paver (on l'appellera pavé), 

on pourra en choisir de très simples (dominos, triminos, 

pentaminos, etc.) sans crainte de rendre le problème 

inintéressant 1. On considère que les pavés sont retournables 

(donc identiques par isométrie directe ou indirecte). 

Avant de poursuivre, donnons-nous quelques définitions 

nécessaires pour la suite de notre propos. 

I.1. Définitions et remarques 

La taille d'un polymino est définie pour les polyminos 

« carré » et « rectangle ». La taille d'un carré est le nombre de 

cases formant un côté (exemple : « carré de taille 3 »). Celle 

d'un rectangle est donnée par les nombres des cases sur 

chacun des côtés (exemple : « rectangle de taille 2x5 »). Un 

polymino rectangle de taille 1xn sera noté polymino-ligne. 

L'aire d'un polymino quelconque est le nombre total de ses 

cases (les trous ne sont pas comptés). Par exemple, le 

polymino de la figure 1 est d'aire 30, les trous sont de tailles 1 

et 1x2 respectivement. 

Un trapèze est un polymino sans trou pouvant être décrit, 

dans une position bien choisie, par des polymino-lignes 

nommés paliers, de bas en haut, chaque palier m vérifiant 

deux conditions : 

• le nombre de cases d'un palier m est inférieur ou égal au 

nombre de cases du palier m-1 ; 

• il n'y a pas de surplomb, le palier m est en retrait du palier 

m-1. 

Le palier 1 sera nommé la « base ». Exemple : 

Figure 2 

Les deux polyminos de la figure 3 ci-dessous ne sont pas 

des trapèzes, car quelle que soit l'orientation dans laquelle 

on les considère, chacun présente un palier « à trou » (ligne 

non connexe) ou un surplomb. 

Figure 3 

Bien sûr, avant de conclure qu'un polymino donné n'est pas 

un trapèze, il faut l'analyser dans les quatre orientations 

possibles. Le polymino de la figure 1 n'est pas non plus un 

trapèze. 

II. La situation de recherche 

II.1. Les problèmes 

La situation que nous allons étudier ici est composée de trois 

problèmes correspondant chacun à des choix particuliers de 

polyminos à paver et également à des choix de pavés. L'ordre 

proposé pour ces trois problèmes a son importance, comme 

nous le verrons dans l'analyse. Voici les énoncés. 

Problème P1. À quelle(s) condition(s) un carré de taille 

quelconque, avec un « trou » de taille 1 (une case) est-il 

pavable par des dominos ? Le trou peut se situer n'importe 

où, y compris sur un bord ou un coin du polymino. Voici le 

dessin pour le polymino de taille 7 et un cas particulier de la 

position du trou. 

Actes du 49e congrès de l’Association mathématique du Québec 156 31 mai et 1er 1 La question du pavage d'un polymino par des uniminos 

(une seule case) ne présente aucun intérêt, car elle n'est pas 

problématique. 


juin 2006


Problème P2. À quelles conditions un trapèze de taille 

quelconque est-il pavable par des dominos ? Voici deux 

exemples de trapèzes. 

Problème P3. À quelles conditions un carré de taille 2 n , n 

entier quelconque, avec un trou de taille 1, est-il pavable par 

des « triminos en L » 2? Ci-dessous, un cas particulier avec 

n = 8 et une position particulière du trou (hachuré). 

Les problèmes P1 et P3 sont décrits et étudiés dans Grenier 

& Payan (1998) et Grenier (EMF 2006) ; nous reprenons 

quelques éléments de cette étude ici. Nous situerons ensuite 

les trois problèmes en ce qu'ils ont de complémentaire et de 

spécifique. 

II.2. L'organisation de la classe 

Le travail en groupes est un moyen d'assurer à la fois la 

dévolution des problèmes (car ils ne sont pas usuels) et les 

échanges et la discussion sur les stratégies et les solutions. 

Des moments de synthèse collective permettent de faire le 

point sur les cas résolus, les conjectures, les contre-exemples, 

les preuves, et aussi les difficultés. Cette organisation vaut 

aussi bien en formation d'enseignants qu'avec des élèves en 

classe. 

Le temps est un élément important pour la résolution en 

groupes, et aussi pour les synthèses. La situation ne sera 

porteuse d'apprentissages que si elle se poursuit sur plusieurs 

séances. Il est donc nécessaire que chaque groupe tienne un 

« cahier de recherche », pour faire mémoire de l'état de la 

résolution d'une séance à l'autre : cas étudiés, conclusions, 

questions non résolues, nouvelles questions, mais aussi 

difficultés, pistes abandonnées, etc. 

III. Éléments d'analyse didactique des 

problèmes 

Cette analyse est basée sur de nombreuses données 

expérimentales qui nous permettent d'avoir une analyse a 

priori fiable des problèmes, et ainsi d'anticiper les 

apprentissages que cette situation peut susciter. 

2 Il existe deux sortes de triminos : le polymino-ligne (à 3 cases ) et le 

trimino en forme de L. 

III.1. Pavage de carrés à un trou par des 

dominos (problème P1) 

III.1.1. Propriétés et conjectures émergeant de la 

recherche 

Le problème P1 a pour rôle la mise en place d'un 

« milieu » (au sens de la théorie des situations didactiques) 

pour la résolution de la question Q0. En effet, ce type de 

questions est inconnu de la très grande majorité des élèves et 

des enseignants. La résolution de P1 va donc permettre 

d'introduire des outils spécifiques et d'établir des propriétés 

de base sur le pavage des polyminos, qui serviront ensuite 

pour les problèmes P2 et P3. 

L'étude des carrés de petites dimensions (taille n ≤ 7) conduit 

à faire des constats, puis à établir des propriétés ou des 

conjectures. Voici celles qui émergent très régulièrement, 

plus ou moins facilement selon le public concerné. 

Propriété 1. Une condition nécessaire pour pouvoir paver 

un carré ayant un trou avec des dominos est que le polymino 

soit d'aire paire. Cette condition n'est pas suffisante. 

En effet, pour les valeurs paires de n, on ne peut pas paver, 

puisque le nombre de cases restant à paver est impair (à 

cause du trou), et qu'un domino couvre 2 cases. 

Propriété 2. Pour n = 3, une condition nécessaire et 

suffisante pour pouvoir paver avec des dominos est que le 

trou soit placé sur une des cases hachurées ci-dessous. 

Preuve. Il y a les « bonnes » cases, c'est-à-dire que les autres 

sont des « mauvaises » cases. Dans le cas des « bonnes » 

cases (celles qui correspondent aux positions pour trou qui 

permettent de paver), la preuve consiste à exhiber un pavage. 

Pour les « mauvaises » cases, la preuve consiste à décrire un 

pavage forcé qui aboutit à laisser deux cases finales non 

connexes (donc non recouvrables par un domino). 

Remarques. Pour établir la propriété 2, on utilise le fait que 

si on peut exhiber un pavage, alors on a la « preuve » que le 

polymino est pavable. Ceci ne va pas de soi pour tous les 

élèves. D'autre part, par des arguments de symétrie, le 

nombre de positions du trou à étudier est réduit à 3. 

Propriété 3. Pour n = 5, une condition nécessaire et 

suffisante pour pouvoir paver avec des dominos est que le 

trou soit placé sur une des positions hachurées ci-dessous. 

Preuve de la condition suffisante : on exhibe un pavage (c'est 

encore facile). 

Pour la condition nécessaire, on ne peut prouver par 

exhaustivité des cas, car il faudrait s'assurer qu'on a étudié 




toutes les possibilités de pavage avant de déclarer qu'il n'en 

existe aucun. 

La propriété est donc seulement partiellement établie. Elle 

sera établie avec la preuve de la conjecture 1 générale cidessous. 

Remarque. Pour n = 7, l'étude cas par cas est fastidieuse et 

ne permet pas de se convaincre, sauf pour quelques cases qui 

« marchent » et pour lesquelles les résultats obtenus pour 

n = 3 ou n = 5 peuvent être réinvestis facilement, dans une 

argumentation qui relève de manière implicite d'une 

induction (au sens large). 

Conjecture pour n quelconque 

Repérons les cases par deux coordonnées entières, à partir 

d'un coin du polymino (par exemple le coin en bas à gauche), 

et en commençant par (1,1). 

Conjecture 1. Pour n quelconque, une condition nécessaire 

et suffisante pour pouvoir paver avec des dominos est que le 

trou soit placé sur une case ayant une position paire-paire ou 

impaire-impaire dans le polymino. 

III.1.2. Introduction d'un outil pour la preuve de 

la conjecture : la coloration en damier 

Le dessin représentant les « bonnes » cases induit une 

coloration du polymino en « damier » (deux couleurs en 

alternance). Cette coloration qui, pour le moment, n'est 

qu'un support ou une manière de représenter les solutions, va 

devenir un outil efficace pour la preuve. Posons-nous la 

question : si je colorie mon polymino en damier (disons noirblanc), 

que recouvre un domino ? La réponse vient assez 

facilement : puisqu'un domino est composé de deux cases 

adjacentes, quel que soit le lieu où on pose ce domino, il 

recouvre une case noire et une case blanche. Deux dominos 

recouvrent donc 2 cases blanches et 2 cases noires, etc. 

Une condition nécessaire pour pouvoir paver est donc 

que, dans la coloration en damier, il y ait autant de 

cases noires que de cases blanches (on dit que le 

polymino est équilibré). 

Or le nombre de cases d'un carré de taille n impaire est un 

nombre impair. Dans la coloration en damier, on a donc une 

couleur majoritaire de une unité ((n 2 -1)/2 pour l'une des 

couleurs et (n 2 +1)/2 pour l'autre). Ainsi, une condition 

nécessaire pour pouvoir paver est que le trou soit placé 

sur une case de la couleur dominante. Ceci prouve notre 

conjecture pour les « mauvaises » cases. 

Attention, ceci ne permet pas de prouver la conjecture 

pour les « bonnes » cases. C'est une erreur qui est souvent 

apparue dans nos expérimentations. 

Preuve de la condition suffisante 

Il faut donc maintenant prouver que si le trou est sur une 

case de la couleur dominante, le polymino carré est pavable. 

Des preuves accessibles existent, qui se situent à des niveaux 

de connaissances différents : 

• par « décomposition » du carré en rectangles d'aires 

paires, autour du trou ; 

• par récurrence sur n. 

Nous renvoyons à Grenier et Payant (1998) pour le détail de 

ces preuves. 

Remarque. Dans la preuve de la conjecture 1, qui est une 

CNS, les connaissances et outils pour établir la CN (l'outil 

coloration et la notion de « polymino équilibré ») ne sont pas 

les mêmes que ceux qui servent à établir la CS 

(décomposition ou récurrence). Pour cela, nous pensons que 

P1 est un bon problème pour discuter de la différence entre 

une CS et une CN. 

III.1.3. Relations entre « pair », « équilibré » et 

« pavable » 

Propriété 4. Quel que soit le polymino, on a : pavable 

=> équilibré => pair. 

La preuve est évidente. 

Remarques. Dans le cas général, il n'y a aucune 

équivalence. Mais pour les carrés ou rectangles sans trou, 

tout est équivalent. Pour les carrés ou rectangles tronqués 

d'une case, nous venons d'établir que équilibré pavable, 

mais un pair n'est pas forcément équilibré. 

III.1.4. La notion d'adjacence 

Cette notion joue ici un rôle fondamental pour résoudre P1. 

Elle permet de transformer la coloration en un outil de 

preuve efficace. Dans nos expérimentations, nous avons 

constaté que la résolution de P1 permet de la faire émerger 

lors des essais successifs de pavage. En effet, pour un 

polymino non pavable, on peut observer qu'à chaque fois, les 

tentatives avortées de pavage s'arrêtent sur deux cases isolées. 

III.1.5. Prolongement du problème P1 

Un de nos critères pour une SiRC est que le problème n'ait 

pas de fin, la résolution de la question de départ amenant 

d'autres questions. Ici, lors de la résolution de P1, nous 

avons rencontré la question du pavage des rectangles par des 

dominos. 

III.2. Pavage d'un trapèze par des dominos 

(problème P2) 

III.2.1. Propriétés et conjectures pouvant émerger 

de la recherche 

En réutilisant des propriétés et des outils établis lors de la 

résolution du problème P1, en particulier la propriété 4, on 

peut affirmer que : 

Propriété 5. Une condition nécessaire pour qu'un trapèze 

soit pavable par des dominos est qu'il soit équilibré (il est 

donc d'aire paire). 




Vient la question : existe t il des trapèzes d'aire paire et non 

équilibrés ? La réponse est oui, il y a des exemples simples, 

dont celui-ci : 

En étudiant des cas particuliers de trapèzes ayant des aires 

petites, on peut établir facilement les propriétés suivantes : 

Propriété 6. Si un trapèze a tous ses paliers ou toutes ses 

colonnes paires, alors il est pavable. 

La preuve est évidente (on pave chaque palier ou chaque 

colonne une à une). 

Propriété 7. Tout trapèze ayant uniquement des marches de 

1 sur 1 de chaque côté est non pavable car non équilibré. 

Preuve : Dans une coloration en damier, chaque palier de ce 

trapèze contient une couleur dominante et c'est la même. 

On a donc, pour un trapèze T1-1 à n paliers, une couleur qui 

a n cases de plus que l'autre. D'autre part, l'étude 

expérimentale de différents trapèzes équilibrés, pris au hasard 

et d'aires pas trop grandes, induit facilement que le pavage de 

tels trapèzes semble toujours possible. On peut donc 

conclure, après un temps de recherche, sur la conjecture 

suivante. 

Conjecture 2. Tout trapèze équilibré est pavable par des 

dominos. 

La preuve de cette conjecture est difficile. Souvent des 

preuves fausses sont données, plus ou moins induites par un 

raisonnement inductif incomplet. 

III. 2. 2. Recherche d'un algorithme de pavage 

L'étude expérimentale induit à la recherche d'un algorithme 

de pavage, seul moyen de se convaincre de la possibilité ou 

non de paver un trapèze donné. L'algorithme décrit cidessous 

consiste à « déconstruire » le trapèze d'une manière 

précise qui conduit à une preuve par induction. Nos 

expérimentations montrent que l'intervention de l'enseignant 

ou de celui qui gère la situation est en général nécessaire dans 

cette phase. 

Étant donné un trapèze d'aire paire non nulle, à chaque étape 

de l'algorithme, on considère le palier le plus haut : notons le 

m. Tant que c'est possible, on enlève 2 cases adjacentes 

(formant donc un domino) sur le palier m, en partant d'un 

bord (gauche ou droit). Si ce n'est pas possible, c'est qu'il n'y 

a qu'une seule case sur le palier (il ne peut pas y avoir deux 

cases non contiguës, car ce ne serait pas un trapèze). On 

considère alors le domino d formé par cette case et la case 

qui lui est adjacente, c'est-à-dire celle du palier m-1 située 

directement en dessous. 

Si on peut enlever ce domino d en conservant la propriété 

« trapèze », on le fait. On a alors un trapèze à m-1 paliers. 

Sinon, on garde d et, sur le palier m-1, on enlève un domino 

en partant d'un bord, tout en conservant la propriété 

« trapèze ». On recommence sur le palier m-1 jusqu'à ce que: 

• cas 1 : soit il reste le domino d seul, on peut alors 

l'enlever et il reste un trapèze de hauteur m-2 (ou rien) ; 

• cas 2 : soit il reste, au palier m-1, une unique case située 

d'un côté de d, on peut alors enlever d et il reste un trapèze 

de hauteur m-1 ; 

• cas 3 : soit il reste, au palier m-1, deux cases situées de 

part et d'autre de d. Dans ce cas, on ne peut plus enlever de 

domino dans les étages m et m-1. Il faut passer au palier m-2. 

cas 3 cas 2 

Le trapèze considéré étant équilibré par hypothèse, ces 3 

configurations ne sont pas terminales, c'est-à-dire qu'il est sûr 

qu'il existe des paliers inférieurs. On considère alors les 

paliers m, m-1 et m-2 ensemble, et éventuellement les 

suivants, jusqu'à ce qu'on puisse finalement enlever un 

domino occupant deux paliers successifs en gardant la 

propriété « trapèze ». On est sûr que c'est possible en un 

nombre fini de paliers, puisqu’un trapèze équilibré ne peut 

pas être de type T1-1. 

Voici un exemple où on doit aller jusqu'au palier m-2 avant 

de pouvoir commencer à déconstruire le trapèze, tout en lui 

conservant sa propriété de « trapèze » (les dominos enlevés 

sont mis en évidence par un trait noir). À chaque étape, 

l'algorithme reprend à partir du palier le plus haut du 

trapèze restant. 

L'algorithme se termine en un nombre fini d'étapes (évident) 

et d'autre part, à chaque étape, le trapèze restant est équilibré. 

Que reste-t-il à la dernière étape ? Deux cases de couleurs 

différentes (évident) et, de plus, adjacentes (par choix même 

de l'algorithme), donc recouvrables par un domino : le 

dernier. 




Cet algorithme « prouve » que tout trapèze équilibré est 

pavable par des dominos et il fournit un pavage : il suffit de 

reconstruire en reprenant les étapes dans l'autre sens. On a 

donc établi la propriété suivante : 

Propriété 8. (conjecture 2 prouvée) 

Tout trapèze (sans trou) équilibré est pavable par des 

dominos. 

Preuve 

Soit un trapèze équilibré d'aire 2n (n entier non nul). 

Considérons deux cases adjacentes désignées par 

l'algorithme de déconstruction ci-dessus. Si le polymino 

d'aire 2(n-1) obtenu en enlevant ces deux cases est un 

trapèze pavable, alors le trapèze d'aire 2n est pavable : il 

suffit en effet de rajouter le domino formé de ces deux 

cases à un pavage du trapèze d'aire 2(n-1). 

L'implication P(n-1) => P(n) est donc vérifiée dès que 

l'on peut enlever 2 cases par l'algorithme cité, c'est-à-dire 

dès qu'on a un domino, donc dès que n ≥ 1. Et P(0) est 

évidemment vraie. Donc P(n) est vraie pour tout n ≥0. 

III.3. Pavage d'un carré de taille 2 n avec des 

triminos en L 

Ce problème a été décrit dans Grenier et Payan (1998). 

Nous ne donnerons ici que quelques éléments. 

On peut établir très facilement que la condition « pour un 

polymino quelconque, l'aire est un multiple de 3 » est 

nécessaire. La preuve est évidente. En revanche, il est 

difficile de savoir si cette condition est suffisante. Par 

exemple, elle ne l'est pas sur les rectangles sans trou. (contreexemple 

: le carré 3x3). 

L'étude de petits cas (n = 2, 3) conduit à la conjecture 

suivante : 

Conjecture 3. Quel que soit n, tout polymino carré de taille 

2 n est pavable, quelle que soit la position du trou. 

L'étude des cas où n = 2, puis 3, puis 4, conduit en général à 

tenter un raisonnement inductif. 

• On établit P(n) => P(n+1) en structurant et en 

décomposant un polymino de taille 2 n+1 de manière à 

retrouver quatre polyminos de taille n qui conviennent pour 

établir l'hérédité ; 

• On cherche ensuite pour quelles valeurs de n l'hérédité 

peut être établie, ce qui donne la « valeur initiale » de n dans 

la récurrence. 

Cette preuve par récurrence a des spécificités qui donnent 

tout son intérêt au problème 3, car elle met en jeu des aspects 

de la récurrence non usuels dans l'enseignement. En 

particulier, P(n) est une propriété d'une « classe d'objets de 

taille n » et non une fonction analytique de n. 

• La valeur initiale de la récurrence se déduit 

naturellement de l'étude de l'hérédité (elle ne sort pas d'un 

chapeau !) ; 

• La preuve fournit un algorithme de pavage (comme 

dans le problème P2). Or, si on pave au hasard, on a très 

peu de chances d'arriver au bout. 

III.4. Les apprentissages « transversaux » en 

jeu dans la situation 

La séquence des trois problèmes qui constituent cette 

situation permet de travailler des notions mathématiques ou 

transversales qui ne le sont pas habituellement en classe. 

Voici les principales. 

1. Existence ou non de solutions 

En classe, tout problème a une solution, souvent unique. Ici, 

dans P1, l'existence de solutions dépend de la case 

manquante, tandis que dans P2, des solutions existent dès 

que le polymino vérifie une condition (trapèze équilibré). P3, 

lui, admet des solutions dans tous les cas (quelle que soit la 

position de la case manquante). 

2. Distinction entre « condition nécessaire » et « condition 

suffisante » 

Dans ces problèmes, les CN ne sont pas toujours suffisantes 

et vice-versa. De plus, si une condition est une CNS, alors la 

preuve de sa nécessité peut être très différente de celle de sa 

suffisance (exemple typique dans le problème 1). 

3. Types et outils de preuve non usuels 

Cette situation permet d'aborder des types de preuve non 

classiques, tels que la preuve « par exhaustivité des cas », ou 

la preuve par « exhibition d'un exemple » (en réponse à une 

question d'existence). Ce type de preuve n'est pas si 

fréquent, puisqu'elle ne peut s'appliquer que si le nombre des 

objets sur lesquels on vérifie la propriété est fini (ce qui n'est 

le cas ni en algèbre, ni en géométrie). 

Des outils spécifiques sont utilisés, tels la décomposition et 

structuration d'une figure, ou la coloration. Au-delà de leur 

intérêt pour eux-mêmes, ils obligent à changer de conception 

sur ce qu'est une preuve en mathématique. 

4. Notions mathématiques 

Elles concernent essentiellement les propriétés de Ν, 

l'ensemble des nombres entiers positifs ou nuls, avec des 

niveaux d'approche différents selon les problèmes : calcul 

d'aires, divisibilité de deux nombres, preuve par récurrence. 

Conclusion 

La situation proposée ici est pertinente à différents niveaux 

scolaires, mais aussi pour la formation d'enseignants. Les 

résultats obtenus seront bien sûr différents selon ces niveaux, 

c'est-à-dire que l'on pourra aller plus ou moins loin dans les 

conjectures et les preuves. Cependant, le problème 1 peut 

être résolu et prouvé de manière non formelle même avec 

des enfants de l'école primaire. 

Deux contraintes sont quasi incontournables pour que la 

situation « marche » : 

• celle du temps, nécessaire (même pour un chercheur !) 

pour s'emparer des problèmes et commencer à mettre en 

place des solutions ; 

• celle de l' « ouverture » qui consiste à autoriser le 

développement de stratégies différentes, sans en imposer une 

particulière, voire la résolution d'une question nouvelle liée à 

celle de départ. 

Si ces contraintes sont respectées, le plaisir et les 

apprentissages décrits ci-dessus sont garantis! 




Bibliographie 

Godot K., Grenier D. (2004) Situations de recherche pour la 

classe. Objectifs, caractéristiques pour une dévolution à 

l'élève, condition pour une gestion pour l'enseignant, Actes de 

l’université d’été « La place des Mathématiques Vivantes dans 

l’enseignement », Août 22-27 2004, St Flour. 

Grenier D., Payan Ch. (1998) Spécificités de la preuve et de 

la modélisation en Mathématiques discrètes, Recherches en 

didactique des mathématiques, vol. 18.2, pp. 59 -100, Ed. La 

Pensée Sauvage, Grenoble. 

Grenier D. et Payan, C. (2003) Situation de recherche en 

classe : essai de caractérisation et proposition de 

modélisation, Cahiers du séminaire national de recherche en 

didactique des mathématiques, Paris, 19 Octobre 2002. 

Lakatos I. (1976) Preuves et réfutations,. Paris : Hermann Ed., 

1985. 

Thèses soutenues ou en cours, liées aux « situations 

recherche », équipe Maths à Modeler 

Cécile Ouvrier-Buffet, « Construction de définitions / construction 

de concept : vers une situation fondamentale pour la construction de 

définition en mathématiques. ». Étude épistémologique et 

didactique de la définition. Étude théorique et expérimentale 

auprès d’étudiants de 1 ère année d’université, thèse soutenue 

en décembre 2003. 

Virginie Deloustal-Jorrand, « Étude épistémologique et didactique 

de l’implication en mathématique ». Thèse soutenue en décembre 

2004. 

Karine Godot, « Situations de recherche et jeux mathématiques pour 

la formation et la vulgarisation ». Soutenance prévue en 

décembre 2005. 

Léa Cartier, « Étude de l’introduction de la théorie des graphes dans 

l’enseignement de spécialité de Terminale ES (programmes 2003) ». 

Thèse en cours (soutenance prévue en 2007). 

Michèle Gandit, « Étude épistémologique et didactique des relations 

entre argumentation et preuve en mathématiques». Thèse en cours 

(soutenance prévue en 2007). 





Théâtre et mathématiques 

Distance et contacts entre les mathématiques et le théâtre (section 1). Les 

mathématiques servent à monter concrètement du théâtre et à étudier certains de 

ses aspects (2). Mais le texte porte surtout sur la place des mathématiques dans des 

oeuvres de théâtre. Après une classification théorique binaire des pièces à contenu 

mathématique (3), deux exemples sont examinés plus à fond et en détail: Proof 

(2000) de David Auburn (4) et La Leçon (1951) d'Eugène Ionesco (5). Nous terminons 

avec un portrait global et ultrasommaire de l'image des mathématiques et des 

mathématiciens dans le théâtre grand public (6). 

Jacques 

Lefebvre, 

UQAM 

lefebvre.jacques1 

@videotron.ca 

T 

out auteur souhaite que son texte soit 

lu, et même lu en entier. Mais si l’on ne 

s’intéresse qu’à la place des mathématiques 

dans les œuvres de théâtre, on peut 

omettre les sections 1 et 2. Si l’on ne cherche 

que des exemples décrits et examinés de façon 

substantielle, on peut se contenter des sections 

4 et 5. 

Je ne donnerai d’exemples que du théâtre 

historiquement assez récent et occidental. Et il 

ne s’agira pas que du théâtre donné sur une 

scène, dans une salle. Il y a divers médias de 

communication. J’ai vu la pièce Proof en 

français à Montréal à l’automne 2002, alors 

que j’en lisais la version originale en anglais. 

Ce printemps, j’ai vu le film chez moi en 

DVD. On perd alors le caractère unique d’une 

représentation au théâtre (mais, de toute 

façon, les pièces ne sont pas longtemps à 

l’affiche dans un voisinage donné, en général). 

Le film, lui, est figé dans sa version finale au 

montage (et n’est accessible que pendant une 

brève période dans les salles). Cependant, on y 

gagne en personnages secondaires ajoutés et 

en lieux multiples. La version DVD connaît 

peu de ces limitations de lieu et de temps. De 

plus, on peut faire des arrêts, des retours en 

arrière, des reprises. Bref, revoir et analyser ce 

que l’on veut, en particulier les propos de 

mathématiques ou sur les mathématiques. La 

lecture du texte de la pièce ou du scénario du 

film permet certes les meilleures réflexions 

proprement intellectuelles et leur prise en 

notes en marge du texte. Au théâtre et au 

cinéma, tout passe vite, la mémoire est 

débordée, l’impression règne et bien des 

détails s’effacent assez vite. Le message n’est 

pas que le médium, mais il en dépend 

fortement (merci et mille excuses, monsieur 

McLuhan). Le lecteur est invité à noter que les 

sections 4 et 5 ne dépendent pas que de 

visionnements ininterrompus. Elles témoignent 

fortement de la lecture des œuvres. 

1- Grande distance apparente 

« Quoi, théâtre et maths ! Quel rapport ? Que 

peux-tu bien leur dire là-dessus ? ». Ces deux 

domaines sont, en effet, bien éloignés, à bien 

des égards. Faisons-en un défrichage grossier. 

À coups d’oppositions que je ne prouverai ni 

ne nuancerai (je les ai rapidement commentées 

le 1 er juin). 



Théâtre et mathématiques Jacques Lefebvre 

Mathématiques vs Théâtre 

Abstrait Concret 

Général Particulier 

Universel En un lieu 

Intemporel À un moment 

Argumentation Présentation 

Activité mentale Touche par les sens 

Raison Émotion 

Je présentai à l’auditoire quatre schémas anciens de classification 

des connaissances, choisis surtout pour des raisons de 

commodité logistique. Dans tous, il fut facile d’indiquer la 

distance conceptuelle entre le théâtre et les mathématiques. 

Chacun pourra en faire autant avec toute classification qui lui 

soit accessible. Cet exercice est toujours instructif. 

Sens commun, premier examen et classifications diverses des 

activités humaines confirment l’éloignement apparent des 

mathématiques et du théâtre. 

Pourtant, il y a des contacts entre ces deux domaines. 

Comment n’y en aurait-il pas? Les mathématiques sont 

présentes, visiblement ou non, partout où il y a calcul ou 

mesure et donc forcément sur la scène de théâtre, espace 

concret. Inversement, le théâtre peut s’intéresser à toute 

activité humaine, des points de vue psychologique, 

sociologique, historique ou autre. Or les mathématiques que 

nous connaissons ou faisons sont de confection humaine, 

quel que soit le statut ontologique qu’on croit qu’elles aient. 

Le théâtre peut donc en représenter des aspects, des 

moments, des individus, des groupes. 

A priori, l’intersection math-théâtre n’est donc pas vide. De 

facto elle comprend même une foule d’éléments. 

Passons donc à l’examen de certains liens entre les deux 

domaines. 

2- Les mathématiques au service du théâ- 

tre 

Voici divers modes d’utilisation des mathématiques, classés 

dans deux grandes catégories, sans développement substantiel 

de ma part. 

a) Monter concrètement du théâtre 

- Le théâtre recourt à des appareils de son, d’éclairage, etc., 

qui, forcément, contiennent ou utilisent de la mathématique 

cachée, incorporée. 

- Plus directement, on fait des mesures au théâtre : trois pas à 

jardin, seize mesures ou tant de secondes de musique, avonsnous 

les douze pieds de l’alexandrin ? 

- On fait des projections sur masques fixes (Les aveugles, de 

Maeterlinck, par Denis Marleau, au Musée d’art 

contemporain de Montréal), de l’holographie (La Tempête, de 

Shakespeare, par Michel Lemieux et al., au TNM), et bien 

d’autres usages mixtes des mathématiques. 

b) Étudier certains aspects du théâtre 

- Les statistiques et la comptabilité servent à étudier les finances 

des troupes, leurs répertoires respectifs, la fréquentation 

du public. 

- On peut faire l’analyse spatio-temporelle d’une œuvre aux 

étapes de la préparation, des répétitions ou des représentations, 

et procéder à des ajustements en cours de route ou à 

des comparaisons ultérieures. 

- Enfin, il y a l’analyse du texte : nombre et longueur des 

répliques, leur distribution parmi les personnages ; nombres 

et moments des monologues, duos, groupes ; fréquences 

relatives de centaines de divers schémas (par exemple, nomadjectif-adjectif 

versus nom-adjectif-autre), lesquelles permettent 

parfois la détermination de la paternité des œuvres, 

surtout négativement, en particulier pour des œuvres anciennes. 

3- Les mathématiques dans les œuvres de 

théâtre 

Le théâtre peut traiter des mathématiques ou des mathématiciens 

dans son contenu même : sujet, péripéties, langage, … 

Pour y voir un peu clair, utilisons une typologie à bifurcation 

binaire de notre cru quant à la place que les mathématiques 

occupent dans les œuvres de théâtre. D’autres classifications, 

bien sûr, auraient pu être retenues, dont celles reprenant les 

mêmes divisions, mais dans un ordre différent. 

a) Densité de présence des mathématiques 

Il est rare que la présence des mathématiques soit forte dans 

les œuvres de théâtre. Mais donnons tout de suite deux 

exemples sur lesquels nous reviendrons en détail dans les 

sections 4 et 5 : Proof (2000) de David Auburn et La Leçon 

(1951) d’Eugène Ionesco. 

Cette présence des mathématiques est d’ordinaire faible, voire 

très faible, rarement nulle. On trouve presque toujours des 

termes à connotation numérique ou géométrique, comme 

dans le langage courant et dans les textes en général : 

- Nombres pour désigner les quantités : un, deux, trois, 

certes, mais l’imaginaire de l’auteur ou son réflexe d’écriture 

suivent-ils le système décimal ? 

- Désignations qualitatives ou quantitatives : beaucoup se dit 

aussi mille ou million ou incommensurable… Cela est-il 

significatif ? 

- Figures géométriques, souvent régulières : carré, cube, 

cercle, … 

- Adverbes ou adjectifs topologiques : près, dans, serrés, 

voisin, … 

- Etc. 

Le relevé de ces minitraces des mathématiques est d’ordinaire 

fastidieux, parfois surprenant, à l’occasion éclairant. Ce 

n’est pas mon propos que de m’y attarder ici. Nous nous 




limiterons à des œuvres de théâtre à forte présence des 

mathématiques, même si nos bifurcations binaires pourraient 

s’appliquer au cas faible. 

b) Visée didactique ou de divertissement ? 

Une dramatisation de l’activité mathématique comme telle ou 

de la vie de mathématiciens est parfois utilisée à des fins 

didactiques. On espère susciter de l’intérêt afin de bien 

amorcer l’étude d’un concept ou d’un problème, voire en 

suivre l’évolution dans le temps. Ou rendre les mathématiques 

plus vivantes et « humaines », en montrant des personnages 

célèbres aux prises avec des difficultés significatives, 

intellectuellement parlant. Presque toujours conçues pour un 

public scolaire, ces activités ont souvent la taille de capsules, 

intégrables dans une série d’activités (exercices, études, 

travaux, discussions). Dans les deux cas auxquels j’ai 

collaboré personnellement, le recours au vidéo ou à la 

télévision a servi à assurer une diffusion large et à justifier les 

frais de production : le cours Permama III (hiver 1973) et De 

l’arithme à l’inconnue, un des trois documents de la vidéocassette 

Le développement de la pensée mathématique et scientifique 

(CIRADE, UQAM, 1993). 

Mais quittons ce théâtre mathématique foncièrement didactique. 

Pour le reste du texte, nous regarderons du théâtre de 

divertissement, s’adressant au grand public. 

c) Les mathématiques traitées de l’extérieur ou 

de l’intérieur 

Il y a une grande différence entre parler et faire, la plupart du 

temps. Ici, « parler de » consiste à raconter des péripéties ou à 

faire voir des mathématiciens dans leur vie courante ou 

même en train de faire des mathématiques, mais sans être en 

état d’en faire avec eux, sans comprendre la problématique 

mathématique et s’y mouvoir nous-même comme spectateur 

(ou lecteur). Une telle approche, un tel traitement du sujet 

proprement mathématique, de l’extérieur en fait, n’est pas 

forcément inintéressant, insignifiant. 

Mais comment un traitement de l’extérieur pourrait-il être 

riche ? Il le peut en s’occupant des aspects psychologiques, 

sociologiques, communicationnels, ou autres, de la formation 

et de la recherche. Les intuitions, les étapes du travail, les 

doutes montrent des humains à l’oeuvre. De même, la vie 

sociologique dans la tribu mathématicienne : qui fait ou a fait 

des mathématiques ? de quoi vivent-ils ? y a-t-il des mathématiciennes 

et pourquoi est-ce plus rare ? création en solitaire 

ou travail d’équipe ? Ces questions ou d’autres doivent 

cependant être abordées et travaillées pour la scène et non 

comme pour un article savant. De même pour les communications 

mathématiques des personnages de la pièce (exposés, 

articles à soumettre, à retravailler, …). Proof est un bel 

exemple de réussite de traitement par l’extérieur. 

Que le théâtre puisse faire pétrir de la substance mathématique 

au spectateur, lui faire faire des mathématiques en même 

temps que les protagonistes sur scène, eux en plein penseragir 

mathématique, lui essayant de suivre, cogitant, intellec- 

tuellement stimulé et curieux, éprouvant des émotions diverses 

en cours de route, bref, un traitement de l’intérieur du 

monde mathématique, cela se peut-il ? Bien sûr. On n’a qu’à 

penser aux usages pédagogiquo-didactiques du théâtre. Mais 

nous avions dit que nous ne parlerions plus de didactique ? 

Qu’à cela ne tienne, la réponse demeure affirmative, même 

pour le théâtre grand public. Un exemple réel? 

L’arithmétique élémentaire dans La Leçon. 

Cette distinction interne-externe s’utilise aussi en historiographie 

des mathématiques, voir mon texte Les oppositions passéprésent 

et interne-externe en histoire des mathématiques, Bulletin de 

l’AMQ, mai 1991, 29-32. 

d) Contenu mathématique élémentaire ou 

supérieur ? 

Notre dernière bifurcation porte sur le niveau mathématique. 

Chacun peut placer où il veut la délimitation entre élémentaire 

et supérieur. Mettons dans la deuxième catégorie le calcul 

différentiel ou intégral, les structures algébriques, les calculs 

ou même les concepts statistiques (degré de précision, deux 

types d’erreurs, …), etc. Probablement tout ce qui dépasse 

l’école primaire, et encore ! On est au théâtre, pas dans une 

salle de classe. 

Rappelons que nous nous en tenons maintenant à des œuvres 

à forte présence mathématique pour le grand public. 

Quatre possibilités découlent de nos deux dernières bifurcations 

: contenu et traitement. 

- Élémentaire-extérieur : Je ne connais pas d’exemple de cette 

combinaison, pas nécessairement impossible, mais guère 

invitante a priori. 

- Élémentaire-intérieur : La partie arithmétique de La leçon 

d’Ionesco est savoureuse à voir, très instructive à lire. 

- Supérieur-intérieur : Cette combinaison paraît difficilement 

réalisable pour grand public. Proofs and Refutations, de Lakatos, 

pourrait être mis en scène, pour un public mathématicien. 

- Supérieur-extérieur : Un bel exemple est Proof de David 

Auburn, pièce à laquelle nous consacrons la prochaine section. 

4- Proof (2000) de David Auburn : une 

pièce grand public portant sur des mathé- 

matiques supérieures traitées de l’exté- 

rieur 

Cette section a été omise en atelier, faute de temps. Le 

groupe, peut-être influencé par moi, a préféré passer à La 

Leçon, section 5. 

Créée à New York, Proof a remporté un Prix Pulitzer et un 

Tony Award. Cette pièce fut jouée en français sous le titre La 

Preuve, entre autres à Paris dans une adaptation de Jean- 

Claude Carrière et au Théâtre Jean-Duceppe à Montréal dans 

une traduction de Benoit Girard. En 2004, un film, aussi 

intitulé Proof, en est issu, réalisé par J. Madden, avec Auburn 




comme coscénariste. Le DVD du film est disponible pour 

achat ou pour location. L’œuvre a donc connu une bonne 

diffusion. 

Robert, un ex-grand mathématicien, devenu non fonctionnel 

et improductif depuis longtemps, vient de mourir. Hal, un de 

ses élèves, découvre un carnet comprenant un essai de 

résolution d’un célèbre et ancien problème (ni nommé ni 

décrit par l’auteur). Ce travail est-il de Robert ou de sa fille 

Catherine, qui n’a officiellement qu’un début de formation 

universitaire en mathématiques ? Comment le déterminer ? 

Et ce travail est-il une vraie preuve du résultat ? Cette situation 

de base est enrichie de visites du mort (hallucinations ou 

flashbacks), ainsi que d’une opposition entre sœurs et d’une 

relation entre Catherine et Hal. 

a) Peu de mathématiques comme telles 

- Une blague matheuse : la pièce de musique intitulée i est 

silencieuse, car i est… imaginaire. 

- Une mention par Hal des nombres premiers de Germain, 

ceux dont le double plus un est aussi premier. Il donne 2 

comme exemple. Catherine enchaîne sur un nombre premier 

d’une autre forme. L’auteur ne nous fait pas connaître 

d’autres nombres de Germain (par exemple 3, 5, …) ni, ce 

qui aurait été intéressant, de nombres premiers 

non de Germain (par exemple 7). 

- Des noms de domaines : théorie des jeux, géométrie 

algébrique, théorie des opérateurs non linéaires, … 

- 1729 est un nombre très intéressant, c’est le plus petit entier 

qui soit la somme de deux cubes d’entiers, de deux façons 

différentes (avec les cubes de 12 et de 1, et ceux de 10 et de 

9). Cette information surgit subitement lors d’une conversation 

entre Catherine et son père. Or c’est ce que l’étonnant 

mathématicien indien Ramanujan, hospitalisé, avait dit à son 

visiteur Hardy à propos du numéro du taxi, 1729, considéré 

plutôt terne par l’Anglais. Il serait surprenant que l’auteur 

n’ait pas connu cette anecdote racontée par Hardy dans son 

autobiographie (tr.fr. L’apologie d’un mathématicien). D’autre 

part, Robert et Catherine contreviennent à l’objurgation du 

père (« Be precise, for Chrissake ») en parvenant à 1729 

comme nombre de semaines que contiendraient 33 années et 

quart (Catherine vient de perdre 33 jours et quart à ne pas 

faire de mathématiques, et ils transposent en années). Si l’on 

fait le calcul, on constate qu’ils ont compté uniquement 52 

semaines dans une année, et oublié le jour ou les deux jours 

supplémentaires chaque année, ce qui en vient à faire 

dépasser 1729 semaines. Vétille, sans doute. Mais qui m’avait 

échappé au théâtre. Ah, la lecture ! 

b) Beaucoup sur la vie mathématique 

- La tribu universitaire : Hal éprouve des difficultés à 

compléter sa thèse, à publier. Il fait partie d’un groupe de 

musique populaire. Alcool et fêtes pour plusieurs étudiants ou 

professeurs de mathématiques ou de physique théorique. 

Dans le film, on voit Catherine recevant les commentaires 

d’un de ses professeurs sur un travail. Divers groupes 

épluchent le contenu du cahier. Le bureau de Robert semble 

en grand désordre. 

- Jeunesse et créativité : Robert a fait ses contributions 

exceptionnelles avant 25 ans. Hal n’a encore rien fait 

d’important à 28 ans et a songé à abandonner. Les « vieux » 

se bourrent aux amphétamines pour produire, dit-il. L’ennui 

avec les clichés, c’est qu’ils ne sont d’ordinaire ni tout à fait 

vrais ni tout à fait faux, dis-je. 

- Les quatre étapes de la découverte à la Poincaré (mon 

regroupement et mes termes, pas ceux de l’auteur) : Le 

chercheur, par exemple Robert à propos du célèbre 

problème, travaille consciemment, longtemps dans ce cas-ci. 

Des blocages se produisent et mènent à l’abandon provisoire, 

à la période d’incubation inconsciente. Puis un « flash », une 

révélation, l’éclair de génie, l’« eurêka » donne la voie de la 

solution. Solution à laquelle il faut travailler consciemment et 

avec ardeur pour la vérifier, colmater les brèches d’incertitude, 

polir la preuve et la communiquer à autrui (il y en a pour 

des années, pour moi et pour d’autres, dit Robert). Pour plus 

d’information sur ces étapes et sur le travail de recherche, 

voir mon texte Invention, découverte et créativité en mathématiques : 

aspects psychologiques et historiques, Bulletin de l’AMQ, mai 1998, 

23-31. 

- L’évolution rapide des mathématiques : Hal en vient à 

rejeter la possibilité que Robert soit l’auteur du cahier, car il 

contient des techniques nouvelles que, malade, le père de 

Catherine n’a pu connaître et, encore moins, maîtriser. La 

pièce parle de formes modulaires et de courbes elliptiques (et 

l’on pense à la preuve du théorème de Fermat par Wiles), 

mais le film leur substitue matrices aléatoires et géométrie 

non commutative. 

- Génie et folie : Robert, génie précoce, a sombré dans la 

folie. A-t-il retrouvé sa raison comme Nash, auquel il fait 

penser (Nash, le mathématicien lauréat du prix Nobel 

d’économie, modèle du protagoniste du film A beautiful 

Mind) ? Sa fille Catherine a-t-elle hérité de ce que l’autre fille, 

Claire, femme pratique, appelle pudiquement son talent et son 

instabilité ? 

- Les femmes en mathématiques : Hal est pris en flagrant 

délit de sexisme verbal mathématique, puis confond Sophie 

Germain avec une mathématicienne vivante (Germain est 

née à Paris en 1776, corrige sèchement Catherine). Plus 

grave : on croit d’abord Catherine incapable d’avoir écrit le 

cahier, parce qu’elle a peu de formation attestée en 

mathématiques et, dit-elle, parce qu’elle est une femme. 

- Preuves et preuves : Il y a des preuves élégantes, d’autres 

grumeleuses ou bosseuses, dit Catherine à la fin. Et les 

arguments du cahier sont ardus à valider, il faut des équipes 




de diverses spécialités pour le faire (encore là, on pense à 

Wiles et au vaste travail de validation qui a eu cours à 

l’occasion de la « preuve » du théorème de Fermat, qui a fait 

les manchettes même des grands journaux, il y a déjà une 

douzaine d’années). 

Au total, Proof est riche en considérations sur le monde 

mathématique, ses gens et leur mode de travail. Ceux du 

milieu peuvent s’y reconnaître et le public y découvre, ô 

surprise, que les mathématiques sont vivantes et leurs 

« héros », humains. 

5- La Leçon (1951) d’Eugène Ionesco : 

une pièce grand public portant sur des 

mathématiques élémentaires traitées de 

l’intérieur 

Oeuvre des débuts d’Ionesco, alors au tournant de la 

quarantaine, La Leçon est devenue une des pièces modernes 

les plus jouées au monde. Avec La cantatrice chauve, elle tient 

notamment l’affiche sans discontinuer depuis 1957 au petit 

théâtre La Huchette à Paris, où j’ai eu le plaisir de la voir à 

l’été 2004, quelques semaines après avoir moi-même tenu le 

rôle du Professeur dans une production amateur à Montréal. 

Un professeur reçoit des élèves en leçons individuelles à 

domicile, où une bonne assure le fonctionnement de la 

maisonnée : arrivée de l’élève et préliminaires (19 % de la 

pièce approximativement, par comptage des pages), leçon 

d’arithmétique (25 %), leçon de philologie et de linguistique 

(45 %), remise en ordre ou nettoyage (13 %). Puis on entend 

à nouveau la sonnette d’entrée annonçant l’arrivée de l’élève 

suivante. 

Au théâtre, on est surtout sensible à la drôlerie de la partie 

arithmétique de ce « drame comique ». L’atmosphère y 

devient lourde à la fin, mais beaucoup moins que dans la 

partie linguistique. L’arithmétique ça fatigue, ça énerve, dit la 

bonne (p. 51 dans l’édition de La Pléiade), et la philologie mène 

au pire (59). 

Lors de l’exposé-atelier du 1 er juin, j’ai distribué aux personnes 

présentes douze extraits de la leçon arithmétique (ici 

regroupés en dix points). Une participante faisant l’élève, 

nous les avons joués, en arrêtant pour des commentaires 

didactico-mathématiques. La lecture écoutée texte sous les 

yeux et les commentaires permirent d’apprécier encore plus, 

me dit-on, l’humour absurde d’Ionesco et combien celui-ci 

touche à des points névralgiques de l’arithmétique et de son 

enseignement. En italiques, le texte d’Ionesco. Les omissions 

de texte seront notées (…). En caractères usuels, mes 

commentaires, dans le texte ou entre parenthèses. Tous les 

soulignés sont de moi. 

1- Comme au début d’un manuel, le professeur donne une 

définition de l’arithmétique : C’est une science assez nouvelle, une 

science moderne (faux, probablement la plus ancienne) ; à 

proprement parler, c’est plutôt une méthode qu’une science (oui, en un 

sens)… C’est aussi une thérapeutique (hein? pour qui? en quoi?). 

2- P (= LE PROFESSEUR) : Combien font un et un ? 

É (= L’ÉLÈVE) : Un et un font deux. 

P, émerveillé par le savoir de É : Oh, mais c’est très bien. (…) Vous 

aurez facilement votre doctorat total (…) 

P commence vraiment par la base ! Mais n’oublions pas que 

cette possibilité de récurrence sur les entiers, cet ajout 

successif illimité d’unités est fondamental, comme le notait 

Poincaré. Mais dire les noms des successeurs de un, jusqu’à 8 

ou 9, ne donne pas une garantie de doctorat « total », ni 

même ne rend magistrale pour l’addition. 

3-P, systématique, passe à l’opération inverse, la soustraction. 

P : (…) Voyons la soustraction, Dites-moi, seulement si vous n’êtes pas 

épuisée, combien font quatre moins trois ? 

Et là, ça se gâte. É répond sept, P lui dit qu’elle confond avec 

l’addition, É essaie quatre, puis trois ( réponses qu’on peut 

supposer issues des données, en en supprimant une) , enfin 

tout de même pas dix ? 

P : Oh, certainement pas, mademoiselle. Mais il ne s’agit pas de 

deviner, il faut raisonner. Tâchons de le déduire ensemble. (…) 

Raisonner et déduire sont des activités chéries à juste titre par 

les enseignants de mathématiques. P aime bien les fondements 

et la déduction, mais il va s’embourber dans son 

entreprise. 

4- É : Je puis compter… à l’infini. 

P : Cela n’est pas possible, mademoiselle. 

É : Alors, mettons jusqu’à seize. 

P : Cela suffit, il faut savoir se limiter (…) 

La question de l’infini ! Les confusions entre « infini » et 

« sans empêchement de réitérer », entre arriver et ne jamais 

s’arrêter. Infini actuel et infini potentiel. L’infini mathématique 

a une longue et complexe histoire. Toute classe d’élèves 

réactive cette problématique. P agit sagement en voulant 

rester dans le fini, et même le « petit fini », pour travailler le 

quatre moins trois. 

5- Commence alors un développement didactico-drôlaticodramatique 

pour éclaircir la notion de soustraction. On passe 

d’abord par la comparaison de grandeurs : 

P : (…) Quel nombre est le plus grand ? 

É : (…) Dans quel sens le plus grand ? 

S’ensuit un embrouillamini qui se termine par : 

P : (…) Supposons (…) que nous n’avons que des nombres égaux, les 

plus grands seront ceux qui auront le plus d’unités égales. 

É : (…) Ah, je comprends, monsieur, vous identifiez la qualité à la 

quantité. 

P : Cela est trop théorique, mademoiselle, trop théorique. 

6- Au passage, une confusion de vocabulaire : 

P : (…) Combien d’unités avez-vous de trois à quatre ?...ou de quatre 

à trois, si vous préférez ? 

É : Il n’y a pas d’unités, monsieur, entre trois et quatre. Quatre vient 

tout de suite après trois ; il n’y a rien du tout entre trois et quatre. 




7- Après un infructueux essai, disons concréto-imaginaire, 

avec des allumettes inexistantes (dangereux, le feu ?), P va 

passer à ce que j’appellerai du concréto-hypothétique, au 

stade formel hypothéticodéductif à la Piaget en quelque 

sorte, mais avec un support concret, le corps même de 

l’élève. Deux nez, une oreille puis deux, puis trois oreilles, dix 

puis cinq doigts, rien ne fonctionne. L’élève revient 

immanquablement et imperturbablement à sa vraie réalité : 

un nez, deux oreilles, dix doigts. Et cela, malgré les 

suggestions (menaces, si l’on y songe bien) de P : Si vous aviez 

eu deux nez, et je vous en aurais arraché un, et, plus loin, Vous en 

avez deux (oreilles), j’en prends une, je vous en mange une, combien 

vous en reste-t-il ? 

8- P trace ensuite des bâtons imaginaires et finit par tout 

confondre. 

É, hésitante : (…) Des éléments, des chiffres, qui sont des bâtons, des 

unités et des nombres… 

P : À la fois (…). 

É demande alors, logiquement, si on peut soustraire deux 

chiffres de quatre nombres ? et trois nombres d’une unité ? P répond 

Non (…) Parce que (…) Il en est ainsi, mademoiselle. Ça ne 

s’explique pas. Ça se comprend par un raisonnement mathématique 

intérieur. On l’a ou on ne l’a pas. 

É : Tant pis ! 

Nous voilà arrivés à une mystification dite de compréhension 

intérieure, alors qu’on devait apprendre à déduire à partir de 

principes. 

9- P veut terminer en force, informe É qu’on ne pourra pas la 

charger d’un cours à l’École polytechnique… ni à la maternelle 

supérieure et la met au défi très très abstrait de calculer mentalement 

le produit de deux grands nombres. Elle y réussit, pas lui (en 

fait, les deux ont tort, mais, lui, de façon évidente sans calcul 

autre que des unités, car un fois huit donne huit et non neuf). 

É : C’est simple…Ne pouvant me fier à mon raisonnement, j’ai appris 

par cœur tous les résultats possibles de toutes les multiplications 

possibles. 

P est furieux, car C’est par un raisonnement mathématique, inductif 

et déductif à la fois, que vous auriez dû trouver ce résultat (…). 

En fait, il est irrité de la réussite illégitime (et, pour nous, 

invraisemblable) de É. Il ne pense pas à lui dire l’impossibilité 

d’une mémorisation infinie, ni à rappeler qu’à une multiplication 

donnée, il n’y a qu’un résultat. 

10- Adieu, doctoral total (notons le statut académique des 

mathématiques). P veut bien la préparer pour le doctorat partiel 

par l’enseignement des éléments de la linguistique et de la philologie 

comparée. 

Drôle, mais de plus en plus inquiétante d’agressivité, cette 

leçon d’arithmétique d’Ionesco peut donc se lire comme une 

histoire de cas illustrant des problèmes méthodologiques, 

didactiques, épistémologiques, voire ontologiques, de l’enseignement 

et de l’apprentissage mathématiques ainsi que de la 

relation maître-élève. Mais, au théâtre, cela reste une comédie. 

On rit de l’incompétence de P et de É et de toutes ces 

incongruités. 

6- Image des mathématiques et des 

mathématiciens dans le théâtre grand 

public 

Le titre de cette section était dans la description de l’exposéatelier 

du 1 er juin. Mais je n’y avais guère travaillé et n’en ai 

dit que quelques mots. J’ai eu le plaisir de trouver, par 

Internet, la même évaluation globale que la mienne par Jean- 

Pierre Kahane, dans une note, positive, sur la pièce La Preuve: 

Il y a maintenant plusieurs pièces et films dont le sujet et les personnages 

représentent notre métier. Dans l’ensemble, nous y apparaissons comme 

excentriques, géniaux, fous, et plutôt sympathiques (SMF-Gazette- 

95, Janvier 2003). Je nuancerais en signalant que, dans bien 

des cas, comme dans La Leçon, les mathématiciens peuvent 

finir par apparaître comme plus inquiétants que sympathiques. 



Les différents acteurs d’une 

situation d’apprentissage par 

problèmes : 

l’exemple d’un travail de session proposé aux élèves du programme de Sciences de la 

nature du Cégep de Sherbrooke dans le cadre de leur cours d’algèbre linéaire 

La rédaction d’une situation d’apprentissage par problèmes afin d’amener les élèves 

à acquérir des connaissances théoriques en mathématiques n’est pas une tâche 

aisée. Nous proposons ici une analyse a posteriori d’un travail de session proposé 

dans le cadre d’un cours d’algèbre linéaire de niveau collégial. Cette analyse nous a 

permis de mettre en évidence quatre personnages qui interviennent à tour de rôle 

dans ce genre d’apprentissage: le texte de la situation problème, l’élève, le 

professeur et le manuel de classe. Nous pensons qu’une définition précise du rôle 

de chacun de ces personnages peut aider à rédiger des projets qui vont encourager 

l’élève à construire un savoir mathématique de manière relativement autonome. 

Nicolas Pfister, 

Cégep de 

Sherbrooke 

nicolas.pfister@ 

cegepsherbrooke. 

qc.ca 

Remerciements 

Je tiens à remercier 

très 

chaleureusement 

madame Marie-Jane 

Haguel et madame 

Sylvie Savage, 

professeures au 

Cégep de 

Sherbrooke, pour 

leur collaboration, 

leur soutien, mais 

surtout pour le 

plaisir que j’ai eu à 

travailler avec elles 

sur ce projet. 

D 

ans un premier cours d'algèbre 

linéaire de niveau collégial, la plupart 

des thèmes abordés utilisent comme 

objets d’étude les vecteurs, les matrices et les 

systèmes d’équations linéaires. Ces objets et 

les situations dans lesquelles on les retrouve 

amènent les élèves à explorer les concepts de 

combinaisons linéaires, d’indépendance 

linéaire et de bases, trois concepts qui ont 

comme toile de fond la structure d’espace 

vectoriel. L’introduction des espaces 

vectoriels, dans le cadre du cours d’algèbre 

linéaire, est alors pour la plupart des élèves 

l’occasion d’un premier contact formel avec 

une structure algébrique. Dans la majorité des 

cas, cette structure est essentiellement présentée 

à l’aide de situations faisant intervenir les 

espaces géométriques ! 2 et ! 3 bien que 

parfois on y retrouve également des contextes 

tirés d’espaces plus abstraits tels ! n , les 

matrices de format mxn et éventuellement des 

espaces de polynômes. Toutes ces situations 

qui mettent en jeu la structure d’espace 

vectoriel ont en commun le développement 

d’un même schème de pensée chez l’élève : 

l’étude du comportement d’objets (vecteurs, 

matrices, fonctions, etc.) relativement aux 

opérations d’addition vectorielle et de 

multiplication par un scalaire. C’est dans le 

développement de ce schème de pensée, induit 

par un premier contact avec les structures 

algébriques et en particulier avec celle plus 

primitive associée aux scalaires, que nous 

avons cherché un prétexte pour tenter 

d'amener les élèves à construire un savoir 

mathématique de manière relativement 

autonome. Cette construction est soutenue par 

quelques brèves mises en situation et par un 

certain nombre de questions regroupées dans 

un questionnaire. Celui-ci va servir de canevas 

pour le travail des élèves, un travail qui suivra 

un cheminement distinct, mais non 

indépendant des notions étudiées dans la 

partie magistrale du cours telles que proposées 

dans le manuel utilisé. 

1. Les acteurs 

Nous voulons présenter ici la structure du 

canevas de travail en essayant de mettre en 

évidence la redistribution des rôles imposée 

aux différents acteurs qui interviennent 

lorsqu’on met les élèves devant une situation 

« par problèmes ». Chacun des acteurs apporte 

avec lui une part des connaissances qui seront 

nécessaires à la construction de ce nouveau 

savoir : 



Les différents acteurs d’une situation d’apprentissage par problèmes Nicolas Pfister 

• Le questionnaire qui agit comme maître du jeu : les 

connaissances qu’il propose ne peuvent être remises en 

question et tous les autres acteurs sont assujettis à sa 

volonté; 

• Le professeur qui doit savoir, par ses interventions 

auprès des élèves, mettre une certaine distance entre 

ses connaissances et celles imposées par le questionnaire; 

• Le manuel toujours prêt à rendre service à tout le 

monde, mais dont la connaissance quoiqu’immédiatement 

disponible ne correspond pas toujours à ce que 

l’on souhaite; 

• L’élève qui, avec son baluchon de connaissances 

préalables devra apprendre à négocier ce qu’il possède 

avec les trois autres acteurs pour obtenir d’eux ce dont 

il a besoin. 

Au Cégep de Sherbrooke, le cours d’algèbre linéaire dans le 

programme de Sciences de la nature est offert aux élèves 

lors de leur troisième ou quatrième session. Si les cours de 

calcul différentiel et de calcul intégral de ce programme ne 

sont pas préalables au cours d’algèbre linéaire, la plupart des 

élèves qui y sont inscrits ont tout de même suivi ces deux 

cours lors de leurs deux premières sessions. Depuis plusieurs 

années, le manuel utilisé pour le cours d’algèbre linéaire au 

Cégep de Sherbrooke est le livre Vecteurs, matrices et nombres 

complexes de Vincent Papillon. Ce livre joue un double rôle 

dans ce travail de session puisque, d’une part, le 

questionnaire y fait fréquemment référence et, d’autre part, 

la structure du travail est étroitement associée à l’orientation 

du cours proposée par le livre. L’auteur a choisi d’utiliser 

une présentation axiomatique des concepts de déterminant 

et de produit vectoriel basée sur leurs propriétés géométriques 

: les formules de calcul du déterminant et du produit 

vectoriel sont alors des conséquences de ces propriétés. Ceci 

n’est toutefois pas le cas de la présentation du produit 

scalaire où les propriétés de ce produit sont établies après 

avoir défini la façon de le calculer. Le travail examine la 

possibilité de reprendre l’approche axiomatique dans le cas 

du produit scalaire. Cette relative proximité entre le savoir 

proposé par le livre et celui que le travail suggère de 

construire a pour but d’amener l’élève à considérer le 

manuel comme un coéquipier à part entière dans la 

réalisation du travail; comme n’importe quel autre élève, le 

manuel possède un certain nombre de connaissances 

antérieures pouvant être utiles et, bien que ce coéquipier ait 

toujours raison, il n’est pas toujours facile de le faire parler et 

il faut parfois « réfléchir ensemble » si on veut en tirer 

quelque chose. Par ailleurs, le manuel de Papillon propose 

comme point de départ du cours d’algèbre linéaire les 

concepts de vecteur et d’espace vectoriel. Ce choix permet 

d’entreprendre très rapidement le travail et ainsi le répartir 

sur l’ensemble de la session. Le travail est divisé en trois 

parties et l’énoncé de la première partie est distribué aux 

élèves dès le début de la troisième semaine de cours. Les 

deuxième et troisième parties sont distribuées aux élèves 

après le premier et le second examen, c'est-à-dire vers la 7 e 

semaine de cours et la 11 e semaine de cours respectivement. 

Chacune des parties du projet est encadrée par un texte de 

mise en situation accompagné d’une série de questions, 

celles-ci servant de canevas de travail pour les élèves. Les 

élèves sont regroupés en équipe de deux (trois si on compte 

le manuel), et ont une période de deux semaines pour 

compléter chacune des parties. Les travaux des élèves sont 

corrigés et leur sont remis avant qu’ils n’entreprennent la 

partie suivante. 

La formulation des questions du canevas de travail, bien que 

parfois relativement précise dans la nature du résultat 

souhaité pour certaines d’entre elles, n’exige ni ne propose 

que très rarement l’application de méthodes spécifiques. 

Toute référence à un objet mathématique qui mettrait l’élève 

sur la piste d’une solution toute faite est soigneusement 

évitée. La compréhension de la question elle-même occupe 

souvent une bonne partie de la réflexion des élèves. En fait, 

dans bien des cas, on ne peut comprendre le sens véritable 

d'une question qu’après y avoir répondu; toutes les questions 

sont reliées entre elles soit à partir du résultat, soit à partir de 

la méthode, et les liens ne sont pas explicitement faits ou 

suggérés dans le questionnaire. À quelques endroits, la 

question porte sur un cas particulier et son intérêt véritable 

est soit la généralisation qu’on peut en faire, soit la méthode 

avec laquelle on peut la traiter. Le rôle des questions est 

d'orienter la recherche et les travaux des élèves tout en leur 

laissant une grande autonomie dans leur cheminement 

individuel. La correction et la remise des travaux permettent 

une rétroaction après chacune des parties, ce qui laisse la 

possibilité aux élèves d’un certain réajustement en prévision 

de la prochaine partie. 

À travers la série de questions du canevas proposé, l’élève 

est amené à envisager le fait que les nombres réels ne sont 

qu’une représentation particulière d’objets dont le 

comportement axiomatique permet de caractériser le 

concept de scalaire. Cette axiomatisation des scalaires 

permet d’obtenir une généralisation de ces nombres et 

demande alors d’examiner les conséquences de cette 

généralisation sur la définition du produit scalaire. La 

généralisation du concept de scalaire va suggérer aux élèves 

une formulation et une notation pour des nouveaux 

nombres (les complexes pour ne pas les nommer), puis leur 

demander d’établir une formule de calcul du produit scalaire 

des vecteurs définis sur le corps de ces nouveaux nombres à 

partir des propriétés de ce produit. 

Les connaissances qui seront nécessaires aux élèves dans les 

différentes parties du travail sont les suivantes : 

• La première partie propose aux élèves d’explorer la 

notion de corps. Cette exploration doit les amener à 

obtenir un nouvel ensemble de scalaires construits à 

partir de couples de réels. Le nouvel ensemble de 

scalaires servira à définir un espace vectoriel et une 

base de cet espace vectoriel. 

• La seconde partie a pour but de comprendre que les 

réels forment un "sous corps" des scalaires couples 

puis de développer une notation qui facilitera l’écriture. 

Dans cette seconde partie, les élèves seront amenés à 

construire un isomorphisme. 




• Dans la troisième partie, les propriétés du produit Question 1 

scalaire sur les réels sont redéfinies afin de rendre 

cohérente la formule de calcul de ce produit avec la 

généralisation des scalaires obtenue dans la première 

partie. 

Considérons l’ensemble K 2 = {0,1} . 

Définir une opération d’addition et une opération de multiplication sur 

l’ensemble K 2 = {0,1} qui fassent de cet ensemble (muni de ces deux 

opérations) un corps. 

2. Le travail : premier acte 

Dans la première partie du travail, la mise en situation établit 

un parallèle entre la structure d’espace vectoriel telle que 

définie dans le livre de Papillon (page 40) et celle de corps, 

qui n’est évidemment pas présentée dans le livre. Le canevas 

de travail propose à l’élève les deux définitions présentées à 

la Figure 1.: 

Dans la portion magistrale du cours qui précède cette partie, 

l’élève a été exposé aux concepts de vecteurs, d’addition 

vectorielle, de multiplication par un scalaire, de combinaison 

linéaire, d’indépendance linéaire, de base d’un espace et de 

composantes d’un vecteur. Toutefois, aucun des problèmes 

proposés par le manuel ne porte spécifiquement sur la 

structure d’espace vectoriel. Les propriétés de cette structure 

ont été observées sur des vecteurs du plan mais, comme 

elles semblent « parfaitement naturelles », les élèves n’y 

attachent que peu d’importance. Par ailleurs, pour l’élève, il 

n’existe à priori que très peu de différences entre les deux 

définitions. Dans les deux cas, on y retrouve une opération 

d’addition et une opération de multiplication auxquelles est 

rattachée une liste de propriétés qui, à première vue, sont les 

mêmes. Certaines de ces propriétés, la commutativité, 

l’associativité et la distributivité, évoquent quelques souvenirs 

à l’élève alors que les propriétés de fermeture, de neutre 

et de symétrique ne font à peu près pas partie de son 

vocabulaire. La confusion entretenue par la similitude des 

deux structures est particulièrement présente dans la 

comparaison des propriétés d’existence d’un neutre dans la 

multiplication des vecteurs par un scalaire (propriété iii d des 

espaces vectoriels) et d’un neutre dans la multiplication des 

scalaires (propriété 2 D des corps). La ressemblance de ces 

deux propriétés et le lien qui existe entre l’idée de neutre et 

celle de symétrique pour la multiplication des scalaires ont 

comme conséquence que dans le cours, lors de l’étude des 

espaces vectoriels, l’élève sera parfois tenté de créer des 

symétriques pour les vecteurs relativement à l’opération de 

multiplication par un scalaire. 

La présence des propriétés de fermeture est également 

mystérieuse pour plusieurs puisqu’il est bien évident que la 

somme de deux vecteurs ne peut être qu’un vecteur et qu’il 

est impossible d’imaginer que le produit de deux nombres 

ait pour résultat autre chose qu’un nombre. Toutefois après 

avoir convenu d’appeler scalaires les éléments d’un corps, 

comme le propose le questionnaire, les élèves n’ont aucune 

objection à ce que les réels munis des opérations d’addition 

et de multiplication « usuelles » aient droit à ce titre. La 

première question du travail va alors tenter de provoquer 

une certaine remise en question de l’évidence des propriétés. 

La première difficulté que rencontre l’élève face à cette 

question est le sens qu’il doit donner au mot définir. L’élève 

est conscient que ce mot représente le seul indice sur la 

méthode qu’il doit employer pour arriver au résultat exigé. 

Le problème n’est toutefois pas de trouver la réponse à la 

question; cette réponse, il la connaît, celle-ci ne peut être que 

bien évidemment : 

0 + 0 = 0 

0 + 1 = 1 

1+ 0 = 1 

1+ 1 = 2 



et 

0! 0 = 0 

0! 1 = 0 

1! 0 = 0 

1! 1 = 1 

Ce qui inquiète l’élève, c’est qu’il se sent obligé de présenter 

un raisonnement ou une démarche lui permettant de justifier 

à priori cette réponse et que surtout cette démarche 

correspondra à ce que le professeur, à travers cette question, 

semble exiger de lui lorsqu’il lui demande de « définir des 

opérations ». Comme le mot définir ne représente pas une 

instruction suffisamment explicite, la question est ici perçue 

par l’élève comme un mauvais intermédiaire entre ses 

connaissances et les exigences du professeur. En se 

dissociant des demandes du questionnaire, le professeur 

peut ici trouver une occasion de susciter un premier dialogue 

entre l’élève et le questionnaire. Le professeur peut par 

exemple suggérer à l’élève que le mot définir en mathématiques 

prend souvent le sens de créer. Presque invariablement, 

la réaction de l’élève est alors de poser la question : « On 

peut donc faire ce qu’on veut? » 

Il serait possible de restreindre cette apparence de liberté 

dans le choix des opérations. Il n’y a en effet que 16 

opérations possibles, celles-ci correspondant aux 16 

applications différentes qui associent à chacun des éléments 

de l’ensemble formé des couples {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} un 

et un seul élément de l’ensemble des résultats possibles 

{0, 1}. Une fois la liste des opérations établie, il s’agit 

d’éliminer celles ne répondant pas aux propriétés d’un corps. 

Toutefois, aucun élève n’envisage cette façon de faire, 

d’autant plus que pour cela il faudrait tout d’abord satisfaire 

à la propriété de fermeture des opérations, propriété qui 

comme nous l’avons dit n’a que très peu de sens pour 

l’élève. En effet, non seulement l’élève ne voit aucun 

inconvénient à écrire que 1+ 1 = 2 dans cet ensemble, mais 

dans son esprit c’est également le seul choix possible. Une 

intervention du professeur est donc nécessaire afin d’amener 

l’élève à établir le lien entre sa définition des opérations et 

les exigences posées par la définition d’un corps. 

Étonnamment, lorsque l’élève prend conscience que 1+ 1 ne 

peut faire 2, mais doit faire 0 ou 1, cela renforce son 

impression que : « l’on peut faire ce l’on veut » dans cette 

question. Ceci a comme conséquence que, dans certains cas, 

il se met à « explorer » différentes possibilités d’opérations.


Un espace vectoriel sur l’ensemble ! des nombres réels est la donnée : Nous conviendrons d’appeler « corps » tout ensemble muni de deux 

opérations (appelées addition et multiplication) telles que 

i) d’un ensemble V dont les éléments sont appelés des vecteurs et sont 

notés u ! , v ! , w ! , etc.; 

ii) d’une opération appelée addition vectorielle qui associe à chaque 

paire de vecteurs u ! et v ! ! ! 

un vecteur noté u + v et appelé somme 

de u ! et v ! , de telle façon que : 

a) l’addition est commutative : pour tous vecteurs u ! et v ! dans 

! ! ! ! 

V, on a que u + v = v + u , 

b) l’addition est associative : pour tous vecteurs u ! , v ! et w ! 

! ! ! ! ! ! 

dans V, on a que ( u + v) + w = u + ( v + w) 

, 

c) il existe dans V un élément neutre noté 0 ! , et appelé le vecteur 

nul pour lequel, pour tout v ! ! ! ! 

dans V, on a que v + 0 = v , 

d) pour chaque vecteur v ! dans V, il existe dans V un vecteur, 

noté ! v 

! , et appelé l’opposé de v ! , tel que v + ( ! v) 

= 0 

! ! ! 

; 

iii) d’une opération appelée multiplication par un scalaire qui associe à 

chaque nombre réel k et à chaque vecteur v ! un vecteur noté kv ! et 

appelé produit de k et de v ! de telle façon que : 

a) la multiplication par un scalaire est pseudo associative : pour 

tous nombres réels k et l, et pour tout vecteur v ! dans V, on a 

! ! 

que k( lv) = ( kl) v , 

b) la multiplication par un scalaire est distributive relativement à 

l’addition des réels : pour tous nombres réels k et l, et pour 

tout vecteur v ! ! ! ! 

dans V, on a que ( k + l) v = kv + lv , 

c) la multiplication par un scalaire est distributive relativement à 

l’addition des vecteurs : pour tout nombre réel k et pour tous 

vecteurs u ! et v ! ! ! ! ! 

dans V, on a que k( u + v) = ku + kv , 

d) il existe dans ! un élément neutre noté 1 pour lequel, pour 

tout v ! ! ! 

dans V, on a que 1v = v . 

1) On puisse additionner les scalaires 

A) la somme de deux scalaires k et l notée k + l doit être un 

scalaire (fermeture de l’ensemble des scalaires pour 

l’addition), 

B) l’addition des scalaires doit être commutative : pour tous 

scalaires k et l, on a que k + l = l + k , 

C) l’addition des scalaires doit être associative : pour tous 

scalaires k, l et m, on a que ( k + l) + m = k + ( l + m) 

, 

D) l’addition des scalaires doit admettre un élément neutre, 

noté 0, tel que : pour tout scalaire k, on a que 

0 + k = k , 

E) tout scalaire k doit admettre un symétrique pour 

l’addition appelé opposé de k : pour tout scalaire k, il 

existe un scalaire noté k’ tel que k + k ' = 0 , où 0 est 

l’élément neutre défini en D). 

2) On puisse multiplier les scalaires entre eux 

F) le produit de deux scalaires k et l noté kl doit être un 

scalaire (fermeture de l’ensemble des scalaires pour la 

multiplication), 

G) la multiplication des scalaires doit être commutative : pour 

tous scalaires k et l, on a que kl = lk , 

H) la multiplication des scalaires doit être associative : pour 

tous scalaires k, l et m, on a que ( kl) m = k( lm) 

, 

I) la multiplication des scalaires doit admettre un élément 

neutre, noté 1, tel que : pour tout scalaire k, on a que 

1k = k , 

J) tout scalaire k , sauf 0 l’élément neutre pour 

l’addition, doit admettre un symétrique pour la 

multiplication appelé inverse de k : pour tout scalaire k, 

il existe un scalaire noté k* tel que kk * = 1, 

où 1 est 

l’élément neutre défini en D); 

3) L’addition et la multiplication des scalaires soient compatibles : 

La multiplication des scalaires doit être distributive relativement à 

l’addition des scalaires : pour tous scalaires k, l et m, on a que 

k( l + m) = kl + km . 

Figure 1 Les définitions des structures d’espace vectoriel et de corps 

En particulier certains essaient d’obtenir une symétrie dans 

les deux opérations, ce qui donne le résultat suivant : 

0 + 0 = 0 0! 0 = 1 

0 + 1 = 1 

1+ 0 = 1 

et 

0! 1 = 0 

1! 0 = 0 

1+ 1 = 0 

1! 1 = 1 

Ces deux opérations sont en fait deux fois l’opération 

d’addition où le rôle du neutre est tenu par 0 dans la 

première et 1 dans la seconde. L’élève ne voit évidemment 

pas le problème de l’existence du symétrique pour le neutre 

de la multiplication, et seule la propriété de distributivité de 

la multiplication sur l’addition peut lui permettre de 

constater son erreur. Malheureusement, c’est également la 

onzième et dernière de la liste. 

La deuxième question du travail propose de comparer le 

comportement d’une opération de multiplication « naturelle 

» et d’une opération de multiplication « artificielle » sur 

un ensemble formé de couples de réels. 

Question 2 

Considérons l’ensemble K = (!,") |! #! et " #! 

(! ," ) { } . 

Dans cet ensemble, deux éléments (! ," ) et (! ," ) sont égaux si et 

1 1 2 2 

seulement si # ! 1 = ! 2 

$ 

% " 1 = " 2 



. 

a) Vos professeurs ont vérifié que l’addition terme à terme de ces 

éléments (semblable à celle dans R 2 ) satisfait bien les cinq 

premières propriétés caractéristiques des corps. Expliquer


pourquoi la multiplication terme à terme de ces éléments, jumelée 

avec l’addition terme à terme, ne fait pas de K b) 

un corps. 

(! ," ) 

Considérons maintenant l’opération suivante que nous appellerons 

multiplication sur K (! ," ) : 

(! 1 ," 1 )(! 2 ," 2 ) = (! 1 ! 2 # " 1 " 2 ,! 1 " 2 + ! 2 " 1 ) opération de multiplication, et il la considérera comme 

« artificielle » . Il faut toutefois remarquer que la partie 

magistrale du cours n’a pas encore abordé le produit scalaire 

ni le produit vectoriel, deux produits qui amènent ce genre 

. En admettant que 

cette opération est commutative et associative, démontrer que 

l’ensemble K ( ! , " ) muni de l’addition terme à terme et de cette 

multiplication est bien un corps. 

de considérations. L’existence du neutre et des symétriques 

pour cette opération de multiplication « artificielle » ne peut 

plus être devinée et aucune méthode n’est proposée pour 

résoudre ce problème. Cela oblige alors l’élève à interpréter 

correctement les définitions des deux propriétés et à 

transposer le problème en termes de couples. 

Dans le cas du neutre de la multiplication, l’élève devra 

Dans la partie a) de la question, l’enjeu propose d’examiner 

les propriétés de l’opération de multiplication terme à terme 

sur l’ensemble K dans le but d’exhiber ce qui empêche 

(! ," ) 

cette opération de définir un corps. Malgré une demande 

relativement spécifique, l’élève va également inclure dans 

bien des cas la démonstration des propriétés de fermeture, 

de commutativité, d’associativité et de distributivité qui sont 

satisfaites par la multiplication terme à terme. 

Dans cette première partie de la question, la forme que 

prennent le neutre et les symétriques pour l’opération de 

multiplication peut être devinée. Pour l’élève, il est 

relativement facile de « voir » que l’élément neutre de 

l’opération de multiplication est donné par le couple (1,1) et 

que le symétrique d’un élément ( ! , " ) est de la forme 

# 1 1 $ . Contrairement à la question 1, le fait d’exhiber ces 

% , & 

' ! " ( 

réponses sans les accompagner d’une procédure ne semble 

pas inquiéter l’élève dans ce cas-ci. C’est peut-être la notion 

de contre-exemple, sous-jacente à cette question, qui libère 

l’élève du besoin de présenter une démarche justifiant son 

résultat. Par contre, il lui est beaucoup plus difficile 

d’expliquer en quoi la forme du symétrique ne satisfait pas 

aux exigences posées par la définition d’un corps. Bien que 

le problème de la division par zéro ait été présent tout au 

long de leur cours de calcul différentiel, il leur semble 

difficile de faire l’association entre l’expression 1 et 

! 

l’expression 1 . La réflexion de l’élève s’articule autour du 

0 

fait que toutes les autres propriétés étant satisfaites, s’il y a 

problème cela doit nécessairement provenir de l’existence 

des symétriques. Cette obligation de résultat l’amène 

éventuellement à considérer que des couples tels (2,0) 

n’ont pas de symétriques et ne sont pas non plus neutres 

pour l’opération d’addition. Pour l’élève qui n’a fait 

qu’exhiber le couple (1,1) sans justifier que c’est le seul 

possible, le professeur pourrait toutefois intervenir en lui 

demandant si l’on peut penser qu’un autre neutre pour la 

multiplication pourrait permettre de satisfaire à la propriété 

d’existence des symétriques. 

Dans la deuxième partie de la question, l’opération de 

multiplication entre les scalaires « couples » proposée 

implique des opérations de multiplication, d’addition et de 

soustraction de réels, ce qui peut empêcher l’élève dans 

certains cas d’accepter cette opération comme une « vraie » 

poser un couple inconnu ( x, y ) de K (! ," ) 

couple ( ! , " ) de K , on ait : 

(! ," ) 

tel que, pour tout 

(!,")(x, y) = (!,") 

qui, après avoir appliqué la définition de la multiplication, 

devient 

(! x " # y,! y + #x) = (!,#) . 

En invoquant la définition de l’égalité donnée dans cette 

question, on a alors le système d’équations linéaires suivant 

$ ! x " # y = ! 

% 

&! 

y + #x = # 

Sans avoir encore développé les méthodes de résolution de 

systèmes d’équations linéaires dans le cours, les élèves ont 

déjà été confrontés à ce genre de problème lorsque les 

coefficients du système sont déterminés. On retrouve un 

problème de ce genre à la page 26 du manuel de Papillon : 

! ! 

! 

Soit u = (3,1) , v = ( ! 2,5) et w = (12, ! 13) les expressions, dans 

une base donnée, de trois vecteurs d'un même plan. 

a) Exprimez w ! comme combinaison linéaire de ! u et ! v . 

Ce problème consiste à déterminer deux scalaires k et l 

! ! ! 

solution de l'équation vectorielle ku + lv = w . En invoquant 

l'unicité des composantes d'un vecteur dans une base 

donnée, cela revient à résoudre un système de deux 

équations à deux inconnues à coefficients déterminés, une 

tâche que les élèves accomplissent assez facilement par une 

méthode de comparaison ou de substitution. Le manuel 

n’est malheureusement pas un coéquipier parfait puisque la 

solution qu’il propose s’adapte mal au problème du 

questionnaire. La résolution de systèmes à coefficients 

indéterminés pose en effet beaucoup plus de difficultés aux 

élèves. 

Le premier problème consiste à déterminer les lettres qu’il 

faut isoler puisqu’on n’est pas en présence de « chiffres et de 

lettres », mais bien uniquement de lettres. Pour résoudre ce 

genre de problème, l’élève va essayer, comme dans le cas des 

coefficients déterminés, d’appliquer la méthode de 

comparaison ou celle de substitution. La méthode de 

comparaison se prête plutôt mal à ce problème, mais 

certains élèves vont tout de même faire une tentative pour 

obtenir deux équations dont le second membre est 0 pour 

pouvoir ensuite utiliser l’égalité des premiers membres; 

l’apparence de l’équation alors obtenue met souvent un 

terme à cette tentative. 




Dans le cas de la méthode de substitution, l’élève est amené 

à effectuer une division par un des coefficients indéterminés 

et donc éventuellement une division par zéro. Ici encore le 

problème de la division par zéro qui prend la forme 

! + " y 

x = n’est pas soulevé par l’élève puisque cette 

! 

division n’apparaît pas de façon explicite. 

Très peu d’élèves envisagent la possibilité d’utiliser la 

méthode d’élimination qui consiste à additionner les deux 

équations après avoir multiplié la première par ! et la 

seconde par ! , pour obtenir 

c’est-à-dire 

ou encore 

2 

! x " !# y + !# y + # 2 

x = ! 2 

+ # 2 

2 

! + " 2 ( ) x = ! 2 

+ " 2 

2 

! + " 2 ( )(x # 1) = 0 

Cette dernière équation devant être satisfaite pour toute 

valeur de ! et de ! , cela implique que 

x ! 1 = 0 

et on obtient 1 comme valeur pour x, puis 0 comme valeur 

pour y en substituant la valeur de x dans une des équations 

initiales. Le neutre de cette opération de multiplication est 

donc le couple (1,0) . 

Dans le cas de l’existence des symétriques pour la multiplication, 

l’élève ne pense généralement pas à exclure à priori le 

neutre de l’addition en posant comme problème de départ : 

Soit ( !," ) # (0,0) un couple de K , on cherche un couple 

(! ," ) 

( x, y ) de K tel que 

(! ," ) 

(!,")(x, y) = (1,0) . 

Ce problème se ramène à la résolution d’un système 

semblable au précédent 

$ ! x " # y = 1 

% 

&! 

y + #x = 0 

où encore une fois la méthode de substitution va amener les 

élèves à effectuer une éventuelle division par zéro. Peu 

importe la méthode de résolution employée, une bonne 

partie des élèves arrivent à la forme ! 

! 2 

#" 

, 

2 

+ " ! 2 

+ " 2 

$ 

' 

% 

& 

( 

) pour le 

symétrique du couple ( ! , " ) et, comme cette question exige 

de démontrer la validité de l’opération, l’élève conclut ainsi à 

l’existence du symétrique pour toute valeur de ! et de ! 

sans exclure le couple (0,0) , neutre de l’addition. 

La dernière question de cette partie propose de définir des 

espaces vectoriels sur ces nouveaux scalaires formés de deux 

réels. 

Question 3 

Maintenant que nous savons que K muni des opérations 

(! ," ) 

définies à la question précédente est un corps et qu’il nous fournit 

des scalaires, nous sommes autorisés à parler d’espaces vectoriels 

sur K (! ," ) . Par exemple, l’espace vectoriel K 2 

est l’ensemble 

(! ," ) 

! 

v = (( ! , " ),( ! , " )) , où les 

des vecteurs de la forme 1 1 2 2 

composantes (! 1 ," 1 ) et (! 2 ," 2 ) sont des scalaires de K (! ," ) . 

On effectue la somme de deux vecteurs de K 2 

composante à 

(! ," ) 

composante et la multiplication par un scalaire k ! v (où 

k = (!, µ) est un scalaire de K ) en multipliant chacune des 

(! ," ) 

composantes du vecteur ! v par le scalaire k. 

a) Considérons l’ensemble ordonné 

B = ((1,0),(0,0));((0,0),(0,1)) . Cet ensemble de deux 

vecteurs de K 2 

(! ," ) 

constitue-t-il une base de K 2 

(! ," ) 

b) Exprimer le vecteur 

combinaison linéaire des éléments de B. 

! 

v = ((1,2),(3,4)) comme une 

Le problème de déterminer si deux vecteurs exprimés 

relativement à une base d’un espace plan sur les réels 

constituent une base de cet espace a déjà été proposé en 

classe. Selon le manuel de Papillon (page 19) une base d’un 

espace E est : « …un ensemble de vecteurs de E linéairement 

indépendants tel que tout vecteur de E s’écrit comme combinaison 

linéaire de ces vecteurs ». La formulation de cette définition ne 

facilite pas la tâche, et il n’est pas toujours aisé pour l’élève 

de comprendre que cette définition exige deux choses des 

vecteurs : (i) qu’ils soient linéairement indépendants et (ii) 

qu’ils forment un ensemble générateur de l’ensemble. Si le 

schème de pensée associé à ce problème n’est pas encore 

complètement maîtrisé, et ce, malgré la présentation de 

quelques exemples en classe, il est tout de même 

relativement familier à l’élève. Dans la première partie de 

cette question, ce schème de pensée est mis à l’épreuve par 

le questionnaire en plaçant l’élève dans une situation où 

interviennent trois types d’objets possédant chacun leurs 

propres opérations avec leurs propriétés : les vecteurs, les 

scalaires « couples » et les scalaires réels. Ceci oblige l’élève à 

une certaine prudence dans ces manipulations afin d’utiliser 

la bonne opération au bon moment. Un certain nombre 

d’élèves vont également vouloir tenter de réutiliser la 

multiplication « naturelle », c'est-à-dire terme à terme, entre 

les scalaires de l’ensemble K alors que la question 

(! ," ) 

précédente les avait amenés à conclure que celle-ci ne 

satisfaisait pas aux exigences d’un corps. 

La définition d’indépendance linéaire de deux vecteurs telle 

que proposée par Papillon (page 18) fait appel à 

l’impossibilité d’écrire un vecteur comme combinaison 

linéaire de l’autre, ce qui propose à l’élève de travailler la 

structure de la preuve par contradiction. On suppose 

l’existence d’un scalaire k = (!, µ) de K tel que 

(! ," ) 

((0,0),(0,1)) = k((1,0),(0,0)) 

ce qui, en effectuant la multiplication par un scalaire selon 

les opérations sur les composantes, s’écrit 

((0,0),(0,1)) = ( k(1,0), k(0,0)) 

. 



?


En invoquant par la question précédente que (1,0) est neutre 

pour la multiplication et en observant que (0,0) est 

absorbant pour la multiplication des scalaires couples, ceci 

s’écrit 

((0,0),(0,1)) = ( k,(0,0)) 

. 

En faisant alors successivement appel à l’unicité des 

composantes et à la définition de l’égalité des scalaires 

couples, on obtient 

" 0 = ! 

# 0 = µ 

$ 

# 0 = 0 

# 

% 1 = 0 

Bien que la dernière égalité soit évidemment fausse pour les 

réels, les deux premières égalités peuvent laisser penser à 

l’élève que le scalaire k existe et ainsi les deux vecteurs ne 

seraient pas linéairement indépendants. Cette apparente 

contradiction entre le fait que certaines équations possèdent 

une solution alors que d’autres sont incohérentes dans un 

même système réapparaîtra beaucoup plus tard dans le cours 

au moment de l’application de la méthode de Gauss-Jordan. 

Le problème de vérifier si les deux vecteurs peuvent 

engendrer l’ensemble K 2 

, quoique semblable au 

(! ," ) 

problème précédent, présente un niveau de difficulté plus 

élevé. Ce problème exige de proposer un vecteur 

! 

quelconque v = ((! ," ),(! ," )) de 

1 1 2 2 K 2 

et de chercher à 

(! ," ) 

exprimer v ! comme combinaison linéaire des vecteurs de 

l’ensemble ordonné B, c’est-à-dire de déterminer deux 

scalaires k1 = (! 1 ,µ 1 ) et k2 = (! 2 ,µ ) tels que 

2 

! 

v = k ((1,0),(0,0)) + k ((0,0),(0,1)) . 

1 2 

Ce problème se ramène à résoudre un système de quatre 

équations à quatre inconnues dont la solution est presque 

systématiquement présentée par l’élève sous la forme 

suivante : 

% ! = " 1 1 

' 

' # = µ 1 1 

& 

'! 

= $µ 2 2 

' 

( 

# 2 = " 2 

indiquant ainsi qu’il y a encore une certaine confusion dans 

son esprit entre les objets donnés et les objets cherchés. 

La deuxième partie de cette question n’est qu’une simple 

application du résultat précédent, mais très rares sont les 

élèves qui vont la percevoir comme telle. La procédure de la 

question précédente ayant fait ses preuves avec des lettres, 

l’élève n’hésite pas à construire à nouveau le système 

d’équations et à répéter au grand complet la solution 

proposée précédemment en remplaçant les lettres par les 

chiffres. 

3. Le travail : deuxième acte 

Dans la deuxième partie du travail, on propose à l’élève de 

faire le lien entre les scalaires « couples » et les scalaires réels, 

puis d’obtenir une notation qui permettra de manipuler plus 

simplement ces scalaires « couples ». La portion magistrale 

du cours qui précède a permis de présenter les idées 

associées au produit scalaire, la projection orthogonale et les 

déterminants 2! 2 et 3! 3 . Cette partie est entreprise en 

demandant à l’élève de considérer le sous-ensemble 

K = (!,0) ! "! 

(! ,0) { } formé de tous les éléments de K (! ," ) 

dont le deuxième terme est nul et d’examiner le 

comportement de ces éléments relativement aux opérations 

d’addition et de multiplication telles que définies sur 

l’ensemble K dans la première partie du travail. Le 

(! ," ) 

canevas de travail va préciser que l’ensemble K (! ,0 ) étant 

inclus dans l’ensemble K , il hérite des propriétés du 

(! ," ) 

corps K qui ne font pas appel à la présence d’un 

(! ," ) 

scalaire particulier et ainsi les propriétés de commutativité, 

d’associativité et de distributivité des deux opérations étant 

satisfaites pour les scalaires de l’ensemble K , elles le 

(! ," ) 

sont aussi pour les scalaires de l’ensemble K (! ,0 ) . 

Première question 

Vérifier si les propriétés qui ne sont pas héritées du corps K (! ," ) 

sont aussi satisfaites pour K muni de l’égalité et des opérations 

(! ,0 ) 

d’addition et de multiplication définies dans le premier travail. Conclure 

sur la nature de K (! ,0 ) . 

Cette question est évidemment une transposition du 

« théorème » des sous-espaces vectoriels. La notion de sousespace 

vectoriel et les résultats qui lui sont associés ne font 

pas partie du programme du cours d’algèbre linéaire au 

niveau collégial bien que plusieurs manuels utilisés pour ce 

cours les introduisent. Ce n’est toutefois pas le cas du 

manuel de Papillon et par conséquent l’élève ne dispose 

d’aucun modèle à suivre à l’exception des schèmes de 

pensée qui ont été exploités dans la première partie du 

travail. 

Il est donc naturel pour l’élève de vouloir réutiliser ces 

schèmes dans le cadre de cette nouvelle situation. Dans la 

première partie du travail, la possibilité de conclure sur la 

fermeture des opérations sur les scalaires « couples » de 

l’ensemble K n’exigeait de l’élève qu’une observation 

(! ," ) 

concernant le fait que le résultat de l’opération était bien un 

couple de réels. La validation de ce schème suite à la 

correction du premier travail, ajoutée au fait que la situation 

actuelle présente suffisamment de ressemblance avec celle 

de la première partie, va amener l’élève à proposer le même 

argument pour conclure à la fermeture des opérations 




d’addition et de multiplication sur l’ensemble K (! ,0 ) sans 

jamais faire intervenir le fait que le deuxième terme de ces 

scalaires couples doit être 0. Ici, il faut sans doute mettre la 

faute sur la question posée : en proposant une situation qui 

« marche », l’ensemble K (! ,0 ) muni des opérations de K (! ," ) 

étant effectivement un corps, l’élève ne dispose d’aucun 

moyen pour modifier la procédure qu’il a utilisée 

précédemment et il faut donc s’attendre à ce genre de 

solution. Une question qui serait beaucoup plus intéressante 

ici et qui permettrait d’éviter cette erreur de raisonnement 

serait de proposer à l’élève de comparer le comportement du 

sous-ensemble K = { (!,0) ! "! } et du sous-ensemble 

(! ,0 ) K = { (!,1) ! "! } relativement aux opérations d’addition 

(! ,1) 

et de multiplication. 

Le problème de la réutilisation des anciens schèmes apparaît 

une seconde fois dans cette question. La première partie du 

travail avait en effet permis d’établir une procédure 

permettant de déterminer que le couple (1,0) représentait 

l’élément neutre pour la multiplication dans l’ensemble 

K (! ," ) et que tout couple ( ! , " ) # (0,0) possédait un inverse 

qui prenait la forme ! 

! 2 

#" 

, 

2 

+ " ! 2 

+ " 2 

$ 

' 

% 

& 

( 

) . Plutôt que de prendre 

ces résultats comme point de départ et d’invoquer que le 

couple (1,0) fait également partie de l’ensemble K , puis 

(! ,0 ) 

de remarquer que, si on applique la forme générale des 

inverses au couple (!,0) avec ! " 0 , on obtient un couple 

de la forme 

1 

! ,0 

" % 

# 

$ 

& 

' qui est un élément de K , la presque 

(! ,0 ) 

totalité des élèves préfère reprendre à zéro la procédure pour 

ainsi recalculer une seconde fois l’élément neutre puis les 

inverses. 

La deuxième question va permettre d’établir que le corps 

K (! ,0 ) 

et le corps des réels ne sont que deux expressions du 

même objet. En guise de préambule, on propose à l’élève la 

définition suivante d’un isomorphisme : 

En d’autres mots, il s’agit de trouver une fonction f : K " ! 

(! ,0 ) 

inversible (i.e. dont la réciproque existe) telle que: 

1. 

2. 

( ) + ! 2 ,0 ( ) 

( ) = f ! 1 ,0 ( ) ( ) + f ! 2 ,0 ( ( ) ) 

( ) ! 2 ,0 ( ) 

( ) = f ! 1 ,0 ( ) ( ) f ! 2 ,0 ( ( ) ) 

f ! 1 ,0 

f ! 1 ,0 

Une fonction qui possède ces propriétés porte le joli nom d’isomorphisme 

entre les ensembles K (! ,0 ) et ! 2 . 

On pose alors la question suivante : 

Deuxième question 

Définir un isomorphisme entre K (! ,0 ) et ! permettant d’établir que 

les ensembles K (! ,0 ) et ! munis de leurs opérations respectives se 

Ici encore les exigences de la question ne portent que sur le 

résultat souhaité. Les élèves ont déjà été confrontés au mot 

définir dans une question précédente, mais malgré cela un 

certain nombre d’entre eux, quoique dans une proportion 

plus faible que précédemment, tiennent encore à déduire la 

fonction demandée à partir des propriétés qu’elle doit 

satisfaire. Bien que cela soit évidemment possible en 

utilisant la deuxième propriété, le schème envisagé n’est pas 

de cet ordre et, sans soutien du professeur, cette approche 

n’est pas facilement accessible à l’élève. Cette question pose 

deux difficultés aux élèves. La première concerne le fait que 

ceux-ci n’ont jamais travaillé dans leurs cours de calcul avec 

autre chose que des fonctions dont le domaine et l’image 

étaient des sous-ensembles de R. La seconde difficulté que 

pose cette question à l’élève se trouve dans la simplicité de la 

fonction qu’il est possible d’exhiber pour satisfaire aux 

exigences, la plus simple étant évidemment définie par la 

règle de correspondance : f ((!,0)) = ! . Ce qui semble 

embêter le plus l’élève, c’est l’absence de « calculs » dans 

cette fonction. Certains vont alors tenter de combler cette 

absence en proposant des fonctions de la forme 

3 3 

f ((!,0)) = ! + 0 et même f ((!,0)) = ! + 0 . 

La question qui concerne l’existence de la fonction inverse 

est ici un prétexte pour revisiter cette notion. La notion de 

fonction inversible (ou réciproque) a été vue une première 

fois à la fin du niveau secondaire, puis a été reprise dans les 

cours de calculs du niveau collégial lors de la présentation 

des fonctions logarithmiques et des fonctions trigonométriques 

inverses. Au secondaire, on présente une méthode 

permettant de trouver la fonction réciproque d’une fonction 

rationnelle du premier degré. Au collégial, on essaie de 

caractériser la réciproque d’une fonction par l’opération de 

composition. Évidemment, pour la plupart des élèves, cette 

caractérisation ne fait plus partie des schèmes de pensée 

disponibles. Par contre le schème présenté au secondaire est 

encore accessible à l’élève, mais malheureusement ne lui est 

pas utile ici. Le professeur doit donc intervenir et suggérer à 

l’élève d’en discuter avec son manuel de calcul différentiel. 

La troisième question amène l’élève à considérer la 

possibilité que le sous-ensemble K = { (0,!) ! "! } soit 

( 0,! ) 

également un corps. 

Troisième question 

i) Calculer le produit (0,1) 2 ; 

ii) Déterminer si le sous-ensemble K ( 0,! ) 

multiplication telles que définies sur K est un corps. 

(! ," ) 

muni de l’addition et de la 

On remarque évidemment que le résultat de la première 

partie de cette question permet de répondre à la seconde. 

Bien que le schème de pensée associé à la fermeture d’une 

opération ait acquis une certaine solidité, celle-ci n’est 

toutefois pas suffisante pour permettre à l’élève d’exploiter 

le résultat de la question i). Presque tous les élèves vont 

Actes du 49e congrès de l’Association mathématique du Québec 176 31 mai et 1er comportent de façon identique. 


juin 2006


montrer la non-fermeture de la multiplication en effectuant 

la multiplication des couples (! ,0) et (! ,0) . 

1 2 

Les questions suivantes dans cette deuxième partie vont 

amener les élèves à utiliser une écriture sans couples pour les 

éléments du corps K (! ," ) 

en notant les couples de la forme 

(!,0) par ! et en notant le couple (0,1) par c comme la 

première lettre du mot compliqué. 

Quatrième question 

Montrer que tout scalaire ( ! , " ) du corps K ( ! , " ) peut maintenant 

être noté par ! + " c , i.e. ( ! , " ) ! ! + " c . 

Cette question illustre la difficulté que le symbolisme pose à 

l’élève. Depuis le début du travail, bien que ! et ! ne 

représentent que deux nombres réels, ! a toujours été le 

premier terme du couple et ! n’a jamais été autre chose que 

le second terme. Cette apparence de différence dans la 

nature de ces deux réels a comme conséquence que la 

notation ( ! , 0) ! ! proposée par le questionnaire après la 

question 2 pour les éléments du corps K sera mal 

(! ,0 ) 

généralisée dans le cas de ! . Pour l’élève, elle prendra 

alors la forme ! ! (0, ! ) . 

La nouvelle notation de la question 4 va permettre à l’élève 

écriture du résultat de la question 3 i) sous une forme « plus 

audacieuse » comme le dit si bien Papillon à la page 298 : 

c 2 

= !1 . 

Pour terminer cette partie, on propose à l’élève une écriture 

plus simple pour la multiplication. 

Cinquième question 

Sans utiliser la formulation en couples, effectuer les produits suivants : 

" 

3 

i) (3 ! 4c) + 

25 

4 

c 

# 

$ 

25 & 

' ; 

ii) (! 1 + " 1c) ! 2 + " 2c ( ). 

% 

Et, après avoir défini le conjugué d’un nombre, on pose la 

question suivante : 

Sixième question 

Toujours avec la nouvelle notation, montrer que pour tout scalaire du 

corps K , le résultat de la multiplication par son conjugué est un 

(! ," ) 

nombre réel positif. 

Les questions 5i), 5ii) et 6 sont essentiellement trois fois la 

même question qui est posée à l’élève. L’expression générale 

est le résultat de 5 ii), mais très peu d’élèves vont réinvestir 

le résultat de cette question pour les appliquer à la question 

6 ou encore à la question 5 i) qui a le défaut de précéder la 

question 5 ii). 

4. Le travail : troisième acte 

Dans cette troisième partie, nous amenons l’élève à établir 

une formule de calcul pour le produit scalaire sur l’espace 

vectoriel K 2 

à partir des propriétés axiomatiques du 

(! ," ) 

produit scalaire. Les élèves ont déjà pu définir une base de 

l’espace vectoriel K 2 

lors de la première partie de ce 

(! ," ) 

travail. La partie magistrale du cours a permis une 

présentation axiomatique des formules de calcul du 

déterminant 2! 2 , du déterminant 3! 3 et du produit 

vectoriel. Les élèves ont également été en contact avec les 

trois « définitions » du produit scalaire que propose 

Papillon : 

• Géométrique : 

! 

ui ! v = ! u ! v cos! où ! est l’angle entre ! u et ! v ; 

• Algébrique : 

! 

ui ! v = u v + u v + ... + u v où 

1 1 2 2 n n 

! 

u = (u 1 ,u 2 ,...,u n ) et 

! 

v = (v 1 ,v 2 ,...,v n ) sont exprimés relativement à une base 

orthonormée; 

• Axiomatique : 

Une fonction qui associe à tout couple ! u, ! v de 

vecteurs un réel noté ! ui ! v tel que : 

! ! ! ! 

PS1 uiv = vi u 

! ! ! ! ! ! 

PS2 ( ku) iv = ui( kv) = k( ui v) 

! ! ! ! ! ! ! 

PS3 ui( v + w) = uiv + ui w 

! ! ! 2 

PS4 ui u = u . 

Chacune de ces « définitions » du produit scalaire peut être 

considérée comme une généralisation de la précédente; la 

première n’a de sens que pour ! 2 ou ! 3 , le seconde est 

limitée à ! n et la troisième n’impose aucune restriction sur 

l’espace considéré. On demande alors à l’élève de tenter de 

poursuivre cette généralisation afin d’obtenir une formule de 

calcul dans le cas où l’on remplacerait le mot réel par le mot 

scalaire dans la troisième définition, la définition 

axiomatique du produit scalaire. 

Les trois premières questions de cette partie examinent la 

possibilité d’utiliser pour l’espace vectoriel K 2 

(! ," ) 

la formule 

de calcul du produit scalaire dans ! n sur K 2 

. Après 

(! ," ) 

avoir donné un exemple de généralisation et avoir montré 



que 

! 2 

2 

! K , on propose la réflexion suivante : 

(" ,# ) 

La vieille formule algébrique du calcul du produit scalaire sur ! 2 est- 

elle encore applicable sur K 2 

? Si oui, BINGO!, le troisième 

(! ," ) 

travail est terminé. 

Troisième question


a) En considérant que les vecteurs de K 2 

sont donnés 

(! ," ) 

relativement à une base orthonormée de cet espace, effectuer les 

produits scalaires suivants à l’aide de la formule de la page 54 de 

Papillon. 

PS2* 

(1,c)i(1,c) ; 

(1+ c,3)i(2 ! 3c,!5 + 2c) ; 

(1! c,2 + 2c)i(1! c,2 + 2c) ; 

(k! u)i ! v = k( ! ui ! v); 

PS3* ! ui( ! v + ! w) = ! ui ! v + ! ui ! w; 

! 

PS4* ui ! u = ! u 2 

. 

Il aurait sans doute été souhaitable que cette nouvelle 

définition du produit scalaire apporte une modification à la 

propriété PS4 plutôt qu’à pas la propriété PS1, mais comme 

la propriété PS4 fait le lien entre les scalaires et les réels, elle 

doit évidemment rester invariante. 

i) 

ii) 

iii) 

iv) 

(5c,0)i(5c,0) ; 

b) Commenter les résultats obtenus en a); 

c) Le troisième travail est-il terminé? 

La réponse à la question c) est évidemment non puisque le 

travail comporte encore cinq autres questions, mais sans 

cette demande, les résultats de a) ne sont pas suffisamment 

troublants pour amener l’élève à considérer que l’application 

de la formule de calcul du produit scalaire de ! 2 contrevient 

aux axiomes du produit scalaire lorsqu’appliquée à 

l’espace K 2 

. Quant à la question a), ce n’est qu’une 

(! ," ) 

application de la notation pour les scalaires « couples » de 

K obtenue dans la deuxième partie de ce travail et l’élève 

(! ," ) 

obtient assez aisément que : 

i) (1,c)i(1,c) = 0; 

ii) (1+ c,3)i(2 ! 3c,!5 + 2c) = !10 + 5c; 

iii) (1 ! c,2 + 2 c) i (1 ! c,2 + 2 c) = 6c 

; 

iv) (5c,0)i(5c,0) = !25. 

La question b) pose beaucoup plus de difficultés : l’élève sait 

qu’on lui demande un argument démontrant qu’au moins 

une des propriétés du produit scalaire est violée, mais cette 

demande n’est pas facile à satisfaire. Dans un premier temps, 

l’élève croit voir un problème en i) et iv) : le résultat de ces 

deux produits scalaires sur le corps K est un nombre 

(! ," ) 

réel. La difficulté à mettre le doigt sur le problème s’explique 

sans doute par le fait que la propriété PS4, celle qui dans ce 

cas est violée, est la plus obscure pour l’élève, en particulier 

parce qu’elle n’a pas d’équivalent comme les trois autres 

propriétés (commutativité, pseudo associativité et distributivité) 

pour d’autres opérations. Cette difficulté ne peut être 

que difficilement surmontée sans l’insistance du professeur à 

rappeler le lien qui existe entre produit scalaire, norme et 

longueur d’un vecteur. 

Le canevas de travail va trouver un prétexte dans cette 

incohérence pour proposer une nouvelle définition axiomatique 

du produit scalaire. 

Définition 

Étant donné un espace vectoriel défini sur le corps K , un produit 

(! ," ) 

scalaire est une fonction qui associe à tout couple de vecteurs de cet 

espace vectoriel un et un seul scalaire (ici un élément de K ) et 

(! ," ) 

respecte les quatre propriétés suivantes : 

PS1* ! ui ! v = ! vi ! u ; 

Les trois questions suivantes vont d’abord amener l’élève à 

vérifier que la propriété PS1* reste cohérente avec la 

propriété PS1 lorsque le corps considéré est ! . Par la suite, 

on lui propose deux résultats qui seront nécessaires au 

développement de la formule de calcul du produit scalaire à 

partir des propriétés axiomatiques de cette opération sur le 

corps K . En particulier la sixième question va examiner 

(! ," ) 

les conséquences que peut avoir l’anti-commutativité de la 

propriété PS1* sur les propriétés PS2* et PS3*. 

Sixième question 

a) La propriété PS2* indique que (k! u)i ! v = k( ! ui ! v) . Est-il vrai 

que ! ui(k ! v) = k( ! ui ! v) aussi? 

b) La propriété PS3* indique que ! ui( ! v + ! w) = ! ui ! v + ! ui ! w. Est-il 

vrai que ( ! v + ! w)i ! u = ! vi ! u + ! wi ! u aussi? 

L’élève semble avoir de la difficulté à accepter qu’une seule 

des deux propriétés soit affectée par la nouvelle propriété 

PS1* (seule PS2* est affectée) et, si on obtient que 

! ui(k ! v) = k ( ! ui ! v) , il lui faut également placer un conjugué 

quelque part dans PS3*. 

Après avoir rappelé la définition d’une base orthonormée, la 

septième question demande à l’élève d’obtenir la nouvelle 

formule de calcul. 

Septième question 

a) En admettant l’existence d’une base orthonormée B = ! e 1 , ! e 2 

K 2 

, établir une formule de calcul pour le produit scalaire de 

(! ," ) 

deux vecteurs 

! 

u = (k 1 , k 2 ) et 

relativement à cette base; 

! 

v = (l ,l ) de 

1 2 K 2 

exprimés 

(! ," ) 

b) Vérifier que, dans le cas particulier où les composantes k 1 , k 2 ,l 1 

et l 2 des vecteurs ! u et ! v sont des nombres réels, la formule 

obtenue en a) correspond à la définition du produit scalaire 

sur ! 2 . 

Cette question va permettre à l’élève de faire le lien entre les 

connaissances qu’il possède déjà et les nouvelles 

connaissances amenées par le questionnaire. Ce lien lui sera 

offert par le troisième membre de l’équipe. Le livre de 

Papillon présente le développement de la formule de calcul 

pour le déterminant 2! 2 , une présentation qui remonte à la 

deuxième partie du cours magistral. En invoquant les 

propriétés appropriées, il prend la forme suivante : 



de


! (a,b),(c, d) = ! a ! i + b ! j,c ! i + d ! j 

=! a ! i ,c ! i + d ! j + ! b ! j,c ! i + d ! j 

=! a ! i ,c ! i + ! a ! i , d ! j + ! b ! j,c ! i + ! b ! j, d ! j 

=ac! ! i , ! i + ad! ! i , ! j + bc! ! j, ! i + bd! ! j, ! de s’assurer que le manuel acquiert un statut d’intervenant à 

part entière : il ne s’agit pas uniquement d’écouter le manuel, 

il faut aussi le comprendre. Nous pensons que c’est dans 

l’apprentissage de ce rôle du manuel que l’élève saura 

profiter le plus des mises en situation « par problèmes ». 

j 

=0 + ad! ! i , ! j + bc! ! j, ! i + 0 

=ad! ! i , ! j " bc! ! i , j 

=ad " bc. 

En faisant parler le manuel, l’élève pourra obtenir un 

développement presque identique pour la formule du 

produit scalaire. En invoquant les propriétés appropriées, il 

prend la forme suivante : 

! ! ! ! 

(k , k ) • (l ,l ) = (k e + k e ) • (l e + l e ) 

1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 

! ! ! ! ! ! 

=(k e ) • (l e + l e ) + (k e ) • (l e + l e ) 

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 

! ! ! ! ! ! ! ! 

=(k e ) • (l e ) + (k e ) • (l e ) + (k e ) • (l e ) + (k e ) • (l e ) 

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 

=(k 1 l 1 )( ! e 1 • ! e 1 ) + (k 1 l 2 )( ! e 1 • ! e 2 ) + (k 2 l 1 )( ! e 2 • ! e 1 ) + (k 2 l 2 )( ! e 2 • ! e 2 ) 

=(k 1 l 1 )( ! e 1 • ! e 1 ) + 0 + 0 + (k 2 l 2 )( ! e 2 • ! e 2 ) 

=k 1 l 1 + k 2 l 2 . 

La deuxième partie de la question permet de confirmer que 

cette nouvelle formule pour le produit scalaire est bien une 

généralisation de celle sur ! 2 . 

Pour terminer, nous proposons à l’élève de revenir au point 

où les problèmes sont apparus dans cette troisième partie en 

ramenant une question précédente. 

Huitième question 

a) En considérant que les vecteurs de K 2 

sont donnés 

(! ," ) 

relativement à une base orthonormée de cet espace, effectuer les 

produits scalaires suivants à l’aide de la formule établie à la 

question 7. 

i) (1,c)i(1,c) ; 

ii) 

(1+ c,3)i(2 ! 3c,!5 + 2c) ; 

iii) (1! c,2 + 2c)i(1! c,2 + 2c) ; 

iv) (5c,0)i(5c,0) ; 

b) Commenter les résultats obtenus en a); 

c) Le troisième travail est-il terminé? 

Cette fois-ci, au grand soulagement de l’élève, la réponse à la 

question c) est oui. 

5. Conclusion 

Ce travail a tenté d’examiner les rôles des différents acteurs 

qui interviennent lorsque l’on place l’élève devant une 

situation d’apprentissage par problèmes : le questionnaire, le 

professeur, le manuel et l’élève. Tout en étant tout à fait 

solidaires les uns des autres, ils doivent apprendre à agir de 

façon autonome. Le professeur en particulier doit savoir 

démontrer une distance relative face au questionnaire. On 

pourrait même parfois le voir tenté de s’opposer à la volonté 

de ce questionnaire. Le professeur a également comme rôle 

Référence 

Papillon, Vincent, Vecteurs, matrices et nombres complexes, 

Modulo Éditeur, Montréal,1993. 





Le rôle des mathématiques 

dans la mise en équation 

différentielle en physique 

Les physiciens utilisent, pour étudier les variations d'une grandeur f en fonction 

d'une autre x, un procédé "physique" de mise en équation différentielle, en évaluant 

l'accroissement ∆f quand la variable s'accroît de ∆x. Ils s'appuient sur une intuition 

physique qui laisse parfois implicite la négligeabilité effective de certains termes 

négligés. 

Comment les mathématiques peuvent-elles rendre compte de cette intuition et la 

préciser, en termes d'erreur relative, et au moyen des concepts mathématiques de 

limite, de dérivabilité et de négligeabilité ? Cette intervention des mathématiques en 

physique peut-elle en retour améliorer la compréhension du sens de ces concepts 

mathématiques ? Nous étudions cette question en travaillant en détail sur quelques 

exemples. 

Marc Rogalski, 

Université des 

Sciences et 

Technologies de 

Lille, France 

Laboratoire Paul 

Painlevé 

(Université et 

CNRS) 

mro@ccr.jussieu.fr 

L 

e programme mathématique des 

terminales scientifiques en France met 

depuis 2002 l'accent sur les liens entre 

les mathématiques et la physique. Ce lien est 

développé de façon très explicite autour des 

procédures de mise en équation différentielle de 

phénomènes physiques (étude des variations d'une 

grandeur à taux de variation instantané 

proportionnel à la grandeur elle-même, 

équations différentielles y' = ky), en particulier 

de phénomènes d’évolution au cours du 

temps. 

Cette évolution des programmes, et surtout de 

leur esprit, pose beaucoup de problèmes aux 

enseignants de mathématiques, peu habitués 

aux activités de modélisation. De nombreux 

débats ont ainsi surgi sur le bien-fondé de ces 

nouvelles orientations, en même temps que, 

dans les documents d’accompagnement des 

programmes distribués par le ministère, dans 

les IREM (Instituts de Recherche sur 

l’Enseignement des Mathématiques) et dans le 

bulletin de l’APMEP (Association des 

Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement 

Public), de nombreux exemples de 

modélisation ont été donnés, souvent 

intéressants, voire “séduisants”. Mais sont-ils 

vraiment viables didactiquement ? Il apparaît 

bien qu’un certain nombre de difficultés aient 

été sous-estimées, mais il nous semble qu’un 

des enjeux possibles est de s’emparer de ces 

difficultés d’un point de vue mathématique, et 

de les exploiter, à la fois pour mieux cerner la 

spécificité des deux disciplines physique et 

mathématiques (voire d’autres), et pour en 

tirer un bénéfice pour l’enseignement des 


I. La procédure de l’accroissement 

différentiel, les lois physiques 

“locales”, et les notions 

mathématiques de dérivabilité 

et de négligeabilité 

Nous allons donc essayer d’analyser les 

procédures à l’œuvre dans une mise en 

équation différentielle d’un phénomène 

physique. Si on regarde les mises en équation 

possibles, on constate qu’il y en a de deux 

types : 

* celles où une loi physique est d’emblée déjà une 

équation différentielle, et il n’y a donc pas de 

véritable modélisation à la charnière physique- 



Le rôle des mathématiques dans la mise en équation différentielle en physique Marc Rogalski 

mathématiques à faire ; c’est par exemple le cas de la plupart 

des problèmes qui relèvent de la dynamique: F = mΓ est 

déjà une équation différentielle ; 

* celles où, au contraire, l’équation différentielle n’est pas donnée, 

et c’est tout l’enjeu de l’activité de modélisation que de 

l’établir. 

C’est uniquement ce dernier cas que nous allons étudier ici. 

Pour bien faire comprendre la méthode utilisée en physique, 

nous allons d’abord étudier un exemple significatif. 

I.1. Un exemple emblématique : la canalisation 

poreuse 

Voici un exemple de problème qu’on pourrait trouver dans 

un manuel de physique. 

1 Écoulement dans une canalisation poreuse 

On étudie les pertes d'eau le long d'une canalisation poreuse 

cylindrique de rayon 10 cm. On suppose que le débit 

d'entrée est de 1800 litres à la minute. 

On fait l’hypothèse suivante : sur un petit segment de la 

canalisation, la fuite (en litres/mn) est à peu près 

proportionnelle à la surface (en mètres carrés) du segment et 

au débit (en litres/mn) à travers ce petit segment, le 

coefficient de proportionnalité étant égal à 10 -2 . 

Quelle longueur maximum peut avoir la canalisation pour 

que le débit d'eau à sa sortie soit au moins de 1000 

litres/mn? 

On constate que l’énoncé présente deux aspects : 

* d’une part, une description locale du phénomène, une “loi 

locale” de nature “linéaire”, présentée comme d’autant plus 

exacte que le phénomène a été très localisé (comme le 

désignent les locutions “sur un petit segment de la 

canalisation” et “à peu près proportionnelle”) ; 

* de l’autre, une “procédure de l’accroissement différentiel” : on 

regarde un accroissement ∆x de la variable (ici l’abscisse à 

partir de l’entrée de la canalisation), à partir de sa valeur x, et 

on dit quelque chose sur l'accroissement correspondant ∆f 

de la fonction f cherchée (ici le débit δ(x) à l’abscisse x). 

On peut remarquer qu’ici une grande partie de la 

modélisation est déjà faite : on ne dit pas comment on a 

déterminé cette loi locale ; nous y reviendrons. 

Mais revenons à ce qui est dit de l’accroissement, et à ce que 

disent fréquemment les physiciens. Parfois, le “à peu près” 

du texte est carrément absent, et remplacé par une locution 

du type “est égal à … si Δx est assez petit”. On trouve ainsi 

dans un document du ministère (voir[4]), à propos de la 

radioactivité, la formulation suivante : “le nombre moyen de 

noyaux qui se désintègrent pendant un intervalle de temps 

∆t à partir d'un instant t, rapporté au nombre total de 

noyaux N(t) présents à l'instant t et au temps d'observation 

∆t, est une constante λ caractéristique du noyau en question. 

On peut donc écrire ∆N(t) 

= - λ∆t”. Cette formulation a 



N(t) 

entraîné de nombreuses protestations d'enseignants de 

mathématiques (voir [2]), pour qui une telle proportionnalité 

locale exacte implique que le phénomène étudié est globalement 

proportionnel ; dit autrement : une fonction localement 

affine sur un intervalle y est globalement affine. 

Dans l’énoncé concernant la canalisation poreuse, on trouve 

une formulation plus prudente, qu’on trouve aussi dans les 

textes de physique : on y énonce une proportionnalité 

approximative de ∆f à ∆x, qu'on écrit souvent ∆f ≈ K∆x, le 

coefficient K dépendant explicitement de x et de f(x). 

Plus précisément, on peut écrire ici, si δ(x) est le débit à 

l'abscisse x de la canalisation et R son rayon : 

(*) ∆δ ≈ -kΔSδ(x), soit ∆δ ≈ -2πRkδ(x)Δx. 

I.2. Erreur relative, négligeabilité et dérivée 

Mais reste à savoir ce que signifie précisément le signe ≈ 

ainsi utilisé. Les physiciens mettent en avant à juste titre 

l'idée d'approximation, mais, dans ce type de modélisation, ils 

restent dans le flou quant au type d'approximation dont il 

s'agit, c'est-à-dire quant à la nature de l'erreur commise. Ce 

point devrait être essentiel, s'agissant de physique ! Or ce 

point est très délicat pour les élèves, et encore pour les 

étudiants à l'université (voir [1], [3]). Il s'agit certes de dire 

que l'erreur commise en remplaçant ∆f par K∆x tend vers 0 

avec ∆x, mais pas n'importe quelle erreur : il s'agit de l'erreur 

relative par rapport à ∆x, l'erreur absolue r = ∆f - K∆x doit 

être négligeable devant ∆x. En effet, clairement ∆f et K∆x 

tendent tous deux vers 0 avec ∆x (dès lors qu'on sait que f 

est continue), donc dire que leur différence (l'erreur absolue) 

tend aussi vers 0 n'apporte aucune information ! La négligeabilité de 

l'erreur absolue devant ∆x est l'information supplémentaire qui 

va permettre de dire que la forme d'une loi locale 

∆f = K(x, f(x))∆x + o(∆x) signifie très précisément que la 

fonction f est dérivable en x et que sa dérivée a pour valeur 

K(x,f(x)) . Et par conséquent que la fonction f inconnue doit 

vérifier l'équation différentielle y' = K(x, y). Ici, dire que l’erreur 

r est o(∆x) ou est négligeable devant ∆x signifie que r 

∆x 

tend vers 0 quand ∆x tend vers 0. 

Il y a là de plus une autre difficulté dans le rapport entre 

mathématiques et physique. À proprement parler, pour le 

physicien, le caractère relatif de l'erreur devrait être à 

rapporter à ∆f, surtout s’il y a des mesures : on devrait donc 

avoir ∆f = K(x, f(x))∆x + o(∆f). Ceci est équivalent à la 

formulation précédente, sauf lorsque K(x, f(x)) est nul, c'està-dire 

en un point x où la dérivée f '(x) est nulle.


Fondamentalement, le concept mathématique qui sous-tend 

cette interprétation en erreur relative est la négligeabilité du 

reste dans le point de vue concevant la dérivabilité comme 

l'existence d'un développement limité à l'ordre 1 : 

f(x+∆x) - f(x) = f '(x) ∆x + r(∆x). Si on ne dit pas que 

r(∆x) = o(∆x), on n'a absolument pas une dérivabilité. Ce 

point est loin d’aller de soi avec les élèves des deux dernières 

années du lycée (où la dérivée est introduite et utilisée), et 

encore avec les étudiants des deux premières années 

d’université. 

Voici un exemple d’activité qui peut faire prendre 

conscience aux élèves que la notion de négligeabilité est au 

cœur de celle de dérivée. On pose le problème : 

2 Évaluer sin(46°) sans utiliser de calculatrice 

Les élèves pensent rapidement à la formule d’addition : 

sin(46°) = 2 

2 

(sin(1°)+ cos(1°)) . 

Une fois établi que 1° = π 

180 

radians, les élèves finissent par 

se rappeler que quand x est petit (ici π 

180 

= 0,01745…), 

sin x c’est à peu près x. Ils proposent donc de remplacer 

sin x par x dans l’expression finale 

sin(46°) = 2 π 

2 

(1+sin( 

180 ) - 2 sin2 ( π 

360 )) . 

Puis vient la question de l’évaluation de l’erreur, ce qui les 

oblige à préciser ce que signifie la phrase “quand x est petit, 

sin x c’est à peu près x”. 

Après discussion entre eux, il est fréquent qu’ils proposent 

unanimement une formule sin x = x + ε, avec ε tendant vers 0 

avec x. Si on leur demande si ε pourrait être de l'ordre de 

|x| , ou de 3x, ils sentent confusément qu'il y aurait 

quelque chose qui n'irait pas, mais il faut un certain temps de 

discussion (où l’enseignant doit intervenir sur la notion 

d’information supplémentaire que doit apporter l’expression 

“c’est à peu près”) pour que la formulation "ε doit être 

négligeable devant x" finisse par être adoptée. Et il faut alors 

faire comprendre qu’on n’a rien écrit d’autre que le fait que 

la dérivée de la fonction sinus en 0 est 1, c’est-à-dire 

lim sinx 

= 1, ou sin x = x + o(x). 

x!0 

x 

I.3. L’intuition physique de ce qui est 

négligeable : la procédure physique de 

l'accroissement différentiel 

Si on revient au problème de la canalisation poreuse, 

l’énoncé ne nous dit pas comment le physicien a fait pour 

établir la loi locale proposée. C’est une intuition clairement 

raisonnable de considérer que, localement, les fuites sont 

proportionnelles à la surface ; la proportionnalité au débit à 

la position x est moins claire, et c’est en somme le choix 

d’un certain type de porosité qui est fait là : on pourrait 

imaginer une proportionnalité à la racine carrée du débit, ou 

toute autre fonction continue croissante nulle en 0, et 

“raisonnable” au sens de la physique, à condition de “sentir” 

physiquement qu’on néglige des termes… négligeables. 

Le mathématicien n’a pas à mettre en cause la validité de 

l’intuition du physicien, mais il faut quand même se méfier. 

On va voir une modification du problème qui a fait échouer 

des physiciens, mais aussi des mathématiciens ! Avec la 

même loi locale ∆δ ≈ -kΔSδ(x) (on accepte cette première 

intuition physique), on change la forme de la canalisation. 

3 Canalisation poreuse à rayon variable 

On considère une conduite d'eau dont la forme est un tube 

de révolution engendré par rotation autour de l'axe Ox de la 

courbe d'équation y = 1 

, entre les abscisses a et 2a (a>0). 



x 

La conduite est poreuse. Sur une petite longueur de la 

canalisation, la fuite est à peu près proportionnelle à la 

surface du morceau de tube et au débit à travers celui-ci (on 

notera k la constante de proportionnalité). Si d 0 est le débit 

d'entrée, quel est le débit d 1 de sortie ? 

Si on admet la même loi locale, c’est dans l’évaluation du 

petit élément de surface ∆S que va se situer le problème. Si 

on l’assimile à un petit cylindre de longueur ∆x dont la base 

est un cercle de rayon r = 1 

x 

, donc d’aire 2π 

x 

∆x, on 

obtient l’équation différentielle δ’ = - 2kπ 

x 

δ , qui donne 

d1 facilement la relation 

d 

= ( 0 1 

2 )2π k ; ce rapport semble 

ainsi indépendant du paramètre a. 

Mais ce résultat est erroné, car l’erreur commise en 

remplaçant ∆S par 2π∆x 

x 

n’est pas négligeable devant ∆x. 

Il faut en fait assimiler l’aire ∆S à celle d’un tronc de cône, 

c’est-à-dire à la quantité plus grande 2π 

1 

x 

∆x 1+ 

x2 , ce 

qui donne une toute autre équation différentielle, dont la 

résolution est plus difficile : δ’ = - 2kπ 1 

x 

1+ 

x2 δ . Cette 

d1 équation donne, au bout d'un long calcul, un rapport 

d0 dont l'expression, compliquée, dépend cette fois de a. En 

fait, l'erreur commise en remplaçant l'élément d'aire 

2π 

1 2π∆x 2π∆x 1 

x 

∆x 1+ 

x2 par 

x 

est 

x ( 1+ 

x2 -1) ; 

elle n'est pas négligeable devant ∆x, mais du même ordre de


grandeur : les deux équations différentielles obtenues ne 

sont donc pas les mêmes. 

Cette même erreur se retrouve dans le test suivant posé à 

des étudiants (voir [1] et [3]). 

4 Volume et aire de la sphère 

(a) On demande de calculer le volume V d'une sphère de 

rayon R en déterminant la fonction V(z), volume de la 

portion de sphère formée des points de cote h vérifiant 

- R ≤ h ≤ z, par la procédure de l'accroissement différentiel, 

en assimilant le petit volume ∆V entre z et z + ∆z à celui 

d'un cylindre de base le disque de rayon r(z) = R 2 - z 2 . 

(b) Calculer de même l'aire S de la sphère. Commentaires. 

La réponse à la question (a), en admettant que ∆V≈πr 2 (z)∆z 

au sens de l'équivalence mathématique (c'est-à-dire avec une 

erreur qui est o(∆z)), donne bien le volume classique 4 

3 πR3 . 

Mais la deuxième question, en assimilant ∆S à l'aire latérale 

du même petit cylindre qu'en (a), donne la formule 

S = π 2 R 2 , évidemment fausse ! 

II. La procédure mathématique de 

l'accroissement différentiel 

C'est la même méthode que celle du physicien, à cela près 

que la preuve du caractère de négligeabilité devant ∆x de l'erreur 

d'évaluation de ∆f, ou du fait que le rapport ∆f 

converge bien 

vers K(x,f(x)) est cette fois un enjeu important, au cœur de la 

spécificité de l'analyse mathématique. Et cela n'est pas le 

même point de vue que celui du physicien. Approfondissons 

la différence. 

II.1. Les points de vue différents du physicien 

et du mathématicien 

Reprenons l'exemple 4 . Le physicien n'éprouve nullement 

le besoin de justifier que le petit volume ∆V ne diffère de 

πr 2 (z)∆z que d'un terme négligeable devant ∆z ; l'intuition 

lui suffit largement. Mais l'exemple de l'aire de la sphère doit 

amener le mathématicien à plus de rigueur ! 

Regardons un autre exemple. En formation des maîtres, où 

les étudiants doivent proposer des énoncés d'exercices pour 

les élèves, on trouve souvent, dans la rubrique "applications 

de l'intégrale", la proposition suivante : 

5 Retrouver l'aire du cercle par une approximation de l'aire d'une 

mince couronne 

On note S(r) l'aire du disque de rayon r. En assimilant l'aire 

∆S de la mince couronne entre les rayons r et r + ∆r à 

2πr∆r, retrouver l'aire du disque de rayon R. 

∆x 

Bien entendu, cette méthode ne marche, mathématiquement, 

que si on peut prouver que l'erreur commise entre ∆S 

et 2πr∆r est o(∆r). On trouve alors S'(r) = 2πr, donc 

S(R) = πR 2 . Mais l'erreur est π(r+∆r) 2 - πr 2 - 2πr∆r = π∆r 2 

qui est bien o(∆r). Mais ce faisant on utilise le résultat qu'on veut 

prouver! 

Pour le physicien, ce n'est pas grave, l'intuition lui donne le 

bon ordre de grandeur de ∆S, et c'est confirmé par le 

résultat : c'est physiquement cohérent, et la cohérence entre les 

hypothèses et ce que l'on en déduit est l'un des points importants de la 

notion de vrai en physique. Si on peut montrer qu'un résultat 

prouvé sous certaines hypothèses permet de conforter cette 

hypothèse, c'est très bon signe en physique. Mais en 

mathématiques, après l'usage de l'intuition pour démarrer, 

c'est le lien logique interne qui est spécifique du vrai mathématique : 

ici, il faut prouver que l'erreur est o(∆r) sans utiliser la 

formule qu'on cherche à établir. 

Il est impossible, et ce serait une erreur épistémologique, de 

convaincre le physicien que son intuition et sa cohérence ne 

suffisent pas. Sa démarche correspond à son champ 

spécifique d'étude, et bien sûr son intuition s'appuie aussi sur 

tout un réseau antérieur de cohérences entre hypothèses de 

modélisation et résultats expérimentaux. Le mathématicien 

doit prendre acte que la procédure physique de 

l'accroissement différentiel, dans la modélisation par 

équations différentielles, est extrêmement fertile en 

physique, même si elle ne correspond pas aux canons 


II.2. Mais alors, quelle interdisciplinarité 

entre physique et mathématiques dans 

l'enseignement ? 

Il me semble que le premier principe d'une saine 

interdisciplinarité est que chacun respecte l'épistémologie de l'autre, 

et que les spécificités des deux disciplines soient bien mises en 

évidence et expliquées aux élèves, en particulier à partir des 

traitements différents mis en œuvre dans des activités de mise en 

équation. 

Ainsi, les cinq problèmes que nous avons utilisés dans ce qui 

précède nous paraissent exemplaires de cette différence de 

traitement entre les deux disciplines. Une ingénierie 

didactique commune aux enseignants de mathématiques et 

de physique peut probablement être construite à partir de 

ces exemples, et sans doute d'autres ; nous en proposerons 

d'ailleurs un autre plus loin. Voir à ce sujet [6], et le colloque 

emf 2006, où une version plus courte de [6] a été présentée. 

Je voudrais juste ici dégager, et développer ensuite, les 

procédures spécifiques des mathématiques qui pourraient 




être valorisées dans des mises en équations différentielles de 

phénomènes physiques, et aussi dans la procédure de θn = 

l'accroissement différentiel appliquée à la mesure d'une 

grandeur par une intégrale (exemples 4 et 5 , voir [5]). Il 

2π 

n 

pour un entier n grand. Il devrait suffire de 

majorer l'erreur en entre l'aire ∆nS d'un tel secteur de la 

couronne et celle du rectangle de base ∆r et de hauteur 

s'agit donc de rendre utile à l'enseignement des mathématiques le fait de 

faire de la physique en classe de mathématiques. Il s'agit en même 

temps, donc, de mettre en évidence de façon concrète la 

spécificité des mathématiques dans ces problèmes de 

modélisation. 

Comment prouver, dans le cas général, que l'on a bien 

∆f = K(x,f(x))∆x + o(∆x), 

!f 

ou directement que lim = K(x, f(x)) ? Il y a en fait 

!x"0 

!x 

deux grands types de méthodes : 

* des majorations et encadrements plus ou moins concrets 

utilisant des monotonies de fonctions ou des inclusions 

d'ensembles (c'est la grandeur qu'on veut mesurer qui est 

monotone pour l'inclusion) ; 

* l'utilisation de la continuité pour déterminer des limites 

d'encadrements faits par la première méthode, ou faits aussi 

"à ε près" grâce à la continuité. 

On va pouvoir ainsi trouver, grâce à la physique, des 

activités qui vont valoriser des concepts ou techniques 

essentiels en analyse : dérivabilité, négligeabilité, majorations, 

continuité, raisonnement à ε près… On doit en effet 

commencer à manipuler ces concepts dès le lycée, si on veut 

que la transition entre le secondaire et l'enseignement 

supérieur, dans le domaine si difficile de l'analyse, soit moins 

brutale qu'actuellement. 

II.3. Exemples de preuves de la négligeabilité 

de l'erreur par encadrement par monotonie 

(a) Reprenons l'exemple 4 du volume de la sphère. La 

petite tranche ∆V est clairement encadrée, au sens 

ensembliste, entre deux cylindres, l'un qui la contient (base 

πr 2 (z), hauteur ∆z), l'autre qu'elle contient (base πr 2 (z + ∆z), 

hauteur ∆z). 

On a ainsi ∆zπ(R 2 - (z+∆z) 2 ) ≤ ∆V ≤ ∆zπ(R 2 - z 2 ), 

soit 2πz(∆z) 2 + π(∆z) 3 ≥ ∆zπ(R 2 - z 2 ) - ∆V ≥ 0. 

L'erreur entre ∆V et ∆zπ(R 2 - z 2 ) est donc bien négligeable 

devant ∆z. Remarquons qu'ici la preuve est suffisamment 

"physique" pour sembler raisonnable à un physicien. Il n'en 

est sans doute pas de même pour la suivante. 

(b) Reprenons en effet le cas 5 de l'aire du cercle. 

Comment prouver que ∆S ne diffère de 2πr∆r que d'un 

terme négligeable devant ∆r ? On ne voit pas comment un 

argument de type "global", concernant toute la couronne, 

pourrait fonctionner. L'intuition nous dit qu'assimiler l'aire 

de cette couronne à celle du rectangle de base ∆r et de 

hauteur 2πr n'est vraisemblable que si on se borne à un petit 

morceau de l'arc du cercle, disons déterminé par un angle 

2!r 

, et l'erreur totale entre ∆S et 2πr∆r sera ne 

n 

n , par 

invariance par rotation. 

On encadre l'aire ∆ n S par celle de deux rectangles : après 

quelques calculs, on obtient f(n) ≤ ∆ n S ≤ g(n), et donc 

nf(n) ≤ ∆S ≤ ng(n), où les fonctions f et g sont précisées cidessous. 

On passe alors à la limite quand n tend vers l'infini, 

et on obtient l'encadrement 2πr∆r ≤ ∆S ≤ 2πr∆r + 2π(∆r) 2 , 

ce qui donne bien le résultat souhaité ∆S = 2πr∆r + o(∆r). 

On en déduit que S '(r) = 2πr, ce qui donne l'aire du cercle. 

On peut remarquer que la majoration de l'erreur obtenue 

(2π(∆r) 2 ) est plus grossière que le résultat exact (π(∆r) 2 ), une 

fois la formule finale connue. Donnons les deux fonctions f 

et g : 

f(n) = r sin ( 2π 

n ) [ (r + ∆r)2 - r 2 sin 2 ( 2π 

n 

) - r] , 

g(n) = r ∆r sin ( 2π 

n 

r 2 sin ( 2π 

n 

) (1 - cos ( 2π 

n )). 

2π 

) (2 - cos ( 

n )) + (∆r)2sin ( 2π 

n 



) + 

Remarquons que le passage à la limite va utiliser la limite en 

sin x 

0 de 

x 

, résultat admis au lycée en France (voir [5]). 

Il paraît clair qu'un physicien trouvera ce calcul 

disproportionné devant la simplicité de l'intuition qui 

assimile ∆S à 2πr∆r ! 

En encadrant entre deux trapèzes, on tombe sur la valeur 

exacte de l'erreur : π(∆r) 2 , mais c'est la méthode habituelle 

des polygones pour l'aire du cercle, cela sort de la 

problématique différentielle. 

II.4. Exemple de preuve de la négligeabilité 

de l'erreur utilisant un encadrement à ε près 

Regardons le problème suivant, dans lequel figure 

volontairement une fonction qui n'est pas précisée, de sorte 

qu'on ne puisse pas utiliser des calculs élémentaires et des 

encadrements provenant d'une formule explicite. 

6 Force exercée par l'eau sur la paroi d'un barrage 

Un barrage plan de profondeur totale h a, à la profondeur z, 

une largeur l(z), où z → l(z) est une fonction continue sur [0, 

h]. Déterminer, en fonction de cette fonction l, la force 

exercée sur la paroi du barrage par l'eau.


Il s'agit d'un problème de mesure d'une grandeur. Le dessin 

suggère d'introduire la force F(z) exercée par la partie de 

l'eau dont la profondeur est entre 0 et z, et d'évaluer ∆F 

quand z augmente de ∆z. Sur la bande horizontale 

d'épaisseur ∆z, la pression est comprise entre ρgz et 

ρg(z + ∆z) (où ρ est la masse volumique de l'eau, et g est 

l'accélération de la pesanteur) ; la longueur de la bande est 

proche de l(z), précisément elle est comprise entre l(z) - ε et 

l(z) + ε, si on a pris ∆z assez petit (continuité de la fonction 

l ; on s'est donné un ε > 0 arbitrairement petit). On peut 

donc encadrer ∆F entre les quantités ρgz∆z(l(z) - ε) et 

ρg(z + ∆z)∆z(l(z) + ε), soit 

!gzl(z)!z - !gz"!z " !F " !gzl(z)!z + !gz"!z + !g(l(z) + " )(!z)2 

Ainsi, en assimilant ∆F à ρgzl(z)∆z, l'erreur r commise est 

majorée par M(ε∆z + (∆z) 2 ), où on peut prendre par 

exemple M = ρg max (h, Max l(z) + 1), si on a pris ε ≤ 1. 

z 

r 

Ainsi 

∆z 

≤ M(ε + ∆z). Comme on a choisi ε 

arbitrairement petit, on voit qu'on peut rendre r 

∆z aussi 

petit qu'on veut en prenant ∆z assez petit : on a prouvé que 

r = o(∆z). 

Bien entendu, la relation ∆F ≈ ρgzl(z)∆z semblera naturelle 

au physicien, qui ne s'embarrassera pas avec l'encadrement 

précédent. Il en déduira immédiatement l'égalité 

F '(z) = ρgzl(z), et donc, en intégrant, F = 

h 

" 

0 

!gzl(z)dz . 

Remarquons que, lorsqu'on cherche à mesurer une grandeur 

F par une intégrale, et que la situation peut être décrite par 

une seule variable z, ce qu'on obtient assez souvent en 

évaluant ∆F quand z augmente de ∆z n'est qu'une équation 

différentielle dégénérée F '(z) = φ(z), c'est-à-dire simplement 

un problème de primitive. C'est le cas ici. 

L'intérêt de cet exemple 6 est que la fonction z → l(z) 

n'est pas explicitée ; elle pourrait même n'être pas monotone 

(selon la forme du relief…). Il est donc absolument 

nécessaire de faire un raisonnement à ε près, utilisant la 

seule hypothèse qu'on ait, la continuité de la fonction l. Cet 

exemple et d'autres analogues sont précieux pour rendre 

opérationnel ce raisonnement à ε près, typique de l'analyse 


III. Conclusion : quels enjeux en classe ? 

Deux questions se posent concernant la prise en compte 

dans l'enseignement des idées ici présentées. 

(1) Peut-on vraiment faire de façon profitable de la physique 

en classe de mathématiques sans s'en donner les moyens 

mathématiques, si on veut apporter aux élèves autre chose 

que ce que l'enseignement de la physique peut déjà leur 

apporter ? Quels sont alors ces moyens ? 

(2) Inversement, la confrontation avec la physique peut-elle 

permettre de construire des savoirs et des habiletés 

mathématiques que la lettre des seuls programmes 

mathématiques rend improbables ? 

Il nous semble que la réponse à la question (1) consiste 

essentiellement en la prise de conscience d'une procédure 

mathématique de l'accroissement différentiel, apport spécifique des 

mathématiques à ces questions de mise en équation 

différentielle, et que cela demande une pratique de certains 

aspects de l'analyse : négligeabilité, liens avec la dérivabilité 

et la notion d'erreur relative dans une procédure 

différentielle, majorations et encadrements, un peu d'usage 

de la continuité avec des ε, usage de notations symboliques 

permettant un certain jeu avec des paramètres (pour ce 

dernier point, nous renvoyons le lecteur à [6]). 

Ceci doit s'accompagner d'une mise en évidence de la différence des 

points de vue entre physique et mathématiques, et donc des 

échanges et une collaboration entre enseignants des deux 

disciplines. 

La réponse à la deuxième question consisterait en la mise au 

point d'une ingénierie didactique précise, articulée autour des 

cinq problèmes analysés dans ce texte, et sans doute d'autres 

(nous en donnons un en annexe, très intéressant à travailler 

en classe en physique et en mathématiques ; on pourra se 

reporter à [6] pour l'analyse détaillée de ce problème, ainsi 

que pour des propositions plus précises pour une telle 

ingénierie). 

Cela serait d'autant plus intéressant que, pour faire intervenir 

les techniques d'analyse évoquées plus haut, on est 

pratiquement obligé de travailler avec des fonctions non précisées, 

encore inconnues en début de problème, ce qui est exactement le cas des 

problèmes de physique. Or le contenu des programmes 

mathématiques actuels de la terminale française ne propose 

et ne permet probablement aucune situation permettant le 

jeu sur ces techniques : il y a juste quelques théorèmes du 

cours sur la continuité ou la dérivabilité automatique de 

fonctions non précisées (somme, produit…), mais seules les 

preuves de ces résultats obligeraient à ce jeu, et elles sont 

hors programme - et sans véritable motivation. Il y avait à 

une époque la fonction réciproque, mais elle a disparu des 

programmes… 

En définitive, l'intervention des mathématiques sur les 

problèmes de mise en équation différentielle exige un 

approfondissement des savoirs et pratiques des élèves en 

analyse, et en même temps c'est le seul lieu où, en l'état 

actuel de la lettre des programmes, cet approfondissement 

puisse être développé. 




Annexe : un problème supplémentaire 

7 Dilution d'une solution saline 

Un bassin contient 100 litres d'eau, dans lesquels sont 

dissous 10 kg de sel. Une arrivée d'eau pure, avec un débit 

de 10 litres/mn, démarre à l'instant 0. En même temps que 

l'arrivée d'eau pure, une évacuation du mélange contenu 

dans le bassin est assurée avec un débit de 10 litres/mn. 

L'homogénéisation du contenu du bassin est assurée de 

façon permanente et instantanée par un mélangeur. Au bout 

d'une heure, quelle quantité de sel reste-t-il dans le bassin ? 

Bibliographie 

[1] Artigue M., Procédures différentielles dans la mise en équation de 

problèmes, Annales de Didactique et de Sciences 

Cognitives, Strasbourg, vol 2, 1989, 173-190. 

[2] Noirfalise R., Modélisation et équations différentielles en TS : 

utilisation d'un modèle praxéologique pour poser des questions 

didactiques, Petit x 66, 6-17, 2004. 

[3] Procédures différentielles dans les enseignements de mathématiques 

et de physique au niveau du premier cycle universitaire, Rapport 

du GRECO du CNRS : "Didactique et acquisition des 

connaissances scientifiques", groupe mathématiques et 

physique - enseignement supérieur ; document IREM 

Paris 7 et LDPES, 1989. 

[4] Radioactivité, document interdisciplinaire d'accompagnement 

des programmes de terminale S. 

[5] Rogalski M. et al., Carrefours entre analyse algèbre géométrie, 

Ellipses, 2001. 

[6] Rogalski M., Mise en équation différentielle et mesure des 

grandeurs par une intégrale, en terminale scientifique : un point 

de vue mathématique sur la collaboration avec la physique, 

Repères IREM n° 64, juillet 2006. Et aussi emf2006… 





Les dénombrements 

Le thème du dénombrement, très vaste, apparaît dans une foule de problèmes 

amusants, certains d'une simplicité enfantine, d'autres si complexes qu'ils ne sont 

toujours pas résolus. Les plus intéressants sont ceux qui, à partir d'un énoncé très 

simple, donnent lieu à une solution peu évidente, inattendue. Plusieurs exemples 

seront présentés, classés, analysés. 

Jacques Sormany, 

UQAC 

et Cégep de 

Chicoutimi 

sormany@cegepchicoutimi.qc.ca 

L 

e thème du dénombrement apparaît 

dans beaucoup de problèmes 

mathématiques, tant sérieux que 

récréatifs; plusieurs de ces problèmes sont très 

faciles à résoudre, mais d'autres, malgré leur 

simplicité apparente, donnent lieu à des 

solutions d'une complexité inattendue : dans 

certains cas, aucune formule générale n'est 

encore connue. 

Analyse combinatoire : 

quelques exemples 

Examinons d'abord le problème suivant : 

Vingt personnes décident d'élire entre elles un 

comité formé de : 1 président, 2 vice– 

présidents, 1 secrétaire, 1 trésorier, 4 

directeurs. Combien y a-t-il de comités 

possibles? 

La formule générale permettant de résoudre 

un tel problème est la suivante : 

! n " n! 

= , 

# $ 

% a b c ... h & a!b!c!...h! 

où a + b + c + … + h = n . 

On aura donc ici 20! / (1! 2! 1! 1! 4! 11!) 

comités possibles (11 étant le nombre de 

personnes qui ne feront pas partie du comité), 

ce qui donne après simplification 

5 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15 x 14 x 13 = 

1 269 777 600 comités possibles. 

Les formules de base de l'analyse combinatoire 

ne sont que des cas particuliers de cette 

situation générale. Si chacune des n personnes 

occupe un poste distinct, c'est–à–dire 

a = b = c = … = h = 1, le résultat est n! , le 

nombre de permutations de n. 

S'il y a seulement k postes distincts (k< n), on 

obtient la formule des arrangements : 

! n " n! 

# $ = 

&1 1 1 ... n-k ' (n % k)! 

et si les k postes sont indistincts, celle des 

combinaisons, où il est d'usage d'écrire 

! n " au lieu de ! n " mais dont le calcul 

# $ 

# $ 

% k & 

% k n-k & 

doit être n! , exactement comme s'il y 

k!(n ! k)! 

avait deux sortes de postes à pourvoir : les 

membres et les non–membres du comité. 

Si générale soit–elle, la première formule 

donnée ci–dessus ne couvre pas tous les cas; 

les situations non prévues sont celles–ci : 



Les dénombrements Jacques Sormany 

a) une ou quelques personnes cumulent plusieurs postes; 

b) certains postes demeurent vacants. 

Si toutefois un seul poste demeure vacant, on peut utiliser la 

formule générale en remplaçant n par n+1, comme si le 

membre supplémentaire (fantôme) occupait ce poste. 

Examinons maintenant de quelle façon la formule générale 

s'appliquera à une autre situation courante : 

Dix concurrents sont en lice pour recevoir trois prix. 

De combien de façons les prix pourront–ils être 

attribués, si : 

a) les trois prix sont distincts et chaque candidat n'a 

droit qu'à un prix? 

b) les trois prix sont équivalents et chaque candidat 

n'a droit qu'à un prix? 

c) les trois prix sont distincts mais chaque candidat 

peut cumuler plus d'un prix? 

d) les trois prix sont équivalents, mais chaque 

candidat peut en cumuler plus d'un? 

Réponses : 

a) Il s'agit d'arrangements de 3 personnes parmi 10. 

! 10 " 10! 

# $ = = 10 x 9 x 8 = 720 façons. 

% 1 1 1 7& 7! 

b) Il s'agit de combinaisons de 3 personnes parmi 10. 

10 10! 10 x 9 x 8 ! " 

# $ = = = 120 façons. 

% 3 7& 3!7! 3 x 2 x 1 

c) C'est comme s'il y avait 3 tirages indépendants, où 

chaque tirage consiste à choisir un gagnant parmi 10 

candidats. Le principe de multiplication s'applique alors 

à la formule des combinaisons : 

3 

! 10" 10! 

# $ = ( 

% 1 & 1!9! 

La formule devient alors, plus simplement, nk. 3 3 

) = 10 = 10 x 10 x 10 = 1000 façons. 

d) Cette fois, le problème est plus compliqué qu'il n'en a 

l'air : si l'on essaye, comme en b) ci–dessus, de diviser 

par 3!, on arrive à un résultat non entier! En réalité, ici le 

principe d'addition intervient à son tour. Il faut compter 

séparément les cas ou les trois gagnants sont distincts, 

celui où une personne gagne 2 prix (et là il faudra 

multiplier par 2, parce que les tirages AAB et ABB ne 

sont pas équivalents), et enfin celui où le même 

concurrent remporte les 3 prix. Ce qui donne : 

! 10" ! 2"! 10" ! 10" 

# $ + # $# $ + # $ = 120 + (2 x 45) + 10 = 220 façons. 

% 3 & % 1&% 2 & % 1 & 

Contrairement aux cas a), b) et c) où une réponse peut être 

directement obtenue d'une formule simple en n et k , la 

généralisation de la situation d) est très difficile et doit tenir 

compte d'une autre notion, celle de partage d'un entier, dont 

il sera question plus loin. 

Autres problèmes divers 

Dans beaucoup d'autres situations comportant des 

dénombrements, il sera possible de généraliser la solution en 

une formule tantôt simple, tantôt plus compliquée, et des 

procédés de récurrence pourront aider à la résolution 

générale. 

Des problèmes à première vue très différents se révéleront 

mathématiquement apparentés, voire isomorphes, tandis que 

d'autres apparemment voisins différeront beaucoup par leur 

solution. Quelques problèmes à énoncé très simple 

exigeront le recours à une solution d'une complexité 

inattendue, plusieurs d'entre eux demeurant même encore 

ouverts. 

Même pour les problèmes à une seule variable, il est 

intéressant de considérer la grande diversité de formules 

pouvant être déduites de quelques simples énoncés : 

polynômes, exponentielles, factorielles… 

Dans chacune des situations présentées ci–après, le nombre 

de façons de satisfaire à l'énoncé dépend d'une seule 

variable, l'entier naturel n. Le tableau annexé présentera 

dans chaque cas la suite des nombres obtenus pour les 

premières valeurs de n , la formule générale si elle est 

connue et, s'il y a lieu, une relation de récurrence permettant 

de passer du résultat de rang n – 1 à celui de rang n . 

Les problèmes sont présentés et numérotés suivant le même 

ordre, dans le texte et dans le tableau. Dans certains cas, la 

solution obtenue pour n = 0 pourra être acceptée ou 

rejetée, la formule générale pouvant s'appliquer ou non. 

1. Lors d'une rencontre, chacun des n 

participants serre la main de tous les autres. 

Combien y aura–t–il de poignées de main 

échangées? 

Chaque personne donnera n–1 poignées de main. Mais 

chaque poignée de mains impliquant 2 personnes, il faudra 

diviser le produit n(n–1) par 2. 

Ce problème est isomorphe de celui du nombre total de 

parties jouées dans un tournoi-rotation, et du nombre total 

d'arêtes d'un graphe complet non orienté antiréflexif (sans 

boucle). Pour le graphe complet réflexif, la formule devient 

n(n+1)/2. 

On reconnaît la suite des nombres triangulaires. 

2. Combien de diagonales possède un polygone 

convexe de n côtés? 

Ce problème est homomorphe du précédent. Les côtés 

n'étant pas considérés comme des diagonales, chaque 

sommet du polygone se trouve relié à n–3 autres sommets. 

3. De combien de façons n personnes peuvent– 

elles prendre place sur n sièges? 

Il s'agit d'un exemple simple du nombre de permutations de 

n éléments. 




De combien de façons peut–on placer n objets dans n 

boîtes? S'il y a exactement un objet par boîte, c'est 

absolument la même situation. Mais si l'on peut entasser 

plus d'un objet par boîte, laissant une ou plusieurs boîtes 

vides? Et si les objets ou les boîtes sont indiscernables? 

Dépendant de 2 paramètres au lieu d'un seul (le nombre 

d'objets et le nombre de boîtes), cette famille de problèmes 

ne sera pas traitée ici, mais fera l'objet d'une recherche 

ultérieure. 

S'y greffe la question du partage d'un entier, examinée plus 

bas (#20). 

4. En se déplaçant seulement vers le nord ou vers 

l'est le long des arêtes d'une grille carrée, combien 

y a–t–il de chemins pour aller du coin sud–ouest 

au coin opposé? 

La suite obtenue est celle des termes de la colonne centrale 

du triangle de Pascal. 

(Le recours au triangle de Pascal permet de résoudre le 

même problème pour une grille rectangulaire). Le cas de 

grilles triangulaires ou hexagonales n'est pas abordé ici. 

Pour ce qui est du nombre de carrés ou de triangles dans la 

grille, voir plus loin (#13–14). 

5 à 8. Combien y a–t–il de relations binaires 

internes dans un ensemble à n éléments? 

Parmi ces relations, combien sont réflexives? 

symétriques? transitives? 

Une relation binaire peut être représentée par un tableau à n 

lignes et n colonnes, chaque case du tableau présentant la 

valeur 0 ou 1. Le nombre de relations possibles est donc 

de 2 à la puissance n carré. 

Les relations réflexives sont celles où la diagonale principale 

du tableau est occupée partout par des 1; le nombre de 

relations antiréflexives sera le même, la diagonale étant cette 

fois occupée par des 0. De même, il est facile de dénombrer 

les relations symétriques, la diagonale principale du tableau 

tenant lieu d'axe de symétrie. 

En revanche, il n'y a pas de méthode simple pour compiler 

les relations antisymétriques, transitives ou antitransitives. 

Pour n = 0, il existe une seule relation, la relation vide, qui 

est antiréflexive, symétrique et transitive. 

9 à 12. Combien y a–t–il d'opérations internes 

(partout définies) dans un ensemble à n éléments? 

Parmi ces opérations, combien seront idempotentes? 

commutatives? associatives? 

Les mêmes raisonnements que ci–dessus s'appliquent, sauf 

que chaque case du tableau peut présenter n valeurs 

possibles (appelées résultats). Les formules exponentielles 

obtenues seront donc en base n au lieu de 2. 

Il existe des critères de classement pour les relations 

associatives (par exemple les groupes), mais leur 

dénombrement exhaustif n'est connu que pour les petites 

valeurs de n . 

Dans le cas où n = 0, il n'existe aucune opération interne, 

puisqu'il n'y a aucun élément. 

13 – 14. Dans une grille carrée de côté n, combien 

de carrés de toutes tailles peut–on compter? Et 

dans une grille triangulaire? 

Pour les carrés, le décompte s'effectue simplement en 

additionnant 1 2 + 2 2 + … + n 2; on obtient le polynôme 

bien connu n(n + 1)(2n + 1)/6 . 

Sur une grille triangulaire, le nombre de petits triangles 

équilatéraux de côté 1 est aussi égal à n 2 ; mais certains 

d'entre eux pointeront vers le haut, d'autres vers le bas de la 

grille : le nombre de carrés et de triangles de côté 2 ne sera 

pas le même, et le problème de la grille triangulaire se révèle 

plus ardu que celui de la grille carrée! On obtiendra en fait 2 

polynômes, l'un pour n pair, l'autre pour n impair; il existe 

différentes façons de fusionner les deux formules en une 

seule, par le recours aux valeurs absolues ou au facteur (–1) n; 

on peut aussi trouver des relations de récurrences, mais plus 

compliquées que pour la grille carrée. 

Ces problèmes pourraient être étendus à des dimensions 

supérieures à 2. 

15 – 16. En combien de régions peut–on séparer 

un plan par n droites? un cercle, par des cordes 

tracées entre n points de la circonférence? 

Les droites coplanaires doivent être non parallèles, et pas 

plus de 2 à la fois ne doivent être concourantes en un même 

point. La relation de récurrence est facile à établir : chaque 

nouvelle droite ajoute n nouvelles régions. 

Le découpage du cercle est plus délicat, si bien qu’on 

l'appelle volontiers le problème de la région manquante! En 

effet, pour résoudre ce genre de problème, une bonne 

méthode empirique consiste à commencer par n = 1, puis 

faire le décompte pour n = 2, n = 3, etc. Les premières 

étapes donnent des résultats conformes à la formule 

apparente 2 n–1, mais quand on trace la figure pour n = 6, 

en comptant les régions pour vérifier, on n'en trouve que 31; 

on pense qu'on a mal compté et on recommence : rien à 

faire, il en manque toujours une! 

Plusieurs mathématiciens professionnels ou amateurs se 

sont penchés sur ce problème et ont donné des formules 

correctes, soit sous forme de polynômes, soit d'expressions 

combinatoires dont la plus simple est ! n " ! n " ! n " 

+ + . 

# $ # $ # $ 

% 0 & % 2& % 4& 

Ces problèmes pourraient aussi être étendus à des 

dimensions supérieures à 2, à des surfaces non isomorphes 

de la sphère et à des géométries non euclidiennes; il n'en sera 

pas question ici. 




17. En récompense pour avoir inventé le jeu 

d'échecs, Sissa demanda à l'empereur un grain de 

blé pour la première case, 2 pour la deuxième, 4 

pour la troisième et ainsi de suite, en doublant à 

chaque fois le nombre de grains. Combien aurait– 

il fallu de grains de blé pour couvrir les 64 cases de 

l'échiquier? 

Voilà l'un des plus anciens problèmes connus de 

dénombrement. La série 2 0 + 2 1 + 2 .2 +… + 2 n–1 a pour 

somme 2 n – 1 , ici un nombre de 20 chiffres, plus élevé que 

la quantité totale de grains de blé dans le monde entier! 

De nombreux problèmes, à première vue très différents, ont 

une solution identique à celui–ci : par exemple la tour de 

Hanoï (nombre d'étapes nécessaires pour transférer un à un 

une pile de disques de diamètres inégaux, sans jamais poser 

un disque plus grand au–dessus d'un plus petit). En 

revanche, comme on vient de le voir, ce n'est pas le cas pour 

le découpage du cercle en régions par des cordes. 

18. Chez une certaine espèce de lapins, la femelle 

atteint au bout d'un mois sa maturité sexuelle, 

puis donne naissance chaque mois à une portée 

qui comporte exactement une femelle. Il y a 

toujours suffisamment de mâles pour féconder 

toutes les femelles qui sont prêtes, et on suppose 

qu'il n'y a aucune mortalité. À partir d'une lapine 

née au début de l'année, combien aura–t–on de 

lapines 12 mois plus tard? 

Autre problème très connu, publié par Fibonacci il y a 8 

siècles. Chaque nombre de la suite s'obtient en additionnant 

les deux précédents : la relation de récurrence est donc 

d'ordre 2. 

Au bout de 12 mois, il y aura 144 lapines. 

Il existe différentes formules, faisant intervenir la racine 

carrée de 5 et le nombre d'or, qui permettent de calculer 

directement Fn en fonction de n. Pour toute suite de ce 

type, pour n assez grand, on peut obtenir le terme de rang 

n en multipliant le précédent par le nombre d'or 

1,618033989… et en arrondissant le résultat à l'entier le plus 

proche. 

19. L'oncle Sam avait une curieuse chaîne de 

montre, constituée de 4 pièces de monnaie et d'un 

pendentif représentant un aigle. Les pièces 

étaient percées respectivement de 5, 4, 3 et 2 trous, 

de sorte qu'en ouvrant et refermant les petits 

anneaux de métal qui les reliaient, on pouvait 

changer leur disposition et leur orientation (le 

pendentif et chacune des pièces ayant un côté pile 

et un côté face distincts). 

Combien de chaînes différentes peut–on constituer ainsi? 

Chaque assemblement doit comporter, dans l'ordre : la 

montre, une première pièce (au choix), une deuxième pièce, 

une troisième, puis celle qui reste et finalement le pendentif. 

L'auteur de ce problème, l'Américain Sam Loyd, donnait une 

réponse erronée, qui a pourtant été maintenue dans les 

rééditions subséquentes faites par d'autres grands spécialistes 

de jeux mathématiques : une erreur qui sera donc passée 

inaperçue pendant environ un siècle! 

Commençons par la pièce à 5 trous. Elle peut être reliée à la 

montre par n'importe lequel de ses 5 trous, et par l'un des 4 

autres au reste de la chaîne. Il y a donc 5 x 4 = 20 façons 

de l'attacher. De même, il y a 4 x 3 = 12 possibilités pour 

attacher la pièce à 4 trous, 3 x 2 = 6 pour celle à 3 trous et 

2 x 1 = 2 pour celle à 2 trous. 

Maintenant, tenons la montre pour voir l'heure et 

examinons la chaîne. Chaque pièce et le pendentif peuvent 

présenter soit leur côté pile, soit leur côté face : ce qui donne 

2 5 = 32 possibilités. 

Enfin, on peut changer les pièces de place : elles peuvent 

être permutées de 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 façons. 

Le nombre de chaînes différentes que l'on peut assembler 

est donc : 

20 x 12 x 6 x 2 x 32 x 24 = 2 211 840, 

résultat plus élevé que ce à quoi l'on aurait pu s'attendre avec 

les petits nombres de départ et la simplicité de l'énoncé… 

Le problème se généralise facilement à un plus grand 

nombre de pièces de monnaie. 

Si n = 0 , la montre sans chaîne peut être considérée 

comme solution unique; pour n = 1 , la chaîne est réduite 

au pendentif qui peut être placé de 2 façons, côté pile ou 

côté face. 

20. De combien de façons peut–on partager un 

entier en une somme d'entiers? 

Nous abordons maintenant une série de problèmes à énoncé 

relativement simple, mais pour lesquels la formule générale 

reste inconnue (si, dans certains cas, des formules ou 

relations de récurrence ont été proposées, elles s'avèrent très 

compliquées et sans utilité pratique). 

L'un de ces problèmes est celui du partage d'un entier, relié 

à bien des situations évoquées ailleurs dans ce texte, à 

commencer par celle des arrangements avec répétition vue 

plus haut. 

Ici l'ordre des termes est sans importance, puisque l'addition 

est commutative. Pourtant, si l'on tenait compte de l'ordre, 

on obtiendrait le nombre de possibilités bien plus 

directement, par la simple formule 2 n–1. 




21 à 24. Parmi les graphes à n sommets, 

combien sont des arbres? 

Application : Combien y a–t–il d'isomères d'un 

chloro–fluoro–alcane? 

Une relation binaire dans un ensemble à n éléments peut 

être représentée par un tableau, mais aussi par un graphe. 

Le nombre total de graphes orientés à n sommets sera 

donc le même que celui des relations binaires (colonne #5), 

celui des graphes non orientés égal à celui des relations 

symétriques (colonne #7). 

Un arbre est un graphe connexe sans boucle. Un arbre à n 

sommets comporte toujours exactement n – 1 arêtes. Une 

première application de cette propriété est le décompte des 

parties (non nulles) dans un tournoi par élimination : 

puisque chaque partie élimine exactement un joueur, il 

faudra au total n-1 parties pour couronner un gagnant. 

Il n'est pas évident de démontrer que le nombre d'arbres 

non orientés peut être calculé par n n–2. Si les éléments qui 

constituent les sommets sont indiscernables, on peut 

regrouper les arbres en un certain nombre de formes 

distinctes. Jusqu'à n = 3, un arbre est forcément linéaire; à 

partir de n = 4, les arbres peuvent être ramifiés, et ce, de 

façon de plus en plus complexe à mesure que n augmente : 

c'est pourquoi il devient malaisé de calculer le nombre de 

formes possibles pour n élevé, et il n'y a pas non plus de 

formule simple de récurrence pour n quelconque. Ce 

problème est relié au partage d'un entier. 

Ce type de dénombrement a des applications en chimie 

organique, où les atomes de carbone reliés entre eux sont 

identiques les uns aux autres. Mais le dénombrement des 

formes d'arbres et celui des polymères ne sont pas 

isomorphes: comme le carbone n'a que 4 valences, pour n>5 

il faudra éliminer tous les arbres comportant un sommet 

d'ordre supérieur à 4 (colonnes #22 et #23 du tableau). 

Si l'on impose à la chaîne d'hydrocarbure d'être linéaire, le 

décompte des isomères devient facile, même avec plusieurs 

atomes différents combinés à la chaîne. C'est le cas, par 

exemple, des chloro–fluoro–alcanes CnH2nFCl (colonne 

#24); en revanche, si l'on permet à la chaîne d'être ramifiée, 

il apparaît plus difficile de compter les isomères de 

composés à formules pourtant plus simples, comme les 

chloro–alcanes CnH2n+1Cl ou CnH2nCl2 (non présentés 

ici). 

25. De combien de façons peut–on plier une 

bande de timbres-poste le long des perforations, 

pour obtenir un empilement de la largeur d'un 

seul timbre? 

Ce problème, pourtant très simple à première vue, et sa 

variante (pliage d'une bande de papier dont le recto et le 

verso sont identiques) restent ouverts. 

D'où vient la difficulté? Considérons un problème à 

résolution élémentaire, par exemple celui où n – 1 

personnes occupent n – 1 places dans une file. Puisqu'une 

nouvelle personne peut se placer à n endroits, il suffit de 

multiplier par n le nombre d'arrangements qu'on avait déjà. 

Ce n'est pas le cas pour la bande de papier ou pour les autres 

problèmes présentement discutés : selon l'endroit où l'on 

intercale le nouvel élément, on pourra créer ou défaire une 

symétrie, ce qui (à chaque étape) perturbera le régularité du 

processus. 

26. Combien y a–t–il de pentominos distincts? 

Un polymino est une figure constituée de n carrés 

juxtaposés par un ou plusieurs de leurs côtés; les 

retournements sont permis. Il n'y a qu'un seul monomino 

(carré) et un seul domino (rectangle deux fois plus long que 

large), deux triminos (l'un rectangulaire et l'autre en L), etc. 

Non seulement on ne peut imaginer une formule permettant 

de calculer directement le nombre de polyminos d'ordre n , 

mais à partir de n = 7 on observe des divergences d'une 

publication à l'autre! Les nombres présentés ici sont tirés du 

livre de Delahaye, plus récent et plus fiable. 

Pour illustrer la complexité du problème, remarquons qu'un 

seul pentomino peut être obtenu en adjoignant un petit carré 

au tétromino carré, tandis qu'à partir du tétromino en L on 

peut obtenir 9 des 12 pentominos. À partir de n = 7, on 

voit apparaître des polyminos troués. 

On ne connaît pas non plus de formule donnant le nombre 

de polyamants (triangles équilatéraux juxtaposés), polyhex, 

polycubes (dans l'espace à 3 dimensions), etc. 

27–28. De combien de façons peut–on découper 

un carré ou un triangle équilatéral en triangles 

semblables? 

Beaucoup d'autres problèmes de découpage comme ceux–ci, 

présentés dans des revues de vulgarisation mathématiques 

comme Tangente, demeurent ouverts. 

Mentionnons aussi : le nombre de configurations possibles 

de cubes hongrois (Rubik), le nombre de carrés magiques, 

latins, gréco–latins, etc., le nombre de parcours du cavalier 

aux échecs, problèmes riches mais trop complexes pour être 

abordés ici. 

Bibliographie 

Pour un thème aussi accessible, omniprésent en 

mathématiques et dans la vie de tous les jours, on pourrait 

s'attendre à trouver une bibliographie imposante… 

Curieusement, il n'en est rien! Certes, tout manuel de calcul 

des probabilités comporte un ou deux chapitres sur les 

dénombrements; tout livre de théorie des nombres traite des 

fonctions numériques avec divers exemples d'applications de 

formules; on parle bien sûr d'analyse combinatoire dans les 

manuels de théorie des ensembles, théorie des graphes, etc.; 

dans les recueils de devinettes mathématiques, on trouvera 

beaucoup de problèmes de dénombrements, disséminés 

parmi les autres. Mais relativement rares sont les ouvrages 

portant spécifiquement sur les dénombrements. 




Le mathématicien québécois bien connu Gilbert Paquette a 

écrit un petit manuel d'analyse combinatoire où il est 

question évidemment de permutations et de combinaisons, 

mais aussi de divers problèmes comme le partage d'un 

entier. À partir des années 60, on s'est mis à publier 

beaucoup de livres portant sur la combinatorique, c'est–à– 

dire le traitement informatique de l'analyse combinatoire : 

mentionnons entre autres le titre de Kaufmann, auteur bien 

connu pour ses travaux en recherche opérationnelle, autre 

domaine où les dénombrements sont importants. 

DELAHAYE, Jean–Paul (1998) – Jeux mathématiques et 

mathématiques des jeux. Bélin Pour la Science – (Un 

chapitre complet sur les polyminos). 

GARDNER, Martin (trad. 1970) – Les casse–tête 

mathématiques de Sam Loyd. Dunod ou Bordas, 

Paris – (Problème #26 : La chaîne de montre de l'oncle 

Sam). 

KAUFMANN, Arnold (1968) – Introduction à la 

combinatorique. Dunod, Paris – 610 pages. 

LABELLE, Jacques – Théorie des graphes. Modulo, 

Outremont – 183 pages. 

PAQUETTE, Gilbert (1970) – Analyse combinatoire. 

Holt, Rinehart et Winston ltée, Montréal – 85 pages. 




Annexe : Tableau synoptique des résultats 

No 1 2 3 4 

n Poignées 

Diagonales Permutations Chemins entre coins 

de main 

du polygone 

du carré 

0 0 1 1 

1 0 1 2 

2 1 2 6 

3 3 0 6 20 

4 6 2 24 70 

5 10 5 120 252 

6 15 9 720 924 

7 21 14 5 040 3 432 

8 28 20 40 320 12 870 

9 36 27 362 880 48 620 

10 45 37 3 628 800 184 756 

Formule n(n – 1)/2 n(n – 3)/2 n! (2n)!/2n! 

Récurrence + n – 1 + n – 2 x n x (4 –(2/n)) 

No 5 6 7 8 

n Relations internes Relations réflexives Relations 

symétriques 

Relations transitives 

0 1 0 1 1 

1 2 1 2 2 

2 16 4 8 13 

3 512 64 64 171 

4 65 536 4 096 1 024 

5 33 554 432 1 048 576 32 768 

6 2 097 152 

Formule 2^n 2 2^(n 2 – n) 2 n(n + 1)/2 ? 

Récurrence x 2 2n – 1 x 2 2n – 2 x 2 n ? 

No 9 10 11 12 

n Opérations internes Opérations Opérations Opérations 

idempotentes commutatives associatives 

0 0 0 0 0 

1 1 1 1 1 

2 16 4 8 8 

3 19 683 729 729 113 

4 4 294 967 296 16 777 216 1 048 576 ? 

Formule n^n 2 n n(n – 1) n n(n + 1)/2 ? 




No 13 14 15 16 

n Carrés Triangles Régions 

Régions 

Plan 

Cercle 

0 0 0 1 1 

1 1 1 2 1 

2 5 5 4 2 

3 14 13 7 4 

4 30 27 11 8 

5 55 48 16 16 

6 91 78 22 31 

7 140 118 29 57 

8 204 170 37 99 

9 285 235 46 163 

10 385 315 56 256 

Formule (2n 3 + 3n 2 + n)/6 

(2n3 +5n 2 +2n)/8 

ou 

2n 3 +5n 2 +2n-1 

8 

Récurrence + n 2 + n 

(n 2 + n + 2)/2 (n 4 – 6n 3 + 23n 2 

– 18n + 24)/24 

ou formules 

combinatoires 

N o 17 18 19 20 

n Grains Lapins de Fibonacci Chaîne de montre Partage 

de blé 

d'un entier 

0 1 

1 1 1 2 1 

2 2 1 8 2 

3 4 2 192 3 

4 8 3 13 824 5 

5 16 5 2 211 840 7 

6 32 8 663 552 000 11 

7 64 13 334 430 208 000 15 

8 128 21 22 

9 256 34 30 

10 512 55 42 

Formule 2n – 1 

ϕn + (–1) n+1ϕ –n 

51/2 où 

ϕ = (51/2 – 1)/2 

2 nn!(n – 1)! 2 

Récurrence x 2 (≈) x ϕ x 2n(n – 1) 2 




No 21 22 23 24 

n Arbres Formes Polymères alcane Polymères 

d'arbres 

CnH2n + 2 

CnH2nFCl 

0 0 0 

1 1 1 1 1 

2 1 1 1 2 

3 3 1 1 5 

4 16 2 2 8 

5 125 3 3 13 

6 1 296 6 5 18 

7 16 807 11 8 25 

8 262 144 23 18 32 

9 4 782 969 47 35 41 

10 100 000 000 111 72 50 

Formule n n – 2 n 2/2 ou (n 2+1)/2 

Récurrence +n (n impair) 

+n–1 (n pair) 

No 25 26 27 28 

n Pliage bande Pentominos Carré découpé T. équilatéral 

timbres–poste 

en triangles en t. semblables 

1 1 1 0 1 

2 2 1 1 1 

3 6 2 1 2 

4 16 5 4 5 

5 50 12 12 26 

6 144 35 97 ? 

7 462 108 ? 

8 1 392 369 

9 4 536 1 285 

10 14 060 4 655 





TABLE RONDE 





TABLE RONDE 

Enseignement des mathématiques 

de la quatrième secondaire 

à la première année universitaire ou à la troisième d’un programme technique 

Panélistes : Madame France Caron, Université de Montréal 

Madame Lyse Favreau, cégep Limoilou 

Monsieur Frédéric Gourdeau, Université Laval 

Monsieur Jacques Jacob, président du GRMS 

Madame Célyne Laliberté, cégep de Sherbrooke 

Monsieur Jean-Pierre Marcoux, Comission scolaire des Découvreurs 

Animatrice: Madame Colette Messier, cégep du Vieux Montréal 

L’enseignement des mathématiques se place en priorité dès l’entrée à l’école. Mais les choix faits en 

quatrième secondaire sont cruciaux pour l’élève qui vise des études post-secondaires. Commence alors un 

processus s’étendant sur cinq années et caractérisé par un ou deux changements d’institutions. Chacun de ces 

changements est constitué de ruptures dues aux caractéristiques propres aux deux institutions en jeu et qui donnent 

du sens à ce changement. 

Comment faire en sorte que sur le plan de l’apprentissage des mathématiques, ces transitions soient à la fois 

significatives et réussies? 

Il nous semble qu’on doive s’appuyer d’une part sur des points d’ancrage, des apprentissages forts, et 

d’autre part sur un ensemble de relations alliant souplesse et solidité. 

Quels sont, ou quels pourraient être, les points d’ancrage forts qui caractérisent les mathématiques 

enseignées à chacune des cinq années? Quelles connaissances, quelles habitudes de travail, quelles habiletés 

acquises font qu’un élève est différent de ce qu’il était un an plus tôt? 

La lecture des programmes officiels nous renseigne-t-elle suffisamment sur les connaissances des élèves 

pour pouvoir les réutiliser adéquatement? 

À chacun des niveaux scolaires, quelles connaissances des niveaux précédents faisons-nous revivre, en quoi 

enrichissons-nous ces connaissances? Comment, par quel canal, faisons-nous savoir à nos collègues des niveaux 

précédents ce que nous pouvons réutiliser et comment ce sera fait? Comment peuvent-ils réagir à ces propositions? 

Spécifiquement pour les élèves qui suivent un programme professionnel au collégial, y a-t-il des 

connaissances, des habitudes de travail, des habiletés dont il faudrait s’assurer avant qu’ils accèdent au marché du 

travail? 

Quel rôle souhaitez-vous que l’AMQ et le GRMS jouent dans l’effort que font les professeurs de tous les 

niveaux pour assurer la qualité des transitions? Quels outils (bulletin, congrès, autres) souhaitez-vous que l’AMQ et 

le GRMS mettent à votre disposition pour ce faire? 

C’est dans ce contexte que les participants à la table ronde sont invités à poursuivre cette réflexion et à 

apporter quelques réponses aux différentes questions. 





Le congrès mai-juin 2006 de l'AMQ, et sa journée commune avec 

ceux du GRMS et de l'EMF sont réalisés avec le soutien de 

Commission internationale 

de l'enseignement mathématique 

International Commission on 

Mathematical Instruction 

Société mathématique du Canada 

UNIVERSITÉ DE 

SHERBROOKE 

Avec la participation de : 

• Ministère des Relations internationales du Québec 

• Ministère de l’Éducation, du Loisir et du Sport 

Service de coopération et d’action culturelle 

Nous tenons à remercier de façon toute spéciale le Département de mathématiques 

de l'Université de Sherbrooke qui a grandement facilité l'organisation de ce congrès.

Diapositive 1 - Département de mathématiques et de statistique ...

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