Suites et series de fonction - Faculté des Sciences et Techniques

Université Sultan Moulay Slimane
Faculté des sciences et techniques
de Beni Mellal
Année universitaire :
2010/2011
Suites et séries de fonctions
Abdesselam BOUARICH
Deuxième version :
15/06/2011
A. Bouarich

2
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Table des matières
1 Les séries numériques 5
1.1 Propriétés des séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Critères de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Comparaison d’une série avec une intégrale simple généralisée . . . . . 12
1.3.3 Règles de Cauchy et de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.4 Séries absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.1 Le théorème de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.2 Le théorème d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Suites de fonctions 29
2.1 Convergence simple d’une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Convergence uniforme d’une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Théorèmes fondamentaux sur la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1 Théorème de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2 Théorème de l’integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.3 Théorème de la dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Les séries de fonctions 45
3.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Théorèmes fondamentaux de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . 49
4 Les séries entières 58
4.1 Propriétés du domaine de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.2 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1.3 Formule de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.4 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Fonctions d’une variable réelle développables en série entière . . . . . . . . . . 71
4.2.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.2 Exemples de fonctions développables en série entière . . . . . . . . . . 74
4.3 Équations différentielles linéaires et les séries entières . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3.1 Cas d’une équation différentielle régulière . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3.2 Cas d’une équation différntielle singulière . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5 Les séries de Fourier 86
5.1 Séries trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1.2 Coefficients de Fourier d’une série trigonométrique . . . . . . . . . . . 87
5.2 Série de Fourier associée à une fonction périodique . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.1 Coefficients de Fourier d’une fonction périodique . . . . . . . . . . . . 88
5.2.2 Exemples classiques de séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3 Problème de convergence des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3.1 Convergence des coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3.2 Théorème de convergence de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3.3 Théorème de la convergence quadratique. . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Chapitre Premier
Les séries numériques
1.1 Propriétés des séries numériques
Définition 1. Soit {un/n ∈ N} une suite de nombres réels ou complexes. Pour tout entier
n 0 on définit la somme partielle des (n+1)-premiers termes de la suite un par l’expression :
Sn := u0 +u1 +···+un
1. Le couple (un,Sn) s’appelle série numérique de terme général un.
2. Si la suite des sommes partielles {Sn/n ∈ N} converge (resp. diverge) dans R (resp. C)
on dira que la série numérique (un,Sn) converge (resp. diverge) et on note :
n0
un := lim
n→+∞ Sn
3. Si la série numérique (un,Sn) converge vers S ∈ R (resp. S ∈ C) on lui associe la suite
numérique dont le terme général
Rn := S−Sn =
pn+1
up, ∀n ∈ N,
qui s’appelle reste d’ordre n ∈ N de la série numérique (un,Sn).
Dans la suite, s’il n’y a aucune confusion à craindre la série numérique (un,Sn) sera désignée
que par son terme général un. De même, on va désigner une série numérique de terme général
un par la somme
n0
un = u0 +u1 +···+un +···.
Ci-dessous,ondonneraquelquesconditionsnécessairesàlaconvergenced’unesérienumérique
qui seront tirées à partir des résultats classiques des suites numériques convergentes.
Proposition 1. Pour que la série numérique de terme général un converge il faut et il suffit
que la suite des restes qui lui est associée, Rn =
up, tend vers zéro.
pn+1
Démonstration. Utiliser le fait que le reste d’ordre n 0, Rn = S−Sn.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

6 Les séries numériques
Proposition 2. Pour que la série numérique de terme général un converge il faut et il
suffit que pour tout réel ε > 0 il existe un entier n0 > 0 tel que pour tout couple d’entiers
n > m n0, | um +um+1 +···+un |< ε.
Démonstration. Utiliser le fait que la série numérique
un converge si et seulement, si la
suite des sommes partielles Sn est une suite de Cauchy. Ensuite, remarquer que pour tout
couple d’entiers n > m la différence Sn −Sm−1 = um +um+1 +···+un.
Corollaire 1. Si une série de terme général un converge alors lim
n→+∞ un = 0.
Démonstration. Remarquer que si la suite des sommes partielles Sn = up est de Cauchy,
donc pour tout réel ε > 0 il existe un entier n0 1 tel que pour tout entier n ∈ N on aura
n0
l’inégalité | Sn −Sn−1 |=| un |< ε qui implique lim
n→+∞ un = 0.
Proposition 3. Une série numérique dont le terme général est positif un 0 converge si et
p=n
seulement, si la suite des sommes partielles Sn = up est majorée.
Démonstration. Remarquer que la condition un 0 implique que la suite des sommes par-
p=n
tielles Sn = up est croissante parce que Sn+1 −Sn = un+1 0. Ensuite, appliquer le fait
p=0
qu’une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée.
Proposition 4. Si les séries numériques
un et
vn convergent alors pour tous les réels
n0
p=0
n0
λ et µ la série de terme général, λun +µvn, converge.
Exemple 1. 1) Cherchons la nature de convergence de la série de terme général
un =
1
, ∀n 1
n(n+1)
Observons que puisque pour tout entier n 1 le terme général
un =
1 1 1
= −
n(n+1) n n+1
on en déduit que la somme partielle des n-premiers termes,
Sn = u1 +···+un = ( 1 1
−
1 2 )+(1
1
−
2 3 )+···+(1
1 1
− ) = 1−
n n+1 n+1 ,
converge vers 1. Par conséquent, la série de terme général un =
somme est égale à :
un = 1
2
n1
1 1
+ +
2.3 3.4 ···+
1
+··· = 1
n(n+1)
p=n
p=0
1
n(n+1)
converge et sa
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Propriétés des séries numériques 7
Notons aussi que le reste d’ordre n 1 de la série
n1
Rn = 1−Sn = 1
n+1
1
n(n+1)
est égal à
2) La série de terme général un = 1
n s’appelle : série harmonique. La série harmonique 1
n
p=n
diverge parce que si on pose Sn = up on voit que pour tout entier n 1 on a l’inégalité
p=1
S2n −Sn = 1 1 1 1 1
+···+ +···+ =
n+1 2n 2n 2n 2
qui implique que la suite des sommes partielles Sn n’est pas de Cauchy.
Notons que la série harmonique
n1
1
1
diverge malgré que son terme général tend vers zéro.
n n
Donc, la condition lim
n→+∞ un = 0 est nécessaire pour la converge d’une série numérique mais
n’est pas suffisante.
Exercice 1. Montrer que les séries suivantes convergent et calculer leurs sommes respectives :
1. 1 1
et
n(n+1)(n+2) n3 −n .
n1
n2
2. 1
n
n0
2 +2ncos(θ)−sin 2 1
et
(θ) n
n0
2 +2nCh(a)+(Sh(a)) 2.
1
3. Arctg
1+n+n 2
1
, Arctg
2n2
2n+1
et Arctg
1+n 2 (1+n) 2
.
Indication : Regarder le terme général un comme étant une fraction rationnelle de n et
décomposer le en éléments simples; puis calculer la somme partielle des premiers termes.
Exercice 2. Soit p 2 un entier naturel fixé. Pour tout entier n ∈ N ∗ on pose
un(p) =
1
n(n+1)···(n+p)
1) En vérifiant la relation, un(p) = 1
un(p − 1) − un+1(p − 1) , montrer que la somme
p
k=n
partielle uk(p) = 1
1
p p! −un+1(p−1)
.
k=1
3) En déduire que la série de terme général un(p) converge et calculer sa somme.
Exercice 3. Soient a et b deux nombres complexes fixés tels que a+b−1 = 0. On considère
la suite numérique Un dont l’expression est définie par la relation récurrente :
∀n 2, Un+2 = aUn+1 +bUn
et où U0 et U1 sont des nombres complexes donnés.
1) Vérifier que la somme partielle des (n+1)-premiers termes de la suite Un est donnée par
l’expression :
Sn = (1−a)U0 +U1 −bUn −Un+1
1−a−b
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

8 Les séries numériques
2) En déduire que la série
Un converge si et seulement si la suite récurente Un converge
vers zéro.
n0
3) Application : Calculer la somme de la série
Un quand le terme général Un est défini
n0
par la relation récurente Un+2 = Un+1 +Un avec U0 et U1 ∈ C.
Exercice 4. Soient a, b et c des nombres réels tels que a + b + c = 0.
fonction f : R + → R on définit une suite numérique par l’expression,
∀n 0, un = af(n)+bf(n+2)+cf(n+4)
Étant donnée une
1) Montrer que si la limite lim
x→+∞ f(x) = 0 alors la série de terme général un converge.
2) Application : Calculer la somme des séries numériques suivantes :
8
n(n 2 −4) ,
6n−1
(3n−8)(3n−2)(3n+4) ,
2n−1
n(n 2 −4)
Exercice 5. Soit un 0 une suite décroissante dont la série associée
un converge.
1) En utilisant la différence des sommes partielles S2n et Sn; montrer que la suite vn = nun
tend vers zéro.
2) En déduire que la série de terme général wn = n(un −un+1) converge.
3) On rappelle que le reste d’ordre n 1 de la série un est définie par Rn =
p=n
i) Vérifier que la somme partielle pup =
p=1
p=n−1
p=1
Rp −nRn.
n0
pn+1
ii) En déduire que les deux séries nun et Rn possèdent la même nature de convergence.
1.2 Séries géométriques
Définition 2. Soient a et q deux nombres complexes non nuls. La série de terme général
s’appelle série géométrique de raison q.
∀n 0, un = aq n
Par récurrence on vérifie que la somme partielle des (n + 1)-premiers termes d’une série
géométrique de terme général un = aq n est égale à :
Sn = a 1+q +q 2 +···+q n
=
⎧
⎨
⎩
a(n+1), si q = 1
a qn+1 −1
si q = 1.
q −1
Ainsi, en passant à la limite dans l’expression de la suite Sn on déduit que
D’où la proposition :
lim
n→+∞ Sn =
⎧
⎨
⎩
diverge , si | q | 1
a
, si | q |< 1.
1−q
up.
(1.1)
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Séries à termes positifs 9
Proposition 5. Une série géométrique de terme général, un = aq n , converge si et seulement
si le module | q |< 1.
Corollaire 2. Si le module | q |< 1 alors la somme et le reste de la série géométrique
un = aq n sont données respectivement par,
n0
aq n = a
1−q
resp. Rn = aqn+1
, ∀n 0
1−q
Exemple 2. 1) La série géométrique de terme général un = 1 3 1
converge vers =
3n 2 3
n0
n
avec un reste d’ordre n égal à Rn = 3 1
23n+1.
2) La série géométrique de terme général vn = ( −1
5 )n converge vers 5
6
reste d’ordre n égal à Rn = 5(−1)
6
n+1
5n+1 .
= ( −1
5 )n avec un
Exercice 6. Montrer que pour tout réel 0 < q < 1 les trois séries suivantes convergent et
calculer leurs sommes respectives
nq n ,
n1
n1
n 2 q n
1.3 Séries à termes positifs
et
n1
n(n+1)
q
2
n .
Dans cette section, on se ropose de décrire quelques méthodes et règles pratiques qui per-
mettent de décider sur la nature de convergence des séries numériques dont le terme général
est positif.
1.3.1 Critères de comparaison
Théorème 1 (Premier critère de comparaison). Soient un 0 et vn 0 les termes généraux
de deux séries. S’il existe un réel A > 0 et un entier n0 0 tel que pour tout entier n n0,
un Avn, alors les propositions suivantes sont vraies :
1. Si la série
vn converge alors la série
un converge.
n0
n0
2. Si la série
un diverge alors la série
vn diverge.
n0
Démonstration. 1) Observer que pour tout entier n n0 on a l’inégalité suivante
0
p=n
p=n
p=n0
qui est équivalente à l’inégalité 0 up −
p=0
n0
p=n
up A
p=n0−1
p=0
p=n0
vp
up A
p=n
vp −
p=0
p=n0−1
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
p=0
n0
vp
.

10 Les séries numériques
Ainsi, si on suppose que la suite des sommes partielles vp converge il s’ensuit que la suite
des sommes partielles
p=n
p=n
p=0
up est majorée, et donc d’après la proposition 3 la série
p=0
converge.
p=n
2) De même, si on suppose que la suite des sommes partielles up diverge (i.e. tend vers
+∞) il en résulte que la suite des sommes partielles vp diverge aussi.
Exemple 3. Cherchons la nature de convergence des séries suivantes
xn =
n
n 3 +n 2 +n+1
p=n
p=0
p=0
et yn = n
n 2 +1
1) Notons que puisque pour tout entier n 1 on peut écrire
0 < xn
n
n3 =
+n2 1
n(n+1)
on en déduit que la série
xn converge parce que dans l’exemple 1 nous avons démontré
que la série
n1
n0
1
n(n+1) converge.
2) De même, puisque pour tout entier n > 0 on a,
1
yn
n+1
il s’ensuit que la série
yn diverge parce que la série harmonique 1
n+1 diverge.
n0
Théorème 2 (Second critère de comparaison). Soit un > 0 et vn > 0 les termes génraux de
deux séries. S’il existe un entier n0 > 0 tel que pour tout entier n n0,
un+1
un
alors les propositions suivantes sont vraies :
vn+1
vn
1. Si la série vn converge alors la série un converge.
2. Si la série un diverge alors la série vn diverge.
Démonstration. Observer que si pour tous les entiers n0 m n on fait le produit des
inégalités um+1
um
vm+1
vm
n0
membre à membre on obtient l’inégalité suivante
un+1
un0
vn+1
vn0
=⇒ un+1 un0
qui permet d’établir les deux assertions du théorème en appliquant le résultat du théorème
précédent.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
vn0
vn+1
n0
un

Séries à termes positifs 11
Exemple 4. Cherchons la nature de convergence de la série de terme général
Observons que le rapport un+1
un
∀n 1, un = 2.5.8···(3n−1)
1.3.5.···(2n−1)
= 3n+2
2n+1
on pose vn = 1 un+1
on obtient l’inégalité
n un
3n
2n+2
diverge le théorème précédent implique que la série
n
, donc si pour tout entier n 1
n+1
vn+1
. Ainsi, puisque la série harmonique
vn
n1
n1
2.5.8···(3n−1)
1.3.5.···(2n−1) diverge.
Théorème 3 (Critère d’équivalence). Soit un > 0 et vn > 0 les termes génraux de deux
un
séries. Si la limite lim = L ∈ R
n→+∞ vn
∗ + (ie. existe) alors les deux séries numériques un et
vn possèdent la même nature de convergence.
un
Démonstration. Si pour ε = L/2 on applique la définition de la limite lim
n→+∞ vn
pourra trouver un entier n0 0 tel que pour tout entier n n0 on aura
| un
vn
−L |< L/2 =⇒ L/2 un
vn
< 3L/2 =⇒ (L/2)vn < un < (3L/2)vn
1
n
= L on
Ainsi, si on applique le premier théorème de comparaison aux deux membres de la double
inégalité (L/2)vn < un < (3L/2)vn on déduit que les séries un et vn sont de même nature.
Exemple 5. Cherchons la nature de convergence de la série de terme général
n
vn = Arctg
n2
+1
Arctg(x)
Puisque la limite lim = 1 (ie. Arctg(x)∼0x) on voit que si on désigne par wn =
x→0 x
x=0
1
n
le terme général de la s{erie harmonique on obtient la limite suivante
vn
lim
n→+∞ wn
= lim
n→+∞
n
n 2 +1
1
n
= lim
n→+∞
n2 n2 = 1
+1
Donc, la série
n
Arctg
n2
diverge.
+1
Exercice 7. Dans cet exercice, on se propose de montrer que la série numérique de terme
général, 1
, converge et que sa somme est un nombre irrationnel.
n!
1) Montrer par récurrence que pour tout entier n 1, 2n−1 n!.
2) En déduire que la série numérique 1
n! converge.
n0
1
3) Montrer que pour tous les entiers n 0 et p 1,
(n+p)!
1 1
(n+1)! (n+1) p−1.
4) Montrer que le reste Rn d’ordre n 1 de la série 1
peut être encadré par
n!
0 < Rn < 1
n!n
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
n0

12 Les séries numériques
5) En déduire que la somme,
n0
1
, n’est pas un nombre rationnel.
n!
6) Calculer la somme des séries numériques suivantes
n0
en fonction de la somme S =
n2 n
,
n!
n0
3 n
,
n!
n0
p
n!
n0
1
n! .
où p ∈ N ∗
Notes : Au chapitre quatre on démontrer que la série numérique,
base du logarithme népérien e (ie. Log(e) = 1).
n0
1
, converge vers la
n!
1.3.2 Comparaison d’une série avec une intégrale simple généralisée
Dans ce paragraphe, étant donnée une fonction décroissante continue f : [1,+∞[→ R + on se
propose d’étudier la nature de convergence de la série numérique dont le terme général est
défini par l’expression un = f(n).
A) Étude générale
Notons que puisque la fonction f est supposée décroissante ceci permet d’écrire pour tout
entier n 1 et pour tout réel x ∈ [n,n+1],
f(n+1) f(x) f(n) =⇒ f(n+1)
n+1
n
f(t)dt f(n).
Ainsi, en faisant varier l’entier p entre 1 et n on obtient les inégalités suivantes :
f(2)
f(3)
.
f(n+1)
2
1 3
2
n+1
n
f(t)dt f(1)
f(t)dt f(2)
.
f(t)dt f(n)
dont la sommation membre à membre nous donne les deux encadrements suivants :
Sn+1 −f(1)
n+1
ce qui est équivalent à écrire la double inégalité suivante
D’où le thèorème :
n+1
1
1
f(t)dt Sn
n
1
f(t)dt Sn
f(t)dt+f(1)
Théorème 4. Si f : [1,+∞[→ R + est une fonction décroissante continue alors la série
de terme général un = f(n) converge (resp. diverge) si et seulement, si l’intégrale simple
généralisée
+∞
1
f(t)dt converge (resp. diverge).
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
.

Séries à termes positifs 13
Corollaire 3. Si f : [1,+∞[→ R est une fonction décroissante continue dont l’inégrale
simple généralisée
+∞
possède l’encadrement suivant,
1
f(t)dt converge alors le reste d’ordre n 1 de la série f(n)
+∞
n+1
f(t)dt Rn
+∞
n
f(t)dt.
Démonstration. L’encadrement du reste Rn s’obtient par somme membre à memebre des
inégalités f(p+1)
p+1
p
f(t)dt f(p) sur tous les entiers p n+1.
Exemple 6. Cherchons la nature de convergence de la série numérique
n1
1
Sh(n) .
Notons que si pour tout réel x 1 on pose f(x) = 1
on obtient une fonction décroissante
Sh(x)
et continue sur l’intervalle [1,+∞[. Donc, la série 1
et l’intégrale simple généralisée
Sh(n)
+∞
1
dx
Sh(x)
n1
possèdent la même nature de convergence.
En effet, puisque pour x > 0 assez grand la fonction
et comme l’intégrale simple généralisée
simple généralisée
converge.
+∞
1
dx
Sh(x)
+∞
1
1
Sh(x)
est équivalente à la fonction 2e−x
e −t dt = e converge on en déduit que l’intégrale
converge aussi. Par conséquent, la série numérique
n1
1
Sh(n)
Exercice 8. Soit f : R + → R une fonction croissante continue. Pour tout entier n 1 on
pose :
un =
1
f(1)+f(2)+···+f(n)
a) Montrer que pour tout entier n 2 on a la double inégalité suivante,
n
1
f(x)dx 1
un
n+1
1
f(x)dx.
b) En déduire la nature de convergence des suitent numériques suivantes :
1
p=n ,
pLog(p)
p=1
B) Séries de Riemann
1
p=n
p α
,
p=1
1
p=n
(Log(p)) α
p=1
où α ∈ R
Définition 3. La série numérique de terme général un = 1
s’appelle série de Riemann de
nα paramètre α ∈ R.
Proposition 6. La série de Riemann de terme général un = 1
converge si et seulement si
nα le réel α > 1.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

14 Les séries numériques
Démonstration. a) Notons que si α 0 le terme général un = 1
ne tend pas vers zéro, donc
nα la série de Riemann 1
diverge.
nα n1
b) Pour un paramètre α > 0 remarquons que si pour tout x ∈ [1,+∞[ on pose f(x) = 1
x α
on obtient une fonction décroissante continue sur l’intervalle [1,+∞[ et telle que pour tout
entier n > 0, f(n) = 1
n α = un. Ainsi, selon le théorème précédent la série de terme général
un = f(n) possède la même nature de convergence que l’intégrale simple généralisée,
+∞
1
N dt
= lim
tα N→+∞ 1
dt
=
tα ⎧
⎪⎨
⎪⎩
lim
N→+∞
lim
N→+∞
1
1−α
Log(N), si α = 1
1
(1−
Nα−1), si α = 1
Par conséquent, la série de Riemann de terme général un = 1
converge si et seulement, si
nα le réel α > 1.
En appliquant l’encadrement du reste Rn donné dans corollaire 3 ci-dessus à la série de
Riemann 1
on obtient le :
nα n1
Corollaire 4. Si le réel α > 1 alors le reste d’ordre n de la série de Riemann
encadré par,
1 1
α−1 (1+n) α−1 Rn 1 1
α−1 nα−1. n1
1
est
nα Exemple 7. D’après le résultat de la proposition précédente on voit que les séries de Riemann
suivantes convergent :
n1
1
n 2,
n1
1
n 3/2,
Par contre, les séries de Riemann suivantes divergent :
n1
1
,
n
n1
n1
1
√ ,
n
n1
1
n 5/4
1
10 √ n .
En pratique on utilise les séries de Riemann comme modèles de comparaison comme on va
l’expliquer par la proposition suivante.
Proposition 7. Soient un 0 une suite et α un nombre réel tel que la limite
Alors les propositions suivantes sont vraies.
lim
n→+∞ nαun = A ∈ [0,+∞]
1. Si la limite lim
n→+∞ nα un = A ∈ R ∗ + alors la série un converge (resp. diverge) si et
seulement si α > 1 (resp. α 1).
2. Si la limite lim
n→+∞ nα un = 0 avec α > 1 alors la série un converge.
3. Si la limite lim
n→+∞ nα un = +∞ avec α 1 alors la série un diverge.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Séries à termes positifs 15
Démonstration. 1) Observer que le produit nαun = un
; et puis appliquer le premier théo-
1/nα rème de comparaison.
2) Noter que si la limite lim
n→+∞ nα un = 0 on pourra trouver un entier n0 tel que pour tout
entier n n0 on aura n α un < 1, c’est-à-dire un < 1
n α,∀n n0. Par conséquent, puisque pour
tout réel α > 1 la série de Riemann 1
n α converge on déduit que la série un converger
aussi.
3) De même, noter que si la limite lim
n→+∞ nα un = +∞ on pourra trouver un entier n0 tel que
pour tout entier n n0 on aura un > 1
nα. Ainsi, puisque pour tout réel α < 1 la série de
Riemann 1
nα diverge on déduit que la série un diverger aussi.
Exemple 8. La série de terme général, un = nsin( 1
n3), converge parce que la limite lim
1 et on sait que la série de Riemann 1
converge.
n2 n1
n→+∞ n2 un =
Exercice 9. Soient P(x) et Q(x) deux fonctions polynômiales. Montrer que la série de terme
général, P(n)
, converge si et seulement si deg(Q)−deg(P) 2.
Q(n)
C) Séries de Bertrand
Définition 4. La série de terme général, un =
paramètres réels α et β.
1
nα (Log(n)) β, s’appelle série de Bertrand à
Les séries numériquesdeBertrand généralisent celles de Riemman parce que si on porte β = 0
dans l’expression du terme général d’une série de Bertrand on obtient une série de Riemann.
La nature de convergence des séries de Bertrand est donnée par la proposition suivante.
Proposition 8. La nature de convergence de la série de Bertrand
mée dans le tableau suivant à double entrée :
β
α
n2
α < 1 α = 1 α > 1
β 1 divergence divergence convergence
β > 1 divergence convergence convergence
1
nα est résu-
(Log(n)) β
Démonstration. 1) Le cas où α < 1 : Observons que puisque α < 1 on peut trouver un réel
λ > 0 tel que α < α+λ < 1. Ainsi, puisque pour tout réel β la limite lim
x→+∞
on en déduit que pour tout réel x > 0 assez grand on a
1 <
x λ
(Log(x)) β
=⇒
1
<
xα+λ 1
x α (Log(x)) β.
xλ = +∞
(Log(x)) β
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

16 Les séries numériques
Ainsi, comme pour le réel α+λ < 1 la série de Riemann 1
diverge on déduit que la
nα+λ série de Bertrand 1
nα diverge quand α < 1 et β ∈ R.
(Log(n)) β
n2
2) Le cas où α > 1 : Observons que puisque α > 1 on peut trouver un réel µ > 0 tel que
1 < α−µ < α. D’autre part, puisque la limite lim
x→+∞
tout réel x > 0 assez grand on a
1
x µ < 1 =⇒
(Log(x)) β
1
x µ = 0 on en déduit que pour
(Log(x)) β
1
xα 1
<
(Log(x)) β xα−µ Ainsi, comme pour α−µ > 1 la série de Riemann 1
converge on déduit que la série
nα−µ de Bertrand 1
nα converge quand α > 1 et β ∈ R.
(Log(n)) β
n2
1
3) Le cas où α = 1 : Notons que puisque la fonction f(x) = est dérivable sur
x(Log(x)) β
l’intervalle ]1,+∞[ et sa fonction dérivée est donnée par l’expression
on en déduit que la fonction f(x) =
f ′ (x) = −Log(x)−β
x2 (Log(x)) β+1,∀x
∈]1,+∞[
1
x(Log(x)) β décroît sur l’intervalle [e−β ,+∞[. Donc,
1
d’après le théorème 2, la série numérique de Bertrand de terme général un =
n(Log(n)) β
+∞ 1
possèdela même naturedeconvergence quel’intégrale simplegénéralisée
A x(Log(x)) βdx
où A > 1.
+∞ 1
Pour trouver la nature de convergence de l’intégrale généralisée
A x(Log(x)) βdx il suffit
X 1
qu’on remarque que si pour tout réel X > A on pose F(X) =
A x(Log(x)) βdx on obtient
l’expression après avoir effectuer le changement de variables Log(x) = t :
⎧
Log(X) dt
⎨ Log(Log(X))−Log(Log(A)), si β = 1
F(X) = = 1
Log(A) tβ ⎩
1−β (
1 1
−
(Log(X)) β−1 (Log(A)) β−1), si β = 1
Ainsi, on voit bien que la fonction F(X) tend vers une limite finie (resp. infinie) lorsque la
variable X tend vers +∞ si le paramètre β > 1 (resp. β 1), et donc la série de Bertrand de
1
terme général un = converge si et seulement si β > 1.
n(Log(n)) β
Exemple 9. D’après la proposition précédente les séries de Bertrand suivantes
n2
1
n3/2 Log(n)
,
Log(n) n
n2
4/3
et (Log(n)) 9
n2 n2
convergent tandis que les séries de Bertrand suivantes divergent :
n2
1
,
nLog(n)
n2
1
n Log(n)
et
n2
1
n 1/5 (Log(n)) 5
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Séries à termes positifs 17
Exercice 10. Etudier la nature de convergence des séries suivantes :
Arctg(n)
n2 , ne−n2,
+1
Log(1+n a )
(Log(n)) b ,
1
sin(1
na n ),
1
n5/4Sh( 1
(Log(n)) 5),
1
n x (1+n y ) .
Exercice 11. Trouver la nature de convergence des séries numériques suivantes :
1
Arctg √ ,
n2 +n
n+1
Log
n3
,
+n+1
1.3.5···(2n−1)
1.5.9···(4n−3)
Exercice 12. 1) Montrer qu’il existe un entier n0 > 0 tel que pour tout entier n n0,
1 1
nLog(n) n2. 2) En déduire que la série numérique 1
converge.
n1 nLog(n) 3) Que peut-on dire de la nature de convergence de la série 1
(Log(n)) Log(n).
Exercice 13. Soit f : [1,+∞[→ R une fonction décroissante continue. Pour tout entier
p=n
n
n 1 on pose, un = f(p)− f(x)dx.
p=1
1) Montrer que la suite un est décroissante positive.
1
2) En déduite que la suite un converge.
3) Application : a) On suppose que la série
f(n) diverge. Démontrer que n ∈ N assez
p=n
grand la somme partielle f(p) est équivalente à l’intégrale simple définie
p=1
n1
b) En déduire que pour tout α ∈]0,1[ la somme parielle
que la somme partielle
p=n
p=1
1
p
est équivalente à Log(n).
1.3.3 Règles de Cauchy et de D’Alembert
p=n
p=1
n2
n
1
f(x)dx.
1 n1−α
est équivalente à
pα 1−α tandis
Théorème 5 (Règle de Cauchy). Soit un 0 le terme général d’une série telle que λ =
lim n√
un. Alors les propositions suivantes sont vraies :
n→+∞
1. Si 0 λ < 1 alors la série
un converge.
n0
2. Si λ > 1 alors la série
un diverge.
n0
Démonstration. 1) Supposons que 0 λ < 1 et choisissons un nombre réel ε > 0 tel que
0 λ < λ+ε < 1. Puis appliquons la définition de la limite lim n√
un = λ au nombre réel
ε > 0 :
n→+∞
(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N),n n0 =⇒ −ε+λ < n√ un < λ+ε < 1
=⇒ 0 un < (λ+ε) n < 1
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

18 Les séries numériques
Ainsi, puisque le réel q = λ+ε < 1 on en déduit que la série géométrique de terme général
vn = (λ+ε) n converge, et donc la série de terme général un converge d’après le théorème de
comparaison.
2) Comme dans la preuve de l’assertion 1) si on suppose que le réel λ > 1 on peut trouver un
nombre réel ε > 0 tel que 1 λ−ε < λ. Et, si on applique la définition de la limite on peut
trouver un entier n0 0 tel que dès que l’entier n n0 cela implique qu’on a l’inégalité,
1 < λ−ε < n√ un < λ+ε =⇒ 1 < (λ−ε) n < un,
qui montre que la série de terme général un diverge parce que la série géométrique de terme
général wn = (λ−ε) n diverge.
Exemple 10. Cherchons la nature de convergence des séries de terme général
1) Puisque la limite
an =
n n
(2n+1) n et bn =
lim
n→+∞
n
3n−1 2
2n+1
n√ n 1
an = lim = < 1
n→+∞ 2n+1 2
la règle de convergence de Cauchy implique donc que la série
2) De même, puisque la limite
n 3n−1
lim bn = lim
n→+∞ n→+∞ 2n+1 =
le critère de Cauchy implique que la série
n
3n−1 2
2n+1
n1
n0
3
> 1
2
diverge.
nn converge.
(2n+1) n
Théorème 6 (Règle de D’Alembert). Soit un 0 le terme général d’une série telle que
lim
n→+∞
un+1
un
= λ. Alors les propositions suivantes sont vraies :
1. Si 0 λ < 1 alors la série
un converge.
n0
2. Si λ > 1 alors la série
un diverge.
n0
Démonstration. 1) Supposons que le nombre réel 0 λ < 1 et choisissons un réel ε > 0 tel
que 0 λ < λ+ε < 1.
un+1
Notons que si on applique la définition de la limite à lim = λ et au réel ε > 0 on
n→+∞ un
peut trouver un entier n0 0 tel que pour tout entier n n0 on aura :
0 un+1
un
< λ+ε < 1 =⇒ 0 un+1 < (λ+ε)un.
Donc, en multipliant les inégalités suivantes membre à membre :
0 u n0 +1 < (λ+ε)u n 0
0 u n0 +2 < (λ+ε)u n0 +1
.
.
.
.
0 un < (λ+ε)un−1
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Séries à termes positifs 19
nous obtenons l’inégalité 0 un < (λ+ε) n−n0+1un0 . Ainsi, puisque0 λ+ε < 1 il en résulte
que la série géométrique
(λ+ε) n converge, et donc la série numérique
un converge.
n0
un+1
2) En partant de l’hypothèse, lim = λ avec λ > 1 on peut trouver un réel ε > 0
n→+∞ un
tel que 1 < λ −ε < λ, donc comme ci-dessus, à partir d’un certain rang n0 0 on obtient
l’inégalité
1 < (λ−ε) n−n0+1
un0 < un, ∀n n0
qui implique lim
n→+∞ un 1. Par conséquent, la série numérique
un diverge.
Exemple 11. Cherchons la nature de convergence des séries de terme général
vn+1
1) Puisque la limite lim
n→+∞ vn
vn = an
n!
implique que la série numérique
= lim
n→+∞
n1
a n
n!
2) Puisque pour tout entier n 1 le rapport
un+1
un
et un = nn
n!
n0
n0
a
= 0 la règle de convergence de D’Alembert
n+1
est convergente.
= (n+1)n+1 n!
n n (n+1)!
= (1+ 1
n )n
tend vers la base du logarithme népérien, e > 1, la règle de D’Alembert implique que la série
numérique n n
n! diverge.
Il est important de souligner que les critères de convergence de Cauchy et de D’Alembert
ne permettent pas de déduire la nature de convergence d’une série de terme général un qui
vérifie l’une des deux proporiétés
lim
n→+∞
n√ un+1
un = 1 ou lim
n→+∞ un
= 1
En effet, si on considère la série divergente de terme général un = 1
n
de terme général vn = 1
on obtient en même temps :
n2 ⎧
⎪⎨
⎪⎩
lim
n→+∞
lim
n→+∞
et ⎧ ⎪⎨
n√ un = lim
n→+∞
n√ vn = lim
n→+∞
⎪⎩
un+1
lim
n→+∞ un
lim
n→+∞
vn+1
vn
1
n√ n = lim
n→+∞
1
n√ n 2
1
exp[ Log(n)
= 1
]
n
1
= lim
n→+∞
exp[ 2Log(n)
= 1
]
n
= lim
n→+∞
= lim
n→+∞
n
= 1
n+1
n2 = 1.
(n+1) 2
et la série convergente
Ainsi, en conséquence de ce qui précède on conclut que les deux critères de Cauchy et de
D’Alembert ne reconnaîssent pas la nature de convergence des deux séries numériques 1
n
n1
2
et 1
n .
n1
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

20 Les séries numériques
Exercice 14. Trouver la nature de convergence des séries numériques suivantes :
1. ( n
n+1 )n2
,
n!
n n,
n Log(n)
(Log(n)) n,
2. 2ne−an2 (n2 a
, (1−
+n) n )n3,a
> 0;
3. ( an+b
n+c )nLog(n) ,a,b,c ∈ R;
4. α(α+p)(α+2p)···(α+np)
5.
n3 ;
3n β(β +q)(β +2q)···(β +nq) où α, β, p, q ∈ R∗ + sont des paramètres.
√ n!
(1+ √ 1)(1+ √ 2)···(1+ √ n+1) ,
a n2
(1+a)(1+a 2 )···(1+a n ) où a ∈ R∗ +.
Pour finir cette section on invite le lecteur de traiter les deux prochains exercices qui visent à
comparer la puissance de décision de la règle de Cauchy devant celle de D’Alembert. Quant
au dernier exercice de cette section il propose un résultat qui améliore la règle de D’Alembert
lorsque la limite du rapport un+1
est égale à un.
un
Exercice 15. Si une suite un > 0 vérifie la limite lim = λ montrer qu’on a aussi
n→+∞ un
lim n√
un = λ. En déduire que la règle de D’Alembert implique celle de Cauchy.
n→+∞
un+1
Exercice 16. Pour tout entier n 1 on pose u2n−1 = 2n−1
3n−1 et u2n = 2n−1
.
3n Vérifier que la règle de D’Alembert ne permet pas de déduire la nature de convergence de
la série un tandis que la règle de Cauchy permet d’en étudier la nature de convergence.
Autrement dit, la règle de Cauchy est puissante devant la règle de D’Alembert.
Exercice 17. 1) Soit un > 0 le terme général d’une série et n0 0 un entier tel que pour
tout entier n n0,
un+1
un
= 1− β
n +o(1
n )
Montrer que si β > 1 (resp. β < 1) alors la série un converge (resp. diverge).
Indication : Comparer la série un avec la série de Riemann vn = 1
n α.
2) Soit un > 0. Montrer que s’il existe un entier n0 0 tel que pour tout entier n n0,
alors la série un diverge.
un+1
un
= 1− 1
n
λ 1
+ +o(
n2 n2) Indication : Comparer la série un avec la série de terme général vn = 1
n+k .
Applications : Etudier la nature de convergence des deux séries numériques suivantes :
1. un = 1.3.5···(2n−1)
2.4.6···2n
et vn = 1.3.5···(2n−1)
2.4.6···(2n+2) .
2. xn = √ n!sin(a)sin( a √ )···sin(
2 a
√ ) et yn =
n 1
k=n
n
k=2
Log(k)
Log(k +a) où a ∈ R∗ + .
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Séries à termes positifs 21
∞ dt
Exercice 18. Pour tout entier n 1 on pose In =
0 (1+t 2 ) n.
1) Montrer que pour tout entier n 1 l’intégrale simple géralisée In converge.
2) Établir une relation entre les termes In+1 et In. En déduire la valeur exacte de In.
3) Trourver la nature de convergence de la série de terme général In.
1.3.4 Séries absolument convergentes
Définition 5. Soit un le terme général d’une suite de nombres réels ou complexes.
1. On dira que la série numérique
un converge absolument si la série des modules
| un | converge.
n0
n0
2. Si la série
un converge tandis que la série des modules
| un | diverge on dira que
n0
la série
un est semi-convergente.
n0
Pour trouver la nature de convergence de la série des modules
| un | on pourra donc ap-
n0
pliquer à la série de terme général vn =| un | 0 toutes les règles et les critères de convergence
que nous avons étudié dans le paragraphe précédent. Ci-dessous, nous donnerons deux résul-
tats importants qui vont enrichir la liste des méthodes d’étude des séries non nécessairement
réelles et positives.
Proposition 9. Si la série des modules
| un | converge alors la série
un converge.
C’est-à-dire, une série qui converge absolument elle converge au sens ordinaire.
n0
Démonstration. Remarquer que pour tout couple d’entiers naturels n m on a l’inégalité,
n0
| Sn −Sm |=| um+1 +···un || um+1 | +···+ | un |,
i=n
qui permet de déduire que la suite des sommes partielles Sn = ui est de Cauchy quand la
série des modules
| un | converge.
n0
Théorème 7. Soit un le terme général d’une série numérique. S’il existe une série à termes
positifs convergente
an telle que à partir d’un certain rang on a, | un | an, alors la série
n0
un converge absolument.
n0
Démonstration. Evidente.
Exemple 12. 1) Pour tout réel α > 0 la série de terme général an = (−1)n
converge
n2+iα absolument parce que la série des modules
| un |= 1
converge.
n2 n1
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
n1
i=0
n0

22 Les séries numériques
2) La série de terme général bn = sin(n2 )
n3 converge absolument parce que pour tout entier
n 1 on a l’inégalité | bn | 1
1
et on sait que la série de Riemann converge.
n3 n3 n1
3) Montrons que la série de terme général cn = (−1)n−1
est semi-convergente.
n
Notons d’abord que puisque la série des valeurs absolues
| cn | n’est autre que la série
Harminique 1
elle diverge, donc la série cn ne converge pas absolument.
n
n1
n1
Pour prouver que la série
cn converge nous allons montrer que les deux sous-suites ex-
n1
traites de la suite des sommes partielles Sn =
sont adjacentes.
un = S2n =
p=2n
p=1
(−1) p−1
En effet, puisque un+1 − un = −1
1
puisque vn+1 −vn =
2n+3
pour tout entier n 1 on a
vn = S2n+1 =
1
1
p
p=n
p=1
(−1) p−1
,
p
n1
et vn = S2n+1 =
p=2n+1
p=1
(−1) p−1
1
+
2n+2 2n+1 > 0 la suite un est croissante; de même
−1
+
2n+1 < 0 la suite vn est décroissante. D’autre part, comme
1
1
− +
2 3
1
− +···+
4
1
2n−1
p
1
− +
2n
1
0
2n+1
on conclut que la suite vn converge. De plus, puisque la différence un−vn = −1
< 0 tend
2n+1
vers zéro cela implique que les deux suites un = S2n et vn = S2n+1 sont adjacentes.
Par conséquent, puisque les deux sous-suites S2n et S2n+1 extraites de la suite des sommes
p=n (−1)
partielles Sn =
p−1
convergent on en déduit que la série
p
(−1) n−1
converge.
n
p=1
Exercice 19. Montrer que si bn est une suite bornée alors pour toute série an qui converge
absolument la série des produits anbn converge absolument.
Exercice 20. Montrer que si la série numérique
an converge absolument alors pour tout
réel, x ∈ [−1,1], la série numérique
anx n converge absolument.
n0
Exercice 21. Si un est le terme général d’une série absolument convergente trouver alors la
nature de convergence des séries suivantes :
un
un +1 , Log(1+un), e un −1, sin(un), | un | a avec a ∈ R ∗ +
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
n0
n1

Séries alternées 23
1.4 Séries alternées
1.4.1 Le théorème de Leibniz
Définition 6. Soit an 0 une suite décroissante qui tend vers zéro. La série de terme général
un = (−1) n an s’appelle série alternée.
Théorème 8 (Leibniz). Toute série alternée converge.
Démonstration. Il s’agit donc de démontrer que si la suite an décroît vers zéro alors la suite
p=n
des sommes partielles Sn = up converge où un = (−1) nan. p=0
Observons que puisque S2n+2 − S2n = a2n+2 −a2n+1 0 on en déduit que la suite S2n est
décroissante. D’autre part, puisque pour tout entier 0 on a an −an+1 0 et an 0 on en
déduit que la suite S2n = (a0−a1)+(a2−a3)···(a2n−2−a2n−1)+a2n 0 est minorée, donc
elle converge.
Enfin, notons que puisque la suite an tend vers zéro et S2n+1 = S2n − a2n+1 il s’ensuit que
les deux sous-suites extraites des sommes partielles S2n et S2n+1 convergent vers la même
limite. Par conséquent, comme la suite des sommes partielles Sn converge on déduit que la
série alternée
(−1) n an converge.
n0
Proposition 10. Pour tout entier n 0 le reste Rn de la série alternée
l’inégalité | Rn | an+1.
Démonstration. Exercice.
Exemple 13. Pour tout réel α > 0 la série altérnée (−1) n
séries altérnées suivantes sont convergentes :
n1
(−1) n
5√ n ,
n1
n0
(−1) n
√ n ,
n1
n0
(−1) n an vérifie
n α converge. En particulier, les
(−1) n
.
n10 Notons que si un est le terme général d’une série de nombres réels qui change de signes (i.e.
unun+1 < 0) mais sans que la suite des valeurs absolues | un | ne décroît vers zéro à partir
d’un certain rang, dans ce cas, on ne peut pas conclure que la série un converge.
Pour comprendre ce phénomène considérons la série de terme général
vn =
(−1) n
√ ,∀n 2
n+(−1) n
et remarquer que le terme v2n > 0 tandis que le terme v2n+1 < 0.
1
Noter aussi que puisque la suite des valeurs absolues | vn |= √ tend vers zéro et
n+(−1) n
n’est pas monotone, donc la série de terme général vn n’est pas une série alternée. Donc, pour
pour chercher sa nature de convergence on a pas le droit d’appliquer le théorème de Leibniz.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

24 Les séries numériques
Pour trouver la nature de convergence de la série de terme général vn il suffit qu’on observe
que pour tout entier n 2 on peut écrire
vn = (−1)n 1
√ − √ √
n n( n+(−1) n )
et ainsi puique la série de terme général (−1)n
√ n converge tandis que la série de terme général
positif wn =
1
√ n( √ n+(−1) n ) diverge car elle est équivalent au terme général de la série
harmonique divergente 1
, on en déduit donc que la série
n
n2
(−1) n
√ n+(−1) n diverge.
Exercice 22. Soit λ un réel différent de zéro et −1; et soit un le terme général d’une suite
numérique définie par la relation de récurrence suivante :
un+1 = un +un−1
λ(λ+1)
1) Trouver l’expression général de la suite un.
où u0 = a < b = u1.
2) Trouver tous les réels a et b pour que la série de terme général un soit géométrique.
3) Trouver tous les réels a et b pour que la série de terme général un soit altérnée.
Exercice 23. Le but de cet exercice est de montrer que pour tout réel p > 0 la série alternée,
(−1) n
1 dt
, converge vers la valeur de l’intégrale simple définie I(p) =
pn+1 1+t p.
n0
k=n
1) En utilisant la somme partielle d’une suite géométrique a k ; montrer que
k=n
∀n ∈ N, I(p)−
k=0
k=0
(−1) k 1
= (−1)n+1
kp+1 0
2) Montrer que pour tout entier n 0 on a l’inégalité, 0
3) En déduire que la somme de la série alternée
n0
1
(−1) n
np+1 =
Applications : Montrer qu’on a les deux sommes suivantes :
Log(2) = (−1) n−1
n
n1
1.4.2 Le théorème d’Abel
et
π
4
0
1
=
n0
0
x (n+1)p
dx.
1+x p
xnp 1+x pdx
dx
1+x p.
0
(−1) n
2n+1 .
1
np+1 .
Théorème 9 (Critère de convergence d’Abel). Soient an et bn deux suites numériques. Pour
que la série de terme général un = anbn converge il suffit qu’on a les conditions suivantes :
p=n
1. La suite des sommes partielles Bn = bp est bornée.
2. La suite an tend vers zéro.
p=0
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Séries alternées 25
3. La série numérique
| an −an+1 | converge.
n0
Démonstration. Pour démontrer le théorème nous allons vérifier que la suite des sommes
partielles associée à la série numérique
anbn est une suite de Cauchy.
Pour cela posons Sn =
n0
i=n
aibi et pour tout couple d’entiers naturels m < n développons
i=0
l’expression de Sn −Sm comme suit :
Sn −Sm =
i=n
i=m+1
aibi =
=
=
i=n
i=m+1
i=n
i=m+1
i=n
i=m+1
= anBn +
ai(Bi −Bi−1)
aiBi −
i=n
i=m+1
aiBi−1
i=n−1
aiBi − ai+1Bi
i=n−1
i=m+1
i=m
(ai −ai+1)Bi −am+1Bm
Notons que puisque d’après la condition 1 la suite des sommes partielles Bn est bornée il
existe un réel M > 0 tel que pour tout entier n 0, | Bn | M. D’autre part, puisque
d’après la condition 2) la suite an tend vers zéro et d’après la condtion 3) la série numérique
| an −an+1 | converge, donc pour tout réel ε > 0 on peut trouver un entier n0 > 0 tel
n0
que pour les enties n > m > n0 on obtient les majorartions suivantes,
⎧
⎪⎨
| an |<
⎪⎩
ε
3M et | am+1 |< ε
3M ,
i=n−1
| ai −ai+1 |< ε
3M ,
qui impliquent que | Sn−Sm |=|
i=m+1
i=n
i=m+1
aibi |< ε. Par conséquent, comme la suite des sommes
i=n
partielles Sn = aibi est une suite de Cauchy la série numérique
anbn converge.
i=0
Corollaire 5. Soit an 0 une suite décroissante qui tend vers zéro. Pour toute suite nu-
i=n
mérique bn dont la suite des sommes partielles Bn = bi est bornée, la série numérique
anbn converge.
n0
Démonstration. Observer que puisque pour tout entier n 0, an an+1 0 et la suite an
tend vers zéro on voit que la suite des sommes partielles suivante converge :
i=n
i=0
i=0
n0
i=n
| ai −ai+1 |= (ai −ai+1) = a0 −an+1
i=0
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

26 Les séries numériques
Ainsi, puisque la suite des sommes partielles Bn =
implique que la série
anbn converge.
n0
i=n
bi est bornée le théorème d’Abel
Noter que le résultat du corollaire généralise le théorème de Liebniz parce que la suite des
sommes partielles associée à la suite bn = (−1) n est bornée.
Exemple 14. Dans cet exemple, pour tout réel α > 0 nous allons appliquer le théorème
d’Abel pour trouver la nature de convergence des séries numériques suivantes
un = sin(an)
n α et vn = cos(an)
n α où a ∈ 2πN ∗
Puisque la suite 1
tend vers zéro en décroissant, donc d’après le corollaire précédent, il suffit
nα qu’on vérifie que la suite des sommes partielles associées aux suites de nombres réels cos(an)
et sin(an) sont bornées. Donc, il suffit qu’on démontre que la suite des sommes partielles
associées à la suite des nombres complexes de terme général cn = cos(an)+isin(an) = e ian
est bornée.
En effet, puisque cn = e ian est terme général d’une suite géométrique de raison e ia on pourra
écrire pour tout entier n 0 :
| c0 +c1 +···+cn | 2 =
i=0
eia(n+1) −1
eia
−1
2
= 1−cos(an+a)
sin(
=
1−cos(a)
an+a
)
2
sin( 1
2 )
⎧ p=n
⎪⎨
| sin(p) | | c0 +c1 +···+cn |
p=0
=⇒
⎪⎩
1
sin( a
2 ),
p=n
| cos(p) | | c0 +c1 +···+cn |
p=0
1
sin( a
2 ).
Par conséquent, pour tout réel a ∈ 2πN les série numériques
convergent.
n1
sin(an)
n α et
Exercice 24. Trouver la nature de convergence des séries numériques suivantes :
(−1) n
√ n , (−1)n
nLog(n) ,(−1)n n
6n−5 ,(−1)n n
n 2 +1 ,
n1
(−1) n sin(n) cos(n)
n+(−1) n, ,
Log(n) Log(n) .
2
cos(an)
n α
Exercice 25. Soit an une suite numérique dont la série associée
| an+1 −an | converge.
1) Démontrer que la suite an convege.
2) Pour tout réel α ∈ R, trouver la nature de convergence des séries suivantes :
1 1
−
(n+1) α nα
et
1 1
α − α Log(n+1) Log(n)
n1
n2
3) En déduire qu’il existe une suite convergente bn dont la série associée
| bn+1 −bn |
diverge.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
n0
n0

Séries alternées 27
Exercice 26. Soient f : R + → R une fonction et an une suite réelle. Pour tout entier n ∈ N
on pose, un = an(f(n+1)−f(n)).
p=n
1) Montrer que la somme partielle Un = up peut s’écrire sous la forme :
p=0
p=n−1
Un = −a0f(0)+anf(n+1)+
p=1
f(p)(ap−1 −ap)
2) En déduire que la série
un converge si et seulement si la limite lim
n0
x→+∞
f(x) = l ∈ R.
3) Applications : Trouver la nature de convergence des deux séries numériques suivantes :
vn = (−1)n−1 1
√ Arctg(
n 1+n(1+n) ) et wn = 1
n
1 1
n+1 1+
−n α((n+1)1+
Exercice 27. Dans cet exercice, on se propose de trouver la nature de convergence de la série
de Riemann de terme général, 1
nz, avec z = x+iy ∈ C.
1
1) Montrer que la série de Riemann de terme général,
nx+iy, converge absolument si et
seulement si x > 1.
2) Pour tout réel y ∈ R et pour tout entier n > 1 on pose,
vn(y) = 1 1
−
niy (n+1) iy
Montrer qu’il existe une suite numérique εn(y) telle que pour tout entier n assez grand,
vn(y) =
iy εn(y)
+
(n+1) iy n2 avec lim
n→+∞ εn(y) = 0
3) En déduire que la suite des sommes partielles,
Riemann 1
diverge.
n1+iy n1
i=n
k=1
n).
1
p1+iy, est bonrée et que la série de
4) Applications : Trouver la nature de convergence des séries numériques suivantes :
1. cos(Log(n))
,
n
n1
sin(Log(n))
.
n
n1
2. cos(Log(n))
,
nLog(n)
n1
sin(Log(n))
.
nLog(n)
n1
Exercice 28 (Formule de Stirling). Le but de cet exercice est de chercher un équivalent du
factorielle n! lorsque l’entier n tend vers l’infini. Pour tout entier n 1 on définit deux suites
de nombres réelles en posant
an = n!en
n n√ n
1) Montrer que la série numérique
n1
une limite finie quand l’entier n tend vers l’infini.
et un = Log( an+1
an
)
un converge et en déduire que la suite an tend vers
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

28 Les séries numériques
2) Pour tout entier n ∈ N on pose, In =
π
2(sin(x))
n dx.
a) Établir la relation récurrente, nIn = (n−1)In−2.
b) En déduire que I2n = π
2
(2n)!
22n (n!) 2 et I2n+1 = 22n (n!) 2
(2n+1)! .
3) Montrer que la suite In est décroissnte et que la limite lim
n→+∞
Indication : Observer que pour tout entier n 1, 1 I2n
4) Montrer que la limite lim
n→+∞
l’équivalence
0
(2n!)2
n
24n 1
=
(n!) 4 π
I2n+1
I2n
I2n+1
I2n−1
.
I2n+1
n! ∼ n n e −n√ 2πn (Formule de Stirling)
Exercice 29. Pour tout couple de nombres réels (a,b) ∈ R ∗ + ×R∗ +
= 1.
et en déduire que pour n assez grand on a
simple généralisée et une série numérique par les expressions suivantes :
I(a,b) =
+∞
0
sin(bx)
eax
dx et f(a,b) =
−1
n1
1) Etudier la nature de convergence de l’intégrale généralisée, I(a,b).
on définit une intégrale
b
a 2 n 2 +b 2
2) Démontrer que la fonction f(a,b) est bien définie sur le produit R∗ + ×R∗ + .
+∞
3) Calculer l’intégral simple généralisée, In(a,b) =
0
e −nax sin(bx)dx, ∀n 1.
4) Montrer que la fonction, sin(bx)
eax , est bornée sur l’intervalle [0,+∞[.
−1
p=n
5) En utilisant la somme partielle, x p , montrer qu’il existe un réel M > 0 tel que pour
tout entier n 1 on a
p=1
p=n
| I(a,b)−
p=1
b
a2n2 M
|
+b2 n .
6) En déduire que pour tout couple de réels (a,b) ∈ R∗ + ×R∗ + , I(a,b) = f(a,b).
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Chapitre Deux
Suites de fonctions
2.1 Convergence simple d’une suite de fonctions
Définition 7. On appelle suite de fonctions sur un intervalle non vide I ⊆ R la donnée d’une
famille de fonctions fn : I → R avec n ∈ N.
1. Soient K ⊆ I un sous-ensemble non vide et f : K → R une fonction. On dira que
la fonction f est une limite simple de la suite de fonctions, fn : I → R, si pour tout
réel x ∈ K la limite, lim
n→+∞ fn(x) = f(x), existe dans R. On dira aussi que la suite de
fonctions fn converge simplement vers fonction f(x) sur le sous-ensemble K ⊂ I.
2. Le plus grand sous-ensemble non vide J ⊂ I des points x ∈ J tel que la limite lim
n→+∞ fn(x)
existe dans R s’appelle domaine de convergence simple de la suite de fonctions fn.
Proposition 11. La limite simple d’une suite de fonctions fn : I → R, quand il existe, elle
est unique.
Démonstration. Ceci est une conséquence immédiate de l’unicité de la limite d’une suite de
nombres réels.
Exemple 15. 1) Cherchons la limite simple de la suite de fonctions fn : R → R définie par
l’expression : fn(x) = x2n
x 2n +1 .
−2
−1
1.5
1.0
0.5
1 2
f10(x)
f1(x)
Figure 2.1 – Graphes des fonctions f1 et f10
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

30 Suites de fonctions
Observons que puisque pour tout réel x ∈ R on sait que
lim
n→+∞ x2n =
on en déduit que pour tout réel x ∈ R,
⎧
⎪⎨
⎪⎩
lim
n→+∞ fn(x)
⎧
⎪⎨
=
⎪⎩
+∞ si | x |> 1
1 si x = ±1
0 si | x |< 1
1
si x = ±1
2
0 si | x |< 1
1 si | x |> 1.
Donc, la suite de fonctions fn(x) = x2n
x2n converge simplement sur R vers la fonctions
+1
⎧
1
⎪⎨ si x = ±1
2
f(x) = 0 si | x |< 1
⎪⎩
1 si | x |> 1.
2) Cherchons la limite simple de la suite de fonctions gn : [0,1] → R définie par
−1.0
∀n ∈ N, gn(x) = x n +(1−x) n
−0.5
1.5
1.0
0.5
−0.5
g2(x)
g10(x)
0.5 1.0 1.5
Figure 2.2 – Graphes des fonctions g2 et g10
Comme dans l’exemple précédent, remarquer que puisque pour tout réel x ∈]0,1[ les suites
numériques x n et (1−x) n tendent simultanément vers zéro on en déduit que la limite simple
de la suite de fonctions gn(x) sur le segment [0,1] est donnée par,
g(x) := lim
n→+∞ gn(x)
⎧
⎪⎨
=
⎪⎩
1, si x = 0
0, si 0 < x < 1
1, si x = 1.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Convergence uniforme d’une suite de fonctions 31
Notons que les deux suites de fonctions fn(x) = x2n
x 2n +1 et gn(x) = x n +(1−x) n , étudiées
ci-dessus, sont continues mais leurs limites simples ne sont pas continues. Dans le prochain
paragraphe, allons introduire un deuxième mode de convergence qui préserve la continuité de
la limite d’une suite de fonctions continues.
Exercice 30. Trouver la limite simple des suites de fonctions suivantes définies sur R :
1
1.
1+x 2 +x4 +···+x 2n,
x2 +n
2x2 n ,
+n
1+ x
n ;
n
2. sin(nx)
√ ,
n
nxn x2n +xn +1 , e−nα x
où α ∈ R.
2.2 Convergence uniforme d’une suite de fonctions
Définition 8. Soient I ⊂ R un intervalle non vide et fn : I → R une suite de fonctions
bornées.
1. On dira que la suite de fonctions bornées fn converge uniformément vers une fonction
f : I → R si
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N), n n0 =⇒ sup{| fn(x)−f(x) | ;∀x ∈ I} < ε
2. On dira que la suite de fonctions fn est uniformément de Cauchy si
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀m,n ∈ N), n m n0 =⇒ sup{| fn(x)−fm(x) | ;∀x ∈ I} < ε
La fonction f : I → R qui vérifie le premier énoncé de la définition précédente s’appelle limite
uniforme de la suite de fonctions fn sur l’intervalle I.
Exercice 31. Montrer que la limite uniforme d’une suite de fonctions bornées est une fonc-
tion bornée.
Proposition 12. Si la suite de fonctions bornées fn : I → R converge uniformément vers
la fonction f : I → R, alors la suite fn converge simplement vers la fonction f : I → R.
Autrement dit,
la convergence uniforme sur I =⇒ la convergence simple sur I.
Démonstration. Supposons que la suite de fonctions bornées fn : I → R converge uniformé-
ment vers une fonction f : I → R. Donc, pour un réel donné ε > 0 il existe un entier n0 0
tel que pour tout entier n n0,
sup{| fn(x)−f(x) | ;∀x ∈ I} < ε.
Ainsi, puisque pour tout réel fixé, x0 ∈ I, on a la double inégalité
| fn(x0)−f(x0) | sup{| fn(x)−f(x) | ;∀x ∈ I} < ε
on en déduit que la suite numérique fn(x0) converge vers le nombre réel f(x0). Autrement
dit, la suite de fonctions bornées fn converge simplement vers la fonction f : I → R.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

32 Suites de fonctions
Corollaire 6. La limite uniforme d’une suite de fonctions bornées est unique. C’est-à-dire,
si une suite de fonctions bornées fn : I → R converge uniformément vers deux fonctions
f,g : I → R alors f = g.
Démonstration. Noter quela limite uniformeimplique la limite simple, et que la limite simple
est unique quand il existe.
Théorème 10. Pour toute suite de fonctions bornées fn : I → R les propositions suivantes
sont équivalentes :
1. La suite de fonctions fn converge uniformément vers une fonction f : I → R.
2. La suite de fonctions fn est niformément de Cauchy sur l’intervalle I.
Démonstration. 1) =⇒ 2) Remarquons que grâce à l’inégalité triangulaire pour tout couple
d’entiers naturels n et m on peut écrire que
qui implique
∀x ∈ I, | fn(x)−fm(x) || fn(x)−f(x) | + | f(x)−fm(x) |
sup{| fn(x)−fm(x) | ;∀x ∈ I} sup{| fn(x)−f(x) | ;∀x ∈ I}
+ sup{| fm(x)−f(x) | ;∀x ∈ I}
Ainsi, si pour un réel ε > 0 on applique la définition de la convergence uniforme on peut
trouver un entier n0 0 tel que pour n n0 et m n0 on obtient les inégalités,
sup{| fn(x)−f(x) | ;∀x ∈ I} < ε/2
sup{| fm(x)−f(x) | ;∀x ∈ I} < ε/2 =⇒ sup{| fn(x)−fm(x) | ;∀x ∈ I} < ε
qui montrent que la suite de fonctions fn est uniformémént de Cauchy sur l’intervalle I.
2) =⇒ 1) Supposons que la suite de fonctions fn est uniformément de Cauchy et considérons
un réel ε > 0.
a) Sous cette hypothèse, on peut trouver un entier n0 0 tel que pour tout couple d’entiers
n n0 et m n0, sup{| fm(x)−fn(x) | ;∀x ∈ I} < ε.
Noter que si on fixe un nonmbre réel x ∈ I on obtient pour tous les entiers m et n ∈ N tels
que n n0 et m n0,
| fn(x)−fm(x) | sup{| fm(x)−fn(x) | ;∀x ∈ I} < ε
Donc, puisque pour tout réel x ∈ I la suite numérique fn(x) est de Cauchy, elle converge vers
un nombre réel f(x) = lim
n→+∞ fn(x).
b) Montrons que sur l’intervalle I la suite de fonctions fn converge uniformément vers la
fonction f(x) = lim
n→+∞ fn(x),∀x ∈ I.
En effet, puisque pour tout x ∈ I et pour tout couple d’entiers n n0 et m n0,
| fn(x)−fm(x) | sup{| fm(x)−fn(x) | ;∀x ∈ I} < ε
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Convergence uniforme d’une suite de fonctions 33
donc si on fait tendre l’entier m vers +∞ dans la valeurs absolue | fn(x)−fm(x) | tout en
gardant l’entier n n0 fixé on obtient l’inégalité suivante,
| fn(x)−f(x) | ε,∀x ∈ I
Ainsi, si on passe à la borne supérieure sur tous les réels x ∈ I on obtient l’implication
∀n ∈ N, n n0 =⇒ sup{| fn(x)−f(x) | ;∀x ∈ I} ε.
qui montre que sur l’intervalle I la suite de fonctions bornées, fn : I → R, converge uniformé-
ment vers la fonction f(x) = lim
n→+∞ fn(x),∀x ∈ I.
En conséquence de ce qui précède on déduit qu’un plan d’étude de la convergence uniforme
d’une suite de fonctions bornées, fn : I → R, peut être divisé en étapes :
Étape 1 Oncherchelalimitesimpledelasuitedefonctionsbornéesfn : I → Rencalculant
la limite lim
n→+∞ fn(x) = f(x) pour x fixé dans I.
Étape 2 Si la limite simpe de la suite fn n’existe pas on arrête l’étude et on déclare que
la suite de fonctions fn ne converge pas simplement.
Étape 3 S’il existe un sous-ensemble non vide J ⊆ I sur lequel la suite de fonctions fn
converge simplement vers une fonction f : J → R on calcule alors la limite de la suite
numérique
quand l’entier naturel n tend vers l’infini.
un = sup{| fn(x)−f(x) | /x ∈ J}
Ainsi, si la limite lim
n→+∞ un = 0 on déclare que la suite de fonctions fn converge uniformément
vers la fonction f : J → R, par contre, si la limte lim
n→+∞ un = 0 on déclare que
la convergence de la suite de fonctions fn est simple sur l’intervalle J ⊆ I et qu’elle est
non uniforme sur l’intérvalle J.
Ci-dessous, nous allons appliquer le plan d’étude qu’on vient de décrire pour étudier la limite
uniforme de certaines suites de fonctions bornées.
Exemple 16. 1) Cherchons la nature de convergence de la suite de fonctions
∀x ∈ [0,1], fn(x) = x n
Il est clair que la suite de fonctions fn(x) = xn converge simplement vers la fonction,
0 si 0 x < 1
f(x) =
1 si x = 1
Mais, puisque pour tout entier n ∈ N la borne supérieure
un = sup{| fn(x)−f(x) | /x ∈ [0,1]} = 1
ne tend pas vers zéro on conclut donc que la suite de fonctions fn(x) ne converge pas unifor-
mément sur [0,1] vers sa limite simple f.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

34 Suites de fonctions
Notons que si pour un réel a ∈]0,1[ on restreint la suite de fonctions fn(x) = x n sur le
segment [0,a] on trouve que la borne supérieure
sup{| fn(x) | ;∀x ∈ [0,a]} = a n
et ainsi comme la suite numérique a n tend vers zéro on conclut que la suite de fonctions fn
converge uniformément sur le segment [0,a].
2) Soit x ∈ R. On désigne par [x] la partie entière de x qui est définie comme l’unique entier
naturel qui vérifie la double inégalité : [x] x < [x]+1.
Cherchons la nature de convergence de la suite de fonctions
∀x ∈ R, gn(x) = [nx]
n
Notons que puisque pour tout réel x ∈ R et pour tout entier n ∈ N on a l’inégalité
0 nx−[nx] < 1 =⇒ 0 x−gn(x) < 1
n
Par conséquent, puique la borne supérieure sup{| gn(x)−x | ;∀x ∈ R} 1
on conclut que
n
la la suite de fonctions gn(x) converge uniformément sur R vers la fonction g(x) = x.
3) Cherchons la nature de convergence de la suite de fonctions bornées,
∀x ∈ R, hn(x) = nxe −nx2
D’abord, notons que lim
n→+∞ hn(0) = 0 car hn(0) = 0. De même, puisque la fonction exponentielle
e x augmente plus rapidement que les fonctions polynômiales on en déduit que pour tout
réel non nul x ∈ R ∗ , lim
n→+∞ hn(x) = 0.
Par conséquent, la suite de fonctions hn(x) = nxe −nx2
nulle, h(x) = 0,∀x ∈ R.
converge simplement vers la fonction
Pour voir est-ce que la suite de fonctions hn converge uniformémént vers la fonction nulle
nous allons calculer la borne supérieure de la fonction hn(x) sur R. Pour le faire on va dresser
le tableau des variations du signe de la fonction dérivée h ′ n(x) = (n−2n 2x2 )e−nx2, x −∞ − 1
√ 2n
❅ ❅❅❘− n
2 e−1/2
1
√ 2n
h ′ n (x) −
0
0 + 0
n 2
−
hn(x)
✒
e−1/2
❅
❅❅❘
et à partir duquel on déduit que le maximum absolu de la fonction | hn(x) | défini une suite
numérique,
+∞
un = sup{| hn(x) | ;x ∈ R} =| hn(± 1
n
√ ) |=
2n 2 e−1/2 ,
qui tend vers l’infini lorsque l’entier n ∈ N tend vers +∞.
Par conséquent, sur R la suite de fonctions hn(x) = nxe −nx2
vers la fonction nulle h(x) = 0.
0
ne converge pas uniformément
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Convergence uniforme d’une suite de fonctions 35
−2
−1
2
1
−1
−2
h30(x)
1
h5(x)
Figure 2.3 – Graphes des fonctions h5 et h30
Observons que pour tout réel a > 0 la restriction de la suite de fonctions hn(x) sur les
intervalles de type ]−∞,−a] ou sur [a,+∞[ nous donne des fonctions décroissantes dont la
borne supérieure
sup{| hn(x) | /∀x ∈ R,| x | a} =| hn(±a) |= nae −na2
tend vers zéro quand l’entier n tend +∞. Donc, la suite de fonctions hn(x) converge unifor-
mément vers la fonction nulle sur tous les intervalles de la forme ]−∞,−a] et [a,+∞[.
Exercice 32. Soit f : R → R une fonction deux fois dérivables et dont la dérivée seconde
est bornée. Montrer que la suite de fonctions gn : R → R définie par
∀x ∈ R, gn(x) = n(f(x+ 1
n )−f(x))
converge uniformément vers la fonction dérivée f ′ .
Exercice 33. Sur le segment [0,1] on définit deux suites de fonctions par les expressions,
fn(x) = (x(1−x)) n +x et gn(x) = (1−x) n +x
a) Déterminer la limite simple de la suite de fonctions fn (resp. gn) sur le segment [0,1].
b) Montrer que la suite de fonctions fn converge uniformément sur le segment [0,1].
c) Montrer que pour tout réel a ∈]0,1[ la suite de fonctions gn converge uniformément sur le
segment [a,1].
d) La suite de fonctions gn converge-t-elle uniformément sur [0,1]?
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

36 Suites de fonctions
Exercice 34. Chercher la nature de convergence des suites de fonctions suivantes,
x2n n+x 2n, Arctg(nx),
cos(nx)
x 2 +n 2, kn(x) = (cos(x)) n sin(x)
Exercice 35. Soit f : [a,b] → R une fonction de classe C 1 . Pour tout entier n ∈ N et pour
tout réel x ∈ [a,b] on pose, fn(x) =
x
a
f(t)cos(nt)dt.
À l’aide d’une intégration par partie, montrer que la suite de fonctions fn converge uniforé-
ment vers la fonction nulle.
Exercice 36. Soit φn(x) une suite de fonctions continues sur [0,1] qui converge simplement
vers une fonction φ(x) sur [0,1], et soit fn(x) une suite de fonctions définies sur [0,1] par
les expressions,
fn(x) =
φn(x)(sin( π
x ))2 , si x ∈ [ 1
n ,1],
0 si x ∈ [0, 1
n ].
1) Montrer que la suite de fonctions fn(x) converge simplement vers une fonction f(x) que
l’on explicitera en fonction de φ(x).
2) Pour tout entier n 1 on pose : φn(x) = 2nx2
,∀x ∈ [0,1].
2nx+1
a) Déterminer les fonctions φ(x) et f(x). Sont-elles continues?
b) La suite de fonctions φn converge-t-elle uniformément vers φ(x)?
c) Montrer que la suite de fonctions fn converge unifomrément vers f(x).
3) Pour tout entier n 1 on pose : φn(x) = nx+n
,∀x ∈ [0,1].
nx+n+1
a) Déterminer la fonction φ(x) et dire est-ce que la suite de fonctions φn(x) converge unifor-
mément vers φ(x)?
b) La limite simple de la suite de fonctions fn(x) est-elle continue sur [0,1]?
c) La suite de fonctions fn(x) converge-elle uniformément vers f sur [0,1]?
4) Rafaire les questions a, b et c de la question 3 pour la suite de fonctions φn(x) définie sur
n
[0,1] par φn(x) =
nx+n+1 .
5) Si la suite de fonctions φn(x) est quelconque et converge uniformément sur [0,1] vers une
fonction φ(x) telle que φ(0) = 0 est-ce que la suite de fonctions fn(x) converge uniformément
vers f(x) sur [0,1]?
2.3 Théorèmes fondamentaux sur la convergence uniforme
2.3.1 Théorème de la continuité
Théorème 11. Si fn : [a,b] → R est une suite de fonctions continues qui converge unifor-
mément vers une fonction f : [a,b] → R, alors f est continue sur le segment [a,b].
Démonstration. Supposons que la suite de fonctions continues fn : [a,b] → R converge uni-
formément vers une fonction f : [a,b] → R et montrons que f est continue en tout point
x0 ∈ [a,b].
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Théorèmes fondamentaux sur la convergence uniforme 37
Puisque la suite de fonctions fn converge uniformément vers la fonction f donc pour un réel
donné ε > 0 on peut trouver un entier n0 ∈ N tel que pour tout entier n n0 et pour tout
réel x ∈ [a,b] on obtient l’inégalité,
| fn(x)−f(x) | sup{| fn(x)−f(x) | ;∀x ∈ [a,b]} < ε/3.
Notons que pour le même réel ε > 0 si on applique la continuité de la fonction f n0 au point
x0 ∈ [a,b] on pourra trouver un réel η > 0 tel que,
∀x ∈ [a,b], | x−x0 |< η =⇒ | f n0 (x)−f n0 (x0) |< ε/3.
Ainsi, si on coinsidère les réels x ∈ [a,b] qui vérifient la condition | x − x0 |< η on obtient
grâce à l’inégalité triangulaire
| f(x)−f(x0) | | f(x)−fn0 (x) | + | fn0 (x)−fn0 (x0) | + | fn0 (x0)−f(x0) |
< ε/3+ε/3+ε/3 = ε
Donc, la fonction f(x) est continue au point x0.
Corollaire 7. Si une suite de fonctions continues fn : [a,b] → R converge uniformément
alors pour tout réel x0 ∈ [a,b] on a la formule de la limite double :
lim ( lim
x→x0 n→+∞ fn(x)) = lim ( lim fn(x)))
n→+∞ x→x0
Exemple 17. Rappelons que dans l’exemple 15 (cf. 2) nous avons démontré que la suite de
fonctions continues gn(x) = x n +(1−x) n converge simplement sur le segment [0,1] vers la
fonction g : [0,1] → R qui est définie par les expressions suinvantes :
⎧
⎪⎨ 1 si x = 0
g(x) = 0 si 0 < x < 1
⎪⎩
1 si x = 1
Ainsi, puisque la limite simple g(x) n’est pas continue aux points 0 et 1 ∈ [0,1] le théorème
de continuité implique que la suite de fonctions gn(x) ne converge pas uniformément sur le
segment [0,1].
Exercice 37. Pour tout entier n 0 on pose :
fn(x) = n(x3 +x)e−x , ∀x ∈ [0,1]
nx+1
1) Montrer que la suite de fonctions fn(x) converge simplement sur [0,1] vers une fonction
f que l’on déterminera.
2) Montrer que pour tout entier n 0 on a l’inégalité
| fn(x)−f(x) |
2
, ∀x ∈ [0,1]
nx+1
3) En déduire que pour tout réel, a ∈]0,1[, la suite de fonctions fn converge uniformément
sur le segment [a,1].
4) La convergence de fn vers f est-elle uniforme sur [0,1]?
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

38 Suites de fonctions
2.3.2 Théorème de l’integration
Théorème 12. Soit fn : [a,b] → R une suite de fonctions continues qui converge uniformé-
ment vers une fonction f : [a,b] → R. Alors, la suite de fonctions primitives
Fn(x) =
x
a
fn(t)dt, ∀x ∈ [a,b]
converge uniformément sur le segment [a,b] vers la fonction primitive F(x) =
pour tout réel x ∈ [a,b] on a la formule
lim
n→+∞
x
a
fn(t)dt =
x
a
lim
n→+∞ fn(t)
dt
x
a
f(t)dt; et
Démonstration. Puisque la suite de fonctions fn converge uniformément sur le segment [a,b]
vers la fonction f, donc si on fixe un réel ε > 0 on peut trouver un entier n0 0 tel que pour
tout entier n n0,
∀t ∈ [a,b], | fn(t)−f(t) | sup{| fn(t)−f(t) | /∀t ∈ [a,b]} ε
b−a .
Ainsi, si pour tout entier n n0 on intègre la dernière inégalité sur le segment [a,x] ⊆ [a,b]
on obtient l’inégalité suivante
∀x ∈ [a,b],
x
a
fn(t)dt−
x
a
f(t)dt
qui montre que la suite de fonctions Fn(x) =
ment [a,b] vers la fonction F(x) =
x
a
f(t)dt.
x
a
x
a
| fn(t)−f(t) | dt x−a
ε ε
b−a
fn(t)dt converge uniformément sur le seg-
Exemple 18. Rappelons que dans l’exemple 16 (cf 3) nous avons démontré que la suite de
fonctions hn : R → R qui est définie par l’expression
∀x ∈ R, hn(x) = nxe −nx2
converge simplement vers la fonction nulle h(x) = 0,∀x ∈ R. Montrons alors que pour tout
réel a > 0 la suite de fonctions hn(x) ne converge pas uniformément sur le segment [0,a].
En effet, si dans l’intégrale simple définie
a
0
hn(x)dx =
a
on fait tendre l’entier n vers l’infini on voit que
lim
n→+∞
a
0
0
nxe −nx2
−1
dx =
2 e−nx2 a 1
=
0 2 (1−e−na2 )
hn(x)dx = 1
2 =
a
lim
n→+∞ hn(x)dx = 0
Donc, d’après le théorème de l’intégrabilité la suite de fonctions hn ne peut pas converger
uniformément sur le segment [0,a].
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
0

Théorèmes fondamentaux sur la convergence uniforme 39
Mise en garde : Le théorème de l’intégrabilité n’est pas valable pour les suites de fonctions
définies et intégrables sur un intervalle non borné. Pour prouver ce fait considérons la suite
de fonctions fn : R → R définies par les expressions suivantes :
⎧
0, si x n
⎪⎨
fn(x) =
2 −n
⎪⎩
n −2 (x−n 2 )+n −1 , si n 2 −n x n 2
−n −2 (x−n 2 )+n −1 , si n 2 x n 2 +n
0, si x n 2 +n
et où le graphe du terme général fn est représenté dans la figure suivante :
1
n
✻
✲
n2 n +n 2 n2 −n
Figure 2.4 – Graphe de la fonction fn : R → R
Notons que selon le graphe de la fonction fn(x) on voit que la borne supérieure de fn sur son
domaine de définition R est égale à
sup{| fn(x) | /∀x ∈ R} = 1
n
Donc, la suite de fonctions fn converge uniformément sur R vers la fonction nulle f(x) =
0,∀x ∈ R.
D’autre part, observons que pour tout entier n ∈ N et pour tout réel a ∈ R tel que n 2 −n > a
l’intégrale simple généralisée
+∞
a
fn(x)dx =
=
n 2 −n
fn(x) dx+
n 2 +n
+∞
fn(x)dx+
fn(x) dx
a
n2−n n2 n2 +n
n2 (n
−n
−2 (x−n 2 )+n −1 n2 +n
)dx+
n2 (−n −2 (x−n 2 )+n −1 )dx = 1.
Donc, dans l’expression precédente, si on fait tendre l’entier naturel n vers l’infini on voit que
lim
n→+∞
+∞
a
fn(x)dx = 1 =
+∞
a
lim
n→+∞ fn(x)dx = 0.
Ainsi, en conséquence de ce calcul, on conclut que le théorème de l’integrabilité ne s’applique
pas aux suites de fonctions qui convergent uniformément sur un intervalle I ⊆ R non borné.
Exercice 38. Sur le segment [0,π/2] on définit une suite de fonctions fn par l’expression
fn(x) = n(cos n (x))sin(x)
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

40 Suites de fonctions
1) Pour tout entier n ∈ N, calculer l’intégrale simple définie,
π/2
0
fn(x)dx.
2) La suite de fonctions fn converge-t-elle uniformément sur le segment [0,π/2]?
Exercice 39. Soit f : R → R une fonction continue. Pour tout entier n = 0 on définit une
fonction continue sur R par l’expression
fn(x) = f(x+ 1
n )
a) Calculer la limite simple de la suite de fonctions fn(x).
b) Pour tout couple de nombres réels a < b on pose un =
de la suite numérique un.
b
a
f(x+ 1
)dx. Calculer la limite
n
c) Que peut-on dire à propos de la convergence uniforme de la suite de fonctions fn sur un
segment [a,b] ⊆ R?
d) Étudier la nature de convergence de la suite de fonctions fn lorsque la fonction dérivée f ′
est bornée sur R.
e) Même question si on suppose que la fonction f est de classe C 1 non nécessairement bornée.
Exercice 40. Pour tout entier n 0 on définit une fonction par l’expression
∀x ∈ [0,1], fn(x) = 3 n (x 2n
−x 2n+1
)
1) Étudier la convergence simple de la suite de fonctions fn(x).
2) Pour tout réel x ∈ [0,1] comparer les deux limites suivantes,
3) Conclure.
lim
n→+∞
x
0
fn(t)dt et
x
0
lim
n→+∞ fn(t)dt
Exercice 41. Étant donnée une fonction continue, f : R+ → R + , dont l’intégrale simple
généralisée
+∞
0
f(t)dt converge et telle que f(0) = 0 on lui associe pour tout entier n 1
deux fonctions définies par les expressions suivantes :
∀x 0, fn(x) = f(nx) et gn(x) = f( x
n )
1) Montrer que la limite lim f(x) = 0.
x→+∞
2) Montrer que les deux suites de fonctions fn et gn convergent simplement sur R + vers la
fonction nulle.
3) Montrer que pour tout réel a > 0 la suite de fonctions fn converge unifomrément sur
l’intervalle [a,+∞[ et que la suite de fonctions gn converge unifomrément sur [0,a].
4) En déduire que la suite de fonctions fngn (produit) converge unifomrément sur R + .
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Théorèmes fondamentaux sur la convergence uniforme 41
2.3.3 Théorème de la dérivation
Théorème 13. Soit fn : [a,b] → R une suite de fonctions continues et dérivables sur l’in-
tervalle ]a,b[ telles que la suite des fonctions dérivées f ′ n
:]a,b[→ R converge uniformément
vers une fonction g :]a,b[→ R. S’il existe un point x0 ∈]a,b[ tel que la suite numérique fn(x0)
converge, alors la suite de fonctions fn : [a,b] → R converge uniformément vers une fonction
continue f : [a,b] → R qui est dérivable sur l’intervalle ]a,b[ et dont la fonction dérivée est
donnée par l’expression,
∀x ∈]a,b[, f ′ (x) = d
( lim
dx n→+∞ fn(x)) = lim
n−→+∞
dfn
(x) = g(x)
dx
Démonstration. On va dévelpper la preuve du théor`me en étapes élémentaires :
Étape 1 : Sous les hypothèses du théorème démontrons que la suite de fonctions fn est
uniformément de Cauchy.
En effet, puisque la fonction fn − fm : [a,b[→ R est continue sur le segment [a,b], donc si
on fixe un couple de nombres réels x0 et x ∈ [a,b] le théorème des accroissements finis nous
permet de trouver un réel c compris entre x et x0 tel que
fn(x)−fm(x) − fn(x0)−fm(x0) = (x−x0)
f ′ n (c)−f′ m (c)
Ainsi, puisque le réel | f ′ n(c) − fm(c) | sup{| f ′ n(x) − f ′ m(x) | ;x ∈]a,b[} on en déduit que
pour tout réel x ∈ [a,b],
| fn(x)−fm(x) | | fn(x0)−fm(x0) | + | x−x0 | sup{| f ′ n (x)−f′ m (x) | ;x ∈]a,b[}
| fn(x0)−fm(x0) | + | b−a | sup{| f ′ n (x)−f′ m (x) | ;x ∈]a,b[}.
D’autre part, puisque la suite des fonctions dérivées f ′ n est uniformément de Cauchy et la
suite numérique fn(x0) converge, donc pour tout réel ε > 0 on peut trouver un entier n0 ∈ N
tel que pour tout couple d’entiers m n n0 on a les inégalités suivantes :
sup{| f ′ n(x)−f ′ m(x) | ;x ∈]a,b[}
ε
2(b−a)
qui, grâce à ce qui précède, nous permettent de déduire que
et | fn(x0)−fm(x0) | ε
2
∀x ∈ [a,b], ∀n m n0 =⇒ | fn(x)−fm(x) | ε
Autrement dit, on a l’implication suivante
∀n m n0 =⇒ sup{| fn(x)−fm(x) | ;∀x ∈ [a,b]} ε
qui montre que la suite de fonctions fn : [a,b] → R est uniformément de Cauchy.
Étape 2 : Pour tout y ∈]a,b[ fixé montrons que la suite de fonctions continues, ϕn :]a,b[→ R,
définies par les expressions suivantes
⎧
⎨ fn(x)−fn(y)
, si x = y
ϕn(x) = x−y
⎩
(y), si x = y
f ′ n
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

42 Suites de fonctions
est uniformément de Cauchy sur son domaine de définition.
Notons d’abord que la suite de fonctions ϕn :]a,b[→ R converge uniformément sur l’intervalle
]a,b[ parce que, comme dans l’étape précédente, si on applique le théorème des accroissements
finis à la fonction fn−fm on peut trouver un réel c compris entre les nombres réels x = y et
qui permet d’écrire l’expression suivante
(fn(x)−fm(x))−(fn(y)−fm(y)) = (x−y)(f ′ n (c)−f′ m (c)),
=⇒ ϕn(x)−ϕm(x) = f ′ n (c)−f′ m (c),
Ainsi, puisque pour x = y on a par définition ϕn(y) = f ′ n (y) on voit que si on majore le réel
f ′ n(c)−f ′ m(c) par la borne supérieure de la fonction fn −fm sur ]a,b[ on obtient l’inégalité
suivante
∀x ∈]a,b[, | ϕn(x)−ϕm(x) | sup{| f ′ n (x)−f′ m (x) | ;x ∈]a,b[}
et qui implique la suivante,
sup{| ϕn(x)−ϕm(x) | ;∀x ∈]a,b[} sup{| f ′ n(x)−f ′ m(x) | ;x ∈]a,b[}
Par conséquent, puisque la suite des fonctions dérivées f ′ n est uniformément de Cauchy sur
l’intervalle ]a,b[ on en déduit que la suite de fonctions ϕn est uniformément de Cauchy sur
l’intervalle ]a,b[.
Étape 3 : Désignons par f : [a,b] → R la limite uniforme de la suite de fonctions fn et
observons que si on applique la formule de la limite double à suite de fonctions continues ϕn
on obtient pour tout y ∈]a,b[,
f(x)−f(y)
lim
x→y x−y
x=y
fn(x)−fn(y)
= lim lim
x→y n→+∞ x−y
x=y
= lim
x→y
x=y
lim
n→+∞ ϕn(x)
= lim
n→+∞
lim ϕn(x)
x→y
x=y
= lim
n→+∞ f′ n(y)
Par conséquent, la limite uniforme f de la suite de fonctions fn est dérivable sur l’intervalle
]a,b[ et sa dérivée est donnée par l’expression :
∀y ∈]a,b[, f ′ (y) = lim
n→+∞ f′ n (y) ⇐⇒
d
( lim
dx n→+∞ fn) = lim
n→+∞
d
dx (fn).
Mise en garde : Dans ce paragraphe, nous allons discuter deux questions qui se posent à
propos des suites de fonctions dérivables uniformément convergentes.
1) La convergence uniforme d’une suite de fonctions dérivables fn : [a,b] → R n’implique pas
que la suite des fonctions dérivées f ′ n
: [a,b] → R converge simplement.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Théorèmes fondamentaux sur la convergence uniforme 43
Pour voir ceci considèrons la suite de fonctions dérivables fn(x) = cos(nx)
qui converge
n
(x) = sin(nx)
uniformémentversla fonction nulle; parcontrela suitedes fonctions dérivées f ′ n
n’a pas de limite.
2) La limite uniforme d’une suite de fonctions dérivables peut être non dérivable.
Pour comprendre ce phénomène considérons la suite de fonctions dérivables
∀x ∈ [−1,1], fn(x) =
x 2 + 1
n 2
et montrons que la suite de fonctions fn(x) converge uniformémentsur le segment [−1,1] vers
la fonction, f(x) =| x | .
En effet, puisque pour tout réel x ∈ [−1,1] on a l’inégalité
| x |
x2 + 1
| x | +1
n2 n
on en déduit que la borne supérieure
⇐⇒ 0
sup{| fn(x)−f(x) | ;∀x ∈ [−1,1]} 1
n
x2 + 1 1
n2− | x |
n
Donc, la suite de fonctions fn converge uniformément sur le segment [−1,1] vers la fonction
f(x) =| x | qui est non dérivable au point x = 0.
Il faut noter que l’exemple de la suite de fonctions dérivables fn(x) = x2 + 1
ne contredit
n2 pas le résultat du théorème de la dérivabilité parce que la suite des fonctions dérivées
f ′ n (x) =
x
x 2 + 1
n 2
converge simplement vers la fonction
g(x) = lim
n→+∞ f′ ⎧
⎪⎨
n(x) =
⎪⎩
,∀x ∈ [−1,1]
−1, si −1 x < 0
0, si x = 0
1, si 0 < x 1
qui est discontinue; et donc la suite de fonctions f ′ n(x) ne converge pas uniformément sur
]−1,1[. Autrement dit, la suite de fonctions d’érivables fn ne remplit pas toutes conditions
du théorème de la dérivabilité.
Exercice 42. On considère la suite de fonctions fn(x) = xe −nx2
1) Montrer que la suite de fonctions fn converge uniformément sur R.
où x ∈ R.
2) Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions dérivées f′ n (x).
3) Pour tout x ∈ R, comparer les quantités d
dx
conclure?
( lim
n→+∞ fn(x)) et lim
n−→+∞
dfn
(x). Que peut-on
dx
Exercice 43. Soit fn : R + → R le terme général d’une suite de fonctions définies par les
expressions suivantes :
x
sin( ), si 0 x nπ,
fn(x) = n
0, si x nπ.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

44 Suites de fonctions
a) Calculer la limite simple de suite de fonctions fn sur R + .
b) Déterminer l’expression de la suite de fonctions dérivées f ′ n
uniforme sur R + .
c) La suite de fonctions fn converge-t-elle uniformément?
et étudier sa convergence
Exercice 44. Dans cet exercice on se propose de montrer que la fonction f(x) = √ x est une
limite uniforme d’une suite de fonctions polynômiales définies sur le segment [0,1].
Sur le segment [0,1] on définit une suite de fonctions polynômiales Pn(x) par la relation de
récurrence,
∀x ∈ [0,1],
P0(x) = 0
Pn+1(x) = Pn(x)+ 1
2 (x−P2 n(x)), ∀n ∈ N ∗
1) Par récurrence, montrer que pour tout réel x ∈ [0,1],
0 Pn(x)− √ x √ x(1− 1√
n
x) .
2
2) Vérifier que la suite de fonctions, fn(x) = x(1− x
2 )n , converge uniformément sur le segment
[0,1] vers la fonction nulle.
3) En déduire que la suite de fonctions polynômiales Pn(x) converge uniformément sur le
segment [0,1] vers la fonction f(x) = √ x.
4) Déterminer la limite uniforme sur le segment [0,1] de la suite de polynômes Pn(x 2 ).
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Chapitre Trois
Les séries de fonctions
3.1 Définitions et propriétés
Soient I ⊂ R un intervalle et fn : I → R une suite de fonctions.
1. Pour tout entier naturel n 0 on définit la somme partielle des (n+1)-premiers termes
de la suite fn par l’expression,
∀x ∈ I, Sn(x) = f0(x)+f1(x)+···+fn(x)
2. Le couple des suites de fonctions (fn,Sn) s’appelle série de fonctions de termes général
fn et le sous-ensemble
J = {x ∈ I ;Sn(x) converge }
s’appelle domaine de convergence simple de la série de fonctions (fn,Sn).
3. Si le domaine de convergence simple J ⊂ I de la suite de fonctions de terme général Sn
est non vide on définit une fonction S : J → R par l’expression,
S(x) = lim
n→+∞ Sn(x) =
fn(x), ∀x ∈ J
qu’on appellera limite simple de la série de fonctions de terme général fn.
n0
4. En plus, si la suite de fonctions Sn converge uniformément vers la fonction S(x) sur le
domaine J ⊂ I on dira que la série de fonctions de terme général fn converge uniformé-
ment vers la fonction S : J → R.
Exercice 45. Si une série de fonctions, fn(x), converge simplement (resp. uniformément)
sur un sous-ensemble non vide J ⊆ R, son terme général fn(x) converge simplement (resp.
uniformément) sur J vers la fonction nulle.
Exercice 46. Pour qu’une série de fonctions, fn(x), converge simplement (resp. unifor-
mément) sur un sous-ensemble non vide J ⊆ R il faut et il suffit que la suite des restes
Rn(x) =
kn+1
fn(x), ∀x ∈ J
converge simplement (resp. uniformément) sur J vers la fonction nulle.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

46 Les séries de fonctions
Dans la suite de ce chapitre, afin d’alléger les notations pour toute fonction bornée f : I → R
nous poserons
f ∞ := sup{| f(x) | ;∀x ∈ I}
Exercice 47. Soit I ⊆ R est un intervalle non vide. On désigne par B(I,R) l’espace vectoriel
réel des fonctions bornées sur l’intervalle I.
1) Montrer que l’application · ∞ : B(I,R) → R + est une norme.
2) Montrer que l’espace vectoriel normé (B(I,R),· ∞) est complet. C’est-à-dire, montrer que
toute suite de Cauchy d’éléments de l’espace normé (B(I,R),· ∞) converge dans B(I,R).
3) Montrer que le sous-espace vectoriel réel, C(I,R), des fonctions continues sur l’intervalle
I est fermé dans l’espace normé (B(I,R),· ∞).
Définition 9. On dira que la série de fonctions bornées, fn : I → R, converge normalement
(ie. en normes) si la série numérique
fn∞ est convergente.
n0
Théorème 14. Une série de fonctions bornées qui converge normalement sur un intervalle
non vide I ⊆ R converge uniformément sur I.
Démonstration. Supposons que la série de fonctions de terme général fn : I → R converge
normalement sur I. Donc, pour tout réel ε > 0 on peut trouver un entier n0 tel que
∀n,m ∈ N, n m n0 =⇒ fm ∞ +···+fn ∞ < ε
Ainsi, en appliquant l’inégalité triangulaire pour la norme · ∞ on voit que
n m n0 =⇒ fm +···+fn ∞ fm ∞ +···+fn ∞ < ε
Donc, la série de fonctions
fn converge uniformément sur l’intervalle I.
n0
Le théorème suivant qui est très efficace pour prouver qu’une série de fonctions bornées
converge normalement (resp. uniformément).
Théorème 15 (Weierstrass). Soient an 0 une suite et fn : I → R une suite de fonctions
bornées telles que pour tout x ∈ I, | fn(x) | an. Si la série numérique
an converge alors
la série de fonctions
fn(x) converge normalement sur I.
n0
Démonstration. En effet, puisque pour tout réel x ∈ I on a l’inégalité | fn(x) | an cela
impliquequela normedeconvergence uniformefn∞ an. Ainsi, comme la série numérique
an convergeil s’ensuitquelasérienumérique
fnconverge.Donc, lasériedefonctions
n0
bornées
fn(x) convergence normalement sur I.
n0
En général, pour étudier la nature de convergence d’une série de fonctions bornées de terme
général fn : I → R on suit les étapes suivantes :
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
n0
n0

Définitions et propriétés 47
Etape 1 : On cherche le domaine de convergence simple.
Pour un réel fixé x0 ∈ I on étudie la nature de convergence de la série numérique
fn(x0)
en lui appliquant les critères et les règles de convergences étudiés dans le chapitre 1 consacré
aux séries numériques.
Cette étape nous permet donc d’identifier le domaine de convergence simple de la série de
fonctions fn : I → R i.e.
Il y aura deux cas possibles :
J = {x ∈ I/
fn(x0) ; converge}
n0
– Si le domaine de converge simple de la série de fonctions fn est vide (i.e. J = ∅) on arrête
l’étude et on déclare que la série de fonctions fn ne converge pas.
– Si le domaine de convergence simple de la série de fonctions fn est non vide (i.e. J = ∅)
on passe alors à l’étape suivante.
Etape 2 : On cherche le domaine de convergence uniforme.
Pour étudier la convergence uniforme de la série de fonctions fn sur le sous domaine de
convergencesimpleJ ⊆ Iiln’yapasdeméthodesgénérales.Toutefois,àchaquecasparticulier
de séries de fonctions il y a sa méthode spécifique qui permet d’avoir des renseignements sur
la convergence uniforme.
Les méthodes et techniques qu’on applique le plus souvent pour trouver la nature de conver-
gence uniforme peuvent être résumés dans les points suivants :
1. On étudie la nature de convergence uniforme de la suite des sommes partielles
∀x ∈ J, Sn = f0 +f1 +···+fn
Cette étude nous invite donc à appliquer à la suite de fonctions Sn toutes les méthodes
étudiées dans le chapitre 2 consacré à l’étude des suites de fonctions.
2. Pourchaqueentier n 0on calcule (ou on majore) lanormedela convergenceuniforme
du terme général de la série de fonctions i.e. :
fn∞ = sup{| fn(x) | ;x ∈ J}
etainsisilasérienumérique
fn∞ convergelethéorèmedeWeierstrass nouspermet
n0
de conclure que la série de fonctions
fn converge normalement sur J, et par suite la
série converge uniformément sur J.
n0
Exemple 19. 1) Cherchons la nature de convergence de la série de fonctions dont le terme
général est défini sur le segment [0,1] par,
un(x) = x n , ∀x ∈ [0,1]
Notons que puisque un(x) est le terme général d’une suite géométrique de raison x on déduit
que la somme partielle
⎧
k=n ⎨ n+1 si x = 1
Sn(x) = uk(x) =
⎩
1−x
k=0
n+1
si x = 1
1−x
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
n0

48 Les séries de fonctions
Donc, la série de fonctions un(x) converge simplement sur l’intervalle [0,1[ vers la fonction
Notons que puisque le reste d’ordre n 1
S(x) = 1
, ∀x ∈ [0,1[
1−x
Sn(x)−S(x) = − xn+1
1−x
n’est pas borné sur l’intervalle [0,1[ on en déduit que la série de fonctions
x n ne converge
pas uniformément sur l’intervalle [0,1[. Cependant, si pour tout réel a ∈]0,1[ on restreint les
fonctions un(x) sur le segment [0,a] ⊂ [0,1[ on voit que la borne supérieure
un ∞ = sup{un(x)/0 x a < 1} = a n
et ainsi on en déduit que la série de fonctions,
x n , converge normalement sur le segment
[0,a] vers la fonction S(x) = 1
1−x .
2) Cherchons la nature de convergence de la série de fonctions fn définies sur R par,
n0
∀x ∈ R, fn(x) =
Observons que puisque pour tout x ∈ R on a l’inégalité
1
n 2 +x 2
n0
∀n ∈ N ∗ , 0 < fn(x) 1
n 2 =⇒ ∀n ∈ N∗ , fn ∞ 1
n 2
Donc, puisque la série de Riemann
la série de fonctions
n1
n1
1
converge le théorème de Weierstrass implique que
n2 1
n2 converge normalement sur R.
+x2 3) Cherchons la nature de convergence de la série de fonctions gn définies sur R par,
∀x ∈ R, gn(x) =
1
1+n 2 x 2
1
1+n 2
(x0) 2
a) Notons que puisque pour x0 = 0 le terme général
de Riemann 1
converge on en déduit que la série de fonctions
n2 n1
n0
simplement sur R∗ .
b) Notons aussi que puisque la borne supérieure,
on en déduit que la série de fonctions
sup{| gn(x) | ;∀x ∈ R ∗ } = 1
n0
1
n2 et la série
(x0) 2
1
1+n 2 converge
x2 1
1+n 2 x 2 ne converge pas normalement sur R∗ .
Toutefois, si pour tout réel a > 0 on restreint la suite de fonctions gn(x) sur le sous-ensemble
{x ∈ R ;| x | a} on voit que la borne supérieure
gn ∞ = sup{| gn(x) | / | x | a} =
1
1+n 2 a 2
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Théorèmes fondamentaux de la convergence uniforme 49
ce qui implique que la série de fonctions
sous-ensembles {x ∈ R ;| x | a} avec a > 0.
n0
1
1+n 2 converge normalement sur tous les
x2 Exercice 48. Trouver le domaine et la nature de convergence des séries de fonctions sui-
vantes :
1.
(Log(x))
n1
n , 1
n
n1
2 −x2, n0
2. sin(nx)
n
n1
2 ,
sin(
n1
x sin(nx)
3n), √ .
n
n1
x 4n
1+x 2n.
Exercice 49. Sur le segment [0,1] on définit une suite de fonctions par les expressions :
un(x) =
−x n+1 Log(x) si 0 < x 1
0 si x = 0
1) Déterminer le maximum absolu de la fonction un(x) sur le segment [0,1].
2) Montrer que les séries de fonctions
(−1) n un(x) et
un(x) convergent simplement sur
n0
le segment [0,1] et calculer leurs sommes respectives.
3) Déterminer pour chacune des séries de fonctions
(−1) n un(x) et
un(x) son domaine
de convergence uniforme?
Exercice 50. Soient a > 0 et b ∈ R des réels fixés. On définit sur R deux suites de fonctions
par les expressions suivantes :
un(x) =
1 si n = 0
e −na cos(nbx) si n = 0
n0
et vn(x) =
n0
n0
0 si n = 0
e −na sin(nbx) si n = 0
Montrer que les séries de fonctons de termes généraux un(x) et vn(x) convergent normalement
sur R et calculer leurs sommes U(x) =
un(x) et V(x) =
vn(x).
n0
Indication : Considérer la série de fonctions
n0
n0
un(x)+ivn(x)
où (i) 2 = −1.
3.2 Théorèmes fondamentaux de la convergence uniforme
On rappelle que la nature de convergence d’une série de fonctions
fn(x) s’obtient en
étudiant la nature de convergence de la suite de fonctions des sommes partielles associée
p=n
Sn(x) = fn(x). Par exemple, si on veut étudier la continuité, la dérivabilité ou chercher
p=0
une primitive de la fonction S(x) =
fn(x) sur le domaine de convergence simple de la
n0
suite de fonction Sn(x) il suffit qu’on lui applique respectivement les théorèmes de continuité,
de dérivabilité ou d’integrabilité et qui s’énoncent comme suit.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
n0

50 Les séries de fonctions
Théorème 16 (Continuité). Soit fn : [a,b] → R une suite de fonctions continues. Si la suite
de fonctions des sommes partielles, Sn(x) = f0(x)+f1(x)+···+fn(x), converge uniformément
sur le segment [a,b] alors la fonction
est continue sur le segment [a,b].
S(x) =
fn(x)
n0
Théorème 17 (Intégrabilité). Soit fn : [a,b] → R une suite de fonctions continues. Si
la suite de fonctions des sommes partielles, Sn(x) = f0(x) + f1(x) + ··· + fn(x), converge
uniformémen sur le segment [a,b] alors pour tout x ∈ [a,b] on a la formule
x
a
lim
n→+∞ Sn(t)dt
x
= lim
n→+∞
a
Sn(t)dt ⇐⇒
x
a
n0
fn(t) dt =
n0
x
a
fn(t)dt
Théorème 18 ( Dérivabilité ). Soit fn : [a,b] → R une suite de fonctions continues, déri-
vables sur l’intervalle ]a,b[ et telles que la suite des sommes partielles des fonctions dérivées,
S ′ n (x) = f′ 0 (x)+f′ 1 (x)+···+f′ n (x), converge uniformément sur ]a,b[.
S’il existe un x0 ∈]a,b[ tel que la série numérique
fn(x0) converge alors la fonction,
n0
S(x) =
fn(x)
n0
est continue sur le segment [a,b] et est dérivable sur l’intervalle ouvert ]a,b[. De plus, pour
tout x ∈]a,b[ on a la formule de dérivation,
S ′ (x) = d
dx
n0
fn(x)
=
n0
f ′ n (x)
Dans l’exemple suivant on va expliquer comme on e applique les théorèmes précédents pour
examiner la continuité et la dérivabilité des fonctions définies au moyen d’une série de fonc-
tions.
Exemple 20. Montrons que la série de fonctions, F(x) =
dérivable sur R.
a) Continuité de la fonction x ↦−→ F(x) sur R
Pour tout entier n 1 posons fn(x) =
n1
1
x2 +n2, définit une fonction
1
x2 et notons que la norme de convergence
+n2 uniforme, fn∞ = sup{| fn(x) | ;∀x ∈ R} = 1
n2. Ainsi, puisque la série de Riemann
n1
converge le théorème de Weierstrass implqiue que la série de fonctions
fn(x) convergence
normalement (donc uniformément) sur R. Par conséquent, comme le terme général fn(x) est
continu sur R il s’ensuit que la fonction F(x) est continue sur R.
b) Dérivabilité de la fonction x ↦−→ F(x) sur R
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
n1
1
n 2

Théorèmes fondamentaux de la convergence uniforme 51
D’après le théorème de dérivabilité pour montrer que la fonction F(x) =
fn(x) est dé-
rivable su R il suffit qu’on démontre que la série des fonctions dérivées
uniformément sur R.
En effet, puisque la fonction dérivée, f ′ n (x) =
et donc le tableau des variations de f ′ n (x) =
x −∞ − n √ 3
n1
f
n1
′ n
(x) converge
−2x
(x2 +n2 ) 2, on en déduit que la dérivée seconde
f (2)
n (x) = 2(3x2 −n 2 )
(x 2 +n 2 ) 3
−2x
(x2 +n2 est donné par :
) 2
f (2)
n (x) + 0 − 0 +
f ′ n (x)
0
✒
3 √ 3
8n 3
n√ 3
❅
❅❅❘−
3 √ 3
8n3 ✒
Par conséquent, puisque la norme de convergence uniforme,
f ′ n ∞ = sup{| f ′ n (x) | ;x ∈ R} = 3√ 3
8n 3
et la série de Riemann 1
converge le théorème de Weiestrass implique que la série
n3 des fonctions dérivées
converge normalement (donc uniformément) sur R, donc le
n1
f ′ n
théorème de la dérivation implique que la fonction F(x) est dérivable sur R et que sa fonction
dérivée est donnée en tout point x ∈ R par,
F ′ (x) =
n1
−2x
(x 2 +n 2 ) 2
Pour finir ce chapitre nous allons démontrer le théorème d’Abel pour les séries de fonctions
et nous l’appliquerons à certains exemples de séries de fonctions.
Théorème 19 (Abel). Soient an et fn : [a,b] → R deux suites de fonctions. Pour que la
série de fonctions
an(x)fn(x) converge uniformément sur le segment [a,b] il suffit qu’on
n0
a les conditions suivantes :
1. Il existe un réel M > tel que pour tout entier n ∈ N,
k=0
+∞
k=n
i=n
an = sup{ ai(x) ;x ∈ [a,b]} < M
2. La série de fonctions
fn+1(x)−fn(x) converge uniformément sur [a,b].
n0
i=0
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
0

52 Les séries de fonctions
3. La suite de fonctions fn converge sur le segment [a,b] uniformément vers la fonction
nulle.
Démonstration. Dans cette preuve, sous les hypothèses du théorème, nous allons vérifier que
la somme partielle de la série de fonctions
an(x)fn(x) est une suite uniformément de de
n0
Cauchy. Pour cela pour tout entier n 0 posons
i=n
i=n
Sn(x) = ai(x)fi(x) et An(x) = ai(x)
i=0
et pour tout couple d’entiers 0 m < n développons la différence Sn(x) − Sm(x) comme
suit :
Sn(x)−Sm(x) =
=
=
=
i=n
i=m+1
i=n
i=m+1
i=n
i=m+1
i=n
i=m+1
ai(x)fi(x)
(Ai(x)−Ai−1(x))fi(x)
Ai(x)fi(x)−
= An(x)fn(x)+
i=n
i=m+1
Ai−1(x)fi(x)
i=n−1
Ai(x)fi(x)− Ai(x)fi+1(x)
i=n−1
i=m+1
i=m
i=1
Ai(x)(fi(x)−fi+1(x))−Am(x)fm+1(x).
Maintenant, si on remarque que la suite de fonctions An(x) est uniformément bornée (i.e
conditions 1) et que la suite de fonctions fn(x) converge uniformément (i.e condition 3) vers
la fonction nulleon déduit donc queles deux suites de fonctions An(x)fn(x) et Am(x)fm+1(x)
convergent uniformément sur le segement [a,b] vers la fonction nulle.
D’autre part, si on applique la condition 1) on obtient la majoration suivante :
∀x ∈ [a,b],|
i=n−1
i=m+1
i=n−1
Ai(x)(fi(x)−fi+1(x)) | M
i=m+1
Enfin, puisque 2) implique que la suite des sommes partielles
| fi(x)−fi+1(x) | .
i=n
i=0
| fi(x) − fi+1(x) | est
uniformément de Cauchy sur le segement [a,b], l’inégalité précédente permet de conclure
i=n
que la suite des sommes partielles Sn(x) = ai(x)fi(x) est uniformément de Cauchy sur
i=0
le segment [a,b]. Donc, la série de fonctions
segment [a,b].
n0
an(x)fn(x) converge uniformément sur le
Lethéorèmed’Abelqu’onvientdedémontreradmetdeuxénoncésparticuliersqu’onrencontre
le plus souvent en pratique. Nous les énoncerons sous forme de deux corollaires.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Théorèmes fondamentaux de la convergence uniforme 53
Corollaire 8. Soient an et fn : [a,b] → R deux suite de fonctions. Pour que la série de
fonctions
an(x)fn(x) converge uniformément sur le segment [a,b] il suffit qu’on ait les
n0
conditions suivantes :
1. Il existe un réel M > 0 tel que pour tout n ∈ N,
k=n
i=n
an = sup{ ai(x) ;x ∈ [a,b]} < M
k=0
i=0
2. La suite de fonctions fn est décroissante (i.e. fn+1(x) fn(x)) et converge uniformé-
ment sur [a,b] vers la fonction nulle.
Démonstration. Remarquer que la condition fn+1(x) fn(x) permet de déduire que la suite
des sommes partielles,
i=n
i=0
| fi(x)−fi+1(x) |= f0(x)−fn+1(x)
converge uniformément et puis appliquer le théorème de Abel.
Corollaire 9 ( Leibniz ). Soit fn : [a,b] → R une suite de fonctions. Si la suite de fonctions
fn est décroissante (i.e fn+1(x) fn(x)) et converge uniformément sur le segment [a,b] vers
la fonction nulle, alors la série de fonctions
(−1) n fn(x) converge uniformément sur le
segment [a,b].
Démonstration. Remarquer que si pour tout entier n 0 et tout réel x ∈ [a,b] on pose
an(x) = (−1) n i=n
on vérifie que la somme partille, | ai(x) |= 1 ou 0, donc uniformément
bornée.
Exemple 21. Cherchons la nature de convergence des séries de fonctions,
n1
sin(nx)
n
n0
i=0
et
n1
cos(nx)
n
Rappelons que la somme partielle de la suite géométrique de raison, e ix ∈ C, est donnée par
l’expression :
p=n
En(x) =
i=0
e ipx = 1−ei(n+1)x
1−e ix
= e−i(n+1)x/2 −ei(n+1)x/2 e−ix/2 −eix/2 e inx/2
et que pour tout réel x ∈ 2πZ le module de la somme partielle En(x) est égale à
| En(x) |= sin((n+1)x/2)
sin(x/2)
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

54 Les séries de fonctions
Ainsi, comme la partie réelle (resp. imaginaire) du nombre complexe En(x) est égale à l’ex-
pression
p=n
ℜ(En(x)) = cos(px) resp. Im(En(x)) = sin(px)
p=0
on déduit qu’on a les deux inégalités suivantes
p=n
sin(px)
p=0
1
| sin(x/2) |
et
p=n
cos(px)
p=0
p=n
p=0
1
| sin(x/2) |
Enfin, observons que si on fixe un réel α ∈]0,π[ on voit que pour tout x ∈ [α,2π −α] on a
p=n
sin(px)
p=0
1
| sin(α/2) |
et
p=n
cos(px)
p=0
1
| sin(α/2) |
Par conséquent, si on se donne une suite décroissante de fonctions continues fn : [α,2π−α] →
R (i.e. fn+1 fn) et qui converge uniformément vers la fonction nulle, le théorème d’Abel
implique que les deux séries de fonctions suivantes :
f(x) =
fn(x)sin(nx) et g(x) =
fn(x)cos(nx)
n0
convergent uniformément, donc elle définissent deux fonctions continues sur [α,2π −α].
n0
Par exemple, pour tout réel α ∈]0,π[ les deux séries de fonctions
f(x) =
n1
sin(nx)
n
sont continues sur le segment [α,2π −α].
et g(x) =
n1
cos(nx)
n
Exercice 51. Calculer la somme des séries de fonctions suivantes :
e−nx
, nxe
n −nx2
n1
n0
et
n1
1
n (cos(x))n sin(nx).
Exercice 52. Montrer que pour tout réel α > 2 la série de fonctions,
une fonction de classe C 1 sur R.
n1
cos(nx)
n α , définit
Exercice 53. Soit a ∈ R un paramètre. Sur R on définit une suite de fonctions par,
∀n ∈ N, fn(x) = n a x 2 e −nx2
1) Montrer que la suite de fonctions fn converge uniformément sur R si et seulement, si le
paramètre a < 1.
2) Montrer que la série de fonctions fn converge normalement si et seulement, si le paramètre
a < 0.
k=n
3) On suppose a = 1. Calculer la dérivée de la fonction, e −kx2
, et en déduire
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
k=1

Théorèmes fondamentaux de la convergence uniforme 55
k=n
– l’expression de la somme partielle Sn(x) = fn(x);
k=1
– la somme S(x) = lim
n→+∞ Sn(x);
– la série de fonctions fn ne converge pas uniformément.
Exercice 54. Sur le segment [−1,1] on définit une suite de fonctions par l’expresssion
∀n ∈ N ∗ , fn(x) = xnsin(nx) n
1) Montrer que la série de fonctions
fn converge simplement sur le segment [−1,1] vers
n1
une fonction qu’on notera f.
2) Montrer que la limite simple de la série de fonctions
]−1,1[.
n1
fn est de classe C 1 sur l’intervalle
3) En dérivant la série de fonctions,
fn, montrer que pour tout x ∈ [−1,1],
n1
xsin(x)
f(x) = arctg
1−xcos(x)
Applications : Calculer la somme des séries suivantes :
n1
sin(n)
n
, (−1) nsin(n)
n
n1
et
n1
sin(2n)
n
Exercice 55. a) Trouver le domaine de convergence simple de la série de fonctions de terme
général, un(x) = 1
√ n
x+1
2x−1
n
.
b) Montrer que la série de fonctions
un(x) converge normalement sur ]−∞,−1].
n1
c) Montrer que la série de fonctions dérivées
n1
u ′ n (x) converge uniformément sur ]−∞,−1].
En déduire que la série
un(x) définit une fonction de classe C1 sur ]−∞,−1].
n1
Exercice 56. Pour tout réel x on pose f(x) =
n1
1) Montrer que f est bien définie sur R, périodique et paire.
2) Montrer que f est continue sur R.
3) Est-ce que f est dérivable sur R?
1
n! arcos(cos(nx)).
Exercice
57. Dans cette exercice on se propose de montrer que l’intégrale simple généralisée
+∞ cos(tx)
I(x) =
0 et +1 dt définit une fonction de classe C∞ sur R.
I) Pour tout réel x on pose : f(x) =
n1
(−1) n−1n n2 .
+x2 a) Déterminer le domaine de définition de la fonction f.
b) Montrer que la fonction f est de classe C ∞ sur son domaine de définition.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

56 Les séries de fonctions
II) Pour tout entier n ∈ N on pose : In(x) =
+∞
0
e −nt cos(tx)dt.
a) Montrer que pour tout réel x ∈ R les intégrales généralisée I(x) et In(x) convergent.
b) Montrer que pour tout entier n 1 et pour tout réel x = 0 on a,
p=n−1
I(x)−
p=0
(−1) p Ip(x) = (−1) n
+∞
0
e−ntcos(tx) et dt.
+1
+∞ e
c) En montrant que lim
n→+∞
0
−ntcos(tx) et dt = 0; déduire que l’intégrale généralisée I(x)
+1
est une fonction de classe C∞ sur R.
Exercice 58. Dans cet exercice on se propose de calculer l’intégrale généralisée,
I =
1
au moyen d’une série numérique convergente.
0
xLog(x)
x−1 dx
1) Soit fn : [0,1] → R le terme général d’une suite de fonctions continues définies pour tout
entier n 1 par les expressions,
⎧
⎪⎨
0 si x = 0,
x
fn(x) =
⎪⎩
nLog(x) si 0 < x < 1,
x−1
1 si x = 1.
a) Calculer la limite simple de la suite de fonctions fn.
b) Calculer la norme de convergence uniforme fn∞.
c) Est-ce que la suite de fonctions fn converge uniformément sur le segment [0,1]?
d) Calculer la limite simple de la série de fonctions
fn(x).
2) a) Montrer que pour tout entier n 1 l’intégrale simple généralisée
1
In =
0
converge et la calculer.
p=n
b) Montrer que pour tout entier n 1, I+
n1
fn(x)dx
1
Ip =
p=1 0
xn+1Log(x) dx.
x−1
c) Montrer que la fonction f : [0,1] → R définie par les expressions,
est continue.
⎧
⎪⎨
0 si x = 0
xLog(x)
f(x) = si x ∈]0,1[
⎪⎩
x−1
0 si x = 1
d) En déduire que l’intégrale généralisée I converge vers une série numérique de Riemann
convergente que l’on déterminera.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Théorèmes fondamentaux de la convergence uniforme 57
Exercice 59. Montrer que les deux fonctions de Riemann
classe C ∞ sur l’intervalle ]1,+∞[.
Exercice 60. Pout tout réel x ∈] − 1,1[ on pose f(x) =
fonction f est de classe C ∞ sur l’intervalle ]−1,1[.
n1
n1
(−1) n−1
nx et 1
sont de
nx n1
(−1) n−1
. Démontrer que la
n+x
Exercice 61. Montrer que la série de fonctions 1
n Arctg(x)
converge normalement sur
n
tout intervalle bonré et que sa somme est une fonction dérivable sur R.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
n1

Chapitre Quatre
Les séries entières
4.1 Propriétés du domaine de convergence
4.1.1 Définitions et exemples
Définition 10. Soit an ∈ C une suite de nombres complexes.
1. On appelle série entière toute série de fonctions de la forme
an(z −z0) n
où z,z0 ∈ C
n0
2. Le sous-ensemble D ⊆ C des nombres complexes z qui induisent une série entière
convergente
an(z −z0) n s’appelle domaine de convergence.
n0
Les séries entières sont un cas particulièr des séries de fonctions dont le terme général est
un monôme de type, un(z) = an(z − z0) n . Théoriquement pour chercher leurs domaines
de convergence simple ou uniforme on pourra leurs appliquer les résultats du chapitre 3.
Notamment, si les éléments an, z et z0 ∈ C pour prouver que la somme
an(z −z0) n
définit une fonction continue, intégrable ou dérivable on peut lui appliquer les théroèmes
fondamentaux sur la convergence uniforme des séries de fonctions étudiés au chapitres 2 et 3.
Notons que si on effectue le changement de variable u = z − z0 on déduit que l’étude de
la convergence des séries entières de la forme
an(z −z0) n se ramèrne à l’étude des séries
n0
centrées à l’origine
anz n . En conséquence, si on désigne par D ⊆ C le domaine de conver-
n0
gence simple de la série entière
anz n donc le sous-ensemble translaté D+z0 est égal au
n0
domaine de convergence simple de la série entière
an(z −z0) n .
Suite à cette remarque on conclut que l’étude des séries entières peut être développée que
pour les séries entières centrée à l’origine sans perdre la généralités.
Exemple 22. 1) Soit a = 0 un nombre complexe. Cherchons le domaine de convergence de
la série entière
n0
a n z n et calculons sa somme.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
n0
n0

Propriétés du domaine de convergence 59
Puisque tout tout nombre complexe z0 = 0 la série numérique
n0
a n z n 0
est une série géomé-
trique, elle converge si et seulement si le module | a || z0 |< 1. Autrement dit, la série entière
et sa
n0
a n z n converge simplement sur le disque ouvert centré à l’origine et de rayon 1
| a |
somme est égale à la fonction
S(z) =
a n z n = 1
,
1−az
∀z ∈ C,
1
| z |<
| a |
n0
2) La série entière
n!z n converge seulement au point z = 0 parce que si z = 0 la règle de
n0
d’Alembert implique que
| (n+1)!z
lim
n→+∞
n+1 |
| n!zn = lim (n+1) | z |= +∞
| n→+∞
Donc, la série diverge en tout point élément de l’ouvert C∗ .
3) Pour tout nombre complexe z ∈ C la série entière, zn nn, converge parce que d’après la
n1
règle de Cauchy on a pour tout nobre complexe z ∈ C,
n z
lim
n→+∞
n
nn
| z |
= lim = 0 < 1
n→+∞ n
4.1.2 Rayon de convergence
Dans ce paragraphe, nous allons démontrer quelques résultats qui nous permettent de décrire
le domaine de convergence simple, uniforme ou normal des séries entières
an(z −z0) n .
On rappelle que dans le plan complexe C le disque ouvert (resp. fermé) centré à l’origine et
de rayon R est défini par,
D(0,| z0 |) = {z ∈ C ;| z |< R} resp. D(0,| z0 |) = {z ∈ C ;| z | R}
Théorème 20 (Abel). Soit z0 ∈ C∗ tel que la série numérique
propositions suivantes sont vraies :
n0
n0
anz n 0 converge. Alors, les
1. Le disque ouvert centré à l’origine et de rayon | z0 | ( i.e. D(0,| z0 |)) est contenu dans
le domaine de la convergence simple de la série entière
anz n .
2. Pour tout réel 0 < r

60 Les séries entières
z
converge et lim = 0 le théorème d’Abel sur les séries numériques produits (cf. théo-
n→+∞ z0
rème 9) implique que la suite des sommes partielles
Sn(z) =
k=n
akz k k=n
=
k=0
k=0
(akz k 0
z
)( )
z0
k
converge, et donc tout nombre complexe z ∈ C de module | z |

Propriétés du domaine de convergence 61
est un intervalle de R + . C’est-à-dire, soit que C = {0} ou soit qu’il existe un réel r0 ∈ R ∗
+
tel que C = [0,r0[.
Définition 11. Soit
an(z −z0) n une série entière.
n0
1. La borne supériere, R ∈ R ∗
+, de l’ensemble non vide {r ∈ R + ;
anr n converge }
s’appelle rayon de convergence de la série entière
an(z −z0) n .
2. Le disque (resp. le cercle) de centre z0 et de rayon R s’appelle disque (resp. cercle) de
convergence de la série entière
an(z −z0) n .
n0
Lemme 1. Soit
anz n une série entière. Alors, les sous-ensembles non vides,
n0
{r ∈ R + ;
| an | r n converge } ⊆ {r ∈ R + ;
anr n converge }
n0
possèdent la même borne supérieure dans R ∗
+ .
Démonstration. Il est clair que l’inclusion de la proposition implique que,
R0 = sup{r ∈ R + ;
| an | r n converge } R1 = sup{r ∈ R + ;
n0
n0
n0
n0
n0
anr n converge }
Supposons qu’il existe un réel R0 < R < R1. Ainsi, puisque la série
anR n converge le
théorème d’Abel implique que pour tout réel 0 < r < R et que la la série
n0
n0
| an | r n
connverge. Donc, r R0 ce qui est absurde. Par conséquent, R0 = R1.
Corollaire 11. S’il existe un réel R > 0 tel que la série
anR n soit semi-convergente alors
le rayon de convergence Ra de la série entière,
anz n , est égal à R ie. : R = Ra.
Démonstration. Notons que puisque R ∈ {r ∈ R + ;
anr n converge } on en déduit que
R Ra. En effet, si on suppose R < Ra on pourra trouver un réel R < r0 < Ra, et ainsi
comme r0 ∈ {r ∈ R + ;
anr n converge } le théorème d’Abel implique que la série
anR n
n0
n0
converge absolument, ce qui est absurde. D’où, R = Ra.
Corollaire 12. Soient an et bn ∈ C des suites telles pour n ∈ N assez grand, | an || bn |.
Alors, le rayon de convergence Ra de la série entière
anz n est supérieur ou égal au rayon
de convergence Rb de la série entière
n0
n0
n0
n0
bnz n ie. : Rb Ra.
Démonstration. Observer que l’inégalité | an || bn | implique l’inclusion des sous-ensembles,
{r ∈ R + ;
| bn | r n converge } ⊆ {r ∈ R + ;
| an | r n converge }.
n0
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
n0
n0

62 Les séries entières
Exemple 23. 1) D’après le corollaire 11, puisque la série entière (−1)
n1
n−1
z
n
n converge au
point z = 1 et la série numérique (−1)
n1
n−1
est semi-convergente, le rayon de convergence
n
de la série entière (−1) n−1
z
n
n est égal à un.
n1
2) Notons que puisque pour tout entier n ∈ N, | cos(n) | 1 le corollaire 12 implique que le
rayon de convergence de la série entière
cos(n)z n est supérieur ou égal à un. En effet,
n1
puisque le terme général de la série
cos(n) ne tend pas vers zéro on en déduit que le rayon
n1
de convergence de la série entière
cos(n)z n est égale à un.
n1
Dans le prochain paragraphe on démontrera la formule de Hadamard qui nous permet de
calculer la valeur exacte du rayon de convergence d’une série entière réelle ou complexe.
4.1.3 Formule de Hadamard
Pour énoncer la formule de Hadamard qui permet de calculer le rayon de converrgence d’une
série entière on aura besoin de la notion de la limite supérieure d’une suite de nombres réels;
c’est ce que nous rappelerons maintenant.
Soit an ∈ R une suite. Pour tout entier n 0 on pose,
mn = inf{ap ;∀p ∈ N, p n} et Mn = sup{ap ;∀p ∈ N, p n}
Notons que puisque pour tout entier n 0 on a l’inclusion
on en déduit les inégalités suivantes,
{ap ;∀p ∈ N, p n+1} ⊆ {ap ;∀p ∈ N, p n}
m0 m1 m2 ··· mn an Mn ··· M2 M1 M0
Il est clair que si la suite an n’est pas majorée (resp. minorée) il s’ensuite que la suite Mn
(resp. mn) ne prend que des valeurs infinies.
Dans la suite on suppose que la suite an est bornée pour assurer que les suites mn et Mn
soient bornées.
Notons maintenant que puisque la suite mn est croissante majorée et la suite Mn est décrois-
sante minorée donc elles convergent dans R et leurs limites vérifient l’inégalité,
lim
n→+∞ mn = sup{mn ;∀n ∈ N} lim
n→+∞ Mn = inf{mn ;∀n ∈ N}
Le nombre réel lim
n→+∞ mn (resp. lim
n→+∞ Mn) s’appelle limite inférieure (resp. limite supérieure)
de la suite bornée an et se note
Lim-inf
n→+∞ an resp. Lim-sup an
n→+∞
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Propriétés du domaine de convergence 63
La proposition suivante se démontre en utilisant la caractérisation de la borne supérieure et
de la borne inférieure d’une suite de nombres réels.
Lemme 2 (Caractérisation de Lim-inf
n→+∞
et Lim-sup
n→+∞
). Soit an ∈ R une suite bornée.
1. Le nombre réel λ = Lim-inf an si et seulement si pour tout réel ε > 0 il existe un entier
n0 0 tel que
n→+∞
(a) an > λ−ε pour tout entier n n0;
(b) l’esnemble des termes {an < λ+ε ;n n0} est infini.
2. Le nombre réel λ = Lim-sup an si et seulement si pour tout réel ε > 0 il existe un entier
n0 0 tel que
n→+∞
(a) an < λ+ε pour tout entier n n0;
(b) l’esnemble des termes {an > λ−ε ; ;n n0} est infini.
3. La suite an converge dans R si et seulement si Lim-inf
n→+∞
4. Si le terme an est non nul alors,
an+1
an
an = Lim-sup
n→+∞
Lim-inf
n→+∞
an+1
n
n
Lim-inf | an | Lim-sup | an | Lim-sup
an n→+∞ n→+∞ n→+∞
an+1
an
En conséquence, si la suite converge alors la suite n | an | converge aussi et elles
possèdent la même limite.
Démonstration. Exercice.
Le théorème suivant de Hadamard nous propose une formule qui nous permet de calculer le
rayon de convergence d’une série entière
anz n .
n0
Théorème 21(FormuledeHadamard). Le rayon de convergence d’une sérieentière,
anz n ,
est donné par la formule
sup{r ∈ R + ;
anr
n0
n 1
converge } = ∈ R+
n
Lim-sup | an |
n→+∞
En particulier, si la suite numérique n | an | converge alors le rayon de convergence de la
série entière
anz
n0
n 1
est égal à
n
lim | an |
n→+∞
.
Démonstration. Soit ρ ∈ {r ∈ R + ;
existe un entier n0 0 tel que
n0
an.
n0
anr n converge }. Donc, puisque lim
n→+∞ anρ n = 0 il
∀n ∈ N, n n0 =⇒ | an | ρ n 1
< 1 =⇒ ρ
n
Lim-sup | an |
n→+∞
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

64 Les séries entières
Par conséquent, sup{r ∈ R + ;
anr n
n0
Inversement, supposons qu’il existe un réel r0 ∈ R ∗ +
Donc, puisque la série
Lim-sup
n→+∞
sup{r ∈ R + ;
anr n
n
| anrn 0
n0
n0
1
converge }
n
Lim-sup | an |
n→+∞
.
tel que
1
converge } < r0 <
n
Lim-sup | an |
n→+∞
anr n 0 diverge la règle de Cauchy implique que la limite
| 1 =⇒
1
n
Lim-sup | an |
n→+∞
r0
1
<
n
Lim-sup | an |
n→+∞
Ceci est absurde. Par conséquent, le rayon de convergence de la série entière
anz n est égal
à
1
n
Lim-sup | an |
n→+∞
.
Ladescriptioncomplètedudomainedeconvergencesimple(resp.uniforme)d’unesérieentière
anz n sera donnée par le théorème suivant.
n0
Notons d’abord que si la suite numérique | an+1 |
converge vers R ∈ R
| an |
+ alors la suite numérique
n | an | converge aussi vers R. Rappelons aussi que d’après le critère de Cauchy (resp.
de D’Alembert) si pour un nombre complexe fixé z = 0 on a l’inégalité suivante :
resp.
lim
n→+∞
lim
n→+∞
n
| anzn
| =| z |
an+1z n+1
anz n
=| z |
lim
n→+∞
lim
n→+∞
n
| an | < 1 ⇐⇒ | z |< lim
n→+∞
an+1
an
alors la série numérique
anz n converge absolument.
n0
< 1 ⇐⇒ | z |< lim
Théorème 22 (Hadamard). Soit an ∈ C une suite telle que R = lim
l’une des trois propositions suivantes est vraie :
1. Si R ∈ R ∗ +
n0
1
n | an |
n→+∞
an
an+1
n→+∞
an
an+1
∈ R + . Alors,
alors pour tout réel 0 < r < R la série entière anz n converge normalement
sur le disque fermé centré à l’origine et de rayon r.
2. Si R = +∞ alors la série entière
anz n converge normalement sur tous les disques
fermés centrés à l’origine.
3. Si R = 0 la série entière
anz n converge seulement au point z = 0.
n0
n0
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
n0

Propriétés du domaine de convergence 65
Démonstration. 1) Supposons que le réel R ∈ R∗ + . Donc, pour tout réel 0 < r < R la série
numérique
anr n converge absolument parce que la limite du rapport de D’Alembert
n0
| an+1r
lim
n→+∞
n+1 |
| anrn
= r
|
lim
n→+∞
| an+1 |
=
| an |
r
< 1
R
Ainsi, puisque la série numérique
| an | r n converge le théorème de Weierstrass (cf. ch.
n0
3) implique que la série entière
anz n converge normalement sur le disque fermée centré à
l’origine et de rayon r.
n0
2) Supposons que R = +∞. Dans ce cas pour tout réel r > 0 la limite
| an+1r
lim
n→+∞
n+1 |
| anrn | =
lim
n→+∞
r
| an |
| an+1 |
Donc, puisque la série numérique
| an | r n converge le théorème de Weierstrass implique
n0
que la série entière
anz n converge normalement sur le disque fermé centré à l’origine et
de rayon r > 0.
n0
3) Supposons que R = 0. Notons que si pour un nombre complexe z0 la série numérique
n0
anz n 0 converge il s’ensuit que lim
n→+∞ anz n 0 = 0. Donc, il existe un entier n0 0 tel que
pour tout entier n ∈ N qui vérifie n n0 implique que | anzn 0 |< 1. Ainsi, comme le module
1
| z0 |<
| an | le passage à la limite sur n implique que z0 = 0.
n
Le théorème de Hadamard qu’on vient de démontrer nous montre que si la série entière,
an(z − z0) n , a un rayon de convergence non nul R = 0 alors le domaine de convergence
n0
simple D de cette série contient le disque ouvert D(z0,R) et il est contenu dans le disque
fermé D(z0,R). C’est-à-dire on a
D(z0,R) ⊆ D ⊆ D(z0,R)
= 0
Plus précisément, dans le cas d’une série entière complexe on aura
R = +∞ R = 0 R ∈ R ∗ +
D = C D = {z0} D(z0,R) ⊆ D ⊆ D(z0,R)
et dans le cas d’une série entière réelle on aura
R = +∞ R = 0 R ∈ R ∗ +
D = R D = {x0} ]−R+x0,R+x0[⊆ D ⊆ [−R+x0,R+x0]
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

66 Les séries entières
Exemple 24. 1) Déterminons le domaine de convergence de la série entière
n1
n 2 z n .
a) Posons an = n2 . Donc, d’après la formule de Hadamard le rayon de convergence de la
série entière complexe
n 2 z n est égal à
n
R = lim
n→+∞
an
an+1
= lim
n→+∞
n2 = 1
(n+1) 2
Par conséquent, on désigne par D le domaine de convergence simple de la série entière
n1
n 2 z n on déduit que
D(0,1) ⊆ D ⊆ D(0,1)
b) Observons que pour tout nombre complexe unitaire, eiθ ∈ ∂D(0,1), le terme général de la
série numérique
n 2 e inθ ne tend pas vers zéro, donc la série entière
n 2 z n diverge en
n0
chaque point qui appartient au cercle centré à l’origine et de rayon un.
Ainsi, en conséquence de ce qui précède on conclut que le domaine de convergence simple de
la série entière
n0
n 2 z n est égal au disque ouvert
D = D(0,1) = {z ∈ C ;| z |< 1}
et que pour tout réel 0 < r < 1 la série entière
fermé D(0,r) ⊂ D.
2) Déterminons le domaine de convergence de la série entière
n0
n0
n 2 z n converge normalement sur le disque
n1
z n
Log(n+1) .
a) Posons bn = Log(n+1). D’après la formule de Hadamard le rayon de convergence de la
série entière zn est égal à
Log(n+1)
n1
R = lim
n→+∞
bn
bn+1
Log(n+2)
= lim = 1
n→+∞ Log(n+1)
Le domaine de convergence simple de la série entière complexe
le disque centré à l’origine et de rayon un.
n1
z n
Log(n+1)
continent donc
b) Cherchons les nombres complexes éléments du cercle {eiθ ;θ ∈ [0,2π]} qui appartiennent
au domaine de convergence simple de la sérié entière zn Log(n+1) .
Rappelons que pour tout entier n 1 la somme partielle de la suite géométrique de raison
e iθ est donnée par l’expression :
n1
p=n
Sn = e
p=0
ipθ = 1−ei(n+1)θ
1−e iθ = einθ/2ei(n+1)θ/2 −e−i(n+1)θ/2 eiθ/2 −e−iθ/2 Donc, si le réel θ ∈ {0,2π} on voit que le module de la somme partielle Sn peut être majorée
comme suit,
p=n
e ipθ
= sin((n+1)θ/2)
sin(θ/2)
p=0
1
| sin(θ/2) | .
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Propriétés du domaine de convergence 67
Ainsi, puisque la suite numérique
1
Log(n+1)
est décroissante et tend vers zéro le théorème
d’Abel sur les séries numériques produits implique que la série numérique
n1
e inθ
Log(n+1)
converge si θ ∈ {0,2π}. Mais, si le réel θ ∈ {0,2π} on obtient la série de Bertrand divergente
z
n1
n 1
=
Log(n+1) Log(n+1)
n1
.
Donc, le domaine de convergence simple de la série entière zn est égal à
Log(n+1)
D = {z ∈ C/ | z | 1}−{1}
et que pour tout réel 0 < r < 1 la série entière
disque fermé D(0,r).
n1
n1
z n
Log(n+1)
converge normalemnet sur le
3) Soit α ∈ R un réel fixé. Détrminons le domaine de convergence simple de la série entière
n1
a) Si on pose cn = 1
la formule de Hadamard implique que le rayon de convergence de la
nα série entière
n1
zn est égal à
nα lim
n→+∞
cn
cn+1
z n
n α
(n+1)
= lim
n→+∞
α
nα 1
= lim (1+
n→+∞ n )α = 1
et donc le domaine de convergence simple de la série
à l’origine et de rayon un.
n1
zn contient le disque ouvert centré
nα b) Cherchons les points du cercle {eiθ ∈ C ;θ ∈ [0,2π]} qui appartiennent au domine de
convergence simple de la série zn nα. n1
Observons que pour un nombre complexe eiθ la suite numérique einθ
tend vers zéro si et
nα seulement, si le réel α > 0. Ainsi, comme pour tout réel α > 0 la suite 1
est décroissante
nα p=n
et tend vers zéro et la suite des sommes partielles An = e ipθ est bornée lorsque le réel
θ ∈ {0,π}, le théorème d’Abel pour les séries produits implique que la série numérique
converge. Enfin, notons que la série numérique
seulement si le réel α > 1.
n1
p=1
n1
e inθ
n α
einθ converge lorsque θ ∈ {0,π} si et
nα Dans le tableau suivant on résume les discussions développées ci-dessus à propos du domaine
de convergence simple de la série entière complexe zn nα. A. Bouarich Suites et séries de fonctions
n1

68 Les séries entières
Paramètre α 0 0 < α 1 α > 1
Domaine {z ∈ C/ | z |< 1} {z ∈ C/ | z | 1}−{1} {z ∈ C/ | z | 1}
4.1.4 Opérations sur les séries entières
A) La somme de deux séries entières
Soient
anz n et
n0
n0
bnz n deux séries entières de rayon de convergence respectifs Ra et Rb.
La série entière
(an + bn)z n s’appelle somme des séries entières de coefficeints an et bn,
n0
son rayon de convergence sera noté Ra+b.
Proposition 13. inf(Ra,Rb) Ra+b. En particulier, si Ra < Rb alors Ra+b = Ra.
Démonstration. 1) Pour fixer les idées supposons que Ra = inf(Ra,Rb) Rb. Notons que
puisque pour tout nombre réel non nul r tel que 0 < r < Ra les deux séries numériques
| an | r n et
| bn | r n convergentilenrésultequelasérienumérique
(| an | + | bn |)r n
n0
n0
converge. Ainsi, puisque pour tout entier n, | an +bn || an | + | bn |, on en déduit que la
série numérique
(| an +bn |)r n converge, et donc puisque le sous-ensemble
n0
{r ∈ R ;
anr n converge} ⊆ {r ∈ R ;
n0
n0
n0
(an +bn)r n converge} =⇒ Ra Ra+b
De la même façon si on suppose que Rb = inf(Ra,Rb) on en déduit qu’on a l’inclusion
{r ∈ R ;
bnr n converge} ⊆ {r ∈ R ;
n0
n0
(an +bn)r n converge} =⇒ Rb Ra+b
Par conséquent, le rayon de convergence Ra+b de la siérie entière
(an+bn)z n est supérieur
ou égal à inf(Ra,Rb).
2) Supposons par exemple que Ra < Rb. Donc, pour tout réel non nul tel que Ra < r < Rb on
voit que la série numérique
anr n diverge tandis que la série numérique
bnr n converge.
n0
Ainsi, comme la série somme
(an + bn)r n diverge aussi on en déduit que le rayon de
converge Ra+b < Rb.
n0
Enfin, observons que si on suppose qu’il existe un réel r > 0 tel que Ra < r Ra+b on en
déduit que les deux séries
(an + bn)r n et
bnr n convergent, et donc la série
anr n
n0
converge aussi. Ceci contredit le fait que Ra < r < Ra+b. Donc, Ra = Ra+b.
n0
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
n0
n0
n0

Propriétés du domaine de convergence 69
B) Le produit de Cauchy de deux séries entières
Soient
anz n et
n0
n0
Si pour tout entier n 0 on pose,
bnz n deux séries entières de rayon de convergence respectifs Ra et Rb.
k=n
cn =
k=0
akbn−k
on pourra définir la série entière
cnz n que l’on appelle série entière produit des deux séries
n0
entières de coefficients an et bn, son rayon de convergence sera noté Rab.
Proposition 14. inf(Ra,Rb) Rab.
Démonstration. Soit r > 0 un réel tel que r < Ra et r < Rb. Pour tout entier n ∈ N posons
⎧
⎧
⎪⎨
⎪⎩
An(r) =
Bn(r) =
k=n
k=0
k=n
| an | r k
| bn | r k
k=0
et
⎪⎨
⎪⎩
pn =
Pn(r) =
k=n
k=0
k=n
| akbn−k |
pkr k
Avec ces notations on voit que pour tout entier n 0 et pour tout réel r > 0 on a la double
inégalité,
Pn(r) An(r)Bn(r) P2n(r)
Notons que puisque les sommes partielles An(r) et Bn(r) convergent il s’ensuit que la suite
produit An(r)Bn(r) converge, donc elle est majorée dans R + . Ainsi, comme la suite Pn(r) est
croissante elle converge dans R + .
D’autre part, notons que si pour tout entier on pose cn =
k=0
k=n
akbn−k on en déduit que
k=0
| cn | pn et que par conséquent la série numérique
| cn | r n converge dans R + . En effet,
ce qui précède démontre que le sous-ensemble
n0
{r ∈ R + ;r < inf(Ra,Rb)} ⊆ {r ∈ R + ;
| cn | r n
n0
converge}
Par conséquent, si sur cette inclusion on passe à la borne supériere la proposition 1 implique
que : inf(Ra,Rb) Rab.
C) Composition de deux séries entières
Soient A(z) =
anz n et B(z) =
bnz n deux séries entières de rayon de convergence
n0
respectifs Ra et Rb.
n0
Supposons que B(0) = b0 = 0. Donc, pour tout réel r > 0 on pourra alors trouver un réel
ρ > 0 tel que pour tout z ∈ C de module | z |< min(ρ,Rb) on aura | B(z) |< r. Ainsi, si
en particulier on suppose que le réel 0 < r < Ra il s’ensuit que le nombre complexe B(z)
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

70 Les séries entières
appartient au domaine de convergence de la série entière A(z) et que l’expression composée
A◦B(z) a un sens.
Notons que puisque l’expression A◦B(z) est égale à la somme de la série composée
A◦B(z) = n B(z)
on voit que si on développe les puisances
à l’origine
an
n0
n
B(z)
on obtient la série entière suivante centrée
A◦B(z) = a0 +a1b1z +(a1b2 +a2b 2 1)z 2 +(a1b3 +2a2b1b2 +a3b 3 1)z 3 +···
Exercice 62. Soit
anz n une série entière de rayon de convergence R > 0. Calculer le
n0
rayon de convergence des séries entières
(an) k z n et
anz kn où k ∈ N∗ .
n0
an
Exercice 63. Soient an et bn deux suites numériques équivalentes (i.e. lim
n→+∞ bn
= 1).
Montrer que les séries entières
anz n et
bnz n ont le même rayon de convergence.
n0
n0
Exercice 64. Trouver le rayon et le domaine de convergence simple des séries entières sui-
vantes :
1. zn n2n, n1 n1
(in −1)zn 2.
n1
3.
n1
4.
n1
n
(n!) 2zn ,
(2n)!
n1
Log(n)zn ,
n
(Log(n)) n z n2
.
n1
n0
, (−1) nn n2 +1 (z +1)n ,
(−1) nC n 2nz n
2n−1 .
n1
zn √ ,
a2n +1
n!zn
,
nn n1
nα anzn ,
n1
n0
(a−nb) nzn n1
n!
où a et b ∈ R.
(a α +n α )z n où a et α ∈ R.
Exercice 65. Trouver le domaine de convergence simple et la somme de la série entière,
f(x) = x2n+2 n(n+1)(2n+1)
n1
Indication : Décomposer la fraction rationnnelle,
1
, en éléments simples.
n(n+1)(2n+1)
Exercice 66. Soient a et b ∈ C et un le terme général d’une suite de nombres réels définit
par la relation de récurrence un+2 +aun+1 +bun = 0 avec u0 et u1 sont donnés.
Déterminer le domaine de convergence simple de la série entière,
unz n , et montrer que
sa somme est égale à la fraction rationnelle (u1 +au0)z +u0
bz2 .
+az +1
Exercice 67. Calculer le rayon de convergence et la somme de chacune des séries entières,
(3+(−1) n )z n
et
nπ
cos z
3
n
n0
Indication : On rappelle que pour tout z ∈ C tel que | z |< 1 la somme
n0
n0
n0
z n = 1
1−z .
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Fonctions d’une variable réelle développables en série entière 71
4.2 Fonctions d’une variable réelle développables en série en-
tière
Dans ce paragraphe, on va s’intéresser aux fonctions réelles d’une seule variable réelle qui
coïncident avec la somme d’une série entière à coefficients réelles ie.
f(x) =
an(x−x0) n
où an,x,x0 ∈ R
n0
4.2.1 Définition et propriétés
Théorème 23. Soit
an(x − x0) n une série entiere à coefficients réels dont le rayon de
n0
convergence R > 0. Alors, la fonction f :]−R+x0,x0 +R[→ R définit par la série entière,
an(x−x0) n , est de classe C ∞ et ses fonctions dérivées d’ordre m ∈ N sont données par
les séries entières suivantes :
f (m) (x) =
(n+m)(n+m−1)···(n+1)an+m(x−x0) n
n0
En conséquence, pour tout entier n ∈ N le coefficient réel, an = f(n) (x0)
, et pour tout réel x
n!
tel que | x−x0 |< R
f(x) =
n0
f (n) (x0)
(x−x0)
n!
n
Démonstration. Notons que puisque le rayon de convergence R > 0 donc pour tout réel
0 < r < R la série entière
an(x−x0) n converge uniformément sur le segment [−r,r], et
n0
par suite la fonction f(x) =
an(x−x0) n est continue sur l’intervalle ]−R+x0,R+x0[.
n0
D’autre part, observons que si on dérive m-fois les termes de la série entière qui définie f(x)
on obtient la série entière suivante,
(n+m)(n+m−1)···(n+1)an+m(x−x0) n
n0
dont le rayon de convergence égal à,
Lim-sup
n→+∞
| (n+m)(n+m−1)···(n+1)an+m |
= Lim-sup
| (n+m+1)(n+m)···(n+2)an+m+1 | n→+∞
n+1 | an+m |
= R
n+m+1 | an+m+1 |
Ainsi, puisque pour tout réel 0 < r < R la série des dérivées d’ordres m ∈ N ∗ associée à f(x)
converge uniformément sur le segment [x0−r,x0+r] le théorème de la dérivation d’une série
de fonctions implique que la fonction f possède une fonction dérivée d’ordre m ∈ N qui est
continue sur l’intervalle ]x−R0,x0 +R[ et elle est donnée par l’expression,
f (m) (x) =
(n+m)(n+m−1)···(n+1)nan+m(x−x0) n
n0
Donc, la fonction f(x) est de classe C ∞ sur l’intervalle ]x0 − R,x0 + R[ et pour tout entier
m 0 la dérivée f (m) (x0) = m!am.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

72 Les séries entières
Le résultat du théorème précédent nous permet de déduire que les coifficients d’une série
entière sont uniques. Plus précésément on a le,
Corollaire 13. Soient an et bn deux suites de nombres réels telles que les réries entières
an(x −x0) n et
bn(x −x0) n ont un rayon de convergence non nul. S’il existe un réel
n0
n0
r > 0 tel que pour tout réel x ∈]x0 −r,x0 +r[,
an(x−x0) n =
bn(x−x0) n
n0
alors pour tout entier n ∈ N, an = bn.
Inversement, notons que si on se donne une fonction f :]R−x0,R+x0[→ R est de classe C ∞
on peut lui associer une série entière de Taylor réelle centrée au point x0
n0
et ainsi deux questions naturelles se posent :
n0
f (n) (x0)
(x−x0)
n!
n
1. La série de Taylor associée à f(x) au point x0 a-t-elle un rayon de convergence non nul?
2. La série de Taylor
n0
f (n) (x0)
(x−x0)
n!
n converge-t-elle vers f(x)?
Ci-dessous nous allons caractériser les fonctions de classe C ∞ dont la série de Taylor associée
possède un rayon de convergence non nul.
Définition 12. On dira qu’une fonction f de classe C ∞ est développable en série entière (ou
analytique) au voisinage d’un point x0 ∈ R s’il existe un réel R > 0 et une suite de nombres
réels an telle que pour tout réel x ∈]x0 −R,x0 +R[,
f(x) =
an(x−x0) n
n0
À titre d’exercice on vérifie facilement que les fonctions développables en séries entières au
voisinage de x0 sont stables par les opérations algébriques suivantes :
1. Si f et g sont développables en séries entières au voisinage de x0 alors leurs somme f+g
est aussi développable en série entière au voisinage de x0.
2. Si f et g sont développables en séries entières au voisinage de x0 alors leurs produit
f ×g est aussi développable en série entière au voisinage de x0.
3. Si f est développable en série entière au voisinage de x0 et f(x0) = 0 alors la fonction
1
est aussi développable en série entière au voisinage de x0.
f
4. Si f est développable en série entière au voisinage de x0 et g est développable en série
entière au voisinage de f(x0) = y0 alors la fonction composée g◦f est développable en
série entière au voisinage de x0.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Fonctions d’une variable réelle développables en série entière 73
Notons que d’après le théorème 3 on déduit que si une fonction f(x) est développable en série
entière au voisinage d’un point x0 il existe un réel R > 0 tel que
∀x ∈]x0 +R,x0 +R[, f(x) =
n0
f (n) (x0)
(x−x0)
n!
n
Autrement dit, une fonction développable en série entière au voisinage d’un point x0 coïncide
avec sa série entière de Taylor sur un voisinage de x0.
Le théorème suivant nous donnera les conditions nécessaires et suffiantes pour que la série
entière de Taylor associée à une fonction f(x) de classe C ∞ ait un rayon de convergence non
nul.
Théorème 24. Pour qu’une fonction réelle f(x) soit développable en série entière au voisi-
nage d’un point x0 il faut et il suffit qu’elle vérifie les conditions suivantes :
1. Il existe un réel R > 0 tel que la fonction f(x) soit de classe C ∞ sur l’intervalle ouvert
]−R+x0,x0 +R[.
2. La suite des restes d’ordre n 1 du développement limité de Taylor associée à la
fonction f au voisinage de x0,
p=n
Rn(x) = f(x)−
p=0
f (p) (x0)
(x−x0)
p!
p
converge simplement sur l’intervalle ]−R+x0,x0 +R[ vers la fonction nulle.
Démonstration. 1) Supposons que sur un voisinage de x0, f(x) =
an(x−x0) n .
Donc, d’après le théorème 3 la fonction f(x) est de classe C∞ sur un voisinage de x0 et que
pour les réels x proches de x0 la série entière de Taylor,
n1
n0
f (n) (x0)
(x−x0)
n!
n = f(x). Ainsi,
comme la série de Taylor associée à la fonction f(x) converge simplement sur un voisinage
p=n
de x0 on en déduit que la suite des restes Rn(x) = f(x) −
simplement sur un voisinage de x0 vers la fonction nulle.
p=0
f (p) (x0)
(x−x0)
p!
p converge
2) Inversement, supposons qu’il existe un réel R > 0 et que la fonction f(x) vérifie les deux
conditions du théorème sur l’intervalle ]x0 −R,x0 +R[. Montrons alors que la fonction f(x)
est développable en série entière au voisinage de x0.
p=n
En effet, puisque la suite de fonctions Rn(x) = f(x)−
ment sur l’intervale ]−R+x0,x0 +R[ vers la fonction nulle il s’ensuit que
f(x) =
n0
p=0
f (p) (x0)
(x−x0)
p!
p converge simple-
f (n) (x0)
(x−x0)
n!
n , ∀x ∈]−R+x0,x0 +R[
Par conséquent, comme le rayon de convergence de la série entière de Taylor de f(x) au point
x0 est non nul (au moins égal à R) il s’ensuit que la fonction f est développable en série
entière au voisinage de x0.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

74 Les séries entières
Corollaire 14. Pour qu’une fonction réelle de classe C ∞ soit développable en série entière
au voisinage d’un point x0 il suffit que toutes ses fonctions dérivées d’ordre supérieure soient
bornées sur un voisinage de x0.
Démonstration. Supposons qu’il existe deux réels ε > 0 et M > 0 tels que pour tout entier
n ∈ N et pour tout réel x ∈]x0 −ε,x0 +ε[, | f (n) (x) |< M.
Rappelons que pour tout entier n 0 et pour tout réel x ∈]−ε+x0,x0 +ε[ il existe un réel
θ ∈]0,1[ tel que le reste du développement de Taylor de f à l’ordre n au point x0 est donné
par l’expression
p=n
Rn(x) = f(x)−
p=0
f p (x0)
p!
(x−x0) p = f(n+1) (x0 +θ(x−x0))
(x−x0)
(n+1)!
n+1
Donc, pour tout réel x élément de l’intervalle ]x0 −ε,x0 +ε[ on obtient la majoration,
p=n
f(x)−
p=0
f p (x0)
p!
Ainsi, comme la suite (2ε)n
n!
déduit que la série entière de Taylor
(x−x0) p
< M (2ε)n+1
(n+1)!
est le terme général d’une série numérique convergente on en
n0
f (n) (x0)
(x−x0)
n!
n converge uniformément sur l’in-
tervalle ]−ε+x0,x0 + ε[ vers la fonction f(x). Donc, la fonction f(x) est développable en
série entière sur un voisinage du point x0.
4.2.2 Exemples de fonctions développables en série entière
1) La fonction exponentielle, x ↦−→ e x
Notons que si pour un réel a > 0 on applique la formule de Mac-Laurain à la fonction
f(x) = e x sur le segment [−a,a] on déduit que pour tout réel x ∈ [a,−a] il existe un réel
θx ∈]0,1[ tel que,
e x p=n
−
p=0
x p
p!
xn+1
=
(n+1)! eθxx =⇒ | e x p=n x
−
p=0
p
p!
Observons aussi que puisque la série numérique
a n
n!
n0
a n
n!
| an+1
(n+1)! ea .
converge il en résulte que la suite
tend vers zéro quand l’entier n tend vers l’infini, et donc la série entière
uniformément sur le segment [−a,a] vers la fonction exponentielle e x i.e. :
∀x ∈ R, e x =
n0
x n
n!
n0
x n
n! converge
Le développement en série entière de la fonction exponentielle nous permet de déduire le
développement entière des fonctions cosinus et sinus hyperboliques.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Fonctions d’une variable réelle développables en série entière 75
Observons que si on remplace x ∈ R par −x dans le développement en série entière de
l’exponentielle, e x , on obtient le série entière
∀x ∈ R, e −x = (−1) n
n0
n! xn
Ainsi, comme les fonctions cosinus et sinus hyperboliques sont définies par
∀x ∈ R, Ch(x) = ex +e −x
2
et Sh(x) = ex −e −x
on voit donc que leurs développement en séries entières sont données sur R par,
Ch(x) =
n0
Sh(x) =
n0
x 2n
(2n)!
x 2n+1
(2n+1)!
Notons aussi que les series entières réelles ci-dessus nous permettent de calculer la valeur
exacte des séries numériques convergentes suivantes :
⎧ 1
⎪⎨ n!
n0
(−1)
⎪⎩
= e
n
n!
= 1
e
et
⎧ 1
⎪⎨ (2n)!
n0
1
⎪⎩ (2n+1)!
n0
2) La fonction, x ↦−→ (1+x) α
n0
2
= Ch(1)
= Sh(1)
Fixons un réel α = 0 et pour tout réel x > −1 posons fα(x) = (1 + x) α . L’application
fα :] − 1,+∞[→ R + est donc de classe C ∞ et ses fonctions dérivées d’ordre n 1 sont
données par,
∀x > −1, f (n)
α (x) = α(α−1)···(α−n+1)(1+x)α−n
Notons que la série de Taylor associée à la fonction fα au point x = 0 a pour expression
1+
n1
α(α−1)···(α−n+1)
x
n!
n
et que son rayon de convergence est égal à un. Par conséquent, si pour tout réel x ∈]−1,1[
on pose,
gα(x) = 1+
n1
α(α−1)···(α−n+1)
x
n!
n
on obtient une fonction qui est de classe C ∞ sur ]−1,1[.
Notons enfin que puisque les fonctions fα et gα sont des solutions particulières de l’équation
diff´rentielle ordinaire
(1+x)y ′ (x) = αy(x) et y(0) = 1
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

76 Les séries entières
la théorie des équations différentielles ordinaires implique qu’en effet pour tout x ∈]−1,1[ la
fonction fα = gα. D’où le développement en série entières,
∀x ∈]−1,1[, (1+x) α = 1+
n1
α(α−1)···(α−n+1)
x
n!
n
Le développement en séries entières au voisinage de zéro de la fonction (1+x) α nous permet
de retrouver le développement en série entière des fonctions suivantes sur ]−1,1[,
1
1+x
1
1−x
=
n0
= x n
n0
1
=
1+x 2
n0
(−1) n x n
(−1) n x 2n
Notons que si pour tout x ∈] − 1,1[ on intégre terme à terme les séries précédentes entre
0 et x (i.e. on applique
suivantes sur ]−1,1[,
x
0
dx) on obtient le développement en série entière des fonctions
Log(1+x) =
(−1) n−1xn
n
n1
Log(1−x) = −
n1
x n
n
Arctg(x) =
(−1)
n0
n x2n+1
2n+1
Notons que puisque le développement en séries entière de Log(1+x) et Arctg(x) convergent
au point x = −1 on en déduit la somme des séries numériques suivantes,
(−1) n−1
= Log(2) et
n
(−1) n π
=
2n+1 4
n1
3) Les fonctions, x ↦−→ √ 1+x et x ↦−→ 1
√ 1+x
Dans le développement en série entière de la fonction (1+x) α si on prend α = 1
on en déduit
2
que
et si on prend α = − 1
2
n0
√ x
1+x = 1+
2 +(−1)
n2
n−11.3.5···(2n−3)
2.4.6···(2n) xn
on obtient,
1
√ = 1+
1+x
(−1) n1.3.5···(2n−1)
2.4.6···(2n) xn
n1
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Fonctions d’une variable réelle développables en série entière 77
4) La fonction, x ↦−→ Arg sh(x)
Rappelons que la fonction Sh est inversible sur R et que sa fonction inverse est de classe C ∞ ,
elle se note Arg sh : R → R. En dérivant la relation Arg sh◦Sh(x) = x on en déduit que la
fonction dérivée de Arg sh est égale à,
′
Arg sh (x) =
1
√ 1+x 2
Donc, si dans le développement en série entière de la fonction (1+x) α on remplace x par x 2
et on prend α = − 1
2
on obtient une série entière dont l’intégration terme à terme nous donne
Arg sh(x) = x+
(−1) n1.3.5···(2n−1) x
2.4.6···(2n)
2n+1
2n+1
n1
5) Les fonctions circulaires sin(x) et cos(x) et leurs fonctions inverses
Rappelons que les fonctions trigonométriques cos(x) et sin(x) sont de classe C ∞ et que pour
tout entier n 0 les fonctions dérivées d’ordre n 0
cos (n) (x) = cos(x+ nπ
2 ) et sin(n) (x) = sin(x+ nπ
2 )
sont bornées sur R. Donc, d’après le corollaire 2 leurs séries de Taylor calculées au pointx = 0
convergent simplement sur R telles que pour tout x ∈ R,
cos(x) =
n0
sin(x) =
n0
(−1) n
(2n)! x2n
(−1) n
(2n+1)! x2n+1
Rappelons aussi quelafonction sin est inversiblesurl’intervalle ]− π π
, [ et sa fonction inverse
2 2
se note Arc sin :] − 1,1[→ R. En effet, puisque la fonction sin est de classe C∞ son inverse
Arc sin est de classe C ∞ et sa première fonction dérivée est donnée par
′
Arc sin (x) =
1
√ 1−x 2
Ainsi, comme le développement en série entière au voisinage de zéro de la fonction
est donné par
1
√ 1−x 2
= 1+
n1
1.3.5···(2n−1)
2.4.6···(2n) x2n
1
√ 1−x 2
donc en l’intégrant entre 0 et x on trouve le développement en série entière de Arc sin au
voisinage de zéro i.e. :
Arc sin(x) = x+
n1
1.3.5···(2n−1)
2.4.6···(2n)
x2n+1 2n+1
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

78 Les séries entières
Enfin, notons que puisque la fonction cos est inversible sur l’intervalle ]0,π[ et sa fonction
inverse Arc cos :]−1,1[→]0,π[ est liée avec la fonction Arc sin par l’équation
∀x ∈]−1,1[, Arc cos(x) = π
−Arc sin(x)
2
on conclut donc le développement en série entière de la fonction Arc cos est donnée au voisi-
nage de zéro par,
Arc cos(x) = π
2 −x−
n1
1.3.5···(2n−1)
2.4.6···(2n)
x2n+1 2n+1
Exercice 68. Développer en série entière les fonctions suivantes au voisinage de zéro :
1.
1
1−2cos(α)x+x 2,
1
√ 1+x+x 2 ,
2. Log( 1+x
1−x ), Log(1−2xcos(a)+x2 ),
1−x 2
3. Arctg
1+x 2
xsin(a)
, Arctg .
1−xcos(a)
4. (x−tg(x))cos(x), sin(Log(1+x)).
x
1−e x.
Log(1−x)
.
1−x
Exercice 69. Pour tout réel a ∈ R touver le domaine de convergence simple et la somme
des séries entières réelles,
ga(x) =
cos(na)x n
n0
et hα(x) =
sin(na)x n
Exercice 70. Dans cet exercice on fixe deux réels positifs a,b > 0 avec a = b.
1) Calculer les coefficients cn du développement en série entière de la fraction rationnelle,
1
f(x) = , au voisinage de zéro.
(1−ax)(1−bx)
2) Calculer la somme de la série entière,
n0
(cn) 2 x n .
Exercice 71. On définit sur R une fonction par l’expression, f(x) = e x2
1) Donner le développement en série entière de la fonction g(x) = e−x2. 2) En déduire le développement en série entière de la fonction f(x).
3) Montrer qu’on a, f ′ (x) = 2xf(x)+1,∀x ∈ R.
n0
x
0
e −t2
dt.
4) Retrouver une écriture simple du développement en série entière de la fonction f(x).
Exercice 72. Pour tout réel x on pose f(x) =
n0
1) Calculer la somme de la dérivée seconde, f”(x).
x n+2
(n+1)(n+2) .
2) En déduire l’expression explicite de la fonction dérivée f ′ (x), et puis celle de f(x).
.
Exercice 73. Dans cet exercice on se propose de calculer l’integrale généralisée
1
0
Log(x)
x 2 −1 dx.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Fonctions d’une variable réelle développables en série entière 79
1) En utilisant la série entière,
x 2n , montrer que l’integrale généralisée
n0
1
0
Log(x)
x2 1
dx =
−1 (2n+1)
n0
2.
2) Pour tout entier n 0 calculer les intégrales simples définies In =
3) En remarquant que l’intégrale définie
1
0
Log(x)
x2 π2
dx =
−1 8
π/2
0
arcsin(sin(x))dx = π2
8
et que
n0
1 π2
=
n2 6
π/2
Exercice 74. Pour tout réel x = 0 on pose θ(x) = exp(− 1
x2) et θ(0) = 0.
1) Montrer que la fonction θ(x) est de classe C∞ au point x = 0.
0
(sin(x)) n dx.
; déduire que
2) Est-ce que la fonction θ(x) est développable en série entière au voisinage de zéro?
Exercice 75. Soit α ∈ R. Pour tout réel x on pose
fα(x) =
n0
e −n cos(n α x)
1) Montrer que les fonctions fα est de classe C ∞ sur R et que pour tout entier k 0 la
fonction dérivée,
f (k)
α
(x) =
n0
e −n n kα cos(n α x+kπ)
2) On suppose que le réel α 1. Montrer que pour tout réel x ∈ R et pour tout entier k 0
on a
k=n
f(k) α (0)xk k=0
k!
e nα |x|−n
En déduire que la fonction fα est développable en série entière au voisinage de zéro.
k=n f
3) On suppose que le réel α > 1 et que la série entière de Taylor,
(k)
α (0)xk , a un rayon
k!
de convergence R = 0. Montrer que pour tout réel x ∈ R tel que | x |< R on a
k0
f(k) α (0)xk k!
n0
e nα |x|−n
En déduire que la fonction fα n’est pas développable en série entière au voisinage de zéro.
Exercice 76. 1) Calculer le rayon de convergence R de la série entière,
2) Pour tout réel x ∈]−R,R[ on pose, S(x) =
n0
n0
k=0
n0
x 3n
(3n)! .
x3n . Montrer que la fonction S(x) est solu-
(3n)!
tion d’une équation différentielle du second ordre qu’on détérminera. En déduire l’expression
explicite de la fonction S(x).
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

80 Les séries entières
4.3 Équations différentielles linéaires et les séries entières
Dans cette section, on se propose de trouver des solutions développables en série entière pour
les équations différentielles ordinaires linéaires réelles de degré deux de type :
p(x)y”(x)+q(x)y ′ (x)+r(x)y(x) = 0
où les coefficients p(x),q(x) et r(x) sont des fonctions données développables en série entière
et y(x) est la fonction inconue.
4.3.1 Cas d’une équation différentielle régulière
Dans ce paragraphe, on s’intéresse au équations différentielles ordinaires linéaires réelles de
degré deux,
p(x)y”(x)+q(x)y ′ (x)+r(x)y(x) = 0
telles que au voisinage de x0 ∈ R on a p(x0) = 0 et r(x0) = 0. Ces d’équations différentielles
sont dites régulières au point x0.
Théorème 25. Une équation différentielle linéaire de degré deux régulière au point x0,
p(x)y”(x)+q(x)y ′ (x)+r(x)y(x) = 0
possède une solution y(x) développable en série entière au voisinage de x0 qui ne dépendant
que des conditions initiales y(x0) et y ′ (x0).
Démonstration. D’abord notons que puisque la fonction p(x) est continue telle que p(x0) = 0
elle reste donc non nulle sur un voisinage de x0. Ainsi, dans cette preuve on pose pour x
proche de x0,
u(x) = − q(x)
p(x)
et v(x) = − r(x)
p(x)
et on se propose de chercher les solutions développables en série entière au voisinage de x0
pour l’équation différentielle“normalisée ”:
y”(x) = u(x)y ′ (x)+v(x)y(x)
Supposons que l’équation différentielle normalisée, y”(x) = u(x)y ′ (x)+v(x)y(x), possède une
solution développable en série entière y(x) =
an(x−x0) n dont le rayon de convergence est
n0
non nul. Donc, la solution y(x) est de classe C ∞ et ses deux premières dérivées sont données
par,
y ′ (x) =
nan(x−x0) n−1
n1
et y”(x) =
n(n−1)an(x−x0) n−2 .
Notons aussi que puisque les fonctions p(x),q(x) et r(x) sont développable en série entières
au voisinage du point x0, donc les fonctions u(x) et v(x) sont développable en série entières
au voisinage du point x0. Posons pour tout réel x proche de x0,
u(x) =
un(x−x0) n
et v(x) =
vn(x−x0) n .
n0
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
n2
n0

Équations différentielles linéaires et les séries entières 81
Puis, observons que si on porte les séries entières ci-dessus dans l’équation différentielle nor-
malisée y”(x) = u(x)y ′ (x)+v(x)y(x) on obtient le système suivant :
⎧
2a2 = a1u0 +a0v0
⎪⎨
⎪⎩
6a3 = 2a2u0 +a1u1 +a1v0 +a0v1
... = ...
n(n−1)an = (n−1)an−1u0 +(n−2)an−2u1 +···+a1un−2
+ an−2v0 +···+a1vn−2.
Maintenant, grâce à ce système on voit que puisque les valeurs u0 = u(x0) et v0 = v(x0)
son connues il en résulte que la donnée des valeurs a0 = y(x0) et a1 = y ′ (x0) déterminent
complètement tous les coefficients an pour n 2.
En pratique pour chercher une solution de l’équation différentielle régulère
p(x)y”(x)+q(x)y ′ (x)+r(x)y(x) = 0
qui soit développable en série entière au voisinage de x0 on procède comme suit :
1. Pour déterminer les coefficients an du développement en série entière de la solution y(x)
de l’équation différentielle p(x)y”(x)+q(x)y ′ (x)+r(x)y(x) = 0 on procède comme dans
la preuve du théorème précédente.
2. Ensuite, on doit calculer l’une des deux limites lim
n→+∞
an
n
ou lim | an | afin de
an+1 n→+∞
déterminer le rayon de convergence de la série entière y(x) =
an(x−x0) n solution
de l’équation différentielle donnée.
Exemple 25. Cherchons une solution dévelopable en séries entière au voisinage de zéro pour
l’équation différentielle régulière normalisée,
y”−xy ′ −y = 0
Portons la série entière y(x) =
anx n et ses deux premières dérivées
n0
y ′ (x) =
nanx n−1
n0
=
(n+1)an+1x n
n1
n0
y”(x) =
n(n−1)anx n−2 =
(n+2)(n+1)an+2x n
n2
dans l’équation différentielle y”−xy ′ −y = 0.
(n+2)(n+1)an+2x n −x
(n+1)an+1x n −
anx n = 0
n0
n0
n0
n0
(n+2)(n+1)an+2x n −
nanx n −
anx n = 0
n0
n1
n0
(2a2 −a0)+
((n+2)(n+1)an+2 −nan −an)x n = 0
n1
(2a2 −a0)+
(n+1)((n+2)an+2 −an)x n = 0
n1
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

82 Les séries entières
Donc, si on compare les deux membres de la dernière ligne on obtient le système suivant :
⎧
⎪⎨ a0 = y(0),
a1 = y
⎪⎩
′ (0),
(n+2)an+2 = an, ∀n 0
qui définit les an par une relation de récurrence grâce à laquelle on obtient,
⎧
a1
⎪⎨ a2n−1 =
(2n−1)(2n−3)···5.3
a0
⎪⎩ a2n =
(2n)(2n−2)···4.2
Donc, la solution de l’équation différentielle y”−xy ′ −y = 0 possède une solution développable
en série entière au voisinage de zéro, y(x) = a0y1(x)+a1y2(x), où
⎧
⎪⎨
⎪⎩
y1(x) =
y2(x) =
n1
n0
x 2n
(2n)(2n−2)···4.2
x 2n−1
(2n−1)(2n−3)···5.3
sont des séries entières dont le rayon de convergence est infini.
Exercice 77. Montrer que chacune des équations différentielles suivantes admet une solution
développable en série entière au voisinage de zéro :
1. y”−xy = 0;
2. y”−2xy ′ +2ny = 0 avec nN;
3. y”−x 2 y ′ −y = 0;
4. (x 2 +1)y”−xy ′ −y = 0;
5. (1−x 2 )y”−xy ′ +a 2 y = 0.
Exercice 78. Pour tout réel θ on se propose de calculer la somme de la série entière
n1
sin(nθ)
x
n!
n
1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière
n1
sin(nθ)
x
n!
n .
2) Montrer que la fonction y(x) qui coïncide avec la série entière
domaine de convergence est solution de l’équation différentielle
n1
y”−2cos(θ)y ′ +y = 0 avec y(0) = 0 et y ′ (0) = sin(θ)
3) Déterminer l’expression explicite de la fonction y(x).
sin(nθ)
x
n!
n sur son
Exercice 79. Soit α ∈ R. Dans R on considère l’équation différentielle ordinaire Eα,
(1+x 2 )y”(x)+xy ′ (x)−α 2 y(x) = 0
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Équations différentielles linéaires et les séries entières 83
1) Montrer que l’équation différentielle Eα possède une solution d’éveloppable en série entière
au voisinage de zéro dont le rayon de convergence est non nul.
2) Vérifier que la fonction, fα(x) = x+ √ 1+x 2
α , est solution de l’équation différentielle
Eα.
3) En déduire que la fonction fα est d’éveloppable en série entière au voisinage de zéro.
4.3.2 Cas d’une équation différntielle singulière
Définition 13. On dira que l’équation différentielle ordinaire de degré deux,
p(x)y”+q(x)y ′ (x)+r(x)y(x) = 0
présente une singularité d’ordre m ∈ N ∗ au point x0 ∈ R si
q(x0) = 0, r(x0) = 0, p(x0) = p ′ (x0) = ··· = p (m) (x0) = 0 et p (m+1) (x0) = 0.
Le théorème suivant nous donnera une méthode pratique qui permet de trouver les solutions
del’équation différentiellesingulaire,p(x)y”+q(x)y ′ (x)+r(x)y(x) = 0, quisontdéveloppables
en séries entières au voisinage d’une singularité x0.
Théorème 26. Soient p(x),q(x) et r(x) des fonctions développables en série entière au
voisinage de x0 ∈ R. Si l’équation différentielle linéaire de degré deux,
p(x)y”(x)+q(x)y ′ (x)+r(x)y(x) = 0
présente une singularité d’ordre m > 0 au point x0 alors elle possède une solution développable
en série entière au voisinage de x0 qui est de la forme,
y(x) = x σ
an(x−x0) n , où σ ∈ R
n0
Démonstration. On procède de la même façon que dans le cas d’une équation différentielle
régulière.
Le reste de ce paragraphe sera consacré à la cherche des solutions développables en séries
entières de l’équation différentielle de Bessel d’indice a ∈ R,
x 2 y”(x)+xy ′ (x)+(x 2 −a 2 )y(x) = 0.
Notons que l’équation différentielle de Bessel d’indce, a ∈ R, présente une singularité d’ordre
m = 2 au point x0 = 0. Donc, d’après le théorème 6, pour chercher une solution de l’équation
diffirentielle de Bessel qui soit développable série entière il suffit qu’on porte la fonction
y(x) = x σ
anx n
n0
et ses deux premières dérivées,
y ′ (x) =
(n+σ)anx n+σ−1
n0
telle que y(0) = a0 = 0
et y”(x) =
(n+σ)(n+σ −1)anx n+σ−2
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
n0

84 Les séries entières
dans l’équation différentielle de Bessel x 2 y”(x)+xy ′ (x)+(x 2 −a 2 )y(x) = 0.
(n+σ)(n+σ −1)anx n+σ +
(n+σ)anx n+σ +
anx n+σ+2 −a 2
anx n+σ = 0
n0
n0
(n+σ)(n+σ −1)anx n+σ +
(n+σ)anx n+σ +
an−2x n+σ −a 2
anx n+σ = 0
n0
n0
(σ 2 −a 2 )a0x σ +((1+σ) 2 −a 2 )a1x σ+1 +
n2
n0
n2
n0
n0
(((n+σ) 2 −a 2 )an +an−2)x n+σ = 0
Ainsi, en comparant les deux membre de la dernière ligne on obtient le système suivant :
⎧
⎪⎨ (σ2 −a2 )a0 = 0
⎪⎩
((σ +1) 2 −a 2 )a1 = 0
((σ +n) 2 −a 2 )an +an−2 = 0,∀n 2
Notons que puisque le coefficient a0 = 0 il s’ensuit que le nombre réel inconnu σ = ±a et que
a1 = 0. Ainsi, si le paramètre inconnu σ = −a ∈ N la relation récurrente
((σ+n) 2 −a 2 )an = −an−2 ⇐⇒ an =
nous permet de voir que pour tout entier n 0,
−an−2
(σ +a+n)(σ −a+n) ⇐⇒ an = −an−2
n(n−2a)
a2n+1 = 0 et a2n = (−1) n a0
2 2n n!(−a+1)(−a+2)···(−a+n)
Par contre si le paramètre inconnu σ = a ∈ N on aura pour tout entier n,
et donc
an =
−an−2
(σ +a+n)(σ −a+n) ⇐⇒ an−2 = −an−2
n(n+2a)
a2n+1 = 0 et a2n = (−1) n a0
2 2n n!(a+1)(a+2)···(a+n) .
Donc, conséquence de ce qui précède, on conclut que si le réel a ∈ N alors l’équation diffé-
rentielle de Bessel, x 2 y”+xy ′ +(x 2 −a 2 )y = 0, admet deux solutions développables en série
entière au voisinage de x0 = 0 qui sont indépendantes et sont données par les expressions :
Ja(x) = x a
(−1) n x2n 22nn!(−a+1)(−a+2)···(−a+n) ,
n0
J−a(x) = x −a
(−1) n x2n 22nn!(a+1)(a+2)···(a+n) .
n0
Sia ∈ ZondémontrequelecoupledefonctionsJa(x)etJ−a(x)estunsystèmefondamentalde
solutions de l’équation différentielle de Bessel. C’est-à-dire, toute solution J(x) de l’équation
de Bessel s’écrit sous la forme
J(x) = αJa(x)+βJ−a(x) avec α,β ∈ R
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Équations différentielles linéaires et les séries entières 85
Si l’indice a = m ∈ N, en procédant comme ci-dessus, on voit que l’équation de Bessel admet
une seule solution développable en série entière donnée par l’expression,
Jm(x) = x m
(−1) n x2n 22n m!
=
n!(m+1)(m+2)···(m+n) 22nn!(n+m)! x2n+m .
n0
Enfin, notons que les fonctions Ja(x) et J−a(x) solution de l’équation de Bessel avec a ∈ N
s’appellent fonctions de Bessel d’indice non entier, tandis que la fonction Jm(x) s’appelle
fonction de Bessel d’indice entier m ∈ N. Lorsque l’indice a = −m avec m ∈ N ∗ on démontre
que l’équation de Bessel possède une solution J−m(x) = (−1) mJm(x). Exercice 80. On suppose que la fonction f(x) =
anx n est solution de l’équation diffé-
n0
rentielle 4xy”+2y ′ +y = 0 avec la condition initiale y(0) = 1.
1) Trouver l’expression du terme général an.
2) Déterminer le rayon de convergence de la série f(x) =
anx n et calculer sa somme au
moyen des fonctions élémentaires.
Exercice 81. Etudier l’existence d’une solution développable en série entière au voisinage
de x0 = 1 (resp. x0 = −1) de l’équation différentielle (1−x 2 )y”−xy ′ +a 2 y = 0 avec a ∈ R
est un paramètre.
Exercice 82. Etudier l’existence d’une solution développable en série entière au voisinage
de x0 = 0 de l’équation différentielle xy”+y ′ +xy = 0.
Exercice 83. Etudier l’existence d’une solution développable en série entière au voisinage
de x0 = 0 de l’équation différentielle xy”+(1−x)y ′ +ay = 0 où a ∈ R ∗ .
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
n0
n0

Chapitre Cinq
Les séries de Fourier
5.1 Séries trigonométriques
5.1.1 Définition et propriétés
Définition 14. Soient an et bn deux suites de nombres réels et ω ∈ R ∗ +. La série de fonctions
de terme général, un(x) = ancos(nωx)+bnsin(nωx), s’appelle série trigonométrique réelle.
Les séries trigonométriques réelles sont donc une forme particulière des séries de fonctions
dont l’étude complète est déjà développée dans le chapitre 3. Par exemple, grâce au théorème
de Weierstrass (cf. chp. 3) on déduit qu’on a la proposition suivante,
Proposition 15. Si les séries numériques
n0
| an | et
n0
| bn | convergent, alors la
série trigonométrique
(ancos(nωx)+bnsin(nωx)) converge uniformément sur R vers une
n0
fonction qui est continue et 2π
ω -périodique.
De même, grâce au théorème d’Abel pour les séries de fonctions (cf. chp. 3) on déduit qu’on
a la proposition suivante,
Proposition 16. Si les séries numériques
| an −an+1 | et
| bn −bn+1 | convergent,
n0
alors la série trigonométrique
(ancos(nωx)+bnsin(nωx)) converge uniformément sur tout
intervalle de type [α, 2π
ω
n0
−α] avec α ∈]0, π
ω [.
Corollaire 15. Si les suites an et bn sont positives et tendent vers zéro en décroissant,
alors la série trigonométrique
(ancos(nωx)+bnsin(nωx)) converge uniformément sur les
intervalles de type [α, 2π
ω
n0
−α] avec α ∈]0, π
ω [.
Exemple 26. 1) Soit α ∈]0,π[. Rappelons que pour tout réel x élément du segment [α,2π−
k=n 1
α] la suite des sommes partielles, | sin(kx) | , est bornée. Donc, comme la
sin(α/2)
k=1
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
n0

Séries trigonométriques 87
suite numérqiue 1
n
trigonométrique
n1
tend vers zéro en décroissant le théorème d’Abel implique que la série
sin(nx)
n
2) Pour tout réel ω la série trigonométrique
converge uniformément sur le segment [α,2π −α].
n0
cos(nωx)
n 2 +n+1
uniformément) sur R parce que pour tout entier n 1, | cos(nωx)
n2 +n+1
série numérique de Riemann 1
est convergente.
n2 n1
5.1.2 Coefficients de Fourier d’une série trigonométrique
Dans ce paragraphe on suppose que la série trigonométrique
∀x ∈ R, f(x) = a0
2 +(ancos(nωx)+bnsin(nωx))
n1
converge normalement (donc
1
|
n2, et on sait que la
converge uniformément sur R, donc sa somme définit sur R une fonction continue et Tpériodique
avec T = 2π
ω .
Lemme 3. Si T = 2π
alors pour tous les entiers n et m ∈ N on a les formules suivantes,
ω
1.
2.
3.
T
0
T
0
T
0
cos(nωt)sin(nωt)dt = 0;
cos(nωt)cos(nωt)dt =
cos(nωt)sin(mωt)dt =
T
0
T
0
sin(nωt)sin(nωt)dt = T
2 ;
sin(nωt)sin(mωt)dt =
T
0
cos(nωt)cos(mωt)dt = 0.
Notons que puisque la série trigonométrique de somme f(x) converge uniformément sur la
période [0,T], le théorème d’intégration nous permet décrire que pour tout entier naturel
m 0 : T
0
et que T
0
f(t)cos(mωt)dt = a0
2
f(t)sin(mωt)dt = a0
2
T
0
T
0
cos(mωx)dx+
+
n1
bn
n1
T
sin(mωx)dx+
+
n1
bn
0
n1
T
0
an
T
0
sin(nωt)cos(mωt)dt
an
T
0
sin(nωt)sin(mωt)dt]
cos(nωt)cos(mωt)dt
cos(nωt)sin(mωt)dt
Ainsi, grâce aux formules du lemme précédent on conclut que pour tout entier n 0 les
coefficients de la série trigonométrique de somme f(x) sont donnés par les expressions :
an = 2
T
bn = 2
T
T
0
T
0
f(t)cos(nωt)dt
f(t)sin(nωt)dt
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

88 Les séries de Fourier
Exemple 27. Soit f(z) =
anz n la somme d’une série entière dont le rayon de convergence
n0
R > 0. Notons que pour tout réel r < R la restriction de la fonction f(z) sur un cercle centré à
l’origine et de le rayon r < R induit des séries trigonométriques qui convergent uniformément
sur [0,2π].
En effet, si pour tout entier n 0 on pose an = αn+iβn on voit que pour tout réel 0 < r < R
et pour réel θ ∈ [0,2π] la série numérique
anr n e inθ converge absolument. Donc, en tant
que fonctions de θ, les parties réelle et imaginaire
ℜ(f(re iθ )) =
(αncos(nθ)−βnsin(nθ))r n
n0
n0
ℑ(f(re iθ )) =
(αnsin(nθ)+βncos(nθ))r n
n0
convergent normalement sur le segment [0,2π] vers des fonctions continues et 2π-périodiques.
Ainsi, par exemple, si on considère la série entière dont la somme
1+z
1−z
= 1+2 z n
on en déduit que pour tout réel, 0 < r < 1, les séries trigonométriques
fr(θ) =
convergent uniformément.
n1
1−r 2
= 1+2
1−2rcos(θ)+r 2
n1
n1
rsin(θ)
gr(θ) = = r
1−2rcos(θ)+r 2 n sin(nθ)
r n cos(nθ)
Les coifficients de Fourier de fr(θ) et gr(θ) sont donc donnés par les expressions suivantes,
an(fr) = 2rn
an(gr) = 0
et
bn(fr) = 0 bn(gr) = rn 5.2 Série de Fourier associée à une fonction périodique
Dans cette section, étant donnée une fonction f : R → R qui est T-périodique et intégrable
au sens de Riemann sur le segment [0,T] nous allons lui associer une série trigonométrqiue
réelle que l’on appelle série de Fourier et dont la convergence sera étudiée dans la prochaine
section.
5.2.1 Coefficients de Fourier d’une fonction périodique
Définition 15. Soit f : R → R une fonction T-périodique. Si f est intégrable sur le segment
[0,T] on définit les coefficients de Fourier de f par les formules suivantes,
an = 2
T
bn = 2
T
T
0
T
0
f(t)cos(nωt)dt, ∀n 0 (5.1)
f(t)sin(nωt)dt, ∀n 1 (5.2)
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Série de Fourier associée à une fonction périodique 89
La série trigonométrique définit par l’expression suivante
a0
2 +(ancos(nωx)+bnsin(nωx))
(5.3)
n1
s’appelle série de Fourier associée à la fonction périodique f.
Proposition 17. Si f : R → R est une fonction T-périodique paire (resp. impaire) et inté-
grable sur [0,T] alors ses coefficients de Fourier bn = 0 (resp. an = 0).
Dans la section 3, nous allons étudier la question de convergence de la série de Fourier
associée à une fonction périodique et nous démontrerons le théorème Dirichlet qui donnera
les conditions suffisantes pour que la série de Fourier converge.
Notons que les coifficients de Fourier de la fonction f peuvent être éxprimés par les nombres
complexes en posant,
c0 = a0
2 , cn = an −ibn
2
et c−n = an +ibn
2
∀n ∈ N ∗
En utilisant les expressions intégrales des coefficients de Fourier réels on déduit que les coif-
ficinets de Fourie complexes peuvent être calculés par l’intégrale simple complexe suivante
cn = 1
T
T
0
f(x)e −inωx dx,∀n ∈ Z. (5.4)
Notons que la somme partielle de la série de Fourier peut être exprimée en fonction des
coeffients de Fourier complexes comme suit,
Sn(x) = a0
2 +
k=n
k=1
(akcos(kωx)+bksin(kωx)) =
k=n
k=−n
cke ikωx .
on en déduit donc que la série de Fourier associée à la fonction T-périodique f prend la forme
suivante,
a0
2 +(ancos(nωx)+bnsin(nωx))
=
n1
n=+∞
n=−∞
cne inωx . (5.5)
Nous avons introduit les coefficients de Fourier complexes parce que ils se calculent plus
rapidement que les coefficients réels dans certaines situations particulières comme nous allons
le voir ci-dessous sur certaines fonctions T-périodiques.
5.2.2 Exemples classiques de séries de Fourier
a) Prolongement d’une fonction par périodécité
Soit T > 0 un réel fixé. Étant donnée une fonctions f : [0,T] → R on pourra la prolonger sur
R en une fonction T-périodique en posant,
F(x) = f(x−nT), ∀n ∈ Z, ∀x ∈ [nT,(n+1)T]
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

90 Les séries de Fourier
Figure 5.1 – Le graphe de la fonction 1-périodique qui prolonge x 2 sur R
Donc, si la fonction f est intégrable sur [0,T] son prologement F sur R est donc intégrable
sur tous les segments de R de longueur T, et donc on peut lui associer une série de Fourier.
De même, si on se donne une fonction f : [0,T/2] → R sur R en une fonction T-périodique
et qui soit paire; pour cela il suffit qu’on pose
Fp(−x) = Fp(x) = f(x−nT) ∀x ∈ [nT,(n+ 1
)T], ∀n ∈ Z
2
Figure 5.2 – Le graphe de la fonction 2-périodique paire qui prolonge x 2 sur R
Notons que puisque le prolognement Fp de f sur R est paire ses coifficients de Fourier bn
seront nuls et sa série de Fourier ne contient que des termes en cosinus i.e. :
a0
2 + ancos(
n1
2πnx
T ) où an = 4
T
T/2
0
f(x)cos( 2πnx
T )dx
Dans ce cas on dira que la fonction f : [0,T/2] → R est développée en série de Fourier de
cosinus.
Enfin, notons qu’une fonction f : [0,T/2] → R peut être prolongée sur R en une fonction qui
soit T-périodique et impaire; pour cela il suffit qu’on pose
−Fi(−x) = Fi(x) = f(x−nT) ∀x ∈ [nT,(n+ 1
)T], ∀n ∈ Z
2
Puisque le prolognement Fip de f sur R est impaire ses coifficients de Fourier an seront nuls
et sa série de Fourier ne contient que des termes en sinus i.e. :
n1
bnsin( 2πnx
T ) où bn = 4
T
T/2
0
f(x)sin( 2πnx
T )dx
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Série de Fourier associée à une fonction périodique 91
Figure 5.3 – Le graphe de la fonction 2-périodique impaire qui prolonge x 2 sur R
Dans ce cas on dira que la fonction f : [0,T/2] → R est développée en série de Fourier de
sinus.
b) Coiffecients de Fourier de la fonction 2π-périodique x ↦−→ e ax
Soit a ∈ R ∗ est un réel fixé. Calculons les coefficients de Fourier de la fonction 2π-périodique
f : R → R qui prend sur la période [0,2π] la valeur f(x) = e ax .
Figure 5.4 – Le graphe de la fonction 2π-périodique e −x/2π
Pour calculer les coefficients de Fourier an et bn de la fonction f nous allons calculer ses
coefficients de Fourier complexes qui sont donnés par l’intégrale simple complexe,
2π
cn = 1
f(x)e
2π 0
−inx dx = 1
2π
1 e
=
2π
(a−in)x2π
a−in 0
= 1 e2πa 1 1
( − ) =
2π a−in a−in 2π
2π
0
e ax−inx dx
(e 2πa −1)(a+in)
a 2 +n 2
= an −ibn
.
2
En conséquence de ce calcul, on voit que les coefficients de Fourier réels de la fonction f sont
donnés par a0 = e2πa −1
et si n 1
πa
an = a(e2πa −1)
π(a 2 +n 2 )
et bn = − n(e2πa −1)
π(a 2 +n 2 ) .
La série de Fourier associée à la fonction e ax est donc donnée par la somme
(e 2πa −1)
2πa
+ 1
π
n1
(e2πa −1)
a2 (acos(nx)−nsin(nx))
+n2 A. Bouarich Suites et séries de fonctions

92 Les séries de Fourier
b) Coiffecients de Fourier de la fonction x ↦−→ cos(λx)
Soit λ ∈ Z est un réel fixé. Calculons les coefficients de Fourier de la fonction 2π-périodique
qui coïncide avec la fonction g(x) = cos(λx) sur [0,2π].
Figure 5.5 – Le graphe de la fonction 2π-périodique cos(0.75x)
Pour calculer les coefficients de Fourier de la fonction g nous allons calculer ses coefficients
de Fourier complexes en procédant par intégration par partie.
2π
2π
cn = 1
g(x)e
2π 0
−inx dx = 1
cos(λx)e
2π 0
−inx dx
sin(λx)
=
2πλ e−inx
2π 2π 1 −insin(λx)
− e
0 2π 0 λ
−inx dx
= sin(2λπ) in
−cos(λx)
+ e
2πλ 2πλ λ
−inx 2π
0 −
2π incos(λx
e
0 λ
−inx
dx
= sin(2λπ) in n2
+
2πλ 2πλ2(1−cos(2πλ)+ λ2cn De la dernière linge de ce calcul on déduit que a0 = sin(2λπ)
πλ
cn =
λ2 λ2 −n2(sin(2λπ) in
+
2πλ 2πλ2(1−cos(2πλ)) = an −ibn
2
et que pour tout entier n 1,
Donc, les coefficients de Fourier de la fonction 2π-périodique définit sur [0,2π] par cos(λx)
sont donnés par,
an = λsin(2πλ)
π(λ 2 −n 2 )
et bn = − n(1−cos(2πλ))
π(λ 2 −n 2 )
La série de Fourier associée à la fonction 2π-périodique cos(λx) a pour expression :
sin(2πλ)
2πλ +
λsin(2πλ)cos(nx)−n(1−cos(2πλ))sin(nx)
π(λ
n1
2 −n2 )
c) Coiffecients de Fourier d’une fonction constante par morceaux
Calculons les coefficients de Fourier de la fonction impaire T-périodique qui coïncide avec la
fonction h(x) = 1 sur l’intervalle ]0,T/2].
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Série de Fourier associée à une fonction périodique 93
Figure 5.6 – Le graphe d’une fonction impaire 2π-périodique et constante
Puisque la fonction h(x) est impaire on déduit que pour tout entier n ∈ N, an = 0. Tandis
que les coefficients bn se calculent par intégration par partie comme suit :
bn = 2
T
= 2
T
= 4
T
T
0
T/2
−T/2
T/2
0
h(x)sin( 2πnx
T )dx
h(x)sin( 2πnx 4
)dx =
T T
sin( 2πnx
T
)dx = 4
T
T/2
0
−T
2nπ cos(2πnx
T )
h(x)sin( 2πnx
T )dx
T/2
0
2
=
π (1
(−1)n
−
n n ).
Les coefficients de Fourier de la fonction h(x) sont finalement donnés par les expressions :
∀n ∈ N,an = 0, ∀n 1, b2n = 0 et ∀n 0, b2n+1 =
4
(2n+1)π .
Ainsi, en conséquence du calcul précédent on conclut que la série de Fourier associée à la
fonction 2π-périodique impaire égale à un sur [0,π] est donnée par l’expression
4 sin((2n+1)x)
π 2n+1
n0
Exercice 84. Donner le développement en série de Fourier en sinus (resp. cosinus) des
fonctions 2π-périodiques suivantes :
f(x) = x, g(x) = x 2 , h(x) = π −x, k(x) = x(π −x), ∀x ∈ [0,π].
Exercice 85. 1) Donner le développement en série de Fourier en cosinus de la fonction
2π-périodique
f(x) = sin(x), ∀x ∈ [0,π]
2) Donner le développement en série de Fourier en sinus de la fonction 2π-périodique
g(x) = cos(x), ∀x ∈ [0,π]
Exercice 86. Soit T > 0. Pour tout couple de nombres réels a et b on définit une fonction
F : R → R T-périodique par les expressions,
⎧
0 si −T/2 x < −T/4
⎪⎨
1 si −T/4 < x < T/4
F(x) =
a si T/4 < x < T/2
⎪⎩
b si x = −T/4 ou x = T/4.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

94 Les séries de Fourier
1) Tracer le graphe de la fonction F.
2) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction T-périodique F.
Exercice 87. Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f : R → R 2π-périodique
définie par,
f(x) =
0 si −π < x < 0
x 2 si 0 < x < π.
5.3 Problème de convergence des séries de Fourier
Rappelons que dans la section précédente à la donnée d’une fonction T-périodique f : R → R
nous lui avons associé la série de Fourier suivante
a0
2 +(ancos(nωx)+bnsin(nωx))
=
n1
n=+∞
n=−∞
cne inωx
sans s’intéresser à sa convergence. En effet, c’est dans cette section qu’on se propose d’étudier
la convergence d’une série de Fourier et calculera aussi sa limite s’imple.
Pour régler ces qusetions nous allons suivre la méthode de Dirichlet qui permet d’écrire la
somme partielle d’une série de Fourier sous la fomre d’une intégrale simple définie qui dépend
de la fonction périodique donnée et d’une fonction remarquable appelée noyau de Dirichlet.
Ensuit, c’est grâce au noyau de Dirichlet que nous dégagerons les conditions suffantes qui
assureront la convergence de la série de Fourier vers la fonction périodique donnée au départ.
5.3.1 Convergence des coefficients de Fourier
Lemme 4 (Lebesgue). Soit f : [a,b] → R une fonction bornée et intégrable au sens de
Riemann. Alors les fonctions définient par les intégrales suivantes,
C(λ) =
b
a
f(t)cos(λt)dt et S(λ) =
tendent vers zéro quand le réel λ tend vers l’infini.
Démonstration. Admise.
b
a
f(t)sin(λt)dt
Corollaire 16. Si f : R → R est une fonction T-périodique intégrable sur [0,T] alors ses
coefficients de Fourier an et bn tendent vers zéro à l’infini i.e. :
et
lim
n→+∞ an
2
= lim
n→+∞ T
lim
n→+∞ bn
2
= lim
n→+∞ T
T
0
T
0
f(t)cos(nωt)dt = 0
f(t)sin(nωt)dt = 0
Exercice 88. Soit f : R → R une fonction 2π-périodique et de classe C k sur ]0,2π[ avec
k 1.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Problème de convergence des séries de Fourier 95
1) Démontrer que pour tout entier n 1 le module des coefficients de Fourier complexes de
f est donné par,
| cn(f) |= | cn(f (k) ) |
n k et que | cn(f) | 1
2πn k
2π
0
| f (k) (t) | dt
2) En déduire que les coefficients de Fourier de la fonction f tendent vers zéro plus rapidement
que la suite numérique 1
n k.
3) Démontrer que si f est de classe C 2 alors la série de Fourier de f converge normalement.
5.3.2 Théorème de convergence de Dirichlet
Soit f une fonction T-périodique. Notons que si dans la somme partielle d’ordre n 0 de la
série de Fourier associée à f on remplace les coefficients de Fourier conplexes ck de la fonction
f par leurs expressions intégrale on obtient,
Sn(x) =
=
= 1
T
k=n
k=−n
k=n
k=−n
T
0
cke ikωx
1
T
T
0
k=n
f(t)
f(t)e −ikωt
dt e ikωx
k=−n
e ikω(x−t)
dt.
Dans la suite pour tout entier n ∈ N et pour tout réel t ∈ 2π
Z posons
ω
Dn(t) :=
= e−i(n+ 1
=
k=n
k=−n
e ikωt = e −inωt1−ei(2n+1)ωt
1−e iωt
2 )ωt 1
i(n+
−e 2 )ωt
e −iωt
iωt
2 −e 2
sin((n+ 1
2 )ωt)
sin( ωt
2 )
Ainsi, avec ces notations on déduit que la somme partielle Sn(x) de la série de Fourier de
f(x) prend la forme intégrale suivante,
Sn(x) = 1
T
T
0
f(t)Dn(x−t)dt = 1
T
T
0
f(x+t)Dn(t)dt. (5.6)
Définition 16. Pour tout entier n ∈ N la fonction périodique définit par l’expression suivante
Dn(t) =
s’appelle n ième noyau de Dirichlet.
k=n
k=−n
e ikωt =
sin((n+ 1
2 )ωt)
sin( ωt
2 )
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

96 Les séries de Fourier
La suite Dn(t) des noyaux de Dirichet possède des propriétés remarquables que nous résume-
rons dans la proposition suivante.
Proposition 18. Le noyau de dirichlet Dn(x) vérifie les propriétés suivantes :
1. L’intégrale simple, 1
T
T
0
Dn(t)dt = 1.
2. Si f est une fonction T-périodique alors la somme partielle d’ordre n 0 de sa série
de Fourier est donnée par l’intégrale simple
Sn(x) = 1
T
T/2
0
(f(x+t)+f(x−t))Dn(t)dt
Démonstration. 1)Observerquepuisquepourtoutentierk = 0l’intégraledéfinie
T
T
0
e −kiωt dt
est nulle il s’ensuit que 1
Dn(t)dt = 1.
T 0
2) Observer aussi que si on écrit la somme partielle Sn(x) en utilisant l’expression intégrale
donnée par (5.6) la périodicité de la fonction f(x) et du noyau Dn(x) nous permet d’exprimer
Sn(x) par une intégrale simple étendue que sur [0,T/2] :
Sn(x) = 1
T
= 1
T
= 1
T
= 1
T
T
0
T/2
0
T/2
0
T/2
0
f(x+t)Dn(t)dt = 1
T/2
T
f(x+t)Dn(t)dt+ 1
T
f(x+t)Dn(t)dt+ 1
T
−T/2
0
−T/2
T/2
(f(x+t)+f(x−t))Dn(t)dt.
0
f(x+t)Dn(t)dt
f(x+t)Dn(t)dx
f(x−t)Dn(t)dx
Théorème 27 (Théorème deDirichlet). Soit f : R → R une fonction T-périodique intégrable
sur le segment [0,T] et qui vérifie en plus les conditions suivantes dites de Dirichlet :
1. sur l’intervalle [0,T] la fonction f(x) est discontinue seulement sur un ensemble fini de
points 0 x1 < x2 < ··· < xn T;
2. la fonction f(x) est dérivable sur les intervalles ouvert ]xi,xi+1[⊂ [0,T];
3. la fonction f(x) admet des dérivées à gauche et à droite en chaque point xi.
Alors, la série de Fourier de la fonction f(x) converge simplement vers la fonction
∀x ∈ R,
f(x + )+f(x − )
2
= a0
2 +(ancos(nωx)+bnsin(nωx)),
n1
où f(x + ) (resp. f(x − )) désigne la limite à droite (resp. la limite à gauche) de la fonction
f(x) au point x ∈ R.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Problème de convergence des séries de Fourier 97
Démonstration. Pour calculer la somme de la série de Fourier associée à une fonction f qui
est T-périodique et vérifiants les conditions de Dirichlet nous allons étudier la limite simple
de la suite de fonctions
Sn(x)− f(x+ )+f(x − )
2
tout en utilisant l’expression intégrale de la somme pertielle (cf (5))
Sn(x) = 1
T
T/2
0
(f(x+t)+f(x−t))Dn(t)dt
Notons que puisque le noyau de Dirichlet Dn(x) est T-périodique et paire son intégrale sur
la moitié de la période est égale à 1
T/2
Dn(t)dt =
T 0
1
. Ainsi, on voit que pour toute entier
2
n on peut écrire :
Sn(x)− f(x+ )+f(x − )
2
= 1
T
+ 1
T
T/2
0
T/2
0
(f(x+t)−f(x + ))Dn(t)dt
(f(x−t)−f(x − ))Dn(t)dt
Observons que si F + x et F − x : [0,T/2] → R désignent les fonctions définies respectivement par
les expressions suivantes :
F + x(t) = f(x+t)−f(x+ )
t
on voit que la différence
t
sin( ωt
2 )
Sn(x)− f(x+ )+f(x − )
2
= 1
T
+ 1
T
et F − x(t) = f(x−t)−f(x− )
t
T/2
0
T/2
0
F + x (t)sin((2n+1)ωt )dt
2
F − x (t)sin((2n+1)ωt )dt
2
t
sin( ωt
2 )
Ainsi, puisque les fonctions F + x et F − x sont bornées et intégrables sur le segments [0,T/2] le
lemme de Lebesgue (ou son corollaire 4) implique que
et
1
lim
n→+∞ T
1
lim
n→+∞ T
T/2
0
T/2
0
F + x(t)sin( (2n+1)ωt
)dt = 0
2
F − x(t)sin( (2n+1)ωt
)dt = 0
2
Par conséquent, pour tout x ∈ R la série de Fourier associée à la fonction T-périodique f(x)
converge vers lim
n→+∞ Sn(x) = f(x+ )+f(x − )
=
2
a0
2 +
n1
(ancos(nωx)+bnsin(nωx)).
Corollaire 17. Si f : R → R est une fonction T-périodique continue et dérivable par mor-
ceaux sur [0,T] alors pour tout réel x ∈ R,
f(x) = a0
2 +(ancos(nωx)+bnsin(nωx)).
n1
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

98 Les séries de Fourier
Le théorème de Dirichlet nous permet de calculer la somme de toutes les séries de Fourier
que nous avons étudié dans le paragraphe 2.2.
Exemple 28. 1) Rappelons qu’au paragraphe 2.2.1, pour tout réel a = 0 nous avons déter-
miné la série de Fourier associée à la fonction 2π-périodique qui coïncide avec e ax sur ]0,2π[,
si on lui applique le théorème de Dirichlet on conclut que
e ax = (e2πa −1)
2πa
+ 1
π
n1
(e2πa −1)
a2 (acos(nx)−nsin(nx)), ∀x ∈]0,2π[ (5.7)
+n2 Notons que si on porte x = 0 dans cette série de Fourier on déduit la somme suivante
e 2πa −1
2πa
a
+
π
n1
e 2πa −1
a 2 +n
2
2 = 1+e2πa
à partir de laquelle on déduit aussi que pour tout réel a = 0,
πacoth(πa) = 1+2a 2
n1
1
n 2 +a 2
, ∀a ∈ R ∗
(5.8)
Observons aussi que si dans la série de Fourier de e ax on porte x = π on obtient la somme
suivante
eaπ e2aπ 1 a
= +
−1 2πa π
n1
qui est équivalente à l’expression suivante,
aπ
= 1+2a2
Sh(aπ)
n1
(−1) n
n 2 +a 2
(−1) n
n 2 +a 2
(5.9)
2) Si on applique le théorème de Dirichlet à la série de Fouriée assocée à la fonction 2π-
périodique qui coïncide avec la fonction cos(λx) sur [0,2π] (cf. 2.2.2) on obtient pour tout
réel x ∈]0,2π[,
cos(λx) = sin(2πλ)
2πλ +
λsin(2πλ)cos(nx)−n(1−cos(πλ))sin(nx)
π(λ
n1
2 −n2 )
Pour x = 0 le théorème de Dirichlet nous permet de déduire que la somme
1+cos(2πλ)
2
= sin(2πλ)
2πλ
+ λsin(2πλ)
π
n1
qui nous permet de voir que pour tout réel λ ∈ Z on a la somme
πλcotg(πλ) = 1+2λ 2
n1
1
λ 2 −n 2.
1
λ 2 −n 2
De même, si dans la série de Fourier de cos(λx) on porte x = π on obtient la somme,
cos(λπ) = sin(2πλ)
2πλ +
λsin(2πλ)(−1)
n1
n
π(λ2 −n2 )
(5.10)
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Problème de convergence des séries de Fourier 99
qui est équivalente à la somme suivante
λπ
= 1+2λ2
sin(λπ)
n1
(−1) n
λ 2 −n 2
(5.11)
3) La série de Fourier associée à la fonction 2π-périodique impaire qui coïncide avec la fonc-
tion h(x) = 1 sur [0,π] converge simplement vers la somme :
4 sin((2n+1)x)
= 1, ∀x ∈]0,π[ (5.12)
π 2n+1
n1
Observons que puisque l’expression qu’on vient d’établir est équivalente à la suivante
n1
on voit que si on prend x = π
2
sin((2n+1)x)
2n+1
= π
, ∀x ∈]0,π[
4
cette somme implique que la série numérique alternée
n0
(−1) n π
=
2n+1 4
La figure 7 ci-dessous représente le graphe de la somme partielle
Sn(x) = 4
k=n sin((2k +1)x)
π 2k+1
k=0
de la série de Fourier qu’on vient de déterminier pour les valeurs n = 17 et n = 22. Sur
cette figure on voit que le graphe de la somme partielle Sn(x) oscille autour du graphe 6 de
la fonction h(x) tout en cherchant à converger vers lui. Il faut noter que lorsque la variable
x s’approche de la discontinuité dela fonction h(x) le graphe de la somme partielle Sn(x)
s’éloigne légèrement du graphe de h(x). Ce phénomème s’explique par le fait qu’au voisinage
d’une discontinuité de la fonction périodique h(x) sa somme partielle de Fourier ne converge
pas unifomément.
−7
−6
−5
−4
−3
−2
2
1
−1
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6
Figure 5.7 – Le graphe bleu est celui de S17(x) et le rouge est celui se S22(x)
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

100 Les séries de Fourier
Exercice 89. Soient a < b deux réels et f : R → R une fonction 2π-périodique définie par,
a si −π < x < 0
f(x) =
b si 0 < x < π.
1) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f.
2) En déduire que pour tout réel x ∈]0,π[ on a la somme π
4
=
n1
sin((2n−1)x)
.
2n−1
Exercice 90. Soit f la fonction 2π-périodiques sur R telle que f(x) =| x | si | x | π.
1) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f.
2) Montrer que | x |= π 4 cos((2n+1)x)
−
2 π (2n+1) 2 .
n1
3) En déduire la somme des séries numériques convergentes
n1
1 1
et
(2n+1) 2 n
n1
2.
Exercice 91. Soit α ∈ Z. En considèrant la fonction 2π-périodique qui coïncide sur l’inter-
valle ]−π,π[ avec la fonction sin(αx) montrer que pour tout réel | x |< π,
n 2nsin(nx)
(−1)
n1
π(α 2 −n 2 )
= sin(αx)
sin(πα)
Exercice 92. Etudier la convergence de la série de Fourier associée à la fonction 1-périodique
définie sur R par g(x) = x−[x] où [x] la partie entière du réel x.
Exercice 93. Pour tout k ∈ N ∗ calculer l’intégrale simple
la somme de la série trigonométrique,
k1
sin(kx)
,∀x ∈ R.
k
π
0
(π −x)sin(kx)dx. En déduire
Exercice 94. En calculant les coefficients de Fourier de la fonction 2π-périodique définie sur
[−π,π] par | sin(x) | montrer que pour tout réel x ∈ R,
| sin(x) | = 2
1−2
π
n1
= 8 (sin(nx))
π
n1
2
4n2 −1
cos(2nx)
4n2
−1
Exercice 95. Refaire les questions de l’exercice précédent pour la fonction 2π-périodique
définie sur le segment [−π,π] par | cos(x) |.
Exercice 96. Développer en série de Fourier la fonction 2π-périodique, | sin 3 (x) |.
Exercice 97. Démontrer que pour tout réel x ∈ [0,π] on a la somme
x(π −x) = π2
6 −
cos(2nx)
n
n1
2
et en déduire la somme des séries numériques convergentes
n0
1 (−1)
et
n2 n0
n−1
n2 .
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Problème de convergence des séries de Fourier 101
Exercice 98. Démontrer que pour tout réel x ∈ [0,π] on a la somme
x(π −x) = 8 sin((2n+1)x)
π (2n+1)
n0
3
et en déduire que la somme de la série numérique convergente
5.3.3 Théorème de la convergence quadratique
n0
(−1) n
π3
=
(2n+1) 3 32 .
Soitf : R → RunefonctionT-périodiquebornéeetintégrablesurlesegment[0,T].Rappelons
que sous ces hypothèses on pourra associer à la fonction f(x) une série de Fourier dont la
somme partielle d’ordre n 0 est donnée par
Sn(x) = a0
2 +
k=n
k=1
(akcos(kωx)+bksin(kωx))
Notons aussi que puisque la fonction f(x) est bornée on pourra trouver un réel M > 0 tel que
pour tout réel x ∈ [0,T],
| f(x) | 2 M | f(x) | =⇒
T
0
| f(x) | 2 T
dx M | f(x) | dx < +∞
0
Ainsi, le but de ca paragraphe est de calculer l’intégrale simple définie
fonction des coefficients de Fourier de la fonction f(x).
Pour calcuer l’intégrale simple définie
T
0
T
0
| f(x) | 2 dx en
| f(x) | 2 dx nous allons considérer la suite réelle
∆n(f) = 2
T
| f(x)−Sn(x) |
T 0
2 dx
dont le terme général s’appelle l’écart quadratique d’ordre n 0 de la fonction f. Le nombre
réel ∆n(f) est fini et il mesure l’erreur qu’on comit lorsque la valeur de la fonction f(x) est
approchée par la n ième somme partielle de la série de Fourier associée à f(x).
Lemme 5. Pour tout entier 0 k n on a les formules suivantes
1.
2.
T
0
T
0
(f(x)−Sn(x))cos(kωx)dx = 0;
(f(x)−Sn(x))sin(kωx)dx = 0.
En conséquence, pour tout entier n 0 on a
Démonstration. Exercice.
T
Les formules du lemme impliquent la proposition suivante :
0
(f(x)−Sn(x))Sn(x)dx = 0.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

102 Les séries de Fourier
Proposition 19. Soit f : R → R une fonction T-périodique et intégrable sur [0,T]. Alors,
pour tout entier n 0 l’écart quadratique d’ordre n 0 de la fonction f(x) est égale à
∆n(f) = 2
T
| f(x) |
T 0
2
(a0)
dx−
2
2 +
k=n
k=1
((ak) 2 +(bk) 2 )
Démonstration. En effet, grâce aux résultats du lemme on pouura déveloper l’écart quadra-
tique ∆n(f) comme suit :
∆n(f) = 2
T
T
= 2
T
= 2
T
= 2
T
0
T
0
T
0
T
0
| f(x)−Sn(x) | 2 dx
(f(x)−Sn(x))f(x)dx− 2
T
| f(x) | 2 dx− 2
T
T
| f(x) | 2 (a0) 2
dx−[
2 +
0
T
0
f(x)Sn(x)dx
(f(x)−Sn(x))Sn(x)dx
k=n
((ak) 2 +(bk) 2 )]
Corollaire 18 (Inégalité de Bessel). Soit f : R → R une fonction T-périodique et intégrable
sur [0,T]. Alors, les coefficients de Fourier de la fonction f vérifient l’inégalité de Bessel,
(a0) 2
2 +
n1
k=1
((an) 2 +(bn) 2 ) 2
T
T
0
| f(x) | 2 dx. (5.13)
Démonstration. Obserer que la propostion 19 impliqueque l’écart quadratiqued’ordre n 0,
∆n(f) 0. Donc,
∀n 0,
(a0) 2
2 +
k=n
((ak)
k=1
2 +(bk) 2 ) 2
T
T
0
| f(x) | 2 dx
Par conséquent, si on fait tendre l’entier n 0 vers l’infini on obtient l’inégalité de Bessel :
(a0) 2
2 +((ak)
k1
2 +(bk) 2 ) 2
T
| f(x) |
T 0
2 dx.
De l’inégalité de Bessel on déduit que pour toute fonction f(x) qui est T-périodique, bornée
et intégrable sur le segment [0,T] alors si an et bn désignent les coefficient de Fourier de f(x)
les séries numériques
| an | 2 et
| bn | 2 convergent. Ceci confirme donc le résultat du
n0
n0
lemme de Lebesgue qui affirme que les coefficients de Fourier de la fonction f tendent vers
zéro i.e. :
lim
n→+∞ an = 0 et lim
n→+∞ bn = 0
Notons que grâce à cette remarque on déduit que les séries trigonométriques,
f(x) =
n0
sin(nx)
√ n
et g(x) =
n0
sin(nx)
Log(n+1)
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Problème de convergence des séries de Fourier 103
converge simplement sur R vers des fonctions 2π-périodique mais ne sont pas intégrables sur
le segment [0,2π]. Ainsi, on conclut que ces deux séries trigonométriques ne sont pas des
séries de Fourier.
Le théorème suivant prouvé par Parseval montre qu’en effet l’inégalité de Bessel est une varie
égalité.
Théorème 28 (Identité de Parseval). Soit f : R → R une fonction T-périodique et intégrable
sur [0,T]. Alors, on a la formule suivante qui s’appelle identité de Parseval :
2
T
T
0
(f(x)) 2 (a0) 2
dx =
2 +
n1
(a 2 n +b 2 n). (5.14)
Démonstration. On donnera qu’une preuve lorsque la série de Fourier de f converge unifor-
mément, le cas général sera admis.
En effet, si la suite des sommes partielles Sn(x) de la série de Fourier associée à f(x) conver-
gence uniformément sur [0,T] vers la fonction f(x) alors en faisant tendre l’entier n 0 vers
l’infini dans la suite numérique,
∆n(f) = 2
T
T
= 2
T
0
T
0
| f(x)−Sn(x) | 2 dx
on en déduit que 2
T
| f(x) |
T 0
2 (a0) 2
dx =
2 +
n1
| f(x) | 2 (a0) 2
dx−[
2 +
k=n
((ak)
k=1
2 +(bk) 2 )],
(a 2 n +b 2 n).
Ci-dessous, nous appliquerons la formule de Parseval pour calculer la somme de certaines
séries numériques remarquables.
Exemple 29. 1) Dans cet exemple nous allons calculer la somme des deux séries numériques,
n1
1
n2 et 1
(2n+1) 2
Pour cela considérons la fonction 2π-périodique qui coïncide sur la période [−π,π] avec la
fonction impaire f(x) = x. Donc, les coefficient de Fourier an de f(x) sont nuls tandis que
ses coefficients de Fourier bn se calculent par l’intégrale définie,
bn = 1
π
xsin(nx)dx =
π −π
2
π
xsin(nx)dx
π 0
= 2
π [−xcos(nx)
n
π
0 +
π cos(nx)
dx] = 2
n
(−1)n−1
n
Notons que d’après le théorème de Dirichlet on obtient la somme suivante
0
n1
∀x ∈]−π,π[, x = (−1) n−1
sin(nx)
n
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
n1

104 Les séries de Fourier
Notons aussi que si on applique la formule de Parseval à la fonction f(x) sur l’intervalle
[−π,π] on trouve que
π 1
π −π
Donc, la série de Riemann
x 2 dx =
(bn) 2
n1
n1
=⇒
1 π2
=
n2 6
D’autre part, observons que la série de Riemann
π 2
6
=
n1
1
=
n2 n0
Par conséquent, la série de Riemann
1
+
(2n) 2
n1
n1
n1
1
(2n+1)
1 π2
=
(2n+1) 2 8
2π 2
3
= 4
n1
1
n 2
1
peut s’écrire sous la forme
n2 1
= 2 4
π 2
6 +
n1
1
(2n+1) 2
2) Dans cette exemple, nous allons calculer la somme des deux séries de Riemann
n1
(−1) n−1
n2 et 1
n4 en utilisant la série de Fourier de la fonction 2π-périodique qui coïncide sur la période [−π,π]
avec la fonction g(x) = x 2 .
Notons que puisque la fonction g(x) est paire ses coefficients de Fourier bn sont nuls tandis
que les coefficients an se calculent par intégration par parties comme suit :
et pour tout entier n 1,
π
n1
a0 = 2
π
x
π 0
2 dx = 2π2
3
π
an = 1
x
π −π
2 cos(nx)dx = 2
x
π 0
2 cos(nx)dx
= 2
x2sin(nx) π π n 0 −
π 2xsin(nx)
dx
0 n
= 2
2xcos(nx)
π n2 π 0 −
π 2
cos(nx)dx
n2 = 4 (−1)n
n 2
Ainsi, d’après le théorème de Dirichlet, puisque la fonction g : R → R est continue donc sa
série de Fourier converge en tout point x ∈ [−π,π] vers
x 2 = π2
3 +4
(−1)
n1
n
n2 cos(nx).
A. Bouarich Suites et séries de fonctions
0

Problème de convergence des séries de Fourier 105
Donc, si on porte x = 0 dans la série de Fourier précédente on obtient la somme
n1
(−1) n−1
n 2 = π2
12
Enfin, observons que si on applique la formule de Parseval à la fonction g(x) et à ses coeffi-
cients de Fourier on obtient :
1
π
π
−π
x 4 dx =
2π 4
5
(a0) 2
2 +(an)
n1
2
2π4
=
9 +
16
n
n1
4
Ainsi, après simplification on conclut que la série de Riemann
n1
1 π4
=
n4 90
Exercice 99. Soit α ∈]0,π[ un réel fixé. On définit sur R une fonction 2π-périodique
π
si x ∈ [−α,α]
f(x) = 2
0 si x ∈]α,2π −α[
1) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f(x).
2) La série de Fourier converge-t-elle sur R?
3) Déterminer en fonction de α la somme de chacune des séries numériques,
n1
sin(nα)
n
et
n1
sin 2 (nα)
n 2
Exercice 100. Soit f : R → R la fonction 2π-périodique définie pour tout réel x ∈ [−π,π]
par f(x) = x 3 −π 2 x.
1) Calculer les coefficients de Fourier de f(x).
2) Déterminer la somme de la série de Fourier de f(x).
3) En déduire la somme des deux séries numériques
n0
(−1) n
et
(2n+1) 3
n1
Exercice 101. Soit f : R → R une fonction de classe C 2 , 2π-périodique et telle que
2π
0
f(t)dt = 0
On désigne respectivement par cn(f), cn(f ′ ) et cn(f”) les coefficients de Fourier complexes
1
n 6.
de f(x), de sa fonction dérivée première f ′ (x) et de sa dérivée seconde f”(x).
1) Calculer les coefficients de Fourier cn(f ′ ) et cn(f”) en fonction de cn(f).
2) A l’aide du théorème de Parseval montrer que si pour tout réel
t ∈ [0,2π], | f(t) || f”(t) |
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

106 Les séries de Fourier
alors les coefficients de Fourier cn(f) = 0,∀n 2. En déduire qu’il existe θ ∈ [0,2π] et
a ∈ R + tels que f(x) = acos(t+θ),∀t ∈ [0,2π].
3) A l’aide du théorème de Parseval montrer que
4) Dans quel cas l’égalité a-t-elle lieu?
2π
0
| f(t) | dt
2π
| f
0
′ (t) | 2 dt.
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

Cercle de convergence, 60
Coefficients de Fourier, 86
Coefficients de Fourier complexes, 88
Comparaison d’une série avec une intégrale
simple généralisée, 11
Composition de deux séries entières, 68
Conditions de Diriochlet, 95
Convergence normale, 45
Convergence quadratique, 100
Convergence simple, 28
Convergence uniforme, 30
Critère d’équivalence des séries, 10
Critère de convergence d’Abel, 23
Critères de comparaison des séries, 8
Disque de convergence, 60
Domaine de convergence, 28
Écart quadratique, 100
Équation différentielle, 79
Équation différentielle de Bessel, 82
Équation différentielle ordianire, 79
Équation différentielle singulière, 82
Fonction analytique, 71
Fonction de Bessel d’indice entier, 84
Fonction de Bessel d’indice non entier, 84
Fonction développable en série entière, 71
Formule de Hadamard, 62
Formule de Stirling, 26
Formule du double limites, 36
Identité de Parseval, 102
Inégalité de Bessel, 101
Index
Limiet inférieure, 62
Limite simple, 28, 44
Limite supérieure, 62
Noyau de Dirichlet, 94
Premier critère de comparaison des séries, 8
Produit de Cauchy de deux séries entières, 68
Rayon de convergence, 58, 60
Règle de Cauchy, 16
Règle de D’Alembert, 17
Règle de Duhamel, 19
Règle de Gauss, 19
Reste d’ordre n d’une série, 4
Second critère de comparaison des séries, 9
Série absolument convergente, 20
Série alternée, 22
Série convergente, 4
Série de Bertrand, 14
Série de Fourier complexe, 88
Série de Fourier d’une fonction périodique, 87
Série de Riemann, 12
Série entière, 57
Série entière de Taylor, 71
Série harmonique, 6
Série numérique, 4
Série semi-convergente, 20
Séries géométriques, 7
Séries trigonométriques, 85
Somme de deux séries entières, 67
Somme partielle, 4
Suite de fonctions, 28
A. Bouarich Suites et séries de fonctions

108 INDEX
Théorème d’Hadamard, 63
Théorème d’intégrabilité, 37
Théorèmedecontinuitédelaconvergenceuni-
forme, 35
Théorème de dérivabilité, 40
Théorème d’Abel, 50, 58
Théorème d’intégrabilité, 49
Théorème de continuité, 49
Théorème de dérivabilité, 49
Théorème de Dirichlet, 95
Théorème de Liebniz, 22, 52
Théorème de Weierstrass, 45
Uniformément de Cauchy, 30
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