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Exercices 99
Demonstration (de 4.5). Supposons que A soit un corps. Soit b € B,
b 7^ 0. II verifie une equation : b n + an-ib n ~ l
+ a\b + Q.Q — 0 et
on pent supposer ao ^ 0 (quitte a diviser par 6 Z , ce qui est possible
puisque B est integre). Mais alors, ao est inversible dans A et on a :
6(aQ 1 b n ~ 1 + a,Q l an-ib n ~ 2 -f a^ai) = — 1 et b est inversible.
Supposons que B soit un corps et soit a 6 A, a ^ 0. II a un inverse
a" 1 dans B, qui est done entier sur A : a~ n + an_ioT n+1 + -f a0 = 0,
ou encore, en multipliant par a n : I + a(an_i H h aoa" 1 ) = 0, egalite
qui a lieu dans A et montre que a y est inversible. Ceci acheve de prouver
4.5 et 4.4.
Le resultat suivant est une consequence de 4.4 :
Corollaire 4.6. Avec les notations de 4.3, si A est local d'ideal maximal
m, il existe n € MaxB tel que m = n n A.
Demonstration (de 4.6). On a A C B, done B =£ 0, done B contient un
ideal maximal n et, vu 4.4, il est bien oblige de convenir.
On peut maintenant, apres ces quelques detours, finir la demonstration
de 4.3. On prend m e MaxA et on regarde les localises Am et Bm obtenus
en inversant les elements de la partie multiplicative S = A — m. Alors, Bm
est integre, contient Am et est encore entier sur Am. (II suffit d'ecrire une
equation pour le numerateur.) On a done, d'apres 4.6, un ideal maximal
n' de Bm au-dessus de mAm (i.e. qui verifie n 1 fl Am = mAm}. Soit
n = n' fl B, c'est un ideal premier de B et on a n n A = n' n Am r\A = m.
Mais alors n est maximal par 4.4 et on a fini.
Pour d'autres resultats sur les morphismes finis, cf. Probleme III, Partiel
1991 et chapitre IX.
Pour des applications des resultats de ce chapitre, voir les problemes
d'examen de juin 1993 et fevrier 1994.
Exercices
Dans tout ce qui suit on travaille sur un corps k algebriquement clos.
1. Intersections en affine
Soient X et Y deux sous-ensembles algebriques de k n , irreductibles,
de dimensions respectives r et s. On se propose de montrer que toute
composante irreductible de X D Y est de dimension > r + s — n.
a) Montrer que le resultat est vrai si X est une hypersurface de k n .