Introduction - index

102 IV. Dimension
d) Montrer que fi est dense dans C (si (A, B) e C on "1'approchera",
grace a b), par des couples (A, B + \B'} avec X E k et B' generique).
e) Calculer la dimension de C.
6. Dimension des grassmanniennes
Soit E un fc-espace vectoriel de dimension n et soit Gn>p 1'ensemble des
sous-espaces de dimension p de E. On admettra que Gn# est une variete
algebrique projective (appelee grassmannienne).
Montrer que 1'application (p qui a un p-uplet de vecteurs independants
de E associe le sous-espace qu'ils engendrent induit une surjection d'un
ouvert de E p sur Gnjp. Determiner les fibres de p (on
admettra que (p est un morphisme).
(Voir aussi Examen juin 1993.)
7. Un theoreme d'irreductibilite
On se propose de montrer le theoreme suivant :
Theoreme 1. Soit (p : X —» Y un morphisme dominant de varietes
projectives. On suppose : 1) Y irreductible, 2) toutes les fibres ~ l (y),
pour y G Y, irreductibles et de dimension constante n. Alors X est irreductible.
1) Montrer que (p est surjectif et ferme (cf. Probleme II). Montrer
qu'on a dim X — n + dim Y.
2) Soit X — X\ U U Xr la decomposition en composantes irreductibles
de X. Montrer qu'il existe une composante Xi telle que n, puis que 1'on
a X = Xi (comparer les fibres de (p et