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§ 3. Anneaux locaux reguliers 111 3. Anneaux locaux reguliers Rappelons d'abord un resultat d'algebre. Proposition-definition 3.1. Soient A un anneau local noetherien, m son ideal maximal, k = A/m. Le quotient ra/ra 2 ~ m (g)^ k est un kespace vectoriel et on a dim^ m/m 2 > dim# A (dimension de Krull de A, cf. IV, 1.5). On dit que A est regulier si on a dim^ m/m 2 = dim# A. Demonstration. Le fait que m/m 2 est un fc-espace vectoriel est clair : soient A € A et x e m, on note A et x leurs images respectivemerit modulo m et m 2 . On pose alors \x = Ax et on verifie que cette definition ne depend pas des representants. On peut aussi utiliser la description avec le produit tensoriel. Dans le cas ou A est 1'anneau local en un point d'une variete algebrique, 1'inegalite cherchee vient de 2.2.2. Pour une preuve de 1'inegalite dans le cas general, cf. [Ma]. Proposition 3.2. Soit V une variete algebrique et soit x 6 V. On a : V lisse en x OyjX regulier. Demonstration. On sait que TX(V) ~ ( m Ki/^K,x)* ( c ^- 1-10). D'autre part on a dimx V = dim# Oy,x pour tout x (cf. IV, 2.9), d'ou la conclusion (cf. 2.2.1). La proposition suivante donne une interpretation commode de la dimension de m/m 2 : Proposition 3.3. Soient A un anneau local noetherien, m son ideal maximal, k = A/m. La dimension de m/m 2 comme k-espace vectoriel est egale au nombre minimum de generateurs de m. Demonstration. (C'est un cas particulier du lemme de Nakayama, cf. Memento 2.) 1) Supposons m = (xi,... ,Xd). Alors les Xi engendrent m/m 2 sur k. En effet, si x € m on a x = £f-i a^j avec a^ 6 A d'ou, en reduisant modulo m 2 : x — ]Cf=i &iZi — Y^f=i ^>i%i P ar definition de la structure d'espace vectoriel. II en resulte qu'on a dimfc m/m 2 < d.
112 V. Espaces tangents, points singuliers 2) Reciproquement soit Xi,...,Xd une base de m/m 2 sur k. Alors, on a ra = (:EI, ..., Zd). On pent en effet completer les Xi pour avoir un systeme generateur Xi,..., x^ , xn de m et on conclut par recurrence grace au lemme suivant : Lemme 3.4. Si m = (xi,..., xn) et si Xi,... , 5fn_i engendrent m/m 2 sur k, on am = (xi,... , £n-i)- Demonstration (de 3.4). On ecrit xn = Y%=\ &iZi avec en E A. On en deduit xn — YJi=\ UiZi G m 2 . Mais, comme m 2 est engendre par les produits XiXj on a xn = EilTi 1 a i^ + Ei
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Geometric algebrique line introduct
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Daniel Perrin IUFM de Versailles Un
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Table des matieres Avant-propos ix
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Avant-propos Get ouvrage a pour bas
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Notations On designe par N (resp. Z
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Chapitre I Ensembles algebriques af
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§ 1. Ensembles algebriques affines
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§ 3. Irreductibilite 15 Demonstrat
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4. Le Nullstellensatz (ou theorems
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§ 5. Un premier pas vers Bezout 21
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§ 6. Les morphismes : une premiere
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Exercices 27 Remarque 6.14. Ce theo
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Chapitre II Ensembles algebriques p
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§ 3. Lien afnne project if 31 Demo
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§ 3. Lien affine projectif 33 a. L
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§ 6. Un anneau gradue associe a un
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§ 7. Appendice : anneaux gradues 3
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3. Quadriques Exercices 41 Soit k u
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§2. Le faisceau structural d'un en
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§ 3. Normalisation : la voie algeb
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Examen, fevrier 1994 291 On pose W
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Index terminologique ACM : voir cou
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Ideal d'un ensemble algebrique affi
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Tangente 115 Transformation quadrat
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dimx V 90 VHl/) Mn(k),Mp,q 91 100 O
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Physique Collection « Savoirs Actu
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